「馬の頭と、象の鼻」の「述語論理」。

（01）
ド・モルガンが、明らかに健全であるにもかかわらず、伝統的論理学のわくぐみのなかでは取り扱うことができなかった論証として挙げた、有名なま簡単な論証がある。
There is a famouse and simple arugument,cited by de Morgan as an example of a kind of reasoning which,through patently sound,could not be handled within the framework of traditional logic.
（１）すべての馬は動物である。故にすべての馬の頭は動物の頭である。
（〃）All horses are animals; therefore all horses' heads are animals'head.
（２）馬の頭であるすべてのモノは動物の頭である。
（〃）Anything that is a head of a horse is a head of an animal.
（02）
あるモノが馬の頭であるためには、それ（あるモノ）がその馬の頭であるような馬が存在しなければならない。
For something to be a head of a horse there must be some horse of which it is the head；
（03）
記号で書くと、ａは、∃ｙ（Ｆｙ＆Ｈａｙ）であるときまたそのときに限って馬の頭である。
in symboles, a is a head of a head of a horse if and only if ∃ｙ（Ｆｙ＆Ｈａｙ）
然るに、
（04）
馬名（ばめい）
競走馬には必ず名前がつけられ、これを馬名というが、どんな名前をつけてよいというものでなく、次のような制限がつけられている。
（１）有名な馬の名称・馬名と同じである馬名、またはこれらと紛らわしい馬名
（２）父母の名称・馬名と同じである馬名、またはこれらと紛らわしい馬名
（３）すでに登録を受けている馬名、登録を抹消された翌年の１月１日から４年を経過しない馬名と同じ馬名、またはこれらと紛らわしい馬名
（競馬用語辞典）、― 以下省略、―
従って、
（04）により、
（05）
① すべての馬名は、ある馬の馬名である。
② ∀ｘ｛∃ｙ（馬ｙ＆馬名ｘｙ）｝
③ すべてのｘと｛あるｙについて（ｙは馬であって、ｘはｙの馬名）｝である。
において、
① は「真」であって、尚且つ、
①＝②＝③ である。
従って、
（05）により、
（06）
① すべての馬の頭は、ある馬の頭である。
② ∀ｘ｛∃ｙ（馬ｙ＆頭ｘｙ）｝
③ すべてのｘと｛あるｙについて（ｙは馬であって、ｘはｙの頭）である｝。
においても、
① は「真」であって、尚且つ、
①＝②＝③ である。
従って、
（02）（03）（06）により、
（07）
あるモノが馬の頭であるためには、それ（あるモノ）がその馬の頭であるような馬が存在しなければならない。
For something to be a head of a horse there must be some horse of which it is the head；
記号で書くと、ａは、∃ｙ（Ｆｙ＆Ｈａｙ）であるときまたそのときに限って馬の頭である。
in symboles, a is a head of a head of a horse if and only if ∃ｙ（Ｆｙ＆Ｈａｙ）
というのであれば、
① すべての馬の頭は、ある馬の頭である。
② ∀ｘ｛∃ｙ（馬ｙ＆頭ｘｙ）｝
③ すべてのｘと｛あるｙについて（ｙは馬であって、ｘはｙの馬の頭）｝である。
において、
① は「真」であって、尚且つ、
①＝②＝③ である。
然るに、
（08）
１　　（１）　　　∀ｘ（馬ｘ→動物ｘ）　　 　　　　　　　　　　　　 Ａ
　２　（２）∀ｘ｛∃ｙ（馬ｙ＆頭ｘｙ）｝　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　２　（３）　　　∃ｙ（馬ｙ＆頭ａｙ）　 　　　　　　　　　　　　　 ２ＵＥ
　　３（４）　　　　　　馬ｂ＆頭ａｂ　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　３（５）　　　　　　馬ｂ　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 ４＆Ｅ
　　３（６）　　　　　　　　　頭ａｂ　　 　　　　　　　　　　　　　 ４＆Ｅ
１　　（７）　　　　　　馬ｂ→動物ｂ　　　 　　　　　　　　　　　　 １ＵＥ
１　３（８）　　　　　　　　　動物ｂ　　　　　　　　　　　　　　 　 ５７ＭＰＰ
１　３（９）　　　　　　動物ｂ＆頭ａｂ　　 　　　　　　　　　　　　 ６８＆Ｉ
１　３（ア）　　　∃ｙ（動物ｙ＆頭ａｙ）　 　　　　　　　　　　　　 ９ＥＩ
１２　（イ）　　　∃ｙ（動物ｙ＆頭ａｙ）　 　　　　　　　　　　　 　３４アＥＥ
１　　（ウ）　　　∃ｙ（　馬ｙ＆頭ａｙ）→∃ｙ（動物ｙ＆頭ａｙ）　　２イＣＰ
１　　（エ）∀ｘ｛∃ｙ（　馬ｙ＆頭ｘｙ）→∃ｙ（動物ｙ＆頭ｘｙ）｝　ウＵＩ
１　　（〃）すべてのｘと｛あるｙについて（ｙが馬であって、ｘがｙの頭である）ならば、（ｙは動物であって、ｘはｙの頭である）｝。
（E.J.レモン、論理学初歩、竹尾治一郎・竹尾楢英 訳、1973年、１６７頁を参照）
という「推論」は「妥当」である。
従って、
（01）（08）により、
（09）
ド・モルガンが、明らかに健全であるにもかかわらず、伝統的論理学のわくぐみのなかでは取り扱うことができなかった論証として挙げた、有名なま簡単な論証がある。
There is a famouse and simple arugument,cited by de Morgan as an example of a kind of reasoning which,through patently sound,could not be handled within the framework of traditional logic.
である所の、
（１）すべての馬は動物である。故にすべての馬の頭は動物の頭である。
（〃）All horses are animals; therefore all horses' heads are animals'head.
（２）馬の頭であるすべてのモノは動物の頭である。
（〃）Anything that is a head of a horse is a head of an animal.
という「推論・論証」は、「妥当」である。
然るに、
（10）
１　　（１）　　　∀ｘ（象ｘ→～兎ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　２　（２）∀ｘ｛∃ｙ（象ｙ＆鼻ｘｙ）｝　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　２　（３）　　　∃ｙ（象ｙ＆鼻ａｙ）　 　　　　　　　　　　　　　 ２ＵＥ
　　３（４）　　　　　　象ｂ＆鼻ａｂ　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　３（５）　　　　　　象ｂ　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 ４＆Ｅ
　　３（６）　　　　　　　　　鼻ａｂ　　 　　　　　　　　　　　　　 ４＆Ｅ
１　　（７）　　　　　　象ｂ→～兎ｂ　　　 　　　　　　　　　　　　 １ＵＥ
１　３（８）　　　　　　　　　～兎ｂ　　　　　　　　　　　　　　 　 ５７ＭＰＰ
１　３（９）　　　　　　～兎ｂ＆鼻ａｂ　　 　　　　　　　　　　　　 ６８＆Ｉ
１　３（ア）　　　∃ｙ（～兎ｙ＆鼻ａｙ）　 　　　　　　　　　　　　 ９ＥＩ
１２　（イ）　　　∃ｙ（～兎ｙ＆鼻ａｙ）　 　　　　　　　　　　　 　３４アＥＥ
１　　（ウ）　　　∃ｙ（　象ｙ＆鼻ａｙ）→∃ｙ（～兎ｙ＆鼻ａｙ）　　３イＣＰ
１　　（エ）∀ｘ｛∃ｙ（　象ｙ＆鼻ｘｙ）→∃ｙ（～兎ｙ＆鼻ｘｙ）｝　ウＵＩ
１　　（〃）すべてのｘと｛あるｙについて（ｙが象であって、ｘがｙの鼻である）ならば、（ｙは兎ではなく、ｘはｙの鼻である）｝。
従って、
（09）（10）により、
（11）
（１）すべての馬は動物である。故にすべての馬の頭は動物の頭である。
という「推論・論証」に加えて、
（２）すべての象は兎ではない。故にすべての象の鼻は兎の鼻ではない。
という「推論・論証」も、「妥当」である。
令和７年７月１３日、毛利太。