「ド・モルガンの法則」と「古典命題論理」に於ける「ならば」について。

（01） （ａ）
１　　　　　（１）　～Ｐ∨　Ｑ　　　Ａ
　２　　　　（２）　　Ｐ＆～Ｑ　　　Ａ
　　３　　　（３）　～Ｐ　　　　　　Ａ
　２　　　　（４）　　Ｐ　　　　　　２＆Ｅ
　２３　　　（５）　～Ｐ＆Ｐ　　　　３４＆Ｉ
　　３　　　（６）～（Ｐ＆～Ｑ）　　２５ＲＡＡ（１５、ド・モルガンの法則）
　　　７　　（７）　　　　　Ｑ　　　Ａ
　２　　　　（８）　　　　～Ｑ　　　２＆Ｅ
　２　７　　（９）　　Ｑ＆～Ｑ　　　７８＆Ｉ
　　　７　　（ア）～（Ｐ＆～Ｑ）　　２９ＲＡＡ
１　　　　　（イ）～（Ｐ＆～Ｑ）　　１３６７ア∨Ｅ
　　　　ウ　（ウ）　　Ｐ　　　　　　Ａ
　　　　　エ（エ）　　　　～Ｑ　　　Ａ
　　　　ウエ（オ）　　Ｐ＆～Ｑ　　　ウエ＆Ｉ
１　　　ウエ（カ）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　　　　（Ｐ＆～Ｑ）　　イオ＆Ｉ
１　　　ウ　（キ）　　　～～Ｑ　　　エカＲＡＡ
１　　　ウ　（ク）　　　　　Ｑ　　　キＤＮ
１　　　　　（ケ）　　Ｐ→　Ｑ　　　ウクＣＰ
（ｂ）
１　　　　（１）　　　Ｐ→　Ｑ　　　Ａ
　２　　　（２）　　　Ｐ＆～Ｑ　　　Ａ
　２　　　（３）　　　Ｐ　　　　　　２＆Ｅ
１２　　　（４）　　　　　　Ｑ　　　１３ＭＰＰ
　２　　　（５）　　　　　～Ｑ　　　２＆Ｅ
１２　　　（６）　　　Ｑ＆～Ｑ　　　４５＆Ｉ
１　　　　（７）　～（Ｐ＆～Ｑ）　　２６ＲＡＡ
　　８　　（８）　～（～Ｐ∨Ｑ）　　Ａ
　　　９　（９）　　　～Ｐ　　　　　Ａ
　　　９　（ア）　　　～Ｐ∨Ｑ　　　９∨I
　　８９　（イ）　～（～Ｐ∨Ｑ）＆
　　　　　　　　　　（～Ｐ∨Ｑ）　　８ア＆Ｉ
　　８　　（ウ）　　～～Ｐ　　　　　９イＲＡＡ
　　８　　（エ）　　　　Ｐ　　　　　ウＤＮ
　　　　オ（オ）　　　　　　Ｑ　　　Ａ
　　　　オ（カ）　　　～Ｐ∨Ｑ　　　オ∨Ｉ（７カ、ド・モルガンの法則）
　　８　オ（キ）　～（～Ｐ∨Ｑ）＆
　　　　　　　　　　（～Ｐ∨Ｑ）　　８∨Ｉ
　　８　　（ク）　　　　　～Ｑ　　　オキＲＡＡ
　　８　　（ケ）　　　Ｐ＆～Ｑ　　　エク＆Ｉ
１　８　　（コ）　～（Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　　　　（Ｐ＆～Ｑ）　　７ケ＆Ｉ
１　　　　（サ）～～（～Ｐ∨Ｑ）　　８コＲＡＡ
１　　　　（シ）　　　～Ｐ∨Ｑ　　　サＤＮ
従って、
（01）により、
（02）
① 　～Ｐ∨　Ｑ
② ～（Ｐ＆～Ｑ）
③ 　　Ｐ→　Ｑ
に於いて、
①＝② は、「ド・モルガンの法則」であって、
①＝③ は、「含意の定義」である。
然るに、
（03）
① 　～Ｐ∨　Ｑ
② ～（Ｐ＆～Ｑ）
③ 　　Ｐ→　Ｑ
といふ「論理式」は、
① ～ＰとＱの、少なくとも、一方は「真」である。
② 　Ｐであって、　　Ｑでない、といふことは無い。
③　 Ｐであるならば、Ｑである。
といふ「日本語」に「相当」する。
従って、
（02）（03）により、
（04）
① ～ＰとＱの、少なくとも、一方は「真」である。
② 　Ｐであって、　　Ｑでない、といふことは無い。
③　 Ｐであるならば、Ｑである。
に於いて、
①＝②＝③ である。
然るに、
（05）
① ～Ｐ＝徳島は九州ではない。
とするならば、
① 　Ｐ＝徳島は九州である。
である。
従って、
（04）（05）により、
（06）
① ～ＰとＱの、少なくとも、一方は「真」である。
② 　Ｐであって、　　Ｑでない、といふことは無い。
③　 Ｐであるならば、Ｑである。
に於いて、
① ～Ｐ＝徳島は九州ではない。
① 　Ｐ＝徳島は九州である。
① 　Ｑ＝２は奇数である。
とするならば、
①（徳島は九州ではない）と　（２は奇数である）といふ「命題」の、少なくとも、一方は「真」である。
②（徳島は九州であって）、　（２は奇数でない）、といふことは無い。
③（徳島が九州である）ならば（２は奇数である）。
に於いて、
①＝②＝③ である。
然るに、
（07）

従って、
（07）により、
（08）
言ふまでもなく、
① 　Ｐ＝徳島は九州である。
といふ「命題」は、「偽」であって、
① ～Ｐ＝徳島は九州ではない。
といふ「命題」は、「真」である。
従って、
（06）（07）（08）により、
（09）
①（徳島は九州ではない）と　（２は奇数である）といふ「命題」の、少なくとも、一方は「真」である。
②（徳島は九州であって）、　（２は奇数でない）、といふことは無い。
③（徳島が九州である）ならば（２は奇数である）。
に於いて、
①＝②＝③ であって、尚且つ、
① は「真」である。
従って、
（09）により、
（10）
①（徳島は九州ではない）と　（２は奇数である）といふ「命題」の、少なくとも、一方は「真」である。
②（徳島は九州であって）、　（２は奇数でない）、といふことは無い。
③（徳島が九州である）ならば（２は奇数である）。
に於いて、
①＝②＝③ であって、尚且つ、
① は「真」であるが故に、
③（徳島が九州である）ならば（２は奇数である）。
といふ「命題」も、「真」である。
従って、
（10）により、
（11）
「換言」すると、
①（徳島は九州ではない）と　（２は奇数である）といふ「命題」の、少なくとも、一方は「真」である。
③（徳島が九州である）ならば（２は奇数である）。
に於いて、
①＝③ ではないとするならば、
③（徳島が九州である）ならば（２は奇数である）。
といふ「命題」が「真」である。
といふことには、ならない。
然るに、
（12）
③（徳島が九州である）ならば（２は奇数である）。
といふ「仮言命題」が「真」であるとしても、
③（徳島は九州である）。
といふ「命題（前件）」は、「偽」である。
従って、
（13）
③（徳島が九州である）ならば（２は奇数である）。
といふ「仮言命題」が「真」であるとしても、
③（徳島は九州である）。
といふ「命題（前件）」は、「偽」であるため、
③（２は奇数である）。
といふ「命題（後件）」が「真」であるとは、「限らない」。
令和５年１１月１８日、毛利太。