「述語論理」と「集合」。

　―「午前中の記事」を書き直します。―
（01）
（ⅰ）
１　　　　（１）　　　∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）　　Ａ
　２　　　（２）　　　∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）　　Ａ
１　　　　（３）　　　　　　Ｆａ→Ｇａ　　　１ＵＥ
　２　　　（４）　　　　　　Ｆａ∨Ｇａ　　　２ＵＥ
　　５　　（５）　　　　　　Ｆａ　　　　　　Ａ
１　５　　（６）　　　　　　　　　Ｇａ　　　３５ＭＰＰ
　　　７　（７）　　　　　　　　　Ｇａ　　　Ａ
１２　　　（８）　　　　　　　　　Ｇａ　　　４５６７７∨Ｅ
１　　　　（９）　　　Ｆａ∨Ｇａ→Ｇａ　　　４８ＣＰ
　　　　ア（ア）　　　　　　Ｇａ　　　　　　Ａ
　　　　ア（イ）　　　Ｆａ∨Ｇａ　　　　　　ア∨Ｉ
　　　　　（ウ）　　　Ｇａ→Ｆａ∨Ｇａ　　　アイＣＰ
１　　　　（エ）　　（Ｆａ∨Ｇａ→Ｇａ）＆
　　　　　　　　　　（Ｇａ→Ｆａ∨Ｇａ）　　９ウ＆Ｉ
１　　　　（オ）　　　Ｆａ∨Ｇａ⇔Ｇａ　　　エＤｆ.⇔
１　　　　（カ）∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ⇔Ｇｘ）　　オＵＩ
　 （ⅱ）
１　　　（１）∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ⇔Ｇｘ）　　Ａ
１　　　（２）　　　Ｆａ∨Ｇａ⇔Ｇａ　　　１ＵＥ
１　　　（３）　　（Ｆａ∨Ｇａ→Ｇａ）＆
　　　　　　　　　（Ｇａ→Ｆａ∨Ｇａ）　　２Ｄｆ.⇔
１　　　（４）　　　Ｆａ∨Ｇａ→Ｇａ　　　３＆Ｅ
　５　　（５）　　　Ｆａ　　　　　　　　　Ａ
　５　　（６）　　　Ｆａ∨Ｇａ　　　　　　５∨Ｉ
１５　　（７）　　　　　　　　　Ｇａ　　　４６ＭＰＰ
１　　　（８）　　　　　　Ｆａ→Ｇａ　　　５７ＣＰ
１　　　（９）　　　∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）　　８ＵＩ
従って、
（01）により、
（02）
① ∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）
② ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ⇔Ｇｘ）
に於いて、すなはち、
① すべてのｘについて（ｘがＦであるならば、ｘはＧである）。
② すべてのｘについて（ｘがＦであるか、または、ｘがＧであるならば、そのときに限って、ｘはＧである）。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（02）により、
（03）
Ｆ＝ｘは一桁の、偶数である。
Ｇ＝ｘは一桁の自然数である。
として、
①「ｘが一桁の偶数」ならば、　「ｘは一桁の自然数」である。
②「ｘが一桁の偶数」か、または「ｘが一桁の自然数」ならば、そのときに限って、「ｘは一桁の自然数」である。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（03）により、
（04）
① ｘ∈｛２，４，６，８｝ならば、　ｘ∈｛１，２，３，４，５，６，７，８，９｝である。
② ｘ∈｛２，４，６，８｝か、またはｘ∈｛１，２，３，４，５，６，７，８，９｝ならば、そのときに限って、ｘ∈｛１，２，３，４，５，６，７，８，９｝である。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（04）により、
（05）
「ならば」＝「⊂」
「または」＝「∪」
であるとして、
①｛２，４，６，８｝⊂｛１，２，３，４，５，６，７，８，９｝
②｛２，４，６，８｝∪｛１，２，３，４，５，６，７，８，９｝＝｛１，２，３，４，５，６，７，８，９｝である。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（05）により、
（06）
Ａが「集合」であって、
Ｂも「集合」であるとして、
① Ａ⊂Ｂ
② Ａ∪Ｂ＝Ｂ
に於いて、
①＝② である。
従って、
（06）により、
（07）
①「ＡがＢの部分集合」であるならば、そのときに限って、
②「ＡとＢの和集合」は、「Ｂそのもの」である。
従って、
（07）により、
（08）
①「偶数が、自然数の部分集合」であるならば、そのときに限って、
②「偶数と、自然数の和集合」は、「自然数そのもの」である。
従って、
（08）により、
（09）
「自然数」に、「偶数」を加へても、
「自然数の個数（濃度）」は「不変」である。
令和５年１１月１１日、毛利太。