「（分かり易い）含意の定義」です。

（01）

０	１	２	３
～Ｐ＆～Ｑ	～Ｐ＆　Ｑ	Ｐ＆～Ｑ	Ｐ＆　Ｑ

において、

～（　Ｐ＆～Ｑ）≡（（Ｐであって、Ｑでない）ということはない。）であるとすると、

０	１	２	３
～Ｐ＆～Ｑ	～Ｐ＆　Ｑ		Ｐ＆　Ｑ

となって、

① 　Ｐに関しては、（　Ｐ＆　Ｑ）だけが残り、

② ～Ｑに関しては、（～Ｐ＆～Ｑ）だけが残り、

➂ ～Ｐに関しては、（～Ｐ＆～Ｑ）と（～Ｐ＆　Ｑ）が残り、

④ 　Ｑに関しては、（～Ｐ＆　Ｑ）と（　Ｐ＆　Ｑ）が残る。

従って、（01）により、

（02）

①（～（　Ｐ＆～Ｑ）＆　Ｐ）⇒　Ｑ であって（順）、

②（～（　Ｐ＆～Ｑ）＆～Ｑ）⇒～Ｑ であって（対偶）、

➂（～（　Ｐ＆～Ｑ）＆～Ｐ）⇒～Ｑ であるか、または、Ｑであり（裏）、

④（～（　Ｐ＆～Ｑ）＆　Ｑ）⇒～Ｐ であるか、または、Ｐである（逆）。

（03）

①（（Ｐ→Ｑ）＆　Ｐ）⇒　Ｑ であって（順）、

②（（Ｐ→Ｑ）＆～Ｑ）⇒～Ｑ であって（対偶）、

➂（（Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ）⇒～Ｑ であるか、または、Ｑであり（裏）、

④（（Ｐ→Ｑ）＆　Ｑ）⇒～Ｐ であるか、または、Ｐである（逆）。

（04）

０	１	２	３
～Ｐ＆～Ｑ	～Ｐ＆　Ｑ	Ｐ＆～Ｑ	Ｐ＆　Ｑ

において、

～（　Ｐ＆～Ｑ）＆～（　Ｑ＆～Ｐ）≡（Ｐならば、その時に限ってＱである）とすると、

０	１	２	３
～Ｐ＆～Ｑ			Ｐ＆　Ｑ

①（～（　Ｐ＆～Ｑ）＆～（　Ｑ＆～Ｐ）＆　Ｐ）⇒　Ｑであって、

②（～（　Ｐ＆～Ｑ）＆～（　Ｑ＆～Ｐ）＆～Ｑ）⇒～Ｐであって、

➂（～（　Ｐ＆～Ｑ）＆～（　Ｑ＆～Ｐ）＆～Ｐ）⇒～Ｑであって、

④（～（　Ｐ＆～Ｑ）＆～（　Ｑ＆～Ｐ）＆　Ｑ）⇒　Ｐである。

従って、

（0５）

①（（Ｐ⇔Ｑ）＆　Ｐ）⇒　Ｑ であって（順　）、

②（（Ｐ⇔Ｑ）＆～Ｑ）⇒～Ｑ であって（対偶）、

➂（（Ｐ⇔Ｑ）＆～Ｐ）⇒～Ｑ であって（裏　）、

④（（Ｐ⇔Ｑ）＆　Ｑ）⇒　Ｐ である （逆）。

「対偶と逆」について。

（01）

「含意の定義」と、「交換法則」により、

①　Ｐであるならば、Ｑである。 ②（Ｐであって、　　Ｑでない）ということは無い。 ③（Ｑでなくて、　　Ｐである）ということも無い。 ④　Ｑでないならば、Ｐでない。

において、①＝②、②＝③、③＝➃ である。∵

１　　　（１）　　Ｐ→　Ｑ　　　Ａ 　２　　（２）　　Ｐ＆～Ｑ　　　Ａ 　２　　（３）　　Ｐ　　　　　　２＆Ｅ １２　　（４）　　　　　Ｑ　　　１３ＭＰＰ 　２　　（５）　　　　～Ｑ　　　２＆Ｅ １２　　（６）　　Ｑ＆～Ｑ　　　４５＆Ｉ １　　　（７）～（Ｐ＆～Ｑ）　　２６ＲＡＡ １　　　（８）～（～Ｑ＆Ｐ）　　７交換法則 　　９　（９）　　～Ｑ　　　　　Ａ 　　　ア（ア）　　　　　Ｐ　　　Ａ 　　９ア（イ）　　～Ｑ＆Ｐ　　　９ア＆Ｉ １　９ア（ウ）～（～Ｑ＆Ｐ）＆ 　　　　　　　　（～Ｑ＆Ｐ）　　７ア＆Ｉ １　８　（エ）　　　　～Ｐ　　　アウＲＡＡ １　　　（オ）　～Ｑ→～Ｐ　　　８エＣＰ

従って、

（01）により、

（02）

「含意の定義」が、「正しく」、 「交換法則」　も、「正しい」とすると、

①　Ｐであるならば、Ｑである。 ④　Ｑでないならば、Ｐでない。

という「対偶」は、「常に等しい」が、

①　Ｐであるならば、Ｑである。 ④　Ｑであるならば、Ｐである。

という「逆」は、「そうではない」。

すなわち、

（03）

「交換法則」により、

②（Ｐであって、　　Ｑでない）ということは無い。 ③（Ｑでなくて、　　Ｐである）ということも無い。

の場合は、②＝③ ではあるが、よく見ると、

②（Ｐであって、　　Ｑでない）ということは無い。 ③（Ｑであって、　　Ｐでない）ということも無い。

の場合は、②＝③ ではない。

従って、

（01）（02）（03）により、

（04）

①　Ｐであるならば、Ｑである。 ④　Ｑであるならば、Ｐである。

において、①＝➃ ではない。

従って、

（02）（04）により、

（05）

「含意の定義」が、「正しく」、 「交換法則」　も、「正しい」とすると、

①　Ｐであるならば、Ｑである。 ④　Ｑでないならば、Ｐでない。

という「対偶」は、「常に等しい」が、

①　Ｐであるならば、Ｑである。 ④　Ｑであるならば、Ｐである。

という「逆」は、「そうではない」。

従って、

（01）～（05）により、

（06）

「含意の定義」が、「正しく」、 「交換法則」　も、「正しい」とすると、

「逆」は、「必ずしも、真ではない」。