「排他的選言」の「３つの定義」。

（01）
「太郎かあるいは次郎が辞書を持っている」といわれるとき、
「太郎が辞書を持っている」と、
「次郎が辞書を持っている」の二つの命題は同時に真になることが可能である。
このような選言は「両立的選言」と呼ばれる。
「太郎は３階か５階にいる」と言われるとき、
「太郎は３階にいる」と
「太郎は５階にいる」の二つの命題が同時に真になることはありえない。
このような選言は「排他的選言」である。
「論理学」の「・・・あるいは・・・」は「両立的選言」に決めてある。
それは「論理学」の体系がよりシンプルなものになるからである。とりわけ、
「∨」を「両立的選言」に決めておけば、「排他的選言」の方は
「∨と＆と～」によって簡単に表現できる―（Ｐ∨Ｑ）＆～（Ｐ＆Ｑ）―
（昭和堂、論理学の基礎、1994年、１１頁）。
従って、
（02）
①（Ｐ∨Ｑ）＆～（Ｐ＆Ｑ）
といふ「論理式」、すなはち、「日本語」で言ふところの、
①（Ｐであるか、または、Ｑである）が、ただし、（ＰであってＱである）といふことはない。
といふ「命題」は、「排他的選言」である。
然るに、
（03）
「（日本語の）直観的」からすれば、
①（Ｐであるか、または、Ｑである）が、（ＰであってＱである）といふことはない。
②（Ｐでないならば、Ｑであって）、（Ｐであるならば、Ｑでない）。
③（ＰとＱが、「同時に真」になること、並びに、ＰとＱが「同時に偽」になる）といふことはない。
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（03）により、
（04）
「論理式」で書くならば、
①　 （Ｐ∨　Ｑ）＆～（Ｐ＆　Ｑ）
② （～Ｐ→　Ｑ）＆　（Ｐ→～Ｑ）
③ ～（Ｐ⇔　Ｑ）
に於いて、
①＝②＝③ である。
然るに、
（05）
（ⅰ）
１　　　　　　　（１）　　（Ｐ∨　Ｑ）＆～（Ｐ＆　Ｑ）　Ａ
１　　　　　　　（２）　　　Ｐ∨　Ｑ　　　　　　　　　　１＆Ｅ
　３　　　　　　（３）　　～Ｐ＆～Ｑ　　　　　　　　　　Ａ
　　４　　　　　（４）　　　Ｐ　　　　　　　　　　　　　Ａ
　３　　　　　　（５）　　～Ｐ　　　　　　　　　　　　　３＆Ｅ
　３４　　　　　（６）　　　Ｐ＆～Ｐ　　　　　　　　　　４５＆Ｉ
　　４　　　　　（７）～（～Ｐ＆～Ｑ）　　　　　　　　　３６ＲＡＡ
　　　８　　　　（８）　　　　　　Ｑ　　　　　　　　　　Ａ
　３　　　　　　（９）　　　　　～Ｑ　　　　　　　　　　３＆Ｅ
　３　８　　　　（ア）　　　Ｑ＆～Ｑ　　　　　　　　　　８９＆Ｉ
　　　８　　　　（イ）～（～Ｐ＆～Ｑ）　　　　　　　　　３アＲＡＡ
１　　　　　　　（ウ）～（～Ｐ＆～Ｑ）　　　　　　　　　２４７８イ∨Ｅ
　　　　エ　　　（エ）　　～Ｐ　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　　　オ　　（オ）　　　　　～Ｑ　　　　　　　　　　Ａ
　　　　エオ　　（カ）　　～Ｐ＆～Ｑ　　　　　　　　　　エオ＆Ｉ
１　　　エオ　　（キ）～（～Ｐ＆～Ｑ）＆（～Ｐ＆～Ｑ）　ウカ＆Ｉ
１　　　エ　　　（ク）　　　　～～Ｑ　　　　　　　　　　オキＲＡＡ
１　　　エ　　　（ケ）　　　　　　Ｑ　　　　　　　　　　クＤＮ
１　　　　　　　（コ）　　～Ｐ→　Ｑ　　　　　　　　　　エケＣＰ
１　　　　　　　（サ）　　　　　　　　　～（Ｐ＆　Ｑ）　Ａ
　　　　　　シ　（シ）　　　　　　　　　　　Ｐ　　　　　Ａ
　　　　　　　ス（ス）　　　　　　　　　　　　　　Ｑ　　Ａ
　　　　　　シス（セ）　　　　　　　　　　　Ｐ＆　Ｑ　　シス＆Ｉ
１　　　　　シス（ソ）　　～（Ｐ＆　Ｑ）＆（Ｐ＆　Ｑ）　サセ＆Ｉ
１　　　　　シ　（タ）　　　　　　　　　　　　　～Ｑ　　スソＲＡＡ
１　　　　　　　（チ）　　　　　　　　　　　Ｐ→～Ｑ　　シタＣＰ
１　　　　　　　（ツ）　　（～Ｐ→　Ｑ）＆（Ｐ→～Ｑ）　コチ＆Ｉ
（ⅱ）
１　　　　　　　（１）　　（～Ｐ→　Ｑ）＆（Ｐ→～Ｑ）　Ａ
１　　　　　　　（２）　　（～Ｐ→　Ｑ）　　　　　　　　１＆Ｅ
　３　　　　　　（３）　～（　Ｐ∨　Ｑ）　　　　　　　　Ａ
　　４　　　　　（４）　　　　Ｐ　　　　　　　　　　　　Ａ
　　４　　　　　（５）　　　　Ｐ∨　Ｑ　　　　　　　　　４∨Ｉ
　３４　　　　　（６）　～（　Ｐ∨　Ｑ）＆（Ｐ∨　Ｑ）　３５＆Ｉ
　３　　　　　　（７）　　　～Ｐ　　　　　　　　　　　　３６ＲＡＡ
　　　８　　　　（８）　　　　　　　Ｑ　　　　　　　　　Ａ
　　　８　　　　（９）　　　　Ｐ∨　Ｑ　　　　　　　　　８∨Ｉ
　３　８　　　　（ア）　～（　Ｐ∨　Ｑ）＆（Ｐ∨　Ｑ）　３９＆Ｉ
　３　　　　　　（イ）　　　　　　～Ｑ　　　　　　　　　８アＲＡＡ
１３　　　　　　（ウ）　　　　　　　Ｑ　　　　　　　　　２７ＭＰＰ
１３　　　　　　（エ）　　　　～Ｑ＆Ｑ　　　　　　　　　イウ＆Ｉ
１　　　　　　　（オ）～～（　Ｐ∨　Ｑ）　　　　　　　　３エ
１　　　　　　　（カ）　　　　Ｐ∨　Ｑ　　　　　　　　　オＤＮ
１　　　　　　　（キ）　　　　　　　　　　　Ｐ→～Ｑ　　１＆Ｅ
　　　　ク　　　（ク）　　　　　　　　　　　Ｐ＆　Ｑ　　Ａ
　　　　ク　　　（ケ）　　　　　　　　　　　Ｐ　　　　　ク＆Ｅ
１　　　ク　　　（コ）　　　　　　　　　　　　　～Ｑ　　キケＭＰＰ
　　　　ク　　　（サ）　　　　　　　　　　　　　　Ｑ　　ク＆Ｅ
１　　　ク　　　（シ）　　　　　　　　　　　～Ｑ＆Ｑ　　コサ＆Ｉ
１　　　　　　　（ス）　　　　　　　　　～（Ｐ＆　Ｑ）　クシＲＡＡ
１　　　　　　　（セ）　　（Ｐ∨　Ｑ）＆～（Ｐ＆　Ｑ）　カス＆Ｉ
従って、
（05）により、
（06）
①（　Ｐ∨Ｑ）＆～（Ｐ＆　Ｑ）
②（～Ｐ→Ｑ）＆　（Ｐ→～Ｑ）
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（07）
（ⅱ）
１　　　　　　（１）　（～Ｐ→Ｑ）＆（Ｐ→～Ｑ）　　Ａ
　　　　　　　（２）　　～Ｐ　　　∨　Ｐ　　　　　　排中律
１　　　　　　（３）　　～Ｐ→Ｑ　　　　　　　　　　１＆Ｅ
　４　　　　　（４）　　～Ｐ　　　　　　　　　　　　Ａ
１４　　　　　（５）　　　　　Ｑ　　　　　　　　　　３４ＭＰＰ
１４　　　　　（６）　　～Ｐ＆Ｑ　　　　　　　　　　４５＆Ｉ
１４　　　　　（７）　（～Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆～Ｑ）　　６∨Ｉ
１　　　　　　（８）　　　　　　　　　Ｐ→～Ｑ　　　１＆Ｅ
　　９　　　　（９）　　　　　　　　　Ｐ　　　　　　Ａ
１　９　　　　（ア）　　　　　　　　　　　～Ｑ　　　８９ＭＰＰ
１　９　　　　（イ）　　　　　　　　　Ｐ＆～Ｑ　　　９ア＆Ｉ
１　９　　　　（ウ）　（～Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆～Ｑ）　　イ∨Ｉ
１　　　　　　（エ）　（～Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆～Ｑ）　　２４７９ウ∨Ｅ
　　　オ　　　（オ）　　　　　　　　（Ｐ＆～Ｑ）　　Ａ
　　　　カ　　（カ）　　　　　　　　　Ｐ→　Ｑ　　　Ａ
　　　オ　　　（キ）　　　　　　　　　Ｐ　　　　　　オ＆Ｅ
　　　オカ　　（ク）　　　　　　　　　　　　Ｑ　　　カキＭＰＰ
　　　オ　　　（ケ）　　　　　　　　　　　～Ｑ　　　オ＆Ｅ
　　　オカ　　（コ）　　　　　　　　　Ｑ＆～Ｑ　　　クケ＆Ｉ
　　　オ　　　（サ）　　　　　　　～（Ｐ→　Ｑ）　　カコＲＡＡ
　　　オ　　　（シ）　～（Ｐ→Ｑ）∨～（Ｑ→Ｐ）　　サ∨Ｉ
　　　　　ス　（ス）　（～Ｐ＆Ｑ）　　　　　　　　　Ａ
　　　　　　セ（セ）　　　Ｑ→Ｐ　　　　　　　　　　Ａ
　　　　　ス　（ソ）　　　Ｑ　　　　　　　　　　　　ス＆Ｅ
　　　　　スセ（タ）　　　　　Ｐ　　　　　　　　　　セソＭＰＰ
　　　　　ス　（チ）　　～Ｐ　　　　　　　　　　　　ス＆Ｅ
　　　　　スセ（ツ）　　～Ｐ＆Ｐ　　　　　　　　　　タチ＆Ｉ
　　　　　ス　（テ）　～（Ｑ→Ｐ）　　　　　　　　　セツＲＡＡ
　　　　　ス　（ト）　～（Ｐ→Ｑ）∨～（Ｑ→Ｐ）　　テ∨Ｉ
１　　　　　　（ナ）　～（Ｐ→Ｑ）∨～（Ｑ→Ｐ）　　エオシスト∨Ｅ
１　　　　　　（ニ）～｛（Ｐ→Ｑ）＆　（Ｑ→Ｐ）｝　ナ、ド・モルガンの法則
１　　　　　　（ヌ）　～（Ｐ⇔Ｑ）　　　　　　　　　ニＤｆ.⇔
（ⅲ）
１　　　　　　（１）　　　～（Ｐ⇔Ｑ）　　　　　　　　　　　Ａ
１　　　　　　（２）　　～｛（Ｐ→Ｑ）＆　　（Ｑ→Ｐ）｝　　１Ｄｆ.⇔
１　　　　　　（３）　　　～（Ｐ→Ｑ）∨　～（Ｑ→Ｐ）　　　２ド・モルガンの法則
　４　　　　　（４）　～｛（～Ｐ→Ｑ）＆　（Ｐ→～Ｑ）｝　　Ａ
　４　　　　　（５）　　～（～Ｐ→Ｑ）∨～（Ｐ→～Ｑ）　　　４ド・モルガンの法則
　　６　　　　（６）　　　～（Ｐ→Ｑ）　　　　　　　　　　　Ａ
　　６　　　　（７）　　～（～Ｐ∨Ｑ）　　　　　　　　　　　６含意の定義
　　６　　　　（８）　　　　Ｐ＆～Ｑ　　　　　　　　　　　　７ド・モルガンの法則
　　　９　　　（９）　　～（～Ｐ→Ｑ）　　　　　　　　　　　Ａ
　　　９　　　（ア）　　　～（Ｐ∨Ｑ）　　　　　　　　　　　９含意の定義
　　　９　　　（イ）　　　～Ｐ＆～Ｑ　　　　　　　　　　　　ア、ド・モルガンの法則
　　　９　　　（ウ）　　　～Ｐ　　　　　　　　　　　　　　　イ＆Ｅ
　　６　　　　（エ）　　　　Ｐ　　　　　　　　　　　　　　　８＆Ｅ
　　６９　　　（オ）　　　～Ｐ＆Ｐ　　　　　　　　　　　　　ウエ＆Ｉ
　　　９　　　（カ）　～～（Ｐ→Ｑ）　　　　　　　　　　　　６オＲＡＡ
　　　　キ　　（キ）　　　　　　　　　　～（Ｐ→～Ｑ）　　　Ａ
　　　　キ　　（ク）　　　　　　　　　～（～Ｐ∨～Ｑ）　　　キ含意の定義
　　　　キ　　（ケ）　　　　　　　　　　　　Ｐ＆　Ｑ　　　　ク、ド・モルガンの法則
　　　　キ　　（コ）　　　　　　　　　　　　　　　Ｑ　　　　ケ＆Ｅ
　　６　　　　（サ）　　　　　　～Ｑ　　　　　　　　　　　　イ＆Ｅ
　　６　キ　　（シ）　　　　　　～Ｑ＆Ｑ　　　　　　　　　　コサ＆Ｉ
　　　　キ　　（ス）　～～（Ｐ→Ｑ）　　　　　　　　　　　　６シＲＡＡ
　４　　　　　（セ）　～～（Ｐ→Ｑ）　　　　　　　　　　　　５９カキス∨Ｅ
　４　　　　　（ソ）　　　　Ｐ→Ｑ　　　　　　　　　　　　　セＤＮ
　　　　　タ　（タ）　　　　　　　　　　　～（Ｑ→Ｐ）　　　Ａ
　　　　　タ　（チ）　　　　　　　　　　～（～Ｑ∨Ｐ）　　　タ含意の定義
　　　　　タ　（ツ）　　　　　　　　　　　　Ｑ＆～Ｐ　　　　チ、ド・モルガンの法則
　　　９　　　（テ）　　　　　　～Ｑ　　　　　　　　　　　　イ＆Ｅ
　　　　　タ　（ト）　　　　　　　　　　　　Ｑ　　　　　　　ツ＆Ｅ
　　　９　タ　（ナ）　　　　　　～Ｑ＆Ｑ　　　　　　　　　　テト＆Ｉ
　　　９　　　（ニ）　　　　　　　　　　～～（Ｑ→Ｐ）　　　タナＲＡＡ
　　　　キ　　（ヌ）　　　　　　　　　　　　Ｐ　　　　　　　ケ＆Ｅ
　　　　　タ　（ノ）　　　　　　　　　　　　　　～Ｐ　　　　ツ＆Ｅ
　　　　キタ　（ハ）　　　　　　　　　　　　Ｐ＆～Ｐ　　　　ヌノ＆Ｉ
　　　　キ　　（ヒ）　　　　　　　　　　～～（Ｑ→Ｐ）　　　タハＲＡＡ
　４　　　　　（フ）　　　　　　　　　　～～（Ｑ→Ｐ）　　　５９ニキヒ∨Ｅ
　４　　　　　（ヘ）　　　　　　　　　　　　　Ｑ→Ｐ　　　　フＤＮ
　４　　　　　（ホ）　　　　（Ｐ→　Ｑ）＆（Ｑ→　Ｐ）　　　ソヘ＆Ｉ
１４　　　　　（マ）　　～｛（Ｐ→　Ｑ）＆（Ｑ→　Ｐ）｝＆
　　　　　　　　　　　　　｛（Ｐ→　Ｑ）＆（Ｑ→　Ｐ）｝　　２ホ＆Ｉ
１　　　　　　（ミ）　～～｛（～Ｐ→Ｑ）＆（Ｐ→～Ｑ）｝　　４マＲＡＡ
１　　　　　　（ム）　　　　（～Ｐ→Ｑ）＆（Ｐ→～Ｑ）　　　ミＤＮ
従って、
（07）により、
（08）
② （～Ｐ→Ｑ）＆（Ｐ→～Ｑ）
③ ～（Ｐ⇔Ｑ）
に於いて、
②＝③ である。
従って、
（06）（08）により、
（09）
① （　Ｐ∨Ｑ）＆～（Ｐ＆　Ｑ）
② （～Ｐ→Ｑ）＆　（Ｐ→～Ｑ）
③ ～（Ｐ⇔Ｑ）
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（03）（04）（09）により、
（10）
果たして、
①（Ｐであるか、または、Ｑである）が、（ＰであってＱである）といふことはない。
②（Ｐでないならば、Ｑであって）、（Ｐであるならば、Ｑでない）。
③（ＰとＱが、「同時に真」になること、並びに、ＰとＱが「同時に偽」になる）といふことはない。
といふ「日本語」に於いて、
①＝②＝③ である。
令和５年１１月２９日、毛利太。