返り点に対する「括弧」の用法。: 2月 2024

2024年2月26日月曜日

「ド・モルガンの法則（命題変数が３つで、∨と∧が混在する場合）」。

（01）　― 次に示す通り、例へば、― ① 　　　Ｐ∨　Ｑ ② 　　￢Ｐ∧￢Ｑ ③　　　Ｐ∨　Ｑ∨　Ｒ ④ ￢（￢Ｐ∧￢Ｑ∧￢Ｒ） ⑤　　￢Ｐ∧　Ｑ∨￢Ｒ　 ⑥ ￢（　Ｐ∨￢Ｑ∧　Ｒ）に於いて、 ①＝② である。 ③＝④ である。 ⑤＝⑥ である。（02）（ⅰ）１　　　（１）　　　Ｐ∨　Ｑ　　Ａ　２　　（２）　　￢Ｐ∧￢Ｑ　　Ａ　　３　（３）　　　Ｐ　　　　　Ａ　２　　（４）　　￢Ｐ　　　　　２∧Ｅ　２３　（５）　　　Ｐ∧￢Ｐ　　３４∧Ｉ　　３　（６）￢（￢Ｐ∧￢Ｑ）　２５ＲＡＡ　　　７（７）　　　　　　Ｑ　　Ａ　２　　（８）　　　　　￢Ｑ　　２∧Ｅ　２　７（９）　　　Ｑ∧￢Ｑ　　７８∧Ｉ　　　７（ア）￢（￢Ｐ∧￢Ｑ）　２９ＲＡＡ１　　　（イ）￢（￢Ｐ∧￢Ｑ）　１３６７ア∨Ｅ（ⅱ）１　　　（１）￢（￢Ｐ∧￢Ｑ）　　Ａ　２　　（２）　￢（Ｐ∨　Ｑ）　　Ａ　　３　（３）　　　Ｐ　　　　　　Ａ　　３　（４）　　　Ｐ∨　Ｑ　　　３∨Ｉ　２３　（５）　￢（Ｐ∨　Ｑ）∧ 　　　　　　　　　（Ｐ∨　Ｑ）　　２４∧Ｉ　２　　（６）　　￢Ｐ　　　　　　３５ＲＡＡ　　　７（７）　　　　　　Ｑ　　　Ａ　　　７（８）　　　Ｐ∨　Ｑ　　　７∨Ｉ　２　７（９）　￢（Ｐ∨　Ｑ）∧ 　　　　　　　　　（Ｐ∨　Ｑ）　　２８∧Ｉ　２　　（ア）　　　　　￢Ｑ　　　７９ＲＡＡ　２　　（イ）　　￢Ｐ∧￢Ｑ　　　６ア∧Ｉ１２　　（ウ）￢（￢Ｐ∧￢Ｑ）∧ 　　　　　　　　（￢Ｐ∧￢Ｑ）　　１イ∧Ｉ１　　　（エ）￢￢（Ｐ∨　Ｑ）　　２ウＲＡＡ１　　　（オ）　　　Ｐ∨　Ｑ　　　エＤＮ従って、（02）により、（03） ① 　　　Ｐ∨　Ｑ ② ￢（￢Ｐ∧￢Ｑ）により、 ①＝② である（命題変数が２つである場合の、ド・モルガンの法則）。（04）（ⅲ）１　　　　　（１）　　　Ｐ∨　Ｑ∨　Ｒ　　　Ａ　２　　　　（２）　　￢Ｐ∧￢Ｑ∧￢Ｒ　　　Ａ１　　　　　（３）　　（Ｐ∨　Ｑ）∨Ｒ　　　１結合法則　　４　　　（４）　　（Ｐ∨　Ｑ）　　　　　Ａ　　　５　　（５）　　　Ｐ　　　　　　　　　Ａ　２　　　　（６）　　￢Ｐ　　　　　　　　　２∧Ｅ　２　５　　（７）　　　Ｐ∧￢Ｐ　　　　　　５６∧Ｉ　　　５　　（８）￢（￢Ｐ∧￢Ｑ∧￢Ｒ）　　２７ＲＡＡ　　　　９　（９）　　　　　　Ｑ　　　　　　Ａ　２　　　　（ア）　　　　　￢Ｑ　　　　　　２∧Ｅ　２　　９　（イ）　　　Ｑ∧￢Ｑ　　　　　　９ア∧Ｉ　　　　９　（ウ）￢（￢Ｐ∧￢Ｑ∧￢Ｒ）　　２９ＲＡＡ　　４　　　（エ）￢（￢Ｐ∧￢Ｑ∧￢Ｒ）　　４５８９ウ∨Ｅ　　　　　オ（オ）　　　　　　　　　Ｒ　　　Ａ　２　　　　（カ）　　　　　　　　￢Ｒ　　　２∧Ｅ　２　　　オ（キ）　　　　　　Ｒ∧￢Ｒ　　　オカ∧Ｉ　　　　　オ（ク）￢（￢Ｐ∧￢Ｑ∧￢Ｒ）　　２キＲＡＡ１　　　　　（ケ）￢（￢Ｐ∧￢Ｑ∧￢Ｒ）　　３４エオク∨Ｅ１２　　　　（コ）￢（￢Ｐ∧￢Ｑ∧￢Ｒ）∧ 　　　　　　　　　　（￢Ｐ∧￢Ｑ∧￢Ｒ）　　２ケ∧Ｉ１　　　　　（サ）￢（￢Ｐ∧￢Ｑ∧￢Ｒ）　　２コＲＡＡ（ⅳ）１　　　　（１）　￢（￢Ｐ∧￢Ｑ∧￢Ｒ）　　Ａ　２　　　（２）　￢（　Ｐ∨　Ｑ∨　Ｒ）　　Ａ　　３　　（３）　　　　Ｐ　　　　　　　　　Ａ　　３　　（４）　　　　Ｐ∨　Ｑ　　　　　　３∨Ｉ　　３　　（５）　　　　Ｐ∨　Ｑ∨　Ｒ　　　３４∨Ｉ　２３　　（６）　￢（　Ｐ∨　Ｑ∨　Ｒ）∧ 　　　　　　　　　　（　Ｐ∨　Ｑ∨　Ｒ）　　２５∧Ｉ　２　　　（７）　　　￢Ｐ　　　　　　　　　３６ＲＡＡ　　　８　（８）　　　　　　　Ｑ　　　　　　Ａ　　　８　（９）　　　　Ｐ∨　Ｑ　　　　　　８∨Ｉ　　　８　（ア）　　　　Ｐ∨　Ｑ∨　Ｒ　　　９∨Ｉ　２　８　（イ）　￢（　Ｐ∨　Ｑ∨　Ｒ）∧ 　　　　　　　　　　（　Ｐ∨　Ｑ∨　Ｒ）　　２ア∧Ｉ　２　　　（ウ）　　　　　　￢Ｑ　　　　　　８イ∧Ｉ　２　　　（エ）　　　￢Ｐ∧￢Ｑ　　　　　　７ウ∧Ｉ　　　　オ（オ）　　　　　　　　　　Ｒ　　　Ａ　　　　オ（カ）　　　　　　　Ｑ∨　Ｒ　　　オ∨Ｉ　　　　オ（キ）　　　　Ｐ∨　Ｑ∨　Ｒ　　　∨Ｉ　２　　オ（ク）　￢（　Ｐ∨　Ｑ∨　Ｒ）∧ 　　　　　　　　　　（　Ｐ∨　Ｑ∨　Ｒ）　　２キ∧Ｉ　２　　　（ケ）　　　　　　　　　￢Ｒ　　　オクＲＡＡ　２　　　（コ）　　　￢Ｐ∧￢Ｑ∧￢Ｒ　　　エケ∧Ｉ１２　　　（サ）　￢（￢Ｐ∧￢Ｑ∧￢Ｒ）∧ 　　　　　　　　　　（￢Ｐ∧￢Ｑ∧￢Ｒ）　　１コ∧Ｉ１　　　　（シ）￢￢（　Ｐ∨　Ｑ∨　Ｒ）　　２サＲＡＡ１　　　　（ス）　　（　Ｐ∨　Ｑ∨　Ｒ）　　シＤＮ従って、（04）により、（05） ③　　　Ｐ∨　Ｑ∨　Ｒ ④ ￢（￢Ｐ∧￢Ｑ∧￢Ｒ）に於いて、 ③＝④ である（命題変数が３つである場合の、ド・モルガンの法則）。然るに、（06）（ⅴ）１　　　　　　　（１）　　￢Ｐ∧　Ｑ　∨￢Ｒ　　　Ａ　２　　　　　　（２）　　　Ｐ∨￢Ｑ　∧　Ｒ　　　Ａ１　　　　　　　（３）　（￢Ｐ∧　Ｑ）∨￢Ｒ　　　１結合法則　２　　　　　　（４）　（　Ｐ∨￢Ｑ）∧　Ｒ　　　２結合法則　　５　　　　　（５）　（￢Ｐ∧　Ｑ）　　　　　　Ａ　２　　　　　　（６）　（　Ｐ∨￢Ｑ）　　　　　　４∧Ｅ　　５　　　　　（７）　　￢Ｐ　　　　　　　　　　５∧Ｅ　　　８　　　　（８）　　　Ｐ　　　　　　　　　　Ａ　　５８　　　　（９）　　￢Ｐ∧Ｐ　　　　　　　　７８∧Ｉ　　　８　　　　（ア）￢（￢Ｐ∧　Ｑ）　　　　　　５９ＲＡＡ　　５　　　　　（イ）　　　　　　Ｑ　　　　　　　５∧Ｅ　　　　ウ　　　（ウ）　　　　　￢Ｑ　　　　　　　Ａ　　５　ウ　　　（エ）　　　Ｑ∧￢Ｑ　　　　　　　イウ∧Ｉ　　　　ウ　　　（オ）￢（￢Ｐ∧　Ｑ）　　　　　　５エＲＡＡ　２　　　　　　（カ）￢（￢Ｐ∧　Ｑ）　　　　　　２８アウオ∨Ｅ　　　　　キ　　（キ）　　　　　　　　　￢Ｒ　　　Ａ　２　　　　　　（ク）　　　　　　　　　　Ｒ　　　４∧Ｅ　２　　　キ　　（ケ）　　　　　　　￢Ｒ∧Ｒ　　　キク∧Ｉ　２　　　　　　（コ）　　　　　　　　￢￢Ｒ　　　キケＤＮ　２　　　　　　（サ）　　　　　　　　　　Ｒ　　　コＤＮ　２　　　　　　（シ）￢（￢Ｐ∧　Ｑ）∧　Ｒ　　　カサ∧Ｉ　　　　　　ス　（ス）　（￢Ｐ∧　Ｑ）　　　　　　Ａ（３の選言項左）　２　　　　　　（セ）￢（￢Ｐ∧　Ｑ）　　　　　　シ∧Ｅ　２　　　　ス　（ソ）　（￢Ｐ∧　Ｑ）∧ 　　　　　　　　　　　￢（￢Ｐ∧　Ｑ）　　　　　　スセ∧Ｉ　　　　　　ス　（タ）　￢（Ｐ∨￢Ｑ　∧　Ｒ）　　２ソＲＡＡ　　　　　　　チ（チ）　　　　　　　　　￢Ｒ　　　Ａ（３の選言項右）　２　　　　　　（ツ）　　　　　　　　　　Ｒ　　　シ∧Ｅ　２　　　　　チ（テ）　　　　　　　￢Ｒ∧Ｒ　　　チツ∧Ｉ　　　　　　　チ（ト）　￢（Ｐ∨￢Ｑ　∧　Ｒ）　　２テＲＡＡ１　　　　　　　（ナ）　￢（Ｐ∨￢Ｑ　∧　Ｒ）　　３スタチト∨Ｅ１２　　　　　　（ニ）　￢（Ｐ∨￢Ｑ　∧　Ｒ）∧ 　　　　　　　　　　　　　（Ｐ∨￢Ｑ　∧　Ｒ）　　２ナ∧Ｉ１　　　　　　　（ヌ）　￢（Ｐ∨￢Ｑ　∧　Ｒ）　　２ニＲＡＡ（ⅵ）１　　　　　　　（１）　　￢（Ｐ∨￢Ｑ　∧　Ｒ）　　Ａ１　　　　　　　（２）　￢（（Ｐ∨￢Ｑ）∧　Ｒ）　　１結合法則　３　　　　　　（３）　￢（￢Ｐ∧　Ｑ　∨￢Ｒ）　　Ａ　３　　　　　　（４）￢（（￢Ｐ∧　Ｑ）∨￢Ｒ）　　３結合法則　　５　　　　　（５）　　（￢Ｐ∧　Ｑ）　　　　　　Ａ　　５　　　　　（６）　　（￢Ｐ∧　Ｑ）∨￢Ｒ　　　５∨Ｉ　３５　　　　　（７）￢（（￢Ｐ∧　Ｑ）∨￢Ｒ）∧ 　　　　　　　　　　　　（（￢Ｐ∧　Ｑ）∨￢Ｒ）　　４６∧Ｉ　３　　　　　　（８）　￢（￢Ｐ∧　Ｑ）　　　　　　５７ＲＡＡ　　　９　　　　（９）　　￢（Ｐ∨￢Ｑ）　　　　　　Ａ　　　　ア　　　（ア）　　　　Ｐ　　　　　　　　　　Ａ　　　　ア　　　（イ）　　　　Ｐ∨￢Ｑ　　　　　　　ア∨Ｉ　　　９ア　　　（ウ）　　￢（Ｐ∨￢Ｑ）∧ 　　　　　　　　　　　　　　（Ｐ∨￢Ｑ）　　　　　　９イ∧Ｉ　　　９　　　　（エ）　　　￢Ｐ　　　　　　　　　　アウＲＡＡ　　　　　オ　　（オ）　　　　　　￢Ｑ　　　　　　　Ａ　　　　　オ　　（カ）　　　　Ｐ∨￢Ｑ　　　　　　　オ∨Ｉ　　　９　オ　　（キ）　　￢（Ｐ∨￢Ｑ）∧ 　　　　　　　　　　　　　　（Ｐ∨￢Ｑ）　　　　　　９カ∧Ｉ　　　９　　　　（ク）　　　　　￢￢Ｑ　　　　　　　オキＲＡＡ　　　９　　　　（ケ）　　　　　　　Ｑ　　　　　　　クＤＮ　　　９　　　　（コ）　　　￢Ｐ∧　Ｑ　　　　　　　エケ∧Ｉ　３　９　　　　（サ）　￢（￢Ｐ∧　Ｑ）∧ 　　　　　　　　　　　　　（￢Ｐ∧　Ｑ）　　　　　　８コ∧Ｉ　３　　　　　　（シ）　￢￢（Ｐ∨￢Ｑ）　　　　　　９サＲＡＡ　３　　　　　　（ス）　　　（Ｐ∨￢Ｑ）　　　　　　シＤＮ　　　　　　セ　（セ）　　　　　　　　　　￢Ｒ　　　Ａ　　　　　　セ　（ソ）　　（￢Ｐ∧　Ｑ）∨￢Ｒ　　　セ∨Ｉ　３　　　　セ　（タ）￢（（￢Ｐ∧　Ｑ）∨￢Ｒ）∧ 　　　　　　　　　　　　（（￢Ｐ∧　Ｑ）∨￢Ｒ　　　３ソ∧Ｉ　３　　　　　　（チ）　　　　　　　　　￢￢Ｒ　　　セタＲＡＡ　３　　　　　　（ツ）　　　　　　　　　　　Ｒ　　　チＤＮ　３　　　　　　（テ）　　　（Ｐ∨￢Ｑ）∧　Ｒ　　　スツ∧Ｉ１３　　　　　　（ト）　　￢（Ｐ∨￢Ｑ　∧　Ｒ）　　１テ∧Ｉ１　　　　　　　（ナ）￢￢（￢Ｐ∧　Ｑ　∨￢Ｒ）　　３トＲＡＡ１　　　　　　　（ニ）　　（￢Ｐ∧　Ｑ　∨￢Ｒ）　　ナＤＮ従って、（06）により、（07） ⑤　　￢Ｐ∧　Ｑ∨￢Ｒ　 ⑥ ￢（　Ｐ∨￢Ｑ∧　Ｒ）に於いて、 ⑤＝⑥ である（命題変数が３つで、∨と∧が混在する場合のド・モルガンの法則）。然るに、（07）により、（08）特に、（ⅵ）の「計算」は、途中で、自分でも「何をやってゐるのか」分からなくなるくらひ、「メチャクチャ、めんどくさい」。然るに、（09）（ⅵ）の「計算」も、「ド・モルガンの法則」を用ひて良いのであれば、（ⅵ）１　　　　　　　（１）　￢（Ｐ∨￢Ｑ　∧　Ｒ）　　Ａ１　　　　　　　（２）￢（（Ｐ∨￢Ｑ）∧　Ｒ）　　１結合法則１　　　　　　　（３）　￢（Ｐ∨￢Ｑ）∨￢Ｒ　　　２（２項によるド・モルガンの法則）　４　　　　　　（４）　￢（Ｐ∨￢Ｑ）　　　　　　Ａ　４　　　　　　（５）　　￢Ｐ∧　Ｑ　　　　　　　４（２項によるド・モルガンの法則）　４　　　　　　（６）　　￢Ｐ∧　Ｑ∨　￢Ｒ　　　５∨Ｉ　　７　　　　　（７）　　　　　　　　　￢Ｒ　　　Ａ　　７　　　　　（８）　　￢Ｐ∧　Ｑ∨　￢Ｒ　　　７∨Ｉ１　　　　　　　（９）　　￢Ｐ∧　Ｑ∨　￢Ｒ　　　３４６７８∨Ｅといふ具合に、「メチャクチャ、簡単である」。（10）　― お知らせ ― しばらく（１週間、あるいは、２週間、あるいは、３週間ほど？）、ブログを、休みます。令和６年２月２６日、毛利太。

2024年2月25日日曜日

「象の鼻が長い」の「述語論理」。

（01） ①｛象の鼻、兎の鼻、馬の鼻｝ ②｛象の耳、兎の耳、馬の耳｝ ③｛象の耳、兎の耳、馬の耳｝であるならば、 ① 鼻に関しては、象の鼻は長く、象以外（兎と馬）の鼻は長くはない。 ② 耳に関しては、兎の耳は長く、兎以外（象と馬）の耳は長くはない。 ③ 顏に関しては、馬の顔は長く、馬以外（象と兎）の顔は長くはない。といふ「命題」は「真」である。然るに、（02） ① 鼻に関しては、象の鼻は長く、象以外（兎と馬）の鼻は長くはない。 ② 耳に関しては、兎の耳は長く、兎以外（象と馬）の耳は長くはない。 ③ 顏に関しては、馬の顔は長く、馬以外（象と兎）の顔は長くはない。といふことは、要するに、 ① 鼻は象が長い。 ② 耳は兎が長い。 ③ 顔は馬が長い。といふ、ことである。従って、（01）（02）により、（03）「番号」を付け替へるとして、 ① 鼻は象が長い。 ② 鼻に関しては、象の鼻は長く、象以外（兎と馬）の鼻は長くはない。に於いて、 ①＝② である。然るに、（04） ①｛象の鼻、兎の鼻、馬の鼻｝ ②｛象の耳、兎の耳、馬の耳｝ ③｛象の耳、兎の耳、馬の耳｝といふ「３つの集合」ではなく、 ①｛象の鼻、兎の鼻、馬の鼻｝といふ「１つの集合」だけに「注目」するならば、 ① 象の鼻が長い。 ② 象の鼻は長く、象以外（兎と馬）の鼻は長くはない。に於いて、 ①＝② である。従って、（01）～（04）により、（05） ①｛象、兎、馬｝といふ「集合」の、 ①｛象の鼻、兎の鼻、馬の鼻｝といふ「部分集合」に「注目」すれば、 ① 象の鼻が長い。といふことになり、 ①｛象、兎、馬｝といふ「集合」の、 ①｛象の鼻、兎の鼻、馬の鼻｝ ②｛象の耳、兎の耳、馬の耳｝ ③｛象の耳、兎の耳、馬の耳｝といふ「部分集合」に「注目」すれば、 ② 鼻は象が長い。といふことになる。従って、（06） ① 象の鼻が長い。 ② 鼻は象が長い。といふ「日本語」は、「命題」としては、両方とも、 ③ 象の鼻は長く、象の鼻以外（兎の鼻、馬の鼻）は長くない。といふ「意味」になる。然るに、（07） ① ∀ｙ∃ｘ｛（象ｘ＆鼻ｙｘ）→長ｙ＆（～象ｘ＆鼻ｙｘ）→～長ｙ｝。 ② ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ＆（～象ｙ＆鼻ｘｙ）→～長ｘ｝。といふ「述語論理」の「読み方（意味）」は、 ① すべてのｙとあるｘについて｛（ｘが象であって、ｙがｘの鼻である）ならば、ｙは長く、（ｘが象でなくて、ｙがｘの鼻である）ならば、ｙは長くない｝。 ② すべてのｘとあるｙについて｛（ｘがｙの鼻であって、ｙが象である）ならば、ｘは長く、（ｙが象でなくて、ｘがｙの鼻である）ならば、ｘは長くない｝。となるものの、この場合は、「語順が異なる」だけで、「真理値」からすれば、 ①＝② である。従って、（06）（07）により、（08） ① 象の鼻が長い。 ② 鼻は象が長い。といふ「日本語」は、それぞれ、 ① ∀ｙ∃ｘ｛（象ｘ＆鼻ｙｘ）→長ｙ＆（～象ｘ＆鼻ｙｘ）→～長ｙ｝。 ② ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ＆（～象ｙ＆鼻ｘｙ）→～長ｘ｝。といふ「述語論理式」に、「対応」する。然るに、（09）１　　　　　　　（１）∀ｙ∃ｘ｛（象ｘ＆鼻ｙｘ）→長ｙ＆（～象ｘ＆鼻ｙｘ）→～長ｙ｝　Ａ１　　　　　　　（２）　　∃ｘ｛（象ｘ＆鼻ｂｘ）→長ｂ＆（～象ｘ＆鼻ｂｘ）→～長ｂ｝　１ＵＥ　３　　　　　　（３）　　　　　（象ａ＆鼻ｂａ）→長ｂ＆（～象ａ＆鼻ｂａ）→～長ｂ　　Ａ）　３　　　　　　（４）　　　　　　　　　　　　　　　　　（～象ａ＆鼻ｂａ）→～長ｂ　　３＆Ｅ　　５　　　　　（５）　　∀ｘ｛（兎ｘ→～象ｘ）＆∃ｙ（鼻ｙｘ）｝　　　　　　　　　　Ａ　　５　　　　　（６）　　　　　（兎ａ→～象ａ）＆∃ｙ（鼻ｙａ）　　　　　　　　　　　５ＵＥ　　５　　　　　（７）　　　　　　兎ａ→～象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　６＆Ｅ　　５　　　　　（８）　　　　　　　　　　　　　　∃ｙ（鼻ｙａ）　　　　　　　　　　　６＆Ｅ　　　９　　　　（９）　　　　　　　　　　　　　　　　　鼻ｂａ　　　　　　　　　　　　Ａ　　　　ア　　　（ア）　　　　　　兎ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ　　５　ア　　　（イ）　　　　　　　　　～象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　７アＭＰＰ　　５９ア　　　（ウ）　　　　　　　　　～象ａ＆鼻ｂａ　　　　　　　　　　　　　　　　９イ＆Ｉ　３５９ア　　　（エ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～長ｂ　　４ウＭＰＰ　３５９ア　　　（オ）　　　　　　　　　　　　　　　　　鼻ｂａ＆～長ｂ　　　　　　　　９エ＆Ｉ　３５９ア　　　（カ）　　　　　　　　　　　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆～長ｂ）　　　　　　　オＥＩ　３５　ア　　　（キ）　　　　　　　　　　　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆～長ｂ）　　　　　　　８９カＥＥ３５　　　　　（ク）　　　　　　　　　　　兎ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆～長ｂ）　　　　　　　アキＣＰ１　５　　　　　（ケ）　　　　　　　　　　　兎ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆～長ｂ）　　　　　　　２３クＥＥ　　　　　コ　　（コ）　　　　　　　　∃ｘ｛兎ｘ＆∀ｙ（鼻ｙｘ→　長ｙ）｝　　　　　　Ａ　　　　　　サ　（サ）　　　　　　　　　　　兎ａ＆∀ｙ（鼻ｙａ→　長ｙ）　　　　　　　Ａ　　　　　　サ　（シ）　　　　　　　　　　　兎ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　サ＆Ｅ　　　　　　サ　（ス）　　　　　　　　　　　　　　∀ｙ（鼻ｙａ→　長ｙ）　　　　　　　サ＆Ｅ　　　　　　サ　（セ）　　　　　　　　　　　　　　　　　鼻ｂａ→　長ｂ　　　　　　　　スＵＥ１　５　　　サ　（ソ）　　　　　　　　　　　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆～長ｂ）　　　　　　　ケシＭＰＰ　　　　　　　タ（タ）　　　　　　　　　　　　　　　　　鼻ｂａ＆～長ｂ　　　　　　　　Ａ　　　　　　　タ（チ）　　　　　　　　　　　　　　　　　鼻ｂａ　　　　　　　　　　　　タ＆Ｅ　　　　　　　タ（ツ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～長ｂ　　　　　　　　タ＆Ｅ　　　　　　サタ（テ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　長ｂ　　　　　　　　セチＭＰＰ　　　　　　サタ（ト）　　　　　　　　　　　　　　　　　　～長ｂ＆長ｂ　　　　　　　　ツテ＆Ｉ１　５　　　サ　（ナ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　～長ｂ＆長ｂ　　　　　　　　ソタトＥＥ１　５　　コ　　（ニ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　～長ｂ＆長ｂ　　　　　　　　コサナＥＥ１　５　　　　　（ヌ）　　　　　　　　～∃ｘ｛兎ｘ＆∀ｙ（鼻ｙｘ→長ｙ）｝　　　　　　コニＲＡＡ従って、（09）により、（10）（ⅰ）∀ｙ∃ｘ｛（象ｘ＆鼻ｙｘ）→長ｙ＆（～象ｘ＆鼻ｙｘ）→～長ｙ｝。然るに、（ⅱ）　　∀ｘ｛（兎ｘ→～象ｘ）＆∃ｙ（鼻ｙｘ）｝。従って、（ⅲ）　～∃ｘ｛　兎ｘ＆∀ｙ（鼻ｙｘ→長ｙ）｝。といふ『推論』、すなはち、（ⅰ）すべてのｙとあるｘについて｛（ｘが象であって、ｙがｘの鼻である）ならば、ｙは長く、（ｘが象でなくて、ｙがｘの鼻である）ならば、ｙは長くない｝。然るに、（ⅱ）　　　　すべてのｘについて｛（ｘが兎であるならば、ｘは象ではなく）、あるｙは（ｘの鼻である）｝。従って、（ⅲ）　　　　　　　　　あるｘが｛　兎であって、すべてのｙについて、（ｙがｘの鼻ならば、ｙは長い）｝といふことはない。といふ『推論』、すなはち、（ⅰ）象の鼻が長い。然るに、（ⅱ）兎は象ではないが、兎には鼻がある。従って、（ⅲ）兎の鼻が長い、といふことはない。といふ『推論』は、「妥当」である。従って、（07）～（10）により、（11）（ⅰ）鼻は象が長い。然るに、（ⅱ）兎は象ではないが、兎には鼻がある。従って、（ⅲ）兎の鼻が長い、といふことはない。といふ『推論』も、「妥当」である。令和６年２月２５日、毛利太。

2024年2月24日土曜日

「象は鼻が長い（動物である）」の「述語論理」の解説。

（01）（ⅰ）象は鼻が長い。然るに、（ⅱ）兎は耳は長い。従って、（ⅲ）兎は象ではない。といふ『推論』は、「妥当」である。然るに、（02）（ⅰ）象といふ動物のパーツ（部分）の中では、鼻は長く、　鼻以外は長くない。　然るに、（ⅱ）兎といふ動物のパーツ（部分）の中では、耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。従って、（ⅲ）象が、兎であると「仮定」すると「矛盾」する。従って、（〃）兎は象ではない。といふ『推論（背理法）』は、「妥当」である。従って、（01）（02）により、（03）（ⅰ）象といふ動物のパーツ（部分）の中では、鼻は長く、　鼻以外は長くない。　然るに、（ⅱ）兎といふ動物のパーツ（部分）の中では、耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。従って、（ⅲ）象が、兎であると「仮定」すると「矛盾」する。従って、（〃）兎は象ではない。といふ「推論（背理法）」が「妥当」であるが故に、（ⅰ）象は鼻が長い。然るに、（ⅱ）兎は耳は長い。従って、（ⅲ）兎は象ではない。といふ『推論』は、「妥当」である。然るに、（04）１　　　　　　（１）　∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝　Ａ　２　　　　　（２）　∀ｘ｛兎ｘ→∃ｚ（耳ｚｘ＆～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝　　　　　　　　　Ａ　　３　　　　（３）　∃ｘ（象ｘ＆兎ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ１　　　　　　（４）　　　　象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　１ＵＥ　２　　　　　（５）　　　　兎ａ→∃ｚ（耳ｚａ＆～鼻ｚａ＆長ｚ）　　　　　　　　　　２ＵＥ　　　６　　　（６）　　　　象ａ＆兎ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ　　　６　　　（７）　　　　象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　６＆Ｅ　　　６　　　（８）　　　　　　　兎ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　６＆Ｅ１　　６　　　（９）　　　　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　４７ＭＰＰ１　　６　　　（ア）　　　　　　　　　　　　　　　　　　∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　９＆Ｅ１　　６　　　（イ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～鼻ｂａ→～長ｂ　　　アＵＥ　２　６　　　（ウ）　　　　　　　∃ｚ（耳ｚａ＆～鼻ｚａ＆長ｚ）　　　　　　　　　　５８ＭＰＰ　　　　エ　　（エ）　　　　　　　　　　耳ｂａ＆～鼻ｂａ＆長ｂ　　　　　　　　　　　Ａ　　　　エ　　（オ）　　　　　　　　　　　　　　～鼻ｂａ　　　　　　　　　　　　　　エ＆Ｅ　　　　エ　　（カ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　長ｂ　　　　　　　　　　　エ＆Ｅ１　　６エ　　（キ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～長ｂ　　　イオＭＰＰ１　　６エ　　（ク）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　長ｂ＆～長ｂ　　　　　　　カキ＆Ｉ１２　６　　　（ケ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　長ｂ＆～長ｂ　　　　　　　ウエクＥＥ１２３　　　　（コ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　長ｂ＆～長ｂ　　　　　　　３６ケＥＥ１２　　　　　（サ）～∃ｘ（象ｘ＆　兎ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　３コＲＡＡ　　　　　シ　（シ）　　～（象ａ→～兎ａ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ　　　　　シ　（ス）　～（～象ａ∨～兎ａ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　シ含意の定義　　　　　シ　（セ）　　　　象ａ＆　兎ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ス、ド・モルガンの法則　　　　シ　（ソ）　∃ｘ（象ｘ＆　兎ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　セＥＩ１２　　　シ　（タ）～∃ｘ（象ｘ＆　兎ｘ）＆∃ｘ（象ｘ＆　兎ｘ）　　　　　　　　　　サソ＆Ｉ１２　　　　　（チ）　～～（象ａ→～兎ａ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　シタＲＡＡ１２　　　　　（ツ）　　　（象ａ→～兎ａ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　チＤＮ　　　　　　テ（テ）　　　　　　　　兎ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ　　　　　　テ（ト）　　　　　　～～兎ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　テＤＮ１２　　　　テ（ナ）　　　～象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ツトＭＴＴ１２　　　　　（ニ）　　　　兎ａ→～象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　テナＣＰ１２　　　　　（ヌ）　∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ニＵＩ従って、（04）により、（05）（ⅰ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。然るに、（ⅱ）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｚ（耳ｚｘ＆～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝。従って、（ⅲ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ）。といふ『推論』、すなはち、（ⅰ）すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙは（ｘの鼻であって、長く）、すべてのｚについて（ｚがｘの鼻ではないならば、ｚは長くない）｝。然るに、（ⅱ）すべてのｘについて｛ｘが兎であるならば、あるｚは（ｘの鼻ではないが、ｚは長い）｝。従って、（ⅲ）すべてのｘについて（ｘが兎であるならば、ｘは象ではない）。といふ『推論』、すなはち、（ⅰ）象といふ動物のパーツ（部分）の中では、鼻は長く、　鼻以外は長くない。　然るに、（ⅱ）兎といふ動物のパーツ（部分）の中では、耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。従って、（ⅲ）象が、兎であると「仮定」すると「矛盾」する。従って、（ⅳ）兎は象ではない。といふ『推論』は「妥当」である。従って、（01）～（05）により、（06）（ⅰ）象は鼻が長い。然るに、（ⅱ）兎は耳は長い。従って、（ⅲ）兎は象ではない。といふ『推論』が、「妥当」であるならば、（ⅰ）象といふ動物のパーツ（部分）の中では、鼻は長く、　鼻以外は長くない。　然るに、（ⅱ）兎といふ動物のパーツ（部分）の中では、耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。従って、（ⅲ）象が、兎であると「仮定」すると「矛盾」する。従って、（〃）兎は象ではない。といふ『推論』は、「妥当」であり、（ⅰ）象といふ動物のパーツ（部分）の中では、鼻は長く、　鼻以外は長くない。　然るに、（ⅱ）兎といふ動物のパーツ（部分）の中では、耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。従って、（ⅲ）象が、兎であると「仮定」すると「矛盾」する。従って、（〃）兎は象ではない。といふ『推論』が、「妥当」であるならば、（ⅰ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。然るに、（ⅱ）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｚ（耳ｚｘ＆～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝。従って、（ⅲ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ）。といふ『推論』は、「妥当」である。従って、（06）により、（07）（ⅰ）象は鼻が長い。然るに、（ⅱ）兎は耳は長い。従って、（ⅲ）兎は象ではない。といふ『推論』は、（ⅰ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。然るに、（ⅱ）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｚ（耳ｚｘ＆～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝。従って、（ⅲ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ）。といふ『推論』に「他ならない」。従って、（07）により、（08） ① 象は鼻が長い。 ② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。に於いて、 ①＝② である。従って、（08）により、（09） ② 象は鼻が長い動物である。 ③ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）＆動物ｘ｝。 ③ すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙは（ｘの鼻であって、長く）、すべてのｚについて（ｚがｘの鼻ではないならば、ｚは長くなく）、その上、ｘは動物である｝。に於いて、 ②＝③ である。従って、（09）により、（10） ③ 象は動物である。 ④ ∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ｝。 ④ すべてのｘについて｛ｘが象であるなら、ｘは動物である｝。に於いて、 ③＝④ である。従って、（09）（10）により、（11）「番号」を付け直すとして、 ① 象は動物である。 ② 象は鼻が長い。 ③ 象は鼻が長い動物である。といふ「日本語」は、それぞれ、 ① ∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ｝。 ② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。 ③ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）＆動物ｘ｝。といふ「述語論理式」に「対応」する。然るに、（11）により、（12） ① 象は動物である。 ② 象は鼻が長い。 ③ 象は鼻が長い動物である。といふ「日本語」に於ける、 ① 象は ② 象は ③ 象はといふ「主語（主辞）」は、３つとも、「述語論理的」には、 ① ∀ｘ｛象ｘ→ ② ∀ｘ｛象ｘ→ ③ ∀ｘ｛象ｘ→ であって、「区別」は無い。従って、（13） ① 象は動物である。に於ける、 ① 象はが「主語」であるならば、 ① 象は動物である。 ② 象は鼻が長い。 ③ 象は鼻が長い動物である。といふ「日本語」に於ける、 ① 象は ② 象は ③ 象はは、３つとも、「主語（主辞）」である。然るに、（14）「象は鼻が長い」はどれが主辞がわからないから、このままでは非論理的な構造の文である、と言う人がもしあった（沢田『入門』二九ペ）とすれば、その人は旧『論理学』を知らない人であろう、これはこのままで、　象は　鼻が長い。　主辞　賓辞とはっきりしている。速水式に簡単明リョウである。意味も、主辞賓辞の関係も小学生にもわかるはずの文である。これに文句をつけたり、それを取り次いだりするのは、人々が西洋文法に巻かれていることを語る以外の何物でもない。このまま定理扱いしてもよろしい。そしてこの定理の逆は真でないとして、鼻の長いもの例に、鞍馬山の天狗だの、池の尾の禅珍内供だのを上げるのも一興だろう。それでおしまいである（三上章、日本語の論理、1963年、１３・１４頁）。従って、（13）（14）により、（15）三上章による、　象は　鼻が長い。　主辞　賓辞とはっきりしている。といふ「意見」は、「述語論理的」には、「正しい」。然るに、（16）といふ『主語を殺した男』といふ「タイトル」が示してゐる通り、に、三上章先生は、固より、「（日本語に於ける）主語」といふモノを、認めない。令和６年２月２４日、毛利太。

2024年2月23日金曜日

「（Ｐ＆Ｑ）→～Ｐ」の「対偶」について。

（01） ① （Ｐ＆Ｑ）→　Ｐ ② （Ｐ＆Ｑ）→～Ｐといふ「論理式」、すなはち、 ① ＰであってＱであるならば、Ｐである。 ② ＰであってＱであるならば、Ｐでない。といふ「命題」に於いて、 ① は、明らかに「真（トートロジー）」であるが、 ② は、明らかに「偽（矛盾）」である（？？）。然るに、（02） ① （Ｐ＆Ｑ）→Ｐに対する「否定」を「計算」すると、（ⅰ）１（１）　～｛（Ｐ＆Ｑ）→　Ｐ｝　Ａ１（２）～｛～（Ｐ＆Ｑ）∨　Ｐ｝　１含意の定義１（３）　　　（Ｐ＆Ｑ）＆～Ｐ　　２ド・モルガンの法則１（４）　　　　Ｐ＆Ｑ　　　　　　３＆Ｅ１（５）　　　　Ｐ　　　　　　　　４＆Ｅ１（６）　　　　　　Ｑ　　　　　　４＆Ｅ１（７）　　　　　　　　　～Ｐ　　３＆Ｅ１（８）　　　　Ｐ＆～Ｐ　　　　　５７＆Ｉ１（９）　　　（Ｐ＆～Ｐ）＆Ｑ　　６８＆Ｉ（〃）１（１）　　　（Ｐ＆～Ｐ）＆Ｑ　　Ａ１（２）　　　　Ｐ＆～Ｐ　　　　　１＆Ｅ１（３）　　　　Ｐ　　　　　　　　２＆Ｅ１（４）　　　　　　～Ｐ　　　　　２＆Ｅ１（５）　　　　　　　　　　Ｑ　　１＆Ｅ１（６）　　　　Ｐ＆Ｑ　　　　　　３５＆I １（７）　　　（Ｐ＆Ｑ）＆～Ｐ　　４６＆I １（８）～｛～（Ｐ＆Ｑ）∨　Ｐ｝　７ド・モルガンの法則１（９）　～｛（Ｐ＆Ｑ）→　Ｐ｝　８含意の定義従って、（02）により、（03） ① （Ｐ＆Ｑ）→Ｐに対する「否定」を「計算」すると、 ①（Ｐ＆～Ｐ）＆Ｑであるものの、 ①（Ｐ＆～Ｐ）＆Ｑであれば、 ①（矛盾）＆Ｑであって、 ①（矛盾）＆Ｑは、「偽」である。然るに、（04） ② （Ｐ＆Ｑ）→～Ｐに対する「否定」を「計算」すると、（ⅱ）１（１）　～｛（Ｐ＆Ｑ）→～Ｐ｝　Ａ１（２）～｛～（Ｐ＆Ｑ）∨～Ｐ｝　１含意の定義１（３）　　　（Ｐ＆Ｑ）＆　Ｐ　　２ド・モルガンの法則１（４）　　　　Ｐ＆Ｑ　　　　　　３＆Ｅ（ⅲ）１（１）　　　　Ｐ＆Ｑ　　　　　　Ａ１（２）　　　　Ｐ　　　　　　　　１＆Ｅ１（３）　　　（Ｐ＆Ｑ）＆　Ｐ　　１２＆Ｉ１（４）～｛～（Ｐ＆Ｑ）∨～Ｐ｝　３ド・モルガンの法則１（５）　～｛（Ｐ＆Ｑ）→～Ｐ｝　４含意の定義従って、（04）により、（05） ② （Ｐ＆Ｑ）→～Ｐに対する「否定」を「計算」すると、 ③ 　Ｐ＆Ｑであるものの、 ③ 　Ｐ＆Ｑは、それ自体は、「真」でも、「偽」でもない。然るに、（04）により、（06）いづれにせよ、 ② ～｛（Ｐ＆Ｑ）→～Ｐ｝ ③　　　Ｐ＆Ｑに於いて、 ②＝③ である。従って、（06）により、（07） ② ～～｛（Ｐ＆Ｑ）→～Ｐ｝ ③　　～（Ｐ＆Ｑ）に於いて、 ②＝③ である。従って、（07）により、（08）「二重否定律（ＤＮ）」により、 ② 　（Ｐ＆Ｑ）→～Ｐ ③ ～（Ｐ＆Ｑ）然るに、（09）（ⅲ）１　　（１）～（Ｐ＆Ｑ）　　Ａ　２　（２）　　Ｐ　　　　　Ａ　　３（３）　　　　Ｑ　　　Ａ　２３（４）　　Ｐ＆Ｑ　　　２３＆Ｉ１２３（５）～（Ｐ＆Ｑ）＆　　　　　　　（Ｐ＆Ｑ）　　１３＆Ｉ１２　（６）　　　～Ｑ　　　３５ＲＡＡ１　　（７）　Ｐ→～Ｑ　　　２６ＣＰ（ⅳ）１　　（１）　Ｐ→～Ｑ　　　Ａ　２　（２）　Ｐ＆　Ｑ　　　Ａ　２　（３）　Ｐ　　　　　　２＆Ｅ１２　（４）　　　～Ｑ　　　１３ＭＰＰ　２　（５）　　　　Ｑ　　　２＆Ｅ１２　（６）　～Ｑ＆Ｑ　　　４５＆Ｉ１　　（７）～（Ｐ＆Ｑ）　　２６ＲＡＡ従って、（09）により、（10） ③ ～（Ｐ＆Ｑ） ④　Ｐ→～Ｑに於いて、 ③＝④ である。従って、（08）（09）（10）により、（11） ② 　（Ｐ＆Ｑ）→～Ｐ ③ ～（Ｐ＆Ｑ） ④ 　　Ｐ→～Ｑに於いて、 ②＝③＝④ である。然るに、（12）（ⅱ）１　　（１）　（Ｐ＆Ｑ）→～Ｐ　Ａ１　　（２）～（Ｐ＆Ｑ）∨～Ｐ　Ａ　３　（３）～（Ｐ＆Ｑ）　　　　Ａ　３　（４）～Ｐ∨～Ｑ　　　　　ド・モルガンの法則　３　（５）～Ｐ∨～Ｑ∨　～Ｐ　４∨Ｉ　　６（６）　　　　　　　～Ｐ　Ａ　　６（７）　～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｐ　７∨Ｉ１　　（８）～Ｐ∨～Ｑ∨　～Ｐ　１３５６７∨Ｅ１　　（９）～Ｐ∨～Ｐ∨　～Ｑ　８交換法則１　　（ア）～Ｐ∨～Ｑ　　　　　９冪等律１　　（イ）　Ｐ→～Ｑ　　　　　ア含意の定義（ⅲ）１　　（１）　　Ｐ→～Ｑ　　　　　Ａ１　　（２）　～Ｐ∨～Ｑ　　　　　１含意の定義１　　（３）　～Ｐ∨～Ｐ∨　～Ｑ　２冪等律。１　　（４）　～Ｐ∨～Ｑ∨　～Ｐ　３交換法則１　　（５）（～Ｐ∨～Ｑ）∨～Ｐ　４結合法則　６　（６）（～Ｐ∨～Ｑ）　　　　Ａ　６　（７）～（Ｐ＆Ｑ）　　　　　６ド・モルガンの法則　６　（８）～（Ｐ＆Ｑ）∨　～Ｐ　７∨Ｉ　　９（９）　　　　　　　　～Ｐ　Ａ　　９（ア）～（Ｐ＆Ｑ）∨　～Ｐ　９∨Ｉ１　　（イ）　（Ｐ＆Ｑ）→　～Ｐ　　ア含意の定義従って、（12）により、（13） ②（Ｐ＆Ｑ）→～Ｐ ③ Ｐ→～Ｑに於いて、 ②＝③ である。然るに、（14）（ⅱ）１　　（１）　（Ｐ＆Ｑ）→～Ｐ　Ａ　２　（２）　　　　　　　　Ｐ　Ａ　２　（３）　　　　　　～～Ｐ　２ＤＮ１２　（４）～（Ｐ＆Ｑ）　　　　１３ＭＴＴ１２　（５）～Ｐ∨～Ｑ　　　　　４ド・モルガンの法則１２　（６）　Ｐ→～Ｑ　　　　　５含意の定義１　　（７）　Ｐ→（Ｐ→～Ｑ）　２６ＣＰ　　８（８）　Ｐ　　　　　　　　Ａ１　８（９）　　　　Ｐ→～Ｑ　　７８ＭＰＰ１　８（ア）　　　　　　～Ｑ　　８９ＭＰＰ１　　（イ）　Ｐ→～Ｑ　　　　　８アＣＰ（ⅲ）１　　（１）　Ｐ→～Ｑ　　　　　Ａ　２　（２）　Ｐ＆　Ｑ　　　　　Ａ　２　（３）　Ｐ　　　　　　　　２＆Ｅ１２　（４）　　　～Ｑ　　　　　１３ＭＰＰ　２　（５）　　　　Ｑ　　　　　２＆Ｅ１２　（６）　　　～Ｑ＆Ｑ　　　４５＆Ｉ１　　（７）～（Ｐ＆Ｑ）　　　　２６ＲＡＡ１　　（８）～（Ｐ＆Ｑ）∨～Ｐ　７∨Ｉ１　　（９）　（Ｐ＆Ｑ）→～Ｐ　８含意の定義従って、（14）により、（15） ②（Ｐ＆Ｑ）→～Ｐ ③ Ｐ→～Ｑに於いて、 ②＝③ は「対偶」である。従って、（12）（15）により、（16）（ⅱ）１　　（１）　（Ｐ＆Ｑ）→～Ｐ　Ａ１　　（２）～（Ｐ＆Ｑ）∨～Ｐ　Ａ　３　（３）～（Ｐ＆Ｑ）　　　　Ａ　３　（４）～Ｐ∨～Ｑ　　　　　ド・モルガンの法則　３　（５）～Ｐ∨～Ｑ∨　～Ｐ　４∨Ｉ　　６（６）　　　　　　　～Ｐ　Ａ　　６（７）　～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｐ　７∨Ｉ１　　（８）～Ｐ∨～Ｑ∨　～Ｐ　１３５６７∨Ｅ１　　（９）～Ｐ∨～Ｐ∨　～Ｑ　８交換法則１　　（ア）～Ｐ∨～Ｑ　　　　　９冪等律１　　（イ）　Ｐ→～Ｑ　　　　　ア含意の定義（ⅲ）１　　（１）　　Ｐ→～Ｑ　　　　　Ａ１　　（２）　～Ｐ∨～Ｑ　　　　　１含意の定義１　　（３）　～Ｐ∨～Ｐ∨　～Ｑ　２冪等律。１　　（４）　～Ｐ∨～Ｑ∨　～Ｐ　３交換法則１　　（５）（～Ｐ∨～Ｑ）∨～Ｐ　４結合法則　６　（６）（～Ｐ∨～Ｑ）　　　　Ａ　６　（７）～（Ｐ＆Ｑ）　　　　　６ド・モルガンの法則　６　（８）～（Ｐ＆Ｑ）∨　～Ｐ　７∨Ｉ　　９（９）　　　　　　　　～Ｐ　Ａ　　９（ア）～（Ｐ＆Ｑ）∨　～Ｐ　９∨Ｉ１　　（イ）　（Ｐ＆Ｑ）→　～Ｐ　　ア含意の定義といふ「計算」は、結局は、「対偶の計算」であった。といふことになる。従って、（11）～（16）により、（17）いづれにせよ、 ②（Ｐ＆Ｑ）→～Ｐ ③ Ｐ→～Ｑに於いて、すなはち、 ② ＰであってＱであるならば、Ｐでない。 ③ Ｐであるならば、Ｑでない。に於いて、 ②＝③ である。然るに、（17）により、（18） ③ Ｐであるならば、Ｑでない。といふ「命題」は、言ふまでもなく、「矛盾」ではない。従って、（01）（18）により、（19） ① （Ｐ＆Ｑ）→　Ｐ ② （Ｐ＆Ｑ）→～Ｐといふ「論理式」、すなはち、 ① ＰであってＱであるならば、Ｐである。 ② ＰであってＱであるならば、Ｐでない。といふ「命題」に於いて、 ① は、明らかに「真（トートロジー）」であるが、 ② は、決して、「偽（矛盾）」ではない（！！）。令和６年２月２３日、毛利太。

2024年2月22日木曜日

「恒真式（トートロジー」ではない「式」の作り方。

（01）１（１）　　　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ　Ａ１（２）　　　　　　　　　Ｒ　１＆Ｅ１（３）　　　　　　　Ｑ∨Ｒ　２∨Ｉ１（４）～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｑ∨Ｒ　３∨Ｉ１（５）　　Ｐ＆Ｑ→　Ｑ∨Ｒ　４含意の定義（ⅱ）１（１）　　　Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ　Ａ１（２）　　　　　　Ｑ　　　　１＆Ｅ１（３）　　　　　　　Ｑ∨Ｒ　２∨Ｉ１（４）～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｑ∨Ｒ　３∨Ｉ１（５）　　Ｐ＆Ｑ→　Ｑ∨Ｒ　４含意の定義（ⅲ １（１）　　　Ｐ＆～Ｑ＆　Ｒ　Ａ１（２）　　　　　　　　　Ｒ　１＆Ｅ１（３）　　　　　　　Ｑ∨Ｒ　２∨Ｉ１（４）～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｑ∨Ｒ　３∨Ｉ１（５）　　Ｐ＆Ｑ→　Ｑ∨Ｒ　４含意の定義（ⅳ １　（１）　　　Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ　Ａ１　（２）　　　　　～Ｑ　　　　１＆Ｅ　２（３）　　　Ｐ＆　Ｑ　　　　Ａ　２（４）　　　　　　Ｑ　　　　３＆Ｅ１２（５）　　　～Ｑ＆Ｑ　　　　３４＆Ｉ１　（６）～（Ｐ＆Ｑ）　　　　　２５ＲＡＡ１　（７）～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｑ　　　６∨Ｉ１　（８）～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｑ∨Ｒ　７∨Ｉ１　（９）　　Ｐ＆Ｑ→　Ｑ∨Ｒ　８含意の定義（ⅴ １（１）　　～Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ　Ａ１（２）　　　　　　　　　Ｒ　１＆Ｅ１（３）　　　　　　　Ｑ∨Ｒ　２∨Ｉ１（４）～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｑ∨Ｒ　３∨Ｉ１（５）　　Ｐ＆Ｑ→　Ｑ∨Ｒ　４含意の定義（ⅵ １（１）　　～Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ　Ａ１（２）　　　　　　Ｑ　　　　１＆Ｅ１（３）　　　　　　　Ｑ∨Ｒ　２∨Ｉ１（４）～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｑ∨Ｒ　３∨Ｉ１（５）　　Ｐ＆Ｑ→　Ｑ∨Ｒ　４含意の定義（ⅶ １（１）　　～Ｐ＆～Ｑ＆　Ｒ　Ａ１（２）　　　　　　　　　Ｒ　１＆Ｅ１（３）　　　　　　　Ｑ∨Ｒ　２∨Ｉ１（４）～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｑ∨Ｒ　３∨Ｉ１（５）　　Ｐ＆Ｑ→　Ｑ∨Ｒ　４含意の定義（ⅷ １　（１）　　～Ｐ＆～Ｑ＆　Ｒ　Ａ１　（２）　　　　　～Ｑ　　　　１＆Ｅ　２（３）　　　Ｐ＆　Ｑ　　　　Ａ　２（４）　　　　　　Ｑ　　　　３＆Ｅ１２（５）　　　～Ｑ＆Ｑ　　　　３４＆Ｉ１　（６）～（Ｐ＆Ｑ）　　　　　２５ＲＡＡ１　（７）～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｑ　　　６∨Ｉ１　（８）～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｑ∨Ｒ　７∨Ｉ１　（９）　　Ｐ＆Ｑ→　Ｑ∨Ｒ　８含意の定義従って、（01）により、（02） ① 　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ├ Ｐ＆Ｑ→Ｑ∨Ｒ ②　Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ├ Ｐ＆Ｑ→Ｑ∨Ｒ ③ 　Ｐ＆～Ｑ＆　Ｒ├ Ｐ＆Ｑ→Ｑ∨Ｒ ④ 　Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├ Ｐ＆Ｑ→Ｑ∨Ｒ ⑤ ～Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ├ Ｐ＆Ｑ→Ｑ∨Ｒ ⑥ ～Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ├ Ｐ＆Ｑ→Ｑ∨Ｒ ⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆　Ｒ├ Ｐ＆Ｑ→Ｑ∨Ｒ ⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├ Ｐ＆Ｑ→Ｑ∨Ｒ従って、（01）（02）により、（03） ① Ｐ＆Ｑ→Ｑ∨Ｒといふ「論理式」、すなはち、 ① ＰであってＱであるならば、Ｑであるか、または、Ｒである。といふ「命題」は、 ① 命題変数（Ｐ、Ｑ、Ｒ）の「真偽」に関はらず、「恒に真」である。従って、（03）により、（04） ① Ｐ＆Ｑ→Ｑ∨Ｒといふ「論理式」は、「恒真式（トートロジー）」である。然るに、（05） ① 　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ ②　Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ ③ 　Ｐ＆～Ｑ＆　Ｒ ④ 　Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ ⑤ ～Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ ⑥ ～Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ ⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆　Ｒ ⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒに於ける、例へば、 ⑥ を「否定」すると、 ⑥ ～（　Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ）は、「ド・モルガンの法則」により、 ⑥ 　（～Ｐ∨～Ｑ∨　Ｒ）に、「等しい」。然るに、（06）（ⅱ）１（１）～Ｐ∨　～Ｑ∨Ｒ　　Ａ１（２）～Ｐ∨（～Ｑ∨Ｒ）　１結合法則１（３）　Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）　２含意の定義（〃）１（１）　Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）　Ａ１（２）～Ｐ∨（～Ｑ∨Ｒ）　１含意の定義１（３）～Ｐ∨　～Ｑ∨Ｒ　　２結合法則従って、（05）（06）により、（07） ① 　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ ②　Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ ③ 　Ｐ＆～Ｑ＆　Ｒ ④ 　Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ ⑤ ～Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ ⑥ ～Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ ⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆　Ｒ ⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒに於ける、例へば、 ⑥ を「否定」すると、 ⑥ ～（～Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ）は、「ド・モルガンの法則」により、 ⑥ 　（　Ｐ∨～Ｑ∨　Ｒ）に、「等しく」、 ⑥ 　（　Ｐ∨～Ｑ∨　Ｒ）は、「含意の定義」により、 ⑥ 　　～Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）に、「等しい」。従って、（07）により、（08） ① 　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ ②　Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ ③ 　Ｐ＆～Ｑ＆　Ｒ ④ 　Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ ⑤ ～Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ ⑥ ～Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ ⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆　Ｒ ⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒに於ける、 ⑥ を「否定」すると、 ⑥ 　　～Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）であるため、「否定」をする前の、 ⑥ 自体は、「二重否定」により、 ⑥ ～（～Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ））でなければ、ならない。従って、（02）（08）により、（09）この場合は、 ① 　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ├ Ｐ＆Ｑ→Ｑ∨Ｒ ②　Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ├ Ｐ＆Ｑ→Ｑ∨Ｒ ③ 　Ｐ＆～Ｑ＆　Ｒ├ Ｐ＆Ｑ→Ｑ∨Ｒ ④ 　Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├ Ｐ＆Ｑ→Ｑ∨Ｒ ⑤ ～Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ├ Ｐ＆Ｑ→Ｑ∨Ｒ ⑥ ～Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ├ Ｐ＆Ｑ→Ｑ∨Ｒ ⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆　Ｒ├ Ｐ＆Ｑ→Ｑ∨Ｒ ⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├ Ｐ＆Ｑ→Ｑ∨Ｒのやうに、 ① 　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ） ②　Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ） ③ 　Ｐ＆～Ｑ＆　Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ） ④ 　Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ） ⑤ ～Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ） ⑥ ～Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ） ⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆　Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ） ⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）といふ風には、ならずに、 ① 　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ├ 　　Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ） ②　Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ├ 　　Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ） ③ 　Ｐ＆～Ｑ＆　Ｒ├ 　　Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ） ④ 　Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├ 　　Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ） ⑤ ～Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ├ 　　Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ） ⑥ ～Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ├ ～（Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）） ⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆　Ｒ├ 　　Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ） ⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├ 　　Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）といふ風に、なるに「違ひない」。然るに、（10）（ⅰ）１（１）　　　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ　Ａ１（２）　　　　　　　　　Ｒ　１＆Ｅ１（３）　　　　～Ｑ∨Ｒ　２∨Ｉ１（４）～～Ｐ∨～Ｑ∨Ｒ　３∨Ｉ１（５）　～Ｐ→～Ｑ∨Ｒ　４含意の定義（ⅱ）１（１）　　Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ　Ａ１（２）　　Ｐ　　　　　　　１＆Ｅ１（３）～～Ｐ　　　　　　　２ＤＮ１（４）～～Ｐ∨Ｑ　　　　　３∨Ｉ１（５）～～Ｐ∨Ｑ∨Ｒ　　　４∨Ｉ１（６）　～Ｐ→Ｑ∨Ｒ　　　５∨Ｉ（ⅲ）１（１）　　　Ｐ＆～Ｑ＆　Ｒ　Ａ１（２）　　　　　　　　　Ｒ　１＆Ｅ１（３）　　　　～Ｑ∨Ｒ　２∨Ｉ１（４）～～Ｐ∨～Ｑ∨Ｒ　３∨Ｉ１（５）　～Ｐ→～Ｑ∨Ｒ　４含意の定義（ⅳ）１（１）　　Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ　Ａ１（２）　　Ｐ　　　　　　　１＆Ｅ１（３）～～Ｐ　　　　　　　２ＤＮ１（４）～～Ｐ∨Ｑ　　　　　３∨Ｉ１（５）～～Ｐ∨Ｑ∨Ｒ　　　４∨Ｉ１（６）　～Ｐ→Ｑ∨Ｒ　　　５∨Ｉ（ⅴ）１（１）　　～Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ　Ａ１（２）　　　　　　　　　Ｒ　１＆Ｅ１（３）　　　　～Ｑ∨Ｒ　２∨Ｉ１（４）～～Ｐ∨～Ｑ∨Ｒ　３∨Ｉ１（５）　～Ｐ→～Ｑ∨Ｒ　４含意の定義（ⅵ）１　　　（１）　　～Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ　　Ａ　２　　（２）　　～Ｐ→～Ｑ∨　Ｒ　　Ａ１　　　（３）　　～Ｐ　　　　　　　　１＆Ｅ１２　　（４）　　　　　～Ｑ∨　Ｒ　　２３ＭＰＰ　　５　（５）　　　　　～Ｑ　　　　　Ａ１　　　（６）　　　　　　Ｑ　　　　　１＆Ｅ１　５　（７）　　　　　～Ｑ＆Ｑ　　　５６＆Ｉ　　５　（８）～（～Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ）　１７ＲＡＡ　　　９（９）　　　　　　　　　Ｒ　　Ａ１　　　（ア）　　　　　　　　～Ｒ　　１＆Ｅ１　　９（イ）　　　　　　Ｒ＆～Ｒ　　９ア＆Ｉ　　　９（ウ）～（～Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ）　１イＲＡＡ１２　　（エ）～（～Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ）　４５８９ウ∨Ｅ１２　　（オ）　（～Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ）＆　　　　　　　～（～Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ）　１エ＆Ｉ１　　　（カ）～（～Ｐ→～Ｑ∨　Ｒ）　２オＲＡＡ（ⅶ）１（１）　　～Ｐ＆～Ｑ＆　Ｒ　Ａ１（２）　　　　　　　　　Ｒ　１＆Ｅ１（３）　　　　～Ｑ∨Ｒ　　　２∨Ｉ１（４）～～Ｐ∨～Ｑ∨Ｒ　　　３∨Ｉ１（５）　～Ｐ→～Ｑ∨Ｒ　　　４含意の定義（ⅷ）１（１）　～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ　Ａ１（２）　　　　～Ｑ　　　　１＆Ｅ１（３）　　　　～Ｑ∨Ｒ　　２∨Ｉ１（４）～～Ｐ∨～Ｑ∨Ｒ　　３∨Ｉ１（５）　～Ｐ→～Ｑ∨Ｒ　　４含意の定義従って、（09）（10）により、（11）果たして、 ① 　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ├ 　　Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ） ②　Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ├ 　　Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ） ③ 　Ｐ＆～Ｑ＆　Ｒ├ 　　Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ） ④ 　Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├ 　　Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ） ⑤ ～Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ├ 　　Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ） ⑥ ～Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ├ ～（Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）） ⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆　Ｒ├ 　　Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ） ⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├ 　　Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）である。然るに、（12）（ⅵ）１　　　（１）　　～Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ　　　Ａ　２　　（２）　　～Ｐ→～Ｑ∨　Ｒ　　　Ａ１　　　（３）　　～Ｐ　　　　　　　　　１＆Ｅ１２　　（４）　　　　　～Ｑ∨　Ｒ　　　２３ＭＰＰ　　５　（５）　　　　　～Ｑ　　　　　　Ａ１　　　（６）　　　　　　Ｑ　　　　　　１＆Ｅ１　５　（７）　　　　　～Ｑ＆Ｑ　　　　６７＆Ｉ　　５　（８）～（～Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ）　　１７ＲＡＡ　　　９（９）　　　　　　　　　Ｒ　　　Ａ１　　　（ア）　　　　　　　　～Ｒ　　　１＆Ｅ１　　９（イ）　　　　　　Ｒ＆～Ｒ　　　９ア＆Ｉ　　　９（ウ）～（～Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ）　　１イＲＡＡ１２　　（エ）～（～Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ）　　４５８９ウ∨Ｉ１２　　（オ）　（～Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ）＆　　　　　　　～（～Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ）　　１エ＆Ｉ１　　　（カ）～（～Ｐ→～Ｑ∨　Ｒ）　　２オＲＡＡ（〃）１　　　（１）～（～Ｐ→～Ｑ∨　Ｒ）　　Ａ１　　　（２）～（　Ｐ∨～Ｑ∨　Ｒ）　　１含意の定義　３　　（３）　　　Ｐ　　　　　　　　　Ａ　３　　（４）　　　Ｐ∨～Ｑ　　　　　　３∨Ｉ　３　　（５）　　　Ｐ∨～Ｑ∨　Ｒ　　　４∨Ｉ１３　　（６）～（　Ｐ∨～Ｑ∨　Ｒ）＆　　　　　　　　　（　Ｐ∨～Ｑ∨　Ｒ）　　２５＆Ｉ１　　　（７）　　～Ｐ　　　　　　　　　５６ＲＡＡ　　８　（８）　　　　　～Ｑ　　　　　　Ａ　　８　（９）　　　Ｐ∨～Ｑ　　　　　　８∨Ｉ　　８　（ア）　　　Ｐ∨～Ｑ∨　Ｒ　　　９∨Ｉ１　８　（イ）～（　Ｐ∨～Ｑ∨　Ｒ）＆　　　　　　　　　（　Ｐ∨～Ｑ∨　Ｒ）　　２ア＆Ｉ１　　　（ウ）　　　　～～Ｑ　　　　　　８ＲＡＡ１　　　（エ）　　　　　　Ｑ　　　　　　ウＤＮ　　　オ（オ）　　　　　　　　　Ｒ　　　Ａ　　　オ（カ）　　　　　～Ｑ∨　Ｒ　　　オ∨Ｉ　　　オ（キ）　　　Ｐ∨～Ｑ∨　Ｒ　　　∨Ｉ１　　オ（ク）～（　Ｐ∨～Ｑ∨　Ｒ）＆　　　　　　　　　（　Ｐ∨～Ｑ∨　Ｒ）　　２キ＆Ｉ１　　　（ケ）　　　　　　　　～Ｒ　　　オクＲＡＡ１　　　（コ）　　～Ｐ＆　Ｑ　　　　　　７エ＆Ｉ１　　　（サ）　　～Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ　　　ケコ＆Ｉ従って、（12）により、（13） ⑥ ～Ｐ＆Ｑ＆～Ｒ　├ ～（～Ｐ→～Ｑ∨Ｒ）であるだけではなく、 ⑥ ～Ｐ＆Ｑ＆～Ｒ ┤├ ～（～Ｐ→～Ｑ∨Ｒ）である。従って、（11）（13）により、（14） ① 　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ） ②　Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ） ③ 　Ｐ＆～Ｑ＆　Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ） ④ 　Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ） ⑤ ～Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ） ⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆　Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ） ⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）である一方で、 ⑥ ～Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ ┤├ ～（Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ））であるため、 ⑥ ～Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）といふ「論理式」、 ⑥ Ｐでないならば、Ｑでないか、または、Ｒである。といふ「命題」は、 ⑥ 命題変数（Ｐ、Ｑ、Ｒ）の「真偽」に関はらず、「恒に真」である。といふことには、ならない。従って、（03）（14）により、（15） ① ＰであってＱであるならば、Ｑであるか、または、Ｒである。 ⑥ Ｐでないならば、Ｑでないか、または、Ｒである。に於いて、 ① は、「恒真式（トートロジー）」であって、 ⑥ は、「恒真式（トートロジー）」ではない。令和６年２月２２日、毛利太。

2024年2月20日火曜日

「ある入門書」にある「述語論理」の「例題」（Ⅱ）。

（01）たとえ名辞が三つに限られていても、ヴェン図形では処理できない推論がある。たとえば、以下の推論を考えよう。　　もしある論理学の問題がやさしければ、すべての受講者は単位がもらえる。　　しかし、ある受講者は単位がもらえない。 ∴　論理学の問題はどれもやさしくない。第一の前提では、特称肯定命題と全称肯定命題が「→」で結ばれている。結合子については、われわれの推論の方法をすでに習得している。結合子で結ばれた命題については、ヴェン図で処理できるだろう。しかし、この二つ混ざった命題については、われわれはどう処理してよいのかまだわからないのである。われわれは本格的な述語論理へすすまなければならない。（昭和堂入門選書２５、論理学基礎、1994年、１１４頁）然るに、（02）「昭和堂入門選書２５、論理学基礎」には、　　もしある論理学の問題がやさしければ、すべての受講者は単位がもらえる。　　しかし、ある受講者は単位がもらえない。 ∴　論理学の問題はどれもやさしくない。に対する、「述語論理」よる「証明（解答）」が、示されてゐない。加へて、（03）第一の前提では、特称肯定命題と全称肯定命題が「→」で結ばれている。とすると、私には、「証明（解答）」が書けない。従って、（04）もしある論理学の問題がやさしければ、すべての受講者は単位がもらえる。といふ「第一の前提」に関しては、特称肯定命題と全称肯定命題が「→」で結ばれている。とはせずに、全称肯定命題と全称肯定命題が「→」で結ばれている。としたいものの、その場合、「証明（解答）」は、次（05）の通りとなる。すなはち、（05）論理＝論理学の問題である。容易＝易しい。学生＝受講者である。単位＝論理学の単位がもらえる。であるとして、１　　　（１）　　　∀ｘ｛論理ｘ＆容易ｘ→∀ｙ（学生ｙ→単位ｙｘ）｝　Ａ　２　　（２）　　　∃ｙ（学生ｙ＆～単位ｙａ）　　　　　　　　　　　　Ａ１　　　（３）　　　　　　論理ａ＆容易ａ→∀ｙ（学生ｙ→単位ｙａ）　　１ＵＥ　　４　（４）　　　　　　学生ｂ＆～単位ｂａ　　　　　　　　　　　　　Ａ　　　５（５）　　　　　　論理ａ＆容易ａ　　　　　　　　　　　　　　　Ａ１　　５（６）　　　　　　　　　　　　　　∀ｙ（学生ｙ→単位ｙａ）　　３５ＭＰＰ１　　５（７）　　　　　　　　　　　　　　　　　学生ｂ→単位ｂａ　　　６ＵＥ　　４　（８）　　　　　　　　　　　　　　　　　学生ｂ　　　　　　　　４＆Ｅ１　４５（９）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　単位ｂａ　　　７８ＭＰＰ１　４５（ア）　　　　　　　　　　　　　　　～単位ｂａ　　　　　　　　４＆Ｅ１　４５（イ）　　　　　　　　　　　　　　　～単位ｂａ＆単位ｂａ　　　９ア＆Ｉ１　４　（ウ）　　　　～（論理ａ＆容易ａ）　　　　　　　　　　　　　　５イＲＡＡ１　４　（エ）　　　　～論理ａ∨～容易ａ　　　　　　　　　　　　　　　ウ、ド・モルガンの法則１　４　（オ）　　　　　論理ａ→～容易ａ　　　　　　　　　　　　　　　エ含意の定義１　４　（カ）　　∀ｘ（論理ｘ→～容易ｘ）　　　　　　　　　　　　　　オＵＩ１２　　（キ）　　∀ｘ（論理ｘ→～容易ｘ）　　　　　　　　　　　　　　２４カＥＥといふ風に、書くことが出来る（はずである）。従って、（01）～（05）により、（06）　　もし論理学の問題がやさしければ、すべての学生は単位がもらえる。　　しかし、ある学生は単位がもらえない。 ∴　論理学の問題はどれもやさしくない。といふ「推論」は、正しい（はずである）。令和６年２月２０日、毛利太。

2024年2月19日月曜日

「ある入門書」にある「論理学」の「例題」。

（01）他方、ヴェン図は、三段論法の枠にはまらない推論にも使える。たとえば、次の推論を考えてみよう。　　哲学者はみなエゴイストであるか嘘つきである。　　すべての哲学者は嘘つきであるとは限らない。 ∴　あるエゴイストは嘘つきではない。（昭和堂入門選書２５、論理学基礎、1994年、１１２頁）然るに、（02） ① 哲学者はみなエゴイストであるか嘘つきである。 ② 嘘つきでない哲学者はエゴイストである。に於いて、 ①＝② である。然るに、（03） ① すべての哲学者は嘘つきであるとは限らない。 ② 嘘つきでない哲学者がゐる。に於いて、 ①＝② である。従って、（02）（03）により、（04） ① 哲学者はみなエゴイストであるか嘘つきである。 ② すべての哲学者は嘘つきであるとは限らない。といふことは、 ① 嘘つきでない哲学者はエゴイストである。 ② 嘘つきでない哲学者がゐる。といふことに、「他ならない」。然るに、（05） ① 嘘つきでない哲学者はエゴイストである。 ② 嘘つきでない哲学者がゐる。といふことは、 ③ 嘘つきでない哲学者がゐるが、嘘つきでない哲学者はエゴイストである。といふことである。然るに、（06） ③ 嘘つきでない哲学者がゐるが、嘘つきでない哲学者はエゴイストである。といふことは、 ③ 嘘つきでない哲学者がゐて、その哲学者はエゴイストである。といふことである。然るに、（07） ③ 嘘つきでない者がゐて、その者はエゴイストである。といふのであれば、 ② あるエゴイストは嘘つきではない。といふ、ことになる。従って、（01）～（07）により、（08）「日本語」で考へる限り、たしかに、　　哲学者はみなエゴイストであるか嘘つきである。　　すべての哲学者は嘘つきであるとは限らない。 ∴　あるエゴイストは嘘つきではない。といふ「推論」は、「妥当」である。然るに、（09）１　　（１）　∀ｘ（哲学者ｘ→　エゴイストｘ∨嘘つきｘ）　Ａ　２　（２）～∀ｘ（哲学者ｘ→　嘘つきｘ）　　　　　　　　Ａ１　　（３）　　　　哲学者ａ→　エゴイストａ∨嘘つきａ　　１ＵＥ　２　（４）∃ｘ～（哲学者ｘ→　嘘つきｘ）　　　　　　　　２量化子の関係　　５（５）　　～（哲学者ａ→　嘘つきａ）　　　　　　　　Ａ　　５（６）　～（～哲学者ａ∨　嘘つきａ）　　　　　　　　５含意の定義　　５（７）　　　　哲学者ａ＆～嘘つきａ　　　　　　　　　６ド・モルガンの法則　　５（８）　　　　哲学者ａ　　　　　　　　　　　　　　　７＆Ｅ　　５（９）　　　　　　　　　～嘘つきａ　　　　　　　　　７＆Ｅ１　５（ア）　　　　　　　　　　エゴイストａ∨嘘つきａ　　３８ＭＰＰ１　５（イ）　　　　　　　　　　嘘つきａ∨エゴイストａ　　ア交換法則１　５（ウ）　　　　　　　　～～嘘つきａ∨エゴイストａ　　イＤＮ１　５（エ）　　　　　　　　　～嘘つきａ→エゴイストａ　　ウ含意の定義１　５（オ）　　　　　　　　　　　　　　　エゴイストａ　　９エＭＰＰ１　５（カ）　　　　　　　　　エゴイストａ＆～嘘つきａ　　９オ＆Ｉ１　５（キ）　　　　　　∃ｘ（エゴイストｘ＆～嘘つきｘ）　カＥＩ１２　（ク）　　　　　　∃ｘ（エゴイストｘ＆～嘘つきｘ）　４５キＥＥ従って、（09）により、（10）（ⅰ）　∀ｘ（哲学者ｘ→　エゴイストｘ∨嘘つきｘ）。然るに、（ⅱ）～∀ｘ（哲学者ｘ→　嘘つきｘ）。　従って、（ⅲ）　∃ｘ（エゴイストｘ＆～嘘つきｘ）。といふ「推論」、すなはち、（ⅰ）すべてのｘについて（ｘが哲学者であるならば、ｘはエゴイストであるか、または、ｘは嘘つきである）。然るに、（ⅱ）すべてのｘについて（ｘが哲学者であるならば、ｘは嘘つきである）といふわけではない。従って、（ⅲ）　　あるｘについて（ｘはエゴイストであるが、ｘは嘘つきではない）。といふ「推論」は、「妥当」である。従って、（08）（09）（10）により、（11）　　哲学者はみなエゴイストであるか嘘つきである。　　すべての哲学者は嘘つきであるとは限らない。 ∴　あるエゴイストは嘘つきではない。といふ「推論」は、「日本語」で考へても、「述語論理」で「計算」しても、「妥当」である。然るに、（12）法律家、つまり弁護士とか裁判官とか検事などは、自分たちが論理を得意とすると思っているようです。（横浜の弁護士のブログ）従って、（11）（12）により、（13）「弁護士とか裁判官とか検事」などは、　　原告はみなエゴイストであるか嘘つきである。　　すべての原告は嘘つきであるとは限らない。 ∴　あるエゴイストは嘘つきではない。といふ「推論」に接した際に、「この推論は妥当」である。といふことを、「直ちに判定」出来ることが「期待」される。然るに、（14）でも、他分野の学問にそれなりに触れた人にとっては、法律家が論理を理解しているようには思えないと思います。むしろ、法律学というのは極めて非論理的なものという印象を抱くのではないでしょうか。然るに、（15）短答式試験の試験科目は、民法、憲法、刑法の計3科目です。論文式試験の試験科目は、憲法、行政法、民法、商法、民事訴訟法、刑法、刑事訴訟法、選択科目の系8科目です。といふ風に、「司法試験の試験科目」に「論理学」は無い。従って、（13）（14）（15）により、（16）大変、「由々しきこと」ではあるものの、恐らくは、ある裁判官は、　　原告はみなエゴイストであるか嘘つきである。　　すべての原告は嘘つきであるとは限らない。 ∴　あるエゴイストは嘘つきではない。といふ「推論」に接した際に、「この推論は妥当」である。といふことを、「直ちに判定」出来るとは、限らない（！？）。令和６年２月１９日、毛利太。

2024年2月18日日曜日

「恒真式（トートロジー）」の「研究」の続き。

―「昨日（令和６年２月１７日）」の「続き」を書きます。― 然るに、（27）（ⅰ）１　　（１）（～Ｐ∨Ｐ）＆Ｑ　　　　　Ａ１　　（２）　～Ｐ∨Ｐ　　　　　　　　１＆Ｅ１　　（３）　　　　　　　Ｑ　　　　　１＆Ｅ　４　（４）　～Ｐ　　　　　　　　　　Ａ１４　（５）　～Ｐ＆Ｑ　　　　　　　　３４＆Ｉ１４　（６）（～Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｑ）　５∨Ｉ　　７（７）　　　　Ｐ　　　　　　　　Ａ　　７（８）　　　　　　　　Ｐ＆Ｑ　　３７＆Ｉ１　７（９）（～Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｑ）　８∨Ｉ１　　（ア）（～Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｑ）　２４６７９∨Ｅ（ⅱ）１　　（１）（～Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｑ）　Ａ　２　（２）　～Ｐ＆Ｑ　　　　　　　　Ａ　２　（３）　～Ｐ　　　　　　　　　　２＆Ｅ　２　（４）　　　　Ｑ　　　　　　　　２＆Ｅ　２　（５）　～Ｐ∨Ｐ　　　　　　　　３∨Ｉ　２　（６）（～Ｐ∨Ｐ）＆Ｑ　　　　　４５＆Ｉ　　７（７）　　　　　　　　Ｐ＆Ｑ　　Ａ　　７（８）　　　　　　　　Ｐ　　　　７＆Ｅ　　７（９）　　　　　　　　　　Ｑ　　７＆Ｅ　　７（ア）　　　　　～Ｐ∨Ｐ　　　　８∨Ｉ　　７（イ）　　　（～Ｐ∨Ｐ）＆Ｑ　　９ア＆Ｉ１　　（ウ）（～Ｐ∨Ｐ）＆Ｑ　　　　　１２６７イ∨Ｅ従って、（27）により、（28） ①（～Ｐ∨Ｐ）＆Ｑ ②（～Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｑ）に於いて、 ①＝② である（分配法則）。然るに、（29） ①（～Ｐ∨Ｐ）＆Ｑ ②（～Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｑ）が「真」であるならば、 ① Ｐであろうと、Ｐでなかろうと、いづれにせよ、Ｑである。 ② Ｐであろうと、Ｐでなかろうと、いづれにせよ、Ｑである。然るに、（30） ① Ｐであろうと、Ｐでなかろうと、いづれにせよ、Ｑである。 ② Ｐであろうと、Ｐでなかろうと、いづれにせよ、Ｑである。といふことは、要するに、 ① Ｑである。 ② Ｑである。といふことに、「他ならない」。従って、（29）（30）により、（31） ①（～Ｐ∨Ｐ）＆Ｑ ②（～Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｑ）といふ「論理式」は、 ① Ｑ ② Ｑといふ「命題変数」に「等しい」が、言ふまでもなく、 ① Ｑ ② Ｑといふ「命題変数」は「恒真式（トートロジー）」ではない。従って、（18）（31）により、（32） ①（～Ｐ∨Ｐ）∨Ｑ ②（～Ｐ∨Ｐ）＆Ｑに於いて、 ① は「恒真式（トートロジー）」であるが、 ② は「恒真式（トートロジー）」ではない。令和６年２月１８日、毛利太。

2024年2月17日土曜日

「恒真式（トートロジー）」の「研究」。

（01）（ⅰ）１　　　（１）　～Ｐ∨　Ｐ　　Ａ　２　　（２）　　Ｐ＆～Ｐ　　Ａ　　３　（３）　～Ｐ　　　　　Ａ　２　　（４）　　Ｐ　　　　　２＆Ｅ　２３　（５）　～Ｐ＆　Ｐ　　３４＆Ｉ　　３　（６）～（Ｐ＆～Ｐ）　２５ＲＡＡ　　　７（７）　　　　　Ｐ　　Ａ　２　　（８）　　　　～Ｐ　　２＆Ｅ　２　７（９）　　Ｐ＆～Ｐ　　７８＆Ｉ　　　７（ア）～（Ｐ＆～Ｐ）　２９ＲＡＡ１　　　（イ）～（Ｐ＆～Ｐ）　１３６７ア∨Ｅ（ⅱ）１　　　（１）　～（Ｐ＆～Ｐ）　　Ａ　２　　（２）　～（～Ｐ∨Ｐ）　　Ａ　　３　（３）　　　～Ｐ　　　　　Ａ　　３　（４）　　　～Ｐ∨Ｐ　　　３∨Ｉ　２３　（５）　～（～Ｐ∨Ｐ）＆　　　　　　　　　（～Ｐ∨Ｐ）　　２４＆Ｉ　２　　（６）　　Ｐ　　　　　３５ＲＡＡ　２　　（７）　　　　Ｐ　　　　　６ＤＮ　　　８（８）　　　　　　Ｐ　　　Ａ　　　８（９）　　　～Ｐ∨Ｐ　　　８∨Ｉ　２　８（ア）　～（～Ｐ∨Ｐ）＆　　　　　　　　　（～Ｐ∨Ｐ）　　２８＆Ｉ　２　　（イ）　　　　　～Ｐ　　　８アＲＡＡ　２　　（ウ）　　　Ｐ＆～Ｐ　　　７イ＆Ｉ１２　　（エ）　～（Ｐ＆～Ｐ）＆　　　　　　　　　（Ｐ＆～Ｐ）　　１ウ＆Ｉ１　　　（オ）～～（～Ｐ∨Ｐ）　　２エＲＡＡ１　　　（カ）　　　～Ｐ∨Ｐ　　　オＤＮ従って、（01）により、（02） ①　～Ｐ∨　Ｐ ② ～（Ｐ＆～Ｐ）に於いて、 ①＝② である（ド・モルガンの法則）。然るに、（03）（ⅱ）１　　（１）　～（Ｐ＆～Ｐ）　　Ａ　２　（２）　　　Ｐ　　　　　　Ａ　　３（３）　　　　　～Ｐ　　　Ａ　２３（４）　　　Ｐ＆～Ｐ　　　２３＆Ｉ１２３（５）　～（Ｐ＆～Ｐ）＆　　　　　　　　（Ｐ＆～Ｐ）　　１５＆Ｉ１２　（６）　　　　Ｐ　　　３５ＲＡＡ１２　（７）　　　　　　Ｐ　　　６ＤＮ１　　（８）　　（Ｐ→　Ｐ）　　２７ＣＰ（ⅲ）１　　（１）　　（Ｐ→　Ｐ）　Ａ　２　（２）　　　Ｐ＆～Ｐ　　Ａ　２　（３）　　　Ｐ　　　　　Ａ１２　（４）　　　　　　Ｐ　　１３ＭＰＰ　２　（５）　　　　　～Ｐ　　２＆Ｅ１２　（６）　　　Ｐ＆～Ｐ　　４５＆Ｉ１　　（７）　～（Ｐ＆～Ｐ）　２６ＲＡＡ従って、（03）により、（04） ② ～（Ｐ＆～Ｐ） ③　　Ｐ→　Ｐに於いて、 ②＝③ である。従って、（02）（04）により、（05） ①　（～Ｐ∨Ｐ）は「排中律」。 ② ～（Ｐ＆～Ｐ）は「矛盾律」。 ③ 　（Ｐ→　Ｐ）は「同一律」。に於いて、 ①＝②＝③ である。然るに、（06）（ⅰ）１（１）　　　Ｐ　Ａ１（２）～Ｐ∨Ｐ　１∨Ｉ（ⅱ）１（１）～Ｐ　　　Ａ１（２）～Ｐ∨Ｐ　１∨Ｉ従って、（06）により、（07） ① 　Ｐ├ ～Ｐ∨Ｐ ② ～Ｐ├ ～Ｐ∨Ｐ従って、（05）（06）（07）により、（08） ①　（～Ｐ∨Ｐ）は「排中律」であって、「命題変数Ｐの真偽」に関はらず、「恒に真（トートロジー）」である。 ② ～（Ｐ＆～Ｐ）は「矛盾律」であって、「命題変数Ｐの真偽」に関はらず、「恒に真（トートロジー）」である。 ③ 　（Ｐ→　Ｐ）は「同一律」であって、「命題変数Ｐの真偽」に関はらず、「恒に真（トートロジー）」である。然るに、（09）（ⅰ）１（１）　　Ｐ＆　Ｑ　　　Ａ１（２）　　Ｐ　　　　　　１＆Ｅ１（３）　～Ｐ∨Ｐ　　　　２∨Ｉ１（４）（～Ｐ∨Ｐ）∨Ｑ　３∨Ｉ（ⅱ）１（１）　　Ｐ＆～Ｑ　　　Ａ１（２）　　Ｐ　　　　　　１＆Ｅ１（３）　～Ｐ∨Ｐ　　　　２∨Ｉ１（４）（～Ｐ∨Ｐ）∨Ｑ　３∨Ｉ（ⅲ）１（１）　～Ｐ＆　Ｑ　　　Ａ１（２）　～Ｐ　　　　　　１＆Ｅ１（３）　～Ｐ∨Ｐ　　　　２∨Ｉ１（４）（～Ｐ∨Ｐ）∨Ｑ　３∨Ｉ（ⅳ）１（１）　～Ｐ＆～Ｑ　　　Ａ１（２）　～Ｐ　　　　　　１＆Ｅ１（３）　～Ｐ∨Ｐ　　　　２∨Ｉ１（４）（～Ｐ∨Ｐ）∨Ｑ　３∨Ｉ従って、（09）により、（10） ① 　Ｐ＆　Ｑ├（～Ｐ∨Ｐ）∨Ｑ ② 　Ｐ＆～Ｑ├（～Ｐ∨Ｐ）∨Ｑ ③ ～Ｐ＆　Ｑ├（～Ｐ∨Ｐ）∨Ｑ ④ ～Ｐ＆～Ｑ├（～Ｐ∨Ｐ）∨Ｑ従って、（08）（09）（10）により、（11） ①　（～Ｐ∨Ｐ）∨Ｑは、「命題変数ＰとＱの真偽」に関はらず、「恒に真（トートロジー）」である。 ② ～（Ｐ＆～Ｐ）∨Ｑは、「命題変数ＰとＱの真偽」に関はらず、「恒に真（トートロジー）」である。 ③ 　（Ｐ→　Ｐ）∨Ｑは、「命題変数ＰとＱの真偽」に関はらず、「恒に真（トートロジー）」である。然るに、（12）（ⅰ）１（１）（～Ｐ∨Ｐ）∨Ｑ　　Ａ１（２）　～Ｐ∨（Ｐ∨Ｑ）　１結合法則１（３）　　Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）　２含意の定義（ⅳ）１（１）　　Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）　Ａ１（２）　～Ｐ∨（Ｐ∨Ｑ）　１含意の定義１（３）（～Ｐ∨Ｐ）∨Ｑ　　２結合法則従って、（12）により、（13） ①（～Ｐ∨Ｐ）∨Ｑ ②　　Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）に於いて、 ①＝② である。然るに、（14）（ⅲ）１（１）（～Ｐ∨Ｐ）∨～Ｑ　Ａ１（２）　～Ｐ∨Ｐ　∨～Ｑ　１結合法則１（３）　～Ｐ∨～Ｑ∨　Ｐ　２交換法則１（４）（～Ｐ∨～Ｑ）∨Ｐ　３結合法則１（５）～（Ｐ＆Ｑ）∨　Ｐ　４ド・モルガンの法則１（６）　（Ｐ＆Ｑ）→　Ｐ　５含意の定義（ⅳ）１（１）　（Ｐ＆Ｑ）→　Ｐ　Ａ１（２）～（Ｐ＆Ｑ）∨　Ｐ　１含意の定義１（３）　～Ｐ∨～Ｑ∨　Ｐ　２ド・モルガンの法則１（４）　～Ｐ∨Ｐ　∨～Ｑ　３交換法則１（５）（～Ｐ∨Ｐ）∨～Ｑ　結合法則従って、（14）により、（15） ③（～Ｐ∨Ｐ）∨～Ｑ ④　（Ｐ＆Ｑ）→　Ｐに於いて、 ③＝④ である。然るに、（16）（ⅰ）１（１）　　Ｐ＆　Ｑ　　　　Ａ１（２）　　Ｐ　　　　　　　１＆Ｅ１（３）　～Ｐ∨Ｐ　　　　　２∨Ｉ１（４）（～Ｐ∨Ｐ）∨～Ｑ　３∨Ｉ（ⅱ）１（１）　　Ｐ＆～Ｑ　　　　Ａ１（２）　　Ｐ　　　　　　　１＆Ｅ１（３）　～Ｐ∨Ｐ　　　　　２∨Ｉ１（４）（～Ｐ∨Ｐ）∨～Ｑ　３∨Ｉ（ⅲ）１（１）　～Ｐ＆　Ｑ　　　　Ａ１（２）　～Ｐ　　　　　　　１＆Ｅ１（３）　～Ｐ∨Ｐ　　　　　２∨Ｉ１（４）（～Ｐ∨Ｐ）∨～Ｑ　３∨Ｉ（ⅳ）１（１）　～Ｐ＆～Ｑ　　　　Ａ１（２）　～Ｐ　　　　　　　１＆Ｅ１（３）　～Ｐ∨Ｐ　　　　　２∨Ｉ１（４）（～Ｐ∨Ｐ）∨～Ｑ　３∨Ｉ従って、（16）により、（17） ① 　Ｐ＆　Ｑ├（～Ｐ∨Ｐ）∨～Ｑ ② 　Ｐ＆～Ｑ├（～Ｐ∨Ｐ）∨～Ｑ ③ ～Ｐ＆　Ｑ├（～Ｐ∨Ｐ）∨～Ｑ ④ ～Ｐ＆～Ｑ├（～Ｐ∨Ｐ）∨～Ｑ従って、（10）（11）（13）（15）（17）により、（18） ①（～Ｐ∨Ｐ）∨　Ｑ　は、「命題変数ＰとＱの真偽」に関はらず、「恒に真（トートロジー）」である。 ② 　Ｐ→（Ｐ∨　Ｑ）は、「命題変数ＰとＱの真偽」に関はらず、「恒に真（トートロジー）」である。 ③（～Ｐ∨Ｐ）∨～Ｑ　は、「命題変数ＰとＱの真偽」に関はらず、「恒に真（トートロジー）」である。 ④　（Ｐ＆Ｑ）→　Ｐ　は、「命題変数ＰとＱの真偽」に関はらず、「恒に真（トートロジー）」である。といふ「意味」では、 ①＝②＝③＝④ である。然るに、（18）により、（19） ①（～Ｐ∨Ｐ）∨　Ｑ ③（～Ｐ∨Ｐ）∨～Ｑに於いて、 ① は、「　Ｑ」であるが、 ③ は、「～Ｑ」であるため、 ①＝③ ではない。従って、（13）（15）（19）により、（20） ②「選言導入（∨Ｉ）」である所の、　Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）は、「命題変数ＰとＱの真偽」に関はらず、「恒に真（トートロジー）」であって、 ④「連言除去（＆Ｅ）」である所の、（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ　も、「命題変数ＰとＱの真偽」に関はらず、「恒に真（トートロジー）」であるものの、 ②＝④ ではない。然るに、（21）（ⅰ）１（１）　　Ｐ＆　Ｑ　　　Ａ１（２）　　Ｐ　　　　　　１＆Ｅ１（３）　　　　　Ｑ　　　１＆Ｅ１（４）　～Ｐ∨Ｐ　　　　３∨Ｉ１（５）（～Ｐ∨Ｐ）＆Ｑ　３４＆Ｉといふ「推論」は「妥当」である。（ⅱ）１（１）　　Ｐ＆～Ｑ　　　Ａ１（２）　　Ｐ　　　　　　１＆Ｅ１（３）　　　　～Ｑ　　　１＆Ｅ１（４）　～Ｐ∨Ｐ　　　　３∨Ｉ１（５）（～Ｐ∨Ｐ）＆Ｑ　３４＆Ｉといふ「推論」は「妥当」ではない。（ⅲ）１（１）　～Ｐ＆　Ｑ　　　Ａ１（２）　～Ｐ　　　　　　１＆Ｅ１（３）　　　　　Ｑ　　　１＆Ｅ１（４）　～Ｐ∨Ｐ　　　　３∨Ｉ１（５）（～Ｐ∨Ｐ）＆Ｑ　３４＆Ｉといふ「推論」は「妥当」である。（ⅳ）１（１）　～Ｐ＆～Ｑ　　　Ａ１（２）　～Ｐ　　　　　　１＆Ｅ１（３）　　　　～Ｑ　　　１＆Ｅ１（４）　～Ｐ∨Ｐ　　　　３∨Ｉ１（５）（～Ｐ∨Ｐ）＆Ｑ　３４＆Ｉといふ「推論」は「妥当」ではない。従って、（21）により、（22） ① 　Ｐ＆　Ｑ├（～Ｐ∨Ｐ）＆Ｑ ② 　Ｐ＆～Ｑ├（～Ｐ∨Ｐ）＆Ｑ ③ ～Ｐ＆　Ｑ├（～Ｐ∨Ｐ）＆Ｑ ④ ～Ｐ＆～Ｑ├（～Ｐ∨Ｐ）＆Ｑに於いて、 ①と③ は「妥当」であるが、 ②と④ は「妥当」ではなく、それ故、 ①（～Ｐ∨Ｐ）＆Ｑは、「恒に真（トートロジー）」ではない。従って、（18）（22）により、（23） ①（～Ｐ∨Ｐ）∨Ｑは、「恒に、真（トートロジー）」であるが、 ②（～Ｐ∨Ｐ）＆Ｑは、「恒には真（トートロジー）」ではない。従って、（23）により、（24）「結合法則・含意の定義」として、 ①（～Ｐ∨Ｐ）∨Ｑ ≡～Ｐ∨（Ｐ∨Ｑ）≡Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）。 ②（～Ｐ∨Ｐ）＆Ｑ ≡～Ｐ∨（Ｐ＆Ｑ）≡Ｐ→（Ｐ＆Ｑ）。であるものの、 ① は「妥当」であるが、 ② は「妥当」ではない。従って、（24）により、（25） ① Ｐであるならば（Ｐであるか、または、Ｑである）。 ② Ｐであるならば（Ｐであって、尚且つ、Ｑである）。に於いて、 ① は「妥当」であるが、 ② は「妥当」ではない。（26）仮に、 ②（～Ｐ∨Ｐ）＆Ｑ ≡～Ｐ∨（Ｐ＆Ｑ）≡Ｐ→（Ｐ＆Ｑ）。であるならば、すなはち、 ② Ｐであるならば（Ｐであって、尚且つ、Ｑである）。とするならば、 ②「任意の命題」が「真」であるならば、「全ての命題」は「真」である。といふことになるものの、 ②「そのやうなこと」は、「有っては、ならない」。令和６年２月１７日、毛利太。

2024年2月14日水曜日

「恒真式（トートロジー）」の「意味」について。

（01） ① Ａ，Ｂ├ Ｃ ② 　　Ａ├ Ｂ→Ｃ ③ 　　　├ Ａ→（Ｂ→Ｃ）に於いて、 ① ならば、② であり、 ② ならば、③ である。従って、（01）により、（02） ① Ａが真で、Ｂも真、なので、Ｃは真である。 ② 　　　　　Ａが真、なので、Ｂが真ならば、Ｃは真である。 ③ 　　　　　　　　　なので、Ａが真ならば（Ｂが真ならば、Ｃは真である）。に於いて、 ① ならば、② であり、 ② ならば、③ である。従って、（01）（02）により、（03） ① Ａ，Ｂ├ Ｃ ② 　　Ａ├ Ｂ→Ｃ ③ 　　　├ Ａ→（Ｂ→Ｃ）であれば、 ① 真，真├ 真 ② 　　真├ 真→真 ③ 　　　├ 真→（真→真）である。然るに、（04） ③ ├ 真→（真→真）であれば、 ③ 真→（真→真）である。然るに、（05）「真理表（Truth table）」により、 ① 真→（真→真） ② 真→（真） ③ 真に於いて、 ① ならば、② であって、 ② ならば、③ である。従って、（01）～（05）により、（06） ① Ａ，Ｂ├ Ｃ ② 　　Ａ├ Ｂ→Ｃ ③　　　 ├ Ａ→（Ｂ→Ｃ）であるならば、 ④ Ａ→（Ｂ→Ｃ）は「真」である。然るに、（07）１　（１）　Ｐ　　　　　　　　　　　Ａ　２（２）　Ｐ→Ｑ　　　　　　　　　Ａ１２（３）　　　Ｑ　　　　　　　　　１２ＭＰＰ１　（４）（Ｐ→Ｑ）→Ｑ　　　　　　２３ＣＰ　　（５）　Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）　１４ＣＰ従って、（06）（07）により、（08） ① Ｐ，Ｐ→Ｑ├ Ｑ ②　　　　Ｐ├（Ｐ→Ｑ）→Ｑ ③ 　　　　　├ Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）であるため、 ④ Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）は「真」である。然るに、（09）「番号」を付け直すとして、 ①　　Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ） ② ～｛Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）｝に於いて、 ② は、① の「否定」である。従って、（08）（09）により、（10） ①　　Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ） ② ～｛Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）｝に於いて、 ① が「真」である以上、その「否定」である、 ② は、必然的に、「偽」である。然るに、（11）（ⅰ）１（１）　Ｐ→（　（　Ｐ→Ｑ）→Ｑ）　Ａ１（２）～Ｐ∨（　（　Ｐ→Ｑ）→Ｑ）　１含意の定義１（３）～Ｐ∨（　（～Ｐ∨Ｑ）→Ｑ）　２含意の定義１（４）～Ｐ∨（～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｑ）　２含意の定義（ⅱ）１（１）～Ｐ∨（～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｑ）　Ａ１（２）～Ｐ∨（　（～Ｐ∨Ｑ）→Ｑ）　１含意の定義１（３）～Ｐ∨（　（　Ｐ→Ｑ）→Ｑ）　２含意の定義１（４）　Ｐ→（　（　Ｐ→Ｑ）→Ｑ）　３含意の定義従って、（11）により、（12） ①　Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）といふ「論理式」は、 ① ～Ｐ∨（～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｑ）といふ「論理式」に「等しい」。従って、（10）（12）により、（13） ①　　Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ） ② ～｛Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）｝に於いて、すなはち、 ① 　　～Ｐ∨（～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｑ） ② ～｛～Ｐ∨（～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｑ）｝に於いて、 ① が「真」である以上、その「否定」である、 ② は、必然的に、「偽」である。然るに、（14）（ⅱ）１（１）～｛～Ｐ∨（～（～Ｐ∨Ｑ）∨　Ｑ）｝　Ａ１（２）　　Ｐ＆～（～（～Ｐ∨Ｑ）∨　Ｑ）　　１ド・モルガンの法則１（３）　　Ｐ　　　　　　　　　　　　　　　　２＆Ｅ１（４）　　　　～（～（～Ｐ∨Ｑ）∨　Ｑ）　　２＆Ｅ１（５）　　　　　　　（～Ｐ∨Ｑ）＆～Ｑ　　　４ド・モルガンの法則１（６）　　　　　　　（～Ｐ∨Ｑ）　　　　　　５＆Ｅ１（７）　　　　　　　　　Ｐ→Ｑ　　　　　　　６含意の定義１（８）　　　　　　　　　　　Ｑ　　　　　　　３７ＭＰＰ１（９）　　　　　　　　　　　　　　～Ｑ　　　５＆Ｅ１（ア）　　　　　　　　　　　　Ｑ＆～Ｑ　　　８９＆Ｉ１（イ）　　　　　　　　　Ｐ＆（Ｑ＆～Ｑ）　　３ア＆Ｉ（ⅲ）１（１）　　　　　　　　　Ｐ＆（Ｑ＆～Ｑ）　　Ａ１（２）　　　　　　　　　Ｐ　　　　　　　　　１＆Ｅ１（３）　　　　　　　　　　　（Ｑ＆～Ｑ）　　１＆Ｅ１（４）　　　　　　　　　　　　Ｑ　　　　　　３＆Ｅ１（５）　　　　　　　　　　　　　　～Ｑ　　　３＆Ｅ１（６）　　　　　　　　　～Ｐ∨Ｑ　　　　　　４∨Ｉ１（７）　　　　　　　（～Ｐ∨Ｑ）＆～Ｑ　　　５６＆Ｉ１（８）　　　　～（～（～Ｐ∨Ｑ）∨　Ｑ）　　７ド・モルガンの法則１（９）　　Ｐ＆～（～（～Ｐ∨Ｑ）∨　Ｑ）　　２８＆Ｉ１（ア）～｛～Ｐ∨（～（～Ｐ∨Ｑ）∨　Ｑ）｝　９ド・モルガンの法則従って、（14）により、（15） ② ～｛～Ｐ∨（～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｑ）｝ ③ 　　　Ｐ＆（Ｑ＆～Ｑ）に於いて、すなはち、 ② ～｛～Ｐ∨（～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｑ）｝ ③ 　　　Ｐ＆（矛盾）に於いて、すなはち、 ② ～｛～Ｐ∨（～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｑ）｝ ③ 　　　Ｐ＆（偽）に於いて、すなはち、 ② ～｛～Ｐ∨（～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｑ）｝ ③ 　　　　　　偽に於いて、すなはち、 ②＝③ である。従って、（10）～（15）により、（16） ①　　Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ） ② ～｛Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）｝に於いて、 ① が「真」である以上、その「否定」である、 ② は、必然的に、「偽」である。といふ「命題」は、「真」である。然るに、（17）（ⅰ）１（１）　　　　　　　Ｐ＆　Ｑ　　Ａ１（２）　　　　　　　　　　Ｑ　　Ａ１（３）　　　～（Ｐ→Ｑ）∨Ｑ　　２∨Ｉ１（４）　　　　（Ｐ→Ｑ）→Ｑ　　３含意の定義１（５）～Ｐ∨（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）　４∨Ｉ１（６）　Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）　５含意の定義（ⅱ）１　（１）　　　　　Ｐ＆～Ｑ　　　　Ａ　２（２）　　　　　Ｐ→　Ｑ　　　　Ａ１　（３）　　　　　Ｐ　　　　　　　１＆Ｅ１２（４）　　　　　　　　Ｑ　　　　２３ＭＰＰ１　（５）　　　　　　　～Ｑ　　　　１＆Ｅ１２（６）　　　　　Ｑ＆～Ｑ　　　　４５＆Ｉ１　（７）　　　～（Ｐ→Ｑ）　　　　２ＲＡＡ１　（８）　　　～（Ｐ→Ｑ）∨Ｑ　　７∨Ｉ１　（９）　　　　（Ｐ→Ｑ）→Ｑ　　８含意の定義１　（ア）～Ｐ∨（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）　９∨Ｉ１　（イ）　Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）　ア含意の定義（ⅲ）１（１）　　　　　　～Ｐ＆　Ｑ　　Ａ１（２）　　　　　　　　　　Ｑ　　Ａ１（３）　　　～（Ｐ→Ｑ）∨Ｑ　　２∨Ｉ１（４）　　　　（Ｐ→Ｑ）→Ｑ　　３含意の定義１（５）～Ｐ∨（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）　４∨Ｉ１（６）　Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）　５含意の定義（ⅳ）１（１）　　　　　　～Ｐ＆～Ｑ　　Ａ１（２）～Ｐ　　　　　　　　　　　１＆Ｅ１（３）～Ｐ∨（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）　２∨Ｉ１（４）　Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）　３含意の定義従って、（17）により、（18） ① 　Ｐ＆　Ｑ├ Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ） ② 　Ｐ＆～Ｑ├ Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ） ③ ～Ｐ＆　Ｑ├ Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ） ④ ～Ｐ＆～Ｑ├ Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）といふ「連式」は、４つとも「正しい」。従って、（18）により、（19） ① Ｐが真で、Ｑが真である、としても、 ② Ｐが真で、Ｑが偽である、としても、 ③ Ｐが偽で、Ｑが真である、としても、 ④ Ｐが偽で、Ｑが偽である、としても、いづれにしても、 ① Ｐならば（（ＰならばＱである）ならばＱである）。といふ「命題」は、「恒に真」である。従って、（08）（16）（19）により、（20） ① Ｐ，Ｐ→Ｑ├ Ｑ ②　　　　Ｐ├（Ｐ→Ｑ）→Ｑ ③ 　　　　　├ Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）であるため、 ④ Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）は「真」である。といふことは、 ④ の「否定」は「偽」であり、 ④ は「命題変数（ＰとＱ）の真偽」に関はらず、「恒に真」である。といふことに、「他ならない」。令和６年２月１４日、毛利太。

2024年2月13日火曜日

「命題論理」の「完全性定理」。

（01）１　（１）Ｐ→Ｑ　Ａ　２（２）Ｐ　　　Ａ１２（３）　　Ｑ　１ＭＰＰという「計算」に於ける、　　　 ① Ｐ→Ｑ　　　 ② Ｐ　　　 ③ 　　Ｑという「論理式」に於いて、 ① は「仮定」により「真」であり、 ② も「仮定」により「真」であり、 ③ は『規則』により「真」である。然るに、（01）により、（02）１　（１）　Ｐ→Ｑ　　　　　　　　Ａ　２（２）　Ｐ　　　　　　　　　　Ａ１２（３）　　　Ｑ　　　　　　　　１ＭＰＰ１　（４）　Ｐ→Ｑ　　　　　　　　２３ＣＰ　　（５）（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）　１４ＣＰという「計算」は「妥当」であり、それ故、 ① Ｐ→Ｑ，Ｐ├ Ｑ ②　　Ｐ→Ｑ├ Ｐ→Ｑ ③　　　　　 ├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）という「連式（Sequents）」は、「妥当」ある。然るに、（03） ③├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）に於ける、 ③　（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）という「論式」は、「同一律（の代入例）」であって、「同一律」は、「恒真式（トートロジー）」である。従って、（01）（02）（03）により、（04）例えば、「同一律」がそうであるように、 ③├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）という風に、（ⅰ）「仮定の個数」が「０個」である所の「論理式」は「恒真式（トートロジー）」である。然るに、（05）１（１）　～｛（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）｝　Ａ１（２）～｛～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ）｝　１含意の定義１（３）　　（Ｐ→Ｑ）＆～（Ｐ→Ｑ）　　２ド・モルガンの法則１（４）　　（Ｐ→Ｑ）　　　　　　　　　３＆Ｅ１（５）　　　　　　　　～（Ｐ→Ｑ）　　３＆Ｅ１（６）　　　　　　　～（～Ｐ∨Ｑ）　　５含意の定義１（７）　　　　　　　　　Ｐ＆～Ｑ　　　６ド・モルガンの法則１（８）　　　　　　　　　Ｐ　　　　　　７＆Ｅ１（９）　　　　　Ｑ　　　　　　　　　　４８ＭＰＰ１（ア）　　　　　　　　　　　～Ｑ　　　７＆Ｅ１（イ）　　　　　Ｑ＆～Ｑ　　　　　　　８９＆Ｉ　（ウ）～～｛（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）｝　１ＲＡＡ　（エ）　　　（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）　　ウＤＮ従って、（04）（05）により、（06）例えば、「同一律」がそうであるように、（ⅱ）「恒真式（トートロジー）」の「否定」は、「恒偽式（矛盾）」である。然るに、（07）（ⅰ）１（１）　　Ｐ＆Ｑ　　　　　　　　Ａ１（２）　　　　Ｑ　　　　　　　　１＆Ｅ１（３）　～Ｐ∨Ｑ　　　　　　　　２∨Ｉ１（４）　　Ｐ→Ｑ　　　　　　　　３含意の定義１（５）～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ）　４∨Ｉ１（６）　（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）　５含意の定義（ⅱ）１　（１）　Ｐ＆～Ｑ　　　　　　　　Ａ　２（２）　Ｐ→　Ｑ　　　　　　　　Ａ１　（３）　Ｐ　　　　　　　　　　　１＆Ｅ１２（４）　　　　Ｑ　　　　　　　　２３ＭＰＰ１　（５）　　　～Ｑ　　　　　　　　１＆Ｅ１２（６）　Ｑ＆～Ｑ　　　　　　　　４５＆Ｉ１　（７）～（Ｐ→Ｑ）　　　　　　　２６ＲＡＡ１　（８）～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ）　７∨Ｉ１　（９）　（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）　８含意の定義（ⅲ）１（１）　～Ｐ＆Ｑ　　　　　　　　Ａ１（２）　～Ｐ　　　　　　　　　　１＆Ｅ１（３）　～Ｐ∨Ｑ　　　　　　　　２∨Ｉ１（４）　　Ｐ→Ｑ　　　　　　　　３含意の定義１（５）～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ）　４∨Ｉ１（６）　（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）　５含意の定義（ⅳ）１（１）　～Ｐ＆～Ｑ　　　　　　　Ａ１（２）　～Ｐ　　　　　　　　　　１＆Ｅ１（３）　～Ｐ∨Ｑ　　　　　　　　２∨Ｉ１（４）　　Ｐ→Ｑ　　　　　　　　３含意の定義１（５）～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ）　４∨Ｉ１（６）　（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）　５含意の定義従って、（07）により、（08） ① 　Ｐ＆　Ｑ├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ） ② 　Ｐ＆～Ｑ├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ） ③ ～Ｐ＆　Ｑ├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ） ④ ～Ｐ＆～Ｑ├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）然るに、（09）（ⅰ）１　　（１）　　（Ｐ→Ｑ）→　（Ｐ→Ｑ）　Ａ１　　（２）　～（Ｐ→Ｑ）∨　（Ｐ→Ｑ）　１含意の定義１　　（３）～（～Ｐ∨Ｑ）∨　（Ｐ→Ｑ）　２含意の定義　４　（４）～（～Ｐ∨Ｑ）　　　　　　　　Ａ　４　（５）　　Ｐ＆～Ｑ　　　　　　　　　４含意の定義　４　（６）　（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｐ∨Ｑ）　５∨Ｉ　　７（７）　　　　　　　　　（Ｐ→Ｑ）　Ａ　　７（８）　　　　　　　　　～Ｐ∨Ｑ　　７含意の定義　　７（９）　（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｐ∨Ｑ）　８∨Ｉ１　　（ア）　（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｐ∨Ｑ）　１４６７９∨Ｅ（ⅱ）１　　（１）　（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｐ∨Ｑ）　Ａ　２　（２）　（Ｐ＆～Ｑ）　　　　　　　　Ａ　２　（３）～（～Ｐ∨Ｑ）　　　　　　　　２ド・モルガンの法則　２　（４）　～（Ｐ→Ｑ）　　　　　　　　３含意の定義　２　（５）　～（Ｐ→Ｑ）∨　（Ｐ→Ｑ）　５∨Ｉ　　６（６）　　　　　　　　（～Ｐ∨Ｑ）　Ａ　　６（７）　　　　　　　　　（Ｐ→Ｑ）　６含意の定義　　６（８）　～（Ｐ→Ｑ）∨　（Ｐ→Ｑ）　∨Ｉ１　　（９）　～（Ｐ→Ｑ）∨　（Ｐ→Ｑ）　１２５６８∨Ｅ１　　（ア）　　（Ｐ→Ｑ）→　（Ｐ→Ｑ）　９含意の定義従って、（09）により、（10） ①（Ｐ→　Ｑ）→（　Ｐ→Ｑ） ②（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｐ∨Ｑ）に於いて、 ①＝② である。然るに、（11）『選言導入（∨Ｉ）』により、 ① 　Ｐ＆　Ｑ├（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｐ∨Ｑ） ② 　Ｐ＆～Ｑ├（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｐ∨Ｑ） ③ ～Ｐ＆　Ｑ├（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｐ∨Ｑ） ④ ～Ｐ＆～Ｑ├（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｐ∨Ｑ）という「連式（Sequents）」が「妥当」であることは、「計算」をしなくとも、「明白」である。従って、（08）～（11）により、（12）いずれにせよ、 ① 　Ｐ＆　Ｑ├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ） ② 　Ｐ＆～Ｑ├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ） ③ ～Ｐ＆　Ｑ├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ） ④ ～Ｐ＆～Ｑ├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）という「連式（Sequents）」は、「妥当」ある。従って、（12）により、（13）例えば、「同一律」がそうであるように、（ⅲ）「命題変数（Ｐ，Ｑ）」の「真理値（真偽）」に関わらず、「恒真式（トートロジー）」の「真理値（真偽）」は、「恒に真」である。従って、（04）（06）（13）により、（14）例えば、「同一律」がそうであるように、（ⅰ）「仮定の個数」が「０個」である所の「論理式」は「恒真式（トートロジー）」である。（ⅱ）「恒真式（トートロジー）」の「否定」は、「恒偽式（矛盾）」である。（ⅲ）「命題変数（Ｐ，Ｑ）」の「真理値（真偽）」に関わらず、「恒真式（トートロジー）」の「真理値（真偽）」は、「恒に真」である。　―「命題変数」が「３個（Ｐ，Ｑ，Ｒ）」になっただけで、「同じこと」の「繰り返し」です。― 然るに、（15）１　　　（１）　Ｐ→Ｑ　Ａ　２　　（２）　Ｒ∨Ｐ　Ａ　　３　（３）　Ｒ　　　Ａ　　３　（４）　Ｒ∨Ｑ　３∨Ｉ　　　５（５）　　　Ｐ　Ａ１　　５（６）　　　Ｑ　１５ＭＰＰ１　　５（７）　Ｒ∨Ｑ　６∨Ｉ１２　　（８）　Ｒ∨Ｑ　２３４５７∨Ｅという「計算」に於ける、　　　　　　 ① Ｐ→Ｑ　　　　　　 ② Ｒ∨Ｐ　　　　　　 ③ Ｒ∨Ｑという「論理式」に於いて、 ① は「仮定」により「真」であり、 ② も「仮定」により「真」であり、 ③ は『規則』により「真」である。従って、（15）により、（16）１　　　（１）　Ｐ→Ｑ　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ　２　　（２）　Ｒ∨Ｐ　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ　　３　（３）　Ｒ　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ　　３　（４）　Ｒ∨Ｑ　　　　　　　　　　　　　　　　３∨Ｉ　　　５（５）　　　Ｐ　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ１　　５（６）　　　Ｑ　　　　　　　　　　　　　　　　１５ＭＰＰ１　　５（７）　Ｒ∨Ｑ　　　　　　　　　　　　　　　　６∨Ｉ１２　　（８）　Ｒ∨Ｑ　　　　　　　　　　　　　　　　２３４５７∨Ｅ１　　　（９）（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）　　　　　　　　　２８ＣＰ　　　　（ア）（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））　１９ＣＰという「計算」は「妥当」であり、それ故、 ① Ｐ→Ｑ，Ｒ∨Ｐ├ Ｒ∨Ｑ ② 　　　　Ｐ→Ｑ├（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ） ③　　　　　　　 ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））という「連式（Sequents）」は、「妥当」ある。然るに、（16）により、（17） ③├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））に於ける、 ③　（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））という「論式」は、「ヒルベルト・アッカーマンの公理（４）」であって、「ヒルベルト・アッカーマンの公理（４）」は、「恒真式（トートロジー）である。従って、（15）（16）（17）により、（18） ③├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））という風に、例えば、「ヒルベルト・アッカーマンの公理（４）」がそうであるように、（ⅰ）「仮定の個数」が「０個」である所の「論理式」は「恒真式（トートロジー）」である。然るに、（19）１（１）　～（（　Ｐ→Ｑ）→　　（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）））　Ａ１（２）　～（（～Ｐ∨Ｑ）→　　（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）））　１含意の定義１（３）～（～（～Ｐ∨Ｑ）∨　　（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）））　２含意の定義１（４）～（～（～Ｐ∨Ｑ）∨　（～（Ｒ∨Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）））　３含意の定義１（５）　　　（～Ｐ∨Ｑ）＆～（～（Ｒ∨Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ））　　４ド・モルガンの法則１（６）　　　（～Ｐ∨Ｑ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　５＆Ｅ１（７）　　　　　　　　　　～（～（Ｒ∨Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ））　　５＆Ｅ１（８）　　　　　　　　　　　　（Ｒ∨Ｐ）＆～（Ｒ∨Ｑ）　　　７ド・モルガンの法則１（９）　　　　　　　　　　　　　Ｒ∨Ｐ　　　　　　　　　　　８＆Ｅ１（ア）　　　　　　　　　　　　　　　　　　～（Ｒ∨Ｑ）　　　８＆Ｅ１（イ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　～Ｒ＆～Ｑ　　　　ア、ド・モルガンの法則１（ウ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　～Ｒ　　　　　　　イ＆Ｅ１（エ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～Ｑ　　　　イ＆Ｅ１（オ）　　　　　Ｐ→Ｑ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　６含意の定義１（カ）　　　　～Ｐ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　エオＭＴＴ１（キ）　　　～Ｒ＆～Ｐ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ウカ＆Ｉ１（ク）　　～（Ｒ∨Ｐ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　キ、ド・モルガンの法則１（ケ）　　～（Ｒ∨Ｐ）＆（Ｒ∨Ｐ）　　　　　　　　　　　　　９ク＆Ｉ従って、（18）（19）により、（20）例えば、「ヒルベルト・アッカーマンの公理（４）」がそうであるように、（ⅱ）「恒真式（トートロジー）」の「否定」は、「恒偽式（矛盾）」である。然るに、（21）１（１）　　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ　　　　　　　　　　　　Ａ１（２）　　　　　　　　Ｒ　　　　　　　　　　　　Ａ１（３）　　　　　　　　　　　　　　　Ｒ∨Ｑ　　　２∨Ｉ１（４）　　　　　　　～（Ｒ∨Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）　　３∨Ｉ１（５）　　　　　　　　（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）　　４含意の定義１（６）～（Ｐ→Ｑ）∨（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））　５∨Ｉ１（７）　（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））　６含意の定義（ⅱ）１（１）　　Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ　　　　　　　　　　　　　Ａ１（２）　　　　　Ｑ　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ１（３）　　　　　　　　　　　　　　　Ｒ∨Ｑ　　　２∨Ｉ１（４）　　　　　　　～（Ｒ∨Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）　　３∨Ｉ１（５）　　　　　　　　（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）　　４含意の定義１（６）～（Ｐ→Ｑ）∨（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））　５∨Ｉ１（７）　（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））　６含意の定義（ⅲ）（ⅰ）１（１）　　Ｐ＆～Ｑ＆　Ｒ　　　　　　　　　　　　Ａ１（２）　　　　　　　　Ｒ　　　　　　　　　　　　Ａ１（３）　　　　　　　　　　　　　　　Ｒ∨Ｑ　　　２∨Ｉ１（４）　　　　　　　～（Ｒ∨Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）　　３∨Ｉ１（５）　　　　　　　　（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）　　４含意の定義１（６）～（Ｐ→Ｑ）∨（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））　５∨Ｉ１（７）　（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））　６含意の定義（ⅳ）１　（１）　Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ　　　　　　　　　　　　　Ａ　２（２）　Ｐ→　Ｑ　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ１　（３）　Ｐ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　１＆Ｅ１２（４）　　　　Ｑ　　　　　　　　　　　　　　　　２３ＭＰＰ１　（５）　　　～Ｑ　　　　　　　　　　　　　　　　１＆Ｅ１２（６）　　　　Ｑ＆～Ｑ　　　　　　　　　　　　　４５＆Ｉ１　（７）～（Ｐ→Ｑ）　　　　　　　　　　　　　　　２６ＲＡＡ１　（８）～（Ｐ→Ｑ）∨（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））　７∨Ｉ１　（９）（　Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））　１含意の定義（ⅴ）１（１）　～Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ　　　　　　　　　　　　Ａ１（２）　　　　　Ｑ　　　　　　　　　　　　　　　Ａ１（３）　　　　　　　　　　　　　　　Ｒ∨Ｑ　　　２∨Ｉ１（４）　　　　　　　～（Ｒ∨Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）　　３∨Ｉ１（５）　　　　　　　　（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）　　４含意の定義１（６）～（Ｐ→Ｑ）∨（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））　５∨Ｉ１（７）　（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））　６含意の定義（ⅵ）１（１）　～Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ　　　　　　　　　　　　Ａ１（２）　　　　　Ｑ　　　　　　　　　　　　　　　Ａ１（３）　　　　　　　　　　　　　　　Ｒ∨Ｑ　　　２∨Ｉ１（４）　　　　　　　～（Ｒ∨Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）　　３∨Ｉ１（５）　　　　　　　　（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）　　４含意の定義１（６）～（Ｐ→Ｑ）∨（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））　５∨Ｉ１（７）　（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））　６含意の定義１（３）　　　　　　　　　　　　　　　Ｒ∨Ｑ　　　２∨Ｉ１（４）　　　　　　　～（Ｒ∨Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）　　３∨Ｉ１（５）　　　　　　　　（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）　　４含意の定義１（６）～（Ｐ→Ｑ）∨（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））　５∨Ｉ１（７）　（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））　６含意の定義（ⅶ）１（１）　～Ｐ＆～Ｑ＆　Ｒ　　　　　　　　　　　　Ａ１（２）　　　　　Ｑ　　　　　　　　　　　　　　　Ａ１（３）　　　　　　　　　　　　　　　Ｒ∨Ｑ　　　２∨Ｉ１（４）　　　　　　　～（Ｒ∨Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）　　３∨Ｉ１（５）　　　　　　　　（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）　　４含意の定義１（６）～（Ｐ→Ｑ）∨（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））　５∨Ｉ１（７）　（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））　６含意の定義（ⅷ）１　（１）　～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ　　　　　　　　　　　　Ａ１　（２）　～Ｐ　　　　　　　　　　　　　　　　　　１＆Ｅ　３（３）　　　　　　～（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））　Ａ　３（４）　　　　　～（～（Ｒ∨Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ））　３含意の定義　３（５）　　　　　　　（Ｒ∨Ｐ）＆～（Ｒ∨Ｑ）　　４ド・モルガンの法則　３（６）　　　　　　　　Ｒ∨Ｐ　　　　　　　　　　５＆Ｅ　３（７）　　　　　　　　　　　　　～（Ｒ∨Ｑ）　　５＆Ｅ　３（８）　　　　　　　　　　　　　～Ｒ＆～Ｑ　　７ド・モルガンの法則　３（９）　　　　　　　～Ｒ　　　　　　　　　　　　８＆Ｅ１３（ア）　　　　　　　～Ｒ＆～Ｐ　　　　　　　　　２９＆Ｉ１３（イ）　　　　　　～（Ｒ∨Ｐ）　　　　　　　　　ア、ド・モルガンの法則１３（ウ）　　　　　　　（Ｒ∨Ｐ）＆～（Ｒ∨Ｐ）　　６イ＆Ｉ１　（エ）　　　　　～～（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））　３ウＲＡＡ１　（オ）　　　　　　　（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））　ＤＮ１　（カ）～（Ｐ→Ｑ）∨（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））　オ∨Ｉ１　（キ）　（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））　カ含意の定義従って、（21）により、（22） ① 　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ② 　Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ③ 　Ｐ＆～Ｑ＆　Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ④ 　Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ⑤ ～Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ⑥ ～Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆　Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））然るに、（23）（ⅰ）１　　　　（１）　　（Ｐ→Ｑ）→（　（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））　Ａ１　　　　（２）　～（Ｐ→Ｑ）∨（　（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））　１含意の定義１　　　　（３）～（～Ｐ∨Ｑ）∨（　（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））　２含意の定義１　　　　（４）～（～Ｐ∨Ｑ）∨（～（Ｒ∨Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ））　３含意の定義　５　　　（５）～（～Ｐ∨Ｑ）　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ　５　　　（６）　　Ｐ＆～Ｑ　　　　　　　　　　　　　　　　　５ド・モルガンの法則　５　　　（７）　（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）　　６∨Ｉ　　８　　（８）　　　　　　　　　～（Ｒ∨Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）　　Ａ　　　９　（９）　　　　　　　　　～（Ｒ∨Ｐ）　　　　　　　　Ａ　　　９　（ア）　　　　　　　　（～Ｒ＆～Ｐ）　　　　　　　　９ド・モルガンの法則　　　９　（イ）　　　　　　　　（～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）　　ア∨Ｉ　　　　ウ（ウ）　　　　　　　　　　　　　　　　（Ｒ∨Ｑ）　　Ａ　　　　ウ（エ）　　　　　　　　（～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）　　ウ∨Ｉ　　８　　（オ）　　　　　　　　（～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）　　８９イウエ∨Ｅ　　８　　（カ）　（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）　　オ∨Ｉ１　　　　（キ）　（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）　　１５７８カ∨Ｅ（ⅱ）１　　　　（１）　（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）　　Ａ　２　　　（２）　（Ｐ＆～Ｑ）　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ　２　　　（３）～（～Ｐ∨Ｑ）　　　　　　　　　　　　　　　　２ド・モルガンの法則　２　　　（４）　～（Ｐ→Ｑ）　　　　　　　　　　　　　　　　３含意の定義　２　　　（５）　～（Ｐ→Ｑ）∨（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））　　４∨Ｉ　　６　　（６）　　　　　　　　（～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）　　Ａ　　　７　（７）　　　　　　　　（～Ｒ＆～Ｐ）　　　　　　　　Ａ　　　７　（８）　　　　　　　　　～（Ｒ∨Ｐ）　　　　　　　　７ド・モルガンの法則　　　７　（９）　　　　　　　　　～（Ｒ∨Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）　　８∨Ｉ　　　　ア（ア）　　　　　　　　　　　　　　　　（Ｒ∨Ｑ）　　Ａ　　　　ア（イ）　　　　　　　　　～（Ｒ∨Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）　　ア∨Ｉ　　６　　（ウ）　　　　　　　　　～（Ｒ∨Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）　　６７９アイ∨Ｅ　　６　　（エ）　　　　　　　　（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））　　ウ含意の定義　　６　　（オ）　～（Ｐ→Ｑ）∨（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））　　エ∨Ｉ１　　　　（カ）　～（Ｐ→Ｑ）∨（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））　　１２５６オ∨Ｅ１　　　　（キ）　　（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））　　カ含意の定義従って、（23）により、（24） ①（Ｐ→　Ｑ）→（（Ｒ∨　Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ②（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）に於いて、 ①＝② である。然るに、（25）（Ｒ）に対する「選言導入（ＤＩ）」により、 ① 　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ├（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ） ③ 　Ｐ＆～Ｑ＆　Ｒ├（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ） ⑤ ～Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ├（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ） ⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆　Ｒ├（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）という「連式（sequents）」は、４つとも、「妥当」である。（26）（Ｑ）に対する「選言導入（ＤＩ）」により、 ② 　Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ） ⑥ ～Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）という「連式（sequents）」は、２つとも、「妥当」である。（27）（Ｐ＆～Ｑ）に対する「選言導入（ＤＩ）」により、 ④ 　Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）という「連式（sequent）」は、「妥当」である。（28）（～Ｒ＆～Ｐ）に対する「選言導入（ＤＩ）」により、 ⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）という「連式（sequent）」は、「妥当」である。従って、（24）～（29）により、（29）いずれにせよ、 ① 　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ├（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ） ② 　Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ） ③ 　Ｐ＆～Ｑ＆　Ｒ├（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ） ④ 　Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ） ⑤ ～Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ├（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ） ⑥ ～Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ） ⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆　Ｒ├（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ） ⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）という「連式（sequents）」は、「妥当」である。従って、（22）（24）（29）により、（30）例えば、「ヒルベルト・アッカーマンの公理（４）」がそうであるように、（ⅲ）「命題変数（Ｐ，Ｑ，Ｒ）」の「真理値（真偽）」に関わらず、「恒真式（トートロジー）」の「真理値（真偽）」は、「恒に真」である。従って、（18）（20）（30）により、（31）例えば、「ヒルベルト・アッカーマンの公理（４）」がそうであるように、（ⅰ）「仮定の個数」が「０個」である所の「論理式」は「恒真式（トートロジー）」である。（ⅱ）「恒真式（トートロジー）」の「否定」は、「恒偽式（矛盾）」である。（ⅲ）「命題変数（Ｐ，Ｑ，Ｒ）」の「真理値（真偽）」に関わらず、「恒真式（トートロジー）」の「真理値（真偽）」は、「恒に真」である。従って、（14）（31）により、（32）例えば、「同一律」と「ヒルベルト・アッカーマンの公理（４）」がそうであるように、（ⅲ）「命題変数」の「真理値（真偽）」に関わらず、「恒真式（トートロジー）」の「真理値（真偽）」は、「恒に真」である。従って、（32）により、（33） ① 　Ｐ＆　Ｑ├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ） ② 　Ｐ＆～Ｑ├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ） ③ ～Ｐ＆　Ｑ├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ） ④ ～Ｐ＆～Ｑ├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）という「連式（Sequents）」が「妥当」であり、 ① 　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ② 　Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ③ 　Ｐ＆～Ｑ＆　Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ④ 　Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ⑤ ～Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ⑥ ～Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆　Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））という「連式（Sequents）」が「妥当」であるからこそ、「同一律」は、「恒に真」であって、「ヒルベルト・アッカーマンの公理（４）」も、「恒に真」である。然るに、（34）例えば、～Ｐ＆Ｑ＆～Ｒ ┤├ ～（～Ｐ→～Ｑ∨Ｒ）（ⅰ）１　　　（１）　　～Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ　　　Ａ　２　　（２）　　～Ｐ→～Ｑ∨　Ｒ　　　Ａ１　　　（３）　　～Ｐ　　　　　　　　　１＆Ｅ１２　　（４）　　　　　～Ｑ∨　Ｒ　　　２３ＭＰＰ　　５　（５）　　　　　～Ｑ　　　　　　Ａ１　　　（６）　　　　　　Ｑ　　　　　　１＆Ｅ１　５　（７）　　　　　～Ｑ＆Ｑ　　　　６７＆Ｉ　　５　（８）～（～Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ）　　１７ＲＡＡ　　　９（９）　　　　　　　　　Ｒ　　　Ａ１　　　（ア）　　　　　　　　～Ｒ　　　１＆Ｅ１　　９（イ）　　　　　　Ｒ＆～Ｒ　　　９ア＆Ｉ　　　９（ウ）～（～Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ）　　１イＲＡＡ１２　　（エ）～（～Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ）　　４５８９ウ∨Ｉ１２　　（オ）　（～Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ）＆　　　　　　　～（～Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ）　　１エ＆Ｉ１　　　（カ）～（～Ｐ→～Ｑ∨　Ｒ）　　２オＲＡＡ（ⅱ）１　　　（１）～（～Ｐ→～Ｑ∨　Ｒ）　　Ａ１　　　（２）～（　Ｐ∨～Ｑ∨　Ｒ）　　１含意の定義　３　　（３）　　　Ｐ　　　　　　　　　Ａ　３　　（４）　　　Ｐ∨～Ｑ　　　　　　３∨Ｉ　３　　（５）　　　Ｐ∨～Ｑ∨　Ｒ　　　４∨Ｉ１３　　（６）～（　Ｐ∨～Ｑ∨　Ｒ）＆　　　　　　　　　（　Ｐ∨～Ｑ∨　Ｒ）　　２５＆Ｉ１　　　（７）　　～Ｐ　　　　　　　　　５６ＲＡＡ　　８　（８）　　　　　～Ｑ　　　　　　Ａ　　８　（９）　　　Ｐ∨～Ｑ　　　　　　８∨Ｉ　　８　（ア）　　　Ｐ∨～Ｑ∨　Ｒ　　　９∨Ｉ１　８　（イ）～（　Ｐ∨～Ｑ∨　Ｒ）＆　　　　　　　　　（　Ｐ∨～Ｑ∨　Ｒ）　　２ア＆Ｉ１　　　（ウ）　　　　～～Ｑ　　　　　　８ＲＡＡ１　　　（エ）　　　　　　Ｑ　　　　　　ウＤＮ　　　オ（オ）　　　　　　　　　Ｒ　　　Ａ　　　オ（カ）　　　　　～Ｑ∨　Ｒ　　　オ∨Ｉ　　　オ（キ）　　　Ｐ∨～Ｑ∨　Ｒ　　　∨Ｉ１　　オ（ク）～（　Ｐ∨～Ｑ∨　Ｒ）＆　　　　　　　　　（　Ｐ∨～Ｑ∨　Ｒ）　　２キ＆Ｉ１　　　（ケ）　　　　　　　　～Ｒ　　　オクＲＡＡ１　　　（コ）　　～Ｐ＆　Ｑ　　　　　　７エ＆Ｉ１　　　（サ）　　～Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ　　　ケコ＆Ｉ従って、（34）により、（35） ① 　　～Ｐ＆Ｑ＆～Ｒ ② ～（～Ｐ→～Ｑ∨Ｒ）に於いて、 ①＝② である。従って、（35）により、（36）例えば、 ⑥ ～Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ├ ～（～Ｐ→～Ｑ∨Ｒ）という「連式（Sequent）」が「妥当」であるため、 ⑥ ～（～Ｐ→～Ｑ∨Ｒ）という「論理式」の「否定」である所の、 ⑥ 　　～Ｐ→～Ｑ∨Ｒという「論理式」に関しては、 ⑥ ～Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ├ ～Ｐ→～Ｑ∨Ｒという「連式」の場合は、（ⅲ）「命題変数」の「真理値（真偽）」に関わらず、「恒に真」である。ということには「ならない」。従って、（33）（36）により、（37） ⑥ ～Ｐ→～Ｑ∨Ｒという「論理式」は、「恒真式（トートロジー）」ではない。然るに、（38）〈練習問題２〉仮定がすべて真になり、結論が偽になるような、変数への付値を見出すことによって、つぎの論証のパターンが不妥当（非トートロジー的）であることを示せ。（E.J.レモン著、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英訳、1973年、１０５頁）〔私による、解答〕（ａ） ① Ｐ＆Ｑ→Ｒ├ Ｐ→Ｒ ② Ｐ＆Ｑ→Ｒ├ 真→偽 ③ 真＆Ｑ→偽├ 真→偽 ④ 真＆偽→偽├ 真→偽 ⑤ 　偽　→偽├ 　偽 ⑥ 　　　真　├ 　偽（ｂ） ① Ｐ→Ｑ∨Ｒ├ Ｐ→Ｑ ② Ｐ→Ｑ∨Ｒ├ 真→偽 ③ 真→偽∨Ｒ├ 真→偽 ④ 真→偽∨真├ 真→偽 ⑤ 真→　真　├ 　偽 ⑥ 　真　　　├ 　偽（ｃ） ① Ｐ→Ｑ，Ｐ→Ｒ├ Ｑ→Ｒ ② Ｐ→Ｑ，Ｐ→Ｒ├ 真→偽 ③ Ｐ→真，Ｐ→偽├ 真→偽 ④ 偽→真，偽→偽├ 真→偽 ⑤ 　真　，　真　├ 　偽（ｄ） ① Ｐ→Ｒ，Ｑ→Ｒ├ Ｐ→Ｑ ② Ｐ→Ｒ，Ｑ→Ｒ├ 真→偽 ③ 真→Ｒ，偽→Ｒ├ 真→偽 ④ 真→真，偽→真├ 真→偽 ⑤ 　真　，　真　├ 　偽（ｅ） ① Ｐ→（Ｑ→Ｒ），Ｑ，～Ｒ├ Ｐ ② Ｐ→（Ｑ→Ｒ），Ｑ，～Ｒ├ 偽 ③ 偽→（Ｑ→Ｒ），Ｑ，～Ｒ├ 偽 ④ 偽→（真→偽），真，～偽├ 偽 ⑤ 偽→偽　　　　，真，真　├ 偽 ⑥ 　真　　　　　，真，真　├ 偽（ｆ） ① Ｐ⇔～Ｑ，Ｑ⇔～Ｒ，Ｒ⇔～Ｓ├ Ｐ⇔Ｓ ② Ｐ⇔～Ｑ，Ｑ⇔～Ｒ，Ｒ⇔～Ｓ├ 真⇔偽 ③ 真⇔～Ｑ，Ｑ⇔～Ｒ，Ｒ⇔～偽├ 真⇔偽 ④ 真⇔～偽，偽⇔～真，真⇔～偽├ 真⇔偽 ⑤ 真⇔真　，偽⇔真　，真⇔真　├ 真⇔偽従って、従って、（33）（37）（38）により、（39）（Ｐ、Ｑ、Ｒを、変数として持つ所の、任意の論理式Ａ）は、 ① 　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ├（任意の論理式Ａ） ② 　Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ├（任意の論理式Ａ） ③ 　Ｐ＆～Ｑ＆　Ｒ├（任意の論理式Ａ） ④ 　Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（任意の論理式Ａ） ⑤ ～Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ├（任意の論理式Ａ） ⑥ ～Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ├（任意の論理式Ａ） ⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆　Ｒ├（任意の論理式Ａ） ⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（任意の論理式Ａ）であるか、または、「そうではない」。然るに、（40）１　　（１）　　　　　　　　　　　Ｐ→（Ｑ→Ｒ）　　　　　　Ａ　２　（２）　　　　　　　　　　　Ｐ→　Ｑ　　　　　　　　　Ａ　　３（３）　　　　　　　　　　　Ｐ　　　　　　　　　　　　Ａ１　３（４）　　　　　　　　　　　　　　Ｑ→Ｒ　　　　　　　１３ＭＰＰ　２３（５）　　　　　　　　　　　　　　Ｑ　　　　　　　　　２３ＭＰＰ１２３（６）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ｒ　　　４５ＭＰＰ１２　（７）　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ｐ→Ｒ　　　３６ＣＰ１　　（８）　　　　　　　　　　　（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）　　２７ＣＰ　　　（９）（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））　１８ＣＰであるものの（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））は、「岩波書店、現代論理学入門（1962年）」によると、「ルカジェヴィッツの公理（２）」である。従って、（39）（40）により、（41） ① 　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）） ② 　Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）） ③ 　Ｐ＆～Ｑ＆　Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）） ④ 　Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）） ⑤ ～Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）） ⑥ ～Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）） ⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆　Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）） ⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））であるに、「違いない」。然るに、（42） ① 　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）） ③ 　Ｐ＆～Ｑ＆　Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）） ⑤ ～Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）） ⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆　Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））に関しては、「４つまとめて」、１（１）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ｒ　　　Ａ１（２）　　　　　　　　　　　　　　　　　　～Ｐ∨Ｒ　　　１∨Ｉ１（３）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ｐ→Ｒ　　　２含意の定義１（４）　　　　　　　　　　　～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｒ）　　３∨Ｉ１（６）　　　　　　　　　　　　（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）　　４含意の定義１（７）～（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））∨（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））　６∨Ｉという風に、「証明」出来る。然るに、（43） ⑥ ～Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）） ⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））に関しては、「２つまとめて」、１（１）　　　　　　　　　　　　　　　　　　～Ｐ　　　　　Ａ１（２）　　　　　　　　　　　　　　　　　　～Ｐ∨Ｒ　　　１∨Ｉ１（３）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ｐ→Ｒ　　　２含意の定義１（４）　　　　　　　　　　　～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｒ）　　３∨Ｉ１（６）　　　　　　　　　　　　（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）　　４含意の定義１（７）～（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））∨（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））　６∨Ｉという風に、「証明」出来る。然るに、（44） ② 　Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））に関しては、１　（１）　　Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ　２（２）　　Ｐ→（Ｑ→　Ｒ）　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ１　（３）　　Ｐ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　１＆Ｅ１２（４）　　　　　Ｑ→　Ｒ　　　　　　　　　　　　　　　　　２３ＭＰＰ１　（５）　　　　　Ｑ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　１＆Ｅ１２（６）　　　　　　　　Ｒ　　　　　　　　　　　　　　　　　４５ＭＰＰ１　（７）　　　　　　　～Ｒ　　　　　　　　　　　　　　　　　１＆Ｅ１２（８）　　　　　Ｒ＆～Ｒ　　　　　　　　　　　　　　　　　６７＆Ｉ１　（９）～（Ｐ→（Ｑ→　Ｒ））　　　　　　　　　　　　　　　２８ＲＡＡ１　（ア）～（Ｐ→（Ｑ→　Ｒ））∨（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））　９∨Ｉ１　（イ）　（Ｐ→（Ｑ→　Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））　ア含意の定義という風に、「証明」出来る。然るに、（45） ④ 　Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））に関しては、１　（１）　　Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ　２（２）　　Ｐ→　Ｑ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ１　（３）　　Ｐ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　１＆Ｅ１２（４）　　　　　Ｑ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　２３ＭＰＰ１　（５）　　　　～Ｑ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　１＆Ｅ１２（６）　　Ｑ＆～Ｑ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　４５＆Ｉ１　（７）　　　　　　　　　　　～（Ｐ→Ｑ）　　　　　　　　２６ＲＡＡ１　（８）　　　　　　　　　　　～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｒ）　　７∨Ｉ１　（９）　　　　　　　　　　　　（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）　　８含意の定義１　（ア）～（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））∨（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））　９∨Ｉ１　（イ）　（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））∨（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））　ア含意の定義従って、（41）～（45）により、（46）果たして、 ① 　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）） ② 　Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）） ③ 　Ｐ＆～Ｑ＆　Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）） ④ 　Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）） ⑤ ～Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）） ⑥ ～Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）） ⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆　Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）） ⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））という「連式（Sequents）」は「妥当」である。従って、（32）（33）（46）により、（47） ① 　Ｐ＆　Ｑ├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ） ② 　Ｐ＆～Ｑ├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ） ③ ～Ｐ＆　Ｑ├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ） ④ ～Ｐ＆～Ｑ├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）という「連式（Sequents）」が「（４つとも）妥当」であり、 ① 　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ② 　Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ③ 　Ｐ＆～Ｑ＆　Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ④ 　Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ⑤ ～Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ⑥ ～Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆　Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））という「連式（Sequents）」が「（８つとも）妥当」であり、 ① 　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）） ② 　Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）） ③ 　Ｐ＆～Ｑ＆　Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）） ④ 　Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）） ⑤ ～Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）） ⑥ ～Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）） ⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆　Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）） ⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））という「連式（Sequents）」が「（８つとも）妥当」であるからこそ、　　　　　「同一律（Law of identity）」は「恒真式（トートロジー）」であって、「ヒルベルト・アッカーマンの公理（４）」は「恒真式（トートロジー）」であって、　　　　「ルカジェヴィッツの公理（２）」は「恒真式（トートロジー）」である。然るに、（48）１　（１）　～（Ｐ∨～Ｐ）　　Ａ　２（２）　　　Ｐ　　　　　　Ａ　２（３）　　　Ｐ∨～Ｐ　　　２∨Ｉ１２（４）　～（Ｐ∨～Ｐ）＆　　　　　　　（Ｐ∨～Ｐ）　　１３＆Ｉ１　（５）　　～Ｐ　　　　　　２４ＲＡＡ１　（６）　　　Ｐ∨～Ｐ　　　５∨Ｉ１　（７）　～（Ｐ∨～Ｐ）＆　　　　　　　（Ｐ∨～Ｐ）　　１６＆Ｉ　　（８）～～（Ｐ∨～Ｐ）　　１７ＲＡＡ　　（９）　　　Ｐ∨～Ｐ　　　８ＤＮ従って、（47）（48）により、（49）　　　　　　　　（１）　　Ｐ∨～Ｐ　　　　　　　ＴＩ（排中律）　　　　　　　　（２）　　Ｑ∨～Ｑ　　　　　　　ＴＩ（排中律）３　　　　　　　（３）　　Ｐ　　　　　　　　　　Ａ　４　　　　　　（４）　　Ｑ　　　　　　　　　　Ａ３４　　　　　　（５）　　Ｐ＆　Ｑ　　　　　　　３４＆Ｉ３４　　　　　　（６）　　　　Ｑ　　　　　　　　５＆Ｅ３４　　　　　　（７）　～Ｐ∨Ｑ　　　　　　　　６∨Ｉ３４　　　　　　（８）　　Ｐ→Ｑ　　　　　　　　７含意の定義３４　　　　　　（９）～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ）　８∨Ｉ　　ア　　　　　（ア）　　　　～Ｑ　　　　　　　Ａ３　ア　　　　　（イ）　　Ｐ＆～Ｑ　　　　　　　３ア＆Ｉ　　　ウ　　　　（ウ）　　Ｐ→　Ｑ　　　　　　　Ａ３　ア　　　　　（エ）　　Ｐ　　　　　　　　　　イ＆Ｅ３　アウ　　　　（オ）　　　　　Ｑ　　　　　　　ウエＭＰＰ３　ア　　　　　（カ）　　　　～Ｑ　　　　　　　イ＆Ｅ３　アウ　　　　（キ）　　Ｑ＆～Ｑ　　　　　　　オカ＆Ｉ３　ア　　　　　（ク）～（Ｐ→Ｑ）　　　　　　　ウキＲＡＡ３　ア　　　　　（ケ）～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ）　ク∨Ｉ３　　　　　　　（コ）～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ）　２４９アケ∨Ｅ　　　　サ　　　（サ）　　　　～Ｐ　　　　　　　Ａ　４　　サ　　　（シ）　～Ｐ＆　Ｑ　　　　　　　４サ＆Ｉ　４　　サ　　　（ス）　～Ｐ　　　　　　　　　　シ＆Ｅ　４　　サ　　　（セ）　～Ｐ∨Ｑ　　　　　　　　ス∨Ｉ　４　　サ　　　（ソ）　　Ｐ→Ｑ　　　　　　　　セ含意の定義　４　　サ　　　（タ）～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ）　ソ∨Ｉ　　ア　サ　　　（ツ）　～Ｐ＆～Ｑ　　　　　　　アサ＆Ｉ　　ア　サ　　　（テ）　　　　～Ｐ　　　　　　　ツ＆Ｅ　　ア　サ　　　（ト）　　　　～Ｐ∨Ｑ　　　　　テ∨Ｉ　　ア　サ　　　（ナ）　　　　　Ｐ→Ｑ　　　　　ト含意の定義　　ア　サ　　　（ニ）～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ）　ナ∨Ｉ　　　　サ　　　（ヌ）～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ）　２４タアニ∨Ｅ　　　　　　　　（ネ）～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ）　１３コサヌ∨Ｅ　　　　　　　　（ノ）　（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）　ネ含意の定義従って、（49）により、（50）　　　　（１）Ｐ∨～Ｐ　　　　　ＴＩ（排中律）　　　　（２）Ｑ∨～Ｑ　　　　　ＴＩ（排中律）３　　　（３）Ｐ　　　　　　　　Ａ　４　　（４）　　～Ｐ　　　　　Ａ　　５　（５）Ｑ　　　　　　　　Ａ　　　６（６）　　～Ｑ　　　　　Ａ３　５　（７）（任意の恒真式）　３５ＳＩ（ⅰ）３　　６（８）（任意の恒真式）　３６ＳＩ（ⅱ）　４５　（９）（任意の恒真式）　３７ＳＩ（ⅲ）　４　６（ア）（任意の恒真式）　３８ＳＩ（ⅳ）５　　　（イ）（任意の恒真式）　１３７４９∨Ｅ　　　６（ウ）（任意の恒真式）　１３８４ア∨Ｅ　　　　（エ）（任意の恒真式）　２５イ６ウ∨Ｅという「計算」により、例えば、 ① 　Ｐ＆　Ｑ├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ） ② 　Ｐ＆～Ｑ├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ） ③ ～Ｐ＆　Ｑ├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ） ④ ～Ｐ＆～Ｑ├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）という「連式」は、 ①├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）という「連式」に「書き換える」ことが出来る。従って、（47）～（50）により、（51）　　　　（１）Ｐ∨～Ｐ　　　　　ＴＩ（排中律）　　　　（２）Ｑ∨～Ｑ　　　　　ＴＩ（排中律）　　　　（３）Ｒ∨～Ｒ　　　　　ＴＩ（排中律）によって、例えば、 ① 　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ② 　Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ③ 　Ｐ＆～Ｑ＆　Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ④ 　Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ⑤ ～Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ⑥ ～Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆　Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））という「連式」は、 ①├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））という「連式」に「書き換える」ことが出来る。従って、（51）により、（52）（Ｐ、Ｑ、Ｒを、変数として持つ所の、任意の論理式Ａ）に対して、 ① 　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ├（任意の論理式Ａ） ② 　Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ├（任意の論理式Ａ） ③ 　Ｐ＆～Ｑ＆　Ｒ├（任意の論理式Ａ） ④ 　Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（任意の論理式Ａ） ⑤ ～Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ├（任意の論理式Ａ） ⑥ ～Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ├（任意の論理式Ａ） ⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆　Ｒ├（任意の論理式Ａ） ⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（任意の論理式Ａ）という「連式（Sequents）」が「（８つとも）妥当」であるならば、 ①├（任意の論理式Ａ）という「連式」に「書き換える」ことが出来る。従って、（16）（40）（52）により、（53） ①├（任意の論理式Ａ）という「連式（Sequents）」が、 ②├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ③├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））という「連式」であるならば、これらの「連式」は、 ② Ｐ→Ｑ，Ｒ∨Ｐ├ Ｒ∨Ｑ ③ Ｐ→（Ｑ→Ｒ），Ｐ→Ｑ├ Ｐ→Ｒ　という「連式」に「書き換える」ことが出来るものの、「これらの連式」は、「妥当」である。従って、（51）（52）（53）により、（54） ① 　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ├（任意の論理式Ａ） ② 　Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ├（任意の論理式Ａ） ③ 　Ｐ＆～Ｑ＆　Ｒ├（任意の論理式Ａ） ④ 　Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（任意の論理式Ａ） ⑤ ～Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ├（任意の論理式Ａ） ⑥ ～Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ├（任意の論理式Ａ） ⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆　Ｒ├（任意の論理式Ａ） ⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（任意の論理式Ａ）の中の、「一つの例（instance）」として、 ① 　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ② 　Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ③ 　Ｐ＆～Ｑ＆　Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ④ 　Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ⑤ ～Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ⑥ ～Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆　Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））といふ「連式（Sequents）」が「妥当」であるが故に、 ②　　　　　　　 ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ② Ｐ→Ｑ，Ｒ∨Ｐ├ Ｒ∨Ｑという「連式（ヒルベルト・アッカーマンの公理４）」が「妥当」となる。令和６年２月１３日、毛利太。

2024年2月12日月曜日

「恒真式」が「恒真（トートロジー）」である所以。

（01）１　　　（１）　Ｐ→Ｑ　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ　２　　（２）　Ｒ∨Ｐ　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ　　３　（３）　Ｒ　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ　　３　（４）　Ｒ∨Ｑ　　　　　　　　　　　　　　　　３∨Ｉ　　　５（５）　　　Ｐ　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ１　　５（６）　　　Ｑ　　　　　　　　　　　　　　　　１５ＭＰＰ１　　５（７）　Ｒ∨Ｑ　　　　　　　　　　　　　　　　６∨Ｉ１２　　（８）　Ｒ∨Ｑ　　　　　　　　　　　　　　　　２３４５７∨Ｅ１　　　（９）（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）　　　　　　　　　２８ＣＰ　　　　（ア）（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））　１９ＣＰ従って、（01）により、（02） ① Ｐ→Ｑ，Ｒ∨Ｐ├ Ｒ∨Ｑ ② 　　　　Ｐ→Ｑ├（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ） ③　　　　　　　 ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））といふ「３つの連式」は、「恒真（トートロジー）的」である。然るに、（03）（ⅰ）１（１）～（Ｒ∨Ｑ）　Ａ１（２）～Ｒ＆～Ｑ　　１ド・モルガンの法則（ⅱ）１（１）～（　（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））　Ａ１（２）～（～（Ｒ∨Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ））　１含意の定義１（３）　　（Ｒ∨Ｐ）＆～（Ｒ∨Ｑ）　　２ド・モルガンの法則１（４）　　（Ｒ∨Ｐ）　　　　　　　　　３＆Ｅ１（５）　～～Ｒ∨Ｐ　　　　　　　　　　４ＤＮ１（６）　　～Ｒ→Ｐ　　　　　　　　　　５含意の定義１（７）　　　　　　　　　～Ｒ＆Ｑ　　　３＆Ｅ１（８）　　　　　　　　　～Ｒ　　　　　７＆Ｅ１（９）　　　　　　　　　　　　Ｑ　　　７＆Ｅ１（ア）　　　　　Ｐ　　　　　　　　　　６８ＭＰＰ１（イ）　　　　　Ｐ＆Ｑ　　　　　　　　９ア＆Ｉ（ⅲ）１（１）～（　（　Ｐ→Ｑ）→　（　（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）））　Ａ１（２）～（　（～Ｐ∨Ｑ）→　（　（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）））　１含意の定義１（３）～（～（～Ｐ∨Ｑ）∨　（　（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）））　２含意の定義１（４）～（～（～Ｐ∨Ｑ）∨　（～（Ｒ∨Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）））　３含意の定義１（５）　　　（～Ｐ∨Ｑ）＆～（～（Ｒ∨Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ））　　４ド・モルガンの法則１（６）　　　（～Ｐ∨Ｑ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　５＆Ｅ１（７）　　　　　　　　　　～（～（Ｒ∨Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ））　　５＆Ｅ１（８）　　　　　　　　　　　　（Ｒ∨Ｐ）＆～（Ｒ∨Ｑ）　　　７ド・モルガンの法則１（９）　　　　　　　　　　　　　Ｒ∨Ｐ　　　　　　　　　　　８＆Ｅ１（ア）　　　　　　　　　　　　　　　　　　～（Ｒ∨Ｑ）　　　８＆Ｅ１（イ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　～Ｒ＆～Ｑ　　　　ア、ド・モルガンの法則１（ウ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　～Ｒ　　　　　　　イ＆Ｅ１（エ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～Ｑ　　　　イ＆Ｅ１（オ）　　　　　Ｐ→Ｑ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　６含意の定義１（カ）　　　　～Ｐ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　エオＭＴＴ１（キ）　　　～Ｒ＆～Ｐ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ウカ＆Ｉ１（ク）　　～（Ｒ∨Ｐ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　キ、ド・モルガンの法則１（ケ）　　～（Ｒ∨Ｐ）＆（Ｒ∨Ｐ）　　　　　　　　　　　　　９ク＆Ｉ従って、（02）（03）により、（04） ① Ｐ→Ｑ，Ｒ∨Ｐ├ Ｒ∨Ｑ ②　　　　Ｐ→Ｑ├（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ） ③ 　　　　　　　├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））に於ける、 ① Ｒ∨Ｑ ②（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ） ③（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））に対する、それぞれの「否定」である所の、 ① 　～（Ｒ∨Ｑ） ② ～（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ③ ～（（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）））に於いて、 ① は「矛盾」ではなく、 ② も「矛盾」ではなく、 ③ は「矛盾」であるが、「矛盾」は「偽」である。従って、（04）により、（05） ① Ｒ∨Ｑ ②（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ） ③（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））に於いて、 ① は、その「否定」が「偽」でないが故に、それ自体は、「真」でも「偽」でもなく、 ② も、その「否定」が「偽」でないが故に、それ自体は、「真」でも「偽」でもなく、 ③ は、その「否定」が「偽」であるが故に、それ自体が、「真」である。従って、（05）により、（06）「ヒルベルト・アッカーマンの公理（４）」である所の、 ③（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））といふ「論理式」は、それ自体が「真」である。然るに、（07）（ⅰ）１（１）　　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ　　　　　　　　　　　　Ａ１（２）　　　　　　　　Ｒ　　　　　　　　　　　　Ａ１（３）　　　　　　　　　　　　　　　Ｒ∨Ｑ　　　２∨Ｉ１（４）　　　　　　　～（Ｒ∨Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）　　３∨Ｉ１（５）　　　　　　　　（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）　　４含意の定義１（６）～（Ｐ→Ｑ）∨（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））　５∨Ｉ１（７）　（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））　６含意の定義（ⅱ）１（１）　　Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ　　　　　　　　　　　　　Ａ１（２）　　　　　Ｑ　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ１（３）　　　　　　　　　　　　　　　Ｒ∨Ｑ　　　２∨Ｉ１（４）　　　　　　　～（Ｒ∨Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）　　３∨Ｉ１（５）　　　　　　　　（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）　　４含意の定義１（６）～（Ｐ→Ｑ）∨（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））　５∨Ｉ１（７）　（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））　６含意の定義（ⅲ）（ⅰ）１（１）　　Ｐ＆～Ｑ＆　Ｒ　　　　　　　　　　　　Ａ１（２）　　　　　　　　Ｒ　　　　　　　　　　　　Ａ１（３）　　　　　　　　　　　　　　　Ｒ∨Ｑ　　　２∨Ｉ１（４）　　　　　　　～（Ｒ∨Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）　　３∨Ｉ１（５）　　　　　　　　（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）　　４含意の定義１（６）～（Ｐ→Ｑ）∨（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））　５∨Ｉ１（７）　（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））　６含意の定義（ⅳ）１　（１）　Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ　　　　　　　　　　　　　Ａ　２（２）　Ｐ→　Ｑ　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ１　（３）　Ｐ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　１＆Ｅ１２（４）　　　　Ｑ　　　　　　　　　　　　　　　　２３ＭＰＰ１　（５）　　　～Ｑ　　　　　　　　　　　　　　　　１＆Ｅ１２（６）　　　　Ｑ＆～Ｑ　　　　　　　　　　　　　４５＆Ｉ１　（７）～（Ｐ→Ｑ）　　　　　　　　　　　　　　　２６ＲＡＡ１　（８）～（Ｐ→Ｑ）∨（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））　７∨Ｉ１　（９）（　Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））　１含意の定義（ⅴ）１（１）　～Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ　　　　　　　　　　　　Ａ１（２）　　　　　Ｑ　　　　　　　　　　　　　　　Ａ１（３）　　　　　　　　　　　　　　　Ｒ∨Ｑ　　　２∨Ｉ１（４）　　　　　　　～（Ｒ∨Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）　　３∨Ｉ１（５）　　　　　　　　（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）　　４含意の定義１（６）～（Ｐ→Ｑ）∨（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））　５∨Ｉ１（７）　（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））　６含意の定義（ⅵ）１（１）　～Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ　　　　　　　　　　　　Ａ１（２）　　　　　Ｑ　　　　　　　　　　　　　　　Ａ１（３）　　　　　　　　　　　　　　　Ｒ∨Ｑ　　　２∨Ｉ１（４）　　　　　　　～（Ｒ∨Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）　　３∨Ｉ１（５）　　　　　　　　（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）　　４含意の定義１（６）～（Ｐ→Ｑ）∨（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））　５∨Ｉ１（７）　（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））　６含意の定義１（３）　　　　　　　　　　　　　　　Ｒ∨Ｑ　　　２∨Ｉ１（４）　　　　　　　～（Ｒ∨Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）　　３∨Ｉ１（５）　　　　　　　　（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）　　４含意の定義１（６）～（Ｐ→Ｑ）∨（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））　５∨Ｉ１（７）　（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））　６含意の定義（ⅶ）１（１）　～Ｐ＆～Ｑ＆　Ｒ　　　　　　　　　　　　Ａ１（２）　　　　　Ｑ　　　　　　　　　　　　　　　Ａ１（３）　　　　　　　　　　　　　　　Ｒ∨Ｑ　　　２∨Ｉ１（４）　　　　　　　～（Ｒ∨Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）　　３∨Ｉ１（５）　　　　　　　　（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）　　４含意の定義１（６）～（Ｐ→Ｑ）∨（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））　５∨Ｉ１（７）　（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））　６含意の定義（ⅷ）１　（１）　～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ　　　　　　　　　　　　Ａ１　（２）　～Ｐ　　　　　　　　　　　　　　　　　　１＆Ｅ　３（３）　　　　　　～（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））　Ａ　３（４）　　　　　～（～（Ｒ∨Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ））　３含意の定義　３（５）　　　　　　　（Ｒ∨Ｐ）＆～（Ｒ∨Ｑ）　　４ド・モルガンの法則　３（６）　　　　　　　　Ｒ∨Ｐ　　　　　　　　　　５＆Ｅ　３（７）　　　　　　　　　　　　　～（Ｒ∨Ｑ）　　５＆Ｅ　３（８）　　　　　　　　　　　　　　～Ｒ＆～Ｑ　　７ド・モルガンの法則　３（９）　　　　　　　～Ｒ　　　　　　　　　　　　８＆Ｅ１３（ア）　　　　　　　～Ｒ＆～Ｐ　　　　　　　　　２９＆Ｉ１３（イ）　　　　　　～（Ｒ∨Ｐ）　　　　　　　　　ア、ド・モルガンの法則１３（ウ）　　　　　　　（Ｒ∨Ｐ）＆～（Ｒ∨Ｐ）　　６イ＆Ｉ１　（エ）　　　　　～～（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））　３ウＲＡＡ１　（オ）　　　　　　　（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））　エ、ド・モルガンの法則１　（カ）～（Ｐ→Ｑ）∨（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））　オ∨Ｉ１　（キ）　（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））　カ含意の定義従って、（07）により、（08） ① 　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ② 　Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ③ 　Ｐ＆～Ｑ＆　Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ④ 　Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ⑤ ～Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ⑥ ～Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆　Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））従って、（08）により、（09） ① Ｐ（真）＆Ｑ（真）＆Ｒ（真）├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ② Ｐ（真）＆Ｑ（真）＆Ｒ（偽）├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ③ Ｐ（真）＆Ｑ（偽）＆Ｒ（真）├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ④ Ｐ（真）＆Ｑ（偽）＆Ｒ（偽）├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ⑤ Ｐ（偽）＆Ｑ（真）＆Ｒ（真）├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ⑥ Ｐ（偽）＆Ｑ（真）＆Ｒ（偽）├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ⑦ Ｐ（偽）＆Ｑ（偽）＆Ｒ（真）├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ⑧ Ｐ（偽）＆Ｑ（偽）＆Ｒ（偽）├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））従って、（06）（09）により、（10）「ヒルベルト・アッカーマンの公理（４）」である所の、 ③（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））といふ「論理式」が、それ自体が「真」である。といふことは、 ③「命題変数（Ｐ・Ｑ・Ｒ）」の「真偽」とは「無関係」に「真」である。といふことに、「他ならない」。令和６年２月１２日、毛利太。

2024年2月8日木曜日

「恒真式」の「否定」は「矛盾」である（conjecture？）。

（01）（ⅰ）１（１）Ｐ　　　Ａ　（２）Ｐ→Ｐ　１１ＣＰ（ⅱ）１　　（１）　　（Ｐ→Ｑ）→Ｐ　　　Ａ１　　（２）　～（Ｐ→Ｑ）∨Ｐ　　　１含意の定義１　　（３）～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｐ　　　１含意の定義　４　（４）～（～Ｐ∨Ｑ）　　　　　Ａ　４　（５）　　Ｐ＆～Ｑ　　　　　　４ド・モルガンの法則　４　（６）　　Ｐ　　　　　　　　　５＆Ｅ　　７（７）　　　　　　　　Ｐ　　　Ａ１　　（８）　　Ｐ　　　　　　　　　３４６７７∨Ｅ　　　（９）（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ　１８ＣＰ（ⅲ）１　　　（１）　Ｐ→Ｑ　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ　２　　（２）　Ｒ∨Ｐ　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ　　３　（３）　Ｒ　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ　　３　（４）　Ｒ∨Ｑ　　　　　　　　　　　　　　　　３∨Ｉ　　　５（５）　　　Ｐ　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ１　　５（６）　　　Ｑ　　　　　　　　　　　　　　　　１５ＭＰＰ１　　５（７）　Ｒ∨Ｑ　　　　　　　　　　　　　　　　６∨Ｉ１２　　（８）　Ｒ∨Ｑ　　　　　　　　　　　　　　　　２３４５７∨Ｅ１　　　（９）（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）　　　　　　　　　２８ＣＰ　　　　（ア）（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））　１９ＣＰ従って、（01）により、（02） ①├ 　Ｐ→Ｐ ②├（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ ③├ （Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））従って、（02）により、（03） ① 同一律。 ② パースの法則。 ④ ヒルベルト・アッカーマンの公理（４）。に於いて、 ① は「恒真式（トートロジー）」であって、 ② も「恒真式（トートロジー）」であって、 ③ も「恒真式（トートロジー）」である。然るに、（04）（ⅰ）１（１）　～（Ｐ→Ｐ）　Ａ１（２）～（～Ｐ∨Ｐ）　１含意の定義１（３）　　Ｐ＆～Ｐ　　　２ド・モルガンの法則（ⅱ）１　　（１）　　　～（（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→　Ｐ）　Ａ１　　（２）　　～（（（～Ｐ∨Ｑ）→Ｐ）→　Ｐ）　１含意の定義１　　（３）　～（（～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｐ）→　Ｐ）　２含意の定義１　　（４）～（～（～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｐ）∨　Ｐ）　３含意の定義１　　（５）　　　（～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｐ）＆～Ｐ　　４ド・モルガンの法則１　　（６）　　　　（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）＆～Ｐ　　５ド・モルガンの法則１　　（７）　　　　　（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ　　　　　　６＆Ｅ　８　（８）　　　　　　Ｐ＆～Ｑ　　　　　　　　　Ａ　８　（９）　　　　　　Ｐ　　　　　　　　　　　　８＆Ｅ　　ア（ア）　　　　　　　　　　　　Ｐ　　　　　　Ａ１　　（イ）　　　　　　Ｐ　　　　　　　　　　　　７８９アア∨Ｅ１　　（ウ）　　　　　　　　　　　　　　　～Ｐ　　６＆Ｅ１　　（エ）　　　　　　Ｐ＆～Ｐ　　　　　　　　　イウ＆Ｉ（ⅲ）１（１）～（　（　Ｐ→Ｑ）→　（　（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）））　Ａ１（２）～（　（～Ｐ∨Ｑ）→　（　（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）））　１含意の定義１（３）～（～（～Ｐ∨Ｑ）∨　（　（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）））　２含意の定義１（４）～（～（～Ｐ∨Ｑ）∨　（～（Ｒ∨Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）））　３含意の定義１（５）　　　（～Ｐ∨Ｑ）＆～（～（Ｒ∨Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ））　　４含意の定義１（６）　　　（～Ｐ∨Ｑ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　５＆Ｅ１（７）　　　　　　　　　　～（～（Ｒ∨Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ））　　５＆Ｅ１（８）　　　　　　　　　　　　（Ｒ∨Ｐ）＆～（Ｒ∨Ｑ）　　　７ド・モルガンの法則１（９）　　　　　　　　　　　　　Ｒ∨Ｐ　　　　　　　　　　　８＆Ｅ１（ア）　　　　　　　　　　　　　　　　　　～（Ｒ∨Ｑ）　　　８＆Ｅ１（イ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　～Ｒ＆～Ｑ　　　　ア、ド・モルガンの法則１（ウ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　～Ｒ　　　　　　　イ＆Ｅ１（エ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～Ｑ　　　　イ＆Ｅ１（オ）　　　　　Ｐ→Ｑ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　６含意の定義１（カ）　　　　～Ｐ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　エオＭＴＴ１（キ）　　　～Ｒ＆～Ｐ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ウカ＆Ｉ１（ク）　　～（Ｒ∨Ｐ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　キ、ド・モルガンの法則１（ケ）　　～（Ｒ∨Ｐ）＆（Ｒ∨Ｐ）　　　　　　　　　　　　　９ク＆Ｉ従って、（03）（04）により、（05） ① 同一律。 ② パースの法則。 ④ ヒルベルト・アッカーマンの公理（４）。に於いて、 ① の「否定」は「矛盾」であり、 ② の「否定」も「矛盾」であり、 ③ の「否定」も「矛盾」である。然るに、（06）１（１）～（～Ｐ→～Ｑ∨Ｒ）　Ａ１（２）～（　Ｐ∨～Ｑ∨Ｒ）　１含意の定義１（３）　　～Ｐ＆Ｑ＆～Ｒ　　２ド・モルガンの法則従って、（06）により、（07）例へば、 ④ ～Ｐ→～Ｑ∨Ｒの「否定」は、「矛盾」ではない。然るに、（08）～（～Ｐ→～Ｑ∨Ｒ） ┤├ ～Ｐ＆Ｑ＆～Ｒ（ⅳ）１　　　（１）～（～Ｐ→～Ｑ∨　Ｒ）　　Ａ１　　　（２）～（　Ｐ∨～Ｑ∨　Ｒ）　　１含意の定義　３　　（３）　　　Ｐ　　　　　　　　　Ａ　３　　（４）　　　Ｐ∨～Ｑ　　　　　　３∨Ｉ　３　　（５）　　　Ｐ∨～Ｑ∨　Ｒ　　　４∨Ｉ１３　　（６）～（　Ｐ∨～Ｑ∨　Ｒ）＆　　　　　　　　　（　Ｐ∨～Ｑ∨　Ｒ）　　２５＆Ｉ１　　　（７）　　～Ｐ　　　　　　　　　５６ＲＡＡ　　８　（８）　　　　　～Ｑ　　　　　　Ａ　　８　（９）　　　Ｐ∨～Ｑ　　　　　　８∨Ｉ　　８　（ア）　　　Ｐ∨～Ｑ∨　Ｒ　　　９∨Ｉ１　８　（イ）～（　Ｐ∨～Ｑ∨　Ｒ）＆　　　　　　　　　（　Ｐ∨～Ｑ∨　Ｒ）　　２ア＆Ｉ１　　　（ウ）　　　　～～Ｑ　　　　　　８ＲＡＡ１　　　（エ）　　　　　　Ｑ　　　　　　ウＤＮ　　　オ（オ）　　　　　　　　　Ｒ　　　Ａ　　　オ（カ）　　　　　～Ｑ∨　Ｒ　　　オ∨Ｉ　　　オ（キ）　　　Ｐ∨～Ｑ∨　Ｒ　　　∨Ｉ１　　オ（ク）～（　Ｐ∨～Ｑ∨　Ｒ）＆　　　　　　　　　（　Ｐ∨～Ｑ∨　Ｒ）　　２キ＆Ｉ１　　　（ケ）　　　　　　　　～Ｒ　　　オクＲＡＡ１　　　（コ）　　～Ｐ＆　Ｑ　　　　　　７エ＆Ｉ１　　　（サ）　　～Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ　　　ケコ＆Ｉ（ⅴ）１　　　（１）　　～Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ　　　Ａ　２　　（２）　　～Ｐ→～Ｑ∨　Ｒ　　　Ａ１　　　（３）　　～Ｐ　　　　　　　　　１＆Ｅ１２　　（４）　　　　　～Ｑ∨　Ｒ　　　２３ＭＰＰ　　５　（５）　　　　　～Ｑ　　　　　　Ａ１　　　（６）　　　　　　Ｑ　　　　　　１＆Ｅ１　５　（７）　　　　　～Ｑ＆Ｑ　　　　６７＆Ｉ　　５　（８）～（～Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ）　　１７ＲＡＡ　　　９（９）　　　　　　　　　Ｒ　　　Ａ１　　　（ア）　　　　　　　　～Ｒ　　　１＆Ｅ１　　９（イ）　　　　　　Ｒ＆～Ｒ　　　９ア＆Ｉ　　　９（ウ）～（～Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ）　　１イＲＡＡ１２　　（エ）～（～Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ）　　４５８９ウ∨Ｉ１２　　（オ）　（～Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ）＆　　　　　　～（～Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ）　　１エ＆Ｉ１　　　（カ）～（～Ｐ→～Ｑ∨　Ｒ）　　２オＲＡＡ従って、（08）により、（09） ④ ～（～Ｐ→～Ｑ∨Ｒ） ⑤ 　　～Ｐ＆Ｑ＆～Ｒに於いて、 ④＝⑤ である。従って、（09）により、（10） ⑤ Ｐ（偽），Ｑ（真），Ｒ（偽）であるときに限って、 ④ ～Ｐ→～Ｑ∨Ｒといふ「論理式」は、「偽」になる。従って、（10）により、（11） ④ ～Ｐ→～Ｑ∨Ｒといふ「論理式」は、「恒真式（トートロジー）」ではない。従って、（01）～（11）により、（12） ① 　Ｐ→Ｐ ②（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ ③ （Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ④ ～Ｐ→～Ｑ∨Ｒに於いて、 ④ だけが、「恒真式（トートロジー）」ではなく、 ① ～（Ｐ→Ｐ） ② ～（（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ） ③ ～（（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））） ④ ～（～Ｐ→～Ｑ∨Ｒ）に於いて、 ④ だけが、「矛盾」ではない。従って、（12）により、（13）（ａ）「恒真式（トートロジー）」とは、（ｂ）「否定」をすると、「矛盾」になる所の「論理式」である。　に、「違ひない」令和６年２月８日、毛利太。

2024年2月7日水曜日

「恒真式（トートロジー）」の「３つの定義」。

　―「含意の定義（Ｄｆ.→）」― （01）１　　　　（１）　　　Ｐ→　Ｑ　　　Ａ　２　　　（２）　　　Ｐ＆～Ｑ　　　Ａ　２　　　（３）　　　Ｐ　　　　　　２＆Ｅ１２　　　（４）　　　　　　Ｑ　　　１２ＭＰＰ　２　　　（５）　　　　　～Ｑ　　　２＆Ｅ１２　　　（６）　　　Ｑ＆～Ｑ　　　４５＆Ｉ１　　　　（７）　～（Ｐ＆～Ｑ）　　２６ＲＡＡ　　８　　（８）　～（～Ｐ∨Ｑ）　　Ａ　　　９　（９）　　　～Ｐ　　　　　Ａ　　　９　（ア）　　　～Ｐ∨Ｑ　　　９∨Ｉ　　８９　（イ）　～（～Ｐ∨Ｑ）＆　　　　　　　　　　（～Ｐ∨Ｑ）　　８ア＆Ｉ　　８　　（ウ）　　～～Ｐ　　　　　９イＲＡＡ　　８　　（エ）　　　　Ｐ　　　　　ウＤＮ　　　　オ（オ）　　　　　　Ｑ　　　Ａ　　　　オ（カ）　　　～Ｐ∨Ｑ　　　オ∨Ｉ　　８　オ（キ）　～（～Ｐ∨Ｑ）＆　　　　　　　　　　（～Ｐ∨Ｑ）　　８カ＆Ｉ　　８　　（ク）　　　　　～Ｑ　　　オキＲＡＡ　　８　　（ケ）　　　Ｐ＆～Ｑ　　　エク＆Ｉ１　８　　（コ）　～（Ｐ＆～Ｑ）＆　　　　　　　　　　（Ｐ＆～Ｑ）　　７ケ＆Ｉ１　　　　（サ）～～（～Ｐ∨Ｑ）　　８コＲＡＡ１　　　　（シ）　　　～Ｐ∨Ｑ　　　サＤＮ（02）１　　　　　（１）　～Ｐ∨　Ｑ　　　Ａ　２　　　　（２）　　Ｐ＆～Ｑ　　　Ａ　　３　　　（３）　～Ｐ　　　　　　Ａ　２３　　　（４）　　Ｐ　　　　　　２＆Ｅ　２３　　　（５）　～Ｐ＆Ｐ　　　　３４＆Ｉ　　３　　　（６）～（Ｐ＆～Ｑ）　　２５ＲＡＡ　　　７　　（７）　　　　　Ｑ　　　Ａ　２　　　　（８）　　　　～Ｑ　　　２＆Ｅ　２　７　　（９）　　Ｑ＆～Ｑ　　　７８＆Ｉ　　　７　　（ア）～（Ｐ＆～Ｑ）　　２９ＲＡＡ１　　　　　（イ）～（Ｐ＆～Ｑ）　　１３６７ア∨Ｅ　　　　ウ　（ウ）　　Ｐ　　　　　　Ａ　　　　　エ（エ）　　　　～Ｑ　　　Ａ　　　　ウエ（オ）　　Ｐ＆～Ｑ　　　ウエ＆Ｉ１　　　ウエ（カ）～（Ｐ＆～Ｑ）＆　　　　　　　　　　（Ｐ＆～Ｑ）　　イオ＆Ｉ１　　　ウ　（キ）　　　～～Ｑ　　　エカＤＮ１　　　ウ　（ク）　　　　　Ｑ　　　キＤＮ１　　　　　（ケ）　　Ｐ→　Ｑ　　　ウクＣＰ従って、（01）（02）により、（03）（ａ）　Ｐ→　Ｑ（ｂ）　Ｐ＆～Ｑ（ｃ）～Ｐ∨　Ｑに於いて、（ａ）と（ｂ）は『矛盾』し、（ｂ）と（ｃ）も『矛盾』し、それ故、（ａ）と（ｃ）は『等しい』。従って、（03）により、（04） ① 　　Ｐ→Ｑ（Ｐであるならば、Ｑである）。 ② 　～Ｐ∨Ｑ（Ｐでないか、または、Ｑである）。 ③ ～～Ｐ→Ｑ（Ｐでない、でないならば、Ｑである）。に於いて、 ①＝②＝③ である（含意の定義）。例へば、（05） ① Ｐ→Ｑ，Ｐ├ Ｑに於いて、 ① Ｐ→ＱとＰを　　「連式の仮定」と言ひ。 ①　　　　　　　Ｑを「連式の結論」と言ふ。然るに、（06）（ａ）「連式の仮定」に「偽」が「１つも無く（０個であって）」、（ｂ）「連式の結論」が「偽」でないならば、そのときに限って、その「連式」は「トートロジー的（tautologous）」である。然るに、（07）（ⅰ）１　（１）　Ｐ→Ｑ　　　　　　　　Ａ　２（２）　Ｐ　　　　　　　　　　Ａ１２（３）　　　Ｑ　　　　　　　　１２ＭＰＰ１　（４）　Ｐ→Ｑ　　　　　　　　２３ＣＰ　　（５）（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）　１４ＣＰ（ⅱ）　１（１）　Ｐ＆Ｑ　　　　　Ａ　１（２）　Ｐ　　　　　　　１＆Ｅ　　（３）（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ　１２ＣＰ（ⅲ）　１（１）Ｐ　　　　　　　Ａ　１（２）Ｐ∨Ｑ　　　　　１∨Ｉ　　（３）Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）　１２ＣＰ従って、（06）（07）により、（08） ① Ｐ→Ｑ，Ｐ├ Ｑ ② 　　Ｐ＆Ｑ├ Ｐ ③　　　　Ｐ├ Ｐ∨Ｑは「トートロジー的連式（sequents）」であるため、　　　　　 ①├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）　　　　　 ②├（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ　　　　　 ③├　Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）も「トートロジー的連式（sequents）」である。然るに、（09） ①├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ） ②├（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ ③├　Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）といふ「トートロジー的連式（sequents）」に於ける、 ①（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ） ②（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ ③　Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）といふ「結論」は、それぞれ、 ①「同一律　（トートロジー）」であって、 ②「連言除去（トートロジー）」であって、 ③「選言導入（トートロジー）」である。従って、（06）（09）により、（10） ①├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ） ②├（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ ③├　Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）のやうに、（ⅰ）「仮定の個数」が「０個」である所の「連式の結論」は、「恒真式（トートロジー）」である。ｃｆ. 　　　「仮定の個数」が「０個」であるならば、固より、「偽なる仮定の個数」も「０個」である。然るに、（11）（ⅰ）１（１）　～｛（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）｝　Ａ１（２）～｛～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ）｝　１含意の定義１（３）　　（Ｐ→Ｑ）＆～（Ｐ→Ｑ）　　２ド・モルガンの法則１（４）　　（Ｐ→Ｑ）　　　　　　　　　３＆Ｅ１（５）　　　　　　　　～（Ｐ→Ｑ）　　３＆Ｅ１（６）　　　　　　　～（～Ｐ∨Ｑ）　　５含意の定義１（７）　　　　　　　　　Ｐ＆～Ｑ　　　６ド・モルガンの法則１（８）　　　　　　　　　Ｐ　　　　　　７＆Ｅ１（９）　　　　　Ｑ　　　　　　　　　　４８ＭＰＰ１（ア）　　　　　　　　　　　～Ｑ　　　７＆Ｅ１（イ）　　　　　Ｑ＆～Ｑ　　　　　　　８９＆Ｉ　（ウ）～～｛（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）｝　１ＲＡＡ　（エ）　　　（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）　　ウＤＮ（ⅱ）１（１）　～｛（Ｐ＆Ｑ）→　Ｐ｝　Ａ１（２）～｛～（Ｐ＆Ｑ）∨　Ｐ｝　１含意の定義１（３）　　　（Ｐ＆Ｑ）＆～Ｐ　　２ド・モルガンの法則１（４）　　　　Ｐ＆Ｑ　　　　　　３＆Ｅ１（５）　　　　Ｐ　　　　　　　　４＆Ｅ１（６）　　　　　　　　　～Ｐ　　３＆Ｅ１（７）　　　　Ｐ＆～Ｐ　　　　　５６＆Ｉ　（８）～～｛（Ｐ＆Ｑ）→　Ｐ｝　１７ＲＡＡ　（９）　　　（Ｐ＆Ｑ）→　Ｐ　　８ＤＮ（ⅲ）１（１）　～｛Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）｝　Ａ１（２）～｛～Ｐ∨（Ｐ∨Ｑ）｝　１含意の定義１（３）　　Ｐ＆～（Ｐ∨Ｑ）　　２ド・モルガンの法則１（４）　　Ｐ　　　　　　　　　３＆Ｅ１（５）　　　　～（Ｐ∨Ｑ）　　３＆Ｅ１（６）　　　　～Ｐ＆～Ｑ　　　５ド・モルガンの法則１（７）　　　　～Ｐ　　　　　　６＆Ｅ１（８）　　Ｐ＆～Ｐ　　　　　　４７＆Ｉ　（９）　　Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）　　　１８ＲＡＡ従って、（11）により、（12） ① ～｛（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）｝├ Ｑ＆～Ｑ ② 　　　　～｛（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ｝├ Ｐ＆～Ｐ ③ 　　　　～｛Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）｝├ Ｐ＆～Ｐのやうに、（ⅱ）「否定」をすると「矛盾」が生じる所の「論理式」は、「恒真式（トートロジー）」である。従って、（10）（12）により、（13）（ⅰ）「仮定の個数」が「０個」である所の、「連式の結論（恒真式）」は、その一方で、（ⅱ）「否定」をすると「矛盾」が生じる所の「論理式」である。然るに、（14）（ⅰ）１（１）　　Ｐ＆Ｑ　　　　　　　　Ａ１（２）　　　　Ｑ　　　　　　　　１＆Ｅ１（３）　～Ｐ∨Ｑ　　　　　　　　２∨Ｉ１（４）　　Ｐ→Ｑ　　　　　　　　３含意の定義１（５）～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ）　４∨Ｉ１（６）　（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）　５含意の定義（ⅱ）１　（１）　Ｐ＆～Ｑ　　　　　　　　Ａ　２（２）　Ｐ→　Ｑ　　　　　　　　Ａ１　（３）　Ｐ　　　　　　　　　　　１＆Ｅ１２（４）　　　　Ｑ　　　　　　　　２３ＭＰＰ１　（５）　　　～Ｑ　　　　　　　　１＆Ｅ１２（６）　Ｑ＆～Ｑ　　　　　　　　４５＆Ｉ１　（７）～（Ｐ→Ｑ）　　　　　　　２６ＲＡＡ１　（８）～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ）　７∨Ｉ１　（９）　（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）　８含意の定義（ⅲ）１（１）　～Ｐ＆Ｑ　　　　　　　　Ａ１（２）　～Ｐ　　　　　　　　　　１＆Ｅ１（３）　～Ｐ∨Ｑ　　　　　　　　２∨Ｉ１（４）　　Ｐ→Ｑ　　　　　　　　３含意の定義１（５）～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ）　４∨Ｉ１（６）　（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）　５含意の定義（ⅳ）１（１）　～Ｐ＆～Ｑ　　　　　　　Ａ１（２）　～Ｐ　　　　　　　　　　１＆Ｅ１（３）　～Ｐ∨Ｑ　　　　　　　　２∨Ｉ１（４）　　Ｐ→Ｑ　　　　　　　　３含意の定義１（５）～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ）　４∨Ｉ１（６）　（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）　５含意の定義然るに、（15）（ⅰ）１（１）　　Ｐ＆Ｑ　　　　Ａ１（２）　　Ｐ　　　　　　１＆Ｅ１（３）～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｐ　２∨Ｉ１（４）　（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ　３含意の定義（ⅱ）１（１）　　Ｐ＆～Ｑ　　　Ａ１（２）　　Ｐ　　　　　　１＆Ｅ１（３）～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｐ　２∨Ｉ１（４）　（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ　３含意の定義（ⅲ）１　（１）　～Ｐ＆Ｑ　　　　Ａ　２（２）　　Ｐ＆Ｑ　　　　Ａ１　（３）　～Ｐ　　　　　　１＆Ｅ　２（４）　　Ｐ　　　　　　２＆Ｅ１２（５）　～Ｐ＆Ｐ　　　　３４＆Ｉ１　（６）～（Ｐ＆Ｑ）　　　２５ＲＡＡ１　（７）～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｐ　６∨Ｉ１　（８）　（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ　７含意の定義（ⅳ）１　（１）　～Ｐ＆～Ｑ　　　Ａ　２（２）　　Ｐ＆　Ｑ　　　Ａ１　（３）　　　　　Ｑ　　　１＆Ｅ　２（４）　　　　～Ｑ　　　２＆Ｅ１２（５）　　～Ｑ＆Ｑ　　　３４＆Ｉ１　（６）～（Ｐ＆Ｑ）　　　２５ＲＡＡ１　（７）～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｐ　６∨Ｉ１　（８）　（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ　７含意の定義然るに、（16）（ⅰ）１（１）　　　　Ｐ＆　Ｑ　Ａ１（２）　　　　Ｐ　　　　１＆Ｅ１（３）　　　　Ｐ∨Ｑ　　２∨Ｉ１（４）～Ｐ∨（Ｐ∨Ｑ）　３∨Ｉ１（５）　Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）　４含意の定義（ⅱ）１（１）　　　　Ｐ＆～Ｑ　Ａ１（２）　　　　Ｐ　　　　１＆Ｅ１（３）　　　　Ｐ∨Ｑ　　２∨Ｉ１（４）～Ｐ∨（Ｐ∨Ｑ）　３∨Ｉ１（５）　Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）　４含意の定義（ⅲ）１（１）　　　～Ｐ＆　Ｑ　Ａ１（２）　　　～Ｐ　　　　１＆Ｅ１（３）～Ｐ∨（Ｐ∨Ｑ）　２∨Ｉ１（４）　Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）　３含意の定義（ⅳ）１（１）　　　～Ｐ＆～Ｑ　Ａ１（２）　　　～Ｐ　　　　１＆Ｅ１（３）～Ｐ∨（Ｐ∨Ｑ）　２∨Ｉ１（４）　Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）　３含意の定義従って、（14）により、（17） ① 　Ｐ＆　Ｑ├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ） ② 　Ｐ＆～Ｑ├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ） ③ ～Ｐ＆　Ｑ├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ） ④ ～Ｐ＆～Ｑ├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）然るに、（15）により、（18） ① 　Ｐ＆　Ｑ├（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ ② 　Ｐ＆～Ｑ├（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ ③ ～Ｐ＆　Ｑ├（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ ④ ～Ｐ＆～Ｑ├（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ然るに、（16）により、（19） ① 　Ｐ＆　Ｑ├ Ｐ→（Ｐ∨Ｑ） ② 　Ｐ＆～Ｑ├ Ｐ→（Ｐ∨Ｑ） ③ ～Ｐ＆　Ｑ├ Ｐ→（Ｐ∨Ｑ） ④ ～Ｐ＆～Ｑ├ Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）従って、（17）により、（20） ① Ｐ（真）＆Ｑ（真）├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ） ② Ｐ（真）＆Ｑ（偽）├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ） ③ Ｐ（偽）＆Ｑ（偽）├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ） ④ Ｐ（偽）＆Ｑ（偽）├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）然るに、（18）により、（21） ① Ｐ（真）＆Ｑ（真）├（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ ② Ｐ（真）＆Ｑ（偽）├（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ ③ Ｐ（偽）＆Ｑ（偽）├（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ ④ Ｐ（偽）＆Ｑ（偽）├（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ然るに、（19）により、（22） ① Ｐ（真）＆Ｑ（真）├ Ｐ→（Ｐ∨Ｑ） ② Ｐ（真）＆Ｑ（偽）├ Ｐ→（Ｐ∨Ｑ） ③ Ｐ（偽）＆Ｑ（偽）├ Ｐ→（Ｐ∨Ｑ） ④ Ｐ（偽）＆Ｑ（偽）├ Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）然るに、（23）１（１）～Ｐ　　　　Ａ　（２）～Ｐ→～Ｐ　１１ＣＰ　（３）　Ｐ∨～Ｐ　２含意の定義（ⅱ）１　（１）　～（Ｐ∨～Ｐ）　　Ａ　２（２）　　　Ｐ　　　　　　Ａ　２（３）　　　Ｐ∨～Ｐ　　　２∨Ｉ１２（４）　～（Ｐ∨～Ｐ）＆　　　　　　　（Ｐ∨～Ｐ）　　１３＆Ｉ１　（５）　　～Ｐ　　　　　　２４ＲＡＡ１　（６）　　　Ｐ∨～Ｐ　　　５∨Ｉ１　（７）　～（Ｐ∨～Ｐ）＆　　　　　　　（Ｐ∨～Ｐ）　　１６＆Ｉ　　（８）～～（Ｐ∨～Ｐ）　　１７ＲＡＡ　　（９）　　　Ｐ∨～Ｐ　　　８ＤＮ然るに、（24）　　　　　　　　（１）　　Ｐ∨～Ｐ　　　　　　　ＴＩ（排中律）　　　　　　　　（２）　　Ｑ∨～Ｑ　　　　　　　ＴＩ（排中律）３　　　　　　　（３）　　Ｐ　　　　　　　　　　Ａ　４　　　　　　（４）　　Ｑ　　　　　　　　　　Ａ３４　　　　　　（５）　　Ｐ＆Ｑ　　　　　　　　３４＆Ｉ３４　　　　　　（６）　　　　Ｑ　　　　　　　　５＆Ｅ３４　　　　　　（７）　～Ｐ∨Ｑ　　　　　　　　６∨Ｉ３４　　　　　　（８）　　Ｐ→Ｑ　　　　　　　　７含意の定義３４　　　　　　（９）～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ）　８∨Ｉ　　ア　　　　　（ア）　　　　～Ｑ　　　　　　　Ａ３　ア　　　　　（イ）　　Ｐ＆～Ｑ　　　　　　　３ア＆Ｉ　　　ウ　　　　（ウ）　　Ｐ→　Ｑ　　　　　　　Ａ３　ア　　　　　（エ）　　Ｐ　　　　　　　　　　イ＆Ｅ３　アウ　　　　（オ）　　　　　Ｑ　　　　　　　ウエＭＰＰ３　ア　　　　　（カ）　　　　～Ｑ　　　　　　　イ＆Ｅ３　アウ　　　　（キ）　　Ｑ＆～Ｑ　　　　　　　オカ＆Ｉ３　ア　　　　　（ク）～（Ｐ→Ｑ）　　　　　　　ウキＲＡＡ３　ア　　　　　（ケ）～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ）　ク∨Ｉ３　　　　　　　（コ）～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ）　２４９アケ∨Ｅ　　　　サ　　　（サ）　　　　～Ｐ　　　　　　　Ａ　４　　サ　　　（シ）　～Ｐ＆Ｑ　　　　　　　　４サ＆Ｉ　４　　サ　　　（ス）　～Ｐ　　　　　　　　　　シ＆Ｅ　４　　サ　　　（セ）　～Ｐ∨Ｑ　　　　　　　　ス∨Ｉ　４　　サ　　　（ソ）　　Ｐ→Ｑ　　　　　　　　セ含意の定義　４　　サ　　　（タ）～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ）　ソ∨Ｉ　　ア　サ　　　（ツ）　～Ｐ＆～Ｑ　　　　　　　アサ＆Ｉ　　ア　サ　　　（テ）　　　　～Ｐ　　　　　　　ツ＆Ｅ　　ア　サ　　　（ト）　　　　～Ｐ∨Ｑ　　　　　テ∨Ｉ　　ア　サ　　　（ナ）　　　　　Ｐ→Ｑ　　　　　ト含意の定義　　ア　サ　　　（ニ）～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ）　ナ∨Ｉ　　　　サ　　　（ヌ）～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ）　２４タアニ∨Ｅ　　　　　　　　（ネ）～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ）　１３コサヌ∨Ｅ　　　　　　　　（ノ）　（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）　ネ含意の定義従って、（24）により、（25） ① 　Ｐ＆　Ｑ├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ） ② 　Ｐ＆～Ｑ├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ） ③ ～Ｐ＆　Ｑ├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ） ④ ～Ｐ＆～Ｑ├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）といふ「連式」、すなはち、 ① Ｐ（真）＆Ｑ（真）├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ） ② Ｐ（真）＆Ｑ（偽）├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ） ③ Ｐ（偽）＆Ｑ（偽）├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ） ④ Ｐ（偽）＆Ｑ（偽）├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）といふ「連式」は、４とつも、 ①├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ） ②├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ） ③├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ） ④├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）といふ風に、（ⅰ）「仮定の個数」が「０個」である所の、「連式」に、「書き換へる」ことが出来る。従って、（20）～（25）により、（26）「同様」にして、 ① Ｐ（真）＆Ｑ（真）├（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ ② Ｐ（真）＆Ｑ（偽）├（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ ③ Ｐ（偽）＆Ｑ（偽）├（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ ④ Ｐ（偽）＆Ｑ（偽）├（Ｐ＆Ｑ）→Ｐといふ「連式」と、 ① Ｐ（真）＆Ｑ（真）├ Ｐ→（Ｐ∨Ｑ） ② Ｐ（真）＆Ｑ（偽）├ Ｐ→（Ｐ∨Ｑ） ③ Ｐ（偽）＆Ｑ（偽）├ Ｐ→（Ｐ∨Ｑ） ④ Ｐ（偽）＆Ｑ（偽）├ Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）といふ「連式」も、（ⅰ）「仮定の個数」が「０個」である所の、「連式」に、「書き換へる」ことが出来る。従って、（10）（25）（26）により、（27）（ⅰ）「仮定の個数」が「０個」である所の、「連式の結論（恒真式）」は、その一方で、（ⅲ）「命題変数（ＰとＱ）の真偽」に関わらず、「恒に真」である所の「論理式」である。従って、（13）（27）により、（28）（ⅰ）「恒真式（トートロジー）」とは、（ⅱ）「仮定の個数」が「０個」である所の、　「連式の結論」であって、（ⅲ）「否定」をすると「矛盾」が生じる所の　「論理式」であって、その上、（ⅳ）「命題変数（ＰとＱ）の真偽」に関はらず「恒に真」である所の「論理式」である。然るに、（29）１　　（１）　　　～（（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→　Ｐ）　Ａ１　　（２）　　～（（（～Ｐ∨Ｑ）→Ｐ）→　Ｐ）　１含意の定義１　　（３）　～（（～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｐ）→　Ｐ）　２含意の定義１　　（４）～（～（～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｐ）∨　Ｐ）　３含意の定義１　　（５）　　　（～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｐ）＆～Ｐ　　４ド・モルガンの法則１　　（６）　　　　（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）＆～Ｐ　　５ド・モルガンの法則１　　（７）　　　　　（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ　　　　　　６＆Ｅ　８　（８）　　　　　　Ｐ＆～Ｑ　　　　　　　　　Ａ　８　（９）　　　　　　Ｐ　　　　　　　　　　　　８＆Ｅ　　ア（ア）　　　　　　　　　　　　Ｐ　　　　　　Ａ１　　（イ）　　　　　　Ｐ　　　　　　　　　　　　７８９アア∨Ｅ１　　（ウ）　　　　　　　　　　　　　　　～Ｐ　　６＆Ｅ１　　（エ）　　　　　　Ｐ＆～Ｐ（矛盾）　　　　　イウ＆Ｉ　　　（オ）　　～～（（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→　Ｐ）　１エＲＡＡ　　　（カ）　　　　　（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→　Ｐ　　オＤＮ従って、（30） ⑤├（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐといふ「（仮定の個数が０である所の）連式」は「妥当」である。然るに、（31）　（ⅰ）　１（１）　　　Ｐ＆Ｑ　　　　　　　Ａ　１（２）　　　Ｐ　　　　　　　　　１＆Ｅ　１（３）～（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）∨Ｐ　２∨Ｉ　１（４）（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ　３含意の定義（ⅱ）　１（１）　　　Ｐ＆～Ｑ　　　　　　Ａ　１（２）　　　Ｐ　　　　　　　　　１＆Ｅ　１（３）～（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）∨Ｐ　２∨Ｉ　１（４）（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ　３含意の定義（ⅲ）１　（１）　　～Ｐ＆Ｑ　　　　　　　Ａ　２（２）　　（Ｐ→Ｑ）→Ｐ　　　　Ａ１　（３）　　　　　Ｑ　　　　　　　１＆Ｅ１　（４）　　～Ｐ∨Ｑ　　　　　　　３∨Ｉ１　（５）　　　Ｐ→Ｑ　　　　　　　４含意の定義１２（６）　　　　　　　　Ｐ　　　　２５ＭＰＰ１　（７）　　～Ｐ　　　　　　　　　１＆Ｅ１２（８）　　～Ｐ＆Ｐ　　　　　　　６７＆Ｉ１　（９）～（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）　　　２８ＲＡＡ１　（ア）～（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）∨Ｐ　９∨Ｉ１　（イ）　（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ　ア含意の定義（ⅳ）１　（１）　　～Ｐ＆～Ｑ　　　　　　Ａ１　（２）　　～Ｐ　　　　　　　　　１＆Ｅ１　（３）　　～Ｐ∨Ｑ　　　　　　　２∨Ｉ１　（４）　　　Ｐ→Ｑ　　　　　　　３含意の定義　２（５）　　（Ｐ→Ｑ）→Ｐ　　　　Ａ１２（６）　　　　　　　　Ｐ　　　　４５ＭＰＰ１２（７）　　～Ｐ＆Ｐ　　　　　　　２６＆Ｉ１　（８）～（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ　　　　２７ＲＡＡ１　（９）～（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）∨Ｐ　８∨Ｉ１　（ア）　（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ　８含意の定義従って、（20）～（25）、（31）により、（32）　　　　（１）Ｐ∨～Ｐ　　　　　　　　ＴＩ（排中律）　　　　（２）Ｑ∨～Ｑ　　　　　　　　ＴＩ（排中律）３　　　（３）Ｐ　　　　　　　　　　　Ａ　４　　（４）　　～Ｐ　　　　　　　　Ａ　　５　（５）Ｑ　　　　　　　　　　　Ａ　　　６（６）　　～Ｑ　　　　　　　　Ａ３　５　（７）（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ　３５ＳＩ（ⅰ）３　　６（８）（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ　３６ＳＩ（ⅱ）　４５　（９）（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ　３７ＳＩ（ⅲ）　４　６（ア）（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ　３８ＳＩ（ⅳ）５　　　（イ）（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ　１３７４９∨Ｅ　　　６（ウ）（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ　１３８４ア∨Ｅ　　　　（エ）（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ　２５イ６ウ∨Ｅ（E.J.レモン著、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英訳、1973年、１１３頁改）といふ「（排中律を用いた）計算」によって、 ①├（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ ②├（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ ③├（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ ④├（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐといふ風に、（ⅰ）「仮定の個数」が「０個」である所の、「連式（パースの法則）」に、「書き換へる」ことが出来る。従って、（09）（28）（32）により、（33）（ⅰ）「恒真式（トートロジー）」とは、（ⅱ）「同一律・連言除去・選言導入・パースの法則」等がそうであるやうに、（ⅲ）「仮定の個数」が「０個」である所の、　「連式の結論」であって、（ⅳ）「否定」をすると「矛盾」が生じる所の　「論理式」であって、その上、（ⅴ）「命題変数（ＰとＱ）の真偽」に関はらず「恒に真」である所の「論理式」である。従って、（33）により、（34）トートロジー（英: tautology, 希: ταυτολογία, 語源はギリシャ語で「同じ」を意味するταυτοから）とは、ある事柄を述べるのに、同義語[1]または類語[2]または同語[3]を反復させる修辞技法のこと。同義語反復、類語反復、同語反復等と訳される。関連した概念に冗語があり、しばしば同じ意味で使われることもある。また、撞着語法はトートロジーの反対の技法である（ウィキペディア）。といふ「説明」は、「恒真式（トートロジー）」の「説明」としては、「表面的」であって、「正しい」とは言へない。然るに、（04）により、（35）もう一度、確認すると、 ① 　Ｐ→Ｑ（Ｐであるならば、Ｑである）。 ② ～Ｐ∨Ｑ（Ｐでないか、または、Ｑである）。に於いて、 ①＝② である（含意の定義）。然るに、（36）１　　（１）～Ｐ∨Ｑ　Ａ　２　（２）～Ｐ　　　Ａ　２　（３）～Ｐ∨Ｑ　２∨Ｉ　２　（４）　Ｐ→Ｑ　３含意の定義　　５（５）　　　Ｑ　Ａ　　５（６）～Ｐ∨Ｑ　５∨Ｉ　　５（７）　Ｐ→Ｑ　６含意の定義１　　（８）　Ｐ→Ｑ　１２４５７∨Ｅ従って、（36）により、（37）１　　（１）～Ｐ∨Ｑ　Ａではなく、１　　（２）Ｐ＆～Ｑ　Ａであるならば、　２　（３）～Ｐ∨Ｑ　２∨Ｉ　２　（４）　Ｐ→Ｑ　３含意の定義　　５（５）　　　Ｑ　Ａ　　５（６）～Ｐ∨Ｑ　５∨Ｉ　　５（７）　Ｐ→Ｑ　６含意の定義１　　（８）　Ｐ→Ｑ　１２４５７∨Ｅといふことには、「ならない」。従って、（36）により、（37） ① 　Ｐ＆　Ｑ├ 　　Ｐ→Ｑ ② 　Ｐ＆～Ｑ├ ～（Ｐ→Ｑ） ③ ～Ｐ＆　Ｑ├　　Ｐ→Ｑ ④ ～Ｐ＆～Ｑ├　　Ｐ→Ｑ然るに、（38）１（１）　～（Ｐ→Ｑ）　Ａ１（２）～（～Ｐ∨Ｑ）　１含意の定義１（３）　　Ｐ＆～Ｑ　　２ド・モルガンの法則然るに、（39） ① Ｐ＆～Ｐ ② Ｐ＆～Ｑに於いて、言ふまでもなく、 ① は「矛盾」であるが、 ② は「矛盾」ではない。従って、（38）（39）により、（40）（ⅰ）１（１）　～（Ｐ→Ｐ）　Ａ１（２）～（～Ｐ∨Ｐ）　１含意の定義１（３）　　Ｐ＆～Ｐ　　２ド・モルガンの法則　（４）～～（Ｐ→Ｐ）　１３ＲＡＡ　（５）　　　Ｐ→Ｐ　　４ＤＮに対して、（ⅱ）１（１）　～（Ｐ→Ｑ）　Ａ１（２）～（～Ｐ∨Ｑ）　１含意の定義１（３）　　Ｐ＆～Ｑ　　２ド・モルガンの法則　（４）～～（Ｐ→Ｑ）　１３ＲＡＡ　（５）　　　Ｐ→Ｑ　　４ＤＮではない。従って、（33）～（40）により、（41）例へば、 ① Ｐ→Ｐ（Ｐであるならば、Ｐである）。 ② Ｐ→Ｑ（Ｐであるならば、Ｑである）。に於いて、 ① は、「恒真式（トートロジー）」であるが、 ② は、「恒真式（トートロジー）」ではない。令和６年２月７日、毛利太。

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