（01）
①（日本人の女性である）ならば日本人である。
という「命題」は、「偽にはなり得ない」。
従って、
（01）により、
（02）
①（日本人の女性である）ならば日本人である。
という「命題」は、「恒に真」である。
従って、
（02）により、
（03）
例へば、
Ｐ＝日本人である。
Ｑ＝女性である。
として、
① Ｐ＆Ｑ→Ｐ
という「命題」は、
（ⅰ）Ｐ＝真。Ｑ＝真。
（ⅱ）Ｐ＝真。Ｑ＝偽。
（ⅲ）Ｐ＝偽。Ｑ＝真。
（ⅳ）Ｐ＝偽。Ｑ＝偽。
に於いて、すなわち、
（ⅰ） Ｐ＆ Ｑ
（ⅱ） Ｐ＆～Ｑ
（ⅲ）～Ｐ＆ Ｑ
（ⅳ）～Ｐ＆～Ｑ
に於いて、「恒に真」である。
然るに、
（04）
補題：任意の論理式に対する真理表テストの各行に対応して、導出可能な連式を書くことができる。
（E.J.レモン著、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、昭和４８年、１０７頁）
従って、
（03）（04）により、
（05）
（ⅰ）
Ｐ＆ Ｑ（１） Ｐ＆ Ｑ Ａ
Ｐ＆ Ｑ（２） Ｐ １＆Ｅ
Ｐ＆ Ｑ（３） ～Ｑ∨Ｐ ２∨Ｉ
Ｐ＆ Ｑ（４） ～Ｐ∨～Ｑ∨Ｐ ３∨Ｉ
Ｐ＆ Ｑ（５）（～Ｐ∨～Ｑ）∨Ｐ ４結合法則
Ｐ＆ Ｑ（６） ～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｐ ５ド・モルガンの法則
Ｐ＆ Ｑ（７） Ｐ＆Ｑ→Ｐ ６含意の定義
（ⅱ）
Ｐ＆～Ｑ（１） Ｐ＆～Ｑ Ａ
Ｐ＆～Ｑ（２） ～Ｑ １＆Ｅ
Ｐ＆～Ｑ（３） ～Ｑ∨Ｐ ２∨Ｉ
Ｐ＆～Ｑ（４） ～Ｐ∨～Ｑ∨Ｐ ３∨Ｉ
Ｐ＆～Ｑ（５）（～Ｐ∨～Ｑ）∨Ｐ ４結合法則
Ｐ＆～Ｑ（６） ～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｐ ５ド・モルガンの法則
Ｐ＆～Ｑ（７） Ｐ＆Ｑ→Ｐ ６含意の定義
（ⅲ）
～Ｐ＆ Ｑ（１）～Ｐ＆Ｑ Ａ
～Ｐ＆ Ｑ（２）～Ｐ １＆Ｅ
～Ｐ＆ Ｑ（３）～Ｐ∨～Ｑ ２∨Ｉ
～Ｐ＆ Ｑ（４）～（Ｐ＆Ｑ） ３ド・モルガンの法則
～Ｐ＆ Ｑ（５） ～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｐ ４∨Ｉ
～Ｐ＆ Ｑ（６） Ｐ＆Ｑ→Ｐ ５含意の定義
（ⅳ）
～Ｐ＆～Ｑ（１）～Ｐ＆～Ｑ Ａ
～Ｐ＆～Ｑ（２） ～Ｑ １＆Ｅ
～Ｐ＆～Ｑ（３）～Ｐ∨～Ｑ ２∨Ｉ
～Ｐ＆～Ｑ（４）～（Ｐ＆Ｑ） ３ド・モルガンの法則
～Ｐ＆～Ｑ（５） ～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｐ ４∨Ｉ
～Ｐ＆～Ｑ（６） Ｐ＆Ｑ→Ｐ ５含意の定義
といふ「計算」は、４つとも、「正しい」。
然るに、
（06）
「プログラミング」の「二重ループ」に倣って、
Ｐで、（Ｑ∨～Ｑ）を「計算」してから、
～Ｐで、（Ｑ∨～Ｑ）を「計算」するならば、
（１） Ｐ∨～Ｐ 排中律（ＴＩ）
２ （２） Ｐ Ａ
（３） Ｑ∨～Ｑ 排中律（ＴＩ）
４ （４） Ｑ Ａ
２４ （５） Ｐ＆ Ｑ ２４＆Ｉ
２４ （６） Ｐ＆ Ｑ→Ｐ （ⅰ）による。
７ （７） ～Ｑ Ａ
２ ７ （８） Ｐ＆～Ｑ ２７＆Ｉ
２ ７ （９） Ｐ＆ Ｑ→Ｐ （ⅱ）による。
２ （ア） Ｐ＆ Ｑ→Ｐ ３４６７９∨Ｅ
イ（イ） ～Ｐ Ａ
４ イ（ウ）～Ｐ＆ Ｑ イ４＆Ｉ
４ イ（エ） Ｐ＆ Ｑ→Ｐ （ⅲ）による。
７イ（オ）～Ｐ＆～Ｑ イ７＆Ｉ
７イ（カ） Ｐ＆ Ｑ→Ｐ （ⅳ）による。
イ（キ） Ｐ＆ Ｑ→Ｐ ３４エ７カ∨Ｅ
（ク） Ｐ＆ Ｑ→Ｐ １２アイキ∨Ｅ
然るに、
（06）により、
（07）
この例から、どうして一般に∨Ｅの適用によって、論理式Ａが依存する仮定の数が次第に減って行き、排中律の代入例が最後に用いられるときには、全く仮定が残らなくなる（仮定の数がゼロになる）かということが明らかになるはずである。
（E.J.レモン著、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、昭和４８年、１１３頁）
然るに、
（08）
定理とは、仮定の数がゼロの証明可能な連式の結論である。
（E.J.レモン著、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、昭和４８年、６４頁）
従って、
（03）～（08）により、
（09）
例へば、
Ｐ＝日本人である。
Ｑ＝女性である。
として、
① Ｐ＆Ｑ→Ｐ
①（日本人の女性である）ならば日本人である。
という「トートロジー（恒真命題）」に関して、
メタ定理Ⅱ：すべてのトートロジー的論理式は、定理として導出可能である。
（E.J.レモン著、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、昭和４８年、１０４頁）
といふ『定理』は、「正しい」。
然るに、
（10）
わざわざ、「このやうな証明」をしなくとも、
①（日本人の女性である）ならば日本人である。
といふ「命題」が「偽」になり得ないことは、「直観的に、明らかである」。
然るに、
（11）
といふよりも、
特に第２章の第５節は、本書の他の部分よりも遥かに難しい（good deal more difficult）。
普通の読者（the ordinary reader）はとばす（つまり早く読み通す）のが賢明であろう。
（E.J.レモン著、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、昭和４８年、６４頁）
従って、
（10）（11）により、
（12）
①（日本人の女性である）ならば日本人である。
といふ「命題」が「偽」になり得ないことを、
メタ定理Ⅱ：すべてのトートロジー的論理式は、定理として導出可能である。
といふ『メタ定理』として「理解」することは、「普通の人には、かなり難しい」。
令和５年１２月３０日、毛利太。
2023年12月30日土曜日
2023年12月26日火曜日
「トートロジー（同義反復？）について。
（01）
① 明日（１月３日）が雪ならば、外出しない。
② 今日（１月３日）は晴なので、外出しない。
に於いて、
①＆②は、「矛盾」する？！
然るに、
（02）
① 明日（１月３日）が雪ならば、外出しない。
といふ「日本語」は、
① 明日（１月３日）が雪ならば、（その時に限って、）外出しない。
といふ「意味」ではない。
従って、
（02）により、
（03）
① 明日（１月３日）が雪ならば、外出しない。
といふ「日本語」は、
② 今日（１月３日）が晴である場合については、『何も、言ってはいない』。
従って、
（01）（02）（03）により、
（04）
① 明日（１月３日）が雪ならば、外出しない。
② 今日（１月３日）は晴なので、外出しない。
に於いて、
①＆②は、実際には、「矛盾」しない！！
従って、
（01）～（04）により、
（05）
① 明日（１月３日）が雪ならば、外出しない。
② 今日（１月３日）は晴なので、外出しない。
に於いて、
①＆②は、「矛盾」する！！
といふ風に、「大半の日本語の話者」が、「判断」するのであれば、
① 明日（１月３日）が雪ならば、外出しない。
といふ「日本語」は、
① 明日（１月３日）が雪ならば、（その時に限って、）外出しない。
に於ける、
①（その時に限って、）
といふ「部分」が、「省略」されてゐる。
従って、
（01）～（05）により、
（06）
飽く迄も、「論理的」な観点からすれば、
① 雪であって、家にゐる。
② 雪であって、家にゐない。
③ 晴であって、家にゐる。
④ 晴であって、家にゐない。
に於ける、
② である場合だけに於いて、
① 雪ならば、家にゐる。
といふ「仮言命題」は、「偽」になる。
従って、
（06）により、
（07）
飽く迄も、「論理的」な観点からすれば、
① 前件であるならば、後件である。
といふ「仮言命題」は、
① 前件（真）＆後件（真）
② 前件（真）＆後件（偽）
③ 前件（偽）＆後件（真）
④ 前件（偽）＆後件（偽）
といふ「マトリックス」に於ける、
② である場合だけが、「偽」になる。
然るに、
（08）
いくぶん、「話が込み入ってゐる（involvedである）」ため、「結論」だけを述べると、
⑪ Ｐ→Ｐ （Ｐであるならば、Ｐである）。
⑫ Ｐ＆Ｑ→Ｐ（ＰであってＱであるならば、Ｐである）。
② 前件（真）＆後件（偽）
といふ「付値（真理値の組合せ）」が「有り得ない」。
従って、
（06）（07）（08）により、
（09）
⑪ 日本人は、日本人である。
⑫ 日本人の女性は、日本人である。
のやうな、
⑪ Ｐ→Ｐ（Ｐであるならば、Ｐである）。
⑫ Ｐ＆Ｑ→Ｐ（ＰであってＱであるならば、Ｐである）。
といふ「仮言命題」の場合は、
② 前件（真）＆後件（偽）
といふ「付値（真理値の組合せ）」が「有り得ない」が故に、「トートロジー（恒に真である所の、恒真命題）」となる。
然るに、
（10）
トートロジー（英: tautology, 希: ταυτολογία, 語源はギリシャ語で「同じ」を意味するταυτοから）とは、ある事柄を述べるのに、同義語[1]または類語[2]または同語[3]を反復させる修辞技法のこと。同義語反復、類語反復、同語反復等と訳される（ウィキペディア）。
従って、
（10）により、
（11）
「トートロジー」＝「同義語反復」。
といふ風に、「理解」されかねない。
然るに、
（09）により、
（12）
⑪ 日本人は、日本人である。
⑫ 日本人の女性は、日本人である。
に於いて、
⑪ は、確かに、「同語語反復」であるが、
⑫ に関しては、「同語語反復」であるとは、言へない。
従って、
（08）～（12）により、
（13）
「恒真式（トートロジー）」といふのは、飽くまでも、
「それを偽にする所の、付値（真理値の組合せ）が無い所の、論理式（恒に真である論理式）」である。
といふ風に、「言ふべきである」。
令和５年１２月２６日、毛利太。
① 明日（１月３日）が雪ならば、外出しない。
② 今日（１月３日）は晴なので、外出しない。
に於いて、
①＆②は、「矛盾」する？！
然るに、
（02）
① 明日（１月３日）が雪ならば、外出しない。
といふ「日本語」は、
① 明日（１月３日）が雪ならば、（その時に限って、）外出しない。
といふ「意味」ではない。
従って、
（02）により、
（03）
① 明日（１月３日）が雪ならば、外出しない。
といふ「日本語」は、
② 今日（１月３日）が晴である場合については、『何も、言ってはいない』。
従って、
（01）（02）（03）により、
（04）
① 明日（１月３日）が雪ならば、外出しない。
② 今日（１月３日）は晴なので、外出しない。
に於いて、
①＆②は、実際には、「矛盾」しない！！
従って、
（01）～（04）により、
（05）
① 明日（１月３日）が雪ならば、外出しない。
② 今日（１月３日）は晴なので、外出しない。
に於いて、
①＆②は、「矛盾」する！！
といふ風に、「大半の日本語の話者」が、「判断」するのであれば、
① 明日（１月３日）が雪ならば、外出しない。
といふ「日本語」は、
① 明日（１月３日）が雪ならば、（その時に限って、）外出しない。
に於ける、
①（その時に限って、）
といふ「部分」が、「省略」されてゐる。
従って、
（01）～（05）により、
（06）
飽く迄も、「論理的」な観点からすれば、
① 雪であって、家にゐる。
② 雪であって、家にゐない。
③ 晴であって、家にゐる。
④ 晴であって、家にゐない。
に於ける、
② である場合だけに於いて、
① 雪ならば、家にゐる。
といふ「仮言命題」は、「偽」になる。
従って、
（06）により、
（07）
飽く迄も、「論理的」な観点からすれば、
① 前件であるならば、後件である。
といふ「仮言命題」は、
① 前件（真）＆後件（真）
② 前件（真）＆後件（偽）
③ 前件（偽）＆後件（真）
④ 前件（偽）＆後件（偽）
といふ「マトリックス」に於ける、
② である場合だけが、「偽」になる。
然るに、
（08）
いくぶん、「話が込み入ってゐる（involvedである）」ため、「結論」だけを述べると、
⑪ Ｐ→Ｐ （Ｐであるならば、Ｐである）。
⑫ Ｐ＆Ｑ→Ｐ（ＰであってＱであるならば、Ｐである）。
② 前件（真）＆後件（偽）
といふ「付値（真理値の組合せ）」が「有り得ない」。
従って、
（06）（07）（08）により、
（09）
⑪ 日本人は、日本人である。
⑫ 日本人の女性は、日本人である。
のやうな、
⑪ Ｐ→Ｐ（Ｐであるならば、Ｐである）。
⑫ Ｐ＆Ｑ→Ｐ（ＰであってＱであるならば、Ｐである）。
といふ「仮言命題」の場合は、
② 前件（真）＆後件（偽）
といふ「付値（真理値の組合せ）」が「有り得ない」が故に、「トートロジー（恒に真である所の、恒真命題）」となる。
然るに、
（10）
トートロジー（英: tautology, 希: ταυτολογία, 語源はギリシャ語で「同じ」を意味するταυτοから）とは、ある事柄を述べるのに、同義語[1]または類語[2]または同語[3]を反復させる修辞技法のこと。同義語反復、類語反復、同語反復等と訳される（ウィキペディア）。
従って、
（10）により、
（11）
「トートロジー」＝「同義語反復」。
といふ風に、「理解」されかねない。
然るに、
（09）により、
（12）
⑪ 日本人は、日本人である。
⑫ 日本人の女性は、日本人である。
に於いて、
⑪ は、確かに、「同語語反復」であるが、
⑫ に関しては、「同語語反復」であるとは、言へない。
従って、
（08）～（12）により、
（13）
「恒真式（トートロジー）」といふのは、飽くまでも、
「それを偽にする所の、付値（真理値の組合せ）が無い所の、論理式（恒に真である論理式）」である。
といふ風に、「言ふべきである」。
令和５年１２月２６日、毛利太。
2023年12月20日水曜日
「因果関係」について（Ⅱ）。
（01）
（ⅰ）
１ （１） Ｐ→Ｑ Ａ
２ （２） ～（～Ｐ∨Ｑ） Ａ
３（３） ～Ｐ Ａ
３（４） ～Ｐ∨Ｑ ３∨Ｉ
２３（５） ～（～Ｐ∨Ｑ）＆
（～Ｐ∨Ｑ） ２４＆Ｉ
２ （６） ～～Ｐ ３５ＲＡＡ
２ （７） Ｐ ６ＤＮ
１２ （８） Ｑ １７ＭＰＰ
１２ （９） ～Ｐ∨Ｑ ８∨Ｉ
１２ （ア） ～（～Ｐ∨Ｑ）＆
（～Ｐ∨Ｑ） ２９＆Ｉ
１ （イ）～～（～Ｐ∨Ｑ） ２アＲＡＡ
１ （ウ） ～Ｐ∨Ｑ イＤＮ
（ⅱ）
１ （１） ～Ｐ∨ Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆Ｅ
３ （６）～（Ｐ＆～Ｑ） ３５ＲＡＡ
７ （７） Ｑ Ａ
２ （８） ～Ｑ ２＆Ｅ
２ ７ （９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
７ （ア）～（Ｐ＆～Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（Ｐ＆～Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
ウ （ウ） Ｐ Ａ
エ（エ） ～Ｑ Ａ
ウエ（オ） Ｐ＆～Ｑ ウエ＆Ｉ
１ ウエ（カ）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） イオ＆Ｉ
１ ウ （キ） ～～Ｑ エカＲＡＡ
１ ウ （ク） Ｑ ウＲＡＡ
１ （ケ） Ｐ→Ｑ ウクＣＰ
従って、
（01）により、
（02）
① Ｐ→Ｑ
② ～Ｐ∨Ｑ
に於いて、
①＝② である（含意の定義）。
従って、
（02）により、
（03）
Ｐ＝Ｐ∨Ｑ∨Ｒ
Ｑ＝Ｓ
といふ「代入（置き換へ）」により、
① （Ｐ∨Ｑ∨Ｒ）→Ｓ
② ～（Ｐ∨Ｑ∨Ｒ）∨Ｓ
に於いて、
①＝② である（含意の定義）。
然るに、
（04）
（ⅱ）
１ （１） ～（ Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ） Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
２ （３） Ｐ∨ Ｑ ２∨Ｉ
２ （４） Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ ３∨Ｉ
１２ （５） ～（ Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ）＆
（ Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ） １４＆Ｉ
１ （６） ～Ｐ ２５ＲＡＡ
７ （７） Ｑ Ａ
７ （８） Ｐ∨ Ｑ ７∨Ｉ
７ （９） Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ ８∨Ｉ
１ ７ （ア） ～（ Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ）＆
（イ） （ Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ） １７＆Ｉ
１ （ウ） ～Ｑ ７アＲＡＡ
エ（エ） Ｒ Ａ
エ（オ） Ｑ∨ Ｒ エ∨Ｉ
エ（カ） Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ オ∨Ｉ
１ エ（キ） ～（ Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ）＆
（ Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ） １エ＆Ｉ
１ （ク） ～Ｒ エＲＡＡ
１ （ケ） ～Ｐ＆～Ｑ＆ ６ウ＆Ｉ
１ （コ） ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ クケ＆Ｉ
（ⅲ）
１ （１） ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ Ａ
２ （２） Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ Ａ
２ （３） （Ｐ ∨ Ｑ）∨Ｒ ２結合法則
４ （４） （Ｐ ∨ Ｑ） Ａ
５ （５） Ｐ Ａ
１ （６） ～Ｐ １＆Ｅ
１ ５ （７） Ｐ＆～Ｐ ５６＆Ｉ
５ （８）～（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ） １７ＲＡＡ
９ （９） Ｑ Ａ
１ （ア） ～Ｑ １＆Ｅ
１ ９ （イ） Ｑ＆～Ｑ ９ア＆Ｉ
９ （ウ）～（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ） １イＲＡＡ
４ （エ）～（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ） ４５８９ウ∨Ｅ
オ（オ） Ｒ Ａ
１ （カ） ～Ｒ １＆Ｅ
１ オ（キ） Ｒ＆～Ｒ オカ＆Ｉ
オ（ク）～（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ） １ＲＡＡ
２ （ケ）～（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ） ３４エオク∨Ｅ
１２ （コ） （～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ）＆
～（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ） １ケ＆Ｉ
１ （サ）～（ Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ） ２コＲＡＡ
従って、
（04）により、
（05）
② ～（ Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ）
③ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ
に於いて、
②＝③ である（ド・モルガンの法則）。
従って、
（03）（05）により、
（06）
① （Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ）→Ｓ
② ～（Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ）∨Ｓ
③ （～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ）∨Ｓ
④ ～（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ）→Ｓ
に於いて、
①＝② である（含意の定義）
②＝③ である（ド・モルガンの法則）
③＝④ である（含意の定義）
従って、
（06）により、
（07）
「番号」を付け直すとして、
① （Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ）→Ｓ
② ～（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ）→Ｓ
に於いて、
である（ド・モルガンの法則）。
①＝② 従って、
（07）により、
（08）
「日本語」で言ふと、
①（Ｐであるか、または、Ｑであるか、または、Ｒである）ならばＳである。
②（Ｐではないし、Ｑでもないし、Ｒでもない）といふことがないならば、Ｓである。
に於いて、
①＝② である（ド・モルガンの法則）。
令和５年１２月２０日、毛利太。
（ⅰ）
１ （１） Ｐ→Ｑ Ａ
２ （２） ～（～Ｐ∨Ｑ） Ａ
３（３） ～Ｐ Ａ
３（４） ～Ｐ∨Ｑ ３∨Ｉ
２３（５） ～（～Ｐ∨Ｑ）＆
（～Ｐ∨Ｑ） ２４＆Ｉ
２ （６） ～～Ｐ ３５ＲＡＡ
２ （７） Ｐ ６ＤＮ
１２ （８） Ｑ １７ＭＰＰ
１２ （９） ～Ｐ∨Ｑ ８∨Ｉ
１２ （ア） ～（～Ｐ∨Ｑ）＆
（～Ｐ∨Ｑ） ２９＆Ｉ
１ （イ）～～（～Ｐ∨Ｑ） ２アＲＡＡ
１ （ウ） ～Ｐ∨Ｑ イＤＮ
（ⅱ）
１ （１） ～Ｐ∨ Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆Ｅ
３ （６）～（Ｐ＆～Ｑ） ３５ＲＡＡ
７ （７） Ｑ Ａ
２ （８） ～Ｑ ２＆Ｅ
２ ７ （９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
７ （ア）～（Ｐ＆～Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（Ｐ＆～Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
ウ （ウ） Ｐ Ａ
エ（エ） ～Ｑ Ａ
ウエ（オ） Ｐ＆～Ｑ ウエ＆Ｉ
１ ウエ（カ）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） イオ＆Ｉ
１ ウ （キ） ～～Ｑ エカＲＡＡ
１ ウ （ク） Ｑ ウＲＡＡ
１ （ケ） Ｐ→Ｑ ウクＣＰ
従って、
（01）により、
（02）
① Ｐ→Ｑ
② ～Ｐ∨Ｑ
に於いて、
①＝② である（含意の定義）。
従って、
（02）により、
（03）
Ｐ＝Ｐ∨Ｑ∨Ｒ
Ｑ＝Ｓ
といふ「代入（置き換へ）」により、
① （Ｐ∨Ｑ∨Ｒ）→Ｓ
② ～（Ｐ∨Ｑ∨Ｒ）∨Ｓ
に於いて、
①＝② である（含意の定義）。
然るに、
（04）
（ⅱ）
１ （１） ～（ Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ） Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
２ （３） Ｐ∨ Ｑ ２∨Ｉ
２ （４） Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ ３∨Ｉ
１２ （５） ～（ Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ）＆
（ Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ） １４＆Ｉ
１ （６） ～Ｐ ２５ＲＡＡ
７ （７） Ｑ Ａ
７ （８） Ｐ∨ Ｑ ７∨Ｉ
７ （９） Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ ８∨Ｉ
１ ７ （ア） ～（ Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ）＆
（イ） （ Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ） １７＆Ｉ
１ （ウ） ～Ｑ ７アＲＡＡ
エ（エ） Ｒ Ａ
エ（オ） Ｑ∨ Ｒ エ∨Ｉ
エ（カ） Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ オ∨Ｉ
１ エ（キ） ～（ Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ）＆
（ Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ） １エ＆Ｉ
１ （ク） ～Ｒ エＲＡＡ
１ （ケ） ～Ｐ＆～Ｑ＆ ６ウ＆Ｉ
１ （コ） ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ クケ＆Ｉ
（ⅲ）
１ （１） ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ Ａ
２ （２） Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ Ａ
２ （３） （Ｐ ∨ Ｑ）∨Ｒ ２結合法則
４ （４） （Ｐ ∨ Ｑ） Ａ
５ （５） Ｐ Ａ
１ （６） ～Ｐ １＆Ｅ
１ ５ （７） Ｐ＆～Ｐ ５６＆Ｉ
５ （８）～（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ） １７ＲＡＡ
９ （９） Ｑ Ａ
１ （ア） ～Ｑ １＆Ｅ
１ ９ （イ） Ｑ＆～Ｑ ９ア＆Ｉ
９ （ウ）～（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ） １イＲＡＡ
４ （エ）～（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ） ４５８９ウ∨Ｅ
オ（オ） Ｒ Ａ
１ （カ） ～Ｒ １＆Ｅ
１ オ（キ） Ｒ＆～Ｒ オカ＆Ｉ
オ（ク）～（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ） １ＲＡＡ
２ （ケ）～（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ） ３４エオク∨Ｅ
１２ （コ） （～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ）＆
～（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ） １ケ＆Ｉ
１ （サ）～（ Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ） ２コＲＡＡ
従って、
（04）により、
（05）
② ～（ Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ）
③ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ
に於いて、
②＝③ である（ド・モルガンの法則）。
従って、
（03）（05）により、
（06）
① （Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ）→Ｓ
② ～（Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ）∨Ｓ
③ （～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ）∨Ｓ
④ ～（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ）→Ｓ
に於いて、
①＝② である（含意の定義）
②＝③ である（ド・モルガンの法則）
③＝④ である（含意の定義）
従って、
（06）により、
（07）
「番号」を付け直すとして、
① （Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ）→Ｓ
② ～（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ）→Ｓ
に於いて、
である（ド・モルガンの法則）。
①＝② 従って、
（07）により、
（08）
「日本語」で言ふと、
①（Ｐであるか、または、Ｑであるか、または、Ｒである）ならばＳである。
②（Ｐではないし、Ｑでもないし、Ｒでもない）といふことがないならば、Ｓである。
に於いて、
①＝② である（ド・モルガンの法則）。
令和５年１２月２０日、毛利太。
2023年12月17日日曜日
「因果関係」について。
（01）
１（１） Ａ＆Ｂ＆Ｃ 仮定
１（２） Ａ＆Ｂ １連言除去
１（３） Ａ ２連言除去
（４）（Ａ＆Ｂ＆Ｃ）→Ａ １３条件法
従って、
（01）により、
（02）
① Ａ＆Ｂ＆Ｃ
② Ａ＆Ｂ
③ Ａ
に於いて、『推論の規則（連言除去）』により、
① ならば、② であり、
② ならば、③ であるが、「逆」は無い。
従って、
（02）により、
（03）
① （Ｐ→Ｑ）＆（Ｒ→Ｑ）＆（Ｓ→Ｑ）
② （Ｐ→Ｑ）＆（Ｒ→Ｑ）
③ （Ｐ→Ｑ）
に於いて、『推論の規則（連言除去）』として、
① ならば、② であり、
② ならば、③ であるが、「逆」は無い。
然るに、
（04）
（ⅰ）
１ （１）（Ｐ→Ｑ）＆（Ｒ→Ｑ）＆（Ｓ→Ｑ） Ａ
２ （２）（ＰＶＲＶＳ） Ａ
２ （３）（ＰＶＲ）ＶＳ ２結合法則
４ （４） ＰＶＲ Ａ
５ （５） Ｐ Ａ
１ （６） Ｐ→Ｑ １＆Ｅ
１ ５ （７） Ｑ ５６ＭＰＰ
８ （８） Ｒ Ａ
１ （９） Ｒ→Ｑ １＆Ｅ
１ ８ （ア） Ｑ ８９ＭＰＰ
１ ４ （ウ） Ｑ ４５７８アＶＥ
エ（エ） Ｓ Ａ
１ （オ） Ｓ→Ｑ １＆Ｅ
１ エ（カ） Ｑ エオＭＰＰ
１２ （キ） Ｑ ３４ウエカＶ
１ （ク）（ＰＶＲＶＳ）→Ｑ ２キＣＰ
（ⅱ）
１ （１）（ＰＶＲＶＳ）→Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
２ （３） ＰＶＲ ２ＶＩ
２ （４） ＰＶＲＶＳ ３ＶＩ
１２ （５） Ｑ １４ＭＰＰ
１ （６） Ｐ→Ｑ ２５ＣＰ
７ （７） Ｒ Ａ
７ （８） ＰＶＲ ７ＶＩ
７ （９） ＰＶＲＶＱ ８ＶＩ
１ ７ （ア） Ｑ １９ＭＰＰ
１ （イ） Ｒ→Ｑ ７アＣＰ
ウ（ウ） Ｓ Ａ
ウ（エ） ＲＶＳ ウＶＩ
ウ（オ） ＰＶＲＶＳ エＶＩ
１ ウ（カ） Ｑ １オＭＰＰ
１ （キ） Ｓ→Ｑ ウカＣＰ
１ （ク）（Ｐ→Ｑ）＆（Ｒ→Ｑ） ６イ＆Ｉ
１ （ケ）（Ｐ→Ｑ）＆（Ｒ→Ｑ）＆（Ｓ→Ｑ） キク＆Ｉ
従って、 （04）により、
（05）
①（Ｐ→Ｑ）＆（Ｒ→Ｑ）＆（Ｓ→Ｑ）
②（ＰＶＲＶＳ）→Ｑ
に於いて、
① と ② は『同値（equivalence）』である。
従って、
（03）（04）（05）により、
（06）
①（ＰＶＲＶＳ）→Ｑ
②（ＰＶＲ）→Ｑ
③（Ｐ）→Ｑ
に於いて、『推論の規則』として、
① ならば、② であり、
② ならば、③ であるが、「逆」は無い。
従って、
（06）により、
（07）
「記号」ではなく、「日本語」で書くと、
①（Ｐであるか、または、Ｒであるか、または、Ｓである）ならばＱである。
②（Ｒであるか、または、Ｓである）ならばＱである。
③（Ｐである）ならばＱである。
に於いて、『推論の規則』として、
① ならば、② であり、
② ならば、③ であるが、「逆」は無い。
然るに、
（08）
①（Ｐであるか、または、Ｒであるか、または、Ｓである）ならばＱである。
②（Ｒであるか、または、Ｓである）ならばＱである。
③（Ｐである）ならばＱである。
に於いて、
③ ならば、③ で、ある。
は、『同一律（ＡならばＡである）』である。
従って、
（07）（08）により、
（09）
③（Ｐである）ならばＱである。
であるならば、
①（Ｐであるか、または、Ｒであるか、または、Ｓである）ならばＱである。
②（Ｒであるか、または、Ｓである）ならばＱである。
③（Ｐである）ならばＱである。
に於いて、
① であるかも知れないし、
② であるかも知れないが、
③ である。
然るに、
（10）
①（Ｐであるか、または、Ｒであるか、または、Ｓである）ならばＱである。
②（Ｒであるか、または、Ｓである）ならばＱである。
③（Ｐである）ならばＱである。
としても、いづれにせよ、
①（Ｒではない）し、
②（Ｓでもない）が、
③（Ｑである）。
とするならば、
③（Ｐであった）ために、Ｑであった。
といふことに、「ならざるを得ない」。
従って、
（07）～（08）により、
（11）
③（Ｐであること）が、
③（Ｑであること）の「原因」である。
といふことを『主張』したいのであれば、例へば、仮に、
①（Ｐであるか、または、Ｒであるか、または、Ｓである）ならばＱである。
②（Ｒであるか、または、Ｓである）ならばＱである。
③（Ｐである）ならばＱである。
としても、「実際」には、
①（Ｒではない）し、
②（Ｓでもない）が、
③（Ｑである）。
といふ風に、『主張』すれば、「十分」である。
然るに、
（12）
①（Ｐであるか、または、Ｒであるか、または、Ｓである）ならばＱである。
②（Ｒであるか、または、Ｓである）ならばＱである。
③（Ｐである）ならばＱである。
であるが、
①（Ｒではない）し、
②（Ｓでもない）が、その上、
③（Ｐでもない）。
とするならば、
③（Ｑには、ならない）といふことになり、そのため、例へば、
④（Ｔである）ならばＱである。
⑤（Ｔであるか、または、Ｕである）ならばＱである。
といふことになる。
従って、
（11）（12）により、
（13）
『因果関係』とは、「（原因である）Ｐがなければ（結果である）Ｑもない。」といふ『関係』です。
といふ「説明」は、「法律的」にも、「論理的」にも、「正しい」。
令和５年１２月１７日、毛利太。
１（１） Ａ＆Ｂ＆Ｃ 仮定
１（２） Ａ＆Ｂ １連言除去
１（３） Ａ ２連言除去
（４）（Ａ＆Ｂ＆Ｃ）→Ａ １３条件法
従って、
（01）により、
（02）
① Ａ＆Ｂ＆Ｃ
② Ａ＆Ｂ
③ Ａ
に於いて、『推論の規則（連言除去）』により、
① ならば、② であり、
② ならば、③ であるが、「逆」は無い。
従って、
（02）により、
（03）
① （Ｐ→Ｑ）＆（Ｒ→Ｑ）＆（Ｓ→Ｑ）
② （Ｐ→Ｑ）＆（Ｒ→Ｑ）
③ （Ｐ→Ｑ）
に於いて、『推論の規則（連言除去）』として、
① ならば、② であり、
② ならば、③ であるが、「逆」は無い。
然るに、
（04）
（ⅰ）
１ （１）（Ｐ→Ｑ）＆（Ｒ→Ｑ）＆（Ｓ→Ｑ） Ａ
２ （２）（ＰＶＲＶＳ） Ａ
２ （３）（ＰＶＲ）ＶＳ ２結合法則
４ （４） ＰＶＲ Ａ
５ （５） Ｐ Ａ
１ （６） Ｐ→Ｑ １＆Ｅ
１ ５ （７） Ｑ ５６ＭＰＰ
８ （８） Ｒ Ａ
１ （９） Ｒ→Ｑ １＆Ｅ
１ ８ （ア） Ｑ ８９ＭＰＰ
１ ４ （ウ） Ｑ ４５７８アＶＥ
エ（エ） Ｓ Ａ
１ （オ） Ｓ→Ｑ １＆Ｅ
１ エ（カ） Ｑ エオＭＰＰ
１２ （キ） Ｑ ３４ウエカＶ
１ （ク）（ＰＶＲＶＳ）→Ｑ ２キＣＰ
（ⅱ）
１ （１）（ＰＶＲＶＳ）→Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
２ （３） ＰＶＲ ２ＶＩ
２ （４） ＰＶＲＶＳ ３ＶＩ
１２ （５） Ｑ １４ＭＰＰ
１ （６） Ｐ→Ｑ ２５ＣＰ
７ （７） Ｒ Ａ
７ （８） ＰＶＲ ７ＶＩ
７ （９） ＰＶＲＶＱ ８ＶＩ
１ ７ （ア） Ｑ １９ＭＰＰ
１ （イ） Ｒ→Ｑ ７アＣＰ
ウ（ウ） Ｓ Ａ
ウ（エ） ＲＶＳ ウＶＩ
ウ（オ） ＰＶＲＶＳ エＶＩ
１ ウ（カ） Ｑ １オＭＰＰ
１ （キ） Ｓ→Ｑ ウカＣＰ
１ （ク）（Ｐ→Ｑ）＆（Ｒ→Ｑ） ６イ＆Ｉ
１ （ケ）（Ｐ→Ｑ）＆（Ｒ→Ｑ）＆（Ｓ→Ｑ） キク＆Ｉ
従って、 （04）により、
（05）
①（Ｐ→Ｑ）＆（Ｒ→Ｑ）＆（Ｓ→Ｑ）
②（ＰＶＲＶＳ）→Ｑ
に於いて、
① と ② は『同値（equivalence）』である。
従って、
（03）（04）（05）により、
（06）
①（ＰＶＲＶＳ）→Ｑ
②（ＰＶＲ）→Ｑ
③（Ｐ）→Ｑ
に於いて、『推論の規則』として、
① ならば、② であり、
② ならば、③ であるが、「逆」は無い。
従って、
（06）により、
（07）
「記号」ではなく、「日本語」で書くと、
①（Ｐであるか、または、Ｒであるか、または、Ｓである）ならばＱである。
②（Ｒであるか、または、Ｓである）ならばＱである。
③（Ｐである）ならばＱである。
に於いて、『推論の規則』として、
① ならば、② であり、
② ならば、③ であるが、「逆」は無い。
然るに、
（08）
①（Ｐであるか、または、Ｒであるか、または、Ｓである）ならばＱである。
②（Ｒであるか、または、Ｓである）ならばＱである。
③（Ｐである）ならばＱである。
に於いて、
③ ならば、③ で、ある。
は、『同一律（ＡならばＡである）』である。
従って、
（07）（08）により、
（09）
③（Ｐである）ならばＱである。
であるならば、
①（Ｐであるか、または、Ｒであるか、または、Ｓである）ならばＱである。
②（Ｒであるか、または、Ｓである）ならばＱである。
③（Ｐである）ならばＱである。
に於いて、
① であるかも知れないし、
② であるかも知れないが、
③ である。
然るに、
（10）
①（Ｐであるか、または、Ｒであるか、または、Ｓである）ならばＱである。
②（Ｒであるか、または、Ｓである）ならばＱである。
③（Ｐである）ならばＱである。
としても、いづれにせよ、
①（Ｒではない）し、
②（Ｓでもない）が、
③（Ｑである）。
とするならば、
③（Ｐであった）ために、Ｑであった。
といふことに、「ならざるを得ない」。
従って、
（07）～（08）により、
（11）
③（Ｐであること）が、
③（Ｑであること）の「原因」である。
といふことを『主張』したいのであれば、例へば、仮に、
①（Ｐであるか、または、Ｒであるか、または、Ｓである）ならばＱである。
②（Ｒであるか、または、Ｓである）ならばＱである。
③（Ｐである）ならばＱである。
としても、「実際」には、
①（Ｒではない）し、
②（Ｓでもない）が、
③（Ｑである）。
といふ風に、『主張』すれば、「十分」である。
然るに、
（12）
①（Ｐであるか、または、Ｒであるか、または、Ｓである）ならばＱである。
②（Ｒであるか、または、Ｓである）ならばＱである。
③（Ｐである）ならばＱである。
であるが、
①（Ｒではない）し、
②（Ｓでもない）が、その上、
③（Ｐでもない）。
とするならば、
③（Ｑには、ならない）といふことになり、そのため、例へば、
④（Ｔである）ならばＱである。
⑤（Ｔであるか、または、Ｕである）ならばＱである。
といふことになる。
従って、
（11）（12）により、
（13）
『因果関係』とは、「（原因である）Ｐがなければ（結果である）Ｑもない。」といふ『関係』です。
といふ「説明」は、「法律的」にも、「論理的」にも、「正しい」。
令和５年１２月１７日、毛利太。
2023年12月13日水曜日
「逆は必ずしも真ではない」と「原因と結果」について。
（01）
（ⅰ）
１ （１）（Ｐ∨Ｒ∨Ｓ）→Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
２ （３） Ｐ∨Ｒ ２∨Ｉ
２ （４） Ｐ∨Ｒ∨Ｓ ３∨Ｉ
１２ （５） Ｑ １４ＭＰＰ
１ （６） Ｐ→Ｑ ２５ＣＰ
７ （７） Ｒ Ａ
７ （８） Ｐ∨Ｒ ７∨Ｉ
７ （９） Ｐ∨Ｒ∨Ｑ ８∨Ｉ
１ ７ （ア） Ｑ １９ＭＰＰ
１ （イ） Ｒ→Ｑ ７アＣＰ
ウ（ウ） Ｓ Ａ
ウ（エ） Ｒ∨Ｓ ウ∨Ｉ
ウ（オ） Ｐ∨Ｒ∨Ｓ エ∨Ｉ
１ ウ（カ） Ｑ １オＭＰＰ
１ （キ） Ｓ→Ｑ ウカＣＰ
１ （ク）（Ｐ→Ｑ）＆（Ｒ→Ｑ） ６イ＆Ｉ
１ （ケ）（Ｐ→Ｑ）＆（Ｒ→Ｑ）＆（Ｓ→Ｑ） キク＆Ｉ
（ⅱ）
１ （１）（Ｐ→Ｑ）＆（Ｒ→Ｑ）＆（Ｓ→Ｑ） Ａ
２ （２）（Ｐ∨Ｒ∨Ｓ） Ａ
２ （３）（Ｐ∨Ｒ）∨Ｓ ２結合法則
４ （４） Ｐ∨Ｒ Ａ
５ （５） Ｐ Ａ
１ （６） Ｐ→Ｑ １＆Ｅ
１ ５ （７） Ｑ ５６ＭＰＰ
８ （８） Ｒ Ａ
１ （９） Ｒ→Ｑ １＆Ｅ
１ ８ （ア） Ｑ ８９ＭＰＰ
１ ４ （ウ） Ｑ ４５７８ア∨Ｅ
エ（エ） Ｓ Ａ
１ （オ） Ｓ→Ｑ １＆Ｅ
１ エ（カ） Ｑ エオＭＰＰ
１２ （キ） Ｑ ３４ウエカ∨Ｅ
１ （ク）（Ｐ∨Ｒ∨Ｓ）→Ｑ ２キＣＰ
（ⅲ）
１（１）（Ｐ→Ｑ）＆（Ｒ→Ｑ）＆（Ｓ→Ｑ） Ａ
１（２）（Ｐ→Ｑ）＆（Ｒ→Ｑ） １＆Ｅ
１（３）（Ｐ→Ｑ） ２＆Ｅ
従って、
（01）により、
（02）
①（Ｐ∨Ｒ∨Ｓ）→Ｑ
②（Ｐ→Ｑ）＆（Ｒ→Ｑ）＆（Ｓ→Ｑ）
③（Ｐ→Ｑ）
に於いて、すなはち、
①（Ｐであるか、または、Ｒであるか、または、Ｓである）ならば、Ｑである。
②（Ｐであるならば、Ｑであって）、（Ｒであるならば、Ｑであって）、（Ｓであるならば、Ｑである）。
③（Ｐであるならば、Ｑである）。
に於いて、
① ⇔ ② であって、
② → ③ であるが、
③ ← ② であるとは、「限らない」。
然るに、
（03）
（ⅳ）
１ （１）（Ｐ→Ｑ）＆（～Ｐ→～Ｑ） ２ア＆Ｉ
１ （２）（Ｐ→Ｑ） １＆Ｅ
１ （３） （～Ｐ→～Ｑ） １＆Ｅ
４ （４） Ｑ Ａ
５（５） ～Ｐ Ａ
１ ５（６） ～Ｑ ３５ＭＰＰ
１４５（７） Ｑ＆～Ｑ ４６＆Ｉ
１４ （８） ～～Ｐ ５７ＣＰ
１４ （９） Ｐ ８ＤＮ
１ （ア） Ｑ→Ｐ ４９ＣＰ
１ （イ）（Ｐ→Ｑ）＆ （Ｑ→Ｐ） ２ア＆Ｉ
（ⅴ）
１ （１）（Ｐ→Ｑ）＆ （Ｑ→Ｐ） Ａ
１ （２）（Ｐ→Ｑ） １＆Ｅ
１ （３） （Ｑ→Ｐ） １＆Ｅ
４ （４） ～Ｐ Ａ
５（５） Ｑ Ａ
１ ５（６） Ｐ ３５ＭＰＰ
１４５（７） ～Ｐ＆Ｐ ４６＆Ｉ
１４ （８） ～Ｑ ５７ＲＡＡ
１ （９） ～Ｐ→～Ｑ ４８ＣＰ
１ （ア）（Ｐ→Ｑ）＆（～Ｐ→～Ｑ） ２ア＆Ｉ
従って、
（03）により、
（04）
④（Ｐ→Ｑ）＆（～Ｐ→～Ｑ）
⑤（Ｐ→Ｑ）＆（ Ｑ→ Ｐ）
に於いて、すなはち、
④（Ｐであるならば、Ｑである）が、（Ｐでないならば、Ｑでない）。
⑤（Ｐであるならば、Ｑであって）、（Ｑであるならば、Ｐである）。
に於いて、
④ ⇔ ⑤ である。
従って、
（02）（04）により、
（05）
「Ｐならば、Ｑである（順）」が「真」であるとしても、
「Ｑならば、Ｐである（逆）」が「真」であるとは、「限らない」。
といふことは、
「Ｐならば、Ｑである（順）」が「真」であるとしても、
「Ｐが、Ｑの原因である」とは「限らない」。
といふことに、「等しい」。
令和５年１２月１３日、毛利太。
（ⅰ）
１ （１）（Ｐ∨Ｒ∨Ｓ）→Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
２ （３） Ｐ∨Ｒ ２∨Ｉ
２ （４） Ｐ∨Ｒ∨Ｓ ３∨Ｉ
１２ （５） Ｑ １４ＭＰＰ
１ （６） Ｐ→Ｑ ２５ＣＰ
７ （７） Ｒ Ａ
７ （８） Ｐ∨Ｒ ７∨Ｉ
７ （９） Ｐ∨Ｒ∨Ｑ ８∨Ｉ
１ ７ （ア） Ｑ １９ＭＰＰ
１ （イ） Ｒ→Ｑ ７アＣＰ
ウ（ウ） Ｓ Ａ
ウ（エ） Ｒ∨Ｓ ウ∨Ｉ
ウ（オ） Ｐ∨Ｒ∨Ｓ エ∨Ｉ
１ ウ（カ） Ｑ １オＭＰＰ
１ （キ） Ｓ→Ｑ ウカＣＰ
１ （ク）（Ｐ→Ｑ）＆（Ｒ→Ｑ） ６イ＆Ｉ
１ （ケ）（Ｐ→Ｑ）＆（Ｒ→Ｑ）＆（Ｓ→Ｑ） キク＆Ｉ
（ⅱ）
１ （１）（Ｐ→Ｑ）＆（Ｒ→Ｑ）＆（Ｓ→Ｑ） Ａ
２ （２）（Ｐ∨Ｒ∨Ｓ） Ａ
２ （３）（Ｐ∨Ｒ）∨Ｓ ２結合法則
４ （４） Ｐ∨Ｒ Ａ
５ （５） Ｐ Ａ
１ （６） Ｐ→Ｑ １＆Ｅ
１ ５ （７） Ｑ ５６ＭＰＰ
８ （８） Ｒ Ａ
１ （９） Ｒ→Ｑ １＆Ｅ
１ ８ （ア） Ｑ ８９ＭＰＰ
１ ４ （ウ） Ｑ ４５７８ア∨Ｅ
エ（エ） Ｓ Ａ
１ （オ） Ｓ→Ｑ １＆Ｅ
１ エ（カ） Ｑ エオＭＰＰ
１２ （キ） Ｑ ３４ウエカ∨Ｅ
１ （ク）（Ｐ∨Ｒ∨Ｓ）→Ｑ ２キＣＰ
（ⅲ）
１（１）（Ｐ→Ｑ）＆（Ｒ→Ｑ）＆（Ｓ→Ｑ） Ａ
１（２）（Ｐ→Ｑ）＆（Ｒ→Ｑ） １＆Ｅ
１（３）（Ｐ→Ｑ） ２＆Ｅ
従って、
（01）により、
（02）
①（Ｐ∨Ｒ∨Ｓ）→Ｑ
②（Ｐ→Ｑ）＆（Ｒ→Ｑ）＆（Ｓ→Ｑ）
③（Ｐ→Ｑ）
に於いて、すなはち、
①（Ｐであるか、または、Ｒであるか、または、Ｓである）ならば、Ｑである。
②（Ｐであるならば、Ｑであって）、（Ｒであるならば、Ｑであって）、（Ｓであるならば、Ｑである）。
③（Ｐであるならば、Ｑである）。
に於いて、
① ⇔ ② であって、
② → ③ であるが、
③ ← ② であるとは、「限らない」。
然るに、
（03）
（ⅳ）
１ （１）（Ｐ→Ｑ）＆（～Ｐ→～Ｑ） ２ア＆Ｉ
１ （２）（Ｐ→Ｑ） １＆Ｅ
１ （３） （～Ｐ→～Ｑ） １＆Ｅ
４ （４） Ｑ Ａ
５（５） ～Ｐ Ａ
１ ５（６） ～Ｑ ３５ＭＰＰ
１４５（７） Ｑ＆～Ｑ ４６＆Ｉ
１４ （８） ～～Ｐ ５７ＣＰ
１４ （９） Ｐ ８ＤＮ
１ （ア） Ｑ→Ｐ ４９ＣＰ
１ （イ）（Ｐ→Ｑ）＆ （Ｑ→Ｐ） ２ア＆Ｉ
（ⅴ）
１ （１）（Ｐ→Ｑ）＆ （Ｑ→Ｐ） Ａ
１ （２）（Ｐ→Ｑ） １＆Ｅ
１ （３） （Ｑ→Ｐ） １＆Ｅ
４ （４） ～Ｐ Ａ
５（５） Ｑ Ａ
１ ５（６） Ｐ ３５ＭＰＰ
１４５（７） ～Ｐ＆Ｐ ４６＆Ｉ
１４ （８） ～Ｑ ５７ＲＡＡ
１ （９） ～Ｐ→～Ｑ ４８ＣＰ
１ （ア）（Ｐ→Ｑ）＆（～Ｐ→～Ｑ） ２ア＆Ｉ
従って、
（03）により、
（04）
④（Ｐ→Ｑ）＆（～Ｐ→～Ｑ）
⑤（Ｐ→Ｑ）＆（ Ｑ→ Ｐ）
に於いて、すなはち、
④（Ｐであるならば、Ｑである）が、（Ｐでないならば、Ｑでない）。
⑤（Ｐであるならば、Ｑであって）、（Ｑであるならば、Ｐである）。
に於いて、
④ ⇔ ⑤ である。
従って、
（02）（04）により、
（05）
「Ｐならば、Ｑである（順）」が「真」であるとしても、
「Ｑならば、Ｐである（逆）」が「真」であるとは、「限らない」。
といふことは、
「Ｐならば、Ｑである（順）」が「真」であるとしても、
「Ｐが、Ｑの原因である」とは「限らない」。
といふことに、「等しい」。
令和５年１２月１３日、毛利太。
2023年12月7日木曜日
『逆は必ずしも真ではない』と『未確認共通原因』について。
（01）
（ａ）
１ （１） Ｐ→Ｑ Ａ
２ （２） ～Ｑ Ａ
３（３） Ｐ Ａ
１ ３（４） Ｑ １３ＭＰＰ
１２３（５）～Ｑ＆Ｑ ２４＆Ｉ
１２ （６）～Ｐ ３５ＲＡＡ
１ （７）～Ｑ→～Ｐ ２６ＣＰ
（ｂ）
１ （１） ～Ｑ→～Ｐ Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
３（３） ～Ｑ Ａ
１ ３（４） ～Ｐ １３ＭＰＰ
１２３（５） Ｐ＆～Ｐ ２４＆Ｉ
１２ （６）～～Ｑ ３５ＲＡＡ
１２ （７） Ｑ ６ＤＮ
１ （８） Ｐ→Ｑ ２７ＣＰ
従って、
（01）により、
（02）
① Ｐ→ Ｑ
② Ｐ→ Ｑ
③ ～Ｑ→～Ｐ
に於いて、
① ならば、② であって、
① ならば、③ であって、
②＝③ は「対偶」である。
然るに、
（03）
（ａ）
１ （１） Ｐ∨Ｒ→Ｑ Ａ
２（２） Ｐ Ａ
２（３） Ｐ∨Ｒ ２∨Ｉ
１２（４） Ｑ １３ＭＰＰ
１ （５） Ｐ→Ｑ ２４ＭＰＰ
（ｂ）
１ （１） Ｐ∨Ｒ→Ｑ Ａ
２ （２） ～Ｑ Ａ
１２ （３）～（Ｐ∨Ｒ） １２ＭＴＴ
４（４） Ｐ Ａ
４（５） Ｐ∨Ｒ ４∨Ｉ
１２４（６）～（Ｐ∨Ｒ）＆
（Ｐ∨Ｒ） ３５＆Ｉ
１２ （７） ～Ｐ ４６ＲＡＡ
１ （８） ～Ｑ→～Ｐ ２７ＣＰ
従って、
（02）（03）により、
（04）
① Ｐ∨Ｒ→Ｑ
② Ｐ→ Ｑ
③ ～Ｑ→～Ｐ
に於いて、
① ならば、② であって、
① ならば、③ であって、
②＝③ は「対偶」である。
従って、
（02）（04）により、
（05）
① Ｐ→ Ｑ
であっても、
① Ｐ∨Ｒ→Ｑ
であっても、「両方」とも、
② Ｐ→ Ｑ
③ ～Ｑ→～Ｐ
である。
従って、
（05）により、
（06）
② Ｐ→ Ｑ
③ ～Ｑ→～Ｐ
といふ「事実」が『確認』されたとしても、「それだけ」では、
② Ｐ→ Ｑ
であるのか、
① Ｐ∨Ｒ→Ｑ
であるのかは、『確認』出来ない。
然るに、
（04）により、
（07）
Ｐ＝年収が高い。
Ｒ＝年齢が高い。
Ｑ＝血圧も高い。
とするならば、
①「年収が高い」か、「年齢が高い」ならば、「血圧は高い」。
②「年収が高い」ならば、「血圧は高い」。
③「血圧が低い」ならば、「年収も低い」。
といふ「命題」は、それぞれ、
① Ｐ∨Ｒ→Ｑ
② Ｐ→ Ｑ
③ ～Ｑ→～Ｐ
といふ「命題」に「相当」する。
従って、
（06）（07）により、
（08）
②「年収が高い」ならば、「血圧は高い」。
③「血圧が低い」ならば、「年収も低い」。
といふ「事実」が『確認』されたとしても、「それだけ」では、
②「年収が高い」ならば、「血圧は高い」。
であるのか、
①「年収が高い」か、「年齢が高い」ならば、「血圧は高い」。
であるのかは、『確認』出来ない。
然るに、
（09）
①「年収が高い」か、「年齢が高い」ならば、「血圧は高い」。
といふ「命題」が「真」であるならば、
① 「年齢が高い」ならば、「血圧は高い」。
といふ「命題」は「真」である。
従って、
（08）（09）により、
（10）
②「年収が高い」ならば、「血圧は高い」。
③「血圧が低い」ならば、「年収も低い」。
といふ「事実」が『確認』されたとしても、「実際」には、『本当の原因』は、
①「年齢が高い」ならば、「血圧は高い」。
といふことなのかも、「知れない」。
然るに、
（11）
「一般的」に言へば、
①「年齢が高い」ならば、「血圧は高い」。
従って、
（10）（11）により、
（12）
①「年齢が高い」ならば、「血圧は高い」。
といふことからすれば、
②「年収が高い」ならば、「血圧は高い」。
といふことであっても、『逆』に、
②「血圧が高い」ならば、「年収も高い」。
といふことは、『必ずしも、真』ではない。
令和５年１２月７日、毛利太。
（ａ）
１ （１） Ｐ→Ｑ Ａ
２ （２） ～Ｑ Ａ
３（３） Ｐ Ａ
１ ３（４） Ｑ １３ＭＰＰ
１２３（５）～Ｑ＆Ｑ ２４＆Ｉ
１２ （６）～Ｐ ３５ＲＡＡ
１ （７）～Ｑ→～Ｐ ２６ＣＰ
（ｂ）
１ （１） ～Ｑ→～Ｐ Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
３（３） ～Ｑ Ａ
１ ３（４） ～Ｐ １３ＭＰＰ
１２３（５） Ｐ＆～Ｐ ２４＆Ｉ
１２ （６）～～Ｑ ３５ＲＡＡ
１２ （７） Ｑ ６ＤＮ
１ （８） Ｐ→Ｑ ２７ＣＰ
従って、
（01）により、
（02）
① Ｐ→ Ｑ
② Ｐ→ Ｑ
③ ～Ｑ→～Ｐ
に於いて、
① ならば、② であって、
① ならば、③ であって、
②＝③ は「対偶」である。
然るに、
（03）
（ａ）
１ （１） Ｐ∨Ｒ→Ｑ Ａ
２（２） Ｐ Ａ
２（３） Ｐ∨Ｒ ２∨Ｉ
１２（４） Ｑ １３ＭＰＰ
１ （５） Ｐ→Ｑ ２４ＭＰＰ
（ｂ）
１ （１） Ｐ∨Ｒ→Ｑ Ａ
２ （２） ～Ｑ Ａ
１２ （３）～（Ｐ∨Ｒ） １２ＭＴＴ
４（４） Ｐ Ａ
４（５） Ｐ∨Ｒ ４∨Ｉ
１２４（６）～（Ｐ∨Ｒ）＆
（Ｐ∨Ｒ） ３５＆Ｉ
１２ （７） ～Ｐ ４６ＲＡＡ
１ （８） ～Ｑ→～Ｐ ２７ＣＰ
従って、
（02）（03）により、
（04）
① Ｐ∨Ｒ→Ｑ
② Ｐ→ Ｑ
③ ～Ｑ→～Ｐ
に於いて、
① ならば、② であって、
① ならば、③ であって、
②＝③ は「対偶」である。
従って、
（02）（04）により、
（05）
① Ｐ→ Ｑ
であっても、
① Ｐ∨Ｒ→Ｑ
であっても、「両方」とも、
② Ｐ→ Ｑ
③ ～Ｑ→～Ｐ
である。
従って、
（05）により、
（06）
② Ｐ→ Ｑ
③ ～Ｑ→～Ｐ
といふ「事実」が『確認』されたとしても、「それだけ」では、
② Ｐ→ Ｑ
であるのか、
① Ｐ∨Ｒ→Ｑ
であるのかは、『確認』出来ない。
然るに、
（04）により、
（07）
Ｐ＝年収が高い。
Ｒ＝年齢が高い。
Ｑ＝血圧も高い。
とするならば、
①「年収が高い」か、「年齢が高い」ならば、「血圧は高い」。
②「年収が高い」ならば、「血圧は高い」。
③「血圧が低い」ならば、「年収も低い」。
といふ「命題」は、それぞれ、
① Ｐ∨Ｒ→Ｑ
② Ｐ→ Ｑ
③ ～Ｑ→～Ｐ
といふ「命題」に「相当」する。
従って、
（06）（07）により、
（08）
②「年収が高い」ならば、「血圧は高い」。
③「血圧が低い」ならば、「年収も低い」。
といふ「事実」が『確認』されたとしても、「それだけ」では、
②「年収が高い」ならば、「血圧は高い」。
であるのか、
①「年収が高い」か、「年齢が高い」ならば、「血圧は高い」。
であるのかは、『確認』出来ない。
然るに、
（09）
①「年収が高い」か、「年齢が高い」ならば、「血圧は高い」。
といふ「命題」が「真」であるならば、
① 「年齢が高い」ならば、「血圧は高い」。
といふ「命題」は「真」である。
従って、
（08）（09）により、
（10）
②「年収が高い」ならば、「血圧は高い」。
③「血圧が低い」ならば、「年収も低い」。
といふ「事実」が『確認』されたとしても、「実際」には、『本当の原因』は、
①「年齢が高い」ならば、「血圧は高い」。
といふことなのかも、「知れない」。
然るに、
（11）
「一般的」に言へば、
①「年齢が高い」ならば、「血圧は高い」。
従って、
（10）（11）により、
（12）
①「年齢が高い」ならば、「血圧は高い」。
といふことからすれば、
②「年収が高い」ならば、「血圧は高い」。
といふことであっても、『逆』に、
②「血圧が高い」ならば、「年収も高い」。
といふことは、『必ずしも、真』ではない。
令和５年１２月７日、毛利太。
2023年11月29日水曜日
「排他的選言」の「３つの定義」。
（01）
「太郎かあるいは次郎が辞書を持っている」といわれるとき、
「太郎が辞書を持っている」と、
「次郎が辞書を持っている」の二つの命題は同時に真になることが可能である。
このような選言は「両立的選言」と呼ばれる。
「太郎は３階か５階にいる」と言われるとき、
「太郎は３階にいる」と
「太郎は５階にいる」の二つの命題が同時に真になることはありえない。
このような選言は「排他的選言」である。
「論理学」の「・・・あるいは・・・」は「両立的選言」に決めてある。
それは「論理学」の体系がよりシンプルなものになるからである。とりわけ、
「∨」を「両立的選言」に決めておけば、「排他的選言」の方は
「∨と＆と～」によって簡単に表現できる―（Ｐ∨Ｑ）＆～（Ｐ＆Ｑ）―
（昭和堂、論理学の基礎、1994年、１１頁）。
従って、
（02）
①（Ｐ∨Ｑ）＆～（Ｐ＆Ｑ）
といふ「論理式」、すなはち、「日本語」で言ふところの、
①（Ｐであるか、または、Ｑである）が、ただし、（ＰであってＱである）といふことはない。
といふ「命題」は、「排他的選言」である。
然るに、
（03）
「（日本語の）直観的」からすれば、
①（Ｐであるか、または、Ｑである）が、（ＰであってＱである）といふことはない。
②（Ｐでないならば、Ｑであって）、（Ｐであるならば、Ｑでない）。
③（ＰとＱが、「同時に真」になること、並びに、ＰとＱが「同時に偽」になる）といふことはない。
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（03）により、
（04）
「論理式」で書くならば、
① （Ｐ∨ Ｑ）＆～（Ｐ＆ Ｑ）
② （～Ｐ→ Ｑ）＆ （Ｐ→～Ｑ）
③ ～（Ｐ⇔ Ｑ）
に於いて、
①＝②＝③ である。
然るに、
（05）
（ⅰ）
１ （１） （Ｐ∨ Ｑ）＆～（Ｐ＆ Ｑ） Ａ
１ （２） Ｐ∨ Ｑ １＆Ｅ
３ （３） ～Ｐ＆～Ｑ Ａ
４ （４） Ｐ Ａ
３ （５） ～Ｐ ３＆Ｅ
３４ （６） Ｐ＆～Ｐ ４５＆Ｉ
４ （７）～（～Ｐ＆～Ｑ） ３６ＲＡＡ
８ （８） Ｑ Ａ
３ （９） ～Ｑ ３＆Ｅ
３ ８ （ア） Ｑ＆～Ｑ ８９＆Ｉ
８ （イ）～（～Ｐ＆～Ｑ） ３アＲＡＡ
１ （ウ）～（～Ｐ＆～Ｑ） ２４７８イ∨Ｅ
エ （エ） ～Ｐ Ａ
オ （オ） ～Ｑ Ａ
エオ （カ） ～Ｐ＆～Ｑ エオ＆Ｉ
１ エオ （キ）～（～Ｐ＆～Ｑ）＆（～Ｐ＆～Ｑ） ウカ＆Ｉ
１ エ （ク） ～～Ｑ オキＲＡＡ
１ エ （ケ） Ｑ クＤＮ
１ （コ） ～Ｐ→ Ｑ エケＣＰ
１ （サ） ～（Ｐ＆ Ｑ） Ａ
シ （シ） Ｐ Ａ
ス（ス） Ｑ Ａ
シス（セ） Ｐ＆ Ｑ シス＆Ｉ
１ シス（ソ） ～（Ｐ＆ Ｑ）＆（Ｐ＆ Ｑ） サセ＆Ｉ
１ シ （タ） ～Ｑ スソＲＡＡ
１ （チ） Ｐ→～Ｑ シタＣＰ
１ （ツ） （～Ｐ→ Ｑ）＆（Ｐ→～Ｑ） コチ＆Ｉ
（ⅱ）
１ （１） （～Ｐ→ Ｑ）＆（Ｐ→～Ｑ） Ａ
１ （２） （～Ｐ→ Ｑ） １＆Ｅ
３ （３） ～（ Ｐ∨ Ｑ） Ａ
４ （４） Ｐ Ａ
４ （５） Ｐ∨ Ｑ ４∨Ｉ
３４ （６） ～（ Ｐ∨ Ｑ）＆（Ｐ∨ Ｑ） ３５＆Ｉ
３ （７） ～Ｐ ３６ＲＡＡ
８ （８） Ｑ Ａ
８ （９） Ｐ∨ Ｑ ８∨Ｉ
３ ８ （ア） ～（ Ｐ∨ Ｑ）＆（Ｐ∨ Ｑ） ３９＆Ｉ
３ （イ） ～Ｑ ８アＲＡＡ
１３ （ウ） Ｑ ２７ＭＰＰ
１３ （エ） ～Ｑ＆Ｑ イウ＆Ｉ
１ （オ）～～（ Ｐ∨ Ｑ） ３エ
１ （カ） Ｐ∨ Ｑ オＤＮ
１ （キ） Ｐ→～Ｑ １＆Ｅ
ク （ク） Ｐ＆ Ｑ Ａ
ク （ケ） Ｐ ク＆Ｅ
１ ク （コ） ～Ｑ キケＭＰＰ
ク （サ） Ｑ ク＆Ｅ
１ ク （シ） ～Ｑ＆Ｑ コサ＆Ｉ
１ （ス） ～（Ｐ＆ Ｑ） クシＲＡＡ
１ （セ） （Ｐ∨ Ｑ）＆～（Ｐ＆ Ｑ） カス＆Ｉ
従って、
（05）により、
（06）
①（ Ｐ∨Ｑ）＆～（Ｐ＆ Ｑ）
②（～Ｐ→Ｑ）＆ （Ｐ→～Ｑ）
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（07）
（ⅱ）
１ （１） （～Ｐ→Ｑ）＆（Ｐ→～Ｑ） Ａ
（２） ～Ｐ ∨ Ｐ 排中律
１ （３） ～Ｐ→Ｑ １＆Ｅ
４ （４） ～Ｐ Ａ
１４ （５） Ｑ ３４ＭＰＰ
１４ （６） ～Ｐ＆Ｑ ４５＆Ｉ
１４ （７） （～Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆～Ｑ） ６∨Ｉ
１ （８） Ｐ→～Ｑ １＆Ｅ
９ （９） Ｐ Ａ
１ ９ （ア） ～Ｑ ８９ＭＰＰ
１ ９ （イ） Ｐ＆～Ｑ ９ア＆Ｉ
１ ９ （ウ） （～Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆～Ｑ） イ∨Ｉ
１ （エ） （～Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆～Ｑ） ２４７９ウ∨Ｅ
オ （オ） （Ｐ＆～Ｑ） Ａ
カ （カ） Ｐ→ Ｑ Ａ
オ （キ） Ｐ オ＆Ｅ
オカ （ク） Ｑ カキＭＰＰ
オ （ケ） ～Ｑ オ＆Ｅ
オカ （コ） Ｑ＆～Ｑ クケ＆Ｉ
オ （サ） ～（Ｐ→ Ｑ） カコＲＡＡ
オ （シ） ～（Ｐ→Ｑ）∨～（Ｑ→Ｐ） サ∨Ｉ
ス （ス） （～Ｐ＆Ｑ） Ａ
セ（セ） Ｑ→Ｐ Ａ
ス （ソ） Ｑ ス＆Ｅ
スセ（タ） Ｐ セソＭＰＰ
ス （チ） ～Ｐ ス＆Ｅ
スセ（ツ） ～Ｐ＆Ｐ タチ＆Ｉ
ス （テ） ～（Ｑ→Ｐ） セツＲＡＡ
ス （ト） ～（Ｐ→Ｑ）∨～（Ｑ→Ｐ） テ∨Ｉ
１ （ナ） ～（Ｐ→Ｑ）∨～（Ｑ→Ｐ） エオシスト∨Ｅ
１ （ニ）～｛（Ｐ→Ｑ）＆ （Ｑ→Ｐ）｝ ナ、ド・モルガンの法則
１ （ヌ） ～（Ｐ⇔Ｑ） ニＤｆ.⇔
（ⅲ）
１ （１） ～（Ｐ⇔Ｑ） Ａ
１ （２） ～｛（Ｐ→Ｑ）＆ （Ｑ→Ｐ）｝ １Ｄｆ.⇔
１ （３） ～（Ｐ→Ｑ）∨ ～（Ｑ→Ｐ） ２ド・モルガンの法則
４ （４） ～｛（～Ｐ→Ｑ）＆ （Ｐ→～Ｑ）｝ Ａ
４ （５） ～（～Ｐ→Ｑ）∨～（Ｐ→～Ｑ） ４ド・モルガンの法則
６ （６） ～（Ｐ→Ｑ） Ａ
６ （７） ～（～Ｐ∨Ｑ） ６含意の定義
６ （８） Ｐ＆～Ｑ ７ド・モルガンの法則
９ （９） ～（～Ｐ→Ｑ） Ａ
９ （ア） ～（Ｐ∨Ｑ） ９含意の定義
９ （イ） ～Ｐ＆～Ｑ ア、ド・モルガンの法則
９ （ウ） ～Ｐ イ＆Ｅ
６ （エ） Ｐ ８＆Ｅ
６９ （オ） ～Ｐ＆Ｐ ウエ＆Ｉ
９ （カ） ～～（Ｐ→Ｑ） ６オＲＡＡ
キ （キ） ～（Ｐ→～Ｑ） Ａ
キ （ク） ～（～Ｐ∨～Ｑ） キ含意の定義
キ （ケ） Ｐ＆ Ｑ ク、ド・モルガンの法則
キ （コ） Ｑ ケ＆Ｅ
６ （サ） ～Ｑ イ＆Ｅ
６ キ （シ） ～Ｑ＆Ｑ コサ＆Ｉ
キ （ス） ～～（Ｐ→Ｑ） ６シＲＡＡ
４ （セ） ～～（Ｐ→Ｑ） ５９カキス∨Ｅ
４ （ソ） Ｐ→Ｑ セＤＮ
タ （タ） ～（Ｑ→Ｐ） Ａ
タ （チ） ～（～Ｑ∨Ｐ） タ含意の定義
タ （ツ） Ｑ＆～Ｐ チ、ド・モルガンの法則
９ （テ） ～Ｑ イ＆Ｅ
タ （ト） Ｑ ツ＆Ｅ
９ タ （ナ） ～Ｑ＆Ｑ テト＆Ｉ
９ （ニ） ～～（Ｑ→Ｐ） タナＲＡＡ
キ （ヌ） Ｐ ケ＆Ｅ
タ （ノ） ～Ｐ ツ＆Ｅ
キタ （ハ） Ｐ＆～Ｐ ヌノ＆Ｉ
キ （ヒ） ～～（Ｑ→Ｐ） タハＲＡＡ
４ （フ） ～～（Ｑ→Ｐ） ５９ニキヒ∨Ｅ
４ （ヘ） Ｑ→Ｐ フＤＮ
４ （ホ） （Ｐ→ Ｑ）＆（Ｑ→ Ｐ） ソヘ＆Ｉ
１４ （マ） ～｛（Ｐ→ Ｑ）＆（Ｑ→ Ｐ）｝＆
｛（Ｐ→ Ｑ）＆（Ｑ→ Ｐ）｝ ２ホ＆Ｉ
１ （ミ） ～～｛（～Ｐ→Ｑ）＆（Ｐ→～Ｑ）｝ ４マＲＡＡ
１ （ム） （～Ｐ→Ｑ）＆（Ｐ→～Ｑ） ミＤＮ
従って、
（07）により、
（08）
② （～Ｐ→Ｑ）＆（Ｐ→～Ｑ）
③ ～（Ｐ⇔Ｑ）
に於いて、
②＝③ である。
従って、
（06）（08）により、
（09）
① （ Ｐ∨Ｑ）＆～（Ｐ＆ Ｑ）
② （～Ｐ→Ｑ）＆ （Ｐ→～Ｑ）
③ ～（Ｐ⇔Ｑ）
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（03）（04）（09）により、
（10）
果たして、
①（Ｐであるか、または、Ｑである）が、（ＰであってＱである）といふことはない。
②（Ｐでないならば、Ｑであって）、（Ｐであるならば、Ｑでない）。
③（ＰとＱが、「同時に真」になること、並びに、ＰとＱが「同時に偽」になる）といふことはない。
といふ「日本語」に於いて、
①＝②＝③ である。
令和５年１１月２９日、毛利太。
「太郎かあるいは次郎が辞書を持っている」といわれるとき、
「太郎が辞書を持っている」と、
「次郎が辞書を持っている」の二つの命題は同時に真になることが可能である。
このような選言は「両立的選言」と呼ばれる。
「太郎は３階か５階にいる」と言われるとき、
「太郎は３階にいる」と
「太郎は５階にいる」の二つの命題が同時に真になることはありえない。
このような選言は「排他的選言」である。
「論理学」の「・・・あるいは・・・」は「両立的選言」に決めてある。
それは「論理学」の体系がよりシンプルなものになるからである。とりわけ、
「∨」を「両立的選言」に決めておけば、「排他的選言」の方は
「∨と＆と～」によって簡単に表現できる―（Ｐ∨Ｑ）＆～（Ｐ＆Ｑ）―
（昭和堂、論理学の基礎、1994年、１１頁）。
従って、
（02）
①（Ｐ∨Ｑ）＆～（Ｐ＆Ｑ）
といふ「論理式」、すなはち、「日本語」で言ふところの、
①（Ｐであるか、または、Ｑである）が、ただし、（ＰであってＱである）といふことはない。
といふ「命題」は、「排他的選言」である。
然るに、
（03）
「（日本語の）直観的」からすれば、
①（Ｐであるか、または、Ｑである）が、（ＰであってＱである）といふことはない。
②（Ｐでないならば、Ｑであって）、（Ｐであるならば、Ｑでない）。
③（ＰとＱが、「同時に真」になること、並びに、ＰとＱが「同時に偽」になる）といふことはない。
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（03）により、
（04）
「論理式」で書くならば、
① （Ｐ∨ Ｑ）＆～（Ｐ＆ Ｑ）
② （～Ｐ→ Ｑ）＆ （Ｐ→～Ｑ）
③ ～（Ｐ⇔ Ｑ）
に於いて、
①＝②＝③ である。
然るに、
（05）
（ⅰ）
１ （１） （Ｐ∨ Ｑ）＆～（Ｐ＆ Ｑ） Ａ
１ （２） Ｐ∨ Ｑ １＆Ｅ
３ （３） ～Ｐ＆～Ｑ Ａ
４ （４） Ｐ Ａ
３ （５） ～Ｐ ３＆Ｅ
３４ （６） Ｐ＆～Ｐ ４５＆Ｉ
４ （７）～（～Ｐ＆～Ｑ） ３６ＲＡＡ
８ （８） Ｑ Ａ
３ （９） ～Ｑ ３＆Ｅ
３ ８ （ア） Ｑ＆～Ｑ ８９＆Ｉ
８ （イ）～（～Ｐ＆～Ｑ） ３アＲＡＡ
１ （ウ）～（～Ｐ＆～Ｑ） ２４７８イ∨Ｅ
エ （エ） ～Ｐ Ａ
オ （オ） ～Ｑ Ａ
エオ （カ） ～Ｐ＆～Ｑ エオ＆Ｉ
１ エオ （キ）～（～Ｐ＆～Ｑ）＆（～Ｐ＆～Ｑ） ウカ＆Ｉ
１ エ （ク） ～～Ｑ オキＲＡＡ
１ エ （ケ） Ｑ クＤＮ
１ （コ） ～Ｐ→ Ｑ エケＣＰ
１ （サ） ～（Ｐ＆ Ｑ） Ａ
シ （シ） Ｐ Ａ
ス（ス） Ｑ Ａ
シス（セ） Ｐ＆ Ｑ シス＆Ｉ
１ シス（ソ） ～（Ｐ＆ Ｑ）＆（Ｐ＆ Ｑ） サセ＆Ｉ
１ シ （タ） ～Ｑ スソＲＡＡ
１ （チ） Ｐ→～Ｑ シタＣＰ
１ （ツ） （～Ｐ→ Ｑ）＆（Ｐ→～Ｑ） コチ＆Ｉ
（ⅱ）
１ （１） （～Ｐ→ Ｑ）＆（Ｐ→～Ｑ） Ａ
１ （２） （～Ｐ→ Ｑ） １＆Ｅ
３ （３） ～（ Ｐ∨ Ｑ） Ａ
４ （４） Ｐ Ａ
４ （５） Ｐ∨ Ｑ ４∨Ｉ
３４ （６） ～（ Ｐ∨ Ｑ）＆（Ｐ∨ Ｑ） ３５＆Ｉ
３ （７） ～Ｐ ３６ＲＡＡ
８ （８） Ｑ Ａ
８ （９） Ｐ∨ Ｑ ８∨Ｉ
３ ８ （ア） ～（ Ｐ∨ Ｑ）＆（Ｐ∨ Ｑ） ３９＆Ｉ
３ （イ） ～Ｑ ８アＲＡＡ
１３ （ウ） Ｑ ２７ＭＰＰ
１３ （エ） ～Ｑ＆Ｑ イウ＆Ｉ
１ （オ）～～（ Ｐ∨ Ｑ） ３エ
１ （カ） Ｐ∨ Ｑ オＤＮ
１ （キ） Ｐ→～Ｑ １＆Ｅ
ク （ク） Ｐ＆ Ｑ Ａ
ク （ケ） Ｐ ク＆Ｅ
１ ク （コ） ～Ｑ キケＭＰＰ
ク （サ） Ｑ ク＆Ｅ
１ ク （シ） ～Ｑ＆Ｑ コサ＆Ｉ
１ （ス） ～（Ｐ＆ Ｑ） クシＲＡＡ
１ （セ） （Ｐ∨ Ｑ）＆～（Ｐ＆ Ｑ） カス＆Ｉ
従って、
（05）により、
（06）
①（ Ｐ∨Ｑ）＆～（Ｐ＆ Ｑ）
②（～Ｐ→Ｑ）＆ （Ｐ→～Ｑ）
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（07）
（ⅱ）
１ （１） （～Ｐ→Ｑ）＆（Ｐ→～Ｑ） Ａ
（２） ～Ｐ ∨ Ｐ 排中律
１ （３） ～Ｐ→Ｑ １＆Ｅ
４ （４） ～Ｐ Ａ
１４ （５） Ｑ ３４ＭＰＰ
１４ （６） ～Ｐ＆Ｑ ４５＆Ｉ
１４ （７） （～Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆～Ｑ） ６∨Ｉ
１ （８） Ｐ→～Ｑ １＆Ｅ
９ （９） Ｐ Ａ
１ ９ （ア） ～Ｑ ８９ＭＰＰ
１ ９ （イ） Ｐ＆～Ｑ ９ア＆Ｉ
１ ９ （ウ） （～Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆～Ｑ） イ∨Ｉ
１ （エ） （～Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆～Ｑ） ２４７９ウ∨Ｅ
オ （オ） （Ｐ＆～Ｑ） Ａ
カ （カ） Ｐ→ Ｑ Ａ
オ （キ） Ｐ オ＆Ｅ
オカ （ク） Ｑ カキＭＰＰ
オ （ケ） ～Ｑ オ＆Ｅ
オカ （コ） Ｑ＆～Ｑ クケ＆Ｉ
オ （サ） ～（Ｐ→ Ｑ） カコＲＡＡ
オ （シ） ～（Ｐ→Ｑ）∨～（Ｑ→Ｐ） サ∨Ｉ
ス （ス） （～Ｐ＆Ｑ） Ａ
セ（セ） Ｑ→Ｐ Ａ
ス （ソ） Ｑ ス＆Ｅ
スセ（タ） Ｐ セソＭＰＰ
ス （チ） ～Ｐ ス＆Ｅ
スセ（ツ） ～Ｐ＆Ｐ タチ＆Ｉ
ス （テ） ～（Ｑ→Ｐ） セツＲＡＡ
ス （ト） ～（Ｐ→Ｑ）∨～（Ｑ→Ｐ） テ∨Ｉ
１ （ナ） ～（Ｐ→Ｑ）∨～（Ｑ→Ｐ） エオシスト∨Ｅ
１ （ニ）～｛（Ｐ→Ｑ）＆ （Ｑ→Ｐ）｝ ナ、ド・モルガンの法則
１ （ヌ） ～（Ｐ⇔Ｑ） ニＤｆ.⇔
（ⅲ）
１ （１） ～（Ｐ⇔Ｑ） Ａ
１ （２） ～｛（Ｐ→Ｑ）＆ （Ｑ→Ｐ）｝ １Ｄｆ.⇔
１ （３） ～（Ｐ→Ｑ）∨ ～（Ｑ→Ｐ） ２ド・モルガンの法則
４ （４） ～｛（～Ｐ→Ｑ）＆ （Ｐ→～Ｑ）｝ Ａ
４ （５） ～（～Ｐ→Ｑ）∨～（Ｐ→～Ｑ） ４ド・モルガンの法則
６ （６） ～（Ｐ→Ｑ） Ａ
６ （７） ～（～Ｐ∨Ｑ） ６含意の定義
６ （８） Ｐ＆～Ｑ ７ド・モルガンの法則
９ （９） ～（～Ｐ→Ｑ） Ａ
９ （ア） ～（Ｐ∨Ｑ） ９含意の定義
９ （イ） ～Ｐ＆～Ｑ ア、ド・モルガンの法則
９ （ウ） ～Ｐ イ＆Ｅ
６ （エ） Ｐ ８＆Ｅ
６９ （オ） ～Ｐ＆Ｐ ウエ＆Ｉ
９ （カ） ～～（Ｐ→Ｑ） ６オＲＡＡ
キ （キ） ～（Ｐ→～Ｑ） Ａ
キ （ク） ～（～Ｐ∨～Ｑ） キ含意の定義
キ （ケ） Ｐ＆ Ｑ ク、ド・モルガンの法則
キ （コ） Ｑ ケ＆Ｅ
６ （サ） ～Ｑ イ＆Ｅ
６ キ （シ） ～Ｑ＆Ｑ コサ＆Ｉ
キ （ス） ～～（Ｐ→Ｑ） ６シＲＡＡ
４ （セ） ～～（Ｐ→Ｑ） ５９カキス∨Ｅ
４ （ソ） Ｐ→Ｑ セＤＮ
タ （タ） ～（Ｑ→Ｐ） Ａ
タ （チ） ～（～Ｑ∨Ｐ） タ含意の定義
タ （ツ） Ｑ＆～Ｐ チ、ド・モルガンの法則
９ （テ） ～Ｑ イ＆Ｅ
タ （ト） Ｑ ツ＆Ｅ
９ タ （ナ） ～Ｑ＆Ｑ テト＆Ｉ
９ （ニ） ～～（Ｑ→Ｐ） タナＲＡＡ
キ （ヌ） Ｐ ケ＆Ｅ
タ （ノ） ～Ｐ ツ＆Ｅ
キタ （ハ） Ｐ＆～Ｐ ヌノ＆Ｉ
キ （ヒ） ～～（Ｑ→Ｐ） タハＲＡＡ
４ （フ） ～～（Ｑ→Ｐ） ５９ニキヒ∨Ｅ
４ （ヘ） Ｑ→Ｐ フＤＮ
４ （ホ） （Ｐ→ Ｑ）＆（Ｑ→ Ｐ） ソヘ＆Ｉ
１４ （マ） ～｛（Ｐ→ Ｑ）＆（Ｑ→ Ｐ）｝＆
｛（Ｐ→ Ｑ）＆（Ｑ→ Ｐ）｝ ２ホ＆Ｉ
１ （ミ） ～～｛（～Ｐ→Ｑ）＆（Ｐ→～Ｑ）｝ ４マＲＡＡ
１ （ム） （～Ｐ→Ｑ）＆（Ｐ→～Ｑ） ミＤＮ
従って、
（07）により、
（08）
② （～Ｐ→Ｑ）＆（Ｐ→～Ｑ）
③ ～（Ｐ⇔Ｑ）
に於いて、
②＝③ である。
従って、
（06）（08）により、
（09）
① （ Ｐ∨Ｑ）＆～（Ｐ＆ Ｑ）
② （～Ｐ→Ｑ）＆ （Ｐ→～Ｑ）
③ ～（Ｐ⇔Ｑ）
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（03）（04）（09）により、
（10）
果たして、
①（Ｐであるか、または、Ｑである）が、（ＰであってＱである）といふことはない。
②（Ｐでないならば、Ｑであって）、（Ｐであるならば、Ｑでない）。
③（ＰとＱが、「同時に真」になること、並びに、ＰとＱが「同時に偽」になる）といふことはない。
といふ「日本語」に於いて、
①＝②＝③ である。
令和５年１１月２９日、毛利太。
2023年11月27日月曜日
「排他的選言（クワインの定義）」について。
（01）
① Ｐ∨Ｑ
② ～（Ｐ⇔Ｑ）
といふ「論理式」は、それぞれ、
① Ｐであるか、Ｑであるか、または、両方である。
②（ＰとＱが、同時に真になることも、同時に偽になることも）無い。
といふ「意味」である。
然るに、
（02）
②（ＰとＱが、同時に真になることも、同時に偽になることも）無い。
といふことは、
② Ｐであるか、Ｑであるが、ただし、両方ではない。
といふ「意味」である。
従って、
（01）（02）により、
（03）
① Ｐ∨Ｑ
② ～（Ｐ⇔Ｑ）
といふ「論理式」は、それぞれ、
① Ｐであるか、Ｑであるか、または、両方である。
② Ｐであるか、Ｑであるが、ただし、両方ではない。
といふ「意味」であって、この場合、
① を、「両立的選言」と言ひ、
② を、「排他的選言」と言ふ。
然るに、
（04）
（ⅱ）
１ （１） ～（Ｐ⇔Ｑ） Ａ
１ （２）～｛（Ｐ→Ｑ）＆ （Ｑ→Ｐ）｝ １Ｄｆ.⇔
１ （３） ～（Ｐ→Ｑ）∨～（Ｑ→Ｐ） ２ド・モルガンの法則
４ （４） ～（Ｐ→Ｑ） Ａ
４ （５）～（～Ｐ∨Ｑ） ４含意の定義
４ （６） （Ｐ＆～Ｑ） ５ド・モルガンの法則
４ （７） （Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｑ＆～Ｐ） ６∨Ｉ
８（８） ～（Ｑ→Ｐ） Ａ
８（９） ～（～Ｑ∨Ｐ） ８含意の定義
８（ア） Ｑ＆～Ｐ ９ド・モルガンの法則
８（イ） （Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｑ＆～Ｐ） ア∨Ｉ
１ （ウ） （Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｑ＆～Ｐ） ３４７８イ∨Ｅ
（ⅲ）
１ （１） （Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｑ＆～Ｐ） Ａ
２ （２） （Ｐ＆～Ｑ） Ａ
２ （３）～（～Ｐ∨Ｑ） ２ド・モルガンの法則
２ （４） ～（Ｐ→Ｑ） ３含意の定義
２ （５） ～（Ｐ→Ｑ）∨～（Ｑ→Ｐ） ４∨Ｉ
６（６） Ｑ＆～Ｐ Ａ
６（７） ～（～Ｑ∨Ｐ） ６ド・モルガンの法則
６（８） ～（Ｑ→Ｐ） ７含意の定義
６（９） ～（Ｐ→Ｑ）∨～（Ｑ→Ｐ） ８∨Ｉ
１ （ア） ～（Ｐ→Ｑ）∨～（Ｑ→Ｐ） １２５６９∨Ｅ
１ （イ）～｛（Ｐ→Ｑ）＆ （Ｑ→Ｐ）｝ ア、ド・モルガンの法則
１ （ウ） ～（Ｐ⇔Ｑ） イＤｆ．⇔
従って、
（04）により、
（05）
② ～（Ｐ⇔Ｑ）
③ （Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｑ＆～Ｐ）
に於いて、
②＝③ である。
然るに、
（06）
『岩波書店、クワイン 論理学の方法、１９６１年、１１頁』を見ると、
③（Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｑ＆～Ｐ）
④ Ｐ⇔～Ｑ
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（05）（06）により、
（07）
② ～（Ｐ⇔ Ｑ）
④ Ｐ⇔～Ｑ
に於いて、
②＝④ である。
然るに、
（08）
（ⅱ）
１ （１） ～（Ｐ⇔ Ｑ） Ａ
１ （２）～｛（Ｐ→ Ｑ）＆ （ Ｑ→Ｐ）｝ １Ｄｆ.⇔
１ （３） ～（Ｐ→ Ｑ）∨～（ Ｑ→Ｐ） ２ド・モルガンの法則
４ （４） ～（Ｐ→ Ｑ） Ａ
４ （５） ～（～Ｐ∨Ｑ） ４含意の定義
４ （６） Ｐ＆～Ｑ ５ド・モルガンの法則
４ （７） （Ｐ＆～Ｑ）∨ （Ｑ＆～Ｐ） ６∨Ｉ
８ （８） ～（ Ｑ→Ｐ） Ａ
８ （９） ～（～Ｑ∨Ｐ） ８含意の定義
８ （ア） （Ｑ＆～Ｐ） ９ド・モルガンの法則
８ （イ） （Ｐ＆～Ｑ）∨ （Ｑ＆～Ｐ） ア∨Ｉ
１ （ウ） （Ｐ＆～Ｑ）∨ （Ｑ＆～Ｐ） １４７８イ∨Ｅ
エ （エ） ～（Ｐ⇔～Ｑ） Ａ
エ （オ）～｛（Ｐ→～Ｑ）＆ （～Ｑ→Ｐ）｝ エＤｆ.⇔
エ （カ） ～（Ｐ→～Ｑ）∨～（～Ｑ→Ｐ） オ、ド・モルガンの法則
キ （キ） ～（Ｐ→～Ｑ） Ａ
キ （ク）～（～Ｐ∨～Ｑ） キ含意の定義
キ （ケ） （Ｐ＆ Ｑ） ク、ド・モルガンの法則
キ （コ） （Ｐ＆ Ｑ）∨（～Ｑ＆～Ｐ） ケ∨Ｉ
サ （サ） ～（～Ｑ→Ｐ） Ａ
サ （シ） ～（Ｑ∨ Ｐ） サ含意の定義
サ （ス） （～Ｑ＆～Ｐ） シ、ド・モルガンの法則
サ （セ） （Ｐ＆ Ｑ）∨（～Ｑ＆～Ｐ） ス∨Ｉ
エ （ソ） （Ｐ＆ Ｑ）∨（～Ｑ＆～Ｐ） エキコサセ∨Ｅ
タ （タ） （Ｐ＆～Ｑ） Ａ
チ （チ） （Ｐ＆ Ｑ） Ａ
タ （ツ） ～Ｑ タ＆Ｅ
チ （テ） Ｑ チ＆Ｅ
タチ （ト） ～Ｑ＆Ｑ ツテ＆Ｉ
チ （ナ） ～（Ｐ＆～Ｑ） タトＲＡＡ
ニ （ニ） （～Ｑ＆～Ｐ） Ａ
タ （ヌ） Ｐ タ＆Ｅ
ニ （ネ） ～Ｐ ニ＆Ｅ
タ ニ （ノ） Ｐ＆～Ｐ ヌネ＆Ｉ
ニ （ハ） ～（Ｐ＆～Ｑ） タノＲＡＡ
エ （ヒ） ～（Ｐ＆～Ｑ） ソチナニハ∨Ｅ
フ （フ） （Ｑ＆～Ｐ） Ａ
ヘ （ヘ） （Ｐ＆ Ｑ） Ａ
フ （ホ） ～Ｐ フ＆Ｅ
ヘ （マ） Ｐ ヘ＆Ｅ
フヘ （ミ） Ｐ＆～Ｑ ホマ＆Ｉ
ヘ （ム） ～（Ｑ＆～Ｐ） フミＲＡＡ
メ （メ） （～Ｑ＆～Ｐ） Ａ
フ （モ） Ｑ フ＆Ｅ
メ （ヤ） ～Ｑ メ＆Ｅ
フ メ （ユ） Ｑ＆～Ｑ モヤ＆Ｉ
メ （ヨ） ～（Ｑ＆～Ｐ） フユＲＡＡ
エ （ラ） ～（Ｑ＆～Ｐ） ソヘムメヨＲＡＡ
リ （リ） （Ｐ＆～Ｑ） Ａ
エ リ （ル） ～（Ｐ＆～Ｑ）＆ （Ｐ＆～Ｑ） ヒリ＆Ｉ
リ （レ）～～（Ｐ⇔～Ｑ） エルＲＡＡ
ロ（ロ） （Ｑ＆～Ｐ） Ａ
エ ロ（ワ） ～（Ｑ＆～Ｐ）＆ （Ｑ＆～Ｐ） ラロ＆Ｉ
ロ（ヲ）～～（Ｐ⇔～Ｑ） エワＲＡＡ
１ （ン）～～（Ｐ⇔～Ｑ） ウリレロヲ∨Ｅ
１ （あ） Ｐ⇔～Ｑ ンＤＮ
（ⅳ）
１ （１） Ｐ⇔～Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ⇔ Ｑ Ａ
１ （３） （Ｐ→～Ｑ）＆（～Ｑ→Ｐ） １Ｄｆ.⇔
２ （４） （Ｐ→ Ｑ）＆（ Ｑ→Ｐ） ２Ｄｆ.⇔
１ （５） Ｐ→～Ｑ ３＆Ｅ
２ （６） Ｐ→ Ｑ ４＆Ｅ
１ （７） ～Ｑ→Ｐ ３＆Ｅ
２ （８） Ｑ→Ｐ ４＆Ｅ
（９） Ｐ∨～Ｐ 排中律
ア （ア） Ｐ Ａ
１ ア （イ） ～Ｑ ５アＭＰＰ
２ア （ウ） Ｑ ６アＭＰＰ
１２ア （エ） Ｑ＆～Ｑ ウイ＆Ｉ
１ ア （オ）～（Ｐ⇔ Ｑ） ２エＲＡＡ
カ（カ） ～Ｐ Ａ
１ カ（キ） ～～Ｑ ７カＭＴＴ
２ カ（ク） ～Ｑ ８カＭＴＴ
１２ カ（ケ） ～～Ｑ＆～Ｑ キク＆Ｉ
１ カ（コ）～（Ｐ⇔ Ｑ） ２ケＲＡＡ
１ （サ）～（Ｐ⇔ Ｑ） ９アオカコ∨Ｅ
従って、
（08）により、
（09）
果たして、
② ～（Ｐ⇔ Ｑ）
④ Ｐ⇔～Ｑ
に於いて、
②＝④ である。
従って、
（05）（09）により、
（10）
② ～（Ｐ⇔ Ｑ）
③ （Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｑ＆～Ｐ）
④ Ｐ⇔～Ｑ
といふ「論理式」に於いて、
②＝③＝④ であって、これは３つとも、「排他的選言」である。
従って、
（10）により、
（11）
②（ＰとＱが、同時に真になることも、同時に偽になることも）無い。
③（Ｐであって、Ｑでない）か、または（Ｑであって、Ｐでない）。
④（Ｐである）といふことは（Ｑでない）といふことに「等しい」。
といふ「論理式」に於いて、
②＝③＝④ であって、これは３つとも、「排他的選言」である。
然るに、
（12）
②（ＰとＱが、同時に真になることも、同時に偽になることも）無い。
③（Ｐであって、Ｑでない）か、または（Ｑであって、Ｐでない）。
④（Ｐである）といふことは（Ｑでない）といふことに「等しい」。
に於いて、
②＝③ であることは、「分かり易い」が、
②＝④ であることは、「分かり難い」。
然るに、
（13）
④ Ｐ⇔～Ｑ
⑤（Ｐ→～Ｑ）＆（～Ｑ→Ｐ）
に於いて、
④＝⑤ である。
従って、
（01）～（13）により、
（14）
④「排他的命題」としての、
④（Ｐである）といふことは（Ｑでない）といふことに「等しい」。
といふ「日本語」は、「分かり難い」が、「命題計算」の際には、
④「排他的命題」としての、
④ Ｐ⇔～Ｑ
といふ「論理式」は、「極めて、便利である」。
令和５年１１月２７日、毛利太。
① Ｐ∨Ｑ
② ～（Ｐ⇔Ｑ）
といふ「論理式」は、それぞれ、
① Ｐであるか、Ｑであるか、または、両方である。
②（ＰとＱが、同時に真になることも、同時に偽になることも）無い。
といふ「意味」である。
然るに、
（02）
②（ＰとＱが、同時に真になることも、同時に偽になることも）無い。
といふことは、
② Ｐであるか、Ｑであるが、ただし、両方ではない。
といふ「意味」である。
従って、
（01）（02）により、
（03）
① Ｐ∨Ｑ
② ～（Ｐ⇔Ｑ）
といふ「論理式」は、それぞれ、
① Ｐであるか、Ｑであるか、または、両方である。
② Ｐであるか、Ｑであるが、ただし、両方ではない。
といふ「意味」であって、この場合、
① を、「両立的選言」と言ひ、
② を、「排他的選言」と言ふ。
然るに、
（04）
（ⅱ）
１ （１） ～（Ｐ⇔Ｑ） Ａ
１ （２）～｛（Ｐ→Ｑ）＆ （Ｑ→Ｐ）｝ １Ｄｆ.⇔
１ （３） ～（Ｐ→Ｑ）∨～（Ｑ→Ｐ） ２ド・モルガンの法則
４ （４） ～（Ｐ→Ｑ） Ａ
４ （５）～（～Ｐ∨Ｑ） ４含意の定義
４ （６） （Ｐ＆～Ｑ） ５ド・モルガンの法則
４ （７） （Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｑ＆～Ｐ） ６∨Ｉ
８（８） ～（Ｑ→Ｐ） Ａ
８（９） ～（～Ｑ∨Ｐ） ８含意の定義
８（ア） Ｑ＆～Ｐ ９ド・モルガンの法則
８（イ） （Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｑ＆～Ｐ） ア∨Ｉ
１ （ウ） （Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｑ＆～Ｐ） ３４７８イ∨Ｅ
（ⅲ）
１ （１） （Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｑ＆～Ｐ） Ａ
２ （２） （Ｐ＆～Ｑ） Ａ
２ （３）～（～Ｐ∨Ｑ） ２ド・モルガンの法則
２ （４） ～（Ｐ→Ｑ） ３含意の定義
２ （５） ～（Ｐ→Ｑ）∨～（Ｑ→Ｐ） ４∨Ｉ
６（６） Ｑ＆～Ｐ Ａ
６（７） ～（～Ｑ∨Ｐ） ６ド・モルガンの法則
６（８） ～（Ｑ→Ｐ） ７含意の定義
６（９） ～（Ｐ→Ｑ）∨～（Ｑ→Ｐ） ８∨Ｉ
１ （ア） ～（Ｐ→Ｑ）∨～（Ｑ→Ｐ） １２５６９∨Ｅ
１ （イ）～｛（Ｐ→Ｑ）＆ （Ｑ→Ｐ）｝ ア、ド・モルガンの法則
１ （ウ） ～（Ｐ⇔Ｑ） イＤｆ．⇔
従って、
（04）により、
（05）
② ～（Ｐ⇔Ｑ）
③ （Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｑ＆～Ｐ）
に於いて、
②＝③ である。
然るに、
（06）
『岩波書店、クワイン 論理学の方法、１９６１年、１１頁』を見ると、
③（Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｑ＆～Ｐ）
④ Ｐ⇔～Ｑ
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（05）（06）により、
（07）
② ～（Ｐ⇔ Ｑ）
④ Ｐ⇔～Ｑ
に於いて、
②＝④ である。
然るに、
（08）
（ⅱ）
１ （１） ～（Ｐ⇔ Ｑ） Ａ
１ （２）～｛（Ｐ→ Ｑ）＆ （ Ｑ→Ｐ）｝ １Ｄｆ.⇔
１ （３） ～（Ｐ→ Ｑ）∨～（ Ｑ→Ｐ） ２ド・モルガンの法則
４ （４） ～（Ｐ→ Ｑ） Ａ
４ （５） ～（～Ｐ∨Ｑ） ４含意の定義
４ （６） Ｐ＆～Ｑ ５ド・モルガンの法則
４ （７） （Ｐ＆～Ｑ）∨ （Ｑ＆～Ｐ） ６∨Ｉ
８ （８） ～（ Ｑ→Ｐ） Ａ
８ （９） ～（～Ｑ∨Ｐ） ８含意の定義
８ （ア） （Ｑ＆～Ｐ） ９ド・モルガンの法則
８ （イ） （Ｐ＆～Ｑ）∨ （Ｑ＆～Ｐ） ア∨Ｉ
１ （ウ） （Ｐ＆～Ｑ）∨ （Ｑ＆～Ｐ） １４７８イ∨Ｅ
エ （エ） ～（Ｐ⇔～Ｑ） Ａ
エ （オ）～｛（Ｐ→～Ｑ）＆ （～Ｑ→Ｐ）｝ エＤｆ.⇔
エ （カ） ～（Ｐ→～Ｑ）∨～（～Ｑ→Ｐ） オ、ド・モルガンの法則
キ （キ） ～（Ｐ→～Ｑ） Ａ
キ （ク）～（～Ｐ∨～Ｑ） キ含意の定義
キ （ケ） （Ｐ＆ Ｑ） ク、ド・モルガンの法則
キ （コ） （Ｐ＆ Ｑ）∨（～Ｑ＆～Ｐ） ケ∨Ｉ
サ （サ） ～（～Ｑ→Ｐ） Ａ
サ （シ） ～（Ｑ∨ Ｐ） サ含意の定義
サ （ス） （～Ｑ＆～Ｐ） シ、ド・モルガンの法則
サ （セ） （Ｐ＆ Ｑ）∨（～Ｑ＆～Ｐ） ス∨Ｉ
エ （ソ） （Ｐ＆ Ｑ）∨（～Ｑ＆～Ｐ） エキコサセ∨Ｅ
タ （タ） （Ｐ＆～Ｑ） Ａ
チ （チ） （Ｐ＆ Ｑ） Ａ
タ （ツ） ～Ｑ タ＆Ｅ
チ （テ） Ｑ チ＆Ｅ
タチ （ト） ～Ｑ＆Ｑ ツテ＆Ｉ
チ （ナ） ～（Ｐ＆～Ｑ） タトＲＡＡ
ニ （ニ） （～Ｑ＆～Ｐ） Ａ
タ （ヌ） Ｐ タ＆Ｅ
ニ （ネ） ～Ｐ ニ＆Ｅ
タ ニ （ノ） Ｐ＆～Ｐ ヌネ＆Ｉ
ニ （ハ） ～（Ｐ＆～Ｑ） タノＲＡＡ
エ （ヒ） ～（Ｐ＆～Ｑ） ソチナニハ∨Ｅ
フ （フ） （Ｑ＆～Ｐ） Ａ
ヘ （ヘ） （Ｐ＆ Ｑ） Ａ
フ （ホ） ～Ｐ フ＆Ｅ
ヘ （マ） Ｐ ヘ＆Ｅ
フヘ （ミ） Ｐ＆～Ｑ ホマ＆Ｉ
ヘ （ム） ～（Ｑ＆～Ｐ） フミＲＡＡ
メ （メ） （～Ｑ＆～Ｐ） Ａ
フ （モ） Ｑ フ＆Ｅ
メ （ヤ） ～Ｑ メ＆Ｅ
フ メ （ユ） Ｑ＆～Ｑ モヤ＆Ｉ
メ （ヨ） ～（Ｑ＆～Ｐ） フユＲＡＡ
エ （ラ） ～（Ｑ＆～Ｐ） ソヘムメヨＲＡＡ
リ （リ） （Ｐ＆～Ｑ） Ａ
エ リ （ル） ～（Ｐ＆～Ｑ）＆ （Ｐ＆～Ｑ） ヒリ＆Ｉ
リ （レ）～～（Ｐ⇔～Ｑ） エルＲＡＡ
ロ（ロ） （Ｑ＆～Ｐ） Ａ
エ ロ（ワ） ～（Ｑ＆～Ｐ）＆ （Ｑ＆～Ｐ） ラロ＆Ｉ
ロ（ヲ）～～（Ｐ⇔～Ｑ） エワＲＡＡ
１ （ン）～～（Ｐ⇔～Ｑ） ウリレロヲ∨Ｅ
１ （あ） Ｐ⇔～Ｑ ンＤＮ
（ⅳ）
１ （１） Ｐ⇔～Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ⇔ Ｑ Ａ
１ （３） （Ｐ→～Ｑ）＆（～Ｑ→Ｐ） １Ｄｆ.⇔
２ （４） （Ｐ→ Ｑ）＆（ Ｑ→Ｐ） ２Ｄｆ.⇔
１ （５） Ｐ→～Ｑ ３＆Ｅ
２ （６） Ｐ→ Ｑ ４＆Ｅ
１ （７） ～Ｑ→Ｐ ３＆Ｅ
２ （８） Ｑ→Ｐ ４＆Ｅ
（９） Ｐ∨～Ｐ 排中律
ア （ア） Ｐ Ａ
１ ア （イ） ～Ｑ ５アＭＰＰ
２ア （ウ） Ｑ ６アＭＰＰ
１２ア （エ） Ｑ＆～Ｑ ウイ＆Ｉ
１ ア （オ）～（Ｐ⇔ Ｑ） ２エＲＡＡ
カ（カ） ～Ｐ Ａ
１ カ（キ） ～～Ｑ ７カＭＴＴ
２ カ（ク） ～Ｑ ８カＭＴＴ
１２ カ（ケ） ～～Ｑ＆～Ｑ キク＆Ｉ
１ カ（コ）～（Ｐ⇔ Ｑ） ２ケＲＡＡ
１ （サ）～（Ｐ⇔ Ｑ） ９アオカコ∨Ｅ
従って、
（08）により、
（09）
果たして、
② ～（Ｐ⇔ Ｑ）
④ Ｐ⇔～Ｑ
に於いて、
②＝④ である。
従って、
（05）（09）により、
（10）
② ～（Ｐ⇔ Ｑ）
③ （Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｑ＆～Ｐ）
④ Ｐ⇔～Ｑ
といふ「論理式」に於いて、
②＝③＝④ であって、これは３つとも、「排他的選言」である。
従って、
（10）により、
（11）
②（ＰとＱが、同時に真になることも、同時に偽になることも）無い。
③（Ｐであって、Ｑでない）か、または（Ｑであって、Ｐでない）。
④（Ｐである）といふことは（Ｑでない）といふことに「等しい」。
といふ「論理式」に於いて、
②＝③＝④ であって、これは３つとも、「排他的選言」である。
然るに、
（12）
②（ＰとＱが、同時に真になることも、同時に偽になることも）無い。
③（Ｐであって、Ｑでない）か、または（Ｑであって、Ｐでない）。
④（Ｐである）といふことは（Ｑでない）といふことに「等しい」。
に於いて、
②＝③ であることは、「分かり易い」が、
②＝④ であることは、「分かり難い」。
然るに、
（13）
④ Ｐ⇔～Ｑ
⑤（Ｐ→～Ｑ）＆（～Ｑ→Ｐ）
に於いて、
④＝⑤ である。
従って、
（01）～（13）により、
（14）
④「排他的命題」としての、
④（Ｐである）といふことは（Ｑでない）といふことに「等しい」。
といふ「日本語」は、「分かり難い」が、「命題計算」の際には、
④「排他的命題」としての、
④ Ｐ⇔～Ｑ
といふ「論理式」は、「極めて、便利である」。
令和５年１１月２７日、毛利太。
2023年11月19日日曜日
「恒真式（トートロジー）」と「実質含意のパラドックス」。
（01）
（ⅰ）
１（１）Ｐ Ａ
（２）Ｐ→Ｐ １１ＣＰ
（ⅱ）
１ （１） ～（Ｐ∨～Ｐ） Ａ
２（２） Ｐ Ａ
２（３） Ｐ∨～Ｐ ２∨Ｉ
１２（４） ～（Ｐ∨～Ｐ）＆
（Ｐ∨～Ｐ） １３＆Ｉ
１ （５） ～Ｐ ２４ＲＡＡ
１ （６） Ｐ∨～Ｐ ５∨Ｉ
１ （７） ～（Ｐ∨～Ｐ）＆
（Ｐ∨～Ｐ） １６＆Ｉ
（８）～～（Ｐ∨～Ｐ） １７ＲＡＡ
（９） Ｐ∨～Ｐ
（ⅲ）
１（１） Ｐ＆～Ｐ Ａ
（２）～（Ｐ＆～Ｐ） １１ＲＡＡ
（ⅳ）
１（１） Ｐ＆～Ｐ Ａ
（２）～（Ｐ＆～Ｐ） １１ＲＡＡ
（３）～（Ｐ＆～Ｐ）∨Ｑ ２∨Ｉ
（４） （Ｐ＆～Ｐ）→Ｑ ３含意の定義
従って、
（01）により、
（02）
① Ｐ→ Ｐ
② Ｐ∨～Ｐ
③ ～（Ｐ＆～Ｐ）
④ （Ｐ＆～Ｐ）→Ｑ
といふ「論理式」、すなはち、
① Ｐならば、Ｐである（同一律）。
② Ｐであるか、または、Ｐでない（排中律）。
③ Ｐであって、Ｐでない、といふことはない（矛盾律）。
④ Ｐであって、Ｐでない、ならば、Ｑである。
といふ「論理式」は、４つとも「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（03）
④（Ｐ＆～Ｐ）→Ｑ
といふ「論理式」が「恒真式式（トートロジー）」である。
といふことは、
④『矛盾』が「真」であるならば、「任意の命題」は「真」である。
といふことを、「意味」してゐる。
然るに、
（04）
④『矛盾』が「真」であるならば、「任意の命題」は「真」である。
としても、
④『矛盾』は「偽」であって、「真」ではない。
従って、
（04）により、
（05）
④『矛盾』が「真」であるならば、「任意の命題」は「真」である。
としても、
（１）（Ｐ＆～Ｐ）→Ｑ
２（２）（Ｐ＆～Ｐ） Ａ
２（３） Ｑ １２ＭＰＰ
といふ「推論」は、『妥当』ではない。
従って、
（05）により、
（06）
例へば、
③（２が偶数であって、２が奇数である）ならば、（徳島県は四国である）。
④（３が奇数であって、３が偶数である）ならば、（香川県は九州である）。
といふ「命題」は、２つとも、「恒真式（トートロジー）」であるが、
③（徳島県は四国である）といふ「命題」は「真」であって、
④（香川県は九州である）といふ「命題」は「偽」である。
然るに、
（07）
③（２が偶数であって、２が奇数である）ならば、（徳島県は四国である）。
④（３が奇数であって、３が偶数である）ならば、（香川県は九州である）。
といふ「仮言命題」が「真」であることは、『真理表（truth-table）』からも、「確認」出来る。
（08）
といふよりも、
①「真」ならば「真」である（は真）。
②「真」ならば「偽」である（は偽）。
③「偽」ならば「真」である（は真）。
④「偽」ならば「偽」である（は真）。
といふ『真理表（truth-table）』に於いて、
② だけが「偽」であるからこそ、
③（２が偶数であって、２が奇数である）ならば、（徳島県は四国である）。
④（３が奇数であって、３が偶数である）ならば、（香川県は九州である）。
といふ「仮言命題」は、「真」になる。
といふ方が、「正しい」。
従って、
（09）
③（２が偶数であって、２が奇数である）ならば、（徳島県は四国である）。
④（３が奇数であって、３が偶数である）ならば、（香川県は九州である）。
といふ「仮言命題」は、「偽」である。
とするのであれば、『真理表（truth-table）』そのものを、
①「真」ならば「真」である（は真）。
②「真」ならば「偽」である（は偽）。
③「偽」ならば「真」である（は偽）。
④「偽」ならば「偽」である（は偽）。
といふ風に、『書き換へ』る、「必要」がある。
然るに、
（09）により、
（10）
そうすると、その場合は、
① Ｐ＆Ｑ（Ｐであって、Ｑである）。
② Ｐ→Ｑ（Ｐならば、 Ｑである）。
に於いて、
①＝② であるが、
そのやうなことは、「有り得ない」。
令和５年１１月２０日、毛利太。
（ⅰ）
１（１）Ｐ Ａ
（２）Ｐ→Ｐ １１ＣＰ
（ⅱ）
１ （１） ～（Ｐ∨～Ｐ） Ａ
２（２） Ｐ Ａ
２（３） Ｐ∨～Ｐ ２∨Ｉ
１２（４） ～（Ｐ∨～Ｐ）＆
（Ｐ∨～Ｐ） １３＆Ｉ
１ （５） ～Ｐ ２４ＲＡＡ
１ （６） Ｐ∨～Ｐ ５∨Ｉ
１ （７） ～（Ｐ∨～Ｐ）＆
（Ｐ∨～Ｐ） １６＆Ｉ
（８）～～（Ｐ∨～Ｐ） １７ＲＡＡ
（９） Ｐ∨～Ｐ
（ⅲ）
１（１） Ｐ＆～Ｐ Ａ
（２）～（Ｐ＆～Ｐ） １１ＲＡＡ
（ⅳ）
１（１） Ｐ＆～Ｐ Ａ
（２）～（Ｐ＆～Ｐ） １１ＲＡＡ
（３）～（Ｐ＆～Ｐ）∨Ｑ ２∨Ｉ
（４） （Ｐ＆～Ｐ）→Ｑ ３含意の定義
従って、
（01）により、
（02）
① Ｐ→ Ｐ
② Ｐ∨～Ｐ
③ ～（Ｐ＆～Ｐ）
④ （Ｐ＆～Ｐ）→Ｑ
といふ「論理式」、すなはち、
① Ｐならば、Ｐである（同一律）。
② Ｐであるか、または、Ｐでない（排中律）。
③ Ｐであって、Ｐでない、といふことはない（矛盾律）。
④ Ｐであって、Ｐでない、ならば、Ｑである。
といふ「論理式」は、４つとも「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（03）
④（Ｐ＆～Ｐ）→Ｑ
といふ「論理式」が「恒真式式（トートロジー）」である。
といふことは、
④『矛盾』が「真」であるならば、「任意の命題」は「真」である。
といふことを、「意味」してゐる。
然るに、
（04）
④『矛盾』が「真」であるならば、「任意の命題」は「真」である。
としても、
④『矛盾』は「偽」であって、「真」ではない。
従って、
（04）により、
（05）
④『矛盾』が「真」であるならば、「任意の命題」は「真」である。
としても、
（１）（Ｐ＆～Ｐ）→Ｑ
２（２）（Ｐ＆～Ｐ） Ａ
２（３） Ｑ １２ＭＰＰ
といふ「推論」は、『妥当』ではない。
従って、
（05）により、
（06）
例へば、
③（２が偶数であって、２が奇数である）ならば、（徳島県は四国である）。
④（３が奇数であって、３が偶数である）ならば、（香川県は九州である）。
といふ「命題」は、２つとも、「恒真式（トートロジー）」であるが、
③（徳島県は四国である）といふ「命題」は「真」であって、
④（香川県は九州である）といふ「命題」は「偽」である。
然るに、
（07）
③（２が偶数であって、２が奇数である）ならば、（徳島県は四国である）。
④（３が奇数であって、３が偶数である）ならば、（香川県は九州である）。
といふ「仮言命題」が「真」であることは、『真理表（truth-table）』からも、「確認」出来る。
（08）
といふよりも、
①「真」ならば「真」である（は真）。
②「真」ならば「偽」である（は偽）。
③「偽」ならば「真」である（は真）。
④「偽」ならば「偽」である（は真）。
といふ『真理表（truth-table）』に於いて、
② だけが「偽」であるからこそ、
③（２が偶数であって、２が奇数である）ならば、（徳島県は四国である）。
④（３が奇数であって、３が偶数である）ならば、（香川県は九州である）。
といふ「仮言命題」は、「真」になる。
といふ方が、「正しい」。
従って、
（09）
③（２が偶数であって、２が奇数である）ならば、（徳島県は四国である）。
④（３が奇数であって、３が偶数である）ならば、（香川県は九州である）。
といふ「仮言命題」は、「偽」である。
とするのであれば、『真理表（truth-table）』そのものを、
①「真」ならば「真」である（は真）。
②「真」ならば「偽」である（は偽）。
③「偽」ならば「真」である（は偽）。
④「偽」ならば「偽」である（は偽）。
といふ風に、『書き換へ』る、「必要」がある。
然るに、
（09）により、
（10）
そうすると、その場合は、
① Ｐ＆Ｑ（Ｐであって、Ｑである）。
② Ｐ→Ｑ（Ｐならば、 Ｑである）。
に於いて、
①＝② であるが、
そのやうなことは、「有り得ない」。
令和５年１１月２０日、毛利太。
「ならば（実質含意のパラドックス）」は難しい。
（01）
論理１－４ 「ならば」は難しい（東大医学部(理３)の解説動画）
従って、
（01）により、
（02）
①「真」ならば、「真」である。
②「真」ならば、「偽」である。
③「偽」ならば、「真」である。
④「偽」ならば、「偽」である。
といふ「仮言命題（ＰならばＱである）」に於いて、
① は「真」であり、
② は「偽」であり、
③ は「真」であり、
④ は「真」である。
然るに、
（03）
『矛盾』は「真」ではなく、
『矛盾』は「偽」である。
然るに、
（04）
「任意の命題」は「真」であるか、または、
「任意の命題」は「偽」である。
従って、
（02）（03）（04）により、
（05）
①「真」ならば、「真」である。
②「真」ならば、「偽」である。
③「偽」ならば、「真」である。
④「偽」ならば、「偽」である。
といふ「仮言命題（ＰならばＱである）」に於いて、
① は「真」であり、
② は「偽」であり、
③ は「真」であり、
④ は「真」である。
といふことは、
①『矛盾』が「真」であるならば、「任意の命題」は「真」である。
といふ「命題」は、「恒真式（トートロジー）」である。
といふことに、「他ならない」。
然るに、
（06）
①『矛盾』が「真」であるならば、「任意の命題」は「真」である。
といふ「命題」は、「恒真式（トートロジー）」である。
といふことは、
① ～Ｐ＆Ｐ→Ｑ
といふ「論理式」が、恒真式（トートロジー）」である。
といふことに、「他ならない」。
（07）
（ⅰ）
１ （１） Ｐ∨ Ｑ Ａ
２ （２） ～Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （３） Ｐ Ａ
２ （４） ～Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） Ｐ＆～Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（～Ｐ＆～Ｑ） ２５ＲＡＡ
７ （７） Ｑ Ａ
２ （８） ～Ｑ ２＆Ｅ
２ ７ （９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
７ （ア）～（～Ｐ＆～Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（～Ｐ＆～Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
ウ （ウ） ～Ｐ Ａ
エ（エ） ～Ｑ Ａ
ウエ（オ） ～Ｐ＆～Ｑ ウエ＆Ｉ
１ ウエ（カ）～（～Ｐ＆～Ｑ）＆
（～Ｐ＆～Ｑ） イオ＆Ｉ
１ ウ （キ） ～～Ｑ エカＲＡＡ
１ ウ （ク） Ｑ キＤＮ
１ （ケ） ～Ｐ→ Ｑ ウクＣ～Ｐ
（ⅱ）
１ （１） ～Ｐ→ Ｑ Ａ
２ （２） ～Ｐ＆～Ｑ Ａ
２ （３） ～Ｐ ２＆Ｅ
１２ （４） Ｑ １３ＭＰＰ
２ （５） ～Ｑ ２＆Ｅ
１２ （６） Ｑ＆～Ｑ ４５＆Ｉ
１ （７）～（～Ｐ＆～Ｑ） ２６ＲＡＡ
８ （８） ～（Ｐ∨ Ｑ） Ａ
９ （９） Ｐ Ａ
９ （ア） Ｐ∨ Ｑ ９∨I
８９ （イ） ～（Ｐ∨ Ｑ）＆
（Ｐ∨ Ｑ） ８ア＆Ｉ
８ （ウ） ～Ｐ ９イＲＡＡ
エ（エ） Ｑ Ａ
エ（オ） Ｐ∨ Ｑ エ∨Ｉ
８ エ（カ） ～（Ｐ∨ Ｑ）＆
（Ｐ∨ Ｑ） ８オ∨Ｉ
８ （キ） ～Ｑ エカＲＡＡ
８ （ク） ～Ｐ＆～Ｑ オキ＆Ｉ
１ ８ （ケ）～（～Ｐ＆～Ｑ）＆
（～Ｐ＆～Ｑ） ７ク＆Ｉ
１ （コ）～～（Ｐ∨ Ｑ） ８ケＲＡＡ
１ （サ） Ｐ∨ Ｑ コＤＮ
従って、
（07）により、
（08）
① Ｐ∨Ｑ
② ～Ｐ→Ｑ
に於いて、すなはち、
① Ｐであるか、または、Ｑである。
② Ｐでないならば、 Ｑである。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（08）により、
（09）
① ～Ｐ∨Ｑ
② ～～Ｐ→Ｑ
に於いて、
①＝② である。
従って、
（09）により、
（10）
「二重否定律（ＤＮ）」により、
① ～Ｐ∨Ｑ
② Ｐ→Ｑ
に於いて、
①＝② である（含意の定義）。
然るに、
（11）
１ （１）～Ｐ Ａ
１ （２）～Ｐ∨Ｑ １∨Ｉ
１ （３） Ｐ→Ｑ ２含意の定義
（４）～Ｐ→（Ｐ→Ｑ） １３ＣＰ
５（５）～Ｐ＆ Ｐ Ａ
５（６）～Ｐ ５＆Ｅ
５（７） Ｐ→Ｑ ４６ＭＰＰ
５（８） Ｐ ５＆Ｅ
５（９） Ｑ ７８ＭＰＰ
（ア） ～Ｐ＆Ｐ→Ｑ ５９ＣＰ
従って、
（06）（11）により、
（12）
果たして、
①『矛盾』が「真」であるならば、「任意の命題」は「真」である。
といふ「命題」、すなはち、
① ～Ｐ＆Ｐ→Ｑ
といふ「論理式」は、恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（12）により、
（13）
例へば、
①（２が偶数であって、２が奇数である）ならば、（徳島県は四国である）。
②（３が奇数であって、３が偶数である）ならば、（新潟県は九州である）。
といふ「命題」は、両方とも、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（14）
②（３が奇数であって、３が偶数である）ならば、（新潟県は九州である）。
といふ「命題」が「真」であったとしても、
②（３が奇数であって、３が偶数である）。
といふ『矛盾』は「偽」であるため、
②（新潟県は九州である）。
といふことには、ならない。
然るに、
（15）
①（２が偶数であって、２が奇数である）ならば、（徳島県は四国である）。
②（３が奇数であって、３が偶数である）ならば、（新潟県は九州である）。
といふ「命題」は、両方とも、「恒真式（トートロジー）」である。
といふことは、「常識的」には、『極めて、変』である。
然るに、
（02）（11）（15）により、
（16）
①「真」ならば、「真」である。
②「真」ならば、「偽」である。
③「偽」ならば、「真」である。
④「偽」ならば、「偽」である。
といふ「仮言命題（ＰならばＱである）」に於いて、
① は「真」であり、
② は「偽」であり、
③ は「真」であり、
④ は「真」である。
とする以上、
①『矛盾』が「真」であるならば、「任意の命題」は「真」である。
といふ「命題」、すなはち、
① ～Ｐ＆Ｐ→Ｑ
といふ「論理式」は、恒真式（トートロジー）」である。
といふことに、ならざるを得ないし、
① ～Ｐ＆Ｐ→Ｑ
といふ「論理式」が、恒真式（トートロジー）」である以上、例へば、
①（２が偶数であって、２が奇数である）ならば、（徳島県は四国である）。
②（３が奇数であって、３が偶数である）ならば、（新潟県は九州である）。
といふ「命題」は、両方とも、「恒真式（トートロジー）」である。
といふことに、ならざるを得ないし、このこと、他を、『実質含意のパラドックス』と言ふ。
令和５年１１月１９日、毛利太。
（01）により、
（02）
①「真」ならば、「真」である。
②「真」ならば、「偽」である。
③「偽」ならば、「真」である。
④「偽」ならば、「偽」である。
といふ「仮言命題（ＰならばＱである）」に於いて、
① は「真」であり、
② は「偽」であり、
③ は「真」であり、
④ は「真」である。
然るに、
（03）
『矛盾』は「真」ではなく、
『矛盾』は「偽」である。
然るに、
（04）
「任意の命題」は「真」であるか、または、
「任意の命題」は「偽」である。
従って、
（02）（03）（04）により、
（05）
①「真」ならば、「真」である。
②「真」ならば、「偽」である。
③「偽」ならば、「真」である。
④「偽」ならば、「偽」である。
といふ「仮言命題（ＰならばＱである）」に於いて、
① は「真」であり、
② は「偽」であり、
③ は「真」であり、
④ は「真」である。
といふことは、
①『矛盾』が「真」であるならば、「任意の命題」は「真」である。
といふ「命題」は、「恒真式（トートロジー）」である。
といふことに、「他ならない」。
然るに、
（06）
①『矛盾』が「真」であるならば、「任意の命題」は「真」である。
といふ「命題」は、「恒真式（トートロジー）」である。
といふことは、
① ～Ｐ＆Ｐ→Ｑ
といふ「論理式」が、恒真式（トートロジー）」である。
といふことに、「他ならない」。
（07）
（ⅰ）
１ （１） Ｐ∨ Ｑ Ａ
２ （２） ～Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （３） Ｐ Ａ
２ （４） ～Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） Ｐ＆～Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（～Ｐ＆～Ｑ） ２５ＲＡＡ
７ （７） Ｑ Ａ
２ （８） ～Ｑ ２＆Ｅ
２ ７ （９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
７ （ア）～（～Ｐ＆～Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（～Ｐ＆～Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
ウ （ウ） ～Ｐ Ａ
エ（エ） ～Ｑ Ａ
ウエ（オ） ～Ｐ＆～Ｑ ウエ＆Ｉ
１ ウエ（カ）～（～Ｐ＆～Ｑ）＆
（～Ｐ＆～Ｑ） イオ＆Ｉ
１ ウ （キ） ～～Ｑ エカＲＡＡ
１ ウ （ク） Ｑ キＤＮ
１ （ケ） ～Ｐ→ Ｑ ウクＣ～Ｐ
（ⅱ）
１ （１） ～Ｐ→ Ｑ Ａ
２ （２） ～Ｐ＆～Ｑ Ａ
２ （３） ～Ｐ ２＆Ｅ
１２ （４） Ｑ １３ＭＰＰ
２ （５） ～Ｑ ２＆Ｅ
１２ （６） Ｑ＆～Ｑ ４５＆Ｉ
１ （７）～（～Ｐ＆～Ｑ） ２６ＲＡＡ
８ （８） ～（Ｐ∨ Ｑ） Ａ
９ （９） Ｐ Ａ
９ （ア） Ｐ∨ Ｑ ９∨I
８９ （イ） ～（Ｐ∨ Ｑ）＆
（Ｐ∨ Ｑ） ８ア＆Ｉ
８ （ウ） ～Ｐ ９イＲＡＡ
エ（エ） Ｑ Ａ
エ（オ） Ｐ∨ Ｑ エ∨Ｉ
８ エ（カ） ～（Ｐ∨ Ｑ）＆
（Ｐ∨ Ｑ） ８オ∨Ｉ
８ （キ） ～Ｑ エカＲＡＡ
８ （ク） ～Ｐ＆～Ｑ オキ＆Ｉ
１ ８ （ケ）～（～Ｐ＆～Ｑ）＆
（～Ｐ＆～Ｑ） ７ク＆Ｉ
１ （コ）～～（Ｐ∨ Ｑ） ８ケＲＡＡ
１ （サ） Ｐ∨ Ｑ コＤＮ
従って、
（07）により、
（08）
① Ｐ∨Ｑ
② ～Ｐ→Ｑ
に於いて、すなはち、
① Ｐであるか、または、Ｑである。
② Ｐでないならば、 Ｑである。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（08）により、
（09）
① ～Ｐ∨Ｑ
② ～～Ｐ→Ｑ
に於いて、
①＝② である。
従って、
（09）により、
（10）
「二重否定律（ＤＮ）」により、
① ～Ｐ∨Ｑ
② Ｐ→Ｑ
に於いて、
①＝② である（含意の定義）。
然るに、
（11）
１ （１）～Ｐ Ａ
１ （２）～Ｐ∨Ｑ １∨Ｉ
１ （３） Ｐ→Ｑ ２含意の定義
（４）～Ｐ→（Ｐ→Ｑ） １３ＣＰ
５（５）～Ｐ＆ Ｐ Ａ
５（６）～Ｐ ５＆Ｅ
５（７） Ｐ→Ｑ ４６ＭＰＰ
５（８） Ｐ ５＆Ｅ
５（９） Ｑ ７８ＭＰＰ
（ア） ～Ｐ＆Ｐ→Ｑ ５９ＣＰ
従って、
（06）（11）により、
（12）
果たして、
①『矛盾』が「真」であるならば、「任意の命題」は「真」である。
といふ「命題」、すなはち、
① ～Ｐ＆Ｐ→Ｑ
といふ「論理式」は、恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（12）により、
（13）
例へば、
①（２が偶数であって、２が奇数である）ならば、（徳島県は四国である）。
②（３が奇数であって、３が偶数である）ならば、（新潟県は九州である）。
といふ「命題」は、両方とも、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（14）
②（３が奇数であって、３が偶数である）ならば、（新潟県は九州である）。
といふ「命題」が「真」であったとしても、
②（３が奇数であって、３が偶数である）。
といふ『矛盾』は「偽」であるため、
②（新潟県は九州である）。
といふことには、ならない。
然るに、
（15）
①（２が偶数であって、２が奇数である）ならば、（徳島県は四国である）。
②（３が奇数であって、３が偶数である）ならば、（新潟県は九州である）。
といふ「命題」は、両方とも、「恒真式（トートロジー）」である。
といふことは、「常識的」には、『極めて、変』である。
然るに、
（02）（11）（15）により、
（16）
①「真」ならば、「真」である。
②「真」ならば、「偽」である。
③「偽」ならば、「真」である。
④「偽」ならば、「偽」である。
といふ「仮言命題（ＰならばＱである）」に於いて、
① は「真」であり、
② は「偽」であり、
③ は「真」であり、
④ は「真」である。
とする以上、
①『矛盾』が「真」であるならば、「任意の命題」は「真」である。
といふ「命題」、すなはち、
① ～Ｐ＆Ｐ→Ｑ
といふ「論理式」は、恒真式（トートロジー）」である。
といふことに、ならざるを得ないし、
① ～Ｐ＆Ｐ→Ｑ
といふ「論理式」が、恒真式（トートロジー）」である以上、例へば、
①（２が偶数であって、２が奇数である）ならば、（徳島県は四国である）。
②（３が奇数であって、３が偶数である）ならば、（新潟県は九州である）。
といふ「命題」は、両方とも、「恒真式（トートロジー）」である。
といふことに、ならざるを得ないし、このこと、他を、『実質含意のパラドックス』と言ふ。
令和５年１１月１９日、毛利太。
2023年11月18日土曜日
「実質含意のパラドックス」＝「ならば」は難しい。
（01）
（ⅰ）
１ （１） Ｐ∨ Ｑ Ａ
２ （２） ～Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （３） Ｐ Ａ
２ （４） ～Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） Ｐ＆～Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（～Ｐ＆～Ｑ） ２５ＲＡＡ
７ （７） Ｑ Ａ
２ （８） ～Ｑ ２＆Ｅ
２ ７ （９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
７ （ア）～（～Ｐ＆～Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（～Ｐ＆～Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
ウ （ウ） ～Ｐ Ａ
エ（エ） ～Ｑ Ａ
ウエ（オ） ～Ｐ＆～Ｑ ウエ＆Ｉ
１ ウエ（カ）～（～Ｐ＆～Ｑ）＆
（～Ｐ＆～Ｑ） イオ＆Ｉ
１ ウ （キ） ～～Ｑ エカＲＡＡ
１ ウ （ク） Ｑ キＤＮ
１ （ケ） ～Ｐ→ Ｑ ウクＣ～Ｐ
（ⅱ）
１ （１） ～Ｐ→ Ｑ Ａ
２ （２） ～Ｐ＆～Ｑ Ａ
２ （３） ～Ｐ ２＆Ｅ
１２ （４） Ｑ １３ＭＰＰ
２ （５） ～Ｑ ２＆Ｅ
１２ （６） Ｑ＆～Ｑ ４５＆Ｉ
１ （７）～（～Ｐ＆～Ｑ） ２６ＲＡＡ
８ （８） ～（Ｐ∨ Ｑ） Ａ
９ （９） Ｐ Ａ
９ （ア） Ｐ∨ Ｑ ９∨I
８９ （イ） ～（Ｐ∨ Ｑ）＆
（Ｐ∨ Ｑ） ８ア＆Ｉ
８ （ウ） ～Ｐ ９イＲＡＡ
エ（エ） Ｑ Ａ
エ（オ） Ｐ∨ Ｑ エ∨Ｉ
８ エ（カ） ～（Ｐ∨ Ｑ）＆
（Ｐ∨ Ｑ） ８オ∨Ｉ
８ （キ） ～Ｑ エカＲＡＡ
８ （ク） ～Ｐ＆～Ｑ オキ＆Ｉ
１ ８ （ケ）～（～Ｐ＆～Ｑ）＆
（～Ｐ＆～Ｑ） ７ク＆Ｉ
１ （コ）～～（Ｐ∨ Ｑ） ８ケＲＡＡ
１ （サ） Ｐ∨ Ｑ コＤＮ
従って、
（01）により、
（02）
① Ｐ∨Ｑ
② ～Ｐ→Ｑ
に於いて、すなはち、
① Ｐであるか、または、Ｑである。
② Ｐでないならば、 Ｑである。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（02）により、
（03）
Ｐ＝～Ｐ
といふ「代入（置き換へ）」により、
① ～Ｐ∨Ｑ
② ～～Ｐ→Ｑ
に於いて、
①＝② である。
従って、
（03）により、
（04）
～～Ｐ＝Ｐ
といふ「二重否定律」により、
① ～Ｐ∨Ｑ
② Ｐ→Ｑ
に於いて、
①＝② である（含意の定義）。
然るに、
（05）
１（１）～Ｐ Ａ
１（２）～Ｐ∨Ｑ １∨Ｉ
１（３） Ｐ→Ｑ ２含意の定義
（４）～Ｐ→（Ｐ→Ｑ） １３ＣＰ
従って、
（05）により、
（06）
③ ～Ｐ→（Ｐ→Ｑ）
といふ「命題」、すなはち、
③ Ｐでないならば（Ｐであるならば、Ｑである）。
といふ「命題」は、「恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（06）により、
（07）
Ｐ＝（徳島県は四国である）。
Ｑ＝（バカボンのパパは天才である）。
として、
③（徳島県が四国でない）ならば（徳島県が四国であるならば、バカボンのパパは天才である）。
といふ「命題」は、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（08）
１ （１）～Ｐ Ａ
１ （２）～Ｐ∨Ｑ １∨Ｉ
１ （３） Ｐ→Ｑ ２含意の定義
（４）～Ｐ→（Ｐ→Ｑ） １３ＣＰ
５（５）～Ｐ＆ Ｐ Ａ
５（６）～Ｐ ５＆Ｅ
５（７） Ｐ→Ｑ ４６ＭＰＰ
５（８） Ｐ ５＆Ｅ
５（９） Ｑ ７８ＭＰＰ
（ア） ～Ｐ＆Ｐ→Ｑ ５９ＣＰ
従って、
（08）により、
（09）
④ ～Ｐ＆Ｐ→Ｑ
といふ「命題」自体、すなはち、
④『矛盾』が「真」であるならば、「任意の命題」は「真」である。
といふ「命題」自体は、「恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（07）（08）（09）により、
（10）
④（徳島県が九州であって、徳島県が四国である）ならば（バカボンのパパは天才である）。
といふ「命題」自体は、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（11）
④（徳島県が九州であって、徳島県が四国である）。
といふ『矛盾』は、「偽」である。
従って、
（10）（11）により、
（12）
④（徳島県が九州であって、徳島県が四国である）ならば（バカボンのパパは天才である）。
といふ「命題」自体は、「恒真式（トートロジー）」であるとしても、
④（徳島県が九州であって、徳島県が四国である）。
といふ『矛盾』は、「偽」であるため、
④ バカボンのパパは天才である。
といふ「命題」の「真偽」は、「不明」である。
従って、
（12）により、
（13）
Ｐ＝（徳島県は九州であって、徳島県が四国である）。
Ｑ＝（バカボンのパパは天才である）。
として、
⑤ Ｐであるならば、Ｑである。
といふ「命題」自体は、「恒真式（トートロジー）」であるが、この場合は、
⑤ Ｑであるか、Ｑでないかは、「不明」である。
従って、
（13）により、
（14）
⑤ Ｐであるならば、Ｑである。
といふ「仮言命題」が「真」であって、
⑤ Ｐである。
といふ「前件」が「偽」である。
といふ「場合」は、
⑤ Ｑである。
といふ「後件」は、「真」であっても、「偽」であっても、「どちらでも、正しい」。
然るに、
（15）
⑤ Ｐ が「偽」であるならば、
⑤ Ｑ の「真偽」に「拘はらず」、
⑤ Ｐであるならば、Ｑである。
といふ「仮言命題」が「真」になることを、「実質含意のパラドックス」と言ふものの、
「古典論理」では、「実質含意のパラドックス」があるため、「ならば（→）」は「難しい」。
ｃｆ.
令和５年１１月１８日、毛利太。
（ⅰ）
１ （１） Ｐ∨ Ｑ Ａ
２ （２） ～Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （３） Ｐ Ａ
２ （４） ～Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） Ｐ＆～Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（～Ｐ＆～Ｑ） ２５ＲＡＡ
７ （７） Ｑ Ａ
２ （８） ～Ｑ ２＆Ｅ
２ ７ （９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
７ （ア）～（～Ｐ＆～Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（～Ｐ＆～Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
ウ （ウ） ～Ｐ Ａ
エ（エ） ～Ｑ Ａ
ウエ（オ） ～Ｐ＆～Ｑ ウエ＆Ｉ
１ ウエ（カ）～（～Ｐ＆～Ｑ）＆
（～Ｐ＆～Ｑ） イオ＆Ｉ
１ ウ （キ） ～～Ｑ エカＲＡＡ
１ ウ （ク） Ｑ キＤＮ
１ （ケ） ～Ｐ→ Ｑ ウクＣ～Ｐ
（ⅱ）
１ （１） ～Ｐ→ Ｑ Ａ
２ （２） ～Ｐ＆～Ｑ Ａ
２ （３） ～Ｐ ２＆Ｅ
１２ （４） Ｑ １３ＭＰＰ
２ （５） ～Ｑ ２＆Ｅ
１２ （６） Ｑ＆～Ｑ ４５＆Ｉ
１ （７）～（～Ｐ＆～Ｑ） ２６ＲＡＡ
８ （８） ～（Ｐ∨ Ｑ） Ａ
９ （９） Ｐ Ａ
９ （ア） Ｐ∨ Ｑ ９∨I
８９ （イ） ～（Ｐ∨ Ｑ）＆
（Ｐ∨ Ｑ） ８ア＆Ｉ
８ （ウ） ～Ｐ ９イＲＡＡ
エ（エ） Ｑ Ａ
エ（オ） Ｐ∨ Ｑ エ∨Ｉ
８ エ（カ） ～（Ｐ∨ Ｑ）＆
（Ｐ∨ Ｑ） ８オ∨Ｉ
８ （キ） ～Ｑ エカＲＡＡ
８ （ク） ～Ｐ＆～Ｑ オキ＆Ｉ
１ ８ （ケ）～（～Ｐ＆～Ｑ）＆
（～Ｐ＆～Ｑ） ７ク＆Ｉ
１ （コ）～～（Ｐ∨ Ｑ） ８ケＲＡＡ
１ （サ） Ｐ∨ Ｑ コＤＮ
従って、
（01）により、
（02）
① Ｐ∨Ｑ
② ～Ｐ→Ｑ
に於いて、すなはち、
① Ｐであるか、または、Ｑである。
② Ｐでないならば、 Ｑである。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（02）により、
（03）
Ｐ＝～Ｐ
といふ「代入（置き換へ）」により、
① ～Ｐ∨Ｑ
② ～～Ｐ→Ｑ
に於いて、
①＝② である。
従って、
（03）により、
（04）
～～Ｐ＝Ｐ
といふ「二重否定律」により、
① ～Ｐ∨Ｑ
② Ｐ→Ｑ
に於いて、
①＝② である（含意の定義）。
然るに、
（05）
１（１）～Ｐ Ａ
１（２）～Ｐ∨Ｑ １∨Ｉ
１（３） Ｐ→Ｑ ２含意の定義
（４）～Ｐ→（Ｐ→Ｑ） １３ＣＰ
従って、
（05）により、
（06）
③ ～Ｐ→（Ｐ→Ｑ）
といふ「命題」、すなはち、
③ Ｐでないならば（Ｐであるならば、Ｑである）。
といふ「命題」は、「恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（06）により、
（07）
Ｐ＝（徳島県は四国である）。
Ｑ＝（バカボンのパパは天才である）。
として、
③（徳島県が四国でない）ならば（徳島県が四国であるならば、バカボンのパパは天才である）。
といふ「命題」は、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（08）
１ （１）～Ｐ Ａ
１ （２）～Ｐ∨Ｑ １∨Ｉ
１ （３） Ｐ→Ｑ ２含意の定義
（４）～Ｐ→（Ｐ→Ｑ） １３ＣＰ
５（５）～Ｐ＆ Ｐ Ａ
５（６）～Ｐ ５＆Ｅ
５（７） Ｐ→Ｑ ４６ＭＰＰ
５（８） Ｐ ５＆Ｅ
５（９） Ｑ ７８ＭＰＰ
（ア） ～Ｐ＆Ｐ→Ｑ ５９ＣＰ
従って、
（08）により、
（09）
④ ～Ｐ＆Ｐ→Ｑ
といふ「命題」自体、すなはち、
④『矛盾』が「真」であるならば、「任意の命題」は「真」である。
といふ「命題」自体は、「恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（07）（08）（09）により、
（10）
④（徳島県が九州であって、徳島県が四国である）ならば（バカボンのパパは天才である）。
といふ「命題」自体は、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（11）
④（徳島県が九州であって、徳島県が四国である）。
といふ『矛盾』は、「偽」である。
従って、
（10）（11）により、
（12）
④（徳島県が九州であって、徳島県が四国である）ならば（バカボンのパパは天才である）。
といふ「命題」自体は、「恒真式（トートロジー）」であるとしても、
④（徳島県が九州であって、徳島県が四国である）。
といふ『矛盾』は、「偽」であるため、
④ バカボンのパパは天才である。
といふ「命題」の「真偽」は、「不明」である。
従って、
（12）により、
（13）
Ｐ＝（徳島県は九州であって、徳島県が四国である）。
Ｑ＝（バカボンのパパは天才である）。
として、
⑤ Ｐであるならば、Ｑである。
といふ「命題」自体は、「恒真式（トートロジー）」であるが、この場合は、
⑤ Ｑであるか、Ｑでないかは、「不明」である。
従って、
（13）により、
（14）
⑤ Ｐであるならば、Ｑである。
といふ「仮言命題」が「真」であって、
⑤ Ｐである。
といふ「前件」が「偽」である。
といふ「場合」は、
⑤ Ｑである。
といふ「後件」は、「真」であっても、「偽」であっても、「どちらでも、正しい」。
然るに、
（15）
⑤ Ｐ が「偽」であるならば、
⑤ Ｑ の「真偽」に「拘はらず」、
⑤ Ｐであるならば、Ｑである。
といふ「仮言命題」が「真」になることを、「実質含意のパラドックス」と言ふものの、
「古典論理」では、「実質含意のパラドックス」があるため、「ならば（→）」は「難しい」。
ｃｆ.
「ド・モルガンの法則」と「古典命題論理」に於ける「ならば」について。
（01）
（ａ）
１ （１） ～Ｐ∨ Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（Ｐ＆～Ｑ） ２５ＲＡＡ（１５、ド・モルガンの法則）
７ （７） Ｑ Ａ
２ （８） ～Ｑ ２＆Ｅ
２ ７ （９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
７ （ア）～（Ｐ＆～Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（Ｐ＆～Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
ウ （ウ） Ｐ Ａ
エ（エ） ～Ｑ Ａ
ウエ（オ） Ｐ＆～Ｑ ウエ＆Ｉ
１ ウエ（カ）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） イオ＆Ｉ
１ ウ （キ） ～～Ｑ エカＲＡＡ
１ ウ （ク） Ｑ キＤＮ
１ （ケ） Ｐ→ Ｑ ウクＣＰ
（ｂ）
１ （１） Ｐ→ Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
２ （３） Ｐ ２＆Ｅ
１２ （４） Ｑ １３ＭＰＰ
２ （５） ～Ｑ ２＆Ｅ
１２ （６） Ｑ＆～Ｑ ４５＆Ｉ
１ （７） ～（Ｐ＆～Ｑ） ２６ＲＡＡ
８ （８） ～（～Ｐ∨Ｑ） Ａ
９ （９） ～Ｐ Ａ
９ （ア） ～Ｐ∨Ｑ ９∨I
８９ （イ） ～（～Ｐ∨Ｑ）＆
（～Ｐ∨Ｑ） ８ア＆Ｉ
８ （ウ） ～～Ｐ ９イＲＡＡ
８ （エ） Ｐ ウＤＮ
オ（オ） Ｑ Ａ
オ（カ） ～Ｐ∨Ｑ オ∨Ｉ（７カ、ド・モルガンの法則）
８ オ（キ） ～（～Ｐ∨Ｑ）＆
（～Ｐ∨Ｑ） ８∨Ｉ
８ （ク） ～Ｑ オキＲＡＡ
８ （ケ） Ｐ＆～Ｑ エク＆Ｉ
１ ８ （コ） ～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） ７ケ＆Ｉ
１ （サ）～～（～Ｐ∨Ｑ） ８コＲＡＡ
１ （シ） ～Ｐ∨Ｑ サＤＮ
従って、
（01）により、
（02）
① ～Ｐ∨ Ｑ
② ～（Ｐ＆～Ｑ）
③ Ｐ→ Ｑ
に於いて、
①＝② は、「ド・モルガンの法則」であって、
①＝③ は、「含意の定義」である。
然るに、
（03）
① ～Ｐ∨ Ｑ
② ～（Ｐ＆～Ｑ）
③ Ｐ→ Ｑ
といふ「論理式」は、
① ～ＰとＱの、少なくとも、一方は「真」である。
② Ｐであって、 Ｑでない、といふことは無い。
③ Ｐであるならば、Ｑである。
といふ「日本語」に「相当」する。
従って、
（02）（03）により、
（04）
① ～ＰとＱの、少なくとも、一方は「真」である。
② Ｐであって、 Ｑでない、といふことは無い。
③ Ｐであるならば、Ｑである。
に於いて、
①＝②＝③ である。
然るに、
（05）
① ～Ｐ＝徳島は九州ではない。
とするならば、
① Ｐ＝徳島は九州である。
である。
従って、
（04）（05）により、
（06）
① ～ＰとＱの、少なくとも、一方は「真」である。
② Ｐであって、 Ｑでない、といふことは無い。
③ Ｐであるならば、Ｑである。
に於いて、
① ～Ｐ＝徳島は九州ではない。
① Ｐ＝徳島は九州である。
① Ｑ＝２は奇数である。
とするならば、
①（徳島は九州ではない）と （２は奇数である）といふ「命題」の、少なくとも、一方は「真」である。
②（徳島は九州であって）、 （２は奇数でない）、といふことは無い。
③（徳島が九州である）ならば（２は奇数である）。
に於いて、
①＝②＝③ である。
然るに、
（07）
従って、
（07）により、
（08）
言ふまでもなく、
① Ｐ＝徳島は九州である。
といふ「命題」は、「偽」であって、
① ～Ｐ＝徳島は九州ではない。
といふ「命題」は、「真」である。
従って、
（06）（07）（08）により、
（09）
①（徳島は九州ではない）と （２は奇数である）といふ「命題」の、少なくとも、一方は「真」である。
②（徳島は九州であって）、 （２は奇数でない）、といふことは無い。
③（徳島が九州である）ならば（２は奇数である）。
に於いて、
①＝②＝③ であって、尚且つ、
① は「真」である。
従って、
（09）により、
（10）
①（徳島は九州ではない）と （２は奇数である）といふ「命題」の、少なくとも、一方は「真」である。
②（徳島は九州であって）、 （２は奇数でない）、といふことは無い。
③（徳島が九州である）ならば（２は奇数である）。
に於いて、
①＝②＝③ であって、尚且つ、
① は「真」であるが故に、
③（徳島が九州である）ならば（２は奇数である）。
といふ「命題」も、「真」である。
従って、
（10）により、
（11）
「換言」すると、
①（徳島は九州ではない）と （２は奇数である）といふ「命題」の、少なくとも、一方は「真」である。
③（徳島が九州である）ならば（２は奇数である）。
に於いて、
①＝③ ではないとするならば、
③（徳島が九州である）ならば（２は奇数である）。
といふ「命題」が「真」である。
といふことには、ならない。
然るに、
（12）
③（徳島が九州である）ならば（２は奇数である）。
といふ「仮言命題」が「真」であるとしても、
③（徳島は九州である）。
といふ「命題（前件）」は、「偽」である。
従って、
（13）
③（徳島が九州である）ならば（２は奇数である）。
といふ「仮言命題」が「真」であるとしても、
③（徳島は九州である）。
といふ「命題（前件）」は、「偽」であるため、
③（２は奇数である）。
といふ「命題（後件）」が「真」であるとは、「限らない」。
令和５年１１月１８日、毛利太。
１ （１） ～Ｐ∨ Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（Ｐ＆～Ｑ） ２５ＲＡＡ（１５、ド・モルガンの法則）
７ （７） Ｑ Ａ
２ （８） ～Ｑ ２＆Ｅ
２ ７ （９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
７ （ア）～（Ｐ＆～Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（Ｐ＆～Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
ウ （ウ） Ｐ Ａ
エ（エ） ～Ｑ Ａ
ウエ（オ） Ｐ＆～Ｑ ウエ＆Ｉ
１ ウエ（カ）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） イオ＆Ｉ
１ ウ （キ） ～～Ｑ エカＲＡＡ
１ ウ （ク） Ｑ キＤＮ
１ （ケ） Ｐ→ Ｑ ウクＣＰ
（ｂ）
１ （１） Ｐ→ Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
２ （３） Ｐ ２＆Ｅ
１２ （４） Ｑ １３ＭＰＰ
２ （５） ～Ｑ ２＆Ｅ
１２ （６） Ｑ＆～Ｑ ４５＆Ｉ
１ （７） ～（Ｐ＆～Ｑ） ２６ＲＡＡ
８ （８） ～（～Ｐ∨Ｑ） Ａ
９ （９） ～Ｐ Ａ
９ （ア） ～Ｐ∨Ｑ ９∨I
８９ （イ） ～（～Ｐ∨Ｑ）＆
（～Ｐ∨Ｑ） ８ア＆Ｉ
８ （ウ） ～～Ｐ ９イＲＡＡ
８ （エ） Ｐ ウＤＮ
オ（オ） Ｑ Ａ
オ（カ） ～Ｐ∨Ｑ オ∨Ｉ（７カ、ド・モルガンの法則）
８ オ（キ） ～（～Ｐ∨Ｑ）＆
（～Ｐ∨Ｑ） ８∨Ｉ
８ （ク） ～Ｑ オキＲＡＡ
８ （ケ） Ｐ＆～Ｑ エク＆Ｉ
１ ８ （コ） ～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） ７ケ＆Ｉ
１ （サ）～～（～Ｐ∨Ｑ） ８コＲＡＡ
１ （シ） ～Ｐ∨Ｑ サＤＮ
従って、
（01）により、
（02）
① ～Ｐ∨ Ｑ
② ～（Ｐ＆～Ｑ）
③ Ｐ→ Ｑ
に於いて、
①＝② は、「ド・モルガンの法則」であって、
①＝③ は、「含意の定義」である。
然るに、
（03）
① ～Ｐ∨ Ｑ
② ～（Ｐ＆～Ｑ）
③ Ｐ→ Ｑ
といふ「論理式」は、
① ～ＰとＱの、少なくとも、一方は「真」である。
② Ｐであって、 Ｑでない、といふことは無い。
③ Ｐであるならば、Ｑである。
といふ「日本語」に「相当」する。
従って、
（02）（03）により、
（04）
① ～ＰとＱの、少なくとも、一方は「真」である。
② Ｐであって、 Ｑでない、といふことは無い。
③ Ｐであるならば、Ｑである。
に於いて、
①＝②＝③ である。
然るに、
（05）
① ～Ｐ＝徳島は九州ではない。
とするならば、
① Ｐ＝徳島は九州である。
である。
従って、
（04）（05）により、
（06）
① ～ＰとＱの、少なくとも、一方は「真」である。
② Ｐであって、 Ｑでない、といふことは無い。
③ Ｐであるならば、Ｑである。
に於いて、
① ～Ｐ＝徳島は九州ではない。
① Ｐ＝徳島は九州である。
① Ｑ＝２は奇数である。
とするならば、
①（徳島は九州ではない）と （２は奇数である）といふ「命題」の、少なくとも、一方は「真」である。
②（徳島は九州であって）、 （２は奇数でない）、といふことは無い。
③（徳島が九州である）ならば（２は奇数である）。
に於いて、
①＝②＝③ である。
然るに、
（07）
従って、
（07）により、
（08）
言ふまでもなく、
① Ｐ＝徳島は九州である。
といふ「命題」は、「偽」であって、
① ～Ｐ＝徳島は九州ではない。
といふ「命題」は、「真」である。
従って、
（06）（07）（08）により、
（09）
①（徳島は九州ではない）と （２は奇数である）といふ「命題」の、少なくとも、一方は「真」である。
②（徳島は九州であって）、 （２は奇数でない）、といふことは無い。
③（徳島が九州である）ならば（２は奇数である）。
に於いて、
①＝②＝③ であって、尚且つ、
① は「真」である。
従って、
（09）により、
（10）
①（徳島は九州ではない）と （２は奇数である）といふ「命題」の、少なくとも、一方は「真」である。
②（徳島は九州であって）、 （２は奇数でない）、といふことは無い。
③（徳島が九州である）ならば（２は奇数である）。
に於いて、
①＝②＝③ であって、尚且つ、
① は「真」であるが故に、
③（徳島が九州である）ならば（２は奇数である）。
といふ「命題」も、「真」である。
従って、
（10）により、
（11）
「換言」すると、
①（徳島は九州ではない）と （２は奇数である）といふ「命題」の、少なくとも、一方は「真」である。
③（徳島が九州である）ならば（２は奇数である）。
に於いて、
①＝③ ではないとするならば、
③（徳島が九州である）ならば（２は奇数である）。
といふ「命題」が「真」である。
といふことには、ならない。
然るに、
（12）
③（徳島が九州である）ならば（２は奇数である）。
といふ「仮言命題」が「真」であるとしても、
③（徳島は九州である）。
といふ「命題（前件）」は、「偽」である。
従って、
（13）
③（徳島が九州である）ならば（２は奇数である）。
といふ「仮言命題」が「真」であるとしても、
③（徳島は九州である）。
といふ「命題（前件）」は、「偽」であるため、
③（２は奇数である）。
といふ「命題（後件）」が「真」であるとは、「限らない」。
令和５年１１月１８日、毛利太。
2023年11月13日月曜日
「象が象といふ動物である」の「述語論理」（Ⅱ）。
（01）
① 象は、動物である。
② 象は、象といふ動物である。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（02）
③ 象以外に、象といふ動物がゐる。
とするならば、
③ 象ではなくて、象である動物がゐる。
といふことになり、『矛盾』する。
従って、
（02）により、
（03）
③ 象以外に、象といふ動物はゐない。
従って、
（01）（02）（03）により、
（04）
① 象は、動物である。
② 象は、象といふ動物である。
③ 象は、動物であり、象以外に、象といふ動物はゐない。
に於いて、
①＝②＝③ である。
然るに、
（05）
③ 象は、動物であり、象以外に、象といふ動物はゐない。
④ 象は、動物であり、象は、象といふ動物に「等しい」。
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（04）（05）により、
（06）
① 象は、動物である。
② 象は、象といふ動物である。
③ 象は、動物であり、象以外に、象といふ動物はゐない。
④ 象は、動物であり、象は、象といふ動物に「等しい」。
といふ「日本語」に於いて、
①＝②＝③＝④ である。
従って、
（06）により、
（07）
「番号」を「付け直す」と、
① 象は、動物である。
② 象は、動物であり、象は、象といふ動物に「等しい」。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（08）
② 象は、動物であり、象は、象といふ動物に「等しい」。
といふことは、
② 象は、象といふ動物に「等しい」。
といふことに、「他ならない」。
従って、
（07）（08）により、
（09）
① 象は、動物である。
② 象は、象といふ動物に「等しい」。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（09）により、
（10）
① 象は、動物である。
② 象は、象といふ動物に「等しい」。
といふ「日本語」は、
① すべてのｘについて（ｘが象であるならば、ｘは動物である）。
② すべてのｘについて（ｘが象であるならば、そのときに限って、ｘは象であって、ｘは動物である）。
といふ「意味」である。
従って、
（10）により、
（11）
① 象は、動物である。
② 象は、象といふ動物に「等しい」。
といふ「日本語」は、
① ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）
② ∀ｘ（象ｘ⇔象ｘ＆動物ｘ）
といふ「述語論理式」に、「等しい」。
従って、
（09）（10）（11）により、
（12）
① 象は、動物である。
② 象は、象といふ動物に「等しい」。
に於いて、すなはち、
① ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）
② ∀ｘ（象ｘ⇔象ｘ＆動物ｘ）
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（13）
（ⅰ）
１ （１）∀ｘ（象ｘ→動物ｘ） Ａ
１ （２） 象ａ→動物ａ １ＵＥ
３ （３） 象ａ Ａ
１３ （４） 動物ｂ ２３ＭＰＰ
１３ （５） 象ａ＆動物ｂ ３４＆Ｉ
１ （６） 象ａ→象ａ＆動物ａ ３５ＣＰ
７（７） 象ａ＆動物ａ Ａ
７（８） 象ａ ７＆Ｅ
（９） 象ａ＆動物ａ→象ａ ７８ＣＰ
１ （ア） 象ａ→象ａ＆動物ａ＆
象ａ＆動物ａ→象ａ ６９＆Ｉ
１ （イ） 象ａ⇔象ａ＆動物ａ アＤｆ.⇔
１ （ウ）∀ｘ（象ｘ⇔象ｘ＆動物ｘ） イＵＩ
（ⅱ）
１ （１）∀ｘ（象ｘ⇔象ｘ＆動物ｘ） Ａ
１ （２） 象ａ⇔象ａ＆動物ａ １ＵＥ
１ （３） 象ａ→象ａ＆動物ａ＆
象ａ＆動物ａ→象ａ ２Ｄｆ.⇔
１ （４） 象ａ→象ａ＆動物ａ ３＆Ｅ
５ （５） 象ａ Ａ
１５ （６） 象ａ＆動物ａ ４５ＭＰＰ
１５ （７） 動物ａ ６＆Ｅ
１ （８） 象ａ→動物ａ ５７ＣＰ
１ （９）∀ｘ（象ｘ→動物ｘ） ８ＵＩ
従って、
（12）（13）により、
（14）
果たして、
① ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）
② ∀ｘ（象ｘ⇔象ｘ＆動物ｘ）
に於いても、
①＝② である。
然るに、
（15）
① ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）
② ∀ｘ（象ｘ⇔象ｘ＆動物ｘ）
といふ「述語論理式」は、
① 象⊂動物
② 象＝象∩動物
といふ「集合の式」に「等しい」。
従って、
（12）～（15）により、
（16）
① 象は、動物である。
② 象は、象といふ動物に「等しい」。
③ ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）
④ ∀ｘ（象ｘ⇔象ｘ＆動物ｘ）
⑤ 象⊂動物
⑥ 象＝象∩動物
に於いて、
①＝②＝③＝④＝⑤＝⑥ である。
令和５年１１月１３日、毛利太。
① 象は、動物である。
② 象は、象といふ動物である。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（02）
③ 象以外に、象といふ動物がゐる。
とするならば、
③ 象ではなくて、象である動物がゐる。
といふことになり、『矛盾』する。
従って、
（02）により、
（03）
③ 象以外に、象といふ動物はゐない。
従って、
（01）（02）（03）により、
（04）
① 象は、動物である。
② 象は、象といふ動物である。
③ 象は、動物であり、象以外に、象といふ動物はゐない。
に於いて、
①＝②＝③ である。
然るに、
（05）
③ 象は、動物であり、象以外に、象といふ動物はゐない。
④ 象は、動物であり、象は、象といふ動物に「等しい」。
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（04）（05）により、
（06）
① 象は、動物である。
② 象は、象といふ動物である。
③ 象は、動物であり、象以外に、象といふ動物はゐない。
④ 象は、動物であり、象は、象といふ動物に「等しい」。
といふ「日本語」に於いて、
①＝②＝③＝④ である。
従って、
（06）により、
（07）
「番号」を「付け直す」と、
① 象は、動物である。
② 象は、動物であり、象は、象といふ動物に「等しい」。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（08）
② 象は、動物であり、象は、象といふ動物に「等しい」。
といふことは、
② 象は、象といふ動物に「等しい」。
といふことに、「他ならない」。
従って、
（07）（08）により、
（09）
① 象は、動物である。
② 象は、象といふ動物に「等しい」。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（09）により、
（10）
① 象は、動物である。
② 象は、象といふ動物に「等しい」。
といふ「日本語」は、
① すべてのｘについて（ｘが象であるならば、ｘは動物である）。
② すべてのｘについて（ｘが象であるならば、そのときに限って、ｘは象であって、ｘは動物である）。
といふ「意味」である。
従って、
（10）により、
（11）
① 象は、動物である。
② 象は、象といふ動物に「等しい」。
といふ「日本語」は、
① ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）
② ∀ｘ（象ｘ⇔象ｘ＆動物ｘ）
といふ「述語論理式」に、「等しい」。
従って、
（09）（10）（11）により、
（12）
① 象は、動物である。
② 象は、象といふ動物に「等しい」。
に於いて、すなはち、
① ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）
② ∀ｘ（象ｘ⇔象ｘ＆動物ｘ）
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（13）
（ⅰ）
１ （１）∀ｘ（象ｘ→動物ｘ） Ａ
１ （２） 象ａ→動物ａ １ＵＥ
３ （３） 象ａ Ａ
１３ （４） 動物ｂ ２３ＭＰＰ
１３ （５） 象ａ＆動物ｂ ３４＆Ｉ
１ （６） 象ａ→象ａ＆動物ａ ３５ＣＰ
７（７） 象ａ＆動物ａ Ａ
７（８） 象ａ ７＆Ｅ
（９） 象ａ＆動物ａ→象ａ ７８ＣＰ
１ （ア） 象ａ→象ａ＆動物ａ＆
象ａ＆動物ａ→象ａ ６９＆Ｉ
１ （イ） 象ａ⇔象ａ＆動物ａ アＤｆ.⇔
１ （ウ）∀ｘ（象ｘ⇔象ｘ＆動物ｘ） イＵＩ
（ⅱ）
１ （１）∀ｘ（象ｘ⇔象ｘ＆動物ｘ） Ａ
１ （２） 象ａ⇔象ａ＆動物ａ １ＵＥ
１ （３） 象ａ→象ａ＆動物ａ＆
象ａ＆動物ａ→象ａ ２Ｄｆ.⇔
１ （４） 象ａ→象ａ＆動物ａ ３＆Ｅ
５ （５） 象ａ Ａ
１５ （６） 象ａ＆動物ａ ４５ＭＰＰ
１５ （７） 動物ａ ６＆Ｅ
１ （８） 象ａ→動物ａ ５７ＣＰ
１ （９）∀ｘ（象ｘ→動物ｘ） ８ＵＩ
従って、
（12）（13）により、
（14）
果たして、
① ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）
② ∀ｘ（象ｘ⇔象ｘ＆動物ｘ）
に於いても、
①＝② である。
然るに、
（15）
① ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）
② ∀ｘ（象ｘ⇔象ｘ＆動物ｘ）
といふ「述語論理式」は、
① 象⊂動物
② 象＝象∩動物
といふ「集合の式」に「等しい」。
従って、
（12）～（15）により、
（16）
① 象は、動物である。
② 象は、象といふ動物に「等しい」。
③ ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）
④ ∀ｘ（象ｘ⇔象ｘ＆動物ｘ）
⑤ 象⊂動物
⑥ 象＝象∩動物
に於いて、
①＝②＝③＝④＝⑤＝⑥ である。
令和５年１１月１３日、毛利太。
2023年11月12日日曜日
「象が象といふ動物である」の「述語論理」。
（01）
「集合の記号」で書くと、
① 象⊂動物
② 象＝象∩動物
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（02）
（ⅲ）
１ （１）∀ｘ（象ｘ→動物ｘ） Ａ
１ （２） 象ａ→動物ａ １ＵＥ
３ （３） 象ａ Ａ
１３ （４） 動物ｂ ２３ＭＰＰ
１３ （５） 象ａ＆動物ｂ ３４＆Ｉ
１ （６） 象ａ→象ａ＆動物ａ ３５ＣＰ
７（７） 象ａ＆動物ａ Ａ
７（８） 象ａ ７＆Ｅ
（９） 象ａ＆動物ａ→象ａ ７８ＣＰ
１ （ア） 象ａ→象ａ＆動物ａ＆
象ａ＆動物ａ→象ａ ６９＆Ｉ
１ （イ） 象ａ⇔象ａ＆動物ａ アＤｆ.⇔
１ （ウ）∀ｘ（象ｘ⇔象ｘ＆動物ｘ） イＵＩ
（ⅳ）
１ （１）∀ｘ（象ｘ⇔象ｘ＆動物ｘ） Ａ
１ （２） 象ａ⇔象ａ＆動物ａ １ＵＥ
１ （３） 象ａ→象ａ＆動物ａ＆
象ａ＆動物ａ→象ａ ２Ｄｆ.⇔
１ （４） 象ａ→象ａ＆動物ａ ３＆Ｅ
５ （５） 象ａ Ａ
１５ （６） 象ａ＆動物ａ ４５ＭＰＰ
１５ （７） 動物ａ ６＆Ｅ
１ （８） 象ａ→動物ａ ５７ＣＰ
１ （９）∀ｘ（象ｘ→動物ｘ） ８ＵＩ
従って、
（02）により、
（03）
③ ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）
④ ∀ｘ（象ｘ⇔象ｘ＆動物ｘ）
に於いて、すなはち、
③ すべてのｘについて（ｘが象であるならば、ｘは動物である）。
④ すべてのｘについて（ｘが象であるならば、そのときに限って、ｘは象であって、ｘは動物である）。
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（03）により、
（04）
③ 象は、動物である。
④ 象は、象といふ動物であって、象以外は、象といふ動物ではない。
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（04）により、
（05）
⑤ 象は、動物である。
⑥ 象が、象といふ動物である。
に於いて、
⑤＝⑥ である。
従って、
（01）～（05）により、
（06）
① 象⊂動物
② 象＝象∩動物
③ ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）
④ ∀ｘ（象ｘ⇔象ｘ＆動物ｘ）
⑤ 象は、動物である。
⑥ 象が、象といふ動物である。
に於いて、
①＝②＝③＝④＝⑤＝⑥ である。
令和５年１１月１２日、毛利太。
「集合の記号」で書くと、
① 象⊂動物
② 象＝象∩動物
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（02）
（ⅲ）
１ （１）∀ｘ（象ｘ→動物ｘ） Ａ
１ （２） 象ａ→動物ａ １ＵＥ
３ （３） 象ａ Ａ
１３ （４） 動物ｂ ２３ＭＰＰ
１３ （５） 象ａ＆動物ｂ ３４＆Ｉ
１ （６） 象ａ→象ａ＆動物ａ ３５ＣＰ
７（７） 象ａ＆動物ａ Ａ
７（８） 象ａ ７＆Ｅ
（９） 象ａ＆動物ａ→象ａ ７８ＣＰ
１ （ア） 象ａ→象ａ＆動物ａ＆
象ａ＆動物ａ→象ａ ６９＆Ｉ
１ （イ） 象ａ⇔象ａ＆動物ａ アＤｆ.⇔
１ （ウ）∀ｘ（象ｘ⇔象ｘ＆動物ｘ） イＵＩ
（ⅳ）
１ （１）∀ｘ（象ｘ⇔象ｘ＆動物ｘ） Ａ
１ （２） 象ａ⇔象ａ＆動物ａ １ＵＥ
１ （３） 象ａ→象ａ＆動物ａ＆
象ａ＆動物ａ→象ａ ２Ｄｆ.⇔
１ （４） 象ａ→象ａ＆動物ａ ３＆Ｅ
５ （５） 象ａ Ａ
１５ （６） 象ａ＆動物ａ ４５ＭＰＰ
１５ （７） 動物ａ ６＆Ｅ
１ （８） 象ａ→動物ａ ５７ＣＰ
１ （９）∀ｘ（象ｘ→動物ｘ） ８ＵＩ
従って、
（02）により、
（03）
③ ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）
④ ∀ｘ（象ｘ⇔象ｘ＆動物ｘ）
に於いて、すなはち、
③ すべてのｘについて（ｘが象であるならば、ｘは動物である）。
④ すべてのｘについて（ｘが象であるならば、そのときに限って、ｘは象であって、ｘは動物である）。
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（03）により、
（04）
③ 象は、動物である。
④ 象は、象といふ動物であって、象以外は、象といふ動物ではない。
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（04）により、
（05）
⑤ 象は、動物である。
⑥ 象が、象といふ動物である。
に於いて、
⑤＝⑥ である。
従って、
（01）～（05）により、
（06）
① 象⊂動物
② 象＝象∩動物
③ ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）
④ ∀ｘ（象ｘ⇔象ｘ＆動物ｘ）
⑤ 象は、動物である。
⑥ 象が、象といふ動物である。
に於いて、
①＝②＝③＝④＝⑤＝⑥ である。
令和５年１１月１２日、毛利太。
2023年11月11日土曜日
「述語論理」と「集合」。
―「午前中の記事」を書き直します。―
（01）
（ⅰ）
１ （１） ∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ） Ａ
２ （２） ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ） Ａ
１ （３） Ｆａ→Ｇａ １ＵＥ
２ （４） Ｆａ∨Ｇａ ２ＵＥ
５ （５） Ｆａ Ａ
１ ５ （６） Ｇａ ３５ＭＰＰ
７ （７） Ｇａ Ａ
１２ （８） Ｇａ ４５６７７∨Ｅ
１ （９） Ｆａ∨Ｇａ→Ｇａ ４８ＣＰ
ア（ア） Ｇａ Ａ
ア（イ） Ｆａ∨Ｇａ ア∨Ｉ
（ウ） Ｇａ→Ｆａ∨Ｇａ アイＣＰ
１ （エ） （Ｆａ∨Ｇａ→Ｇａ）＆
（Ｇａ→Ｆａ∨Ｇａ） ９ウ＆Ｉ
１ （オ） Ｆａ∨Ｇａ⇔Ｇａ エＤｆ.⇔
１ （カ）∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ⇔Ｇｘ） オＵＩ
（ⅱ）
１ （１）∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ⇔Ｇｘ） Ａ
１ （２） Ｆａ∨Ｇａ⇔Ｇａ １ＵＥ
１ （３） （Ｆａ∨Ｇａ→Ｇａ）＆
（Ｇａ→Ｆａ∨Ｇａ） ２Ｄｆ.⇔
１ （４） Ｆａ∨Ｇａ→Ｇａ ３＆Ｅ
５ （５） Ｆａ Ａ
５ （６） Ｆａ∨Ｇａ ５∨Ｉ
１５ （７） Ｇａ ４６ＭＰＰ
１ （８） Ｆａ→Ｇａ ５７ＣＰ
１ （９） ∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ） ８ＵＩ
従って、
（01）により、
（02）
① ∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）
② ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ⇔Ｇｘ）
に於いて、すなはち、
① すべてのｘについて（ｘがＦであるならば、ｘはＧである）。
② すべてのｘについて（ｘがＦであるか、または、ｘがＧであるならば、そのときに限って、ｘはＧである）。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（02）により、
（03）
Ｆ＝ｘは一桁の、偶数である。
Ｇ＝ｘは一桁の自然数である。
として、
①「ｘが一桁の偶数」ならば、 「ｘは一桁の自然数」である。
②「ｘが一桁の偶数」か、または「ｘが一桁の自然数」ならば、そのときに限って、「ｘは一桁の自然数」である。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（03）により、
（04）
① ｘ∈｛２，４，６，８｝ならば、 ｘ∈｛１，２，３，４，５，６，７，８，９｝である。
② ｘ∈｛２，４，６，８｝か、またはｘ∈｛１，２，３，４，５，６，７，８，９｝ならば、そのときに限って、ｘ∈｛１，２，３，４，５，６，７，８，９｝である。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（04）により、
（05）
「ならば」＝「⊂」
「または」＝「∪」
であるとして、
①｛２，４，６，８｝⊂｛１，２，３，４，５，６，７，８，９｝
②｛２，４，６，８｝∪｛１，２，３，４，５，６，７，８，９｝＝｛１，２，３，４，５，６，７，８，９｝である。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（05）により、
（06）
Ａが「集合」であって、
Ｂも「集合」であるとして、
① Ａ⊂Ｂ
② Ａ∪Ｂ＝Ｂ
に於いて、
①＝② である。
従って、
（06）により、
（07）
①「ＡがＢの部分集合」であるならば、そのときに限って、
②「ＡとＢの和集合」は、「Ｂそのもの」である。
従って、
（07）により、
（08）
①「偶数が、自然数の部分集合」であるならば、そのときに限って、
②「偶数と、自然数の和集合」は、「自然数そのもの」である。
従って、
（08）により、
（09）
「自然数」に、「偶数」を加へても、
「自然数の個数（濃度）」は「不変」である。
令和５年１１月１１日、毛利太。
（01）
（ⅰ）
１ （１） ∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ） Ａ
２ （２） ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ） Ａ
１ （３） Ｆａ→Ｇａ １ＵＥ
２ （４） Ｆａ∨Ｇａ ２ＵＥ
５ （５） Ｆａ Ａ
１ ５ （６） Ｇａ ３５ＭＰＰ
７ （７） Ｇａ Ａ
１２ （８） Ｇａ ４５６７７∨Ｅ
１ （９） Ｆａ∨Ｇａ→Ｇａ ４８ＣＰ
ア（ア） Ｇａ Ａ
ア（イ） Ｆａ∨Ｇａ ア∨Ｉ
（ウ） Ｇａ→Ｆａ∨Ｇａ アイＣＰ
１ （エ） （Ｆａ∨Ｇａ→Ｇａ）＆
（Ｇａ→Ｆａ∨Ｇａ） ９ウ＆Ｉ
１ （オ） Ｆａ∨Ｇａ⇔Ｇａ エＤｆ.⇔
１ （カ）∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ⇔Ｇｘ） オＵＩ
（ⅱ）
１ （１）∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ⇔Ｇｘ） Ａ
１ （２） Ｆａ∨Ｇａ⇔Ｇａ １ＵＥ
１ （３） （Ｆａ∨Ｇａ→Ｇａ）＆
（Ｇａ→Ｆａ∨Ｇａ） ２Ｄｆ.⇔
１ （４） Ｆａ∨Ｇａ→Ｇａ ３＆Ｅ
５ （５） Ｆａ Ａ
５ （６） Ｆａ∨Ｇａ ５∨Ｉ
１５ （７） Ｇａ ４６ＭＰＰ
１ （８） Ｆａ→Ｇａ ５７ＣＰ
１ （９） ∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ） ８ＵＩ
従って、
（01）により、
（02）
① ∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）
② ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ⇔Ｇｘ）
に於いて、すなはち、
① すべてのｘについて（ｘがＦであるならば、ｘはＧである）。
② すべてのｘについて（ｘがＦであるか、または、ｘがＧであるならば、そのときに限って、ｘはＧである）。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（02）により、
（03）
Ｆ＝ｘは一桁の、偶数である。
Ｇ＝ｘは一桁の自然数である。
として、
①「ｘが一桁の偶数」ならば、 「ｘは一桁の自然数」である。
②「ｘが一桁の偶数」か、または「ｘが一桁の自然数」ならば、そのときに限って、「ｘは一桁の自然数」である。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（03）により、
（04）
① ｘ∈｛２，４，６，８｝ならば、 ｘ∈｛１，２，３，４，５，６，７，８，９｝である。
② ｘ∈｛２，４，６，８｝か、またはｘ∈｛１，２，３，４，５，６，７，８，９｝ならば、そのときに限って、ｘ∈｛１，２，３，４，５，６，７，８，９｝である。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（04）により、
（05）
「ならば」＝「⊂」
「または」＝「∪」
であるとして、
①｛２，４，６，８｝⊂｛１，２，３，４，５，６，７，８，９｝
②｛２，４，６，８｝∪｛１，２，３，４，５，６，７，８，９｝＝｛１，２，３，４，５，６，７，８，９｝である。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（05）により、
（06）
Ａが「集合」であって、
Ｂも「集合」であるとして、
① Ａ⊂Ｂ
② Ａ∪Ｂ＝Ｂ
に於いて、
①＝② である。
従って、
（06）により、
（07）
①「ＡがＢの部分集合」であるならば、そのときに限って、
②「ＡとＢの和集合」は、「Ｂそのもの」である。
従って、
（07）により、
（08）
①「偶数が、自然数の部分集合」であるならば、そのときに限って、
②「偶数と、自然数の和集合」は、「自然数そのもの」である。
従って、
（08）により、
（09）
「自然数」に、「偶数」を加へても、
「自然数の個数（濃度）」は「不変」である。
令和５年１１月１１日、毛利太。
2023年11月1日水曜日
「空集合」は「任意の集合の部分集合」である？
（01）
（ⅰ）
１ （１） Ｐ→ Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
２ （３） Ｐ ２＆Ｅ
１２ （４） Ｑ １３ＭＰＰ
２ （５） ～Ｑ ２＆Ｅ
１２ （６） Ｑ＆～Ｑ ４５＆Ｉ
１ （７） ～（Ｐ＆～Ｑ） ２６ＲＡＡ
８ （８） ～（～Ｐ∨ Ｑ） Ａ
９ （９） ～Ｐ Ａ
９ （ア） ～Ｐ∨ Ｑ ９∨Ｉ
８９ （イ） ～（～Ｐ∨ Ｑ）＆
（～Ｐ∨ Ｑ） ８ア＆Ｉ
８ （ウ） ～～Ｐ ９イＲＡＡ
８ （エ） Ｐ ウＤＮ
オ（オ） Ｑ Ａ
オ（カ） ～Ｐ∨ Ｑ オ∨Ｉ
８ オ（キ） ～（～Ｐ∨ Ｑ）＆
（～Ｐ∨ Ｑ） ８カ＆Ｉ
８ （ク） ～Ｑ オキＲＡＡ
８ （ケ） Ｐ＆～Ｑ エク＆Ｉ
１ ８ （コ） ～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） ７ケ＆Ｉ
１ （サ）～～（～Ｐ∨ Ｑ） ８コＲＡＡ
１ （シ） ～Ｐ∨ Ｑ サＤＮ
（ⅱ）
１ （１） ～Ｐ∨ Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６ ～（Ｐ＆～Ｑ） ２５ＲＡＡ
７ （７） Ｑ Ａ
２ （８） ～Ｑ ２＆Ｅ
２ ７ （９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
７ （ア）～（Ｐ＆～Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（Ｐ＆～Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
ウ （ウ） Ｐ Ａ
エ（エ） ～Ｑ Ａ
ウエ（オ） Ｐ＆～Ｑ ウエ＆Ｉ
１ ウエ（カ）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） イオ＆Ｉ
１ ウ （キ） ～～Ｑ エカＲＡＡ
１ ウ （ク） Ｑ キＤＮ
１ （ケ） Ｐ→ Ｑ ウクＣＰ
従って、
（01）により、
（02）
① Ｐ→Ｑ
② ～Ｐ∨Ｑ
に於いて、
①＝② である（含意の定義）。
従って、
（02）により、
（03）
① Ｐ→Ｑ
② ～Ｐ∨Ｑ
に於いて、
Ｐ＝ｘ∈Φ
Ｑ＝ｘ∈Ｂ
であるとして、
① ｘ∈Φ→ｘ∈Ｂ
② ～ｘ∈Φ∨ｘ∈Ｂ
に於いて、
①＝② である。
従って、
（03）により、
（04）
① ｘ∈Φ→ｘ∈Ｂ
② ～ｘ∈Φ∨ｘ∈Ｂ
に於いて、すなはち、
① ｘが空集合Φの要素であるならば、ｘは任意の集合Ｂの要素である。
② ｘは空集合Φの要素ではないか、または、ｘは任意の集合Ｂの要素であるかの、いづれかである。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（05）
② 空集合Φは、「要素の個数がゼロである集合」であるため、
② ｘは、空集合Φの要素ではない。
といふ「命題」は、「真」である。
従って、
（05）により、
（06）
② ｘは、空集合Φの要素ではない。
といふ「命題」が、「真」であるため、
② ｘは、空集合Φの要素ではないか、または、ｘは任意の集合Ｂの要素であるかの、いづれかである。
といふ「命題」も、「真」である。
従って、
（04）（06）により、
（07）
① ｘ∈Φ→ｘ∈Ｂ
② ～ｘ∈Φ∨ｘ∈Ｂ
に於いて、すなはち、
① ｘが空集合の要素であるならば、ｘは任意の集合Ｂの要素である。
② ｘは、空集合Φの要素ではないか、または、ｘは任意の集合Ｂの要素であるかの、いづれかである。
に於いて、
①＝② であって、
② が「真」であるため、
① も「真」である。
然るに、
（08）
（ウィキペディア）
（ⅰ）
１ （１） Ｐ→ Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
２ （３） Ｐ ２＆Ｅ
１２ （４） Ｑ １３ＭＰＰ
２ （５） ～Ｑ ２＆Ｅ
１２ （６） Ｑ＆～Ｑ ４５＆Ｉ
１ （７） ～（Ｐ＆～Ｑ） ２６ＲＡＡ
８ （８） ～（～Ｐ∨ Ｑ） Ａ
９ （９） ～Ｐ Ａ
９ （ア） ～Ｐ∨ Ｑ ９∨Ｉ
８９ （イ） ～（～Ｐ∨ Ｑ）＆
（～Ｐ∨ Ｑ） ８ア＆Ｉ
８ （ウ） ～～Ｐ ９イＲＡＡ
８ （エ） Ｐ ウＤＮ
オ（オ） Ｑ Ａ
オ（カ） ～Ｐ∨ Ｑ オ∨Ｉ
８ オ（キ） ～（～Ｐ∨ Ｑ）＆
（～Ｐ∨ Ｑ） ８カ＆Ｉ
８ （ク） ～Ｑ オキＲＡＡ
８ （ケ） Ｐ＆～Ｑ エク＆Ｉ
１ ８ （コ） ～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） ７ケ＆Ｉ
１ （サ）～～（～Ｐ∨ Ｑ） ８コＲＡＡ
１ （シ） ～Ｐ∨ Ｑ サＤＮ
（ⅱ）
１ （１） ～Ｐ∨ Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６ ～（Ｐ＆～Ｑ） ２５ＲＡＡ
７ （７） Ｑ Ａ
２ （８） ～Ｑ ２＆Ｅ
２ ７ （９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
７ （ア）～（Ｐ＆～Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（Ｐ＆～Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
ウ （ウ） Ｐ Ａ
エ（エ） ～Ｑ Ａ
ウエ（オ） Ｐ＆～Ｑ ウエ＆Ｉ
１ ウエ（カ）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） イオ＆Ｉ
１ ウ （キ） ～～Ｑ エカＲＡＡ
１ ウ （ク） Ｑ キＤＮ
１ （ケ） Ｐ→ Ｑ ウクＣＰ
従って、
（01）により、
（02）
① Ｐ→Ｑ
② ～Ｐ∨Ｑ
に於いて、
①＝② である（含意の定義）。
従って、
（02）により、
（03）
① Ｐ→Ｑ
② ～Ｐ∨Ｑ
に於いて、
Ｐ＝ｘ∈Φ
Ｑ＝ｘ∈Ｂ
であるとして、
① ｘ∈Φ→ｘ∈Ｂ
② ～ｘ∈Φ∨ｘ∈Ｂ
に於いて、
①＝② である。
従って、
（03）により、
（04）
① ｘ∈Φ→ｘ∈Ｂ
② ～ｘ∈Φ∨ｘ∈Ｂ
に於いて、すなはち、
① ｘが空集合Φの要素であるならば、ｘは任意の集合Ｂの要素である。
② ｘは空集合Φの要素ではないか、または、ｘは任意の集合Ｂの要素であるかの、いづれかである。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（05）
② 空集合Φは、「要素の個数がゼロである集合」であるため、
② ｘは、空集合Φの要素ではない。
といふ「命題」は、「真」である。
従って、
（05）により、
（06）
② ｘは、空集合Φの要素ではない。
といふ「命題」が、「真」であるため、
② ｘは、空集合Φの要素ではないか、または、ｘは任意の集合Ｂの要素であるかの、いづれかである。
といふ「命題」も、「真」である。
従って、
（04）（06）により、
（07）
① ｘ∈Φ→ｘ∈Ｂ
② ～ｘ∈Φ∨ｘ∈Ｂ
に於いて、すなはち、
① ｘが空集合の要素であるならば、ｘは任意の集合Ｂの要素である。
② ｘは、空集合Φの要素ではないか、または、ｘは任意の集合Ｂの要素であるかの、いづれかである。
に於いて、
①＝② であって、
② が「真」であるため、
① も「真」である。
然るに、
（08）
従って、
（08）により、
（09）
① ｘ∈Ａ→ｘ∈Ｂ
であるならば、すなわち、
① ｘが集合Ａの要素であるならば、ｘは集合Ｂの要素である。
であるならば、そのときに限って、
① 集合Ａは、集合Ｂの「部分集合」である。
従って、
（07）（08）（09）により、
（10）
① ｘ∈Φ→ｘ∈Ｂ
であるならば、すなわち、
① ｘが空集合Φの要素であるならば、ｘは集合Ｂの要素である。
であるならば、そのときに限って、
① 空集合Φは、集合Ｂの「部分集合」である。
従って、
（06）（10）により、
（11）
① いかなるｘであっても、空集合Φの要素ではない。
といふ「命題」が「真」であるが故に、
① 空集合Φは、任意の集合Ｂの、「部分集合」である。
といふ「命題」も「真」である。
といふ、「分けのわからない（？）」ことになる。
従って、
（01）～（11）により、
（12）
「結局」は、『含意の定義』により、
① ｘ∈Φ→ｘ∈Ｂ
② ～ｘ∈Φ∨ｘ∈Ｂ
に於いて、
①＝② であって、尚且つ、
② ｘ∈Φ
といふ「命題」が「偽」であるため、その「否定」である、
② ～ｘ∈Φ
といふ「命題」が「真」であって、尚且つ、
① ｘ∈Ａ→ｘ∈Ｂ ⇔ Ａ⊆Ｂ
といふ『定義』が有るため、
① 空集合Φは、任意の集合Ｂの、「部分集合」である。
といふことになる。
令和５年１１月１日、毛利太。
（08）により、
（09）
① ｘ∈Ａ→ｘ∈Ｂ
であるならば、すなわち、
① ｘが集合Ａの要素であるならば、ｘは集合Ｂの要素である。
であるならば、そのときに限って、
① 集合Ａは、集合Ｂの「部分集合」である。
従って、
（07）（08）（09）により、
（10）
① ｘ∈Φ→ｘ∈Ｂ
であるならば、すなわち、
① ｘが空集合Φの要素であるならば、ｘは集合Ｂの要素である。
であるならば、そのときに限って、
① 空集合Φは、集合Ｂの「部分集合」である。
従って、
（06）（10）により、
（11）
① いかなるｘであっても、空集合Φの要素ではない。
といふ「命題」が「真」であるが故に、
① 空集合Φは、任意の集合Ｂの、「部分集合」である。
といふ「命題」も「真」である。
といふ、「分けのわからない（？）」ことになる。
従って、
（01）～（11）により、
（12）
「結局」は、『含意の定義』により、
① ｘ∈Φ→ｘ∈Ｂ
② ～ｘ∈Φ∨ｘ∈Ｂ
に於いて、
①＝② であって、尚且つ、
② ｘ∈Φ
といふ「命題」が「偽」であるため、その「否定」である、
② ～ｘ∈Φ
といふ「命題」が「真」であって、尚且つ、
① ｘ∈Ａ→ｘ∈Ｂ ⇔ Ａ⊆Ｂ
といふ『定義』が有るため、
① 空集合Φは、任意の集合Ｂの、「部分集合」である。
といふことになる。
令和５年１１月１日、毛利太。
2023年10月31日火曜日
「量化子の関係」と「ド・モルガンの法則」。
（01）
（ⅰ）
１ （１） ∃ｘ（ Ｆｘ） Ａ
２ （２） ∀ｘ（～Ｆｘ） Ａ
３（３） Ｆａ Ａ
２ （４） ～Ｆａ Ａ
２３（５） Ｆａ＆～Ｆａ ３４＆Ｉ
３（６）～∀ｘ（～Ｆｘ） ２５ＲＡＡ
１ （７）～∀ｘ（～Ｆｘ） １３６ＥＥ
（ⅱ）
１ （１） ～∀ｘ（～Ｆｘ） Ａ
２ （２） ～∃ｘ（ Ｆｘ） Ａ
３（３） Ｆａ Ａ
３（４） ∃ｘ（ Ｆｘ） ３ＥＩ
２３（５） ～∃ｘ（ Ｆｘ）＆
∃ｘ（ Ｆｘ） ２３＆Ｉ
２ （６） ～Ｆａ ３５ＲＡＡ
２ （７） ∀ｘ（～Ｆｘ） ６ＵＩ
１２ （８） ～∀ｘ（～Ｆｘ）＆
∀ｘ（～Ｆｘ） １７＆Ｉ
１ （９）～～∃ｘ（ Ｆｘ） ２８ＲＡＡ
１ （ア） ∃ｘ（ ＦＸ） ９ＤＮ
従って、
（01）により、
（02）
① ∃ｘ（ Ｆｘ）
② ～∀ｘ（～Ｆｘ）
に於いて、
①＝② である（量化子の関係）。
然るに、
（03）
（ⅲ）
１ （１） Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ Ａ
１ （２） （Ｆａ∨Ｆｂ）∨Ｆｃ １結合法則
３ （３） ～Ｆａ＆～Ｆｂ＆～Ｆｃ Ａ
４ （４） （Ｆａ∨Ｆｂ） Ａ
５ （５） Ｆａ Ａ
３ （６） ～Ｆａ ３＆Ｅ
３ ５ （７） Ｆａ＆～Ｆａ ５６＆Ｉ
５ （８）～（～Ｆａ＆～Ｆｂ＆～Ｆｃ） ３７ＲＡＡ
９ （９） Ｆｂ Ａ
３ （ア） ～Ｆｂ ３＆Ｅ
３ ９ （イ） Ｆｂ＆～Ｆｂ ９ア＆Ｉ
９ （ウ）～（～Ｆａ＆～Ｆｂ＆～Ｆｃ） ３イＲＡＡ
４ （エ）～（～Ｆａ＆～Ｆｂ＆～Ｆｃ） ４５８９ウ∨Ｅ
オ（オ） Ｆｃ Ａ
３ （カ） ～Ｆｃ ３＆Ｅ
３ オ（キ） Ｆｃ＆～Ｆｃ オカ＆Ｉ
オ（ク）～（～Ｆａ＆～Ｆｂ＆～Ｆｃ） ３キＲＡＡ
１ （ケ）～（～Ｆａ＆～Ｆｂ＆～Ｆｃ） １４エオク∨Ｅ
（ⅳ）
１ （１）～（～Ｆａ＆～Ｆｂ＆～Ｆｃ） Ａ
２ （２） ～（Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ） Ａ
３ （３） Ｆａ Ａ
３ （４） Ｆａ∨Ｆｂ ３∨Ｉ
３ （５） Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ ４∨Ｉ
２３ （６） ～（Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ）＆
（Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ） ２５＆Ｉ
２ （７） ～Ｆａ ３６ＲＡＡ
８ （８） Ｆｂ Ａ
８ （９） Ｆａ∨Ｆｂ ８∨Ｉ
８ （ア） Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ ９∨Ｉ
２ ８ （イ） ～（Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ）＆
（Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ） ２ア＆Ｉ
２ （ウ） ～Ｆｂ ８イＲＡＡ
エ（エ） Ｆｃ Ａ
エ（オ） Ｆｂ∨Ｆｃ エ∨Ｉ
エ（カ） Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ オ∨Ｉ
２ エ（キ） ～（Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ）＆
（Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ） ２カ＆Ｉ
２ （ク） ～Ｆｃ エキＲＡＡ
２ （ケ） ～Ｆａ＆～Ｆｂ ７ウ＆Ｉ
２ （コ） ～Ｆａ＆～Ｆｂ＆～Ｆｃ クケ＆Ｉ
１２ （サ）～（～Ｆａ＆～Ｆｂ＆～Ｆｃ）＆
（～Ｆａ＆～Ｆｂ＆～Ｆｃ） １コ＆Ｉ
１ （シ）～～（Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ） ２サＲＡＡ
１ （ス） Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ シＤＮ
従って、
（03）により、
（04）
③ Ｆａ∨ Ｆｂ∨ Ｆｃ
④ ～（～Ｆａ＆～Ｆｂ＆～Ｆｃ）
に於いて、
③＝④ である（ド・モルガンの法則）。
然るに、
（05）
｛ｘの変域｝＝｛ａ、ｂ、ｃ｝
であるとして、
① ∃ｘ（ Ｆｘ）
② ～∀ｘ（～Ｆｘ）
③ Ｆａ∨ Ｆｂ∨ Ｆｃ
④ ～（～Ｆａ＆～Ｆｂ＆～Ｆｃ）
⑤ ａはＦであるか、または、ｂはＦであるか、または、ｃはＦである。
⑥（ａがＦではなく、その上、ｂもＦではなく、その上、ｃもＦでもない）といふことはない。
に於いて、
①＝③＝⑤ であって、
②＝④＝⑥ である。
従って、
（01）～（05）により、
（06）
｛ｘの変域｝＝｛ａ、ｂ、ｃ｝
であるとして、
① ∃ｘ（ Ｆｘ）
② ～∀ｘ（～Ｆｘ）
に於いて、
①＝② であるといふこと、すなはち、「量化子の関係」は、
③ Ｆａ∨ Ｆｂ∨ Ｆｃ
④ ～（～Ｆａ＆～Ｆｂ＆～Ｆｃ）
に於いて、
③＝④ であるといふこと、すなはち、「ド・モルガンの法則」に、「他ならない」。
令和５年１０月３１日、毛利太。
（ⅰ）
１ （１） ∃ｘ（ Ｆｘ） Ａ
２ （２） ∀ｘ（～Ｆｘ） Ａ
３（３） Ｆａ Ａ
２ （４） ～Ｆａ Ａ
２３（５） Ｆａ＆～Ｆａ ３４＆Ｉ
３（６）～∀ｘ（～Ｆｘ） ２５ＲＡＡ
１ （７）～∀ｘ（～Ｆｘ） １３６ＥＥ
（ⅱ）
１ （１） ～∀ｘ（～Ｆｘ） Ａ
２ （２） ～∃ｘ（ Ｆｘ） Ａ
３（３） Ｆａ Ａ
３（４） ∃ｘ（ Ｆｘ） ３ＥＩ
２３（５） ～∃ｘ（ Ｆｘ）＆
∃ｘ（ Ｆｘ） ２３＆Ｉ
２ （６） ～Ｆａ ３５ＲＡＡ
２ （７） ∀ｘ（～Ｆｘ） ６ＵＩ
１２ （８） ～∀ｘ（～Ｆｘ）＆
∀ｘ（～Ｆｘ） １７＆Ｉ
１ （９）～～∃ｘ（ Ｆｘ） ２８ＲＡＡ
１ （ア） ∃ｘ（ ＦＸ） ９ＤＮ
従って、
（01）により、
（02）
① ∃ｘ（ Ｆｘ）
② ～∀ｘ（～Ｆｘ）
に於いて、
①＝② である（量化子の関係）。
然るに、
（03）
（ⅲ）
１ （１） Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ Ａ
１ （２） （Ｆａ∨Ｆｂ）∨Ｆｃ １結合法則
３ （３） ～Ｆａ＆～Ｆｂ＆～Ｆｃ Ａ
４ （４） （Ｆａ∨Ｆｂ） Ａ
５ （５） Ｆａ Ａ
３ （６） ～Ｆａ ３＆Ｅ
３ ５ （７） Ｆａ＆～Ｆａ ５６＆Ｉ
５ （８）～（～Ｆａ＆～Ｆｂ＆～Ｆｃ） ３７ＲＡＡ
９ （９） Ｆｂ Ａ
３ （ア） ～Ｆｂ ３＆Ｅ
３ ９ （イ） Ｆｂ＆～Ｆｂ ９ア＆Ｉ
９ （ウ）～（～Ｆａ＆～Ｆｂ＆～Ｆｃ） ３イＲＡＡ
４ （エ）～（～Ｆａ＆～Ｆｂ＆～Ｆｃ） ４５８９ウ∨Ｅ
オ（オ） Ｆｃ Ａ
３ （カ） ～Ｆｃ ３＆Ｅ
３ オ（キ） Ｆｃ＆～Ｆｃ オカ＆Ｉ
オ（ク）～（～Ｆａ＆～Ｆｂ＆～Ｆｃ） ３キＲＡＡ
１ （ケ）～（～Ｆａ＆～Ｆｂ＆～Ｆｃ） １４エオク∨Ｅ
（ⅳ）
１ （１）～（～Ｆａ＆～Ｆｂ＆～Ｆｃ） Ａ
２ （２） ～（Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ） Ａ
３ （３） Ｆａ Ａ
３ （４） Ｆａ∨Ｆｂ ３∨Ｉ
３ （５） Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ ４∨Ｉ
２３ （６） ～（Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ）＆
（Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ） ２５＆Ｉ
２ （７） ～Ｆａ ３６ＲＡＡ
８ （８） Ｆｂ Ａ
８ （９） Ｆａ∨Ｆｂ ８∨Ｉ
８ （ア） Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ ９∨Ｉ
２ ８ （イ） ～（Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ）＆
（Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ） ２ア＆Ｉ
２ （ウ） ～Ｆｂ ８イＲＡＡ
エ（エ） Ｆｃ Ａ
エ（オ） Ｆｂ∨Ｆｃ エ∨Ｉ
エ（カ） Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ オ∨Ｉ
２ エ（キ） ～（Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ）＆
（Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ） ２カ＆Ｉ
２ （ク） ～Ｆｃ エキＲＡＡ
２ （ケ） ～Ｆａ＆～Ｆｂ ７ウ＆Ｉ
２ （コ） ～Ｆａ＆～Ｆｂ＆～Ｆｃ クケ＆Ｉ
１２ （サ）～（～Ｆａ＆～Ｆｂ＆～Ｆｃ）＆
（～Ｆａ＆～Ｆｂ＆～Ｆｃ） １コ＆Ｉ
１ （シ）～～（Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ） ２サＲＡＡ
１ （ス） Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ シＤＮ
従って、
（03）により、
（04）
③ Ｆａ∨ Ｆｂ∨ Ｆｃ
④ ～（～Ｆａ＆～Ｆｂ＆～Ｆｃ）
に於いて、
③＝④ である（ド・モルガンの法則）。
然るに、
（05）
｛ｘの変域｝＝｛ａ、ｂ、ｃ｝
であるとして、
① ∃ｘ（ Ｆｘ）
② ～∀ｘ（～Ｆｘ）
③ Ｆａ∨ Ｆｂ∨ Ｆｃ
④ ～（～Ｆａ＆～Ｆｂ＆～Ｆｃ）
⑤ ａはＦであるか、または、ｂはＦであるか、または、ｃはＦである。
⑥（ａがＦではなく、その上、ｂもＦではなく、その上、ｃもＦでもない）といふことはない。
に於いて、
①＝③＝⑤ であって、
②＝④＝⑥ である。
従って、
（01）～（05）により、
（06）
｛ｘの変域｝＝｛ａ、ｂ、ｃ｝
であるとして、
① ∃ｘ（ Ｆｘ）
② ～∀ｘ（～Ｆｘ）
に於いて、
①＝② であるといふこと、すなはち、「量化子の関係」は、
③ Ｆａ∨ Ｆｂ∨ Ｆｃ
④ ～（～Ｆａ＆～Ｆｂ＆～Ｆｃ）
に於いて、
③＝④ であるといふこと、すなはち、「ド・モルガンの法則」に、「他ならない」。
令和５年１０月３１日、毛利太。
2023年10月20日金曜日
「実質含意のパラドックス」について。
（01）
１ （１） Ｐ∨ Ｑ Ａ
２ （２） ～Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （３） Ｐ Ａ
２ （４） ～Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） Ｐ＆～Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（～Ｐ＆～Ｑ） ２５ＲＡＡ
７ （７） Ｑ Ａ
２ （８） ～Ｑ ２＆Ｅ
２ ７ （９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
７ （ア）～（～Ｐ＆～Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（～Ｐ＆～Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
ウ （ウ） ～Ｐ Ａ
エ （エ） ～Ｑ Ａ
ウエ （オ） ～Ｐ＆～Ｑ ウエ＆Ｉ
１ ウエ （カ）～（～Ｐ＆～Ｑ）＆
（～Ｐ＆～Ｑ） ６オ＆Ｉ
１ ウ （キ） ～～Ｑ エカＲＡＡ
１ ウ （ク） Ｑ キＤＮ
１ （ケ） ～Ｐ→ Ｑ ウクＣＰ
（02）
１ （１） ～Ｐ→ Ｑ Ａ
２ （２） ～Ｐ＆～Ｑ Ａ
２ （３） ～Ｐ ２＆Ｅ
１２ （４） Ｑ １３ＭＰＰ
２ （５） ～Ｑ ２＆Ｅ
１２ （６） Ｑ＆～Ｑ ４５＆Ｉ
１ （７）～（～Ｐ＆～Ｑ） ２６ＲＡＡ
８ （８） ～（Ｐ∨ Ｑ） Ａ
９ （９） Ｐ Ａ
９ （ア） Ｐ∨ Ｑ ９∨Ｉ
８９ （イ） ～（Ｐ∨ Ｑ）＆
（Ｐ∨ Ｑ） ８ア＆Ｉ
８ （ウ） ～Ｐ ９イＲＡＡ
エ （エ） Ｑ Ａ
エ （オ） Ｐ∨ Ｑ エ∨Ｉ
８ エ （カ） ～（Ｐ∨ Ｑ）＆
（Ｐ∨ Ｑ） ８オ＆Ｉ
８ （キ） ～Ｑ エカＲＡＡ
８ （ク） ～Ｐ＆～Ｑ ウキ＆Ｉ
１ ８ （ケ）～（～Ｐ＆～Ｑ）＆
（～Ｐ＆～Ｑ） ７ク＆Ｉ
１ （コ）～～（Ｐ∨ Ｑ） ８ケＲＡＡ
１ （サ） Ｐ∨ Ｑ コＤＮ
従って、
（01）（02）により、
（03）
① Ｐ∨Ｑ
② ～Ｐ→Ｑ
に於いて、
①＝② である。
従って、
（03）により、
（04）
「日本語」で言ふと、
① Ｐであるか、または、Ｑである。
② Ｐでないならば、 Ｑである。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（03）により、
（05）
Ｐ＝～Ｐ
といふ「代入（置き換へ）」により、
① ～Ｐ∨Ｑ
② ～～Ｐ→Ｑ
に於いて、
①＝② である。
従って、
（04）（05）により、
（06）
① Ｐであるでないか、または、Ｑである。
② Ｐでないでないならば、 Ｑである。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（06）により、
（07）
① Ｐでないか、または、Ｑである。
② Ｐであるならば、 Ｑである。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（08）
「番号」を「付け替へる」として、
① Ｐでない。
② Ｐでないか、または、Ｑである。
に於いて、
①⇒② である。 従って、
（07）（08）により、
（09）
① Ｐでない。
② Ｐでないか、または、Ｑである。
③ Ｐであるならば、 Ｑである。
に於いて、
①⇒② であって、
②＝③ である。
従って、
（09）により、
（10）
「番号」を「付け直す」として、
① Ｐでない。
② Ｐであるならば、Ｑである。
に於いて、
①⇒② であって、
このことを、『実質含意のパラドックス』と言ふ。
然るに、
（11）
１（１）～Ｐ Ａ
１（２）～Ｐ∨Ｑ １∨Ｉ
１（３） Ｐ→Ｑ ２含意の定義
（４）～Ｐ→（Ｐ→Ｑ） １３ＣＰ
従って、
（11）により、
（12）
├ ～Ｐ→（Ｐ→Ｑ）
といふ「連式」、すなはち、
├ Ｐでないならば（Ｐであるならば、Ｑである）。
といふ「連式」は、『妥当』である。
従って、
（10）（11）（12）により、
（13）
├ ～Ｐ→（Ｐ→Ｑ）
といふ「連式」、すなはち、
├ Ｐでないならば（Ｐであるならば、Ｑである）。
といふ「連式」、すなはち、『実質含意のパラドックス』は『妥当』である。
然るに、
（11）により、
（14）
１ （１）～Ｐ Ａ
１ （２）～Ｐ∨Ｑ １∨Ｉ
１ （３） Ｐ→Ｑ ２含意の定義
（４）～Ｐ→（Ｐ→Ｑ） １３ＣＰ
５（５）～Ｐ＆ Ｐ Ａ
５（６）～Ｐ ５＆Ｅ
５（７） Ｐ→Ｑ ４６ＭＰＰ
５（８） Ｐ ５＆Ｅ
５（９） Ｑ ７８ＭＰＰ
（ア）～Ｐ＆Ｐ→ Ｑ ５９ＣＰ
従って、
（15）
├（～Ｐ＆Ｐ）→Ｑ
といふ「連式」、すなはち、
├「矛盾」が「真」であるならば、「任意の命題」は「真」である。
といふ「連式」は、『妥当』である。
従って、
（13）（14）（15）により、
（16）
（ⅰ）『実質含意のパラドックス』は『妥当』であって、
（ⅱ）「矛盾」が「真」であるならば、
（ⅲ）「任意の命題」は「真」である。
然るに、
（17）
（ⅱ）「矛盾」は「真」ではなく、「偽」である。
従って、
（16）（17）により、
（18）
（ⅰ）『実質含意のパラドックス』が『妥当』であったとしても、
（ⅱ）「任意の命題」は、「真」であるか、または、「偽」である。
令和５年１０月２０日、毛利太。
１ （１） Ｐ∨ Ｑ Ａ
２ （２） ～Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （３） Ｐ Ａ
２ （４） ～Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） Ｐ＆～Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（～Ｐ＆～Ｑ） ２５ＲＡＡ
７ （７） Ｑ Ａ
２ （８） ～Ｑ ２＆Ｅ
２ ７ （９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
７ （ア）～（～Ｐ＆～Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（～Ｐ＆～Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
ウ （ウ） ～Ｐ Ａ
エ （エ） ～Ｑ Ａ
ウエ （オ） ～Ｐ＆～Ｑ ウエ＆Ｉ
１ ウエ （カ）～（～Ｐ＆～Ｑ）＆
（～Ｐ＆～Ｑ） ６オ＆Ｉ
１ ウ （キ） ～～Ｑ エカＲＡＡ
１ ウ （ク） Ｑ キＤＮ
１ （ケ） ～Ｐ→ Ｑ ウクＣＰ
（02）
１ （１） ～Ｐ→ Ｑ Ａ
２ （２） ～Ｐ＆～Ｑ Ａ
２ （３） ～Ｐ ２＆Ｅ
１２ （４） Ｑ １３ＭＰＰ
２ （５） ～Ｑ ２＆Ｅ
１２ （６） Ｑ＆～Ｑ ４５＆Ｉ
１ （７）～（～Ｐ＆～Ｑ） ２６ＲＡＡ
８ （８） ～（Ｐ∨ Ｑ） Ａ
９ （９） Ｐ Ａ
９ （ア） Ｐ∨ Ｑ ９∨Ｉ
８９ （イ） ～（Ｐ∨ Ｑ）＆
（Ｐ∨ Ｑ） ８ア＆Ｉ
８ （ウ） ～Ｐ ９イＲＡＡ
エ （エ） Ｑ Ａ
エ （オ） Ｐ∨ Ｑ エ∨Ｉ
８ エ （カ） ～（Ｐ∨ Ｑ）＆
（Ｐ∨ Ｑ） ８オ＆Ｉ
８ （キ） ～Ｑ エカＲＡＡ
８ （ク） ～Ｐ＆～Ｑ ウキ＆Ｉ
１ ８ （ケ）～（～Ｐ＆～Ｑ）＆
（～Ｐ＆～Ｑ） ７ク＆Ｉ
１ （コ）～～（Ｐ∨ Ｑ） ８ケＲＡＡ
１ （サ） Ｐ∨ Ｑ コＤＮ
従って、
（01）（02）により、
（03）
① Ｐ∨Ｑ
② ～Ｐ→Ｑ
に於いて、
①＝② である。
従って、
（03）により、
（04）
「日本語」で言ふと、
① Ｐであるか、または、Ｑである。
② Ｐでないならば、 Ｑである。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（03）により、
（05）
Ｐ＝～Ｐ
といふ「代入（置き換へ）」により、
① ～Ｐ∨Ｑ
② ～～Ｐ→Ｑ
に於いて、
①＝② である。
従って、
（04）（05）により、
（06）
① Ｐであるでないか、または、Ｑである。
② Ｐでないでないならば、 Ｑである。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（06）により、
（07）
① Ｐでないか、または、Ｑである。
② Ｐであるならば、 Ｑである。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（08）
「番号」を「付け替へる」として、
① Ｐでない。
② Ｐでないか、または、Ｑである。
に於いて、
①⇒② である。 従って、
（07）（08）により、
（09）
① Ｐでない。
② Ｐでないか、または、Ｑである。
③ Ｐであるならば、 Ｑである。
に於いて、
①⇒② であって、
②＝③ である。
従って、
（09）により、
（10）
「番号」を「付け直す」として、
① Ｐでない。
② Ｐであるならば、Ｑである。
に於いて、
①⇒② であって、
このことを、『実質含意のパラドックス』と言ふ。
然るに、
（11）
１（１）～Ｐ Ａ
１（２）～Ｐ∨Ｑ １∨Ｉ
１（３） Ｐ→Ｑ ２含意の定義
（４）～Ｐ→（Ｐ→Ｑ） １３ＣＰ
従って、
（11）により、
（12）
├ ～Ｐ→（Ｐ→Ｑ）
といふ「連式」、すなはち、
├ Ｐでないならば（Ｐであるならば、Ｑである）。
といふ「連式」は、『妥当』である。
従って、
（10）（11）（12）により、
（13）
├ ～Ｐ→（Ｐ→Ｑ）
といふ「連式」、すなはち、
├ Ｐでないならば（Ｐであるならば、Ｑである）。
といふ「連式」、すなはち、『実質含意のパラドックス』は『妥当』である。
然るに、
（11）により、
（14）
１ （１）～Ｐ Ａ
１ （２）～Ｐ∨Ｑ １∨Ｉ
１ （３） Ｐ→Ｑ ２含意の定義
（４）～Ｐ→（Ｐ→Ｑ） １３ＣＰ
５（５）～Ｐ＆ Ｐ Ａ
５（６）～Ｐ ５＆Ｅ
５（７） Ｐ→Ｑ ４６ＭＰＰ
５（８） Ｐ ５＆Ｅ
５（９） Ｑ ７８ＭＰＰ
（ア）～Ｐ＆Ｐ→ Ｑ ５９ＣＰ
従って、
（15）
├（～Ｐ＆Ｐ）→Ｑ
といふ「連式」、すなはち、
├「矛盾」が「真」であるならば、「任意の命題」は「真」である。
といふ「連式」は、『妥当』である。
従って、
（13）（14）（15）により、
（16）
（ⅰ）『実質含意のパラドックス』は『妥当』であって、
（ⅱ）「矛盾」が「真」であるならば、
（ⅲ）「任意の命題」は「真」である。
然るに、
（17）
（ⅱ）「矛盾」は「真」ではなく、「偽」である。
従って、
（16）（17）により、
（18）
（ⅰ）『実質含意のパラドックス』が『妥当』であったとしても、
（ⅱ）「任意の命題」は、「真」であるか、または、「偽」である。
令和５年１０月２０日、毛利太。
2023年10月16日月曜日
「Ｐまたは、Ｑである」は「（ＰならばＱ）ならばＱである」に「等しい」。
（01）
（ⅰ）
１ （１） Ｐ∨Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
２ （３）～～Ｐ ２ＤＮ
２ （４）～～Ｐ∨Ｑ ３∨Ｉ
５ （５） Ｑ Ａ
５ （６）～～Ｐ∨Ｑ ５∨Ｉ
１ （７）～～Ｐ∨Ｑ １２４５６∨Ｅ
１ （８） ～Ｐ→Ｑ ７含意の定義
９（９） ～Ｐ Ａ
１ ９（ア） Ｑ ８９ＭＰＰ
（ⅱ）
１ （１）（Ｐ→Ｑ）→Ｑ Ａ
２（２）～Ｐ Ａ
２（３）～Ｐ∨Ｑ ２∨Ｉ
２（４） Ｐ→Ｑ ３含意の定義
１２（５） Ｑ １４ＭＰＰ
（ⅲ）
１ （１） Ｐ∨Ｑ Ａ
２ （２） Ｑ Ａ
２ （３） ～～Ｑ ２ＤＮ
２ （４）～～Ｑ∨Ｐ ３∨Ｉ
５ （５） Ｐ Ａ
５ （６）～～Ｑ∨Ｐ ５∨Ｉ
１ （７）～～Ｑ∨Ｐ １２４５６∨Ｅ
１ （８） ～Ｑ→Ｐ ７含意の定義
９（９） ～Ｑ Ａ
１ ９（ア） Ｐ ８９ＭＰＰ
（ⅳ）
１ （１） （Ｐ→ Ｑ）→Ｑ Ａ
２ （２） ～（Ｐ＆～Ｑ） Ａ
２ （３） ～Ｐ∨ Ｑ ２ド・モルガンの法則
２ （４） Ｐ→ Ｑ ３含意の定義
１２ （５） Ｑ １４ＭＰＰ
１ （６） ～（Ｐ＆～Ｑ）→Ｑ ２５ＣＰ
７（７） ～Ｑ Ａ
１ ７（８）～～（Ｐ＆～Ｑ） ６７ＭＴＴ
１ ７（９） Ｐ＆～Ｑ ８ＤＮ
１ ７（ア） Ｐ ９＆Ｅ
従って、
（01）により、
（02）
① Ｐ∨Ｑ， ～Ｐ├ Ｑ
②（Ｐ→Ｑ）→Ｑ，～Ｐ├ Ｑ
③ Ｐ∨Ｑ， ～Ｑ├ Ｐ
④（Ｐ→Ｑ）→Ｑ，～Ｑ├ Ｐ
といふ「推論」は、４つとも『妥当』である。
然るに、
（03）
５ 原始的規則あるいは導出された規則を、既に証明されたどのような連式あるいは定理とでもともに用いて、証明せよ。
５ Using primitive or deriverd rulues, together with any sequents or theorems already proved,prove.
（E.J.レモン著、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、1973年、８０頁）
（ｈ）Ｐ∨Ｑ┤├（Ｐ→Ｑ）→Ｑ
〔（私の）解答〕
（ⅰ）
１ （１） Ｐ∨ Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
３ （３） Ｐ→ Ｑ Ａ
２３ （４） Ｑ ２３ＭＰＰ
２ （５） （Ｐ→ Ｑ）→Ｑ ３４ＣＰ
６（６） Ｑ Ａ
６（７）～（Ｐ→ Ｑ）∨Ｑ ６∨Ｉ
６（８） （Ｐ→ Ｑ）→Ｑ ７含意の定義
１ （９） （Ｐ→ Ｑ）→Ｑ １２５６８∨Ｅ
（ⅱ）
１ （１） （Ｐ→ Ｑ）→Ｑ Ａ
１ （２） ～（Ｐ→ Ｑ）∨Ｑ １含意の定義
３ （３） ～（Ｐ→ Ｑ） Ａ
３ （４）～（～Ｐ∨ Ｑ） ３含意の定義
３ （５） Ｐ＆～Ｑ ４ド・モルガンの法則
３ （６） Ｐ ５＆Ｅ
３ （７） Ｐ∨Ｑ ６∨Ｉ
８（８） Ｑ Ａ
８（９） Ｐ∨Ｑ ８∨Ｉ
１ （ア） Ｐ∨Ｑ １３７８９∨Ｅ
従って、
（02）（03）により、
（04）
① Ｐ∨Ｑ
②（Ｐ→Ｑ）→Ｑ
に於いて、すなはち、
① Ｐであるか、または、Ｑである。
②（Ｐであるならば、Ｑである）ならば、Ｑである。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（02）により、
（05）
Ｐ＝里子である。
Ｑ＝男性である。
として、
（ⅰ）里子であるか、または、男性である。 然るに、
（ⅱ） 男性ではない。従って、
（ⅲ）里子である。
といふ「推論（選言三段論法）」は『妥当』である。
従って、
（04）（05）により、
（06）
（ⅰ）（里子ならば男性である）ならば、男性である。 然るに、
（ⅱ） 男性でない。 従って、
（ⅲ） 里子である。
といふ「推論」も、『妥当』である。
然るに、
（07）
思ふに、
（ⅰ）（里子ならば男性である）ならば、男性である。 然るに、
（ⅱ） 男性でない。 従って、
（ⅲ） 里子である。
といふ「推論」が『妥当』である。
といふ風に、「普通の人」は、「思はない」。
然るに、
（01）（07）により、
（08）
（ⅳ）
１ （１） （里子→ 男性）→男性 Ａ
２ （２） ～（里子＆～男性） Ａ
２ （３） ～里子∨ 男性 ２ド・モルガンの法則
２ （４） 里子→ 男性 ３含意の定義
１２ （５） 男性 １４ＭＰＰ
１ （６） ～（里子＆～男性）→男性 ２５ＣＰ
７（７） ～男性 Ａ
１ ７（８）～～（里子＆～男性） ６７ＭＴＴ
１ ７（９） 里子＆～男性 ８ＤＮ
１ ７（ア） 里子 ９＆Ｅ
といふ「計算」を見る限り、確かに、
（ⅰ）（里子ならば男性である）ならば、男性である。 然るに、
（ⅱ） 男性でない。 従って、
（ⅲ） 里子である。
といふ「推論」は『妥当』である。
令和５年１０月１６日、毛利太。
（ⅰ）
１ （１） Ｐ∨Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
２ （３）～～Ｐ ２ＤＮ
２ （４）～～Ｐ∨Ｑ ３∨Ｉ
５ （５） Ｑ Ａ
５ （６）～～Ｐ∨Ｑ ５∨Ｉ
１ （７）～～Ｐ∨Ｑ １２４５６∨Ｅ
１ （８） ～Ｐ→Ｑ ７含意の定義
９（９） ～Ｐ Ａ
１ ９（ア） Ｑ ８９ＭＰＰ
（ⅱ）
１ （１）（Ｐ→Ｑ）→Ｑ Ａ
２（２）～Ｐ Ａ
２（３）～Ｐ∨Ｑ ２∨Ｉ
２（４） Ｐ→Ｑ ３含意の定義
１２（５） Ｑ １４ＭＰＰ
（ⅲ）
１ （１） Ｐ∨Ｑ Ａ
２ （２） Ｑ Ａ
２ （３） ～～Ｑ ２ＤＮ
２ （４）～～Ｑ∨Ｐ ３∨Ｉ
５ （５） Ｐ Ａ
５ （６）～～Ｑ∨Ｐ ５∨Ｉ
１ （７）～～Ｑ∨Ｐ １２４５６∨Ｅ
１ （８） ～Ｑ→Ｐ ７含意の定義
９（９） ～Ｑ Ａ
１ ９（ア） Ｐ ８９ＭＰＰ
（ⅳ）
１ （１） （Ｐ→ Ｑ）→Ｑ Ａ
２ （２） ～（Ｐ＆～Ｑ） Ａ
２ （３） ～Ｐ∨ Ｑ ２ド・モルガンの法則
２ （４） Ｐ→ Ｑ ３含意の定義
１２ （５） Ｑ １４ＭＰＰ
１ （６） ～（Ｐ＆～Ｑ）→Ｑ ２５ＣＰ
７（７） ～Ｑ Ａ
１ ７（８）～～（Ｐ＆～Ｑ） ６７ＭＴＴ
１ ７（９） Ｐ＆～Ｑ ８ＤＮ
１ ７（ア） Ｐ ９＆Ｅ
従って、
（01）により、
（02）
① Ｐ∨Ｑ， ～Ｐ├ Ｑ
②（Ｐ→Ｑ）→Ｑ，～Ｐ├ Ｑ
③ Ｐ∨Ｑ， ～Ｑ├ Ｐ
④（Ｐ→Ｑ）→Ｑ，～Ｑ├ Ｐ
といふ「推論」は、４つとも『妥当』である。
然るに、
（03）
５ 原始的規則あるいは導出された規則を、既に証明されたどのような連式あるいは定理とでもともに用いて、証明せよ。
５ Using primitive or deriverd rulues, together with any sequents or theorems already proved,prove.
（E.J.レモン著、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、1973年、８０頁）
（ｈ）Ｐ∨Ｑ┤├（Ｐ→Ｑ）→Ｑ
〔（私の）解答〕
（ⅰ）
１ （１） Ｐ∨ Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
３ （３） Ｐ→ Ｑ Ａ
２３ （４） Ｑ ２３ＭＰＰ
２ （５） （Ｐ→ Ｑ）→Ｑ ３４ＣＰ
６（６） Ｑ Ａ
６（７）～（Ｐ→ Ｑ）∨Ｑ ６∨Ｉ
６（８） （Ｐ→ Ｑ）→Ｑ ７含意の定義
１ （９） （Ｐ→ Ｑ）→Ｑ １２５６８∨Ｅ
（ⅱ）
１ （１） （Ｐ→ Ｑ）→Ｑ Ａ
１ （２） ～（Ｐ→ Ｑ）∨Ｑ １含意の定義
３ （３） ～（Ｐ→ Ｑ） Ａ
３ （４）～（～Ｐ∨ Ｑ） ３含意の定義
３ （５） Ｐ＆～Ｑ ４ド・モルガンの法則
３ （６） Ｐ ５＆Ｅ
３ （７） Ｐ∨Ｑ ６∨Ｉ
８（８） Ｑ Ａ
８（９） Ｐ∨Ｑ ８∨Ｉ
１ （ア） Ｐ∨Ｑ １３７８９∨Ｅ
従って、
（02）（03）により、
（04）
① Ｐ∨Ｑ
②（Ｐ→Ｑ）→Ｑ
に於いて、すなはち、
① Ｐであるか、または、Ｑである。
②（Ｐであるならば、Ｑである）ならば、Ｑである。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（02）により、
（05）
Ｐ＝里子である。
Ｑ＝男性である。
として、
（ⅰ）里子であるか、または、男性である。 然るに、
（ⅱ） 男性ではない。従って、
（ⅲ）里子である。
といふ「推論（選言三段論法）」は『妥当』である。
従って、
（04）（05）により、
（06）
（ⅰ）（里子ならば男性である）ならば、男性である。 然るに、
（ⅱ） 男性でない。 従って、
（ⅲ） 里子である。
といふ「推論」も、『妥当』である。
然るに、
（07）
思ふに、
（ⅰ）（里子ならば男性である）ならば、男性である。 然るに、
（ⅱ） 男性でない。 従って、
（ⅲ） 里子である。
といふ「推論」が『妥当』である。
といふ風に、「普通の人」は、「思はない」。
然るに、
（01）（07）により、
（08）
（ⅳ）
１ （１） （里子→ 男性）→男性 Ａ
２ （２） ～（里子＆～男性） Ａ
２ （３） ～里子∨ 男性 ２ド・モルガンの法則
２ （４） 里子→ 男性 ３含意の定義
１２ （５） 男性 １４ＭＰＰ
１ （６） ～（里子＆～男性）→男性 ２５ＣＰ
７（７） ～男性 Ａ
１ ７（８）～～（里子＆～男性） ６７ＭＴＴ
１ ７（９） 里子＆～男性 ８ＤＮ
１ ７（ア） 里子 ９＆Ｅ
といふ「計算」を見る限り、確かに、
（ⅰ）（里子ならば男性である）ならば、男性である。 然るに、
（ⅱ） 男性でない。 従って、
（ⅲ） 里子である。
といふ「推論」は『妥当』である。
令和５年１０月１６日、毛利太。
2023年10月15日日曜日
「Ｐまたは、Ｑである」は「（ＰならばＱ）ならばＱである」に「等しい」。
（01）
５ 原始的規則あるいは導出された規則を、既に証明されたどのような連式あるいは定理とでもともに用いて、証明せよ。
５ Using primitive or deriverd rulues, together with any sequents or theorems already proved,prove.
（E.J.レモン著、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、1973年、８０頁）
（ｈ）Ｐ∨Ｑ┤├（Ｐ→Ｑ）→Ｑ
〔（私の）解答〕
（ⅰ）
１ （１） Ｐ∨ Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ→ Ｑ Ａ
３ （３） Ｐ Ａ
２３ （４） Ｑ ２３ＭＰＰ
３ （５） （Ｐ→ Ｑ）→Ｑ ２４ＣＰ
６（６） Ｑ Ａ
６（７）～（Ｐ→ Ｑ）∨Ｑ ６∨Ｉ
６（８） （Ｐ→ Ｑ）→Ｑ ７含意の定義
１ （９） （Ｐ→ Ｑ）→Ｑ １３５６８∨Ｅ
（ⅱ）
１ （１） （Ｐ→ Ｑ）→Ｑ Ａ
１ （２） ～（Ｐ→ Ｑ）∨Ｑ １含意の定義
３ （３） ～（Ｐ→ Ｑ） Ａ
３ （４）～（～Ｐ∨ Ｑ） ３含意の定義
３ （５） Ｐ＆～Ｑ ４ド・モルガンの法則
３ （６） Ｐ ５＆Ｅ
３ （７） Ｐ∨Ｑ ６∨Ｉ
８（８） Ｑ Ａ
８（９） Ｐ∨Ｑ ８∨Ｉ
１ （ア） Ｐ∨Ｑ １３７８９∨Ｅ
従って、
（01）により、
（02）
① Ｐ∨Ｑ
②（Ｐ→Ｑ）→Ｑ
に於いて、すなはち、
① Ｐであるか、または、Ｑである。
②（ＰならばＱ）ならば、Ｑである。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（03）
（ⅰ）Ｐであるか、または、Ｑである。 然るに、
（ⅱ）Ｐでない。 従って、
（ⅲ） Ｑである。
といふ「推論（選言三段論法）」は、「妥当」である。
従って、
（02）（03）により、
（04）
（ⅰ）（ＰならばＱ）ならば、Ｑである。 然るに、
（ⅱ） Ｐでない。 従って、
（ⅲ） Ｑである。
といふ「推論」も、「妥当」であるに、「違ひない」。
従って、
（04）により、
（05）
「記号」で書くと、
（ⅰ）（Ｐ→Ｑ）→Ｑ 然るに、
（ⅱ）～Ｐ 従って、
（ⅲ） Ｑ
といふ「推論」は、「妥当」であるに「違ひない」。
然るに、
（06）
１ （１）（Ｐ→Ｑ）→Ｑ Ａ
２（２）～Ｐ Ａ
２（３）～Ｐ∨Ｑ ２∨Ｉ
２（４） Ｐ→Ｑ ３含意の定義
１２（５） Ｑ １４ＭＰＰ
従って、
（04）（05）（06）により、
（07）
果たして、
（ⅰ）（ＰならばＱ）ならば、Ｑである。 然るに、
（ⅱ） Ｐでない。 従って、
（ⅲ） Ｑである。
といふ「推論」は、「妥当」である。
然るに、
（08）
（ⅰ）Ｐであるか、または、Ｑである。 然るに、
（ⅱ） Ｑでない。 従って、
（ⅲ）Ｐである。
といふ「推論（選言三段論法）」は、「妥当」である。
従って、
（02）（08）により、
（09）
（ⅰ）（ＰならばＱ）ならば、Ｑである。 然るに、
（ⅱ） Ｑでない。 従って、
（ⅲ） Ｐである。
といふ「推論」も、「妥当」であるに「違ひない」。
従って、
（09）により、
（10）
「記号」で書くと、
（ⅰ）（Ｐ→Ｑ）→Ｑ 然るに、
（ⅱ） ～Ｑ 従って、
（ⅲ） Ｐ
といふ「推論」は、「妥当」であるに、「違ひない」。
然るに、
（11）
１ （１） （Ｐ→ Ｑ）→Ｑ Ａ
２ （２） ～（Ｐ＆～Ｑ） Ａ
２ （３） ～Ｐ∨ Ｑ ２ド・モルガンの法則
２ （４） Ｐ→ Ｑ ３含意の定義
１２ （５） Ｑ １４ＭＰＰ
１ （６） ～（Ｐ＆～Ｑ）→Ｑ ２５ＣＰ
７（７） ～Ｑ Ａ
１ ７（８）～～（Ｐ＆～Ｑ） ６７ＭＴＴ
１ ７（９） Ｐ＆～Ｑ ８ＤＮ
１ ７（ア） Ｐ ９＆Ｅ
従って、
（09）（10）（11）により、
（12）
果たして、
（ⅰ）（ＰならばＱ）ならば、Ｑである。 然るに、
（ⅱ） Ｑでない。 従って、
（ⅲ） Ｐである。
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（12）により、
（13）
Ｐ＝里子である。
Ｑ＝女性である。
として、
（ⅰ）（里子ならば女性である）ならば、女性である。 然るに、
（ⅱ） 女性でない。 従って、
（ⅲ） 里子である。
といふ「推論」は、「妥当」である。
然るに、
（14）
思ふに、
（ⅰ）（里子ならば女性である）ならば、女性である。 然るに、
（ⅱ） 女性でない。 従って、
（ⅲ） 里子である。
といふ「推論」が「妥当」である。
といふ風に、「普通の人」は、「思はない」。
令和５年１０月１５日、毛利太。
５ 原始的規則あるいは導出された規則を、既に証明されたどのような連式あるいは定理とでもともに用いて、証明せよ。
５ Using primitive or deriverd rulues, together with any sequents or theorems already proved,prove.
（E.J.レモン著、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、1973年、８０頁）
（ｈ）Ｐ∨Ｑ┤├（Ｐ→Ｑ）→Ｑ
〔（私の）解答〕
（ⅰ）
１ （１） Ｐ∨ Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ→ Ｑ Ａ
３ （３） Ｐ Ａ
２３ （４） Ｑ ２３ＭＰＰ
３ （５） （Ｐ→ Ｑ）→Ｑ ２４ＣＰ
６（６） Ｑ Ａ
６（７）～（Ｐ→ Ｑ）∨Ｑ ６∨Ｉ
６（８） （Ｐ→ Ｑ）→Ｑ ７含意の定義
１ （９） （Ｐ→ Ｑ）→Ｑ １３５６８∨Ｅ
（ⅱ）
１ （１） （Ｐ→ Ｑ）→Ｑ Ａ
１ （２） ～（Ｐ→ Ｑ）∨Ｑ １含意の定義
３ （３） ～（Ｐ→ Ｑ） Ａ
３ （４）～（～Ｐ∨ Ｑ） ３含意の定義
３ （５） Ｐ＆～Ｑ ４ド・モルガンの法則
３ （６） Ｐ ５＆Ｅ
３ （７） Ｐ∨Ｑ ６∨Ｉ
８（８） Ｑ Ａ
８（９） Ｐ∨Ｑ ８∨Ｉ
１ （ア） Ｐ∨Ｑ １３７８９∨Ｅ
従って、
（01）により、
（02）
① Ｐ∨Ｑ
②（Ｐ→Ｑ）→Ｑ
に於いて、すなはち、
① Ｐであるか、または、Ｑである。
②（ＰならばＱ）ならば、Ｑである。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（03）
（ⅰ）Ｐであるか、または、Ｑである。 然るに、
（ⅱ）Ｐでない。 従って、
（ⅲ） Ｑである。
といふ「推論（選言三段論法）」は、「妥当」である。
従って、
（02）（03）により、
（04）
（ⅰ）（ＰならばＱ）ならば、Ｑである。 然るに、
（ⅱ） Ｐでない。 従って、
（ⅲ） Ｑである。
といふ「推論」も、「妥当」であるに、「違ひない」。
従って、
（04）により、
（05）
「記号」で書くと、
（ⅰ）（Ｐ→Ｑ）→Ｑ 然るに、
（ⅱ）～Ｐ 従って、
（ⅲ） Ｑ
といふ「推論」は、「妥当」であるに「違ひない」。
然るに、
（06）
１ （１）（Ｐ→Ｑ）→Ｑ Ａ
２（２）～Ｐ Ａ
２（３）～Ｐ∨Ｑ ２∨Ｉ
２（４） Ｐ→Ｑ ３含意の定義
１２（５） Ｑ １４ＭＰＰ
従って、
（04）（05）（06）により、
（07）
果たして、
（ⅰ）（ＰならばＱ）ならば、Ｑである。 然るに、
（ⅱ） Ｐでない。 従って、
（ⅲ） Ｑである。
といふ「推論」は、「妥当」である。
然るに、
（08）
（ⅰ）Ｐであるか、または、Ｑである。 然るに、
（ⅱ） Ｑでない。 従って、
（ⅲ）Ｐである。
といふ「推論（選言三段論法）」は、「妥当」である。
従って、
（02）（08）により、
（09）
（ⅰ）（ＰならばＱ）ならば、Ｑである。 然るに、
（ⅱ） Ｑでない。 従って、
（ⅲ） Ｐである。
といふ「推論」も、「妥当」であるに「違ひない」。
従って、
（09）により、
（10）
「記号」で書くと、
（ⅰ）（Ｐ→Ｑ）→Ｑ 然るに、
（ⅱ） ～Ｑ 従って、
（ⅲ） Ｐ
といふ「推論」は、「妥当」であるに、「違ひない」。
然るに、
（11）
１ （１） （Ｐ→ Ｑ）→Ｑ Ａ
２ （２） ～（Ｐ＆～Ｑ） Ａ
２ （３） ～Ｐ∨ Ｑ ２ド・モルガンの法則
２ （４） Ｐ→ Ｑ ３含意の定義
１２ （５） Ｑ １４ＭＰＰ
１ （６） ～（Ｐ＆～Ｑ）→Ｑ ２５ＣＰ
７（７） ～Ｑ Ａ
１ ７（８）～～（Ｐ＆～Ｑ） ６７ＭＴＴ
１ ７（９） Ｐ＆～Ｑ ８ＤＮ
１ ７（ア） Ｐ ９＆Ｅ
従って、
（09）（10）（11）により、
（12）
果たして、
（ⅰ）（ＰならばＱ）ならば、Ｑである。 然るに、
（ⅱ） Ｑでない。 従って、
（ⅲ） Ｐである。
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（12）により、
（13）
Ｐ＝里子である。
Ｑ＝女性である。
として、
（ⅰ）（里子ならば女性である）ならば、女性である。 然るに、
（ⅱ） 女性でない。 従って、
（ⅲ） 里子である。
といふ「推論」は、「妥当」である。
然るに、
（14）
思ふに、
（ⅰ）（里子ならば女性である）ならば、女性である。 然るに、
（ⅱ） 女性でない。 従って、
（ⅲ） 里子である。
といふ「推論」が「妥当」である。
といふ風に、「普通の人」は、「思はない」。
令和５年１０月１５日、毛利太。
「Ｐ∨（Ｐ→Ｑ）」は「排中律（～Ｑ∨Ｑ）」である。
（01）
④ 太郎であるか、または、太郎であるならば、男性である。
といふ「日本語」が、「恒に真」である。
といふことを、『証明』します。
（02）
仮定の数がゼロである、「証明可能な連式の結論」は、「恒真式（トートロジー）」である。
（E.J.レモン著、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、1973年、６４頁）
然るに、
（03）
（ⅰ）
１（１）Ｐ Ａ
（２）Ｐ→Ｐ １１ＣＰ
（ⅱ）
１ （１） ～（～Ｐ∨Ｐ） Ａ
２ （２） ～Ｐ Ａ
２ （３） ～Ｐ∨Ｐ ２∨Ｉ
１２ （４） ～（～Ｐ∨Ｐ）＆
（～Ｐ∨Ｐ） １３＆Ｉ
１ （５） ～～Ｐ ２４ＲＡＡ
１ （６） Ｐ ５ＤＮ
１ （７） ～Ｐ∨Ｐ ６∨Ｉ
１ （８） ～（～Ｐ∨Ｐ）＆
（～Ｐ∨Ｐ） １７＆Ｉ
（９）～～（～Ｐ∨Ｐ） １８ＲＡＡ
（ア） ～Ｐ∨Ｐ ９ＤＮ
（ⅲ）
１ （１） ～（～Ｐ∨Ｐ） Ａ
２ （２） ～Ｐ Ａ
２ （３） ～Ｐ∨Ｐ ２∨Ｉ
１２ （４） ～（～Ｐ∨Ｐ）＆
（～Ｐ∨Ｐ） １３＆Ｉ
１ （５） ～～Ｐ ２４ＲＡＡ
１ （６） Ｐ ５ＤＮ
１ （７） ～Ｐ∨Ｐ ６∨Ｉ
１ （８） ～（～Ｐ∨Ｐ）＆
（～Ｐ∨Ｐ） １７＆Ｉ
（９）～～（～Ｐ∨Ｐ） １８ＲＡＡ
（ア） ～Ｐ∨Ｐ ９ＤＮ
イ （イ） ～Ｐ Ａ
イ （ウ） ～Ｐ∨Ｑ イ∨Ｉ
エ （エ） Ｐ＆～Ｑ Ａ
オ （オ） ～Ｐ Ａ
エ （カ） Ｐ エ＆Ｅ
エオ （キ） ～Ｐ＆Ｐ オカ＆Ｉ
オ （ク） ～（Ｐ＆～Ｑ） エキＲＡＡ
ケ （ケ） Ｑ Ａ
エ （コ） ～Ｑ エ＆Ｅ
エ ケ （サ） Ｑ＆～Ｑ ケコ＆Ｉ
ケ （シ） ～（Ｐ＆～Ｑ） エサＲＡＡ
イ （ス） ～（Ｐ＆～Ｑ） イオクケシ∨Ｅ
セ （セ） Ｐ Ａ
ソ （ソ） ～Ｑ Ａ
セソ （タ） Ｐ＆～Ｑ セソ＆Ｉ
イ セソ （チ） ～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） スタ＆Ｉ
イ セ （ツ） ～～Ｑ ソチＲＡＡ
イ セ （テ） Ｑ ツＤＮ
イ （ト） Ｐ→ Ｑ セテＣＰ
イ （ナ）Ｐ∨（Ｐ→ Ｑ） ト∨Ｉ
ニ（ニ） Ｐ Ａ
ニ（ヌ）Ｐ∨（Ｐ→ Ｑ） ニ∨Ｉ
（ネ）Ｐ∨（Ｐ→ Ｑ） アイナニヌ∨Ｅ
従って、
（02）（03）により、
（04）
① Ｐ→Ｐ（同一律）
② ～Ｐ∨Ｐ（排中律）
③ Ｐ∨（Ｐ→Ｑ）（練習問題５ａ）
といふ「論理式」は、３つとも「恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（04）により、
（05）
① Ｐであるならば、Ｐである。
② Ｐでないか、または、Ｐである。
③ Ｐであるか、または、Ｐであるならば、Ｑである。
といふ「日本語」は、３つとも、「恒に真」である。
然るに、
（05）により、
（06）
① Ｐであるならば、Ｐである（同一律）。
② Ｐでないか、または、Ｐである（排中律）。
といふ「日本語」は、ともかく、
③ Ｐであるか、または、Ｐならば、Ｑである（練習問題５ａ）。
といふ「日本語」が、「恒に真である」。
といふことは、「分かり難い（意外である）」。
然るに、
（07）
Ｐ，Ｑの二つを組みにする場合、「非排他的な選言」は、「ＰまたはＱ，またはその両方」と言います（易しくない論理学）。
然るに、
（08）
③ Ｐ∨（Ｐ→Ｑ）
③ Ｐであるか、または、Ｐであるならば、Ｑである。
の場合は、「非排他的な選言」である。
従って、
（07）（08）により、
（09）
③ Ｐ∨（Ｐ→Ｑ）
である場合は、
④ Ｐだけが 「真」であることも、
⑤（Ｐ→Ｑ）だけが 「真」であることも、
⑥ Ｐと（Ｐ→Ｑ）が「真」であることも、「可能」である。
然るに、
（10）
１（１）Ｐ＆（Ｐ→Ｑ） Ａ
１（２）Ｐ １＆Ｅ
１（３） Ｐ→Ｑ １＆Ｅ
１（４） Ｑ ２３ＭＰＰ
然るに、
（09）（10）により、
（11）
③ Ｐ∨（Ｐ→Ｑ）
である場合に、
④ であるとしても、Ｑであるとは、「限らない」。
⑤ であるとしても、Ｑであるとは、「限らない」が、
⑥ であるならば、 Ｑである。
従って、
（11）により、
（12）
③ Ｐ∨（Ｐ→Ｑ）
といふ「論理式」が「真」であるならば、
③ Ｑであるか、または、Ｑでない。
といふ「日本語」は「真」である。
従って、
（04）（05）（12）により、
（13）
「番号」を「付け替へ」るものの、
① Ｑ∨～Ｑ
② Ｐ∨（Ｐ→～Ｑ）
③ Ｑであるか、または、Ｑでない。
④ Ｐであるか、または、Ｐであるならば、Ｑである。
といふ「論理式・日本語」に於いて、
①＝②＝③＝④ である。
従って、
（13）により、
（14）
③ Ｑであるか、または、Ｑでない。
④ Ｐであるか、または、Ｐであるならば、Ｑである。
といふ「日本語」に於いて、
③＝④ である。
従って、
（14）により、
（15）
Ｑ＝男性である。
Ｐ＝太郎である。
として、
③ 男性であるか、または、男性ではない。
④ 太郎であるか、または、太郎であるならば、男性である。
といふ「日本語」に於いて、
③＝④ である。
然るに、
（16）
③ 男性であるか、または、男性ではない。
といふ「命題（排中律）」は、「恒に真」である。
従って、
（15）（16）により、
（17）
④ 太郎であるか、または、太郎であるならば、男性である。
といふ「命題（排中律）」も、「恒に真」である。
然るに、
（18）
④ 太郎であるか、または、太郎であるならば、男性である。
といふ「命題」が、「排中律」である。
といふことは、「（論理学に疎い）普通の人」は、「気付かない」。
従って、
（18）により、
（19）
④ 太郎であるか、または、太郎であるならば、男性である。
といふ「命題」が、「恒に真」である。
といふことに、「（論理学に疎い）普通の人」は、「気付かない」。
然るに、
（20）
５ 原始的規則あるいは導出された規則を、既に証明されたどのような連式あるいは定理とでもともに用いて、証明せよ。
５ Using primitive or deriverd rulues, together with any sequents or theorems already proved,prove.
（E.J.レモン著、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、1973年、８０頁）
（ａ）├ Ｐ∨（Ｐ→Ｑ）
〔（私の）解答〕
（１） ～Ｐ∨Ｐ 排中律
２ （２） ～Ｐ Ａ
２ （３） ～Ｐ∨Ｑ ２∨Ｉ
２ （４） Ｐ→Ｑ ３含意の定義
２ （５）Ｐ∨（Ｐ→Ｑ） ４∨Ｉ
６（６） Ｐ Ａ
６（７）Ｐ∨（Ｐ→Ｑ） ６∨Ｉ
（８）Ｐ∨（Ｐ→Ｑ） １２５６６∨Ｅ
従って、
（01）（02）（03）（13）（15）（20）により、
（21）
いづれにせよ、
④ 太郎であるか、または、太郎であるならば、男性である。
といふ「命題」は、「恒に真」である。
令和５年１０月１５日、毛利太。
④ 太郎であるか、または、太郎であるならば、男性である。
といふ「日本語」が、「恒に真」である。
といふことを、『証明』します。
（02）
仮定の数がゼロである、「証明可能な連式の結論」は、「恒真式（トートロジー）」である。
（E.J.レモン著、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、1973年、６４頁）
然るに、
（03）
（ⅰ）
１（１）Ｐ Ａ
（２）Ｐ→Ｐ １１ＣＰ
（ⅱ）
１ （１） ～（～Ｐ∨Ｐ） Ａ
２ （２） ～Ｐ Ａ
２ （３） ～Ｐ∨Ｐ ２∨Ｉ
１２ （４） ～（～Ｐ∨Ｐ）＆
（～Ｐ∨Ｐ） １３＆Ｉ
１ （５） ～～Ｐ ２４ＲＡＡ
１ （６） Ｐ ５ＤＮ
１ （７） ～Ｐ∨Ｐ ６∨Ｉ
１ （８） ～（～Ｐ∨Ｐ）＆
（～Ｐ∨Ｐ） １７＆Ｉ
（９）～～（～Ｐ∨Ｐ） １８ＲＡＡ
（ア） ～Ｐ∨Ｐ ９ＤＮ
（ⅲ）
１ （１） ～（～Ｐ∨Ｐ） Ａ
２ （２） ～Ｐ Ａ
２ （３） ～Ｐ∨Ｐ ２∨Ｉ
１２ （４） ～（～Ｐ∨Ｐ）＆
（～Ｐ∨Ｐ） １３＆Ｉ
１ （５） ～～Ｐ ２４ＲＡＡ
１ （６） Ｐ ５ＤＮ
１ （７） ～Ｐ∨Ｐ ６∨Ｉ
１ （８） ～（～Ｐ∨Ｐ）＆
（～Ｐ∨Ｐ） １７＆Ｉ
（９）～～（～Ｐ∨Ｐ） １８ＲＡＡ
（ア） ～Ｐ∨Ｐ ９ＤＮ
イ （イ） ～Ｐ Ａ
イ （ウ） ～Ｐ∨Ｑ イ∨Ｉ
エ （エ） Ｐ＆～Ｑ Ａ
オ （オ） ～Ｐ Ａ
エ （カ） Ｐ エ＆Ｅ
エオ （キ） ～Ｐ＆Ｐ オカ＆Ｉ
オ （ク） ～（Ｐ＆～Ｑ） エキＲＡＡ
ケ （ケ） Ｑ Ａ
エ （コ） ～Ｑ エ＆Ｅ
エ ケ （サ） Ｑ＆～Ｑ ケコ＆Ｉ
ケ （シ） ～（Ｐ＆～Ｑ） エサＲＡＡ
イ （ス） ～（Ｐ＆～Ｑ） イオクケシ∨Ｅ
セ （セ） Ｐ Ａ
ソ （ソ） ～Ｑ Ａ
セソ （タ） Ｐ＆～Ｑ セソ＆Ｉ
イ セソ （チ） ～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） スタ＆Ｉ
イ セ （ツ） ～～Ｑ ソチＲＡＡ
イ セ （テ） Ｑ ツＤＮ
イ （ト） Ｐ→ Ｑ セテＣＰ
イ （ナ）Ｐ∨（Ｐ→ Ｑ） ト∨Ｉ
ニ（ニ） Ｐ Ａ
ニ（ヌ）Ｐ∨（Ｐ→ Ｑ） ニ∨Ｉ
（ネ）Ｐ∨（Ｐ→ Ｑ） アイナニヌ∨Ｅ
従って、
（02）（03）により、
（04）
① Ｐ→Ｐ（同一律）
② ～Ｐ∨Ｐ（排中律）
③ Ｐ∨（Ｐ→Ｑ）（練習問題５ａ）
といふ「論理式」は、３つとも「恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（04）により、
（05）
① Ｐであるならば、Ｐである。
② Ｐでないか、または、Ｐである。
③ Ｐであるか、または、Ｐであるならば、Ｑである。
といふ「日本語」は、３つとも、「恒に真」である。
然るに、
（05）により、
（06）
① Ｐであるならば、Ｐである（同一律）。
② Ｐでないか、または、Ｐである（排中律）。
といふ「日本語」は、ともかく、
③ Ｐであるか、または、Ｐならば、Ｑである（練習問題５ａ）。
といふ「日本語」が、「恒に真である」。
といふことは、「分かり難い（意外である）」。
然るに、
（07）
Ｐ，Ｑの二つを組みにする場合、「非排他的な選言」は、「ＰまたはＱ，またはその両方」と言います（易しくない論理学）。
然るに、
（08）
③ Ｐ∨（Ｐ→Ｑ）
③ Ｐであるか、または、Ｐであるならば、Ｑである。
の場合は、「非排他的な選言」である。
従って、
（07）（08）により、
（09）
③ Ｐ∨（Ｐ→Ｑ）
である場合は、
④ Ｐだけが 「真」であることも、
⑤（Ｐ→Ｑ）だけが 「真」であることも、
⑥ Ｐと（Ｐ→Ｑ）が「真」であることも、「可能」である。
然るに、
（10）
１（１）Ｐ＆（Ｐ→Ｑ） Ａ
１（２）Ｐ １＆Ｅ
１（３） Ｐ→Ｑ １＆Ｅ
１（４） Ｑ ２３ＭＰＰ
然るに、
（09）（10）により、
（11）
③ Ｐ∨（Ｐ→Ｑ）
である場合に、
④ であるとしても、Ｑであるとは、「限らない」。
⑤ であるとしても、Ｑであるとは、「限らない」が、
⑥ であるならば、 Ｑである。
従って、
（11）により、
（12）
③ Ｐ∨（Ｐ→Ｑ）
といふ「論理式」が「真」であるならば、
③ Ｑであるか、または、Ｑでない。
といふ「日本語」は「真」である。
従って、
（04）（05）（12）により、
（13）
「番号」を「付け替へ」るものの、
① Ｑ∨～Ｑ
② Ｐ∨（Ｐ→～Ｑ）
③ Ｑであるか、または、Ｑでない。
④ Ｐであるか、または、Ｐであるならば、Ｑである。
といふ「論理式・日本語」に於いて、
①＝②＝③＝④ である。
従って、
（13）により、
（14）
③ Ｑであるか、または、Ｑでない。
④ Ｐであるか、または、Ｐであるならば、Ｑである。
といふ「日本語」に於いて、
③＝④ である。
従って、
（14）により、
（15）
Ｑ＝男性である。
Ｐ＝太郎である。
として、
③ 男性であるか、または、男性ではない。
④ 太郎であるか、または、太郎であるならば、男性である。
といふ「日本語」に於いて、
③＝④ である。
然るに、
（16）
③ 男性であるか、または、男性ではない。
といふ「命題（排中律）」は、「恒に真」である。
従って、
（15）（16）により、
（17）
④ 太郎であるか、または、太郎であるならば、男性である。
といふ「命題（排中律）」も、「恒に真」である。
然るに、
（18）
④ 太郎であるか、または、太郎であるならば、男性である。
といふ「命題」が、「排中律」である。
といふことは、「（論理学に疎い）普通の人」は、「気付かない」。
従って、
（18）により、
（19）
④ 太郎であるか、または、太郎であるならば、男性である。
といふ「命題」が、「恒に真」である。
といふことに、「（論理学に疎い）普通の人」は、「気付かない」。
然るに、
（20）
５ 原始的規則あるいは導出された規則を、既に証明されたどのような連式あるいは定理とでもともに用いて、証明せよ。
５ Using primitive or deriverd rulues, together with any sequents or theorems already proved,prove.
（E.J.レモン著、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、1973年、８０頁）
（ａ）├ Ｐ∨（Ｐ→Ｑ）
〔（私の）解答〕
（１） ～Ｐ∨Ｐ 排中律
２ （２） ～Ｐ Ａ
２ （３） ～Ｐ∨Ｑ ２∨Ｉ
２ （４） Ｐ→Ｑ ３含意の定義
２ （５）Ｐ∨（Ｐ→Ｑ） ４∨Ｉ
６（６） Ｐ Ａ
６（７）Ｐ∨（Ｐ→Ｑ） ６∨Ｉ
（８）Ｐ∨（Ｐ→Ｑ） １２５６６∨Ｅ
従って、
（01）（02）（03）（13）（15）（20）により、
（21）
いづれにせよ、
④ 太郎であるか、または、太郎であるならば、男性である。
といふ「命題」は、「恒に真」である。
令和５年１０月１５日、毛利太。
2023年10月14日土曜日
「命題計算の練習問題（E.J.レモン）」の「解答」。
（01）
５ 原始的規則あるいは導出された規則を、既に証明されたどのような連式あるいは定理とでもともに用いて、証明せよ。
５ Using primitive or deriverd rulues, together with any sequents or theorems already proved,prove.
（E.J.レモン著、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、1973年、８０頁）
（ａ）├ Ｐ∨（Ｐ→Ｑ）
（１） ～Ｐ∨Ｐ 排中律
２ （２） ～Ｐ Ａ
２ （３） ～Ｐ∨Ｑ ２∨Ｉ
２ （４） Ｐ→Ｑ ３含意の定義
２ （５）Ｐ∨（Ｐ→Ｑ） ４∨Ｉ
６（６） Ｐ Ａ
６（７）Ｐ∨（Ｐ→Ｑ） ６∨Ｉ
（８）Ｐ∨（Ｐ→Ｑ） １２５６６∨Ｅ
（∴）（Ｐであるか、または（ＰならばＱである））は「恒に真」である。
（ｂ）├（Ｐ→Ｑ）∨（Ｑ→Ｒ）
（１） Ｑ∨～Ｑ 排中律
２ （２） Ｑ Ａ
２ （３）～Ｐ∨Ｑ ２∨Ｉ
２ （４） Ｐ→Ｑ ３含意の定義
２ （５）（Ｐ→Ｑ）∨（Ｑ→Ｒ） ４∨Ｉ
６（６） ～Ｑ Ａ
６（７） ～Ｑ∨Ｒ ６∨Ｉ
６（８） Ｑ→Ｒ ７含意の定義
６（９）（Ｐ→Ｑ）∨（Ｑ→Ｒ） ８∨Ｉ
（ア）（Ｐ→Ｑ）∨（Ｑ→Ｒ） １２５６９∨Ｅ
（∴）（（ＰならばＱであるか）または（ＱならばＲである））は「恒に真」である。
（ｃ）├（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
１ （１） （Ｐ→ Ｑ）→Ｐ Ａ
２ （２）～（Ｐ＆～Ｑ） Ａ
２ （３） ～Ｐ∨ Ｑ ２ド・モルガンの法則
２ （４） Ｐ→ Ｑ ３含意の定義
１２ （５） Ｐ １４ＭＰＰ
１ （６）～（Ｐ＆～Ｑ）→Ｐ ２５ＣＰ
１ （７） （Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ ６含意の定義
８ （８） Ｐ＆～Ｑ Ａ
８ （９） Ｐ ８＆Ｅ
ア（ア） Ｐ Ａ
１ （イ） Ｐ ７８９アア∨Ｅ
（ウ）（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ １イＣＰ
（∴）「パースの法則」は「恒に真」である。
（ｄ）～Ｑ├ Ｐ→（Ｑ→Ｒ）
１（１） ～Ｑ Ａ
１（２） ～Ｑ∨Ｒ １∨Ｉ
１（３） Ｑ→Ｒ ２含意の定義
１（４）～Ｐ∨（Ｑ→Ｒ） ３∨Ｉ
１（５） Ｐ→（Ｑ→Ｒ） ４含意の定義
（∴）Ｑではない。従って、Ｐならば（ＱならばＲである）。
（ｅ）Ｐ，～Ｐ├ Ｑ
１ （１） Ｐ Ａ
２（２）～Ｐ Ａ
２（３）～Ｐ∨Ｑ ２∨Ｉ
２（４） Ｐ→Ｑ ３含意の定義
１２（５） Ｑ １４ＭＰＰ
（∴）Ｐである。Ｐでない。従って、Ｑである。
（ｆ）Ｐ∨Ｑ├ ～Ｐ→Ｑ
１ （１） Ｐ∨Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
２ （３）～～Ｐ ２ＤＮ
２ （４）～～Ｐ∨Ｑ ３∨Ｉ
５（５） Ｑ Ａ
５（６）～～Ｐ∨Ｑ ５∨Ｉ
１ （７）～～Ｐ∨Ｑ １２４５６∨Ｅ
１ （８） ～Ｐ→Ｑ ７含意の定義
（∴）Ｐであるか、または、Ｑである。従って、Ｐでないならば、Ｑである。
（ｇ）～（Ｐ→Ｑ）┤├ Ｐ＆～Ｑ
（α）
１ （１） ～（Ｐ→ Ｑ） Ａ
２（２） ～（Ｐ＆～Ｑ） Ａ
２（３） ～Ｐ∨ Ｑ ２ド・モルガンの法則
２（４） Ｐ→ Ｑ ３含意の定義
１２（５） ～（Ｐ→ Ｑ）＆
（Ｐ→ Ｑ） １４＆Ｉ
１ （６）～～（Ｐ＆～Ｑ） ２５ＲＡＡ
１ （７） Ｐ＆～Ｑ ６ＤＮ
（β）
１ （１） Ｐ＆～Ｑ Ａ
２（２） Ｐ→ Ｑ Ａ
１ （３） Ｐ １＆Ｅ
１２（４） Ｑ ２３ＭＰＰ
１ （５） ～Ｑ １＆Ｅ
１２（６） Ｑ＆～Ｑ ４５＆Ｉ
１ （７） ～（Ｐ→ Ｑ） ２６ＲＡＡ
（∴）（（ＰならばＱである）といふことはない）といふことは、（Ｐであって、Ｑでない）といふことに「等しい」。
（ｈ）
（α）（Ｐ→Ｑ）→Ｑ ┤├ Ｐ∨Ｑ
１ （１） （Ｐ→ Ｑ）→Ｑ Ａ
１ （２） ～（Ｐ→ Ｑ）∨Ｑ １含意の定義
３ （３） ～（Ｐ→ Ｑ） Ａ
３ （４）～（～Ｐ∨ Ｑ） ３含意の定義
３ （５） Ｐ＆～Ｑ ４ド・モルガンの法則
３ （６） Ｐ ５＆Ｅ
３ （７） Ｐ∨Ｑ ６∨Ｉ
８（８） Ｑ Ａ
８（９） Ｐ∨Ｑ ８∨Ｉ
１ （ア） Ｐ∨Ｑ １３７８９∨Ｅ
（β）
１ （１） Ｐ∨ Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ→ Ｑ Ａ
３ （３） Ｐ Ａ
２３ （４） Ｑ ２３ＭＰＰ
３ （５） （Ｐ→ Ｑ）→Ｑ ２４ＣＰ
６（６） Ｑ Ａ
６（７）～（Ｐ→ Ｑ）∨Ｑ ６∨Ｉ
６（８） （Ｐ→ Ｑ）→Ｑ ７含意の定義
１ （９） （Ｐ→ Ｑ）→Ｑ １３５６８∨Ｅ
（∴）（（ＰならばＱ）ならばＱである）といふことは、（Ｐであるか、または、Ｑである）といふことに「等しい」。
（ｉ）（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｒ） ┤├ Ｐ→（Ｑ∨Ｒ）
（α）
１ （１）（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｒ） Ａ
２ （２） Ｐ→Ｑ Ａ
３ （３） Ｐ Ａ
２３ （４） Ｑ ２３ＭＰＰ
２３ （５） Ｑ∨Ｒ ４∨Ｉ
２ （６）Ｐ→（Ｑ∨Ｒ） ３５ＣＰ
７（７） Ｐ→Ｒ Ａ
３７（８） Ｒ ３７ＭＰＰ
３７（９） Ｑ∨Ｒ ８∨Ｉ
７（ア）Ｐ→（Ｑ∨Ｒ） ３９ＣＰ
１ （イ）Ｐ→（Ｑ∨Ｒ） １２６７ア∨Ｅ
（β）
１ （１） Ｐ→（Ｑ∨Ｒ） Ａ
１ （２）～Ｐ∨（Ｑ∨Ｒ） １含意の定義
２ （３）～Ｐ Ａ
２ （４）～Ｐ∨Ｑ ３∨Ｉ
２ （５） Ｐ→Ｑ ４含意の定義
２ （６）（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｒ） ５∨Ｉ
７ （７） Ｑ∨Ｒ Ａ
８ （８） Ｑ Ａ
８ （９） ～Ｐ∨Ｑ ８∨Ｉ
８ （ア） Ｐ→Ｑ ９含意の定義
８ （イ）（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｒ） ア∨Ｉ
ウ（ウ） Ｒ Ａ
ウ（エ） ～Ｐ∨Ｒ ウ∨Ｉ
ウ（オ） Ｐ→Ｒ エ含意の定義
ウ（カ）（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｒ） オ∨Ｉ
７ （キ）（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｒ） ７８イウカ∨Ｅ
１ （ク）（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｒ） ２３６７キ∨Ｅ
（∴）（（Ｐならば、Ｑであるか）または（Ｐならば、Ｒである））といふことは、（Ｐならば（Ｑであるか、または、Ｒである））といふことに「等しい」。
（ｊ）（Ｐ⇔Ｑ）∨Ｑ┤├ Ｐ→Ｑ
（α）
１ （１）（Ｐ⇔Ｑ）∨Ｑ Ａ
２ （２）（Ｐ⇔Ｑ） Ａ
２ （３） Ｐ→Ｑ＆
Ｑ→Ｐ ２Ｄｆ．⇔
２ （４） Ｐ→Ｑ ３＆Ｅ
５（５） Ｑ Ａ
５（６） ～Ｐ∨Ｑ ５∨Ｉ
５（７） Ｐ→Ｑ ６含意の定義
１ （８） Ｐ→Ｑ １２４５７∨Ｅ
（β）
１ （１） Ｐ→Ｑ Ａ
２（２） ～｛（Ｐ⇔Ｑ）∨ Ｑ｝ Ａ
２（３） ～（Ｐ⇔Ｑ）＆ ～Ｑ ２ド・モルガンの法則
２（４） ～（Ｐ⇔Ｑ） ３＆Ｅ
２（５） ～｛（Ｐ→Ｑ）＆ （Ｑ→ Ｐ）｝ ４Ｄｆ．⇔
２（６） ～（Ｐ→Ｑ）∨～（Ｑ→ Ｐ） ５ド・モルガンの法則
２（７） （Ｐ→Ｑ）→～（Ｑ→ Ｐ） ６含意の定義
１２（８） ～（Ｑ→ Ｐ） １７ＭＰＰ
１２（９） ～（～Ｑ∨ Ｐ） ８含意の定義
１２（ア） Ｑ＆～Ｐ ９ド・モルガンの法則
１２（イ） Ｑ ア＆Ｉ
２（ウ） ～Ｑ ３＆Ｅ
１２（エ） Ｑ＆～Ｑ イウ＆Ｉ
１ （オ）～～｛（Ｐ⇔Ｑ）∨ Ｑ｝ ２エＲＡＡ
１ （カ） ｛（Ｐ⇔Ｑ）∨ Ｑ｝ オＤＮ
（∴）（（ＰとＱが「等しい」か、または、Ｑである）といふことは、（Ｐならば、Ｑである）といふことに「等しい」。
（ｋ）Ｑ├ Ｐ＆Ｑ⇔Ｐ
１ （１） Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆Ｑ Ａ
２ （３） Ｐ ２＆Ｅ
（４）（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ ２３ＣＰ
５（５） Ｐ Ａ
１ ５（６） Ｐ＆Ｑ １５＆Ｉ
１ （７） Ｐ→（Ｐ＆Ｑ） ５６ＣＰ
１ （８）（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ＆
Ｐ→（Ｐ＆Ｑ） ４７＆Ｉ
１ （９）（Ｐ＆Ｑ）⇔Ｐ ８Ｄｆ.⇔
（∴）Ｑである。従って、（ＰであってＱである）といふことは、（Ｐである）といふことに「等しい」。
（ｌ）～Ｑ├ Ｐ∨Ｑ⇔Ｐ
１ （１） ～Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ∨ Ｑ Ａ
２ （３）～（～Ｐ＆～Ｑ） ２ド・モルガンの法則
４ （４） ～Ｐ Ａ
１ ４ （５） ～Ｐ＆～Ｑ １４＆Ｉ
１２４ （６）～（～Ｐ＆～Ｑ）＆
（～Ｐ＆～Ｑ） ３５＆Ｉ
１２ （７） ～～Ｐ ４６ＲＡＡ
１２ （８） Ｐ ７ＤＮ
１ （９） （Ｐ∨Ｑ）→Ｐ ２８ＣＰ
ア（ア） Ｐ Ａ
ア（イ） Ｐ∨Ｑ ア∨Ｉ
（ウ） Ｐ→（Ｐ∨Ｑ） アイＣＰ
１ （エ） （Ｐ∨Ｑ）→Ｐ＆
Ｐ→（Ｐ∨Ｑ） ９ウ＆Ｉ
１ （オ） Ｐ∨Ｑ⇔Ｐ エＤｆ.⇔
（∴）Ｑではない。従って、（Ｐであるか、または、Ｑである）といふことは、（Ｐである）といふことに「等しい」。
従って、
（01）により、
（02）
（ａ） （Ｐであるか、または（ＰならばＱである））は「恒に真」である。
（ｂ）（（ＰならばＱであるか）または（ＱならばＲである））は「恒に真」である。
（ｃ）「パースの法則」は「恒に真」である。
（ｄ）Ｑではない。従って、Ｐならば（ＱならばＲである）。
（ｅ）Ｐである。Ｐでない。従って、Ｑである。
（ｆ）Ｐであるか、または、Ｑである。従って、Ｐでないならば、Ｑである。
（ｇ）（（ＰならばＱである）といふことはない）といふことは、（Ｐであって、Ｑでない）といふことに「等しい」。
（ｈ）（（ＰならばＱ）ならばＱである）といふことは、（Ｐであるか、または、Ｑである）といふことに「等しい」。
（ｉ）（（Ｐならば、Ｑであるか）または（Ｐならば、Ｒである））といふことは、（Ｐならば（Ｑであるか、または、Ｒである））といふことに「等しい」。
（ｊ）（（ＰとＱが「等しい」か、または、Ｑである）といふことは、（Ｐならば、Ｑである）といふことに「等しい」。
（ｋ）Ｑである。 従って、（ＰであってＱである）といふことは、（Ｐである）といふことに「等しい」。
（ｌ）Ｑではない。従って、（Ｐであるか、または、Ｑである）といふことは、（Ｐである）といふことに「等しい」。
といふ「命題」は、１２個とも、「すべて、真である」。
令和５年１０月１４日、毛利太。
５ 原始的規則あるいは導出された規則を、既に証明されたどのような連式あるいは定理とでもともに用いて、証明せよ。
５ Using primitive or deriverd rulues, together with any sequents or theorems already proved,prove.
（E.J.レモン著、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、1973年、８０頁）
（ａ）├ Ｐ∨（Ｐ→Ｑ）
（１） ～Ｐ∨Ｐ 排中律
２ （２） ～Ｐ Ａ
２ （３） ～Ｐ∨Ｑ ２∨Ｉ
２ （４） Ｐ→Ｑ ３含意の定義
２ （５）Ｐ∨（Ｐ→Ｑ） ４∨Ｉ
６（６） Ｐ Ａ
６（７）Ｐ∨（Ｐ→Ｑ） ６∨Ｉ
（８）Ｐ∨（Ｐ→Ｑ） １２５６６∨Ｅ
（∴）（Ｐであるか、または（ＰならばＱである））は「恒に真」である。
（ｂ）├（Ｐ→Ｑ）∨（Ｑ→Ｒ）
（１） Ｑ∨～Ｑ 排中律
２ （２） Ｑ Ａ
２ （３）～Ｐ∨Ｑ ２∨Ｉ
２ （４） Ｐ→Ｑ ３含意の定義
２ （５）（Ｐ→Ｑ）∨（Ｑ→Ｒ） ４∨Ｉ
６（６） ～Ｑ Ａ
６（７） ～Ｑ∨Ｒ ６∨Ｉ
６（８） Ｑ→Ｒ ７含意の定義
６（９）（Ｐ→Ｑ）∨（Ｑ→Ｒ） ８∨Ｉ
（ア）（Ｐ→Ｑ）∨（Ｑ→Ｒ） １２５６９∨Ｅ
（∴）（（ＰならばＱであるか）または（ＱならばＲである））は「恒に真」である。
（ｃ）├（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
１ （１） （Ｐ→ Ｑ）→Ｐ Ａ
２ （２）～（Ｐ＆～Ｑ） Ａ
２ （３） ～Ｐ∨ Ｑ ２ド・モルガンの法則
２ （４） Ｐ→ Ｑ ３含意の定義
１２ （５） Ｐ １４ＭＰＰ
１ （６）～（Ｐ＆～Ｑ）→Ｐ ２５ＣＰ
１ （７） （Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ ６含意の定義
８ （８） Ｐ＆～Ｑ Ａ
８ （９） Ｐ ８＆Ｅ
ア（ア） Ｐ Ａ
１ （イ） Ｐ ７８９アア∨Ｅ
（ウ）（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ １イＣＰ
（∴）「パースの法則」は「恒に真」である。
（ｄ）～Ｑ├ Ｐ→（Ｑ→Ｒ）
１（１） ～Ｑ Ａ
１（２） ～Ｑ∨Ｒ １∨Ｉ
１（３） Ｑ→Ｒ ２含意の定義
１（４）～Ｐ∨（Ｑ→Ｒ） ３∨Ｉ
１（５） Ｐ→（Ｑ→Ｒ） ４含意の定義
（∴）Ｑではない。従って、Ｐならば（ＱならばＲである）。
（ｅ）Ｐ，～Ｐ├ Ｑ
１ （１） Ｐ Ａ
２（２）～Ｐ Ａ
２（３）～Ｐ∨Ｑ ２∨Ｉ
２（４） Ｐ→Ｑ ３含意の定義
１２（５） Ｑ １４ＭＰＰ
（∴）Ｐである。Ｐでない。従って、Ｑである。
（ｆ）Ｐ∨Ｑ├ ～Ｐ→Ｑ
１ （１） Ｐ∨Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
２ （３）～～Ｐ ２ＤＮ
２ （４）～～Ｐ∨Ｑ ３∨Ｉ
５（５） Ｑ Ａ
５（６）～～Ｐ∨Ｑ ５∨Ｉ
１ （７）～～Ｐ∨Ｑ １２４５６∨Ｅ
１ （８） ～Ｐ→Ｑ ７含意の定義
（∴）Ｐであるか、または、Ｑである。従って、Ｐでないならば、Ｑである。
（ｇ）～（Ｐ→Ｑ）┤├ Ｐ＆～Ｑ
（α）
１ （１） ～（Ｐ→ Ｑ） Ａ
２（２） ～（Ｐ＆～Ｑ） Ａ
２（３） ～Ｐ∨ Ｑ ２ド・モルガンの法則
２（４） Ｐ→ Ｑ ３含意の定義
１２（５） ～（Ｐ→ Ｑ）＆
（Ｐ→ Ｑ） １４＆Ｉ
１ （６）～～（Ｐ＆～Ｑ） ２５ＲＡＡ
１ （７） Ｐ＆～Ｑ ６ＤＮ
（β）
１ （１） Ｐ＆～Ｑ Ａ
２（２） Ｐ→ Ｑ Ａ
１ （３） Ｐ １＆Ｅ
１２（４） Ｑ ２３ＭＰＰ
１ （５） ～Ｑ １＆Ｅ
１２（６） Ｑ＆～Ｑ ４５＆Ｉ
１ （７） ～（Ｐ→ Ｑ） ２６ＲＡＡ
（∴）（（ＰならばＱである）といふことはない）といふことは、（Ｐであって、Ｑでない）といふことに「等しい」。
（ｈ）
（α）（Ｐ→Ｑ）→Ｑ ┤├ Ｐ∨Ｑ
１ （１） （Ｐ→ Ｑ）→Ｑ Ａ
１ （２） ～（Ｐ→ Ｑ）∨Ｑ １含意の定義
３ （３） ～（Ｐ→ Ｑ） Ａ
３ （４）～（～Ｐ∨ Ｑ） ３含意の定義
３ （５） Ｐ＆～Ｑ ４ド・モルガンの法則
３ （６） Ｐ ５＆Ｅ
３ （７） Ｐ∨Ｑ ６∨Ｉ
８（８） Ｑ Ａ
８（９） Ｐ∨Ｑ ８∨Ｉ
１ （ア） Ｐ∨Ｑ １３７８９∨Ｅ
（β）
１ （１） Ｐ∨ Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ→ Ｑ Ａ
３ （３） Ｐ Ａ
２３ （４） Ｑ ２３ＭＰＰ
３ （５） （Ｐ→ Ｑ）→Ｑ ２４ＣＰ
６（６） Ｑ Ａ
６（７）～（Ｐ→ Ｑ）∨Ｑ ６∨Ｉ
６（８） （Ｐ→ Ｑ）→Ｑ ７含意の定義
１ （９） （Ｐ→ Ｑ）→Ｑ １３５６８∨Ｅ
（∴）（（ＰならばＱ）ならばＱである）といふことは、（Ｐであるか、または、Ｑである）といふことに「等しい」。
（ｉ）（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｒ） ┤├ Ｐ→（Ｑ∨Ｒ）
（α）
１ （１）（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｒ） Ａ
２ （２） Ｐ→Ｑ Ａ
３ （３） Ｐ Ａ
２３ （４） Ｑ ２３ＭＰＰ
２３ （５） Ｑ∨Ｒ ４∨Ｉ
２ （６）Ｐ→（Ｑ∨Ｒ） ３５ＣＰ
７（７） Ｐ→Ｒ Ａ
３７（８） Ｒ ３７ＭＰＰ
３７（９） Ｑ∨Ｒ ８∨Ｉ
７（ア）Ｐ→（Ｑ∨Ｒ） ３９ＣＰ
１ （イ）Ｐ→（Ｑ∨Ｒ） １２６７ア∨Ｅ
（β）
１ （１） Ｐ→（Ｑ∨Ｒ） Ａ
１ （２）～Ｐ∨（Ｑ∨Ｒ） １含意の定義
２ （３）～Ｐ Ａ
２ （４）～Ｐ∨Ｑ ３∨Ｉ
２ （５） Ｐ→Ｑ ４含意の定義
２ （６）（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｒ） ５∨Ｉ
７ （７） Ｑ∨Ｒ Ａ
８ （８） Ｑ Ａ
８ （９） ～Ｐ∨Ｑ ８∨Ｉ
８ （ア） Ｐ→Ｑ ９含意の定義
８ （イ）（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｒ） ア∨Ｉ
ウ（ウ） Ｒ Ａ
ウ（エ） ～Ｐ∨Ｒ ウ∨Ｉ
ウ（オ） Ｐ→Ｒ エ含意の定義
ウ（カ）（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｒ） オ∨Ｉ
７ （キ）（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｒ） ７８イウカ∨Ｅ
１ （ク）（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｒ） ２３６７キ∨Ｅ
（∴）（（Ｐならば、Ｑであるか）または（Ｐならば、Ｒである））といふことは、（Ｐならば（Ｑであるか、または、Ｒである））といふことに「等しい」。
（ｊ）（Ｐ⇔Ｑ）∨Ｑ┤├ Ｐ→Ｑ
（α）
１ （１）（Ｐ⇔Ｑ）∨Ｑ Ａ
２ （２）（Ｐ⇔Ｑ） Ａ
２ （３） Ｐ→Ｑ＆
Ｑ→Ｐ ２Ｄｆ．⇔
２ （４） Ｐ→Ｑ ３＆Ｅ
５（５） Ｑ Ａ
５（６） ～Ｐ∨Ｑ ５∨Ｉ
５（７） Ｐ→Ｑ ６含意の定義
１ （８） Ｐ→Ｑ １２４５７∨Ｅ
（β）
１ （１） Ｐ→Ｑ Ａ
２（２） ～｛（Ｐ⇔Ｑ）∨ Ｑ｝ Ａ
２（３） ～（Ｐ⇔Ｑ）＆ ～Ｑ ２ド・モルガンの法則
２（４） ～（Ｐ⇔Ｑ） ３＆Ｅ
２（５） ～｛（Ｐ→Ｑ）＆ （Ｑ→ Ｐ）｝ ４Ｄｆ．⇔
２（６） ～（Ｐ→Ｑ）∨～（Ｑ→ Ｐ） ５ド・モルガンの法則
２（７） （Ｐ→Ｑ）→～（Ｑ→ Ｐ） ６含意の定義
１２（８） ～（Ｑ→ Ｐ） １７ＭＰＰ
１２（９） ～（～Ｑ∨ Ｐ） ８含意の定義
１２（ア） Ｑ＆～Ｐ ９ド・モルガンの法則
１２（イ） Ｑ ア＆Ｉ
２（ウ） ～Ｑ ３＆Ｅ
１２（エ） Ｑ＆～Ｑ イウ＆Ｉ
１ （オ）～～｛（Ｐ⇔Ｑ）∨ Ｑ｝ ２エＲＡＡ
１ （カ） ｛（Ｐ⇔Ｑ）∨ Ｑ｝ オＤＮ
（∴）（（ＰとＱが「等しい」か、または、Ｑである）といふことは、（Ｐならば、Ｑである）といふことに「等しい」。
（ｋ）Ｑ├ Ｐ＆Ｑ⇔Ｐ
１ （１） Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆Ｑ Ａ
２ （３） Ｐ ２＆Ｅ
（４）（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ ２３ＣＰ
５（５） Ｐ Ａ
１ ５（６） Ｐ＆Ｑ １５＆Ｉ
１ （７） Ｐ→（Ｐ＆Ｑ） ５６ＣＰ
１ （８）（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ＆
Ｐ→（Ｐ＆Ｑ） ４７＆Ｉ
１ （９）（Ｐ＆Ｑ）⇔Ｐ ８Ｄｆ.⇔
（∴）Ｑである。従って、（ＰであってＱである）といふことは、（Ｐである）といふことに「等しい」。
（ｌ）～Ｑ├ Ｐ∨Ｑ⇔Ｐ
１ （１） ～Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ∨ Ｑ Ａ
２ （３）～（～Ｐ＆～Ｑ） ２ド・モルガンの法則
４ （４） ～Ｐ Ａ
１ ４ （５） ～Ｐ＆～Ｑ １４＆Ｉ
１２４ （６）～（～Ｐ＆～Ｑ）＆
（～Ｐ＆～Ｑ） ３５＆Ｉ
１２ （７） ～～Ｐ ４６ＲＡＡ
１２ （８） Ｐ ７ＤＮ
１ （９） （Ｐ∨Ｑ）→Ｐ ２８ＣＰ
ア（ア） Ｐ Ａ
ア（イ） Ｐ∨Ｑ ア∨Ｉ
（ウ） Ｐ→（Ｐ∨Ｑ） アイＣＰ
１ （エ） （Ｐ∨Ｑ）→Ｐ＆
Ｐ→（Ｐ∨Ｑ） ９ウ＆Ｉ
１ （オ） Ｐ∨Ｑ⇔Ｐ エＤｆ.⇔
（∴）Ｑではない。従って、（Ｐであるか、または、Ｑである）といふことは、（Ｐである）といふことに「等しい」。
従って、
（01）により、
（02）
（ａ） （Ｐであるか、または（ＰならばＱである））は「恒に真」である。
（ｂ）（（ＰならばＱであるか）または（ＱならばＲである））は「恒に真」である。
（ｃ）「パースの法則」は「恒に真」である。
（ｄ）Ｑではない。従って、Ｐならば（ＱならばＲである）。
（ｅ）Ｐである。Ｐでない。従って、Ｑである。
（ｆ）Ｐであるか、または、Ｑである。従って、Ｐでないならば、Ｑである。
（ｇ）（（ＰならばＱである）といふことはない）といふことは、（Ｐであって、Ｑでない）といふことに「等しい」。
（ｈ）（（ＰならばＱ）ならばＱである）といふことは、（Ｐであるか、または、Ｑである）といふことに「等しい」。
（ｉ）（（Ｐならば、Ｑであるか）または（Ｐならば、Ｒである））といふことは、（Ｐならば（Ｑであるか、または、Ｒである））といふことに「等しい」。
（ｊ）（（ＰとＱが「等しい」か、または、Ｑである）といふことは、（Ｐならば、Ｑである）といふことに「等しい」。
（ｋ）Ｑである。 従って、（ＰであってＱである）といふことは、（Ｐである）といふことに「等しい」。
（ｌ）Ｑではない。従って、（Ｐであるか、または、Ｑである）といふことは、（Ｐである）といふことに「等しい」。
といふ「命題」は、１２個とも、「すべて、真である」。
令和５年１０月１４日、毛利太。
2023年10月11日水曜日
「モーダスポネンス（肯定肯定式）とモーダストレンス（否定否定式）」と「背理法」。
（01）
① Ｐ→Ｑ， Ｐ├ Ｑ
② Ｐ→Ｑ，～Ｑ├ ～Ｐ
に於いて、すなはち、
① ＰならばＱであるが、Ｐである。故に、Ｑである。
② ＰならばＱであるが、Ｑでない。故に、Ｐでない。
に於いて、
① を「モーダスポネンス（ＭＰＰ）」と言ひ、
② を「モーダストレンス（ＭＴＴ）」と言ふ。
然るに、
（02）
１ （１） Ｐ→ Ｑ Ａ
２ （２） ～Ｑ Ａ
３（３） Ｐ Ａ
１ ３（４） Ｑ １３ＭＰＰ
１２３（５） ～Ｑ＆Ｑ ２４＆Ｉ
１２ （６）～Ｐ ３５ＲＡＡ（背理法）
然るに、
（03）
１ （１） Ｐ→ Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
３（３） ～Ｑ Ａ
１ ３（４）～Ｐ １３ＭＴＴ
１２３（５）～Ｐ＆Ｐ ２３＆Ｉ
１２ （６） ～～Ｑ ３５ＲＡＡ（背理法）
１２ （７） Ｑ ６ＤＮ
従って、
（01）（02）（03）により、
（04）
「モーダストレンス（ＭＴＴ）」は、「モーダスポネンス（ＭＰＰ）」と「背理法（ＲＡＡ）」で「代用」出来、
「モーダスポネンス（ＭＰＰ）」は、「モーダストレンス（ＭＴＴ）」と「背理法（ＲＡＡ）」で「代用」出来る。
令和５年１０月１１日、毛利太。
① Ｐ→Ｑ， Ｐ├ Ｑ
② Ｐ→Ｑ，～Ｑ├ ～Ｐ
に於いて、すなはち、
① ＰならばＱであるが、Ｐである。故に、Ｑである。
② ＰならばＱであるが、Ｑでない。故に、Ｐでない。
に於いて、
① を「モーダスポネンス（ＭＰＰ）」と言ひ、
② を「モーダストレンス（ＭＴＴ）」と言ふ。
然るに、
（02）
１ （１） Ｐ→ Ｑ Ａ
２ （２） ～Ｑ Ａ
３（３） Ｐ Ａ
１ ３（４） Ｑ １３ＭＰＰ
１２３（５） ～Ｑ＆Ｑ ２４＆Ｉ
１２ （６）～Ｐ ３５ＲＡＡ（背理法）
然るに、
（03）
１ （１） Ｐ→ Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
３（３） ～Ｑ Ａ
１ ３（４）～Ｐ １３ＭＴＴ
１２３（５）～Ｐ＆Ｐ ２３＆Ｉ
１２ （６） ～～Ｑ ３５ＲＡＡ（背理法）
１２ （７） Ｑ ６ＤＮ
従って、
（01）（02）（03）により、
（04）
「モーダストレンス（ＭＴＴ）」は、「モーダスポネンス（ＭＰＰ）」と「背理法（ＲＡＡ）」で「代用」出来、
「モーダスポネンス（ＭＰＰ）」は、「モーダストレンス（ＭＴＴ）」と「背理法（ＲＡＡ）」で「代用」出来る。
令和５年１０月１１日、毛利太。
2023年10月10日火曜日
「論理学」は「診断」にも「役に立つ」。
（01）
１ （１） Ｐ∨ Ｑ Ａ
２ （２） Ｑ→（Ｒ→ Ｓ） Ａ
３ （３） Ｒ＆～Ｓ Ａ
４ （４） Ｒ→ Ｓ Ａ
３ （５） Ｒ ３＆Ｅ
３４ （６） Ｓ ４５ＭＰＰ
３ （７） ～Ｓ ３＆Ｅ
３４ （８） Ｓ＆～Ｓ ６７＆Ｉ
３ （９） ～（Ｒ→ Ｓ） ４８ＲＡＡ
２３ （ア）～Ｑ ２９ＭＴＴ
イ （イ） ～Ｐ＆～Ｑ Ａ
ウ （ウ） Ｐ Ａ
イ （エ） ～Ｐ イ＆Ｅ
イウ （オ） Ｐ＆～Ｐ ウエ＆Ｉ
ウ （カ） ～（～Ｐ＆～Ｑ） イオＲＡＡ
キ （キ） Ｑ Ａ
イ （ク） ～Ｑ イ＆Ｅ
イ キ （ケ） Ｑ＆～Ｑ キク＆Ｉ
キ （コ） ～（～Ｐ＆～Ｑ） イケＲＡＡ
１ （サ） ～（～Ｐ＆～Ｑ） １ウカキコ∨Ｅ
シ（シ） ～Ｐ Ａ
２３ シ（ス） ～Ｐ＆～Ｑ アシ＆Ｉ
１２３ シ（セ） ～（～Ｐ＆～Ｑ）＆
（～Ｐ＆～Ｑ） サス＆Ｉ
１２３ （ソ） ～～Ｐ シセＲＡＡ
１２３ （タ） Ｐ ソＤＮ
１２３ （チ） ～Ｑ＆Ｐ アタ＆Ｉ
従って、
（01）により、
（02）
（ⅰ）Ｐ∨Ｑ 然るに、
（ⅱ）Ｑ→（Ｒ→Ｓ）然るに、
（ⅲ）Ｒ＆～Ｓ 従って、
（ⅳ）～Ｑ＆Ｐ
といふ「推論」は「妥当」である。 従って、
（02）により、
（03）
Ｐ＝癌性リンパ管症である。
Ｑ＝術後肺炎である。
Ｒ＝抗生物質を投与する。
Ｓ＝熱は下がる。
であるとして、
（ⅰ）「癌性リンパ管症」であるか、または「術後肺炎」であった。然るに、
（ⅱ）「術後肺炎」であるならば、「抗生物質」を「投与」すれば「熱は下がるはずであった」。然るに、
（ⅲ）「抗生物質」を「投与」しても「熱は下がらなかった」。従って、
（ⅳ）「術後肺炎」ではなく、「癌性リンパ管症」であった。
といふ『推論』は『妥当』である。
従って、
（03）により、
（04）
「フジＴＶ、白い巨塔、２００３年、１６話」の中で行はれた「唐木教授の鑑定」は、
「医学的」にも、「論理的」にも、『妥当』である。
令和５年１０月１０日、毛利太。
１ （１） Ｐ∨ Ｑ Ａ
２ （２） Ｑ→（Ｒ→ Ｓ） Ａ
３ （３） Ｒ＆～Ｓ Ａ
４ （４） Ｒ→ Ｓ Ａ
３ （５） Ｒ ３＆Ｅ
３４ （６） Ｓ ４５ＭＰＰ
３ （７） ～Ｓ ３＆Ｅ
３４ （８） Ｓ＆～Ｓ ６７＆Ｉ
３ （９） ～（Ｒ→ Ｓ） ４８ＲＡＡ
２３ （ア）～Ｑ ２９ＭＴＴ
イ （イ） ～Ｐ＆～Ｑ Ａ
ウ （ウ） Ｐ Ａ
イ （エ） ～Ｐ イ＆Ｅ
イウ （オ） Ｐ＆～Ｐ ウエ＆Ｉ
ウ （カ） ～（～Ｐ＆～Ｑ） イオＲＡＡ
キ （キ） Ｑ Ａ
イ （ク） ～Ｑ イ＆Ｅ
イ キ （ケ） Ｑ＆～Ｑ キク＆Ｉ
キ （コ） ～（～Ｐ＆～Ｑ） イケＲＡＡ
１ （サ） ～（～Ｐ＆～Ｑ） １ウカキコ∨Ｅ
シ（シ） ～Ｐ Ａ
２３ シ（ス） ～Ｐ＆～Ｑ アシ＆Ｉ
１２３ シ（セ） ～（～Ｐ＆～Ｑ）＆
（～Ｐ＆～Ｑ） サス＆Ｉ
１２３ （ソ） ～～Ｐ シセＲＡＡ
１２３ （タ） Ｐ ソＤＮ
１２３ （チ） ～Ｑ＆Ｐ アタ＆Ｉ
従って、
（01）により、
（02）
（ⅰ）Ｐ∨Ｑ 然るに、
（ⅱ）Ｑ→（Ｒ→Ｓ）然るに、
（ⅲ）Ｒ＆～Ｓ 従って、
（ⅳ）～Ｑ＆Ｐ
といふ「推論」は「妥当」である。 従って、
（02）により、
（03）
Ｐ＝癌性リンパ管症である。
Ｑ＝術後肺炎である。
Ｒ＝抗生物質を投与する。
Ｓ＝熱は下がる。
であるとして、
（ⅰ）「癌性リンパ管症」であるか、または「術後肺炎」であった。然るに、
（ⅱ）「術後肺炎」であるならば、「抗生物質」を「投与」すれば「熱は下がるはずであった」。然るに、
（ⅲ）「抗生物質」を「投与」しても「熱は下がらなかった」。従って、
（ⅳ）「術後肺炎」ではなく、「癌性リンパ管症」であった。
といふ『推論』は『妥当』である。
従って、
（03）により、
（04）
「フジＴＶ、白い巨塔、２００３年、１６話」の中で行はれた「唐木教授の鑑定」は、
「医学的」にも、「論理的」にも、『妥当』である。
令和５年１０月１０日、毛利太。
2023年10月4日水曜日
「前件否定・後件肯定」の「誤謬」。
（01）
（ⅰ）
１ （１）（Ｐ→Ｓ）＆（Ｑ→Ｓ）＆（Ｒ→Ｓ） Ａ
１ （２） Ｐ→Ｓ Ａ
１ （３） Ｑ→Ｓ Ａ
１ （４） Ｒ→Ｓ Ａ
５ （５） Ｐ∨Ｑ∨Ｒ Ａ
５ （６）（Ｐ∨Ｑ）∨Ｒ Ａ
７ （７）（Ｐ∨Ｑ） Ａ
８ （８） Ｐ Ａ
１ ８ （９） Ｓ ２８ＭＰＰ
ア （ア） Ｑ Ａ
１ ア （イ） Ｓ ３アＭＰＰ
１ ７ （ウ） Ｓ ７８９アイ∨Ｅ
エ（エ） Ｒ Ａ
１ エ（オ） Ｓ ４エＭＰＰ
１５ （カ） Ｓ ６７ウエオ∨Ｅ
１ （キ）（Ｐ∨Ｑ∨Ｒ）→Ｓ ５カＣＰ
（ⅱ）
１ （１）（Ｐ∨Ｑ∨Ｒ）→Ｓ Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
２ （３） Ｐ∨Ｑ ３∨Ｉ
２ （４） Ｐ∨Ｑ∨Ｒ ３∨Ｉ
１２ （５） Ｓ １４ＭＰＰ
１ （６） Ｐ→Ｓ ２５ＣＰ
７ （７） Ｑ Ａ
７ （８） Ｐ∨Ｑ ７∨Ｉ
７ （９） Ｐ∨Ｑ∨Ｒ ８∨Ｉ
１ ７ （ア） Ｓ １９ＭＰＰ
１ （イ） Ｑ→Ｓ ７アＣＰ
ウ （ウ） Ｒ Ａ
ウ （エ） Ｑ∨Ｒ ウ∨Ｉ
ウ （オ） Ｐ∨Ｑ∨Ｒ エ∨Ｉ
１ ウ （カ） Ｓ １オＭＰＰ
１ （キ） Ｒ→Ｓ ウカＣＰ
１ （ク）（Ｐ→Ｓ）＆（Ｑ→Ｓ） ６イ＆Ｉ
１ （ケ）（Ｐ→Ｓ）＆（Ｑ→Ｓ）＆（Ｒ→Ｓ） キク＆Ｉ
従って、
（01）により、
（02）
①（Ｐ→Ｓ）＆（Ｑ→Ｓ）＆（Ｒ→Ｓ）
②（Ｐ∨Ｑ∨Ｒ）→Ｓ
に於いて、すなはち、
①（ＰならばＳであり）＆（ＱならばＳであり）＆（ＲならばＳである）。
②（Ｐであるか、または、Ｑであるか、または、Ｒである）ならばＳである。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（02）により、
（03）
Ｐ＝ｘは、象である。
Ｑ＝ｘは、馬である。
Ｒ＝ｘは、兎である。
Ｓ＝ｘは動物である。
として、
①（象ならば動物であり）＆（馬ならば動物であり）＆（兎ならば動物である）。
②（象であるか、または、馬であるか、または、兎である）ならば動物である。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（04）
①（象ならば動物であり）＆（馬ならば動物であり）＆（兎ならば動物である）。
②（象であるか、または、馬であるか、または、兎である）ならば動物である。
というのであれば、「当然」、
③（象でない）としても、（動物でない）とは「限らない」し、
④（動物である）としても、（象である）とは「限らない」。
然るに、
（05）
①（象ならば動物である。）
として、
③（象でない）としても、（動物でない）とは「限らない」し、
④（動物である）としても、（象である）とは「限らない」。
に於いて、
③ を「前件否定の誤謬」と言ひ、
④ を「後件肯定の誤謬」と言ふ。
令和０５年１０月０４日、毛利太。
（ⅰ）
１ （１）（Ｐ→Ｓ）＆（Ｑ→Ｓ）＆（Ｒ→Ｓ） Ａ
１ （２） Ｐ→Ｓ Ａ
１ （３） Ｑ→Ｓ Ａ
１ （４） Ｒ→Ｓ Ａ
５ （５） Ｐ∨Ｑ∨Ｒ Ａ
５ （６）（Ｐ∨Ｑ）∨Ｒ Ａ
７ （７）（Ｐ∨Ｑ） Ａ
８ （８） Ｐ Ａ
１ ８ （９） Ｓ ２８ＭＰＰ
ア （ア） Ｑ Ａ
１ ア （イ） Ｓ ３アＭＰＰ
１ ７ （ウ） Ｓ ７８９アイ∨Ｅ
エ（エ） Ｒ Ａ
１ エ（オ） Ｓ ４エＭＰＰ
１５ （カ） Ｓ ６７ウエオ∨Ｅ
１ （キ）（Ｐ∨Ｑ∨Ｒ）→Ｓ ５カＣＰ
（ⅱ）
１ （１）（Ｐ∨Ｑ∨Ｒ）→Ｓ Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
２ （３） Ｐ∨Ｑ ３∨Ｉ
２ （４） Ｐ∨Ｑ∨Ｒ ３∨Ｉ
１２ （５） Ｓ １４ＭＰＰ
１ （６） Ｐ→Ｓ ２５ＣＰ
７ （７） Ｑ Ａ
７ （８） Ｐ∨Ｑ ７∨Ｉ
７ （９） Ｐ∨Ｑ∨Ｒ ８∨Ｉ
１ ７ （ア） Ｓ １９ＭＰＰ
１ （イ） Ｑ→Ｓ ７アＣＰ
ウ （ウ） Ｒ Ａ
ウ （エ） Ｑ∨Ｒ ウ∨Ｉ
ウ （オ） Ｐ∨Ｑ∨Ｒ エ∨Ｉ
１ ウ （カ） Ｓ １オＭＰＰ
１ （キ） Ｒ→Ｓ ウカＣＰ
１ （ク）（Ｐ→Ｓ）＆（Ｑ→Ｓ） ６イ＆Ｉ
１ （ケ）（Ｐ→Ｓ）＆（Ｑ→Ｓ）＆（Ｒ→Ｓ） キク＆Ｉ
従って、
（01）により、
（02）
①（Ｐ→Ｓ）＆（Ｑ→Ｓ）＆（Ｒ→Ｓ）
②（Ｐ∨Ｑ∨Ｒ）→Ｓ
に於いて、すなはち、
①（ＰならばＳであり）＆（ＱならばＳであり）＆（ＲならばＳである）。
②（Ｐであるか、または、Ｑであるか、または、Ｒである）ならばＳである。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（02）により、
（03）
Ｐ＝ｘは、象である。
Ｑ＝ｘは、馬である。
Ｒ＝ｘは、兎である。
Ｓ＝ｘは動物である。
として、
①（象ならば動物であり）＆（馬ならば動物であり）＆（兎ならば動物である）。
②（象であるか、または、馬であるか、または、兎である）ならば動物である。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（04）
①（象ならば動物であり）＆（馬ならば動物であり）＆（兎ならば動物である）。
②（象であるか、または、馬であるか、または、兎である）ならば動物である。
というのであれば、「当然」、
③（象でない）としても、（動物でない）とは「限らない」し、
④（動物である）としても、（象である）とは「限らない」。
然るに、
（05）
①（象ならば動物である。）
として、
③（象でない）としても、（動物でない）とは「限らない」し、
④（動物である）としても、（象である）とは「限らない」。
に於いて、
③ を「前件否定の誤謬」と言ひ、
④ を「後件肯定の誤謬」と言ふ。
令和０５年１０月０４日、毛利太。
2023年10月3日火曜日
Ｑ→（Ｒ＆Ｓ＆Ｔ），～Ｒ＆Ｓ＆Ｔ├ Ｓ＆Ｔ＆～Ｐ
１０月０４日に予定されていた「口頭弁論」が「移送」になったので、「即時抗告」した
際に、「答弁書を速く直送して欲しい。」と、相手方の弁護士に電話で要請したところ、
「いつになるかは分からない」とのことなので、その間に「訴状の補足」を書くことにし
た、「その、補足」からの「抜粋」です。
（19）
「７月３１日（通院）」～「１２月２１日（入院）」で見ると、
従って、
（19）により、
（20）
然るに、
（21）
という『命題計算』は『妥当』である。
従って、
（22）
という「推論」は、『妥当』である。
従って、
（22）により、
（23）
という「代入（置き換え）」により、
という『推論』は、『妥当』である。
然るに、
（21）により、
（24）
以上の『推論』は、「連言除去、選言導入、ド・モルガンの法則、モーダストレンス」等
により、
だけでなく、
であっても、『同様に、計算可能』である。
従って、
（24）により、
（25）
という場合においても、『同様に、計算可能』である。
然るに、
（26）
然るに、
（27）
という風に、「赤血球数と尿酸値とクレアチニン」は「（下降傾向で）ほぼ一定」である。
従って、
（26）（27）により、
（28）
従って、
（19）～（28）により、
（29）
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