「恒真式（トートロジー）」の「意味」について。

（01）
① Ａ，Ｂ├ Ｃ
② 　　Ａ├ Ｂ→Ｃ
③ 　　　├ Ａ→（Ｂ→Ｃ）
に於いて、
① ならば、② であり、
② ならば、③ である。
従って、
（01）により、
（02）
① Ａが真で、Ｂも真、なので、Ｃは真である。
② 　　　　　Ａが真、なので、Ｂが真ならば、Ｃは真である。
③ 　　　　　　　　　なので、Ａが真ならば（Ｂが真ならば、Ｃは真である）。
に於いて、
① ならば、② であり、
② ならば、③ である。
従って、
（01）（02）により、
（03）
① Ａ，Ｂ├ Ｃ
② 　　Ａ├ Ｂ→Ｃ
③ 　　　├ Ａ→（Ｂ→Ｃ）
であれば、
① 真，真├ 真
② 　　真├ 真→真
③ 　　　├ 真→（真→真）
である。
然るに、
（04）
③ ├ 真→（真→真）
であれば、
③    真→（真→真）
である。
然るに、
（05）
「真理表（Truth table）」により、
① 真→（真→真）
② 真→（真）
③ 真
に於いて、
① ならば、② であって、
② ならば、③ である。
従って、
（01）～（05）により、
（06）
① Ａ，Ｂ├ Ｃ
② 　　Ａ├ Ｂ→Ｃ
③　　　 ├ Ａ→（Ｂ→Ｃ）
であるならば、
④ Ａ→（Ｂ→Ｃ）
は「真」である。
然るに、
（07）
１　（１）　Ｐ　　　　　　　　　　　Ａ
　２（２）　Ｐ→Ｑ　　　　　　　　　Ａ
１２（３）　　　Ｑ　　　　　　　　　１２ＭＰＰ
１　（４）（Ｐ→Ｑ）→Ｑ　　　　　　２３ＣＰ
　　（５）　Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）　１４ＣＰ
従って、
（06）（07）により、
（08）
① Ｐ，Ｐ→Ｑ├ Ｑ
②　　　　 Ｐ├（Ｐ→Ｑ）→Ｑ
③ 　　　　　├ Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）
であるため、
④ Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）
は「真」である。
然るに、
（09）
「番号」を付け直すとして、
①　　 Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）
② ～｛Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）｝
に於いて、
② は、① の「否定」である。
従って、
（08）（09）により、
（10）
①　　 Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）
② ～｛Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）｝
に於いて、
① が「真」である以上、その「否定」である、
② は、必然的に、「偽」である。
然るに、
（11）
（ⅰ）
１（１）　Ｐ→（　（　Ｐ→Ｑ）→Ｑ）　Ａ
１（２）～Ｐ∨（　（　Ｐ→Ｑ）→Ｑ）　１含意の定義
１（３）～Ｐ∨（　（～Ｐ∨Ｑ）→Ｑ）　２含意の定義
１（４）～Ｐ∨（～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｑ）　２含意の定義
（ⅱ）
１（１）～Ｐ∨（～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｑ）　Ａ
１（２）～Ｐ∨（　（～Ｐ∨Ｑ）→Ｑ）　１含意の定義
１（３）～Ｐ∨（　（　Ｐ→Ｑ）→Ｑ）　２含意の定義
１（４）　Ｐ→（　（　Ｐ→Ｑ）→Ｑ）　３含意の定義
従って、
（11）により、
（12）
①　 Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）
と いふ「論理式」は、
① ～Ｐ∨（～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｑ）
と いふ「論理式」に「等しい」。
従って、
（10）（12）により、
（13）
①　　 Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）
② ～｛Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）｝
に於いて、すなはち、
① 　　～Ｐ∨（～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｑ）
② ～｛～Ｐ∨（～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｑ）｝
に於いて、
① が「真」である以上、その「否定」である、
② は、必然的に、「偽」である。
然るに、
（14）
（ⅱ）
１（１）～｛～Ｐ∨（～（～Ｐ∨Ｑ）∨　Ｑ）｝　Ａ
１（２）　　Ｐ＆～（～（～Ｐ∨Ｑ）∨　Ｑ）　　１ド・モルガンの法則
１（３）　　Ｐ　　　　　　　　　　　　　　　　２＆Ｅ
１（４）　　　　～（～（～Ｐ∨Ｑ）∨　Ｑ）　　２＆Ｅ
１（５）　　　　　　　（～Ｐ∨Ｑ）＆～Ｑ　　　４ド・モルガンの法則
１（６）　　　　　　　（～Ｐ∨Ｑ）　　　　　　５＆Ｅ
１（７）　　　　　　　　　Ｐ→Ｑ　　　　　　　６含意の定義
１（８）　　　　　　　　　　　Ｑ　　　　　　　３７ＭＰＰ
１（９）　　　　　　　　　　　　　　～Ｑ　　　５＆Ｅ
１（ア）　　　　　　　　　　　　Ｑ＆～Ｑ　　　８９＆Ｉ
１（イ）　　　　　　　　　Ｐ＆（Ｑ＆～Ｑ）　　３ア＆Ｉ
（ⅲ）
１（１）　　　　　　　　　Ｐ＆（Ｑ＆～Ｑ）　　Ａ
１（２）　　　　　　　　　Ｐ　　　　　　　　　１＆Ｅ
１（３）　　　　　　　　　　　（Ｑ＆～Ｑ）　　１＆Ｅ
１（４）　　　　　　　　　　　　Ｑ　　　　　　３＆Ｅ
１（５）　　　　　　　　　　　　　　～Ｑ　　　３＆Ｅ
１（６）　　　　　　　　　～Ｐ∨Ｑ　　　　　　４∨Ｉ
１（７）　　　　　　　（～Ｐ∨Ｑ）＆～Ｑ　　　５６＆Ｉ
１（８）　　　　～（～（～Ｐ∨Ｑ）∨　Ｑ）　　７ド・モルガンの法則
１（９）　　Ｐ＆～（～（～Ｐ∨Ｑ）∨　Ｑ）　　２８＆Ｉ
１（ア）～｛～Ｐ∨（～（～Ｐ∨Ｑ）∨　Ｑ）｝　９ド・モルガンの法則
従って、
（14）により、
（15）
② ～｛～Ｐ∨（～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｑ）｝
③ 　　　Ｐ＆（Ｑ＆～Ｑ）
に於いて、すなはち、
② ～｛～Ｐ∨（～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｑ）｝
③ 　　　Ｐ＆（矛盾）
に於いて、すなはち、
② ～｛～Ｐ∨（～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｑ）｝
③ 　　　Ｐ＆（偽）
に於いて、すなはち、
② ～｛～Ｐ∨（～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｑ）｝
③ 　　　　　　偽
に於いて、すなはち、
②＝③ である。
従って、
（10）～（15）により、
（16）
①　　 Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）
② ～｛Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）｝
に於いて、
① が「真」である以上、その「否定」である、
② は、必然的 に、「偽」である。
といふ「命題」は、「真」である。
然るに、
（17）
（ⅰ）
１（１）　　　　　　　Ｐ＆　Ｑ　　Ａ
１（２）　　　　　　　　　　Ｑ　　Ａ
１（３）　　　～（Ｐ→Ｑ）∨Ｑ　　２∨Ｉ
１（４）　　　　（Ｐ→Ｑ）→Ｑ　　３含意の定義
１（５）～Ｐ∨（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）　４∨Ｉ
１（６）　Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）　５含意の定義
（ⅱ）
１　（１）　　　　　Ｐ＆～Ｑ　　　　Ａ
　２（２）　　　　　Ｐ→　Ｑ　　　　Ａ
１　（３）　　　　　Ｐ　　　　　　　１＆Ｅ
１２（４）　　　　　　　　Ｑ　　　　２３ＭＰＰ
１　（５）　　　　　　　～Ｑ　　　　１＆Ｅ
１２（６）　　　　　Ｑ＆～Ｑ　　　　４５＆Ｉ
１　（７）　　　～（Ｐ→Ｑ）　　　　２ＲＡＡ
１　（８）　　　～（Ｐ→Ｑ）∨Ｑ　　７∨Ｉ
１　（９）　　　　（Ｐ→Ｑ）→Ｑ　　８含意の定義
１　（ア）～Ｐ∨（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）　９∨Ｉ
１　（イ）　Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）　ア含意の定義
（ⅲ）
１（１）　　　　　　～Ｐ＆　Ｑ　　Ａ
１（２）　　　　　　　　　　Ｑ　　Ａ
１（３）　　　～（Ｐ→Ｑ）∨Ｑ　　２∨Ｉ
１（４）　　　　（Ｐ→Ｑ）→Ｑ　　３含意の定義
１（５）～Ｐ∨（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）　４∨Ｉ
１（６）　Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）　５含意の定義
（ⅳ）
１（１）　　　　　　～Ｐ＆～Ｑ　　Ａ
１（２）～Ｐ　　　　　　　　　　　１＆Ｅ
１（３）～Ｐ∨（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）　２∨Ｉ
１（４）　Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）　３含意の定義
従って、
（17）により、
（18）
① 　Ｐ＆　Ｑ├ Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）
② 　Ｐ＆～Ｑ├ Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）
③ ～Ｐ＆　Ｑ├ Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）
④ ～Ｐ＆～Ｑ├ Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）
といふ「連式」は、４つとも「正しい」。
従って、
（18）により、
（19）
① Ｐが真で、Ｑが真である、としても、
② Ｐが真で、Ｑが偽である、としても、
③ Ｐが偽で、Ｑが真である、としても、
④ Ｐが偽で、Ｑが偽である、としても、
いづれにしても、
① Ｐならば（（ＰならばＱである）ならばＱである）。
といふ「命題」は、「恒に真」である。
従って、
（08）（16）（19）により、
（20）
① Ｐ，Ｐ→Ｑ├ Ｑ
②　　　　 Ｐ├（Ｐ→Ｑ）→Ｑ
③ 　　　　　├ Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）
であるため、
④ Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）
は「真」である。
といふことは、
④ の「否定」は「偽」であり、
④ は「命題変数（ＰとＱ）の真偽」に関はらず、「恒に真」である。
といふことに、「他ならない」。
令和６年２月１４日、毛利太。