「（Ｐ＆Ｑ）→～Ｐ」の「対偶」について。

（01）
① （Ｐ＆Ｑ）→　Ｐ
② （Ｐ＆Ｑ）→～Ｐ
といふ「論理式」、すなはち、
① ＰであってＱであるならば、Ｐである。
② ＰであってＱであるならば、Ｐでない。
といふ「命題」に於いて、
① は、明らかに「真（トートロジー）」であるが、
② は、明らかに「偽（矛盾）」である（？？）。
然るに、
（02）
① （Ｐ＆Ｑ）→Ｐ
に対する「否定」を「計算」すると、
（ⅰ）
１（１）　～｛（Ｐ＆Ｑ）→　Ｐ｝　Ａ
１（２）～｛～（Ｐ＆Ｑ）∨　Ｐ｝　１含意の定義
１（３）　　　（Ｐ＆Ｑ）＆～Ｐ　　２ド・モルガンの法則
１（４）　　　　Ｐ＆Ｑ　　　　　　３＆Ｅ
１（５）　　　　Ｐ　　　　　　　　４＆Ｅ
１（６）　　　　　　Ｑ　　　　　　４＆Ｅ
１（７）　　　　　　　　　～Ｐ　　３＆Ｅ
１（８）　　　　Ｐ＆～Ｐ　　　　　５７＆Ｉ
１（９）　　　（Ｐ＆～Ｐ）＆Ｑ　　６８＆Ｉ
（〃）
１（１）　　　（Ｐ＆～Ｐ）＆Ｑ　　Ａ
１（２）　　　　Ｐ＆～Ｐ　　　　　１＆Ｅ
１（３）　　　　Ｐ　　　　　　　　２＆Ｅ
１（４）　　　　　　～Ｐ　　　　　２＆Ｅ
１（５）　　　　　　　　　　Ｑ　　１＆Ｅ
１（６）　　　　Ｐ＆Ｑ　　　　　　３５＆I
１（７）　　　（Ｐ＆Ｑ）＆～Ｐ　　４６＆I
１（８）～｛～（Ｐ＆Ｑ）∨　Ｐ｝　７ド・モルガンの法則
１（９）　～｛（Ｐ＆Ｑ）→　Ｐ｝　８含意の定義
従って、
（02）により、
（03）
① （Ｐ＆Ｑ）→Ｐ
に対する「否定」を「計算」すると、
①（Ｐ＆～Ｐ）＆Ｑ
であるものの、
①（Ｐ＆～Ｐ）＆Ｑ
であれば、
①（矛盾）＆Ｑ
であって、
①（矛盾）＆Ｑ
は、「偽」である。
然るに、
（04）
② （Ｐ＆Ｑ）→～Ｐ
に対する「否定」を「計算」すると、
（ⅱ）
１（１）　～｛（Ｐ＆Ｑ）→～Ｐ｝　Ａ
１（２）～｛～（Ｐ＆Ｑ）∨～Ｐ｝　１含意の定義
１（３）　　　（Ｐ＆Ｑ）＆　Ｐ　　２ド・モルガンの法則
１（４）　　　　Ｐ＆Ｑ　　　　　　３＆Ｅ
（ⅲ）
１（１）　　　　Ｐ＆Ｑ　　　　　　Ａ
１（２）　　　　Ｐ　　　　　　　　１＆Ｅ
１（３）　　　（Ｐ＆Ｑ）＆　Ｐ　　１２＆Ｉ
１（４）～｛～（Ｐ＆Ｑ）∨～Ｐ｝　３ド・モルガンの法則
１（５）　～｛（Ｐ＆Ｑ）→～Ｐ｝　４含意の定義
従って、
（04）により、
（05）
② （Ｐ＆Ｑ）→～Ｐ
に対する「否定」を「計算」すると、
③ 　Ｐ＆Ｑ
であるものの、
③ 　Ｐ＆Ｑ
は、それ自体は、「真」でも、「偽」でもない。
然るに、
（04）により、
（06）
いづれにせよ、
② ～｛（Ｐ＆Ｑ）→～Ｐ｝
③　　　 Ｐ＆Ｑ
に於いて、
②＝③ である。
従って、
（06）により、
（07）
② ～～｛（Ｐ＆Ｑ）→～Ｐ｝
③　 　～（Ｐ＆Ｑ）
に於いて、
②＝③ である。
従って、
（07）により、
（08）
「二重否定律（ＤＮ）」により、
② 　（Ｐ＆Ｑ）→～Ｐ
③ ～（Ｐ＆Ｑ）
然るに、
（09）
（ⅲ）
１　　（１）～（Ｐ＆Ｑ）　　Ａ
　２　（２）　　Ｐ　　　　　Ａ
　　３（３）　　　　Ｑ　　　Ａ
　２３（４）　　Ｐ＆Ｑ　　　２３＆Ｉ
１２３（５）～（Ｐ＆Ｑ）＆
　　　　　　　（Ｐ＆Ｑ）　　１３＆Ｉ
１２　（６）　　　～Ｑ　　　３５ＲＡＡ
１　　（７）　Ｐ→～Ｑ　　　２６ＣＰ
（ⅳ）
１　　（１）　Ｐ→～Ｑ　　　Ａ
　２　（２）　Ｐ＆　Ｑ　　　Ａ
　２　（３）　Ｐ　　　　　　２＆Ｅ
１２　（４）　　　～Ｑ　　　１３ＭＰＰ
　２　（５）　　　　Ｑ　　　２＆Ｅ
１２　（６）　～Ｑ＆Ｑ　　　４５＆Ｉ
１　　（７）～（Ｐ＆Ｑ）　　２６ＲＡＡ
従って、
（09）により、
（10）
③ ～（Ｐ＆Ｑ）
④　 Ｐ→～Ｑ
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（08）（09）（10）により、
（11）
② 　（Ｐ＆Ｑ）→～Ｐ
③ ～（Ｐ＆Ｑ）
④ 　　Ｐ→～Ｑ
に於いて、
②＝③＝④ である。
然るに、
（12）
（ⅱ）
１　　（１）　（Ｐ＆Ｑ）→～Ｐ　Ａ
１　　（２）～（Ｐ＆Ｑ）∨～Ｐ　Ａ
　３　（３）～（Ｐ＆Ｑ）　　　　Ａ
　３　（４）～Ｐ∨～Ｑ　　　　　ド・モルガンの法則
　３　（５）～Ｐ∨～Ｑ∨　～Ｐ　４∨Ｉ
　　６（６）　　　　　　　～Ｐ　Ａ
　　６（７）　～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｐ　７∨Ｉ
１　　（８）～Ｐ∨～Ｑ∨　～Ｐ　１３５６７∨Ｅ
１　　（９）～Ｐ∨～Ｐ∨　～Ｑ　８交換法則
１　　（ア）～Ｐ∨～Ｑ　　　　　９冪等律
１　　（イ）　Ｐ→～Ｑ　　　　　ア含意の定義
（ⅲ）
１　　（１）　　Ｐ→～Ｑ　　　　　Ａ
１　　（２）　～Ｐ∨～Ｑ　　　　　１含意の定義
１　　（３）　～Ｐ∨～Ｐ∨　～Ｑ　２冪等律。
１　　（４）　～Ｐ∨～Ｑ∨　～Ｐ　３交換法則
１　　（５）（～Ｐ∨～Ｑ）∨～Ｐ　４結合法則
　６　（６）（～Ｐ∨～Ｑ）　　　　Ａ
　６　（７）～（Ｐ＆Ｑ）　　　　　６ド・モルガンの法則
　６　（８）～（Ｐ＆Ｑ）∨　～Ｐ　７∨Ｉ
　　９（９）　　　　　　　　～Ｐ　Ａ
　　９（ア）～（Ｐ＆Ｑ）∨　～Ｐ　９∨Ｉ
１　　（イ）　（Ｐ＆Ｑ）→　～Ｐ　　ア含意の定義
従って、
（12）により、
（13）
②（Ｐ＆Ｑ）→～Ｐ
③  Ｐ→～Ｑ
に於いて、
②＝③ である。
然るに、
（14）
（ⅱ）
１　　（１）　（Ｐ＆Ｑ）→～Ｐ　Ａ
　２　（２）　　　　　　　　Ｐ　Ａ
　２　（３）　　　　　　～～Ｐ　２ＤＮ
１２　（４）～（Ｐ＆Ｑ）　　　　１３ＭＴＴ
１２　（５）～Ｐ∨～Ｑ　　　　　４ド・モルガンの法則
１２　（６）　Ｐ→～Ｑ　　　　　５含意の定義
１　　（７）　Ｐ→（Ｐ→～Ｑ）　２６ＣＰ
　　８（８）　Ｐ　　　　　　　　Ａ
１　８（９）　　　　Ｐ→～Ｑ　　７８ＭＰＰ
１　８（ア）　　　　　　～Ｑ　　８９ＭＰＰ
１　　（イ）　Ｐ→～Ｑ　　　　　８アＣＰ
（ⅲ）
１　　（１）　Ｐ→～Ｑ　　　　　Ａ
　２　（２）　Ｐ＆　Ｑ　　　　　Ａ
　２　（３）　Ｐ　　　　　　　　２＆Ｅ
１２　（４）　　　～Ｑ　　　　　１３ＭＰＰ
　２　（５）　　　　Ｑ　　　　　２＆Ｅ
１２　（６）　　　～Ｑ＆Ｑ　　　４５＆Ｉ
１　　（７）～（Ｐ＆Ｑ）　　　　２６ＲＡＡ
１　　（８）～（Ｐ＆Ｑ）∨～Ｐ　７∨Ｉ
１　　（９）　（Ｐ＆Ｑ）→～Ｐ　８含意の定義
従って、
（14）により、
（15）
②（Ｐ＆Ｑ）→～Ｐ
③  Ｐ→～Ｑ
に於いて、
②＝③ は「対偶」である。
従って、
（12）（15）により、
（16）
（ⅱ）
１　　（１）　（Ｐ＆Ｑ）→～Ｐ　Ａ
１　　（２）～（Ｐ＆Ｑ）∨～Ｐ　Ａ
　３　（３）～（Ｐ＆Ｑ）　　　　Ａ
　３　（４）～Ｐ∨～Ｑ　　　　　ド・モルガンの法則
　３　（５）～Ｐ∨～Ｑ∨　～Ｐ　４∨Ｉ
　　６（６）　　　　　　　～Ｐ　Ａ
　　６（７）　～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｐ　７∨Ｉ
１　　（８）～Ｐ∨～Ｑ∨　～Ｐ　１３５６７∨Ｅ
１　　（９）～Ｐ∨～Ｐ∨　～Ｑ　８交換法則
１　　（ア）～Ｐ∨～Ｑ　　　　　９冪等律
１　　（イ）　Ｐ→～Ｑ　　　　　ア含意の定義
（ⅲ）
１　　（１）　　Ｐ→～Ｑ　　　　　Ａ
１　　（２）　～Ｐ∨～Ｑ　　　　　１含意の定義
１　　（３）　～Ｐ∨～Ｐ∨　～Ｑ　２冪等律。
１　　（４）　～Ｐ∨～Ｑ∨　～Ｐ　３交換法則
１　　（５）（～Ｐ∨～Ｑ）∨～Ｐ　４結合法則
　６　（６）（～Ｐ∨～Ｑ）　　　　Ａ
　６　（７）～（Ｐ＆Ｑ）　　　　　６ド・モルガンの法則
　６　（８）～（Ｐ＆Ｑ）∨　～Ｐ　７∨Ｉ
　　９（９）　　　　　　　　～Ｐ　Ａ
　　９（ア）～（Ｐ＆Ｑ）∨　～Ｐ　９∨Ｉ
１　　（イ）　（Ｐ＆Ｑ）→　～Ｐ　　ア含意の定義
といふ「計算」は、結局は、「対偶の計算」であった。
といふことになる。
従って、
（11）～（16）により、
（17）
いづれにせよ、
②（Ｐ＆Ｑ）→～Ｐ
③  Ｐ→～Ｑ
に於いて、すなはち、
② ＰであってＱであるならば、Ｐでない。
③ Ｐであるならば、Ｑでない。
に於いて、
②＝③ である。
然るに、
（17）により、
（18）
③ Ｐであるならば、Ｑでない。
といふ「命題」は、言ふまでもなく、「矛盾」ではない。
従って、
（01）（18）により、
（19）
① （Ｐ＆Ｑ）→　Ｐ
② （Ｐ＆Ｑ）→～Ｐ
といふ「論理式」、すなはち、
① ＰであってＱであるならば、Ｐである。
② ＰであってＱであるならば、Ｐでない。
といふ「命題」に於いて、
① は、明らかに「真（トートロジー）」であるが、
② は、決して、「偽（矛盾）」ではない（！！）。
令和６年２月２３日、毛利太。