（ⅰ）
１ （１） Ｐ→ Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
２ （３） Ｐ ２＆Ｅ
１２ （４） Ｑ １３ＭＰＰ
２ （５） ～Ｑ ２＆Ｅ
１２ （６） Ｑ＆～Ｑ ４５＆Ｉ
１ （７） ～（Ｐ＆～Ｑ） ２６ＲＡＡ
８ （８） ～（～Ｐ∨ Ｑ） Ａ
９ （９） ～Ｐ Ａ
９ （ア） ～Ｐ∨ Ｑ ９∨Ｉ
８９ （イ） ～（～Ｐ∨ Ｑ）＆
（～Ｐ∨ Ｑ） ８ア＆Ｉ
８ （ウ） ～～Ｐ ９イＲＡＡ
８ （エ） Ｐ ウＤＮ
オ（オ） Ｑ Ａ
オ（カ） ～Ｐ∨ Ｑ オ∨Ｉ
８ オ（キ） ～（～Ｐ∨ Ｑ）＆
（～Ｐ∨ Ｑ） ８カ＆Ｉ
８ （ク） ～Ｑ オキＲＡＡ
８ （ケ） Ｐ＆～Ｑ エク＆Ｉ
１ ８ （コ） ～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） ７ケ＆Ｉ
１ （サ）～～（～Ｐ∨ Ｑ） ８コＲＡＡ
１ （シ） ～Ｐ∨ Ｑ サＤＮ
（ⅱ）
１ （１） ～Ｐ∨ Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６ ～（Ｐ＆～Ｑ） ２５ＲＡＡ
７ （７） Ｑ Ａ
２ （８） ～Ｑ ２＆Ｅ
２ ７ （９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
７ （ア）～（Ｐ＆～Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（Ｐ＆～Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
ウ （ウ） Ｐ Ａ
エ（エ） ～Ｑ Ａ
ウエ（オ） Ｐ＆～Ｑ ウエ＆Ｉ
１ ウエ（カ）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） イオ＆Ｉ
１ ウ （キ） ～～Ｑ エカＲＡＡ
１ ウ （ク） Ｑ キＤＮ
１ （ケ） Ｐ→ Ｑ ウクＣＰ
従って、
（01）により、
（02）
① Ｐ→Ｑ
② ～Ｐ∨Ｑ
に於いて、
①＝② である（含意の定義）。
従って、
（02）により、
（03）
① Ｐ→Ｑ
② ～Ｐ∨Ｑ
に於いて、
Ｐ＝ｘ∈Φ
Ｑ＝ｘ∈Ｂ
であるとして、
① ｘ∈Φ→ｘ∈Ｂ
② ～ｘ∈Φ∨ｘ∈Ｂ
に於いて、
①＝② である。
従って、
（03）により、
（04）
① ｘ∈Φ→ｘ∈Ｂ
② ～ｘ∈Φ∨ｘ∈Ｂ
に於いて、すなはち、
① ｘが空集合Φの要素であるならば、ｘは任意の集合Ｂの要素である。
② ｘは空集合Φの要素ではないか、または、ｘは任意の集合Ｂの要素であるかの、いづれかである。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（05）
② 空集合Φは、「要素の個数がゼロである集合」であるため、
② ｘは、空集合Φの要素ではない。
といふ「命題」は、「真」である。
従って、
（05）により、
（06）
② ｘは、空集合Φの要素ではない。
といふ「命題」が、「真」であるため、
② ｘは、空集合Φの要素ではないか、または、ｘは任意の集合Ｂの要素であるかの、いづれかである。
といふ「命題」も、「真」である。
従って、
（04）（06）により、
（07）
① ｘ∈Φ→ｘ∈Ｂ
② ～ｘ∈Φ∨ｘ∈Ｂ
に於いて、すなはち、
① ｘが空集合の要素であるならば、ｘは任意の集合Ｂの要素である。
② ｘは、空集合Φの要素ではないか、または、ｘは任意の集合Ｂの要素であるかの、いづれかである。
に於いて、
①＝② であって、
② が「真」であるため、
① も「真」である。
然るに、
（08）
従って、
（08）により、
（09）
① ｘ∈Ａ→ｘ∈Ｂ
であるならば、すなわち、
① ｘが集合Ａの要素であるならば、ｘは集合Ｂの要素である。
であるならば、そのときに限って、
① 集合Ａは、集合Ｂの「部分集合」である。
従って、
（07）（08）（09）により、
（10）
① ｘ∈Φ→ｘ∈Ｂ
であるならば、すなわち、
① ｘが空集合Φの要素であるならば、ｘは集合Ｂの要素である。
であるならば、そのときに限って、
① 空集合Φは、集合Ｂの「部分集合」である。
従って、
（06）（10）により、
（11）
① いかなるｘであっても、空集合Φの要素ではない。
といふ「命題」が「真」であるが故に、
① 空集合Φは、任意の集合Ｂの、「部分集合」である。
といふ「命題」も「真」である。
といふ、「分けのわからない（？）」ことになる。
従って、
（01）～（11）により、
（12）
「結局」は、『含意の定義』により、
① ｘ∈Φ→ｘ∈Ｂ
② ～ｘ∈Φ∨ｘ∈Ｂ
に於いて、
①＝② であって、尚且つ、
② ｘ∈Φ
といふ「命題」が「偽」であるため、その「否定」である、
② ～ｘ∈Φ
といふ「命題」が「真」であって、尚且つ、
① ｘ∈Ａ→ｘ∈Ｂ ⇔ Ａ⊆Ｂ
といふ『定義』が有るため、
① 空集合Φは、任意の集合Ｂの、「部分集合」である。
といふことになる。
令和５年１１月１日、毛利太。
（08）により、
（09）
① ｘ∈Ａ→ｘ∈Ｂ
であるならば、すなわち、
① ｘが集合Ａの要素であるならば、ｘは集合Ｂの要素である。
であるならば、そのときに限って、
① 集合Ａは、集合Ｂの「部分集合」である。
従って、
（07）（08）（09）により、
（10）
① ｘ∈Φ→ｘ∈Ｂ
であるならば、すなわち、
① ｘが空集合Φの要素であるならば、ｘは集合Ｂの要素である。
であるならば、そのときに限って、
① 空集合Φは、集合Ｂの「部分集合」である。
従って、
（06）（10）により、
（11）
① いかなるｘであっても、空集合Φの要素ではない。
といふ「命題」が「真」であるが故に、
① 空集合Φは、任意の集合Ｂの、「部分集合」である。
といふ「命題」も「真」である。
といふ、「分けのわからない（？）」ことになる。
従って、
（01）～（11）により、
（12）
「結局」は、『含意の定義』により、
① ｘ∈Φ→ｘ∈Ｂ
② ～ｘ∈Φ∨ｘ∈Ｂ
に於いて、
①＝② であって、尚且つ、
② ｘ∈Φ
といふ「命題」が「偽」であるため、その「否定」である、
② ～ｘ∈Φ
といふ「命題」が「真」であって、尚且つ、
① ｘ∈Ａ→ｘ∈Ｂ ⇔ Ａ⊆Ｂ
といふ『定義』が有るため、
① 空集合Φは、任意の集合Ｂの、「部分集合」である。
といふことになる。
令和５年１１月１日、毛利太。
0 件のコメント:
コメントを投稿