「選言導入の規則（∨Ｉ）」について。

（01）
（∨－導入（∨Ｉ）
∨－導入（選言導入）の規則は∨Ｉと名づけられる．任意の命題が前提として与えられたならば、∨Ｉは、その命題と任意の命題との選言を結論として導出することを許す。従って、前提としてのＰから、Ｐ∨Ｑを結論として、あるいはＱ∨Ｐを結論として導出することができる。またこの場合、Ｑがどのような命題であるかは問うところではない。明らかに、∨Ｉの適用においては、一般に結論は前提より遙かに力が弱い。すなわち、Ｐが真でないときでも、ＰあるいはＱは真でありうる。それにもかかわらず、この規則は、Ｐが真であるときには、ＰあるいはＱもまた真でなければならない、という意味において受けいれられるのである。たとえば、チャールズＩ世が斬罪に処せられたということは真である。このことから、彼は斬罪に処せられたかあるいは電気椅子に送られたかであるということが、もちろん彼は電気椅子に送られなかったにもかかわらず、導かれるのである。選言Ｐ∨Ｑは、その選言項の少なくとも１つが真であるならば真である。従って規則∨Ｉは、真なる前提から偽なる結論へ導くことはありえない（退屈な結論へ導くことはあるとしても）。
（Ｅ．Ｊ．レモン 著、論理学書、竹尾治一郎・浅野楢英、1973年、２９頁）
従って、
（01）により、
（02）
① チャールズＩ世は斬罪に処せられた。
② チャールズＩ世は斬罪に処せられたか、または、チャールズＩ世は電気椅子に送られた。
③ チャールズＩ世は斬罪に処せられたか、または、チャールズＩ世は電気椅子に送られなかった。
において、
① ならば、② であり、尚且つ、
① ならば、③ である。
然るに、
（03）
１　　　　　（１）　　　Ｐ　　　　　　Ａ
１　　　　　（２）　　　Ｐ∨　Ｑ　　　１∨Ｉ（選言導入の規則）
　３　　　　（３）　　～Ｐ＆～Ｑ　　　Ａ
　　４　　　（４）　　　Ｐ　　　　　　Ａ
　３　　　　（５）　　～Ｐ　　　　　　３＆Ｅ
　３４　　　（６）　　　Ｐ＆～Ｐ　　　４５＆Ｉ
　　４　　　（７）～（～Ｐ＆～Ｑ）　　３６ＲＡＡ
　　　８　　（８）　　　　　　Ｑ　　　Ａ
　３　　　　（９）　　　　　～Ｑ　　　３＆Ｅ
　３　８　　（ア）　　　Ｑ＆～Ｑ　　　８９＆Ｉ
　　　８　　（イ）～（～Ｐ＆～Ｑ）　　３アＲＡＡ
１　　　　　（ウ）～（～Ｐ＆～Ｑ）　　１４７８イ∨Ｅ
　　　　エ　（エ）　　～Ｐ　　　　　　Ａ
　　　　　オ（オ）　　　　　～Ｑ　　　Ａ
　　　　エオ（カ）　　～Ｐ＆～Ｑ　　　エオ＆Ｉ
１　　　エオ（キ）～（～Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　　　　（～Ｐ＆～Ｑ）　　７カ＆Ｉ
１　　　エ　（ク）　　　　～～Ｑ　　　オキＲＡＡ
１　　　エ　（ケ）　　　　　　Ｑ　　　クＤＮ
１　　　　　（コ）　　　～Ｐ→Ｑ　　　エケＣＰ（含意の定義）
従って、
（03）により、
（04）
① 　Ｐ
② 　Ｐ∨Ｑ（選言導入の規則）
③ ～Ｐ→Ｑ（含意の定義）
において、
① ならば、② であって、尚且つ、
① ならば、③ である。
従って、
（04）により、
（05）
Ｐ＝チャールズＩ世は斬罪に処せられた。
Ｑ＝チャールズＩ世は電気椅子に送られた。
であるとして、
① チャールズＩ世は斬罪に処せられた。
② チャールズＩ世は斬罪に処せられなかったならば、チャールズＩ世は電気椅子に送られた。
において、
① ならば、② である。
然るに、
（06）
① チャールズＩ世は斬罪に処せられた。
② チャールズＩ世は斬罪に処せられなかったら、チャールズＩ世は電気椅子に送られた。
というのであれば、
① チャールズＩ世は斬罪に処せられなかった。
② チャールズＩ世は斬罪に処せられなかったならば、チャールズＩ世は電気椅子に送られた。
ということには、ならないため、
③ チャールズＩ世は電気椅子に送られた。
ということには、ならない。
従って、
（05）（06）により、
（07）
① チャールズＩ世は斬罪に処せられた。
② チャールズＩ世は斬罪に処せられなかったならば、チャールズＩ世は電気椅子に送られた。
において、
① ならば、② である。
としても、「（実質的に、）問題は無い」。
然るに、
（08）
１　　（１）∀ｘ｛犯人ｘ→男性ｘ＆左利きｘ｝　Ａ
　２　（２）∃ｘ（ｘ＝鈴木＆～左利きｘ）　　　Ａ
１　　（３）　　　犯人ａ→男性ａ＆左利きａ　　１ＵＥ
　　４（４）　　　ａ＝鈴木＆～左利きａ　　　　Ａ
　　４（５）　　　ａ＝鈴木　　　　　　　　　　４＆Ｅ
　　４（６）　　　　　　　　～左利きａ　　　　４＆Ｅ
　　４（７）　　　～男性ａ∨～左利きａ　　　　６∨Ｉ
　　４（８）　　　～（男性ａ＆左利きａ）　　　７ド・モルガンの法則
１　４（９）　　～犯人ａ　　　　　　　　　　　３８ＭＴＴ
１　４（ア）　　　ａ＝鈴木＆～犯人ａ　　　　　５９＆Ｉ
１　４（イ）∃ｘ（ｘ＝鈴木＆～犯人ｘ）　　　　アＥＩ
１２　（ウ）∃ｘ（ｘ＝鈴木＆～犯人ｘ）　　　　２４ＥＥ
〔注〕鈴木は、「述語」ではなく「固有名（proper name）」。
従って、
（08）により、
（09）
（ⅰ）∀ｘ｛犯人ｘ→男性ｘ＆左利きｘ｝。然るに、
（ⅱ）∃ｘ（ｘ＝鈴木＆～左利きｘ）。　　従って、
（ⅲ）∃ｘ（ｘ＝鈴木＆～犯人ｘ）。
という「推論」、すなわち、
（ⅰ）すべてのｘについて｛ｘが犯人であるならば、ｘは男性であって、左利きである｝。然るに、
（ⅱ）あるｘは（鈴木であって、左利きではない）。従って、
（ⅲ）あるｘは（鈴木であって、犯人ではない）。
という「推論」、すなわち、
（ⅰ）犯人は、男性であって、左利きである。然るに、
（ⅱ）鈴木は、男性で有り得たとしても、右利きである。従って、
（ⅲ）鈴木は、男性であっても、女性であっても、犯人ではない。
という「推論」は、「妥当」である。
従って、
（08）（09）により、
（10）
１　　（１）∀ｘ｛犯人ｘ→男性ｘ＆左利きｘ｝　Ａ
　２　（２）∃ｘ（ｘ＝鈴木＆～左利きｘ）　　　Ａ
１　　（３）　　　犯人ａ→男性ａ＆左利きａ　　１ＵＥ
　　４（４）　　　ａ＝鈴木＆～左利きａ　　　　Ａ
　　４（５）　　　ａ＝鈴木　　　　　　　　　　４＆Ｅ
　　４（６）　　　　　　　　～左利きａ　　　　４＆Ｅ
　　４（７）　　　～男性ａ∨～左利きａ　　　　６∨Ｉ
　　４（８）　　　～（男性ａ＆左利きａ）　　　７ド・モルガンの法則
１　４（９）　　～犯人ａ　　　　　　　　　　　３８ＭＴＴ
１　４（ア）　　　ａ＝鈴木＆～犯人ａ　　　　　５９＆Ｉ
１　４（イ）∃ｘ（ｘ＝鈴木＆～犯人ｘ）　　　　アＥＩ
１２　（ウ）∃ｘ（ｘ＝鈴木＆～犯人ｘ）　　　　２４ＥＥ
という「述語計算（predicate calculus）」は、明らかに「妥当」である。
従って、
（10）により、
（11）
　　４（７）　　　～男性ａ∨～左利きａ　　　　６∨Ｉ
という「選言導入（∨Ｉ）」は、「妥当」である。
従って、
（08）～（11）により、
（12）
　　４（７）　　　～男性ａ∨～左利きａ　　　　６∨Ｉ
という「選言導入（∨Ｉ）」は、「妥当」でないとするならば、
（ⅰ）犯人は、男性であって、左利きである。然るに、
（ⅱ）鈴木は、いずれにせよ、右利きである。従って、
（ⅲ）鈴木は、犯人ではない。
という「推論」は、「（述語論理としては）妥当」ではない。
従って、
（01）（12）により、
（13）
例えば、
（ⅰ）犯人は、男性であって、左利きである。然るに、
（ⅱ）鈴木は、いずれにせよ、右利きである。従って、
（ⅲ）鈴木は、犯人ではない。
という「推論」が、「（述語論理としても）妥当」である。
とするならば、
Ｖ－導入（選言導入）の規則は∨Ｉと名づけられる．任意の命題が前提として与えられたならば、∨Ｉは、その命題と任意の命題との選言を結論として導出することを許す。従って、前提としてのＰから、ＰＶＱを結論として、あるいはＱ∨Ｐを結論として導出することができる。またこの場合、Ｑがどのような命題であるかは問うところではない。明らかに、ＶＩの適用においては、一般に結論は前提より遙かに力が弱い。すなわち、Ｐが真でないときでも、ＰあるいはＱは真でありうる。それにもかかわらず、この規則は、Ｐが真であるときには、ＰあるいはＱもまた真でなければならない、という意味において受けいれられるのである。たとえば、チャールズＩ世が斬罪に処せられたということは真である。このことから、彼は斬罪に処せられたかあるいは電気椅子に送られたかであるということが、もちろん彼は電気椅子に送られなかったにもかかわらず、導かれるのである。選言Ｐ∨Ｑは、その選言項の少なくとも１つが真であるならば真である。従って規則∨Ｉは、真なる前提から偽なる結論へ導くことはありえない（退屈な結論へ導くことはあるとしても）。
という「規則」を、「除くこと」は、「出来ない」。
令和７年７月１８日、毛利太。