「命題論理」の「完全性定理」。

（01）
１　（１）Ｐ→Ｑ　Ａ
　２（２）Ｐ　　　Ａ
１２（３）　　Ｑ　１ＭＰＰ
という「計算」に於ける、
　　　 ① Ｐ→Ｑ
　　　 ② Ｐ
　　　 ③ 　　Ｑ
という「論理式」に於いて、
① は「仮定」により「真」であり、
② も「仮定」により「真」であり、
③ は『規則』により「真」である。
然るに、
（01）により、
（02）
１　（１）　Ｐ→Ｑ　　　　　　　　Ａ
　２（２）　Ｐ　　　　　　　　　　Ａ
１２（３）　　　Ｑ　　　　　　　　１ＭＰＰ
１　（４）　Ｐ→Ｑ　　　　　　　　２３ＣＰ
　　（５）（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）　１４ＣＰ
という「計算」は「妥当」であり、それ故、
① Ｐ→Ｑ，Ｐ├ Ｑ
②　　 Ｐ→Ｑ├ Ｐ→Ｑ
③　　　　　 ├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
という「連式（Sequents）」は、「妥当」ある。
然るに、
（03）
③├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
に於ける、
③　（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
という「論式」は、「同一律（の代入例）」であって、「同一律」は、「恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（01）（02）（03）により、
（04）
例えば、「同一律」がそうであるように、
③├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
という風に、
（ⅰ）「仮定の個数」が「０個」である所の「論理式」は「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（05）
１（１）　～｛（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）｝　Ａ
１（２）～｛～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ）｝　１含意の定義
１（３）　　（Ｐ→Ｑ）＆～（Ｐ→Ｑ）　　２ド・モルガンの法則
１（４）　　（Ｐ→Ｑ）　　　　　　　　　３＆Ｅ
１（５）　　　　　　　　～（Ｐ→Ｑ）　　３＆Ｅ
１（６）　　　　　　　～（～Ｐ∨Ｑ）　　５含意の定義
１（７）　　　　　　　　　Ｐ＆～Ｑ　　　６ド・モルガンの法則
１（８）　　　　　　　　　Ｐ　　　　　　７＆Ｅ
１（９）　　　　　Ｑ　　　　　　　　　　４８ＭＰＰ
１（ア）　　　　　　　　　　　～Ｑ　　　７＆Ｅ
１（イ）　　　　　Ｑ＆～Ｑ　　　　　　　８９＆Ｉ
　（ウ）～～｛（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）｝　１ＲＡＡ
　（エ）　　　（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）　　ウＤＮ
従って、
（04）（05）により、
（06）
例えば、「同一律」がそうであるように、
（ⅱ）「恒真式（トートロジー）」の「否定」は、「恒偽式（矛盾）」である。
然るに、
（07）
（ⅰ）
１（１）　　Ｐ＆Ｑ　　　　　　　　Ａ
１（２）　　　　Ｑ　　　　　　　　１＆Ｅ
１（３）　～Ｐ∨Ｑ　　　　　　　　２∨Ｉ
１（４）　　Ｐ→Ｑ　　　　　　　　３含意の定義
１（５）～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ）　４∨Ｉ
１（６）　（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）　５含意の定義
（ⅱ）
１　（１）　Ｐ＆～Ｑ　　　　　　　　Ａ
　２（２）　Ｐ→　Ｑ　　　　　　　　Ａ
１　（３）　Ｐ　　　　　　　　　　　１＆Ｅ
１２（４）　　　　Ｑ　　　　　　　　２３ＭＰＰ
１　（５）　　　～Ｑ　　　　　　　　１＆Ｅ
１２（６）　Ｑ＆～Ｑ　　　　　　　　４５＆Ｉ
１　（７）～（Ｐ→Ｑ）　　　　　　　２６ＲＡＡ
１　（８）～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ）　７∨Ｉ
１　（９）　（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）　８含意の定義
（ⅲ）
１（１）　～Ｐ＆Ｑ　　　　　　　　Ａ

１（２）　～Ｐ　　　　　　　　　　１＆Ｅ
１（３）　～Ｐ∨Ｑ　　　　　　　　２∨Ｉ
１（４）　　Ｐ→Ｑ　　　　　　　　３含意の定義
１（５）～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ）　４∨Ｉ
１（６）　（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）　５含意の定義
（ⅳ）
１（１）　～Ｐ＆～Ｑ　　　　　　　Ａ

１（２）　～Ｐ　　　　　　　　　　１＆Ｅ
１（３）　～Ｐ∨Ｑ　　　　　　　　２∨Ｉ
１（４）　　Ｐ→Ｑ　　　　　　　　３含意の定義
１（５）～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ）　４∨Ｉ
１（６）　（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）　５含意の定義
従って、
（07）により、
（08）
① 　Ｐ＆　Ｑ├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
② 　Ｐ＆～Ｑ├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
③ ～Ｐ＆　Ｑ├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
④ ～Ｐ＆～Ｑ├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
然るに、
（09）
（ⅰ）
１　　（１）　　（Ｐ→Ｑ）→　（Ｐ→Ｑ）　Ａ
１　　（２）　～（Ｐ→Ｑ）∨　（Ｐ→Ｑ）　１含意の定義
１　　（３）～（～Ｐ∨Ｑ）∨　（Ｐ→Ｑ）　２含意の定義
　４　（４）～（～Ｐ∨Ｑ）　　　　　　　　Ａ
　４　（５）　　Ｐ＆～Ｑ　　　　　　　　　４含意の定義
　４　（６）　（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｐ∨Ｑ）　５∨Ｉ
　　７（７）　　　　　　　　　（Ｐ→Ｑ）　Ａ
　　７（８）　　　　　　　　　～Ｐ∨Ｑ　　７含意の定義
　　７（９）　（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｐ∨Ｑ）　８∨Ｉ
１　　（ア）　（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｐ∨Ｑ）　１４６７９∨Ｅ
（ⅱ）
１　　（１）　（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｐ∨Ｑ）　Ａ
　２　（２）　（Ｐ＆～Ｑ）　　　　　　　　Ａ
　２　（３）～（～Ｐ∨Ｑ）　　　　　　　　２ド・モルガンの法則
　２　（４）　～（Ｐ→Ｑ）　　　　　　　　３含意の定義
　２　（５）　～（Ｐ→Ｑ）∨　（Ｐ→Ｑ）　５∨Ｉ
　　６（６）　　　　　　　　（～Ｐ∨Ｑ）　Ａ
　　６（７）　　　　　　　　　（Ｐ→Ｑ）　６含意の定義
　　６（８）　～（Ｐ→Ｑ）∨　（Ｐ→Ｑ）　∨Ｉ
１　　（９）　～（Ｐ→Ｑ）∨　（Ｐ→Ｑ）　１２５６８∨Ｅ
１　　（ア）　　（Ｐ→Ｑ）→　（Ｐ→Ｑ）　９含意の定義
従って、
（09）により、
（10）
①（Ｐ→　Ｑ）→（　Ｐ→Ｑ）
②（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｐ∨Ｑ）
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（11）
『選言導入（∨Ｉ）』により、
① 　Ｐ＆　Ｑ├（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｐ∨Ｑ）
② 　Ｐ＆～Ｑ├（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｐ∨Ｑ）
③ ～Ｐ＆　Ｑ├（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｐ∨Ｑ）
④ ～Ｐ＆～Ｑ├（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｐ∨Ｑ）
という「連式（Sequents）」が「妥当」であることは、「計算」をしなくとも、「明白」である。
従って、
（08）～（11）により、
（12）
いずれにせよ、
① 　Ｐ＆　Ｑ├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
② 　Ｐ＆～Ｑ├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
③ ～Ｐ＆　Ｑ├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
④ ～Ｐ＆～Ｑ├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
という「連式（Sequents）」は、「妥当」ある。
従って、
（12）により、
（13）
例えば、「同一律」がそうであるように、
（ⅲ）「命題変数（Ｐ，Ｑ）」の「真理値（真偽）」に関わらず、「恒真式（トートロジー）」の「真理値（真偽）」は、「恒に真」である。
従って、
（04）（06）（13）により、
（14）
例えば、「同一律」がそうであるように、
（ⅰ）「仮定の個数」が「０個」である所の「論理式」は「恒真式（トートロジー）」である。
（ⅱ）「恒真式（トートロジー）」の「否定」は、「恒偽式（矛盾）」である。
（ⅲ）「命題変数（Ｐ，Ｑ）」の「真理値（真偽）」に関わらず、「恒真式（トートロジー）」の「真理値（真偽）」は、「恒に真」である。

　―「命題変数」が「３個（Ｐ，Ｑ，Ｒ）」になっただけで、「同じこと」の「繰り返し」です。―
然るに、
（15）
１　　　（１）　Ｐ→Ｑ　Ａ
　２　　（２）　Ｒ∨Ｐ　Ａ
　　３　（３）　Ｒ　　　Ａ
　　３　（４）　Ｒ∨Ｑ　３∨Ｉ
　　　５（５）　　　Ｐ　Ａ
１　　５（６）　　　Ｑ　１５ＭＰＰ
１　　５（７）　Ｒ∨Ｑ　６∨Ｉ
１２　　（８）　Ｒ∨Ｑ　２３４５７∨Ｅ
という「計算」に於ける、
　　　　　　 ① Ｐ→Ｑ
　　　　　　 ② Ｒ∨Ｐ
　　　　　　 ③ Ｒ∨Ｑ
という「論理式」に於いて、
① は「仮定」により「真」であり、
② も「仮定」により「真」であり、
③ は『規則』により「真」である。
従って、
（15）により、
（16）
１　　　（１）　Ｐ→Ｑ　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　２　　（２）　Ｒ∨Ｐ　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　３　（３）　Ｒ　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　３　（４）　Ｒ∨Ｑ　　　　　　　　　　　　　　　　３∨Ｉ
　　　５（５）　　　Ｐ　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
１　　５（６）　　　Ｑ　　　　　　　　　　　　　　　　１５ＭＰＰ
１　　５（７）　Ｒ∨Ｑ　　　　　　　　　　　　　　　　６∨Ｉ
１２　　（８）　Ｒ∨Ｑ　　　　　　　　　　　　　　　　２３４５７∨Ｅ
１　　　（９）（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）　　　　　　　　　２８ＣＰ
　　　　（ア）（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））　１９ＣＰ
という「計算」は「妥当」であり、それ故、
① Ｐ→Ｑ，Ｒ∨Ｐ├ Ｒ∨Ｑ
② 　　　　Ｐ→Ｑ├（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）
③　　　　　　　 ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
という「連式（Sequents）」は、「妥当」ある。
然るに、
（16）により、
（17）
③├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
に於ける、
③　（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
という「論式」は、「ヒルベルト・アッカーマンの公理（４）」であって、「ヒルベルト・アッカーマンの公理（４）」は、「恒真式（トートロジー）である。
従って、
（15）（16）（17）により、
（18）
③├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
という風に、
例えば、「ヒルベルト・アッカーマンの公理（４）」がそうであるように、
（ⅰ）「仮定の個数」が「０個」である所の「論理式」は「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（19）
１（１）　～（（　Ｐ→Ｑ）→　　（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）））　Ａ
１（２）　～（（～Ｐ∨Ｑ）→　　（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）））　１含意の定義
１（３）～（～（～Ｐ∨Ｑ）∨　　（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）））　２含意の定義
１（４）～（～（～Ｐ∨Ｑ）∨　（～（Ｒ∨Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）））　３含意の定義
１（５）　　　（～Ｐ∨Ｑ）＆～（～（Ｒ∨Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ））　　４ド・モルガンの法則
１（６）　　　（～Ｐ∨Ｑ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　５＆Ｅ
１（７）　　　　　　　　　　～（～（Ｒ∨Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ））　　５＆Ｅ
１（８）　　　　　　　　　　　　（Ｒ∨Ｐ）＆～（Ｒ∨Ｑ）　　　７ド・モルガンの法則
１（９）　　　　　　　　　　　　　Ｒ∨Ｐ　　　　　　　　　　　８＆Ｅ
１（ア）　　　　　　　　　　　　　　　　　　～（Ｒ∨Ｑ）　　　８＆Ｅ
１（イ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　～Ｒ＆～Ｑ　　　　ア、ド・モルガンの法則
１（ウ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　～Ｒ　　　　　　　イ＆Ｅ
１（エ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～Ｑ　　　　イ＆Ｅ
１（オ）　　　　　Ｐ→Ｑ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　６含意の定義
１（カ）　　　　～Ｐ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　エオＭＴＴ
１（キ）　　　～Ｒ＆～Ｐ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ウカ＆Ｉ
１（ク）　　～（Ｒ∨Ｐ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　キ、ド・モルガンの法則
１（ケ）　　～（Ｒ∨Ｐ）＆（Ｒ∨Ｐ）　　　　　　　　　　　　　９ク＆Ｉ
従って、
（18）（19）により、
（20）
例えば、「ヒルベルト・アッカーマンの公理（４）」がそうであるように、
（ⅱ）「恒真式（トートロジー）」の「否定」は、「恒偽式（矛盾）」である。
然るに、
（21）
１（１）　　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ　　　　　　　　　　　　Ａ
１（２）　　　　　　　　Ｒ　　　　　　　　　　　　Ａ
１（３）　　　　　　　　　　　　　　　Ｒ∨Ｑ　　　２∨Ｉ
１（４）　　　　　　　～（Ｒ∨Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）　　３∨Ｉ
１（５）　　　　　　　　（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）　　４含意の定義
１（６）～（Ｐ→Ｑ）∨（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））　５∨Ｉ
１（７）　（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））　６含意の定義
（ⅱ）
１（１）　　Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ　　　　　　　　　　　　　Ａ
１（２）　　　　　Ｑ　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
１（３）　　　　　　　　　　　　　　　Ｒ∨Ｑ　　　２∨Ｉ
１（４）　　　　　　　～（Ｒ∨Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）　　３∨Ｉ
１（５）　　　　　　　　（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）　　４含意の定義
１（６）～（Ｐ→Ｑ）∨（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））　５∨Ｉ
１（７）　（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））　６含意の定義
（ⅲ）
（ⅰ）
１（１）　　Ｐ＆～Ｑ＆　Ｒ　　　　　　　　　　　　Ａ
１（２）　　　　　　　　Ｒ　　　　　　　　　　　　Ａ
１（３）　　　　　　　　　　　　　　　Ｒ∨Ｑ　　　２∨Ｉ
１（４）　　　　　　　～（Ｒ∨Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）　　３∨Ｉ
１（５）　　　　　　　　（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）　　４含意の定義
１（６）～（Ｐ→Ｑ）∨（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））　５∨Ｉ
１（７）　（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））　６含意の定義
（ⅳ）
１　（１）　Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ　　　　　　　　　　　　　Ａ
　２（２）　Ｐ→　Ｑ　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
１　（３）　Ｐ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　１＆Ｅ
１２（４）　　　　Ｑ　　　　　　　　　　　　　　　　２３ＭＰＰ
１　（５）　　　～Ｑ　　　　　　　　　　　　　　　　１＆Ｅ
１２（６）　　　　Ｑ＆～Ｑ　　　　　　　　　　　　　４５＆Ｉ
１　（７）～（Ｐ→Ｑ）　　　　　　　　　　　　　　　２６ＲＡＡ
１　（８）～（Ｐ→Ｑ）∨（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））　７∨Ｉ
１　（９）（　Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））　１含意の定義
（ⅴ）
１（１）　～Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ　　　　　　　　　　　　Ａ
１（２）　　　　　Ｑ　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
１（３）　　　　　　　　　　　　　　　Ｒ∨Ｑ　　　２∨Ｉ
１（４）　　　　　　　～（Ｒ∨Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）　　３∨Ｉ
１（５）　　　　　　　　（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）　　４含意の定義
１（６）～（Ｐ→Ｑ）∨（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））　５∨Ｉ
１（７）　（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））　６含意の定義
（ⅵ）
１（１）　～Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ　　　　　　　　　　　　Ａ
１（２）　　　　　Ｑ　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
１（３）　　　　　　　　　　　　　　　Ｒ∨Ｑ　　　２∨Ｉ
１（４）　　　　　　　～（Ｒ∨Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）　　３∨Ｉ
１（５）　　　　　　　　（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）　　４含意の定義
１（６）～（Ｐ→Ｑ）∨（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））　５∨Ｉ
１（７）　（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））　６含意の定義
１（３）　　　　　　　　　　　　　　　Ｒ∨Ｑ　　　２∨Ｉ
１（４）　　　　　　　～（Ｒ∨Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）　　３∨Ｉ
１（５）　　　　　　　　（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）　　４含意の定義
１（６）～（Ｐ→Ｑ）∨（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））　５∨Ｉ
１（７）　（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））　６含意の定義
（ⅶ）
１（１）　～Ｐ＆～Ｑ＆　Ｒ　　　　　　　　　　　　Ａ
１（２）　　　　　Ｑ　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
１（３）　　　　　　　　　　　　　　　Ｒ∨Ｑ　　　２∨Ｉ
１（４）　　　　　　　～（Ｒ∨Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）　　３∨Ｉ
１（５）　　　　　　　　（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）　　４含意の定義
１（６）～（Ｐ→Ｑ）∨（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））　５∨Ｉ
１（７）　（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））　６含意の定義
（ⅷ）
１　（１）　～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ　　　　　　　　　　　　Ａ
１　（２）　～Ｐ　　　　　　　　　　　　　　　　　　１＆Ｅ
　３（３）　　　　　　～（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））　Ａ
　３（４）　　　　　～（～（Ｒ∨Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ））　３含意の定義
　３（５）　　　　　　　（Ｒ∨Ｐ）＆～（Ｒ∨Ｑ）　　４ド・モルガンの法則
　３（６）　　　　　　　　Ｒ∨Ｐ　　　　　　　　　　５＆Ｅ
　３（７）　　　　　　　　　　　　　～（Ｒ∨Ｑ）　　５＆Ｅ
　３（８）　　　　　　　　　　　　　～Ｒ＆～Ｑ　 　７ド・モルガンの法則
　３（９）　　　　　　　～Ｒ　　　　　　　　　　　　８＆Ｅ
１３（ア）　　　　　　　～Ｒ＆～Ｐ　　　　　　　　　２９＆Ｉ
１３（イ）　　　　　　～（Ｒ∨Ｐ）　　　　　　　　　ア、ド・モルガンの法則
１３（ウ）　　　　　　　（Ｒ∨Ｐ）＆～（Ｒ∨Ｐ）　　６イ＆Ｉ
１　（エ）　　　　　～～（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））　３ウＲＡＡ
１　（オ）　　　　　　　（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））　ＤＮ
１　（カ）～（Ｐ→Ｑ）∨（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））　オ∨Ｉ
１　（キ）　（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））　カ含意の定義
従って、
（21）により、
（22）
① 　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
② 　Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
③ 　Ｐ＆～Ｑ＆　Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
④ 　Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
⑤ ～Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
⑥ ～Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆　Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
然るに、
（23）
（ⅰ）
１　　　　（１）　　（Ｐ→Ｑ）→（　（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））　Ａ
１　　　　（２）　～（Ｐ→Ｑ）∨（　（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））　１含意の定義
１　　　　（３）～（～Ｐ∨Ｑ）∨（　（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））　２含意の定義
１　　　　（４）～（～Ｐ∨Ｑ）∨（～（Ｒ∨Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ））　３含意の定義
　５　　　（５）～（～Ｐ∨Ｑ）　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　５　　　（６）　　Ｐ＆～Ｑ　　　　　　　　　　　　　　　　　５ド・モルガンの法則
　５　　　（７）　（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）　　６∨Ｉ
　　８　　（８）　　　　　　　　　～（Ｒ∨Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）　　Ａ
　　　９　（９）　　　　　　　　　～（Ｒ∨Ｐ）　　　　　　　　Ａ
　　　９　（ア）　　　　　　　　（～Ｒ＆～Ｐ）　　　　　　　　９ド・モルガンの法則
　　　９　（イ）　　　　　　　　（～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）　　ア∨Ｉ
　　　　ウ（ウ）　　　　　　　　　　　　　　　　（Ｒ∨Ｑ）　　Ａ
　　　　ウ（エ）　　　　　　　　（～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）　　ウ∨Ｉ
　　８　　（オ）　　　　　　　　（～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）　　８９イウエ∨Ｅ
　　８　　（カ）　（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）　　オ∨Ｉ
１　　　　（キ）　（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）　　１５７８カ∨Ｅ
（ⅱ）
１　　　　（１）　（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）　　Ａ
　２　　　（２）　（Ｐ＆～Ｑ）　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　２　　　（３）～（～Ｐ∨Ｑ）　　　　　　　　　　　　　　　　２ド・モルガンの法則
　２　　　（４）　～（Ｐ→Ｑ）　　　　　　　　　　　　　　　　３含意の定義
　２　　　（５）　～（Ｐ→Ｑ）∨（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））　　４∨Ｉ
　　６　　（６）　　　　　　　　（～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）　　Ａ
　　　７　（７）　　　　　　　　（～Ｒ＆～Ｐ）　　　　　　　　Ａ
　　　７　（８）　　　　　　　　　～（Ｒ∨Ｐ）　　　　　　　　７ド・モルガンの法則
　　　７　（９）　　　　　　　　　～（Ｒ∨Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）　　８∨Ｉ
　　　　ア（ア）　　　　　　　　　　　　　　　　（Ｒ∨Ｑ）　　Ａ
　　　　ア（イ）　　　　　　　　　～（Ｒ∨Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）　　ア∨Ｉ
　　６　　（ウ）　　　　　　　　　～（Ｒ∨Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）　　６７９アイ∨Ｅ
　　６　　（エ）　　　　　　　　（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））　　ウ含意の定義
　　６　　（オ）　～（Ｐ→Ｑ）∨（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））　　エ∨Ｉ
１　　　　（カ）　～（Ｐ→Ｑ）∨（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））　　１２５６オ∨Ｅ
１　　　　（キ）　　（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））　　カ含意の定義
従って、
（23）により、
（24）
①（Ｐ→　Ｑ）→（（Ｒ∨　Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
②（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（25）
（Ｒ）に対する「選言導入（ＤＩ）」により、
① 　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ├（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）
③ 　Ｐ＆～Ｑ＆　Ｒ├（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）
⑤ ～Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ├（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）
⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆　Ｒ├（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）
という「連式（sequents）」は、４つとも、「妥当」である。
（26）
（Ｑ）に対する「選言導入（ＤＩ）」により、
② 　Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）
⑥ ～Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）
という「連式（sequents）」は、２つとも、「妥当」である。
（27）
（Ｐ＆～Ｑ）に対する「選言導入（ＤＩ）」により、
④ 　Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）
という「連式（sequent）」は、「妥当」である。
（28）
（～Ｒ＆～Ｐ）に対する「選言導入（ＤＩ）」により、
⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）
という「連式（sequent）」は、「妥当」である。
従って、
（24）～（29）により、
（29）
いずれにせよ、
① 　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ├（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）
② 　Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）
③ 　Ｐ＆～Ｑ＆　Ｒ├（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）
④ 　Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）
⑤ ～Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ├（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）
⑥ ～Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）
⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆　Ｒ├（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）
⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）
という「連式（sequents）」は、「妥当」である。
従って、
（22）（24）（29）により、
（30）
例えば、「ヒルベルト・アッカーマンの公理（４）」がそうであるように、
（ⅲ）「命題変数（Ｐ，Ｑ，Ｒ）」の「真理値（真偽）」に関わらず、「恒真式（トートロジー）」の「真理値（真偽）」は、「恒に真」である。
従って、
（18）（20）（30）により、
（31）
例えば、「ヒルベルト・アッカーマンの公理（４）」がそうであるように、
（ⅰ）「仮定の個数」が「０個」である所の「論理式」は「恒真式（トートロジー）」である。
（ⅱ）「恒真式（トートロジー）」の「否定」は、「恒偽式（矛盾）」である。
（ⅲ）「命題変数（Ｐ，Ｑ，Ｒ）」の「真理値（真偽）」に関わらず、「恒真式（トートロジー）」の「真理値（真偽）」は、「恒に真」である。
従って、
（14）（31）により、
（32）
例えば、「同一律」と「ヒルベルト・アッカーマンの公理（４）」がそうであるように、
（ⅲ）「命題変数」の「真理値（真偽）」に関わらず、「恒真式（トートロジー）」の「真理値（真偽）」は、「恒に真」である。
従って、
（32）により、
（33）
① 　Ｐ＆　Ｑ├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
② 　Ｐ＆～Ｑ├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
③ ～Ｐ＆　Ｑ├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
④ ～Ｐ＆～Ｑ├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
という「連式（Sequents）」が「妥当」であり、
① 　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
② 　Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
③ 　Ｐ＆～Ｑ＆　Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
④ 　Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
⑤ ～Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
⑥ ～Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆　Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
という「連式（Sequents）」が「妥当」であるからこそ、
「同一律」は、「恒に真」であって、
「ヒルベルト・アッカーマンの公理（４）」も、「恒に真」である。
然るに、
（34）
例えば、
～Ｐ＆Ｑ＆～Ｒ ┤├ ～（～Ｐ→～Ｑ∨Ｒ）
（ⅰ）
１　　　（１）　　～Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ　　　Ａ
　２　　（２）　　～Ｐ→～Ｑ∨　Ｒ　　　Ａ
１　　　（３）　　～Ｐ　　　　　　　　　１＆Ｅ
１２　　（４）　　　　　～Ｑ∨　Ｒ　　　２３ＭＰＰ
　　５　（５）　　　　　～Ｑ　　　　　　Ａ
１　　　（６）　　　　　　Ｑ　　　　　　１＆Ｅ
１　５　（７）　　　　　～Ｑ＆Ｑ　　　　６７＆Ｉ
　　５　（８）～（～Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ）　　１７ＲＡＡ
　　　９（９）　　　　　　　　　Ｒ　　　Ａ
１　　　（ア）　　　　　　　　～Ｒ　　　１＆Ｅ
１　　９（イ）　　　　　　Ｒ＆～Ｒ　　　９ア＆Ｉ
　　　９（ウ）～（～Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ）　　１イＲＡＡ
１２　　（エ）～（～Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ）　　４５８９ウ∨Ｉ
１２　　（オ）　（～Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ）＆
　　　　　　　～（～Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ）　　１エ＆Ｉ
１　　　（カ）～（～Ｐ→～Ｑ∨　Ｒ）　　２オＲＡＡ
（ⅱ）
１　　　（１）～（～Ｐ→～Ｑ∨　Ｒ）　　Ａ
１　　　（２）～（　Ｐ∨～Ｑ∨　Ｒ）　　１含意の定義
　３　　（３）　　　Ｐ　　　　　　　　　Ａ
　３　　（４）　　　Ｐ∨～Ｑ　　　　　　３∨Ｉ
　３　　（５）　　　Ｐ∨～Ｑ∨　Ｒ　　　４∨Ｉ
１３　　（６）～（　Ｐ∨～Ｑ∨　Ｒ）＆　
　　　　　　　　（　Ｐ∨～Ｑ∨　Ｒ）　　２５＆Ｉ
１　　　（７）　　～Ｐ　　　　　　　　　５６ＲＡＡ
　　８　（８）　　　　　～Ｑ　　　　　　Ａ
　　８　（９）　　　Ｐ∨～Ｑ　　　　　　８∨Ｉ
　　８　（ア）　　　Ｐ∨～Ｑ∨　Ｒ　　　９∨Ｉ
１　８　（イ）～（　Ｐ∨～Ｑ∨　Ｒ）＆　
　　　　　　　　（　Ｐ∨～Ｑ∨　Ｒ）　　２ア＆Ｉ
１　　　（ウ）　　　　～～Ｑ　　　　　　８ＲＡＡ
１　　　（エ）　　　　　　Ｑ　　　　　　ウＤＮ
　　　オ（オ）　　　　　　　　　Ｒ　　　Ａ
　　　オ（カ）　　　　　～Ｑ∨　Ｒ　　　オ∨Ｉ
　　　オ（キ）　　　Ｐ∨～Ｑ∨　Ｒ　　　∨Ｉ
１　　オ（ク）～（　Ｐ∨～Ｑ∨　Ｒ）＆　
　　　　　　　　（　Ｐ∨～Ｑ∨　Ｒ）　　２キ＆Ｉ
１　　　（ケ）　　　　　　　　～Ｒ　　　オクＲＡＡ
１　　　（コ）　　～Ｐ＆　Ｑ　　　　　　７エ＆Ｉ
１　　　（サ）　　～Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ　　　ケコ＆Ｉ
従って、
（34）により、
（35）
① 　　～Ｐ＆Ｑ＆～Ｒ
② ～（～Ｐ→～Ｑ∨Ｒ）
に於いて、
①＝② である。
従って、
（35）により、
（36）
例えば、
⑥ ～Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ├ ～（～Ｐ→～Ｑ∨Ｒ）
という「連式（Sequent）」が「妥当」であるため、
⑥ ～（～Ｐ→～Ｑ∨Ｒ）
という「論理式」の「否定」である所の、
⑥ 　　～Ｐ→～Ｑ∨Ｒ
という「論理式」に関しては、
⑥ ～Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ├ ～Ｐ→～Ｑ∨Ｒ
という「連式」の場合は、
（ⅲ）「命題変数」の「真理値（真偽）」に関わらず、「恒に真」である。
ということには「ならない」。
従って、
（33）（36）により、
（37）
⑥ ～Ｐ→～Ｑ∨Ｒ
という「論理式」は、「恒真式（トートロジー）」ではない。
然るに、
（38）
〈練習問題２〉
仮定がすべて真になり、結論が偽になるような、変数への付値を見出すことによって、つぎの論証のパターンが不妥当（非トートロジー的）であることを示せ。
（E.J.レモン著、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年、１０５頁）
〔私による、解答〕
（ａ）
① Ｐ＆Ｑ→Ｒ├ Ｐ→Ｒ
② Ｐ＆Ｑ→Ｒ├ 真→偽
③ 真＆Ｑ→偽├ 真→偽
④ 真＆偽→偽├ 真→偽
⑤ 　偽　→偽├ 　偽
⑥ 　　　真　├ 　偽
（ｂ）
① Ｐ→Ｑ∨Ｒ├ Ｐ→Ｑ
② Ｐ→Ｑ∨Ｒ├ 真→偽
③ 真→偽∨Ｒ├ 真→偽
④ 真→偽∨真├ 真→偽
⑤ 真→　真　├ 　偽
⑥ 　真　　　├ 　偽
（ｃ）
① Ｐ→Ｑ，Ｐ→Ｒ├ Ｑ→Ｒ
② Ｐ→Ｑ，Ｐ→Ｒ├ 真→偽
③ Ｐ→真，Ｐ→偽├ 真→偽
④ 偽→真，偽→偽├ 真→偽
⑤ 　真　，　真　├ 　偽
（ｄ）
① Ｐ→Ｒ，Ｑ→Ｒ├ Ｐ→Ｑ
② Ｐ→Ｒ，Ｑ→Ｒ├ 真→偽
③ 真→Ｒ，偽→Ｒ├ 真→偽
④ 真→真，偽→真├ 真→偽
⑤ 　真　，　真　├ 　偽
（ｅ）
① Ｐ→（Ｑ→Ｒ），Ｑ，～Ｒ├ Ｐ
② Ｐ→（Ｑ→Ｒ），Ｑ，～Ｒ├ 偽
③ 偽→（Ｑ→Ｒ），Ｑ，～Ｒ├ 偽
④ 偽→（真→偽），真，～偽├ 偽
⑤ 偽→偽　　　　，真，真　├ 偽
⑥ 　真　　　　　，真，真　├ 偽
（ｆ）
① Ｐ⇔～Ｑ，Ｑ⇔～Ｒ，Ｒ⇔～Ｓ├ Ｐ⇔Ｓ
② Ｐ⇔～Ｑ，Ｑ⇔～Ｒ，Ｒ⇔～Ｓ├ 真⇔偽
③ 真⇔～Ｑ，Ｑ⇔～Ｒ，Ｒ⇔～偽├ 真⇔偽
④ 真⇔～偽，偽⇔～真，真⇔～偽├ 真⇔偽
⑤ 真⇔真　，偽⇔真　，真⇔真　├ 真⇔偽
従って、
従って、
（33）（37）（38）により、
（39）
（Ｐ、Ｑ、Ｒを、変数として持つ所の、任意の論理式Ａ）は、
① 　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ├（任意の論理式Ａ）
② 　Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ├（任意の論理式Ａ）
③ 　Ｐ＆～Ｑ＆　Ｒ├（任意の論理式Ａ）
④ 　Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（任意の論理式Ａ）
⑤ ～Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ├（任意の論理式Ａ）
⑥ ～Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ├（任意の論理式Ａ）
⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆　Ｒ├（任意の論理式Ａ）
⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（任意の論理式Ａ）
であるか、または、「そうではない」。
然るに、
（40）
１　　（１）　　　　　　　　　　　Ｐ→（Ｑ→Ｒ）　　　　　　Ａ
　２　（２）　　　　　　　　　　　Ｐ→　Ｑ　　　　　　　　　Ａ
　　３（３）　　　　　　　　　　　Ｐ　　　　　　　　　　　　Ａ
１　３（４）　　　　　　　　　　　　　　Ｑ→Ｒ　　　　　　　１３ＭＰＰ
　２３（５）　　　　　　　　　　　　　　Ｑ　　　　　　　　　２３ＭＰＰ
１２３（６）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ｒ　　　４５ＭＰＰ
１２　（７）　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ｐ→Ｒ　　　３６ＣＰ
１　　（８）　　　　　　　　　　　（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）　　２７ＣＰ
　　　（９）（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））　１８ＣＰ
であるものの（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））は、「岩波書店、現代論理学入門（1962年）」によると、「ルカジェヴィッツの公理（２）」である。
従って、
（39）（40）により、
（41）
① 　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
② 　Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
③ 　Ｐ＆～Ｑ＆　Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
④ 　Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
⑤ ～Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
⑥ ～Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆　Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
であるに、「違いない」。
然るに、
（42）
① 　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
③ 　Ｐ＆～Ｑ＆　Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
⑤ ～Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆　Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
に関しては、「４つまとめて」、
１（１）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ｒ　　　Ａ
１（２）　　　　　　　　　　　　　　　　　　～Ｐ∨Ｒ　　　１∨Ｉ
１（３）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ｐ→Ｒ　　　２含意の定義
１（４）　　　　　　　　　　　～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｒ）　　３∨Ｉ
１（６）　　　　　　　　　　　　（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）　　４含意の定義
１（７）～（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））∨（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））　６∨Ｉ
という風に、「証明」出来る。
然るに、
（43）
⑥ ～Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
に関しては、「２つまとめて」、
１（１）　　　　　　　　　　　　　　　　　　～Ｐ　　　　　Ａ
１（２）　　　　　　　　　　　　　　　　　　～Ｐ∨Ｒ　　　１∨Ｉ
１（３）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ｐ→Ｒ　　　２含意の定義
１（４）　　　　　　　　　　　～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｒ）　　３∨Ｉ
１（６）　　　　　　　　　　　　（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）　　４含意の定義
１（７）～（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））∨（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））　６∨Ｉ
という風に、「証明」出来る。
然るに、
（44）
② 　Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
に関しては、
１　（１）　　Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　２（２）　　Ｐ→（Ｑ→　Ｒ）　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
１　（３）　　Ｐ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　１＆Ｅ
１２（４）　　　　　Ｑ→　Ｒ　　　　　　　　　　　　　　　　　２３ＭＰＰ
１　（５）　　　　　Ｑ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　１＆Ｅ
１２（６）　　　　　　　　Ｒ　　　　　　　　　　　　　　　　　４５ＭＰＰ
１　（７）　　　　　　　～Ｒ　　　　　　　　　　　　　　　　　１＆Ｅ
１２（８）　　　　　Ｒ＆～Ｒ　　　　　　　　　　　　　　　　　６７＆Ｉ
１　（９）～（Ｐ→（Ｑ→　Ｒ））　　　　　　　　　　　　　　　２８ＲＡＡ
１　（ア）～（Ｐ→（Ｑ→　Ｒ））∨（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））　９∨Ｉ
１　（イ）　（Ｐ→（Ｑ→　Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））　ア含意の定義
という風に、「証明」出来る。
然るに、
（45）
④ 　Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
に関しては、
１　（１）　　Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　２（２）　　Ｐ→　Ｑ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
１　（３）　　Ｐ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　１＆Ｅ
１２（４）　　　　　Ｑ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　２３ＭＰＰ
１　（５）　　　　～Ｑ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　１＆Ｅ
１２（６）　　Ｑ＆～Ｑ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　４５＆Ｉ
１　（７）　　　　　　　　　　　～（Ｐ→Ｑ）　　　　　　　　２６ＲＡＡ
１　（８）　　　　　　　　　　　～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｒ）　　７∨Ｉ
１　（９）　　　　　　　　　　　　（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）　　８含意の定義
１　（ア）～（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））∨（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））　９∨Ｉ
１　（イ）　（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））∨（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））　ア含意の定義
従って、
（41）～（45）により、
（46）
果たして、
① 　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
② 　Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
③ 　Ｐ＆～Ｑ＆　Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
④ 　Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
⑤ ～Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
⑥ ～Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆　Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
という「連式（Sequents）」は「妥当」である。
従って、
（32）（33）（46）により、
（47）
① 　Ｐ＆　Ｑ├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
② 　Ｐ＆～Ｑ├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
③ ～Ｐ＆　Ｑ├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
④ ～Ｐ＆～Ｑ├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
という「連式（Sequents）」が「（４つとも）妥当」であり、
① 　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
② 　Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
③ 　Ｐ＆～Ｑ＆　Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
④ 　Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
⑤ ～Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
⑥ ～Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆　Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
という「連式（Sequents）」が「（８つとも）妥当」であり、
① 　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
② 　Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
③ 　Ｐ＆～Ｑ＆　Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
④ 　Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
⑤ ～Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
⑥ ～Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆　Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
という「連式（Sequents）」が「（８つとも）妥当」であるからこそ、
　　　　　 「同一律（Law of identity）」は「恒真式（トートロジー）」であって、
「ヒルベルト・アッカーマンの公理（４）」は「恒真式（トートロジー）」であって、
　　　　「ルカジェヴィッツの公理（２）」は「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（48）
１　（１）　～（Ｐ∨～Ｐ）　　Ａ
　２（２）　　　Ｐ　　　　　　Ａ
　２（３）　　　Ｐ∨～Ｐ　　　２∨Ｉ
１２（４）　～（Ｐ∨～Ｐ）＆
　　　　　　　（Ｐ∨～Ｐ）　　１３＆Ｉ
１　（５）　　～Ｐ　　　　　　２４ＲＡＡ
１　（６）　　　Ｐ∨～Ｐ　　　５∨Ｉ
１　（７）　～（Ｐ∨～Ｐ）＆
　　　　　　　（Ｐ∨～Ｐ）　　１６＆Ｉ
　　（８）～～（Ｐ∨～Ｐ）　　１７ＲＡＡ
　　（９）　　　Ｐ∨～Ｐ　　　８ＤＮ
従って、
（47）（48）により、
（49）
　　　　　　　　（１）　　Ｐ∨～Ｐ　　　　　　　ＴＩ（排中律）
　　　　　　　　（２）　　Ｑ∨～Ｑ　　　　　　　ＴＩ（排中律）
３　　　　　　　（３）　　Ｐ　　　　　　　　　　Ａ
　４　　　　　　（４）　　Ｑ　　　　　　　　　　Ａ
３４　　　　　　（５）　　Ｐ＆　Ｑ　　　　　　　３４＆Ｉ
３４　　　　　　（６）　　　　Ｑ　　　　　　　　５＆Ｅ
３４　　　　　　（７）　～Ｐ∨Ｑ　　　　　　　　６∨Ｉ
３４　　　　　　（８）　　Ｐ→Ｑ　　　　　　　　７含意の定義
３４　　　　　　（９）～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ）　８∨Ｉ
　　ア　　　　　（ア）　　　　～Ｑ　　　　　　　Ａ
３　ア　　　　　（イ）　　Ｐ＆～Ｑ　　　　　　　３ア＆Ｉ
　　　ウ　　　　（ウ）　　Ｐ→　Ｑ　　　　　　　Ａ
３　ア　　　　　（エ）　　Ｐ　　　　　　　　　　イ＆Ｅ
３　アウ　　　　（オ）　　　　　Ｑ　　　　　　　ウエＭＰＰ
３　ア　　　　　（カ）　　　　～Ｑ　　　　　　　イ＆Ｅ
３　アウ　　　　（キ）　　Ｑ＆～Ｑ　　　　　　　オカ＆Ｉ
３　ア　　　　　（ク）～（Ｐ→Ｑ）　　　　　　　ウキＲＡＡ
３　ア　　　　　（ケ）～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ）　ク∨Ｉ
３　　　　　　　（コ）～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ）　２４９アケ∨Ｅ
　　　　サ　　　（サ）　　　　～Ｐ　　　　　　　Ａ
　４　　サ　　　（シ）　～Ｐ＆　Ｑ　　　　　　　４サ＆Ｉ
　４　　サ　　　（ス）　～Ｐ　　　　　　　　　　シ＆Ｅ
　４　　サ　　　（セ）　～Ｐ∨Ｑ　　　　　　　　ス∨Ｉ
　４　　サ　　　（ソ）　　Ｐ→Ｑ　　　　　　　　セ含意の定義
　４　　サ　　　（タ）～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ）　ソ∨Ｉ
　　ア　サ　　　（ツ）　～Ｐ＆～Ｑ　　　　　　　アサ＆Ｉ
　　ア　サ　　　（テ）　　　　～Ｐ　　　　　　　ツ＆Ｅ
　　ア　サ　　　（ト）　　　　～Ｐ∨Ｑ　　　　　テ∨Ｉ
　　ア　サ　　　（ナ）　　　　　Ｐ→Ｑ　　　　　ト含意の定義
　　ア　サ　　　（ニ）～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ）　ナ∨Ｉ
　　　　サ　　　（ヌ）～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ）　２４タアニ∨Ｅ
　　　　　　　　（ネ）～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ）　１３コサヌ∨Ｅ
　　　　　　　　（ノ）　（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）　ネ含意の定義
従って、
（49）により、
（50）
　　　　（１）Ｐ∨～Ｐ　　　　　ＴＩ（排中律）
　　　　（２）Ｑ∨～Ｑ　　　　　ＴＩ（排中律）
３　　　（３）Ｐ　　　　　　　　Ａ
　４　　（４）　　～Ｐ　　　　　Ａ
　　５　（５）Ｑ　　　　　　　　Ａ
　　　６（６）　　～Ｑ　　　　　Ａ
３　５　（７）（任意の恒真式）　３５ＳＩ（ⅰ）
３　　６（８）（任意の恒真式）　３６ＳＩ（ⅱ）
　４５　（９）（任意の恒真式）　３７ＳＩ（ⅲ）
　４　６（ア）（任意の恒真式）　３８ＳＩ（ⅳ）
５　　　（イ）（任意の恒真式）　１３７４９∨Ｅ
　　　６（ウ）（任意の恒真式）　１３８４ア∨Ｅ
　　　　（エ）（任意の恒真式）　２５イ６ウ∨Ｅ
という「計算」により、例えば、
① 　Ｐ＆　Ｑ├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
② 　Ｐ＆～Ｑ├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
③ ～Ｐ＆　Ｑ├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
④ ～Ｐ＆～Ｑ├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
という「連式」は、
①├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
という「連式」に「書き換える」ことが出来る。
従って、
（47）～（50）により、
（51）
　　　　（１）Ｐ∨～Ｐ　　　　　ＴＩ（排中律）
　　　　（２）Ｑ∨～Ｑ　　　　　ＴＩ（排中律）
　　　　（３）Ｒ∨～Ｒ　　　　　ＴＩ（排中律）
によって、例えば、
① 　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
② 　Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
③ 　Ｐ＆～Ｑ＆　Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
④ 　Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
⑤ ～Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
⑥ ～Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆　Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
という「連式」は、
①├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
という「連式」に「書き換える」ことが出来る。
従って、
（51）により、
（52）
（Ｐ、Ｑ、Ｒを、変数として持つ所の、任意の論理式Ａ）に対して、
① 　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ├（任意の論理式Ａ）
② 　Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ├（任意の論理式Ａ）
③ 　Ｐ＆～Ｑ＆　Ｒ├（任意の論理式Ａ）
④ 　Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（任意の論理式Ａ）
⑤ ～Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ├（任意の論理式Ａ）
⑥ ～Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ├（任意の論理式Ａ）
⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆　Ｒ├（任意の論理式Ａ）
⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（任意の論理式Ａ）
という「連式（Sequents）」が「（８つとも）妥当」であるならば、
①├（任意の論理式Ａ）
という「連式」に「書き換える」ことが出来る。
従って、
（16）（40）（52）により、
（53）
①├（任意の論理式Ａ）
という「連式（Sequents）」が、
②├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
③├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
という「連式」であるならば、これらの「連式」は、
② Ｐ→Ｑ，Ｒ∨Ｐ├ Ｒ∨Ｑ
③ Ｐ→（Ｑ→Ｒ），Ｐ→Ｑ├ Ｐ→Ｒ
　 という「連式」に「書き換える」ことが出来るものの、「これらの連式」は、「妥当」である。
従って、
（51）（52）（53）により、
（54）
① 　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ├（任意の論理式Ａ）
② 　Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ├（任意の論理式Ａ）
③ 　Ｐ＆～Ｑ＆　Ｒ├（任意の論理式Ａ）
④ 　Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（任意の論理式Ａ）
⑤ ～Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ├（任意の論理式Ａ）
⑥ ～Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ├（任意の論理式Ａ）
⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆　Ｒ├（任意の論理式Ａ）
⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（任意の論理式Ａ）
の中の、「一つの例（instance）」として、
① 　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
② 　Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
③ 　Ｐ＆～Ｑ＆　Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
④ 　Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
⑤ ～Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
⑥ ～Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆　Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
といふ「連式（Sequents）」が「妥当」であるが故に、
②　　　　　　　 ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
② Ｐ→Ｑ，Ｒ∨Ｐ├ Ｒ∨Ｑ
という「連式（ヒルベルト・アッカーマンの公理４）」が「妥当」となる。
令和６年２月１３日、毛利太。