―「20:28 2024/02/01」の時点で、この「記事の補足」が、完成してゐるので、明日、アップロードします。―
（01）
① ～Ｐ∨Ｐ（Ｐでないか、または、Ｐである）。
は「排中律」であって、「排中律」は「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（02）
（ⅰ）
１ （１） ～Ｐ∨Ｐ Ａ
２ （２） ～Ｐ Ａ
２ （３） ～Ｐ＆～Ｐ ２２＆Ｉ
２ （４） ～（Ｐ∨Ｐ） ３ド・モルガンの法則
２ （５） ～（～Ｐ→Ｐ） ４含意の定義
２ （６） ～（～Ｐ→Ｐ）∨ Ｐ ５∨Ｉ
７（７） Ｐ Ａ
７（８） ～（～Ｐ→Ｐ）∨ Ｐ ７∨Ｉ
１ （９） ～（～Ｐ→Ｐ）∨ Ｐ １２６７８∨Ｅ
１ （ア）～｛（～Ｐ→Ｐ）＆～Ｐ｝ ９ド・モルガンの法則
（ⅱ）
１ （１）～｛（～Ｐ→Ｐ）＆～Ｐ｝ Ａ
１ （２） ～（～Ｐ→Ｐ）∨ Ｐ １ド・モルガンの法則
３ （３） ～（～Ｐ→Ｐ） Ａ
３ （４） ～（Ｐ∨Ｐ） ３含意の定義
３ （５） ～Ｐ＆～Ｐ ４ド・モルガンの法則
３ （６） ～Ｐ ５＆Ｉ
３ （７） ～Ｐ∨Ｐ ６∨Ｉ
８（８） Ｐ Ａ
８（９） ～Ｐ∨Ｐ ８∨Ｉ
１ （ア） ～Ｐ∨Ｐ １３７８９∨Ｅ
従って、
（02）により、
（03）
① ～Ｐ∨Ｐ
② ～｛（～Ｐ→Ｐ）＆～Ｐ｝
に於いて、
①＝② である。
従って、
（01）（02）（03）により、
（04）
① ～Ｐ∨Ｐ（排中律）
② ～｛（～Ｐ→Ｐ）＆～Ｐ｝
に於いて、
①＝② であるが故に、
① は「恒真式（トートロジー）」であって、
② も「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（04）により、
（05）
① ～Ｐ∨Ｐ（排中律）
② ～｛（～Ｐ→Ｐ）＆～Ｐ｝
に対する「否定」は、
① ～（～Ｐ∨Ｐ）
② （～Ｐ→Ｐ）＆～Ｐ
である。
然るに、
（06）
（ⅱ）
１（１）（～Ｐ→Ｐ）＆～Ｐ Ａ
１（２） ～Ｐ→Ｐ １＆Ｅ
１（３） ～Ｐ １＆Ｅ
１（４） Ｐ ２３ＭＰＰ
１（５） Ｐ＆～Ｐ ３４＆Ｉ
（ⅲ）
１（１） Ｐ＆～Ｐ Ａ
１（２） ～Ｐ １＆Ｅ
１（３） Ｐ １＆Ｅ
１（４） ～～Ｐ∨Ｐ ３∨Ｉ
１（５） ～Ｐ→Ｐ ４含意の定義
１（６）（～Ｐ→Ｐ）＆～Ｐ ２５＆Ｉ
従って、
（06）により、
（07）
②（～Ｐ→Ｐ）＆～Ｐ
③ Ｐ＆～Ｐ（Ｐであって、Ｐでない）。
に於いて、
②＝③ であるが、
③ は『矛盾』である。
従って、
（07）により、
（08）
②（～Ｐ→Ｐ）＆～Ｐ
③ Ｐ＆～Ｐ
に於いて、すなはち、
②（Ｐでないならば、Ｐである）が、Ｐではない。
③ Ｐであるが、Ｐではない。
に於いて、
②＝③ であるが故に、
② は『矛盾』であり、
③ も『矛盾』である。
然るに、
（08）により、
（09）
②（～Ｐ→Ｐ）＆～Ｐ
③ Ｐ＆ ～Ｐ
に於いて、
②＝③ である。
といふことは、
②（～Ｐ→Ｐ）
③ Ｐ
②＝③ である。
といふことに、「他ならない」。
然るに、
（10）
（ⅱ）
１ （１） ～Ｐ→Ｐ Ａ
２（２） ～Ｐ Ａ
１２（３） Ｐ １２ＭＰＰ
１２（４） ～Ｐ＆Ｐ ２３＆
１ （５）～～Ｐ ２４ＲＡＡ
１ （６） Ｐ ５ＤＮ
（ⅲ）
１（１） Ｐ Ａ
１（２）～～Ｐ １ＤＮ
１（３）～～Ｐ∨Ｐ ２∨Ｉ
１（４） ～Ｐ→Ｐ ３含意の定義
従って、
（09）（10）により、
（11）
果たして、
② ～Ｐ→Ｐ
③ Ｐ
に於いて、すなはち、
② Ｐでないならば、Ｐである。
③ Ｐである。
に於いて、
②＝③ であるが、
② Ｐでないならば、Ｐである。
の「対偶」も、
② Ｐでないならば、Ｐである。
である。
従って、
（11）により、
（12）
③ Ｐである。
といふ「言ひ方」が、『矛盾』ではない以上、
② Ｐでないならば、Ｐである。
といふ「言ひ方」も、『矛盾』では、決してない。
従って、
（01）～（12）により、
（13）
② Ｐでないならば、Ｐである。
といふ「言ひ方」は、
② Ｐでない。
としたら、『矛盾』するので、『矛盾』を認めないのであれば、
② Ｐでない。
とは「言へず」に、それ故、
② Ｐである。
といふ「意味」に、取れないことも、無い。
令和６年２月１日、毛利太。
2024年1月31日水曜日
2024年1月30日火曜日
「パースの法則（恒真式）」を「否定」すると「矛盾」する。
（01）
（ⅰ）
１ （１） Ｐ→ Ｑ Ａ
２（２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
２（３） Ｐ Ａ
１２（４） Ｑ １３ＭＰＰ
２（５） ～Ｑ ２６Ｅ
１２（６） Ｑ＆～Ｑ ４５＆Ｉ
１ （７）～（Ｐ＆～Ｑ） ２６ＲＡＡ
（ⅱ）
１ （１）～（Ｐ＆～Ｑ） Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
３（３） ～Ｑ Ａ
２３（４） Ｐ＆～Ｑ ２３＆Ｉ
１２３（５）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） １４＆Ｉ
１２ （６） ～～Ｑ ３５ＲＡＡ
１２ （７） Ｑ ６ＤＮ
１ （８） Ｐ→ Ｑ ２７ＣＰ
従って、
（01）により、
（02）
① Ｐ→ Ｑ
② ～（Ｐ＆～Ｑ）
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（03）
（ⅱ）
１ （１） ～（Ｐ＆～Ｑ） Ａ
２ （２） ～（～Ｐ∨ Ｑ） Ａ
３ （４） ～Ｐ Ａ
３ （５） ～Ｐ∨ Ｑ ４∨Ｉ
２３ （６） ～（～Ｐ∨ Ｑ）＆
（～Ｐ∨ Ｑ） ２５＆Ｉ
２ （７） ～～Ｐ ３６ＲＡＡ
２ （８） Ｐ ７ＤＮ
９（９） Ｑ Ａ
９（ア） ～Ｐ∨ Ｑ ９∨Ｉ
２ ９（イ） ～（～Ｐ∨ Ｑ）＆
（～Ｐ∨ Ｑ） ２ア＆Ｉ
２ （ウ） ～Ｑ ９イＲＡＡ
２ （エ） Ｐ＆～Ｑ ８ウ＆Ｉ
１２ （オ） ～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） １エ＆Ｉ
１ （カ）～～（～Ｐ∨ Ｑ） ２オＲＡＡ
１ （キ） （～Ｐ∨ Ｑ） カＤＮ
（ⅲ）
１ （１） ～Ｐ∨ Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６） ～（Ｐ＆～Ｑ） ２５ＲＡＡ
７（７） Ｑ Ａ
２ （８） ～Ｑ ２＆Ｅ
２ ７（９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
７（ア） ～（Ｐ＆～Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ） ～（Ｐ＆～Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
１２ （ウ） （Ｐ＆～Ｑ）＆
～（Ｐ＆～Ｑ） １２＆Ｉ
１ （エ） ～（Ｐ＆～Ｑ） ２ウＲＡＡ
従って、
（03）により、
（04）
② ～（Ｐ＆～Ｑ）
③ ～Ｐ∨ Ｑ
に於いて、
②＝③ である（ド・モルガンの法則）。
従って、
（02）（04）により、
（05）
① Ｐ→ Ｑ
② ～（Ｐ＆～Ｑ）
③ ～Ｐ∨ Ｑ
に於いて、
①＝② であって（含意の定義）、
②＝③ であって（ド・モルガンの法則）、
①＝②＝③ である。
従って、
（05）により、
（06）
Ｑ＝Ｐ
といふ「代入（replacement）」により、
① Ｐ→ Ｐ
② ～（Ｐ＆～Ｐ）
③ ～Ｐ∨ Ｐ
に於いて、
①＝② であって（含意の定義）、
②＝③ であって（ド・モルガンの法則）、
①＝②＝③ である。
従って、
（06）により、
（07）
「日本語」で言ふと、
① Ｐであるならば、Ｐである。
② Ｐでないか、または、Ｐである。
③（Ｐであって、Ｐでない）といふことはない。
といふ「言ひ方」は、順番に、
① 同一律（恒真）。
② 矛盾律（恒真）。
③ 排中律（恒真）。
として、
①＝②＝③ である。
然るに、
（06）により、
（08）
① Ｐ→ Ｐ
② ～（Ｐ＆～Ｐ）
③ ～Ｐ∨ Ｐ
を「否定」すると、
① ～（Ｐ→ Ｐ）
② ～～（Ｐ＆～Ｐ）
③ ～（～Ｐ∨ Ｐ）
に於いて、
①＝②＝③ であるが、「二重否定律」により、
② ～～（Ｐ＆～Ｐ）
といふ「論理式」は、
② （Ｐ＆～Ｐ）
といふ「論理式」、すなはち、「矛盾」である。
従って、
（07）（08）により、
（09）
① 同一律（恒真）。
② 矛盾律（恒真）。
③ 排中律（恒真）。
の「否定」は、「３つとも、矛盾（恒偽）」である。
従って、
（07）（08）（09）により、
（10）
「恒真式（トートロジー）」を「否定」すると、そのときに限って、
「恒偽式（矛盾）」になる。
然るに、
（11）
（ⅳ）
１（１） ～（Ｐ＆Ｑ→ Ｐ） Ａ
１（２）～｛～（Ｐ＆Ｑ）∨ Ｐ｝ １含意の定義
１（３） （Ｐ＆Ｑ）＆～Ｐ ２ド・モルガンの法則
１（４） Ｐ＆Ｑ ＆～Ｐ ３結合法則
１（５） Ｐ ４＆Ｅ
１（６） ～Ｐ ４＆Ｅ
１（７） Ｐ＆～Ｐ（矛盾） ５６＆Ｉ
（ⅴ）
１ （１） ～（（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→ Ｐ） Ａ
１ （２） ～（（（～Ｐ∨Ｑ）→Ｐ）→ Ｐ） １含意の定義
１ （３） ～（（～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｐ）→ Ｐ） ２含意の定義
１ （４）～（～（～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｐ）∨ Ｐ） ３含意の定義
１ （５） （～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｐ）＆～Ｐ ４ド・モルガンの法則
１ （６） （（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）＆～Ｐ ５ド・モルガンの法則
１ （７） （Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ ６＆Ｅ
８ （８） Ｐ＆～Ｑ Ａ
８ （９） Ｐ ８＆Ｅ
ア（ア） Ｐ Ａ
１ （イ） Ｐ ７８９アア∨Ｅ
１ （ウ） ～Ｐ ６＆Ｅ
１ （エ） Ｐ＆～Ｐ（矛盾） イウ＆Ｉ
従って、
（10）（11）により、
（12）
⑤ Ｐ＆Ｑ→Ｐ
⑥（（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ）
は、「２つとも、恒真（トートロジー）」である。
従って、
（05）～（12）により、
（13）
① Ｐ→ Ｐ
② ～（Ｐ＆～Ｐ）
③ ～Ｐ∨ Ｐ
⑤ Ｐ＆Ｑ→Ｐ
⑥（（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ）
といふ「５つの論理式」、すなはち、
① 同一律。
② 矛盾律。
③ 排中律。
④ 連言除去。
⑤ パースの法則。
は、「５つとも、恒真（トートロジー）」である。
然るに、
（14）
（ⅵ）
１（１）～｛ ∀ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｆｘ）｝ Ａ
１（２）～｛～∀ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｆｘ）｝ １含意の定義
１（３） ∀ｘ（Ｆｘ）＆～∃ｘ（Ｆｘ） ２ド・モルガンの法則
１（４） ∀ｘ（Ｆｘ） ３＆Ｅ
１（５） Ｆａ ４ＵＥ
１（６） ～∃ｘ（Ｆｘ） ３＆Ｅ
１（７） ∀ｘ（～Ｆｘ） ６量化子の関係
１（８） ～Ｆａ ７ＵＥ
１（９） Ｆａ＆～Ｆａ（矛盾） ５８＆Ｉ
従って、
（10）（14）により、
（15）
⑥ ∀ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｆｘ）
⑥ すべてのｘがＦであるならば、あるｘはＦである。
といふ「述語論理式」も、「恒真（トートロジー）」であるが、
⑥ ∀ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｆｘ）
といふ「式」は、「命題論理」に於ける、
⑤ Ｐ＆Ｑ→Ｐ（連言除去）
⑤ ＰであってＱであるならば、Ｑである。
に「相当」する。
然るに、
（16）
（ⅰ）
１ （１） （Ｐ→Ｑ）→Ｐ Ａ
１ （２） ～（Ｐ→Ｑ）∨Ｐ １含意の定義
３ （３） ～（Ｐ→Ｑ） Ａ
３ （４）～（～Ｐ∨Ｑ） ３含意の定義
３ （５） Ｐ＆～Ｑ ４ド・モルガンの法則
３ （６） Ｐ ５＆Ｅ
７（７） Ｐ Ａ
１ （８） Ｐ １３６７７∨Ｅ
（９）（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ １８ＣＰ
（ⅱ）
１ （１） ～（（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→ Ｐ） Ａ
１ （２） ～（（（～Ｐ∨Ｑ）→Ｐ）→ Ｐ） １含意の定義
１ （３） ～（（～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｐ）→ Ｐ） ２含意の定義
１ （４）～（～（～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｐ）∨ Ｐ） ３含意の定義
１ （５） （～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｐ）＆～Ｐ ４ド・モルガンの法則
１ （６） （（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）＆～Ｐ ５ド・モルガンの法則
１ （７） （Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ ６＆Ｅ
８ （８） Ｐ＆～Ｑ Ａ
８ （９） Ｐ ８＆Ｅ
ア（ア） Ｐ Ａ
１ （イ） Ｐ ７８９アア∨Ｅ
１ （ウ） ～Ｐ ６＆Ｅ
１ （エ） Ｐ＆～Ｐ（矛盾） イウ＆Ｉ
（オ） ～～（（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→ Ｐ） １エＲＡＡ
（カ） （（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→ Ｐ オＤＮ
従って、
（16）により、
（17）
① ├（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
② ├（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
といふ「パースの法則（恒真式）」がそうであるやうに、
①「恒真（トートロジー）」とは、「仮定の数が０である」所の、「連式の結論」である。
②「恒真（トートロジー）」とは、「仮定の数が０である」所の、「連式の結論」である。
然るに、
（18）
①「仮定の数が０である」。
②「仮定の数が０である」。
といふことは、
①「恒真（トートロジー）である」。
②「恒真（トートロジー）である」。
といふことに、「他ならない」。
令和６年１月３０日、毛利太。
（ⅰ）
１ （１） Ｐ→ Ｑ Ａ
２（２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
２（３） Ｐ Ａ
１２（４） Ｑ １３ＭＰＰ
２（５） ～Ｑ ２６Ｅ
１２（６） Ｑ＆～Ｑ ４５＆Ｉ
１ （７）～（Ｐ＆～Ｑ） ２６ＲＡＡ
（ⅱ）
１ （１）～（Ｐ＆～Ｑ） Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
３（３） ～Ｑ Ａ
２３（４） Ｐ＆～Ｑ ２３＆Ｉ
１２３（５）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） １４＆Ｉ
１２ （６） ～～Ｑ ３５ＲＡＡ
１２ （７） Ｑ ６ＤＮ
１ （８） Ｐ→ Ｑ ２７ＣＰ
従って、
（01）により、
（02）
① Ｐ→ Ｑ
② ～（Ｐ＆～Ｑ）
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（03）
（ⅱ）
１ （１） ～（Ｐ＆～Ｑ） Ａ
２ （２） ～（～Ｐ∨ Ｑ） Ａ
３ （４） ～Ｐ Ａ
３ （５） ～Ｐ∨ Ｑ ４∨Ｉ
２３ （６） ～（～Ｐ∨ Ｑ）＆
（～Ｐ∨ Ｑ） ２５＆Ｉ
２ （７） ～～Ｐ ３６ＲＡＡ
２ （８） Ｐ ７ＤＮ
９（９） Ｑ Ａ
９（ア） ～Ｐ∨ Ｑ ９∨Ｉ
２ ９（イ） ～（～Ｐ∨ Ｑ）＆
（～Ｐ∨ Ｑ） ２ア＆Ｉ
２ （ウ） ～Ｑ ９イＲＡＡ
２ （エ） Ｐ＆～Ｑ ８ウ＆Ｉ
１２ （オ） ～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） １エ＆Ｉ
１ （カ）～～（～Ｐ∨ Ｑ） ２オＲＡＡ
１ （キ） （～Ｐ∨ Ｑ） カＤＮ
（ⅲ）
１ （１） ～Ｐ∨ Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６） ～（Ｐ＆～Ｑ） ２５ＲＡＡ
７（７） Ｑ Ａ
２ （８） ～Ｑ ２＆Ｅ
２ ７（９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
７（ア） ～（Ｐ＆～Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ） ～（Ｐ＆～Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
１２ （ウ） （Ｐ＆～Ｑ）＆
～（Ｐ＆～Ｑ） １２＆Ｉ
１ （エ） ～（Ｐ＆～Ｑ） ２ウＲＡＡ
従って、
（03）により、
（04）
② ～（Ｐ＆～Ｑ）
③ ～Ｐ∨ Ｑ
に於いて、
②＝③ である（ド・モルガンの法則）。
従って、
（02）（04）により、
（05）
① Ｐ→ Ｑ
② ～（Ｐ＆～Ｑ）
③ ～Ｐ∨ Ｑ
に於いて、
①＝② であって（含意の定義）、
②＝③ であって（ド・モルガンの法則）、
①＝②＝③ である。
従って、
（05）により、
（06）
Ｑ＝Ｐ
といふ「代入（replacement）」により、
① Ｐ→ Ｐ
② ～（Ｐ＆～Ｐ）
③ ～Ｐ∨ Ｐ
に於いて、
①＝② であって（含意の定義）、
②＝③ であって（ド・モルガンの法則）、
①＝②＝③ である。
従って、
（06）により、
（07）
「日本語」で言ふと、
① Ｐであるならば、Ｐである。
② Ｐでないか、または、Ｐである。
③（Ｐであって、Ｐでない）といふことはない。
といふ「言ひ方」は、順番に、
① 同一律（恒真）。
② 矛盾律（恒真）。
③ 排中律（恒真）。
として、
①＝②＝③ である。
然るに、
（06）により、
（08）
① Ｐ→ Ｐ
② ～（Ｐ＆～Ｐ）
③ ～Ｐ∨ Ｐ
を「否定」すると、
① ～（Ｐ→ Ｐ）
② ～～（Ｐ＆～Ｐ）
③ ～（～Ｐ∨ Ｐ）
に於いて、
①＝②＝③ であるが、「二重否定律」により、
② ～～（Ｐ＆～Ｐ）
といふ「論理式」は、
② （Ｐ＆～Ｐ）
といふ「論理式」、すなはち、「矛盾」である。
従って、
（07）（08）により、
（09）
① 同一律（恒真）。
② 矛盾律（恒真）。
③ 排中律（恒真）。
の「否定」は、「３つとも、矛盾（恒偽）」である。
従って、
（07）（08）（09）により、
（10）
「恒真式（トートロジー）」を「否定」すると、そのときに限って、
「恒偽式（矛盾）」になる。
然るに、
（11）
（ⅳ）
１（１） ～（Ｐ＆Ｑ→ Ｐ） Ａ
１（２）～｛～（Ｐ＆Ｑ）∨ Ｐ｝ １含意の定義
１（３） （Ｐ＆Ｑ）＆～Ｐ ２ド・モルガンの法則
１（４） Ｐ＆Ｑ ＆～Ｐ ３結合法則
１（５） Ｐ ４＆Ｅ
１（６） ～Ｐ ４＆Ｅ
１（７） Ｐ＆～Ｐ（矛盾） ５６＆Ｉ
（ⅴ）
１ （１） ～（（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→ Ｐ） Ａ
１ （２） ～（（（～Ｐ∨Ｑ）→Ｐ）→ Ｐ） １含意の定義
１ （３） ～（（～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｐ）→ Ｐ） ２含意の定義
１ （４）～（～（～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｐ）∨ Ｐ） ３含意の定義
１ （５） （～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｐ）＆～Ｐ ４ド・モルガンの法則
１ （６） （（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）＆～Ｐ ５ド・モルガンの法則
１ （７） （Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ ６＆Ｅ
８ （８） Ｐ＆～Ｑ Ａ
８ （９） Ｐ ８＆Ｅ
ア（ア） Ｐ Ａ
１ （イ） Ｐ ７８９アア∨Ｅ
１ （ウ） ～Ｐ ６＆Ｅ
１ （エ） Ｐ＆～Ｐ（矛盾） イウ＆Ｉ
従って、
（10）（11）により、
（12）
⑤ Ｐ＆Ｑ→Ｐ
⑥（（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ）
は、「２つとも、恒真（トートロジー）」である。
従って、
（05）～（12）により、
（13）
① Ｐ→ Ｐ
② ～（Ｐ＆～Ｐ）
③ ～Ｐ∨ Ｐ
⑤ Ｐ＆Ｑ→Ｐ
⑥（（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ）
といふ「５つの論理式」、すなはち、
① 同一律。
② 矛盾律。
③ 排中律。
④ 連言除去。
⑤ パースの法則。
は、「５つとも、恒真（トートロジー）」である。
然るに、
（14）
（ⅵ）
１（１）～｛ ∀ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｆｘ）｝ Ａ
１（２）～｛～∀ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｆｘ）｝ １含意の定義
１（３） ∀ｘ（Ｆｘ）＆～∃ｘ（Ｆｘ） ２ド・モルガンの法則
１（４） ∀ｘ（Ｆｘ） ３＆Ｅ
１（５） Ｆａ ４ＵＥ
１（６） ～∃ｘ（Ｆｘ） ３＆Ｅ
１（７） ∀ｘ（～Ｆｘ） ６量化子の関係
１（８） ～Ｆａ ７ＵＥ
１（９） Ｆａ＆～Ｆａ（矛盾） ５８＆Ｉ
従って、
（10）（14）により、
（15）
⑥ ∀ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｆｘ）
⑥ すべてのｘがＦであるならば、あるｘはＦである。
といふ「述語論理式」も、「恒真（トートロジー）」であるが、
⑥ ∀ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｆｘ）
といふ「式」は、「命題論理」に於ける、
⑤ Ｐ＆Ｑ→Ｐ（連言除去）
⑤ ＰであってＱであるならば、Ｑである。
に「相当」する。
然るに、
（16）
（ⅰ）
１ （１） （Ｐ→Ｑ）→Ｐ Ａ
１ （２） ～（Ｐ→Ｑ）∨Ｐ １含意の定義
３ （３） ～（Ｐ→Ｑ） Ａ
３ （４）～（～Ｐ∨Ｑ） ３含意の定義
３ （５） Ｐ＆～Ｑ ４ド・モルガンの法則
３ （６） Ｐ ５＆Ｅ
７（７） Ｐ Ａ
１ （８） Ｐ １３６７７∨Ｅ
（９）（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ １８ＣＰ
（ⅱ）
１ （１） ～（（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→ Ｐ） Ａ
１ （２） ～（（（～Ｐ∨Ｑ）→Ｐ）→ Ｐ） １含意の定義
１ （３） ～（（～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｐ）→ Ｐ） ２含意の定義
１ （４）～（～（～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｐ）∨ Ｐ） ３含意の定義
１ （５） （～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｐ）＆～Ｐ ４ド・モルガンの法則
１ （６） （（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）＆～Ｐ ５ド・モルガンの法則
１ （７） （Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ ６＆Ｅ
８ （８） Ｐ＆～Ｑ Ａ
８ （９） Ｐ ８＆Ｅ
ア（ア） Ｐ Ａ
１ （イ） Ｐ ７８９アア∨Ｅ
１ （ウ） ～Ｐ ６＆Ｅ
１ （エ） Ｐ＆～Ｐ（矛盾） イウ＆Ｉ
（オ） ～～（（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→ Ｐ） １エＲＡＡ
（カ） （（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→ Ｐ オＤＮ
従って、
（16）により、
（17）
① ├（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
② ├（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
といふ「パースの法則（恒真式）」がそうであるやうに、
①「恒真（トートロジー）」とは、「仮定の数が０である」所の、「連式の結論」である。
②「恒真（トートロジー）」とは、「仮定の数が０である」所の、「連式の結論」である。
然るに、
（18）
①「仮定の数が０である」。
②「仮定の数が０である」。
といふことは、
①「恒真（トートロジー）である」。
②「恒真（トートロジー）である」。
といふことに、「他ならない」。
令和６年１月３０日、毛利太。
2024年1月27日土曜日
「ちょうど２個のものがＦである」の「述語論理」。
（01）
① ∃ｘ∃ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）＆ｘ≠ｙ｝⇔
① あるｘとあるｙについて｛（ｘはＦであり、ｙもＦであるが）、ｘはｙではない。｝⇔
① 少なくとも、２個以上の対象（objects）がＦである。
然るに、
（02）
② ∃ｘ∃ｙ∃ｚ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ＆Ｆｚ）＆（ｘ≠ｙ＆ｘ≠ｚ＆ｙ≠ｚ）｝⇔
② あるｘとあるｙとあるｚについて｛（ｘはＦであり、ｙもＦであり、ｚもＦであるが）、ｘはｙではなく、ｘはｚでもなく、ｚもｙではない。｝⇔
② 少なくとも、３個以上の対象（objects）がＦである。
従って、
（02）により、
（03）
③ ～∃ｘ∃ｙ∃ｚ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ＆Ｆｚ）＆（ｘ≠ｙ＆ｘ≠ｚ＆ｙ≠ｚ）｝⇔
③（３個以上の対象（objects）がＦである）といふことはない。⇔
③ Ｆである対象（objects）は、多くとも、高々、２個以下である。
然るに、
（04）
（ⅲ）
１ （１）～∃ｘ∃ｙ∃ｚ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ＆Ｆｚ）＆ （ｘ≠ｙ＆ｘ≠ｚ＆ｙ≠ｚ）｝ Ａ
１ （２）∀ｘ～∃ｙ∃ｚ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ＆Ｆｚ）＆ （ｘ≠ｙ＆ｘ≠ｚ＆ｙ≠ｚ）｝ １量化子の関係
１ （３）∀ｘ∀ｙ～∃ｚ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ＆Ｆｚ）＆ （ｘ≠ｙ＆ｘ≠ｚ＆ｙ≠ｚ）｝ ２量化子の関係
１ （４）∀ｘ∀ｙ∀ｚ～｛（Ｆｘ＆Ｆｙ＆Ｆｚ）＆ （ｘ≠ｙ＆ｘ≠ｚ＆ｙ≠ｚ）｝ ３量化子の関係
１ （５） ∀ｙ∀ｚ～｛（Ｆａ＆Ｆｙ＆Ｆｚ）＆ （ａ≠ｙ＆ａ≠ｚ＆ｙ≠ｚ）｝ ４ＵＥ
１ （６） ∀ｚ～｛（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｚ）＆ （ａ≠ｂ＆ａ≠ｚ＆ｂ≠ｚ）｝ ５ＵＥ
１ （７） ～｛（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）＆ （ａ≠ｂ＆ａ≠ｃ＆ｂ≠ｃ）｝ ６ＵＥ
１ （８） ～（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）∨～（ａ≠ｂ＆ａ≠ｃ＆ｂ≠ｃ） ７ド・モルガンの法則
１ （９） （Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）→～（ａ≠ｂ＆ａ≠ｃ＆ｂ≠ｃ） ８含意の定義
ア（ア） （Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ） Ａ
１ア（イ） ～（ａ≠ｂ＆ａ≠ｃ＆ｂ≠ｃ） ９アＭＰＰ
１ア（ウ） （ａ＝ｂ∨ａ＝ｃ∨ｂ＝ｃ） イ、ド・モルガンの法則
１ （エ） （Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）→ （ａ＝ｂ∨ａ＝ｃ∨ｂ＝ｃ） アウＣＰ
１ （オ） ∀ｚ｛（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｚ）→ （ａ＝ｂ∨ａ＝ｚ∨ｂ＝ｚ）｝ エＵＩ
１ （カ） ∀ｙ∀ｚ｛（Ｆａ＆Ｆｙ＆Ｆｚ）→ （ａ＝ｙ∨ａ＝ｚ∨ｙ＝ｚ）｝ オＵＩ
１ （キ） ∀ｘ∀ｙ∀ｚ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ＆Ｆｚ）→ （ｘ＝ｙ∨ｘ＝ｚ∨ｙ＝ｚ）｝ カＵＩ
（ⅳ）
１ （１） ∀ｘ∀ｙ∀ｚ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ＆Ｆｚ）→ （ｘ＝ｙ∨ｘ＝ｚ∨ｙ＝ｚ）｝ Ａ
１ （２） ∀ｙ∀ｚ｛（Ｆａ＆Ｆｙ＆Ｆｚ）→ （ａ＝ｙ∨ａ＝ｚ∨ｙ＝ｚ）｝ １ＵＥ
１ （３） ∀ｚ｛（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｚ）→ （ａ＝ｂ∨ａ＝ｚ∨ｂ＝ｚ）｝ ２ＵＥ
１ （４） （Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）→ （ａ＝ｂ∨ａ＝ｚ∨ｂ＝ｚ） ３ＵＥ
５（５） （Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ） Ａ
１５（６） （ａ＝ｂ∨ａ＝ｚ∨ｂ＝ｚ） ４５ＭＰＰ
１５（７） ～（ａ≠ｂ＆ａ≠ｃ＆ｂ≠ｃ） ６ド・モルガンの法則
１ （８） （Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）→～（ａ≠ｂ＆ａ≠ｃ＆ｂ≠ｃ） ５７ＣＰ
１ （９） ～（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）∨～（ａ≠ｂ＆ａ≠ｃ＆ｂ≠ｃ） ８含意の定義
１ （ア） ～｛（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）＆ （ａ≠ｂ＆ａ≠ｃ＆ｂ≠ｃ）｝ ９ド・モルガンの法則
１ （イ） ∀ｚ～｛（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｚ）＆ （ａ≠ｂ＆ａ≠ｚ＆ｂ≠ｚ）｝ アＵＩ
１ （ウ） ∀ｙ∀ｚ～｛（Ｆａ＆Ｆｙ＆Ｆｚ）→ （ａ＝ｙ∨ａ＝ｚ∨ｙ＝ｚ）｝ イＵＩ
１ （エ）∀ｘ∀ｙ∀ｚ～｛（Ｆｘ＆Ｆｙ＆Ｆｚ）＆ （ｘ≠ｙ＆ｘ≠ｚ＆ｙ≠ｚ）｝ ウＵＩ
１ （オ）∀ｘ∀ｙ～∃ｚ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ＆Ｆｚ）＆ （ｘ≠ｙ＆ｘ≠ｚ＆ｙ≠ｚ）｝ エ量化子の関係
１ （カ）∀ｘ～∃ｙ∃ｚ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ＆Ｆｚ）＆ （ｘ≠ｙ＆ｘ≠ｚ＆ｙ≠ｚ）｝ オ量化子の関係
１ （キ）～∃ｘ∃ｙ∃ｚ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ＆Ｆｚ）＆ （ｘ≠ｙ＆ｘ≠ｚ＆ｙ≠ｚ）｝ カ量化子の関係
従って、
（03）（04）により、
（05）
③ ～∃ｘ∃ｙ∃ｚ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ＆Ｆｚ）＆（ｘ≠ｙ＆ｘ≠ｚ＆ｙ≠ｚ）｝≡Ｆである対象（objects）は、多くとも、２個以下である。
④ ∀ｘ∀ｙ∀ｚ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ＆Ｆｚ）→（ｘ＝ｙ∨ｘ＝ｚ∨ｙ＝ｚ）｝≡Ｆである対象（objects）は、多くとも、２個以下である。
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（01）（05）により、
（06）
① ∃ｘ∃ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）＆ｘ≠ｙ｝ ≡少なくとも、２個以上の対象（objects）がＦである。
④ ∀ｘ∀ｙ∀ｚ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ＆Ｆｚ）→（ｘ＝ｙ∨ｘ＝ｚ∨ｙ＝ｚ）｝≡Ｆである対象（objects）は、多くとも、２個以下である。
従って、
（06）により、
（07）
⑤ ちょうど２個の対象がＦである。
といふ「日本語」は、①＆④ である所の、
⑤ ∃ｘ∃ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）＆ｘ≠ｙ｝＆∀ｘ∀ｙ∀ｚ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ＆Ｆｚ）→（ｘ＝ｙ∨ｘ＝ｚ∨ｙ＝ｚ）｝
といふ「論理式」に「翻訳」出来る。
然るに、
（08）
（ⅴ）
１ （１）∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ≠ｙ）＆∀ｘ∀ｙ∀ｚ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ＆Ｆｚ）→（ｘ＝ｙ∨ｘ＝ｚ∨ｙ＝ｚ）｝ Ａ
１ （２）∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ≠ｙ） １＆Ｅ
３ （３） ∃ｙ（Ｆａ＆Ｆｙ＆ａ≠ｙ） Ａ
４ （４） Ｆａ＆Ｆｂ＆ａ≠ｂ Ａ
１ （５） ∀ｘ∀ｙ∀ｚ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ＆Ｆｚ）→（ｘ＝ｙ∨ｘ＝ｚ∨ｙ＝ｚ）｝ １＆Ｅ
１ （６） ∀ｙ∀ｚ｛（Ｆａ＆Ｆｙ＆Ｆｚ）→（ａ＝ｙ∨ａ＝ｚ∨ｙ＝ｚ）｝ ５ＵＥ
１ （７） ∀ｚ｛（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｚ）→（ａ＝ｂ∨ａ＝ｚ∨ｂ＝ｚ）｝ ６ＵＥ
１ （８） （Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）→（ａ＝ｂ∨ａ＝ｃ∨ｂ＝ｃ） ７ＵＥ
４ （９） Ｆａ＆Ｆｂ ４＆Ｅ
ア（ア） Ｆｃ Ａ
４ア（イ） Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ ９ア＆Ｉ
１ ４ア（ウ） （ａ＝ｂ∨ａ＝ｃ∨ｂ＝ｃ） ８イＭＰＰ
１ ４ア（エ） （ａ＝ｂ）∨（ａ＝ｃ∨ｂ＝ｃ） ウ結合法則
１ ４ア（オ） ～（ａ≠ｂ）∨（ａ＝ｃ∨ｂ＝ｃ） エＤＮ
１ ４ア（カ） （ａ≠ｂ）→（ａ＝ｃ∨ｂ＝ｃ） オ含意の定義
４ （キ） ａ≠ｂ ４＆Ｅ
１ ４ア（ク） （ａ＝ｃ∨ｂ＝ｃ） カキＭＰＰ
１ ４ （ケ） Ｆｃ→（ａ＝ｃ∨ｂ＝ｃ） アクＣＰ
１ ４ （コ） ∀ｚ（Ｆｚ→（ａ＝ｚ∨ｂ＝ｚ） ケＵＩ
１ ４ （サ） （Ｆａ＆Ｆｂ＆ａ≠ｂ）＆∀ｚ［Ｆｚ→（ａ＝ｚ∨ｂ＝ｚ）］ ４コ＆Ｉ
１ ４ （シ） ∃ｙ｛（Ｆａ＆Ｆｙ＆ａ≠ｙ）＆∀ｚ［Ｆｚ→（ａ＝ｚ∨ｙ＝ｚ）］｝ サＥＩ
１３ （ス） ∃ｙ｛（Ｆａ＆Ｆｙ＆ａ≠ｙ）＆∀ｚ［Ｆｚ→（ａ＝ｚ∨ｙ＝ｚ）］｝ ３４シＥＥ
１３ （セ）∃ｘ∃ｙ｛（Ｆａ＆Ｆｙ＆ａ≠ｙ）＆∀ｚ［Ｆｚ→（ａ＝ｚ∨ｙ＝ｚ）］｝ スＥＩ
１ （ソ）∃ｘ∃ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ≠ｙ）＆∀ｚ［Ｆｚ→（ｘ＝ｚ∨ｙ＝ｚ）］｝ １３セＥＥ
（ⅵ）
１ （１）∃ｘ∃ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ≠ｙ）＆∀ｚ［Ｆｚ→（ｘ＝ｚ∨ｙ＝ｚ）］｝ Ａ
２ （２） ∃ｙ｛（Ｆａ＆Ｆｙ＆ａ≠ｙ）＆∀ｚ［Ｆｚ→（ａ＝ｚ∨ｙ＝ｚ）］｝ Ａ
３ （３） （Ｆａ＆Ｆｂ＆ａ≠ｂ）＆∀ｚ［Ｆｚ→（ａ＝ｚ∨ｂ＝ｚ）］｝ Ａ
３ （４） （Ｆａ＆Ｆｂ＆ａ≠ｂ） ３＆Ｅ
３ （５） ∀ｚ［Ｆｚ→（ａ＝ｚ∨ｂ＝ｚ）］ ３＆Ｅ
３ （６） Ｆｃ→（ａ＝ｃ∨ｂ＝ｃ） ５ＵＥ
７（７） Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ Ａ
７（８） Ｆｃ ７＆Ｅ
３７（９） ａ＝ｃ∨ｂ＝ｃ ６８ＭＰＰ
３７（ア） ａ＝ｂ∨ａ＝ｃ∨ｂ＝ｃ ９∨Ｉ
３ （イ） （Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）→（ａ＝ｂ∨ａ＝ｃ∨ｂ＝ｃ） ７アＣＰ
３ （ウ） ∀ｚ｛（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｚ）→（ａ＝ｂ∨ａ＝ｚ∨ｂ＝ｚ）｝ イＵＩ
３ （エ） ∀ｙ∀ｚ｛（Ｆａ＆Ｆｙ＆Ｆｚ）→（ａ＝ｙ∨ａ＝ｚ∨ｙ＝ｚ）｝ ウＵＩ
３ （オ） ∀ｘ∀ｙ∀ｚ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ＆Ｆｚ）→（ｘ＝ｙ∨ｘ＝ｚ∨ｙ＝ｚ）｝ エＵＩ
３ （カ） （Ｆａ＆Ｆｂ＆ａ≠ｂ）＆∀ｘ∀ｙ∀ｚ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ＆Ｆｚ）→（ｘ＝ｙ∨ｘ＝ｚ∨ｙ＝ｚ）｝ ４オ＆I
３ （キ） ∃ｙ（Ｆａ＆Ｆｂ＆ａ≠ｂ）＆∀ｘ∀ｙ∀ｚ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ＆Ｆｚ）→（ｘ＝ｙ∨ｘ＝ｚ∨ｙ＝ｚ）｝ カＥＩ
２ （ク） ∃ｙ（Ｆａ＆Ｆｂ＆ａ≠ｂ）＆∀ｘ∀ｙ∀ｚ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ＆Ｆｚ）→（ｘ＝ｙ∨ｘ＝ｚ∨ｙ＝ｚ）｝ ２３キＥＥ
２ （コ）∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ≠ｙ）＆∀ｘ∀ｙ∀ｚ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ＆Ｆｚ）→（ｘ＝ｙ∨ｘ＝ｚ∨ｙ＝ｚ）｝ クＥＩ
１ （サ）∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ≠ｙ）＆∀ｘ∀ｙ∀ｚ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ＆Ｆｚ）→（ｘ＝ｙ∨ｘ＝ｚ∨ｙ＝ｚ）｝ １２コＥＥ
従って、
（08）により、
（09）
⑤ ∃ｘ∃ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）＆ｘ≠ｙ｝＆∀ｘ∀ｙ∀ｚ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ＆Ｆｚ）→（ｘ＝ｙ∨ｘ＝ｚ∨ｙ＝ｚ）｝
⑥ ∃ｘ∃ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ≠ｙ）＆∀ｚ［Ｆｚ→（ｘ＝ｚ∨ｙ＝ｚ）］｝
に於いて、
⑤＝⑥ である。
従って、
（07）（08）（09）により、
（10）
⑥ ちょうど２個の対象がＦである。⇔
⑥ ∃ｘ∃ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ≠ｙ）＆∀ｚ［Ｆｚ→（ｘ＝ｚ∨ｙ＝ｚ）］｝⇔
⑥ あるｘとあるｙについて｛（ｘはＦであり、ｙもＦであるが、ｘとｙは同一ではなく）、すべてのｚについて［ｚがＦであるならば、ｘがｚであるか、または、ｙがｚである］｝。
といふ「等式」が「成立」する。
従って、
（10）により、
（11）
⑥ ちょうど２人の人物が犯人である。⇔
⑥ ∃ｘ∃ｙ｛（犯人ｘ＆犯人ｙ＆ｘ≠ｙ）＆∀ｚ［犯人ｚ→（ｘ＝ｚ∨ｙ＝ｚ）］｝⇔
⑥ あるｘとあるｙについて｛（ｘは犯人であり、ｙも犯人であるが、ｘとｙは同一人物ではなく）、すべてのｚについて［ｚが犯人であるならば、ｘがｚであるか、または、ｙがｚである］｝。
といふ「等式」が「成立」する。
因みに、
（12）
⑤ ∃ｘ∃ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）＆ｘ≠ｙ｝＆∀ｘ∀ｙ∀ｚ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ＆Ｆｚ）→（ｘ＝ｙ∨ｘ＝ｚ∨ｙ＝ｚ）｝
⑥ ∃ｘ∃ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ≠ｙ）＆∀ｚ［Ｆｚ→（ｘ＝ｚ∨ｙ＝ｚ）］｝
に於いて、
⑤＝⑥ である。
といふことは、「昭和堂、論理学の基礎、1994年、１７７頁」に書かれてゐるのもの、「述語計算（証明）」自体は、載ってゐない。
（13）
私の「愛読書」である「E.J.レモン著、論理学初歩、1973年」は、「問題に対する解答」が載ってないし、最近、ブックオフで買った「論理学の書籍」は、「誤植」がふんだんに有って、「答え」に、マチガイがある。
令和６年１月２７日、毛利太。
① ∃ｘ∃ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）＆ｘ≠ｙ｝⇔
① あるｘとあるｙについて｛（ｘはＦであり、ｙもＦであるが）、ｘはｙではない。｝⇔
① 少なくとも、２個以上の対象（objects）がＦである。
然るに、
（02）
② ∃ｘ∃ｙ∃ｚ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ＆Ｆｚ）＆（ｘ≠ｙ＆ｘ≠ｚ＆ｙ≠ｚ）｝⇔
② あるｘとあるｙとあるｚについて｛（ｘはＦであり、ｙもＦであり、ｚもＦであるが）、ｘはｙではなく、ｘはｚでもなく、ｚもｙではない。｝⇔
② 少なくとも、３個以上の対象（objects）がＦである。
従って、
（02）により、
（03）
③ ～∃ｘ∃ｙ∃ｚ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ＆Ｆｚ）＆（ｘ≠ｙ＆ｘ≠ｚ＆ｙ≠ｚ）｝⇔
③（３個以上の対象（objects）がＦである）といふことはない。⇔
③ Ｆである対象（objects）は、多くとも、高々、２個以下である。
然るに、
（04）
（ⅲ）
１ （１）～∃ｘ∃ｙ∃ｚ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ＆Ｆｚ）＆ （ｘ≠ｙ＆ｘ≠ｚ＆ｙ≠ｚ）｝ Ａ
１ （２）∀ｘ～∃ｙ∃ｚ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ＆Ｆｚ）＆ （ｘ≠ｙ＆ｘ≠ｚ＆ｙ≠ｚ）｝ １量化子の関係
１ （３）∀ｘ∀ｙ～∃ｚ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ＆Ｆｚ）＆ （ｘ≠ｙ＆ｘ≠ｚ＆ｙ≠ｚ）｝ ２量化子の関係
１ （４）∀ｘ∀ｙ∀ｚ～｛（Ｆｘ＆Ｆｙ＆Ｆｚ）＆ （ｘ≠ｙ＆ｘ≠ｚ＆ｙ≠ｚ）｝ ３量化子の関係
１ （５） ∀ｙ∀ｚ～｛（Ｆａ＆Ｆｙ＆Ｆｚ）＆ （ａ≠ｙ＆ａ≠ｚ＆ｙ≠ｚ）｝ ４ＵＥ
１ （６） ∀ｚ～｛（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｚ）＆ （ａ≠ｂ＆ａ≠ｚ＆ｂ≠ｚ）｝ ５ＵＥ
１ （７） ～｛（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）＆ （ａ≠ｂ＆ａ≠ｃ＆ｂ≠ｃ）｝ ６ＵＥ
１ （８） ～（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）∨～（ａ≠ｂ＆ａ≠ｃ＆ｂ≠ｃ） ７ド・モルガンの法則
１ （９） （Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）→～（ａ≠ｂ＆ａ≠ｃ＆ｂ≠ｃ） ８含意の定義
ア（ア） （Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ） Ａ
１ア（イ） ～（ａ≠ｂ＆ａ≠ｃ＆ｂ≠ｃ） ９アＭＰＰ
１ア（ウ） （ａ＝ｂ∨ａ＝ｃ∨ｂ＝ｃ） イ、ド・モルガンの法則
１ （エ） （Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）→ （ａ＝ｂ∨ａ＝ｃ∨ｂ＝ｃ） アウＣＰ
１ （オ） ∀ｚ｛（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｚ）→ （ａ＝ｂ∨ａ＝ｚ∨ｂ＝ｚ）｝ エＵＩ
１ （カ） ∀ｙ∀ｚ｛（Ｆａ＆Ｆｙ＆Ｆｚ）→ （ａ＝ｙ∨ａ＝ｚ∨ｙ＝ｚ）｝ オＵＩ
１ （キ） ∀ｘ∀ｙ∀ｚ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ＆Ｆｚ）→ （ｘ＝ｙ∨ｘ＝ｚ∨ｙ＝ｚ）｝ カＵＩ
（ⅳ）
１ （１） ∀ｘ∀ｙ∀ｚ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ＆Ｆｚ）→ （ｘ＝ｙ∨ｘ＝ｚ∨ｙ＝ｚ）｝ Ａ
１ （２） ∀ｙ∀ｚ｛（Ｆａ＆Ｆｙ＆Ｆｚ）→ （ａ＝ｙ∨ａ＝ｚ∨ｙ＝ｚ）｝ １ＵＥ
１ （３） ∀ｚ｛（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｚ）→ （ａ＝ｂ∨ａ＝ｚ∨ｂ＝ｚ）｝ ２ＵＥ
１ （４） （Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）→ （ａ＝ｂ∨ａ＝ｚ∨ｂ＝ｚ） ３ＵＥ
５（５） （Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ） Ａ
１５（６） （ａ＝ｂ∨ａ＝ｚ∨ｂ＝ｚ） ４５ＭＰＰ
１５（７） ～（ａ≠ｂ＆ａ≠ｃ＆ｂ≠ｃ） ６ド・モルガンの法則
１ （８） （Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）→～（ａ≠ｂ＆ａ≠ｃ＆ｂ≠ｃ） ５７ＣＰ
１ （９） ～（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）∨～（ａ≠ｂ＆ａ≠ｃ＆ｂ≠ｃ） ８含意の定義
１ （ア） ～｛（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）＆ （ａ≠ｂ＆ａ≠ｃ＆ｂ≠ｃ）｝ ９ド・モルガンの法則
１ （イ） ∀ｚ～｛（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｚ）＆ （ａ≠ｂ＆ａ≠ｚ＆ｂ≠ｚ）｝ アＵＩ
１ （ウ） ∀ｙ∀ｚ～｛（Ｆａ＆Ｆｙ＆Ｆｚ）→ （ａ＝ｙ∨ａ＝ｚ∨ｙ＝ｚ）｝ イＵＩ
１ （エ）∀ｘ∀ｙ∀ｚ～｛（Ｆｘ＆Ｆｙ＆Ｆｚ）＆ （ｘ≠ｙ＆ｘ≠ｚ＆ｙ≠ｚ）｝ ウＵＩ
１ （オ）∀ｘ∀ｙ～∃ｚ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ＆Ｆｚ）＆ （ｘ≠ｙ＆ｘ≠ｚ＆ｙ≠ｚ）｝ エ量化子の関係
１ （カ）∀ｘ～∃ｙ∃ｚ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ＆Ｆｚ）＆ （ｘ≠ｙ＆ｘ≠ｚ＆ｙ≠ｚ）｝ オ量化子の関係
１ （キ）～∃ｘ∃ｙ∃ｚ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ＆Ｆｚ）＆ （ｘ≠ｙ＆ｘ≠ｚ＆ｙ≠ｚ）｝ カ量化子の関係
従って、
（03）（04）により、
（05）
③ ～∃ｘ∃ｙ∃ｚ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ＆Ｆｚ）＆（ｘ≠ｙ＆ｘ≠ｚ＆ｙ≠ｚ）｝≡Ｆである対象（objects）は、多くとも、２個以下である。
④ ∀ｘ∀ｙ∀ｚ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ＆Ｆｚ）→（ｘ＝ｙ∨ｘ＝ｚ∨ｙ＝ｚ）｝≡Ｆである対象（objects）は、多くとも、２個以下である。
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（01）（05）により、
（06）
① ∃ｘ∃ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）＆ｘ≠ｙ｝ ≡少なくとも、２個以上の対象（objects）がＦである。
④ ∀ｘ∀ｙ∀ｚ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ＆Ｆｚ）→（ｘ＝ｙ∨ｘ＝ｚ∨ｙ＝ｚ）｝≡Ｆである対象（objects）は、多くとも、２個以下である。
従って、
（06）により、
（07）
⑤ ちょうど２個の対象がＦである。
といふ「日本語」は、①＆④ である所の、
⑤ ∃ｘ∃ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）＆ｘ≠ｙ｝＆∀ｘ∀ｙ∀ｚ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ＆Ｆｚ）→（ｘ＝ｙ∨ｘ＝ｚ∨ｙ＝ｚ）｝
といふ「論理式」に「翻訳」出来る。
然るに、
（08）
（ⅴ）
１ （１）∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ≠ｙ）＆∀ｘ∀ｙ∀ｚ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ＆Ｆｚ）→（ｘ＝ｙ∨ｘ＝ｚ∨ｙ＝ｚ）｝ Ａ
１ （２）∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ≠ｙ） １＆Ｅ
３ （３） ∃ｙ（Ｆａ＆Ｆｙ＆ａ≠ｙ） Ａ
４ （４） Ｆａ＆Ｆｂ＆ａ≠ｂ Ａ
１ （５） ∀ｘ∀ｙ∀ｚ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ＆Ｆｚ）→（ｘ＝ｙ∨ｘ＝ｚ∨ｙ＝ｚ）｝ １＆Ｅ
１ （６） ∀ｙ∀ｚ｛（Ｆａ＆Ｆｙ＆Ｆｚ）→（ａ＝ｙ∨ａ＝ｚ∨ｙ＝ｚ）｝ ５ＵＥ
１ （７） ∀ｚ｛（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｚ）→（ａ＝ｂ∨ａ＝ｚ∨ｂ＝ｚ）｝ ６ＵＥ
１ （８） （Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）→（ａ＝ｂ∨ａ＝ｃ∨ｂ＝ｃ） ７ＵＥ
４ （９） Ｆａ＆Ｆｂ ４＆Ｅ
ア（ア） Ｆｃ Ａ
４ア（イ） Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ ９ア＆Ｉ
１ ４ア（ウ） （ａ＝ｂ∨ａ＝ｃ∨ｂ＝ｃ） ８イＭＰＰ
１ ４ア（エ） （ａ＝ｂ）∨（ａ＝ｃ∨ｂ＝ｃ） ウ結合法則
１ ４ア（オ） ～（ａ≠ｂ）∨（ａ＝ｃ∨ｂ＝ｃ） エＤＮ
１ ４ア（カ） （ａ≠ｂ）→（ａ＝ｃ∨ｂ＝ｃ） オ含意の定義
４ （キ） ａ≠ｂ ４＆Ｅ
１ ４ア（ク） （ａ＝ｃ∨ｂ＝ｃ） カキＭＰＰ
１ ４ （ケ） Ｆｃ→（ａ＝ｃ∨ｂ＝ｃ） アクＣＰ
１ ４ （コ） ∀ｚ（Ｆｚ→（ａ＝ｚ∨ｂ＝ｚ） ケＵＩ
１ ４ （サ） （Ｆａ＆Ｆｂ＆ａ≠ｂ）＆∀ｚ［Ｆｚ→（ａ＝ｚ∨ｂ＝ｚ）］ ４コ＆Ｉ
１ ４ （シ） ∃ｙ｛（Ｆａ＆Ｆｙ＆ａ≠ｙ）＆∀ｚ［Ｆｚ→（ａ＝ｚ∨ｙ＝ｚ）］｝ サＥＩ
１３ （ス） ∃ｙ｛（Ｆａ＆Ｆｙ＆ａ≠ｙ）＆∀ｚ［Ｆｚ→（ａ＝ｚ∨ｙ＝ｚ）］｝ ３４シＥＥ
１３ （セ）∃ｘ∃ｙ｛（Ｆａ＆Ｆｙ＆ａ≠ｙ）＆∀ｚ［Ｆｚ→（ａ＝ｚ∨ｙ＝ｚ）］｝ スＥＩ
１ （ソ）∃ｘ∃ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ≠ｙ）＆∀ｚ［Ｆｚ→（ｘ＝ｚ∨ｙ＝ｚ）］｝ １３セＥＥ
（ⅵ）
１ （１）∃ｘ∃ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ≠ｙ）＆∀ｚ［Ｆｚ→（ｘ＝ｚ∨ｙ＝ｚ）］｝ Ａ
２ （２） ∃ｙ｛（Ｆａ＆Ｆｙ＆ａ≠ｙ）＆∀ｚ［Ｆｚ→（ａ＝ｚ∨ｙ＝ｚ）］｝ Ａ
３ （３） （Ｆａ＆Ｆｂ＆ａ≠ｂ）＆∀ｚ［Ｆｚ→（ａ＝ｚ∨ｂ＝ｚ）］｝ Ａ
３ （４） （Ｆａ＆Ｆｂ＆ａ≠ｂ） ３＆Ｅ
３ （５） ∀ｚ［Ｆｚ→（ａ＝ｚ∨ｂ＝ｚ）］ ３＆Ｅ
３ （６） Ｆｃ→（ａ＝ｃ∨ｂ＝ｃ） ５ＵＥ
７（７） Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ Ａ
７（８） Ｆｃ ７＆Ｅ
３７（９） ａ＝ｃ∨ｂ＝ｃ ６８ＭＰＰ
３７（ア） ａ＝ｂ∨ａ＝ｃ∨ｂ＝ｃ ９∨Ｉ
３ （イ） （Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）→（ａ＝ｂ∨ａ＝ｃ∨ｂ＝ｃ） ７アＣＰ
３ （ウ） ∀ｚ｛（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｚ）→（ａ＝ｂ∨ａ＝ｚ∨ｂ＝ｚ）｝ イＵＩ
３ （エ） ∀ｙ∀ｚ｛（Ｆａ＆Ｆｙ＆Ｆｚ）→（ａ＝ｙ∨ａ＝ｚ∨ｙ＝ｚ）｝ ウＵＩ
３ （オ） ∀ｘ∀ｙ∀ｚ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ＆Ｆｚ）→（ｘ＝ｙ∨ｘ＝ｚ∨ｙ＝ｚ）｝ エＵＩ
３ （カ） （Ｆａ＆Ｆｂ＆ａ≠ｂ）＆∀ｘ∀ｙ∀ｚ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ＆Ｆｚ）→（ｘ＝ｙ∨ｘ＝ｚ∨ｙ＝ｚ）｝ ４オ＆I
３ （キ） ∃ｙ（Ｆａ＆Ｆｂ＆ａ≠ｂ）＆∀ｘ∀ｙ∀ｚ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ＆Ｆｚ）→（ｘ＝ｙ∨ｘ＝ｚ∨ｙ＝ｚ）｝ カＥＩ
２ （ク） ∃ｙ（Ｆａ＆Ｆｂ＆ａ≠ｂ）＆∀ｘ∀ｙ∀ｚ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ＆Ｆｚ）→（ｘ＝ｙ∨ｘ＝ｚ∨ｙ＝ｚ）｝ ２３キＥＥ
２ （コ）∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ≠ｙ）＆∀ｘ∀ｙ∀ｚ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ＆Ｆｚ）→（ｘ＝ｙ∨ｘ＝ｚ∨ｙ＝ｚ）｝ クＥＩ
１ （サ）∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ≠ｙ）＆∀ｘ∀ｙ∀ｚ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ＆Ｆｚ）→（ｘ＝ｙ∨ｘ＝ｚ∨ｙ＝ｚ）｝ １２コＥＥ
従って、
（08）により、
（09）
⑤ ∃ｘ∃ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）＆ｘ≠ｙ｝＆∀ｘ∀ｙ∀ｚ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ＆Ｆｚ）→（ｘ＝ｙ∨ｘ＝ｚ∨ｙ＝ｚ）｝
⑥ ∃ｘ∃ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ≠ｙ）＆∀ｚ［Ｆｚ→（ｘ＝ｚ∨ｙ＝ｚ）］｝
に於いて、
⑤＝⑥ である。
従って、
（07）（08）（09）により、
（10）
⑥ ちょうど２個の対象がＦである。⇔
⑥ ∃ｘ∃ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ≠ｙ）＆∀ｚ［Ｆｚ→（ｘ＝ｚ∨ｙ＝ｚ）］｝⇔
⑥ あるｘとあるｙについて｛（ｘはＦであり、ｙもＦであるが、ｘとｙは同一ではなく）、すべてのｚについて［ｚがＦであるならば、ｘがｚであるか、または、ｙがｚである］｝。
といふ「等式」が「成立」する。
従って、
（10）により、
（11）
⑥ ちょうど２人の人物が犯人である。⇔
⑥ ∃ｘ∃ｙ｛（犯人ｘ＆犯人ｙ＆ｘ≠ｙ）＆∀ｚ［犯人ｚ→（ｘ＝ｚ∨ｙ＝ｚ）］｝⇔
⑥ あるｘとあるｙについて｛（ｘは犯人であり、ｙも犯人であるが、ｘとｙは同一人物ではなく）、すべてのｚについて［ｚが犯人であるならば、ｘがｚであるか、または、ｙがｚである］｝。
といふ「等式」が「成立」する。
因みに、
（12）
⑤ ∃ｘ∃ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）＆ｘ≠ｙ｝＆∀ｘ∀ｙ∀ｚ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ＆Ｆｚ）→（ｘ＝ｙ∨ｘ＝ｚ∨ｙ＝ｚ）｝
⑥ ∃ｘ∃ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ≠ｙ）＆∀ｚ［Ｆｚ→（ｘ＝ｚ∨ｙ＝ｚ）］｝
に於いて、
⑤＝⑥ である。
といふことは、「昭和堂、論理学の基礎、1994年、１７７頁」に書かれてゐるのもの、「述語計算（証明）」自体は、載ってゐない。
（13）
私の「愛読書」である「E.J.レモン著、論理学初歩、1973年」は、「問題に対する解答」が載ってないし、最近、ブックオフで買った「論理学の書籍」は、「誤植」がふんだんに有って、「答え」に、マチガイがある。
令和６年１月２７日、毛利太。
2024年1月25日木曜日
「すべての人間はその人自身である。」の「述語論理」。
（01）
「述語論理」は「無矛盾」であって「完全」である。
然るに、
（02）
① すべての人は、その人自身に等しい。
といふ「命題」は、明らかに「真」である。
従って、
（01）（02）により、
（03）
① すべての人は、その人自身に等しい。
といふ「命題」、すなはち、
① ∀ｘ（人ｘ→ｘ＝ｘ）
① すべてのｘについて（ｘが人であるならば、ｘはｘに等しい）。
といふ「命題」は、「導出可能」でなければ、ならない。
然るに、
（04）
１ （１） 人ａ Ａ
２ （２） ～∀ｘ（ｘ≠ａ→～人ｘ） Ａ
２ （３） ∃ｘ～（ｘ≠ａ→～人ｘ） ２量化子の関係
４（４） ～（ａ≠ａ→～人ａ） Ａ
４（５） ～（ａ＝ａ∨～人ａ） ４含意の定義
４（６） ａ≠ａ＆ 人ａ ５ド・モルガンの法則
４（７） ａ≠ａ ６＆Ｅ
（８） ａ＝ａ ＝Ｉ
４（９）（ａ≠ａ）＆（ａ＝ａ） ７８＆Ｉ
２ （ア）（ａ≠ａ）＆（ａ＝ａ） ２４９ＥＥ
（イ）～～∀ｘ（ｘ≠ａ→～人ｘ） ２アＲＡＡ
（ウ） ∀ｘ（ｘ≠ａ→～人ｘ） イＤＮ
（エ） ａ≠ａ→～人ａ １ＵＥ
１ （オ） ～～人ａ １ＤＮ
１ （カ） ａ＝ａ エオＭＴＴ
（キ） 人ａ→ａ＝ａ １カＣＰ
（ク）∀ｘ（人ｘ→ｘ＝ｘ） キＵＩ
従って、
（03）（04）により、
（05）
果たして、
① ∀ｘ（人ｘ→ｘ＝ｘ）⇔
① すべての人は、その人自身に等しい。⇔
① すべてのｘについて（ｘが人であるならば、ｘはｘに等しい）。
といふ「恒真命題（トートロジー）」は、「導出可能」である。
令和６年１月２５日、毛利太。
「述語論理」は「無矛盾」であって「完全」である。
然るに、
（02）
① すべての人は、その人自身に等しい。
といふ「命題」は、明らかに「真」である。
従って、
（01）（02）により、
（03）
① すべての人は、その人自身に等しい。
といふ「命題」、すなはち、
① ∀ｘ（人ｘ→ｘ＝ｘ）
① すべてのｘについて（ｘが人であるならば、ｘはｘに等しい）。
といふ「命題」は、「導出可能」でなければ、ならない。
然るに、
（04）
１ （１） 人ａ Ａ
２ （２） ～∀ｘ（ｘ≠ａ→～人ｘ） Ａ
２ （３） ∃ｘ～（ｘ≠ａ→～人ｘ） ２量化子の関係
４（４） ～（ａ≠ａ→～人ａ） Ａ
４（５） ～（ａ＝ａ∨～人ａ） ４含意の定義
４（６） ａ≠ａ＆ 人ａ ５ド・モルガンの法則
４（７） ａ≠ａ ６＆Ｅ
（８） ａ＝ａ ＝Ｉ
４（９）（ａ≠ａ）＆（ａ＝ａ） ７８＆Ｉ
２ （ア）（ａ≠ａ）＆（ａ＝ａ） ２４９ＥＥ
（イ）～～∀ｘ（ｘ≠ａ→～人ｘ） ２アＲＡＡ
（ウ） ∀ｘ（ｘ≠ａ→～人ｘ） イＤＮ
（エ） ａ≠ａ→～人ａ １ＵＥ
１ （オ） ～～人ａ １ＤＮ
１ （カ） ａ＝ａ エオＭＴＴ
（キ） 人ａ→ａ＝ａ １カＣＰ
（ク）∀ｘ（人ｘ→ｘ＝ｘ） キＵＩ
従って、
（03）（04）により、
（05）
果たして、
① ∀ｘ（人ｘ→ｘ＝ｘ）⇔
① すべての人は、その人自身に等しい。⇔
① すべてのｘについて（ｘが人であるならば、ｘはｘに等しい）。
といふ「恒真命題（トートロジー）」は、「導出可能」である。
令和６年１月２５日、毛利太。
2024年1月22日月曜日
「量化子（∀，∃）」と「ド・モルガンの法則」について。
（01）
（ⅰ）
１ （１） ∀ｘ（ Ｆｘ） Ａ
２ （２） ∃ｘ（～Ｆｘ） Ａ
１ （３） Ｆａ １ＵＥ
４（４） ～Ｆａ Ａ
１ ４（５） Ｆａ＆～Ｆａ ３４＆Ｉ
４（６）～∀ｘ（ Ｆｘ） １５ＲＡＡ
２ （７）～∀ｘ（ Ｆｘ） ２４６ＥＥ
１２ （８） ∀ｘ（ Ｆｘ）＆
～∀ｘ（ Ｆｘ） １７＆Ｉ
１ （９）～∃ｘ（～Ｆｘ） ２８ＲＡＡ
（ⅱ）
１ （１） ～∃ｘ（～Ｆｘ） Ａ
２ （２） ～∀ｘ（ Ｆｘ） Ａ
３（３） ～Ｆａ Ａ
３（４） ∃ｘ（～Ｆｘ） ３ＥＩ
１ ３（５） ～∃ｘ（～Ｆｘ）＆
∃ｘ（～Ｆｃ） １４＆Ｉ
１ （６） ～～Ｆａ ３５ＲＡＡ
１ （７） Ｆａ ６ＤＮ
１ （８） ∀ｘ（ Ｆｘ） ７ＵＩ
１２ （９） ∀ｘ（ Ｆｘ）＆
～∀ｘ（ Ｆｘ） ２８＆Ｉ
１ （ア）～～∀ｘ（ Ｆｘ） ２９ＲＡＡ
１ （イ） ∀ｘ（ Ｆｘ） アＤＮ
従って、
（01）により、
（02）
① ∀ｘ（ Ｆｘ）
② ～∃ｘ（～Ｆｘ）
に於いて、すなはち、
① すべての（ｘはＦである）。
②（（Ｆでないｘ）が存在する）といふことはない。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（03）
（ⅲ）
１ （１） Ｆａ＆ Ｆｂ＆ Ｆｃ Ａ
２ （２） ～Ｆａ∨～Ｆｂ∨ ～Ｆｃ Ａ
１ （３）（ Ｆａ＆ Ｆｂ）＆ Ｆｃ １結合法則
２ （４）（～Ｆａ∨～Ｆｂ）∨～Ｆｃ ２結合法則
１ （５）（ Ｆａ＆ Ｆｂ） ３＆Ｅ
６ （６）（～Ｆａ∨～Ｆｂ） Ａ
１ （７） Ｆａ ５＆Ｅ
８ （８） ～Ｆａ Ａ
１ ８ （９） Ｆａ＆～Ｆａ ７８＆Ｉ
８ （ア）～（Ｆａ＆ Ｆｂ＆ Ｆｃ） １９ＲＡＡ
１ （イ） Ｆｂ ５＆Ｅ
ウ （ウ） ～Ｆｂ Ａ
１ ウ （エ） Ｆｂ＆～Ｆｂ イウ＆Ｉ
ウ （オ） ～（Ｆａ＆Ｆｂ＆ Ｆｃ） １エＲＡＡ
６ （カ） ～（Ｆａ＆Ｆｂ＆ Ｆｃ） ６８アウオ∨Ｅ
１ （キ） Ｆｃ ３＆Ｅ
ク（ク） ～Ｆｃ Ａ
１ ク（ケ） Ｆｃ＆～Ｆｃ キク＆Ｉ
ク（コ） ～（Ｆａ＆ Ｆｂ＆ Ｆｃ） １ケＲＡＡ
２ （サ） ～（Ｆａ＆ Ｆｂ＆ Ｆｃ） ４６カクコ∨Ｅ
１２ （シ） （Ｆａ＆ Ｆｂ＆ Ｆｃ）＆
～（Ｆａ＆ Ｆｂ＆ Ｆｃ） １サ＆Ｉ
１ （ス）～（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ） ２シＲＡＡ
（ⅳ）
１ （１） ～（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ） Ａ
２ （２） ～（ Ｆａ＆ Ｆｂ＆ Ｆｃ） Ａ
３ （３） ～Ｆａ Ａ
３ （４） ～Ｆａ∨～Ｆｂ ３∨Ｉ
３ （５） ～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ ４∨Ｉ
１ ３ （６） ～（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ）＆
（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ） １５＆Ｉ
１ （７） ～～Ｆａ ３６ＲＡＡ
１ （８） Ｆａ ７ＤＮ
９ （９） ～Ｆｂ Ａ
９ （ア） ～Ｆａ∨～Ｆｂ ９∨Ｉ
９ （イ） ～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ ア∨Ｉ
１ ９ （ウ） ～（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ）＆
（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ） １イ＆Ｉ
１ （エ） ～～Ｆｂ ９ウＲＡＡ
１ （オ） Ｆｂ エＤＮ
カ（カ） ～Ｆｃ Ａ
カ（キ） ～Ｆｂ∨～Ｆｃ カ∨Ｉ
カ（ク） ～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ キ∨Ｉ
１ カ（ケ） ～（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ）＆
（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ） １ク＆Ｉ
１ （コ） ～～Ｆｃ カケＲＡＡ
１ （サ） Ｆｃ コＤＮ
１ （シ） Ｆａ＆ Ｆｂ ８オ＆Ｉ
１ （ス） Ｆａ＆ Ｆｂ＆ Ｆｃ サシ＆Ｉ
１２ （セ） ～（ Ｆａ＆ Ｆｂ＆ Ｆｃ）＆
（ Ｆａ＆ Ｆｂ＆ Ｆｃ） ２ス＆Ｉ
１ （ソ）～～（ Ｆａ＆ Ｆｂ＆ Ｆｃ） ２セＲＡＡ
１ （タ） （ Ｆａ＆ Ｆｂ＆ Ｆｃ） ソＤＮ
従って、
（03）により、
（04）
③ （ Ｆａ＆ Ｆｂ＆ Ｆｃ）
④ ～（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ）
に於いて、
③＝④ である（ド・モルガンの法則）。
然るに、
（05）
｛ｘの変域）＝｛ａ，ｂ，ｃ｝
であるとして、
① ∀ｘ（ Ｆｘ）
② ～∃ｘ（～Ｆｘ）
③ （ Ｆａ＆ Ｆｂ＆ Ｆｃ）
④ ～（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ）
に於いて、
①＝③ であって、
②＝④ である（ド・モルガンの法則）。
然るに、
（06）
③ （ Ｆａ＆ Ｆｂ＆ Ｆｃ）
④ ～（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ）
といふ「論理式」は、
③（ａはＦであり、ｂもＦであり、ｃもＦである）。
④（ａがＦでないか、ｂがＦでないか、ｃがＦでないかの、いづれかである）といふことはない。
といふ「意味」である。
従って、
（06）により、
（07）
｛ｘの変域）＝｛ａ，ｂ，ｃ｝
であるならば、そのときに限って、
③ （ Ｆａ＆ Ｆｂ＆ Ｆｃ）
④ ～（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ）
といふ「論理式」は、
① すべての（ｘはＦである）。
②（（Ｆでないｘ）が存在する）といふことはない。
といふ「意味」である。
従って、
（02）（06）（07）により、
（08）
｛ｘの変域）＝｛ａ，ｂ，ｃ｝
であるならば、そのときに限って、
① ∀ｘ（ Ｆｘ）
② ～∃ｘ（～Ｆｘ）
③ （ Ｆａ＆ Ｆｂ＆ Ｆｃ）
④ ～（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ）
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ であって、
①＝②＝③＝④ である。
従って、
（08）により、
（09）
｛ｘの変域）＝｛ａ，ｂ，ｃ，ｍ｝
であるならば、そのときに限って、
① ∀ｘ（Ｆｘ）
② すべてのｘは、Ｆである。
③（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ＆Ｆｍ）
に於いて、
①＝②＝③ である。
然るに、
（10）
第１に、固有名詞を つぎの符号のひとつとして定義する。
ｍ，ｎ，・・・・・
第２に、任意の名前をつぎの符号のひとつとして定義する。
ａ，ｂ，ｃ，・・・・・
第３に、個体変数を つぎの符号のひとつとして定義する。
ｘ，ｙ，ｚ，・・・・・
第４に、述語文字を つぎの符号のひとつとして定義する。
Ｆ，Ｇ，Ｈ，・・・・・
（E.J.レモン著、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年、１７６頁）
然るに、
（11）
１００ Ｆｍ，∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）├ Ｇｍ
１ （１）Ｆｍ Ａ
２（２）∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ） Ａ
２（３） Ｆｍ→Ｇｍ ２ＵＥ
１２（４） Ｇｍ １３ＭＰＰ
１００は論理学では有名なつぎの論証に見られるような、明らかに健全な論証の形式を示している。
（３）ソクラテスは人間である。すべての人間は死すべきものである。故にソクラテスは死すべきものである。
（固有名詞ｍはソクラテス、述語文字Ｆは人間であること、そして述語文字Ｇは死すべきものであること、を表すものとする。）
（E.J.レモン著、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年、１３５頁）
従って、
（09）（10）（11）により、
（12）
｛ｘの変域）＝｛ａ，ｂ，ｃ，ｍ｝
であるならば、そのときに限って、
１００ Ｆｍ，∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）├ Ｇｍ
１ （１）Ｆｍ Ａ
２（２）∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ） Ａ
２（３） Ｆｍ→Ｇｍ ２ＵＥ
１２（４） Ｇｍ １３ＭＰＰ
といふ「計算」は、
１ （１）Ｆｍ Ａ
２（２） Ｆａ→Ｇａ＆
Ｆｂ→Ｇｂ＆
Ｆｃ→Ｇｃ＆
Ｆｍ→Ｇｍ Ａ
２（３） Ｆｍ→Ｇｍ ２＆Ｅ
１２（４） Ｇｍ １３ＭＰＰ
といふ「計算」に「他ならない」。
令和６年１月２２日、毛利太。
（ⅰ）
１ （１） ∀ｘ（ Ｆｘ） Ａ
２ （２） ∃ｘ（～Ｆｘ） Ａ
１ （３） Ｆａ １ＵＥ
４（４） ～Ｆａ Ａ
１ ４（５） Ｆａ＆～Ｆａ ３４＆Ｉ
４（６）～∀ｘ（ Ｆｘ） １５ＲＡＡ
２ （７）～∀ｘ（ Ｆｘ） ２４６ＥＥ
１２ （８） ∀ｘ（ Ｆｘ）＆
～∀ｘ（ Ｆｘ） １７＆Ｉ
１ （９）～∃ｘ（～Ｆｘ） ２８ＲＡＡ
（ⅱ）
１ （１） ～∃ｘ（～Ｆｘ） Ａ
２ （２） ～∀ｘ（ Ｆｘ） Ａ
３（３） ～Ｆａ Ａ
３（４） ∃ｘ（～Ｆｘ） ３ＥＩ
１ ３（５） ～∃ｘ（～Ｆｘ）＆
∃ｘ（～Ｆｃ） １４＆Ｉ
１ （６） ～～Ｆａ ３５ＲＡＡ
１ （７） Ｆａ ６ＤＮ
１ （８） ∀ｘ（ Ｆｘ） ７ＵＩ
１２ （９） ∀ｘ（ Ｆｘ）＆
～∀ｘ（ Ｆｘ） ２８＆Ｉ
１ （ア）～～∀ｘ（ Ｆｘ） ２９ＲＡＡ
１ （イ） ∀ｘ（ Ｆｘ） アＤＮ
従って、
（01）により、
（02）
① ∀ｘ（ Ｆｘ）
② ～∃ｘ（～Ｆｘ）
に於いて、すなはち、
① すべての（ｘはＦである）。
②（（Ｆでないｘ）が存在する）といふことはない。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（03）
（ⅲ）
１ （１） Ｆａ＆ Ｆｂ＆ Ｆｃ Ａ
２ （２） ～Ｆａ∨～Ｆｂ∨ ～Ｆｃ Ａ
１ （３）（ Ｆａ＆ Ｆｂ）＆ Ｆｃ １結合法則
２ （４）（～Ｆａ∨～Ｆｂ）∨～Ｆｃ ２結合法則
１ （５）（ Ｆａ＆ Ｆｂ） ３＆Ｅ
６ （６）（～Ｆａ∨～Ｆｂ） Ａ
１ （７） Ｆａ ５＆Ｅ
８ （８） ～Ｆａ Ａ
１ ８ （９） Ｆａ＆～Ｆａ ７８＆Ｉ
８ （ア）～（Ｆａ＆ Ｆｂ＆ Ｆｃ） １９ＲＡＡ
１ （イ） Ｆｂ ５＆Ｅ
ウ （ウ） ～Ｆｂ Ａ
１ ウ （エ） Ｆｂ＆～Ｆｂ イウ＆Ｉ
ウ （オ） ～（Ｆａ＆Ｆｂ＆ Ｆｃ） １エＲＡＡ
６ （カ） ～（Ｆａ＆Ｆｂ＆ Ｆｃ） ６８アウオ∨Ｅ
１ （キ） Ｆｃ ３＆Ｅ
ク（ク） ～Ｆｃ Ａ
１ ク（ケ） Ｆｃ＆～Ｆｃ キク＆Ｉ
ク（コ） ～（Ｆａ＆ Ｆｂ＆ Ｆｃ） １ケＲＡＡ
２ （サ） ～（Ｆａ＆ Ｆｂ＆ Ｆｃ） ４６カクコ∨Ｅ
１２ （シ） （Ｆａ＆ Ｆｂ＆ Ｆｃ）＆
～（Ｆａ＆ Ｆｂ＆ Ｆｃ） １サ＆Ｉ
１ （ス）～（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ） ２シＲＡＡ
（ⅳ）
１ （１） ～（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ） Ａ
２ （２） ～（ Ｆａ＆ Ｆｂ＆ Ｆｃ） Ａ
３ （３） ～Ｆａ Ａ
３ （４） ～Ｆａ∨～Ｆｂ ３∨Ｉ
３ （５） ～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ ４∨Ｉ
１ ３ （６） ～（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ）＆
（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ） １５＆Ｉ
１ （７） ～～Ｆａ ３６ＲＡＡ
１ （８） Ｆａ ７ＤＮ
９ （９） ～Ｆｂ Ａ
９ （ア） ～Ｆａ∨～Ｆｂ ９∨Ｉ
９ （イ） ～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ ア∨Ｉ
１ ９ （ウ） ～（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ）＆
（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ） １イ＆Ｉ
１ （エ） ～～Ｆｂ ９ウＲＡＡ
１ （オ） Ｆｂ エＤＮ
カ（カ） ～Ｆｃ Ａ
カ（キ） ～Ｆｂ∨～Ｆｃ カ∨Ｉ
カ（ク） ～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ キ∨Ｉ
１ カ（ケ） ～（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ）＆
（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ） １ク＆Ｉ
１ （コ） ～～Ｆｃ カケＲＡＡ
１ （サ） Ｆｃ コＤＮ
１ （シ） Ｆａ＆ Ｆｂ ８オ＆Ｉ
１ （ス） Ｆａ＆ Ｆｂ＆ Ｆｃ サシ＆Ｉ
１２ （セ） ～（ Ｆａ＆ Ｆｂ＆ Ｆｃ）＆
（ Ｆａ＆ Ｆｂ＆ Ｆｃ） ２ス＆Ｉ
１ （ソ）～～（ Ｆａ＆ Ｆｂ＆ Ｆｃ） ２セＲＡＡ
１ （タ） （ Ｆａ＆ Ｆｂ＆ Ｆｃ） ソＤＮ
従って、
（03）により、
（04）
③ （ Ｆａ＆ Ｆｂ＆ Ｆｃ）
④ ～（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ）
に於いて、
③＝④ である（ド・モルガンの法則）。
然るに、
（05）
｛ｘの変域）＝｛ａ，ｂ，ｃ｝
であるとして、
① ∀ｘ（ Ｆｘ）
② ～∃ｘ（～Ｆｘ）
③ （ Ｆａ＆ Ｆｂ＆ Ｆｃ）
④ ～（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ）
に於いて、
①＝③ であって、
②＝④ である（ド・モルガンの法則）。
然るに、
（06）
③ （ Ｆａ＆ Ｆｂ＆ Ｆｃ）
④ ～（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ）
といふ「論理式」は、
③（ａはＦであり、ｂもＦであり、ｃもＦである）。
④（ａがＦでないか、ｂがＦでないか、ｃがＦでないかの、いづれかである）といふことはない。
といふ「意味」である。
従って、
（06）により、
（07）
｛ｘの変域）＝｛ａ，ｂ，ｃ｝
であるならば、そのときに限って、
③ （ Ｆａ＆ Ｆｂ＆ Ｆｃ）
④ ～（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ）
といふ「論理式」は、
① すべての（ｘはＦである）。
②（（Ｆでないｘ）が存在する）といふことはない。
といふ「意味」である。
従って、
（02）（06）（07）により、
（08）
｛ｘの変域）＝｛ａ，ｂ，ｃ｝
であるならば、そのときに限って、
① ∀ｘ（ Ｆｘ）
② ～∃ｘ（～Ｆｘ）
③ （ Ｆａ＆ Ｆｂ＆ Ｆｃ）
④ ～（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ）
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ であって、
①＝②＝③＝④ である。
従って、
（08）により、
（09）
｛ｘの変域）＝｛ａ，ｂ，ｃ，ｍ｝
であるならば、そのときに限って、
① ∀ｘ（Ｆｘ）
② すべてのｘは、Ｆである。
③（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ＆Ｆｍ）
に於いて、
①＝②＝③ である。
然るに、
（10）
第１に、固有名詞を つぎの符号のひとつとして定義する。
ｍ，ｎ，・・・・・
第２に、任意の名前をつぎの符号のひとつとして定義する。
ａ，ｂ，ｃ，・・・・・
第３に、個体変数を つぎの符号のひとつとして定義する。
ｘ，ｙ，ｚ，・・・・・
第４に、述語文字を つぎの符号のひとつとして定義する。
Ｆ，Ｇ，Ｈ，・・・・・
（E.J.レモン著、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年、１７６頁）
然るに、
（11）
１００ Ｆｍ，∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）├ Ｇｍ
１ （１）Ｆｍ Ａ
２（２）∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ） Ａ
２（３） Ｆｍ→Ｇｍ ２ＵＥ
１２（４） Ｇｍ １３ＭＰＰ
１００は論理学では有名なつぎの論証に見られるような、明らかに健全な論証の形式を示している。
（３）ソクラテスは人間である。すべての人間は死すべきものである。故にソクラテスは死すべきものである。
（固有名詞ｍはソクラテス、述語文字Ｆは人間であること、そして述語文字Ｇは死すべきものであること、を表すものとする。）
（E.J.レモン著、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年、１３５頁）
従って、
（09）（10）（11）により、
（12）
｛ｘの変域）＝｛ａ，ｂ，ｃ，ｍ｝
であるならば、そのときに限って、
１００ Ｆｍ，∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）├ Ｇｍ
１ （１）Ｆｍ Ａ
２（２）∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ） Ａ
２（３） Ｆｍ→Ｇｍ ２ＵＥ
１２（４） Ｇｍ １３ＭＰＰ
といふ「計算」は、
１ （１）Ｆｍ Ａ
２（２） Ｆａ→Ｇａ＆
Ｆｂ→Ｇｂ＆
Ｆｃ→Ｇｃ＆
Ｆｍ→Ｇｍ Ａ
２（３） Ｆｍ→Ｇｍ ２＆Ｅ
１２（４） Ｇｍ １３ＭＰＰ
といふ「計算」に「他ならない」。
令和６年１月２２日、毛利太。
2024年1月21日日曜日
「ド・モルガンの法則」と「含意の定義」と「パースの法則」。
（01）
（ⅰ）
１ （１） （Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
２ （３） Ｐ ２＆Ｅ
４（４） Ｐ Ａ
１ （５） Ｐ １２３４４∨Ｅ
（６）（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ １５ＣＰ
従って、
（01）により、
（02）
①（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ
といふ「論理式」は「恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（02）により、
（03）
Ｐ＝花子は日本人である。
～Ｑ＝花子は男性でない（女性である）。
であるとして、
①（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ
といふ「命題」、すなはち、
①（（花子は日本人である＆～花子は男性である）∨花子は日本人である）→花子は日本人である。
といふ「命題」、すなはち、
①（（花子が日本人の女性である）か、または、花子が日本人である）ならば、花子は日本人である。
といふ「命題」は、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（04）
（ⅰ）
１ （１） ～Ｐ∨ Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（Ｐ＆～Ｑ） ２５ＲＡＡ
７（７） Ｑ Ａ
２ （８） ～Ｑ ２＆Ｅ
２ ７（９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
７（ア）～（Ｐ＆～Ｑ） ２７ＲＡＡ
１ （イ）～（Ｐ＆～Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
（ⅱ）
１ （１） ～（Ｐ＆～Ｑ） Ａ
２ （２） ～（～Ｐ∨ Ｑ） Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
３ （４） ～Ｐ∨ Ｑ ３∨Ｉ
２３ （５） ～（～Ｐ∨ Ｑ）＆
（～Ｐ∨ Ｑ） ２５＆Ｉ
２ （６） Ｐ ３５ＲＡＡ
７（７） Ｑ Ａ
７（８） ～Ｐ∨ Ｑ ７∨Ｉ
２ ７（９） ～（～Ｐ∨ Ｑ）＆
（～Ｐ∨ Ｑ） ２８＆Ｉ
２ （ア） ～Ｑ ７９ＲＡＡ
２ （イ） Ｐ＆～Ｑ ６ア＆Ｉ
１２ （ウ） ～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（ Ｐ＆～Ｑ） １イ＆Ｉ
１ （エ）～～（～Ｐ∨ Ｑ） ２ウＲＡＡ
１ （オ） ～Ｐ∨ Ｑ エＤＮ
従って、
（04）により、
（05）
① ～Ｐ∨ Ｑ
② ～（Ｐ＆～Ｑ）
に於いて、
①＝② である（ド・モルガンの法則）。
然るに、
（06）
（ⅱ）
１ （１）～（Ｐ＆～Ｑ） Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
３（３） ～Ｑ Ａ
２３（４） Ｐ＆～Ｑ ２３＆Ｉ
１２３（５）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） １４＆Ｉ
１２ （６） ～～Ｑ ３５ＲＡＡ
１２ （７） Ｑ ６ＤＮ
１ （８） Ｐ→ Ｑ ２７ＣＰ
（ⅲ）
１ （１） Ｐ→ Ｑ Ａ
２（２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
２（３） Ｐ ２＆Ｅ
１２（４） Ｑ １３ＭＰＰ
２（５） ～Ｑ ２＆Ｅ
１２（６） Ｑ＆～Ｑ ４５＆Ｉ
１ （７）～（Ｐ＆～Ｑ） ２６ＲＰＰ
従って、
（06）により、
（07）
② ～（Ｐ＆～Ｑ）
③ Ｐ→ Ｑ
に於いて、すなはち、
②（Ｐであって、Ｑでない）といふことはない。
③ Ｐであるならば、Ｑである。
に於いて、
②＝③ である。
従って、
（05）（07）により、
（08）
① ～Ｐ∨ Ｑ
② ～（Ｐ＆～Ｑ）
③ Ｐ→ Ｑ
に於いて、
に於いて、
①＝②＝③ であるものの、
①＝② は、「ド・モルガンの法則」であって、
①＝③ を、「含意の定義（α）」とし、
②＝③ を、「含意の定義（β）」とする。
然るに、
（09）
（ⅰ）
１ （１） （（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）→ Ｐ Ａ
１ （２）～（（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）＆～Ｐ） １「含意の定義（α）」
１ （３） ～（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）∨ Ｐ ２ド・モルガンの法則
４ （４） ～（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ） Ａ
４ （５） ～（Ｐ＆～Ｑ）＆～Ｐ ４ド・モルガンの法則
４ （６） （Ｐ→ Ｑ）＆～Ｐ ５「含意の定義（α）」
４ （７）～～（（Ｐ→ Ｑ）＆～Ｐ） ６ＤＮ
４ （８） ～（（Ｐ→ Ｑ）→ Ｐ） ７「含意の定義（α）」
４ （９） ～（（Ｐ→ Ｑ）→ Ｐ）∨Ｐ ８∨Ｉ
ア（ア） Ｐ Ａ
ア（イ） ～（（Ｐ→ Ｑ）→ Ｐ）∨Ｐ ア∨Ｉ
１ （ウ） ～（（Ｐ→ Ｑ）→ Ｐ）∨Ｐ ３４９アイ∨Ｅ
１ （エ） （（Ｐ→ Ｑ）→ Ｐ）→Ｐ ウ「含意の定義（β）」
（ⅱ）
１ （１） （（Ｐ→ Ｑ）→ Ｐ）→Ｐ Ａ
１ （２） ～（（Ｐ→ Ｑ）→ Ｐ）∨Ｐ １「含意の定義（β）」
３ （３） ～（（Ｐ→ Ｑ）→ Ｐ） Ａ
３ （４）～～（（Ｐ→ Ｑ）＆～Ｐ） ３「含意の定義（α）」
３ （５） （Ｐ→ Ｑ）＆～Ｐ ４ＤＮ
３ （６） ～（Ｐ＆～Ｑ）＆～Ｐ ５「含意の定義（α）」
３ （７） ～（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ） ６ド・モルガンの法則
３ （８） ～（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）∨ Ｐ ７∨Ｉ
９（９） Ｐ Ａ
９（ア） ～（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）∨ Ｐ ９∨Ｉ
１ （イ） ～（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）∨ Ｐ １３８９ア∨Ｅ
１ （ウ）～（（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）＆～Ｐ） イ、ド・モルガンの法則
１ （エ） （（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）→ Ｐ １「含意の定義（α）」
従って、
（09）により、
（10）
①（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ
②（（Ｐ→ Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
に於いて、
①＝② である。
従って、
（03）（10）により、
（11）
Ｐ＝花子は日本人である。
～Ｑ＝花子は男性でない（女性である）。
であるとして、
①（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ
②（（Ｐ→ Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
といふ「命題」、すなはち、
①（（花子は日本人である＆～花子は男性である）∨花子は日本人である）→花子は日本人である。
②（（花子は日本人である→ 花子は男性である）→花子は日本人である）→花子は日本人である。
といふ「命題」、すなはち、
①（（花子が日本人の女性である）か、または、花子が日本人である）ならば、花子は日本人である。
②（（花子が日本人であるならば、花子が男性である）ならば、花子が日本人である）ならば、花子は日本人である。
といふ「命題」は、２つとも、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（12）
「直観主義の論理体系ＮＪ」では、次の諸性質は「同値」である。
├ ～～Ｐ→Ｐ 二重否定除去律
├ Ｐ∨～Ｐ 排中律
├ （（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ パースの法則。
（大阪教育図書、論理と思考、2021年、８５頁）
従って、
（11）（12）により、
（13）
①（（花子が日本人の女性である）か、または、花子が日本人である）ならば、花子は日本人である。
②（（花子が日本人であるならば、花子が男性である）ならば、花子が日本人である）ならば、花子は日本人である。
といふ「命題」は、２つとも、「恒真式（トートロジー）」であって、特に、
② は、「直観主義の論理体系ＮＪ」では、「排中律（Ｐ∨～Ｐ）」に「等しい」。
然るに、
（13）により、
（14）
①（（花子が日本人の女性である）か、または、花子が日本人である）ならば、花子は日本人である。
②（（花子が日本人であるならば、花子が男性である）ならば、花子が日本人である）ならば、花子は日本人である。
といふ「命題」は、２つとも、「恒真式（トートロジー）」である。
とするならば、「当然」、
①（（太郎が日本人の男性である）か、または、太郎が日本人である）ならば、太郎は日本人である。
②（（太郎が日本人であるならば、太郎が女性である）ならば、太郎が日本人である）ならば、太郎は日本人である。
といふ「命題」は、２つとも、「恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（14）により、
（15）
①（（花子が日本人の女性である）か、または、花子が日本人である）ならば、花子は日本人である。
②（（花子が日本人であるならば、花子が男性である）ならば、花子が日本人である）ならば、花子は日本人である。
といふ「命題」に於いて、
① 女性である。
② 男性である。
といふ「部分」は、実際には、「意味が無い（不要である）」。
然るに、
（01）（09）により、
（16）
（ⅰ）
１ （１） （Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
２ （３） Ｐ ２＆Ｅ
４（４） Ｐ Ａ
１ （５） Ｐ １２３４４∨Ｅ
（６）（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ １５ＣＰ
（ⅰ）
１ （１） （（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）→ Ｐ Ａ
１ （２）～（（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）＆～Ｐ） １「含意の定義（α）」
１ （３） ～（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）∨ Ｐ ２ド・モルガンの法則
４ （４） ～（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ） Ａ
４ （５） ～（Ｐ＆～Ｑ）＆～Ｐ ４ド・モルガンの法則
４ （６） （Ｐ→ Ｑ）＆～Ｐ ５「含意の定義（α）」
４ （７）～～（（Ｐ→ Ｑ）＆～Ｐ） ６ＤＮ
４ （８） ～（（Ｐ→ Ｑ）→ Ｐ） ７「含意の定義（α）」
４ （９） ～（（Ｐ→ Ｑ）→ Ｐ）∨Ｐ ８∨Ｉ
ア（ア） Ｐ Ａ
ア（イ） ～（（Ｐ→ Ｑ）→ Ｐ）∨Ｐ ア∨Ｉ
１ （ウ） ～（（Ｐ→ Ｑ）→ Ｐ）∨Ｐ ３４９アイ∨Ｅ
１ （エ） （（Ｐ→ Ｑ）→ Ｐ）→Ｐ ウ「含意の定義（β）」
（ⅱ）
１ （１） （（Ｐ→ Ｑ）→ Ｐ）→Ｐ Ａ
１ （２） ～（（Ｐ→ Ｑ）→ Ｐ）∨Ｐ １「含意の定義（β）」
３ （３） ～（（Ｐ→ Ｑ）→ Ｐ） Ａ
３ （４）～～（（Ｐ→ Ｑ）＆～Ｐ） ３「含意の定義（α）」
３ （５） （Ｐ→ Ｑ）＆～Ｐ ４ＤＮ
３ （６） ～（Ｐ＆～Ｑ）＆～Ｐ ５「含意の定義（α）」
３ （７） ～（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ） ６ド・モルガンの法則
３ （８） ～（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）∨ Ｐ ７∨Ｉ
９（９） Ｐ Ａ
９（ア） ～（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）∨ Ｐ ９∨Ｉ
１ （イ） ～（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）∨ Ｐ １３８９ア∨Ｅ
１ （ウ）～（（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）＆～Ｐ） イ、ド・モルガンの法則
１ （エ） （（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）→ Ｐ １「含意の定義（α）」
といふ「計算」は、
自然演繹論理のあるバージョンには、公理が存在しない。ジョン・レモンが開発した体系Ｌ（ウィキペディア）。
で言ふ所の、『自然演繹の体系Ｌ』である。
従って、
（14）（15）（16）により、
（17）
『自然演繹の体系Ｌ』からすると、
①（（花子が日本人の女性である）か、または、花子が日本人である）ならば、花子は日本人である。
②（（花子が日本人であるならば、花子が男性である）ならば、花子が日本人である）ならば、花子は日本人である。
といふ「命題」は、「実質的」に、
①（（花子が日本である）か、または、花子が日本人である）ならば、花子は日本人である。
②（（花子が日本人である）ならば、花子が日本人である） ならば、花子は日本人である。
といふ「命題」に、「等しい」。
然るに、
（18）
①（（花子が日本である）か、または、花子が日本人である）ならば、花子は日本人である。
②（（花子が日本人である）ならば、花子が日本人である） ならば、花子は日本人である。
といふ「命題」は、② を含めて、「少なくとも、変ではない」。
然るに、
（19）
排中律や二重否定の除去と等価な命題のひとつで、変なものとして、パースの法則があります。
任意の命題Ｐ, Ｑについて、
（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
が成り立つ
『「ＰならばＱ」ならばＰ』ならばＰ
なんか、パズルのような命題ですね。
（背理法を絶対に認めない人たちの会）
然るに、
（19）により、
（20）
確かに、任意の命題Ｐ, Ｑについての、例へば、
②（（花子が日本人であるならば、花子が男性である）ならば、花子が日本人である）ならば、花子は日本人である。
といふ「パースの法則（合成命題）」は、「（パズルみたいで）変である」が、
②（（花子が日本人である）ならば、花子が日本人である）ならば、花子は日本人である。
といふ「命題」が「恒真命題（トートロジー）」であることには、「何らの違和感」も無い。
従って、
（17）～（20）により、
（21）
②（（花子が日本人であるならば、花子が男性である）ならば、花子が日本人である）ならば、花子は日本人である。
といふ「パースの法則」が、「ヘンテコ」である「理由」は、
②（（花子が日本人である）ならば、花子が日本人である）ならば、花子は日本人である。
といふ「命題」に対して、
②「（不要である所の）花子は男性である。」
といふ「命題」を加へたからである。
（22）
（ⅰ）
１ （１） Ｐ∨Ｐ Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
３（３） Ｐ Ａ
１ （４） Ｐ １２２３３∨Ｅ
（５）（Ｐ∨Ｐ）→Ｐ １４ＣＰ
であると「同時」に、
（ⅱ）
１ （１） （Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
２ （３） Ｐ ２＆Ｅ
４（４） Ｐ Ａ
１ （５） Ｐ １２３４４∨Ｅ
（６）（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ １５ＣＰ
である。
従って、
（01）（10）（22）により、
（23）
① （Ｐ ∨Ｐ）→Ｐ
②（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ
③（（Ｐ→ Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
といふ「３つの論理式」は、すなはち、
① （Ｐであるか、Ｐである）ならばＰである。
②（（Ｐであって、Ｑでない）か、Ｐである）ならば、Ｐである。
③（（Ｐであるならば、Ｑである）ならば、Ｐである）ならば、Ｐである。
といふ「３つの命題」は、「３つ」とも、「恒真命題（トートロジー）」であって、尚且つ、
②＝③ であって、特に、
③ を、「パースの法則」と言ふ。
令和６年１月２１日、毛利太。
―「補足」をします。―
（24）
（ⅰ）
１（１）Ｐ Ａ
（２）Ｐ→Ｐ １１ＣＰ
（ⅲ）
１ （１） （Ｐ→Ｐ）→Ｐ Ａ
２（２） Ｐ Ａ
（３） Ｐ→Ｐ ２２ＣＰ
１ （４） Ｐ １３ＭＰＰ
（５）（（Ｐ→Ｐ）→Ｐ）→Ｐ １４ＣＰ
従って、
（24）により、
（25）
① Ｐ→Ｐ
③（（Ｐ→Ｐ）→Ｐ）→Ｐ
は、「２つ」とも「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（26）
②（偽→偽）→偽
は「偽」であるため、
②（Ｐ→Ｐ）→Ｐ
は、「恒真式（トートロジー）」ではない。
15:37 2024/01/21
（ⅰ）
１ （１） （Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
２ （３） Ｐ ２＆Ｅ
４（４） Ｐ Ａ
１ （５） Ｐ １２３４４∨Ｅ
（６）（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ １５ＣＰ
従って、
（01）により、
（02）
①（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ
といふ「論理式」は「恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（02）により、
（03）
Ｐ＝花子は日本人である。
～Ｑ＝花子は男性でない（女性である）。
であるとして、
①（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ
といふ「命題」、すなはち、
①（（花子は日本人である＆～花子は男性である）∨花子は日本人である）→花子は日本人である。
といふ「命題」、すなはち、
①（（花子が日本人の女性である）か、または、花子が日本人である）ならば、花子は日本人である。
といふ「命題」は、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（04）
（ⅰ）
１ （１） ～Ｐ∨ Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（Ｐ＆～Ｑ） ２５ＲＡＡ
７（７） Ｑ Ａ
２ （８） ～Ｑ ２＆Ｅ
２ ７（９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
７（ア）～（Ｐ＆～Ｑ） ２７ＲＡＡ
１ （イ）～（Ｐ＆～Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
（ⅱ）
１ （１） ～（Ｐ＆～Ｑ） Ａ
２ （２） ～（～Ｐ∨ Ｑ） Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
３ （４） ～Ｐ∨ Ｑ ３∨Ｉ
２３ （５） ～（～Ｐ∨ Ｑ）＆
（～Ｐ∨ Ｑ） ２５＆Ｉ
２ （６） Ｐ ３５ＲＡＡ
７（７） Ｑ Ａ
７（８） ～Ｐ∨ Ｑ ７∨Ｉ
２ ７（９） ～（～Ｐ∨ Ｑ）＆
（～Ｐ∨ Ｑ） ２８＆Ｉ
２ （ア） ～Ｑ ７９ＲＡＡ
２ （イ） Ｐ＆～Ｑ ６ア＆Ｉ
１２ （ウ） ～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（ Ｐ＆～Ｑ） １イ＆Ｉ
１ （エ）～～（～Ｐ∨ Ｑ） ２ウＲＡＡ
１ （オ） ～Ｐ∨ Ｑ エＤＮ
従って、
（04）により、
（05）
① ～Ｐ∨ Ｑ
② ～（Ｐ＆～Ｑ）
に於いて、
①＝② である（ド・モルガンの法則）。
然るに、
（06）
（ⅱ）
１ （１）～（Ｐ＆～Ｑ） Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
３（３） ～Ｑ Ａ
２３（４） Ｐ＆～Ｑ ２３＆Ｉ
１２３（５）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） １４＆Ｉ
１２ （６） ～～Ｑ ３５ＲＡＡ
１２ （７） Ｑ ６ＤＮ
１ （８） Ｐ→ Ｑ ２７ＣＰ
（ⅲ）
１ （１） Ｐ→ Ｑ Ａ
２（２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
２（３） Ｐ ２＆Ｅ
１２（４） Ｑ １３ＭＰＰ
２（５） ～Ｑ ２＆Ｅ
１２（６） Ｑ＆～Ｑ ４５＆Ｉ
１ （７）～（Ｐ＆～Ｑ） ２６ＲＰＰ
従って、
（06）により、
（07）
② ～（Ｐ＆～Ｑ）
③ Ｐ→ Ｑ
に於いて、すなはち、
②（Ｐであって、Ｑでない）といふことはない。
③ Ｐであるならば、Ｑである。
に於いて、
②＝③ である。
従って、
（05）（07）により、
（08）
① ～Ｐ∨ Ｑ
② ～（Ｐ＆～Ｑ）
③ Ｐ→ Ｑ
に於いて、
に於いて、
①＝②＝③ であるものの、
①＝② は、「ド・モルガンの法則」であって、
①＝③ を、「含意の定義（α）」とし、
②＝③ を、「含意の定義（β）」とする。
然るに、
（09）
（ⅰ）
１ （１） （（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）→ Ｐ Ａ
１ （２）～（（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）＆～Ｐ） １「含意の定義（α）」
１ （３） ～（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）∨ Ｐ ２ド・モルガンの法則
４ （４） ～（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ） Ａ
４ （５） ～（Ｐ＆～Ｑ）＆～Ｐ ４ド・モルガンの法則
４ （６） （Ｐ→ Ｑ）＆～Ｐ ５「含意の定義（α）」
４ （７）～～（（Ｐ→ Ｑ）＆～Ｐ） ６ＤＮ
４ （８） ～（（Ｐ→ Ｑ）→ Ｐ） ７「含意の定義（α）」
４ （９） ～（（Ｐ→ Ｑ）→ Ｐ）∨Ｐ ８∨Ｉ
ア（ア） Ｐ Ａ
ア（イ） ～（（Ｐ→ Ｑ）→ Ｐ）∨Ｐ ア∨Ｉ
１ （ウ） ～（（Ｐ→ Ｑ）→ Ｐ）∨Ｐ ３４９アイ∨Ｅ
１ （エ） （（Ｐ→ Ｑ）→ Ｐ）→Ｐ ウ「含意の定義（β）」
（ⅱ）
１ （１） （（Ｐ→ Ｑ）→ Ｐ）→Ｐ Ａ
１ （２） ～（（Ｐ→ Ｑ）→ Ｐ）∨Ｐ １「含意の定義（β）」
３ （３） ～（（Ｐ→ Ｑ）→ Ｐ） Ａ
３ （４）～～（（Ｐ→ Ｑ）＆～Ｐ） ３「含意の定義（α）」
３ （５） （Ｐ→ Ｑ）＆～Ｐ ４ＤＮ
３ （６） ～（Ｐ＆～Ｑ）＆～Ｐ ５「含意の定義（α）」
３ （７） ～（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ） ６ド・モルガンの法則
３ （８） ～（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）∨ Ｐ ７∨Ｉ
９（９） Ｐ Ａ
９（ア） ～（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）∨ Ｐ ９∨Ｉ
１ （イ） ～（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）∨ Ｐ １３８９ア∨Ｅ
１ （ウ）～（（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）＆～Ｐ） イ、ド・モルガンの法則
１ （エ） （（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）→ Ｐ １「含意の定義（α）」
従って、
（09）により、
（10）
①（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ
②（（Ｐ→ Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
に於いて、
①＝② である。
従って、
（03）（10）により、
（11）
Ｐ＝花子は日本人である。
～Ｑ＝花子は男性でない（女性である）。
であるとして、
①（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ
②（（Ｐ→ Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
といふ「命題」、すなはち、
①（（花子は日本人である＆～花子は男性である）∨花子は日本人である）→花子は日本人である。
②（（花子は日本人である→ 花子は男性である）→花子は日本人である）→花子は日本人である。
といふ「命題」、すなはち、
①（（花子が日本人の女性である）か、または、花子が日本人である）ならば、花子は日本人である。
②（（花子が日本人であるならば、花子が男性である）ならば、花子が日本人である）ならば、花子は日本人である。
といふ「命題」は、２つとも、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（12）
「直観主義の論理体系ＮＪ」では、次の諸性質は「同値」である。
├ ～～Ｐ→Ｐ 二重否定除去律
├ Ｐ∨～Ｐ 排中律
├ （（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ パースの法則。
（大阪教育図書、論理と思考、2021年、８５頁）
従って、
（11）（12）により、
（13）
①（（花子が日本人の女性である）か、または、花子が日本人である）ならば、花子は日本人である。
②（（花子が日本人であるならば、花子が男性である）ならば、花子が日本人である）ならば、花子は日本人である。
といふ「命題」は、２つとも、「恒真式（トートロジー）」であって、特に、
② は、「直観主義の論理体系ＮＪ」では、「排中律（Ｐ∨～Ｐ）」に「等しい」。
然るに、
（13）により、
（14）
①（（花子が日本人の女性である）か、または、花子が日本人である）ならば、花子は日本人である。
②（（花子が日本人であるならば、花子が男性である）ならば、花子が日本人である）ならば、花子は日本人である。
といふ「命題」は、２つとも、「恒真式（トートロジー）」である。
とするならば、「当然」、
①（（太郎が日本人の男性である）か、または、太郎が日本人である）ならば、太郎は日本人である。
②（（太郎が日本人であるならば、太郎が女性である）ならば、太郎が日本人である）ならば、太郎は日本人である。
といふ「命題」は、２つとも、「恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（14）により、
（15）
①（（花子が日本人の女性である）か、または、花子が日本人である）ならば、花子は日本人である。
②（（花子が日本人であるならば、花子が男性である）ならば、花子が日本人である）ならば、花子は日本人である。
といふ「命題」に於いて、
① 女性である。
② 男性である。
といふ「部分」は、実際には、「意味が無い（不要である）」。
然るに、
（01）（09）により、
（16）
（ⅰ）
１ （１） （Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
２ （３） Ｐ ２＆Ｅ
４（４） Ｐ Ａ
１ （５） Ｐ １２３４４∨Ｅ
（６）（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ １５ＣＰ
（ⅰ）
１ （１） （（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）→ Ｐ Ａ
１ （２）～（（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）＆～Ｐ） １「含意の定義（α）」
１ （３） ～（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）∨ Ｐ ２ド・モルガンの法則
４ （４） ～（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ） Ａ
４ （５） ～（Ｐ＆～Ｑ）＆～Ｐ ４ド・モルガンの法則
４ （６） （Ｐ→ Ｑ）＆～Ｐ ５「含意の定義（α）」
４ （７）～～（（Ｐ→ Ｑ）＆～Ｐ） ６ＤＮ
４ （８） ～（（Ｐ→ Ｑ）→ Ｐ） ７「含意の定義（α）」
４ （９） ～（（Ｐ→ Ｑ）→ Ｐ）∨Ｐ ８∨Ｉ
ア（ア） Ｐ Ａ
ア（イ） ～（（Ｐ→ Ｑ）→ Ｐ）∨Ｐ ア∨Ｉ
１ （ウ） ～（（Ｐ→ Ｑ）→ Ｐ）∨Ｐ ３４９アイ∨Ｅ
１ （エ） （（Ｐ→ Ｑ）→ Ｐ）→Ｐ ウ「含意の定義（β）」
（ⅱ）
１ （１） （（Ｐ→ Ｑ）→ Ｐ）→Ｐ Ａ
１ （２） ～（（Ｐ→ Ｑ）→ Ｐ）∨Ｐ １「含意の定義（β）」
３ （３） ～（（Ｐ→ Ｑ）→ Ｐ） Ａ
３ （４）～～（（Ｐ→ Ｑ）＆～Ｐ） ３「含意の定義（α）」
３ （５） （Ｐ→ Ｑ）＆～Ｐ ４ＤＮ
３ （６） ～（Ｐ＆～Ｑ）＆～Ｐ ５「含意の定義（α）」
３ （７） ～（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ） ６ド・モルガンの法則
３ （８） ～（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）∨ Ｐ ７∨Ｉ
９（９） Ｐ Ａ
９（ア） ～（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）∨ Ｐ ９∨Ｉ
１ （イ） ～（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）∨ Ｐ １３８９ア∨Ｅ
１ （ウ）～（（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）＆～Ｐ） イ、ド・モルガンの法則
１ （エ） （（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）→ Ｐ １「含意の定義（α）」
といふ「計算」は、
自然演繹論理のあるバージョンには、公理が存在しない。ジョン・レモンが開発した体系Ｌ（ウィキペディア）。
で言ふ所の、『自然演繹の体系Ｌ』である。
従って、
（14）（15）（16）により、
（17）
『自然演繹の体系Ｌ』からすると、
①（（花子が日本人の女性である）か、または、花子が日本人である）ならば、花子は日本人である。
②（（花子が日本人であるならば、花子が男性である）ならば、花子が日本人である）ならば、花子は日本人である。
といふ「命題」は、「実質的」に、
①（（花子が日本である）か、または、花子が日本人である）ならば、花子は日本人である。
②（（花子が日本人である）ならば、花子が日本人である） ならば、花子は日本人である。
といふ「命題」に、「等しい」。
然るに、
（18）
①（（花子が日本である）か、または、花子が日本人である）ならば、花子は日本人である。
②（（花子が日本人である）ならば、花子が日本人である） ならば、花子は日本人である。
といふ「命題」は、② を含めて、「少なくとも、変ではない」。
然るに、
（19）
排中律や二重否定の除去と等価な命題のひとつで、変なものとして、パースの法則があります。
任意の命題Ｐ, Ｑについて、
（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
が成り立つ
『「ＰならばＱ」ならばＰ』ならばＰ
なんか、パズルのような命題ですね。
（背理法を絶対に認めない人たちの会）
然るに、
（19）により、
（20）
確かに、任意の命題Ｐ, Ｑについての、例へば、
②（（花子が日本人であるならば、花子が男性である）ならば、花子が日本人である）ならば、花子は日本人である。
といふ「パースの法則（合成命題）」は、「（パズルみたいで）変である」が、
②（（花子が日本人である）ならば、花子が日本人である）ならば、花子は日本人である。
といふ「命題」が「恒真命題（トートロジー）」であることには、「何らの違和感」も無い。
従って、
（17）～（20）により、
（21）
②（（花子が日本人であるならば、花子が男性である）ならば、花子が日本人である）ならば、花子は日本人である。
といふ「パースの法則」が、「ヘンテコ」である「理由」は、
②（（花子が日本人である）ならば、花子が日本人である）ならば、花子は日本人である。
といふ「命題」に対して、
②「（不要である所の）花子は男性である。」
といふ「命題」を加へたからである。
（22）
（ⅰ）
１ （１） Ｐ∨Ｐ Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
３（３） Ｐ Ａ
１ （４） Ｐ １２２３３∨Ｅ
（５）（Ｐ∨Ｐ）→Ｐ １４ＣＰ
であると「同時」に、
（ⅱ）
１ （１） （Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
２ （３） Ｐ ２＆Ｅ
４（４） Ｐ Ａ
１ （５） Ｐ １２３４４∨Ｅ
（６）（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ １５ＣＰ
である。
従って、
（01）（10）（22）により、
（23）
① （Ｐ ∨Ｐ）→Ｐ
②（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ
③（（Ｐ→ Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
といふ「３つの論理式」は、すなはち、
① （Ｐであるか、Ｐである）ならばＰである。
②（（Ｐであって、Ｑでない）か、Ｐである）ならば、Ｐである。
③（（Ｐであるならば、Ｑである）ならば、Ｐである）ならば、Ｐである。
といふ「３つの命題」は、「３つ」とも、「恒真命題（トートロジー）」であって、尚且つ、
②＝③ であって、特に、
③ を、「パースの法則」と言ふ。
令和６年１月２１日、毛利太。
―「補足」をします。―
（24）
（ⅰ）
１（１）Ｐ Ａ
（２）Ｐ→Ｐ １１ＣＰ
（ⅲ）
１ （１） （Ｐ→Ｐ）→Ｐ Ａ
２（２） Ｐ Ａ
（３） Ｐ→Ｐ ２２ＣＰ
１ （４） Ｐ １３ＭＰＰ
（５）（（Ｐ→Ｐ）→Ｐ）→Ｐ １４ＣＰ
従って、
（24）により、
（25）
① Ｐ→Ｐ
③（（Ｐ→Ｐ）→Ｐ）→Ｐ
は、「２つ」とも「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（26）
②（偽→偽）→偽
は「偽」であるため、
②（Ｐ→Ｐ）→Ｐ
は、「恒真式（トートロジー）」ではない。
15:37 2024/01/21
2024年1月20日土曜日
「源氏物語の作者は二人とはゐない」の「述語論理」。
（01）
（ⅰ）源氏物語の作者（Ｇ）は、二人とはゐない（at most one person）。然るに、
（ⅱ）紫式部（ｍ）は源氏物語の作者（Ｇ）である。然るに、
（ⅲ）清少納言（ｎ）は紫式部（ｍ）ではない。従って、
（ⅳ）清少納言（ｎ）は源氏物語の作者（Ｇ）ではない。
然るに、
（02）
１ （１）～∃ｘ∃ｙ｛（Ｇｘ＆Ｇｙ）＆（ｘ≠ｙ）｝ Ａ
１ （２）∀ｘ～∃ｙ｛（Ｇｘ＆Ｇｙ）＆（ｘ≠ｙ）｝ １量化子の関係
１ （３）∀ｘ∀ｙ～｛（Ｇｘ＆Ｇｙ）＆（ｘ≠ｙ）｝ ２量化子の関係
１ （４）∀ｘ∀ｙ｛～（Ｇｘ＆Ｇｙ）∨（ｘ＝ｙ）｝ ３ド・モルガンの法則
１ （５）∀ｘ∀ｙ｛ （Ｇｘ＆Ｇｙ）→（ｘ＝ｙ）｝ ４含意の定義
１ （６）∀ｘ∀ｙ｛ （Ｇｘ＆Ｇｙ）→（ｘ＝ｙ）｝ ５ＤＮ
１ （７） ∀ｙ｛ （Ｇｍ＆Ｇｙ）→（ｍ＝ｙ）｝ ６ＵＥ
１ （８） （Ｇｍ＆Ｇｎ）→（ｍ＝ｎ） ７ＵＥ
９ （９） Ｇｍ Ａ
ア （ア） ｍ≠ｎ Ａ
１ ア （イ） ～（Ｇｍ＆Ｇｎ） ８９ＭＴＴ
ウ （ウ） Ｇｍ Ａ
エ（オ） Ｇｎ Ａ
ウエ（カ） Ｇｍ＆Ｇｎ ウオ＆Ｉ
１ アウエ（キ）～（Ｇｍ＆Ｇｎ）＆（Ｇｍ＆Ｇｎ） イカ＆Ｉ
１ アウ （ク） ～Ｇｎ エキＲＡＡ
１ ア （ケ） Ｇｍ→～Ｇｎ ウクＣＰ
１９ア （コ） ～Ｇｎ ９ケＭＰＰ
従って、
（02）により、
（03）
（ⅰ）～∃ｘ∃ｙ｛（Ｇｘ＆Ｇｙ）＆（ｘ≠ｙ）｝。然るに、
（ⅱ） Ｇｍ。 然るに、
（ⅲ） ｍ≠ｎ。 従って、
（ⅳ） ～Ｇｎ。
といふ「推論」、すなはち、
（ⅰ）あるｘとあるｙについて｛（ｘが源氏物語の著者であって、ｙも源氏物語であって）、尚且つ、（ｘはｙと「同一人物」ではない）。｝といふことはない。然るに、
（ⅱ）ｍは源氏物語の著者である。 然るに、
（ⅲ）ｍとｎは「同一人物」ではない。従って、
（ⅳ）ｎは源氏物語の著者ではない。
といふ「推論」は「妥当」である。
従って、
（01）（02）（03）により、
（04）
（ⅰ）源氏物語の作者は、二人とはゐない。然るに、
（ⅱ）紫式部は源氏物語の作者である。然るに、
（ⅲ）清少納言は紫式部ではない。従って、
（ⅳ）清少納言は源氏物語の作者ではない。
といふ「推論」は「妥当」である。
然るに、
（02）（03）により、
（05）
（ⅰ）∃ｘ∃ｙ｛（Ｇｘ＆Ｇｙ）＆（ｘ≠ｙ）｝。然るに、
（ⅱ） Ｇｍ。 然るに、
（ⅲ） ｍ≠ｎ。 従って、
（ⅳ） ～Ｇｎ。
といふ「推論」は、「不妥当（invalid）」である。
従って、
（03）（04）（05）により、
（06）
（ⅰ）源氏物語の作者は、一人とは限らない。然るに、
（ⅱ）紫式部は源氏物語の作者である。然るに、
（ⅲ）清少納言は紫式部ではない。従って、
（ⅳ）清少納言は源氏物語の作者ではない。
といふ「推論」は「不妥当（invalid）」である。
令和６年１月２０日、毛利太。
（ⅰ）源氏物語の作者（Ｇ）は、二人とはゐない（at most one person）。然るに、
（ⅱ）紫式部（ｍ）は源氏物語の作者（Ｇ）である。然るに、
（ⅲ）清少納言（ｎ）は紫式部（ｍ）ではない。従って、
（ⅳ）清少納言（ｎ）は源氏物語の作者（Ｇ）ではない。
然るに、
（02）
１ （１）～∃ｘ∃ｙ｛（Ｇｘ＆Ｇｙ）＆（ｘ≠ｙ）｝ Ａ
１ （２）∀ｘ～∃ｙ｛（Ｇｘ＆Ｇｙ）＆（ｘ≠ｙ）｝ １量化子の関係
１ （３）∀ｘ∀ｙ～｛（Ｇｘ＆Ｇｙ）＆（ｘ≠ｙ）｝ ２量化子の関係
１ （４）∀ｘ∀ｙ｛～（Ｇｘ＆Ｇｙ）∨（ｘ＝ｙ）｝ ３ド・モルガンの法則
１ （５）∀ｘ∀ｙ｛ （Ｇｘ＆Ｇｙ）→（ｘ＝ｙ）｝ ４含意の定義
１ （６）∀ｘ∀ｙ｛ （Ｇｘ＆Ｇｙ）→（ｘ＝ｙ）｝ ５ＤＮ
１ （７） ∀ｙ｛ （Ｇｍ＆Ｇｙ）→（ｍ＝ｙ）｝ ６ＵＥ
１ （８） （Ｇｍ＆Ｇｎ）→（ｍ＝ｎ） ７ＵＥ
９ （９） Ｇｍ Ａ
ア （ア） ｍ≠ｎ Ａ
１ ア （イ） ～（Ｇｍ＆Ｇｎ） ８９ＭＴＴ
ウ （ウ） Ｇｍ Ａ
エ（オ） Ｇｎ Ａ
ウエ（カ） Ｇｍ＆Ｇｎ ウオ＆Ｉ
１ アウエ（キ）～（Ｇｍ＆Ｇｎ）＆（Ｇｍ＆Ｇｎ） イカ＆Ｉ
１ アウ （ク） ～Ｇｎ エキＲＡＡ
１ ア （ケ） Ｇｍ→～Ｇｎ ウクＣＰ
１９ア （コ） ～Ｇｎ ９ケＭＰＰ
従って、
（02）により、
（03）
（ⅰ）～∃ｘ∃ｙ｛（Ｇｘ＆Ｇｙ）＆（ｘ≠ｙ）｝。然るに、
（ⅱ） Ｇｍ。 然るに、
（ⅲ） ｍ≠ｎ。 従って、
（ⅳ） ～Ｇｎ。
といふ「推論」、すなはち、
（ⅰ）あるｘとあるｙについて｛（ｘが源氏物語の著者であって、ｙも源氏物語であって）、尚且つ、（ｘはｙと「同一人物」ではない）。｝といふことはない。然るに、
（ⅱ）ｍは源氏物語の著者である。 然るに、
（ⅲ）ｍとｎは「同一人物」ではない。従って、
（ⅳ）ｎは源氏物語の著者ではない。
といふ「推論」は「妥当」である。
従って、
（01）（02）（03）により、
（04）
（ⅰ）源氏物語の作者は、二人とはゐない。然るに、
（ⅱ）紫式部は源氏物語の作者である。然るに、
（ⅲ）清少納言は紫式部ではない。従って、
（ⅳ）清少納言は源氏物語の作者ではない。
といふ「推論」は「妥当」である。
然るに、
（02）（03）により、
（05）
（ⅰ）∃ｘ∃ｙ｛（Ｇｘ＆Ｇｙ）＆（ｘ≠ｙ）｝。然るに、
（ⅱ） Ｇｍ。 然るに、
（ⅲ） ｍ≠ｎ。 従って、
（ⅳ） ～Ｇｎ。
といふ「推論」は、「不妥当（invalid）」である。
従って、
（03）（04）（05）により、
（06）
（ⅰ）源氏物語の作者は、一人とは限らない。然るに、
（ⅱ）紫式部は源氏物語の作者である。然るに、
（ⅲ）清少納言は紫式部ではない。従って、
（ⅳ）清少納言は源氏物語の作者ではない。
といふ「推論」は「不妥当（invalid）」である。
令和６年１月２０日、毛利太。
2024年1月19日金曜日
「虎長百獣長」の「述語論理」。
（01）
１ （１）∃ｘ∀ｙ｛虎ｘ＆百獣ｙ＆長ｘｙ→∀ｚ（長ｚｙ→ｘ＝ｚ）｝ Ａ
２ （２） ∃ｚ（狐ｚ＆～虎ｚ） Ａ
３ （３） ∀ｙ｛虎ａ＆百獣ｙ＆長ａｙ→∀ｚ（長ｚｙ→ａ＝ｚ）｝ Ａ
３ （４） ｛虎ａ＆百獣ｂ＆長ａｂ→∀ｚ（長ｚｂ→ａ＝ｚ） ３ＵＥ
５ （５） 虎ａ＆百獣ｂ＆長ａｂ Ａ
３５ （６） ∀ｚ（長ｚｂ→ａ＝ｚ） ４５ＭＰＰ
３５ （７） 長ｃｂ→ａ＝ｃ ６ＵＥ
８ （８） 狐ｃ＆～虎ｃ Ａ
８ （９） 狐ｃ ８＆Ｅ
８ （ア） ～虎ｃ ８＆Ｅ
５ （イ） 虎ａ ５＆Ｅ
５８ （ウ） 虎ａ＆～虎ｃ アイ＆Ｉ
エ（エ） ａ＝ｃ Ａ
５８エ（オ） 虎ｃ＆～虎ｃ ウエ＝Ｅ
５８ （カ） ａ≠ｃ エオＲＡＡ
３５８ （キ） ～長ｃｂ ７カＭＴＴ
３５８ （ク） 狐ｃ＆～長ｃｂ ９キ＆Ｉ
３５８ （ケ） ∃ｚ（狐ｚ＆～長ｚｂ） クＥＩ
２３５ （コ） ∃ｚ（狐ｚ＆～長ｚｂ） ２８ケＥＥ
２３ （サ） 虎ａ＆百獣ｂ＆長ａｂ→∃ｚ（狐ｚ＆～長ｚｂ） ５コＣＰ
２３ （シ） ∀ｙ｛虎ａ＆百獣ｙ＆長ａｙ→∃ｚ（狐ｚ＆～長ｚｙ）｝ サＵＩ
２３ （ス）∃ｘ∀ｙ｛虎ｘ＆百獣ｙ＆長ｘｙ→∃ｚ（狐ｚ＆～長ｚｙ）｝ シＥＩ
１２ （セ）∃ｘ∀ｙ｛虎ｘ＆百獣ｙ＆長ｘｙ→∃ｚ（狐ｚ＆～長ｚｙ）｝ １３スＥＥ
従って、
（01）
（02）
（ⅰ）∃ｘ∀ｙ｛虎ｘ＆百獣ｙ＆長ｘｙ→∀ｚ（長ｚｙ→ｘ＝ｚ）｝。然るに、
（ⅱ） ∃ｚ（狐ｚ＆～虎ｚ）。従って、
（ⅲ）∃ｘ∀ｙ｛虎ｘ＆百獣ｙ＆長ｘｙ→∃ｚ（狐ｚ＆～長ｚｙ）｝。
といふ「推論」、すなはち、
（ⅰ）あるｘとすべてのｙについて｛ｘが虎であって、ｙが百獣であって、ｘがｙの長であるならば、すべてのｚについて（ｚがｙの長であるならば、ｘはｚと「同一」である｝。然るに、
（ⅱ）あるｚは（狐はであって、虎ではない）。従って、
（ⅲ）あるｘとすべてのｙについて｛ｘが虎であって、ｙが百獣であって、ｘがｙの長であるならば、あるはｚ（狐であって、ｙの長ではない）｝。
といふ「推論」は「妥当」である。
従って、
（02）により、
（03）
（ⅰ）唯、虎のみ、百獣に長たり（唯虎長百獣長也）。然るに、
（ⅱ）狐は虎に非ざるなり（狐非虎也）。故に、
（ⅲ）虎は百獣に長たりて、狐は長たらず（虎長百獣、狐不長）。
といふ「推論」は「妥当」である。
令和６年１月１９日、毛利太。
１ （１）∃ｘ∀ｙ｛虎ｘ＆百獣ｙ＆長ｘｙ→∀ｚ（長ｚｙ→ｘ＝ｚ）｝ Ａ
２ （２） ∃ｚ（狐ｚ＆～虎ｚ） Ａ
３ （３） ∀ｙ｛虎ａ＆百獣ｙ＆長ａｙ→∀ｚ（長ｚｙ→ａ＝ｚ）｝ Ａ
３ （４） ｛虎ａ＆百獣ｂ＆長ａｂ→∀ｚ（長ｚｂ→ａ＝ｚ） ３ＵＥ
５ （５） 虎ａ＆百獣ｂ＆長ａｂ Ａ
３５ （６） ∀ｚ（長ｚｂ→ａ＝ｚ） ４５ＭＰＰ
３５ （７） 長ｃｂ→ａ＝ｃ ６ＵＥ
８ （８） 狐ｃ＆～虎ｃ Ａ
８ （９） 狐ｃ ８＆Ｅ
８ （ア） ～虎ｃ ８＆Ｅ
５ （イ） 虎ａ ５＆Ｅ
５８ （ウ） 虎ａ＆～虎ｃ アイ＆Ｉ
エ（エ） ａ＝ｃ Ａ
５８エ（オ） 虎ｃ＆～虎ｃ ウエ＝Ｅ
５８ （カ） ａ≠ｃ エオＲＡＡ
３５８ （キ） ～長ｃｂ ７カＭＴＴ
３５８ （ク） 狐ｃ＆～長ｃｂ ９キ＆Ｉ
３５８ （ケ） ∃ｚ（狐ｚ＆～長ｚｂ） クＥＩ
２３５ （コ） ∃ｚ（狐ｚ＆～長ｚｂ） ２８ケＥＥ
２３ （サ） 虎ａ＆百獣ｂ＆長ａｂ→∃ｚ（狐ｚ＆～長ｚｂ） ５コＣＰ
２３ （シ） ∀ｙ｛虎ａ＆百獣ｙ＆長ａｙ→∃ｚ（狐ｚ＆～長ｚｙ）｝ サＵＩ
２３ （ス）∃ｘ∀ｙ｛虎ｘ＆百獣ｙ＆長ｘｙ→∃ｚ（狐ｚ＆～長ｚｙ）｝ シＥＩ
１２ （セ）∃ｘ∀ｙ｛虎ｘ＆百獣ｙ＆長ｘｙ→∃ｚ（狐ｚ＆～長ｚｙ）｝ １３スＥＥ
従って、
（01）
（02）
（ⅰ）∃ｘ∀ｙ｛虎ｘ＆百獣ｙ＆長ｘｙ→∀ｚ（長ｚｙ→ｘ＝ｚ）｝。然るに、
（ⅱ） ∃ｚ（狐ｚ＆～虎ｚ）。従って、
（ⅲ）∃ｘ∀ｙ｛虎ｘ＆百獣ｙ＆長ｘｙ→∃ｚ（狐ｚ＆～長ｚｙ）｝。
といふ「推論」、すなはち、
（ⅰ）あるｘとすべてのｙについて｛ｘが虎であって、ｙが百獣であって、ｘがｙの長であるならば、すべてのｚについて（ｚがｙの長であるならば、ｘはｚと「同一」である｝。然るに、
（ⅱ）あるｚは（狐はであって、虎ではない）。従って、
（ⅲ）あるｘとすべてのｙについて｛ｘが虎であって、ｙが百獣であって、ｘがｙの長であるならば、あるはｚ（狐であって、ｙの長ではない）｝。
といふ「推論」は「妥当」である。
従って、
（02）により、
（03）
（ⅰ）唯、虎のみ、百獣に長たり（唯虎長百獣長也）。然るに、
（ⅱ）狐は虎に非ざるなり（狐非虎也）。故に、
（ⅲ）虎は百獣に長たりて、狐は長たらず（虎長百獣、狐不長）。
といふ「推論」は「妥当」である。
令和６年１月１９日、毛利太。
2024年1月16日火曜日
「富岳は富士山である」の「述語論理」。
（01）
１ （１） ∀ｘ｛日本の山ｘ→∃ｙ［富士山ｙ＆最高峰ｙｘ＆∀ｚ（最高峰ｚｘ→ｚ＝ｙ）］｝ Ａ
２ （２）∃ｚ∀ｘ（富岳ｚ＆日本の山ｘ＆最高峰ｚｘ） Ａ
１ （３） 日本の山ａ→∃ｙ［富士山ｙ＆最高峰ｙａ＆∀ｚ（最高峰ｚａ→ｚ＝ｙ）］ １ＵＥ
４ （４） ∀ｘ（富岳ｃ＆日本の山ｘ＆最高峰ｃｘ） Ａ
４ （５） 富岳ｃ＆日本の山ａ＆最高峰ｃａ ４ＵＥ
４ （６） 富岳ｃ ５＆Ｅ
４ （７） 日本の山ａ ５＆Ｅ
４ （８） 最高峰ｃａ ５＆Ｅ
１ ４ （９） ∃ｙ［富士山ｙ＆最高峰ｙａ＆∀ｚ（最高峰ｚａ→ｚ＝ｙ）］ ３７ＭＰＰ
ア（ア） 富士山ｂ＆最高峰ｂａ＆∀ｚ（最高峰ｚａ→ｚ＝ｂ） Ａ
ア（イ） 富士山ｂ ア＆Ｅ
ア（ウ） ∀ｚ（最高峰ｚａ→ｚ＝ｂ） ア＆Ｅ
ア（エ） 最高峰ｃａ→ｃ＝ｂ ウＵＥ
４ア（オ） ｃ＝ｂ ８エＭＰＰ
４ア（カ） 富岳ｂ ６オ＝ＥＥ
４ア（キ） 富岳ｂ＆富士山ｂ イカ＆Ｉ
４ア（ク） ∃ｙ（富岳ｙ＆富士山ｙ） キＥＩ
１ ４ （ケ） ∃ｙ（富岳ｙ＆富士山ｙ） ９アクＥＥ
１２ （コ） ∃ｙ（富岳ｙ＆富士山ｙ） ２４ケＥＥ
従って、
（01）により、
（02）
（ⅰ） ∀ｘ｛日本の山ｘ→∃ｙ［富士山ｙ＆最高峰ｙｘ＆∀ｚ（最高峰ｚｘ→ｚ＝ｙ）］｝。然るに、
（ⅱ）∃ｚ∀ｘ（富岳ｚ＆日本の山ｘ＆最高峰ｚｘ）。従って、
（ⅲ） ∃ｙ（富岳ｙ＆富士山ｙ）。
といふ「推論」、すなはち、
（ⅰ） すべてのｘについて｛ｘが日本の山ならば、あるｙは［富士山であって、ｘの最高峰であって、すべてのｚについて（ｚがｘの最高峰であるならば、ｚとｙは「同一」である）］｝。
（ⅱ）あるｚとすべてのｘについて（ｚは富岳であって、ｘは日本の山であって、ｚはｘの最高峰）である。従って、
（ⅲ） あるｙは（富岳であって、富士山である）。
といふ「推論」は「妥当」である。
従って、
（02）により、
（03）
（ⅰ）日本の山は、富士山が最高峰である。然るに、
（ⅱ）富岳は、日本の山の最高峰である。従って、
（ⅲ）富岳は、富士山（の別称）である。
といふ「推論」は「妥当」である。
然るに、
（04）
「昨日（令和６年１月１５日）」に示したものの、
１ （１）∀ｘ｛日本の山ｘ→∃ｙ［富士山ｙ＆最高峰ｙｘ＆∀ｚ（最高峰ｚｘ→ｚ＝ｙ）］｝ Ａ
１ （２） 日本の山ａ→∃ｙ［富士山ｙ＆最高峰ｙａ＆∀ｚ（最高峰ｚａ→ｚ＝ｙ）］ １ＵＥ
３ （３） 日本の山ａ Ａ
１３ （４） ∃ｙ［富士山ｙ＆最高峰ｙａ＆∀ｚ（最高峰ｚａ→ｚ＝ｙ）］ ２３ＭＰＰ
５ （５） 富士山ｂ＆最高峰ｂａ＆∀ｚ（最高峰ｚａ→ｚ＝ｂ） Ａ
５ （６） 富士山ｂ＆最高峰ｂａ ５＆Ｅ
５ （７） ∀ｚ（最高峰ｚａ→ｚ＝ｂ） ５＆Ｅ
５ （８） 最高峰ｃａ→ｃ＝ｂ ７ＵＥ
９ （９） ∃ｚ（高尾山ｚ＆～富士山ｚ） Ａ
ア （ア） 高尾山ｃ＆～富士山ｃ Ａ
ア （イ） 高尾山ｃ ア＆Ｅ
ア （ウ） ～富士山ｃ ア＆Ｅ
エ（エ） ｃ＝ｂ Ａ
アエ（オ） ～富士山ｂ ウエ＝Ｅ
５ （カ） 富士山ｂ ６＆Ｅ
５ アエ（キ） ～富士山ｂ＆富士山ｂ オカ＆Ｉ
５ ア （ク） ｃ≠ｂ エキＲＡＡ
５ ア （ケ） ～最高峰ｃａ ８クＭＴＴ
５ ア （コ） 高尾山ｃ＆～最高峰ｃａ イケ＆Ｉ
５ ア （サ） ∃ｚ（高尾山ｚ＆～最高峰ｚａ） コＥＩ
５９ （シ） ∃ｚ（高尾山ｚ＆～最高峰ｚａ） ９アサＥＥ
１３ ９ （ス） ∃ｚ（高尾山ｚ＆～最高峰ｚａ） ４５シＥＥ
１ ９ （セ） 日本の山ａ→∃ｚ（高尾山ｚ＆～最高峰ｚａ） ３スＣＰ
１ ９ （ソ）∀ｘ｛日本の山ｘ→∃ｚ（高尾山ｚ＆～最高峰ｚｘ）｝ セＵＩ
従って、
（04）により、
（05）
（ⅰ）日本の山は、富士山が最高峰である。然るに、
（ⅱ） 高尾山は、富士山ではない。従って、
（ⅲ）日本の山は、高尾山は最高峰ではない。
といふ「推論」は「妥当」である。
然るに、
（06）
「漢字の意味」からしても、 「最高峰」は、「唯一」である。
従って、
（01）～（06）により、
（07）
① 日本の山は、富士山が最高峰である。
② ∀ｘ｛日本の山ｘ→∃ｙ［富士山ｙ＆最高峰ｙｘ＆∀ｚ（最高峰ｚｘ→ｚ＝ｙ）］｝。
③ すべてのｘについて｛ｘが日本の山ならば、あるｙは［富士山であって、ｘの最高峰であって、すべてのｚについて（ｚがｘの最高峰であるならば、ｚとｙは「同一」である）］｝。
といふ「命題」に於いて、
①＝②＝③ であると、せざるを得ない。
従って、
（07）により、
（08）
① 日本の山は、富士山が最高峰である。
② タゴール記念会は、 私が理事長である。
といふ「日本語」を「解釈」する際に、
① ∀ｘ｛ 日本の山ｘ→∃ｙ［富士山ｙ＆最高峰ｙｘ＆∀ｚ（最高峰ｚｘ→ｚ＝ｙ）］｝。
② ∀ｘ｛タゴール記念会員ｘ→∃ｙ［私ｙ ＆理事長ｙｘ＆∀ｚ（理事長ｚｘ→ｚ＝ｙ）］｝。
といふ「論理式（数学語）」を「無視」すべきではない。
令和６年１月１６日、毛利太。
１ （１） ∀ｘ｛日本の山ｘ→∃ｙ［富士山ｙ＆最高峰ｙｘ＆∀ｚ（最高峰ｚｘ→ｚ＝ｙ）］｝ Ａ
２ （２）∃ｚ∀ｘ（富岳ｚ＆日本の山ｘ＆最高峰ｚｘ） Ａ
１ （３） 日本の山ａ→∃ｙ［富士山ｙ＆最高峰ｙａ＆∀ｚ（最高峰ｚａ→ｚ＝ｙ）］ １ＵＥ
４ （４） ∀ｘ（富岳ｃ＆日本の山ｘ＆最高峰ｃｘ） Ａ
４ （５） 富岳ｃ＆日本の山ａ＆最高峰ｃａ ４ＵＥ
４ （６） 富岳ｃ ５＆Ｅ
４ （７） 日本の山ａ ５＆Ｅ
４ （８） 最高峰ｃａ ５＆Ｅ
１ ４ （９） ∃ｙ［富士山ｙ＆最高峰ｙａ＆∀ｚ（最高峰ｚａ→ｚ＝ｙ）］ ３７ＭＰＰ
ア（ア） 富士山ｂ＆最高峰ｂａ＆∀ｚ（最高峰ｚａ→ｚ＝ｂ） Ａ
ア（イ） 富士山ｂ ア＆Ｅ
ア（ウ） ∀ｚ（最高峰ｚａ→ｚ＝ｂ） ア＆Ｅ
ア（エ） 最高峰ｃａ→ｃ＝ｂ ウＵＥ
４ア（オ） ｃ＝ｂ ８エＭＰＰ
４ア（カ） 富岳ｂ ６オ＝ＥＥ
４ア（キ） 富岳ｂ＆富士山ｂ イカ＆Ｉ
４ア（ク） ∃ｙ（富岳ｙ＆富士山ｙ） キＥＩ
１ ４ （ケ） ∃ｙ（富岳ｙ＆富士山ｙ） ９アクＥＥ
１２ （コ） ∃ｙ（富岳ｙ＆富士山ｙ） ２４ケＥＥ
従って、
（01）により、
（02）
（ⅰ） ∀ｘ｛日本の山ｘ→∃ｙ［富士山ｙ＆最高峰ｙｘ＆∀ｚ（最高峰ｚｘ→ｚ＝ｙ）］｝。然るに、
（ⅱ）∃ｚ∀ｘ（富岳ｚ＆日本の山ｘ＆最高峰ｚｘ）。従って、
（ⅲ） ∃ｙ（富岳ｙ＆富士山ｙ）。
といふ「推論」、すなはち、
（ⅰ） すべてのｘについて｛ｘが日本の山ならば、あるｙは［富士山であって、ｘの最高峰であって、すべてのｚについて（ｚがｘの最高峰であるならば、ｚとｙは「同一」である）］｝。
（ⅱ）あるｚとすべてのｘについて（ｚは富岳であって、ｘは日本の山であって、ｚはｘの最高峰）である。従って、
（ⅲ） あるｙは（富岳であって、富士山である）。
といふ「推論」は「妥当」である。
従って、
（02）により、
（03）
（ⅰ）日本の山は、富士山が最高峰である。然るに、
（ⅱ）富岳は、日本の山の最高峰である。従って、
（ⅲ）富岳は、富士山（の別称）である。
といふ「推論」は「妥当」である。
然るに、
（04）
「昨日（令和６年１月１５日）」に示したものの、
１ （１）∀ｘ｛日本の山ｘ→∃ｙ［富士山ｙ＆最高峰ｙｘ＆∀ｚ（最高峰ｚｘ→ｚ＝ｙ）］｝ Ａ
１ （２） 日本の山ａ→∃ｙ［富士山ｙ＆最高峰ｙａ＆∀ｚ（最高峰ｚａ→ｚ＝ｙ）］ １ＵＥ
３ （３） 日本の山ａ Ａ
１３ （４） ∃ｙ［富士山ｙ＆最高峰ｙａ＆∀ｚ（最高峰ｚａ→ｚ＝ｙ）］ ２３ＭＰＰ
５ （５） 富士山ｂ＆最高峰ｂａ＆∀ｚ（最高峰ｚａ→ｚ＝ｂ） Ａ
５ （６） 富士山ｂ＆最高峰ｂａ ５＆Ｅ
５ （７） ∀ｚ（最高峰ｚａ→ｚ＝ｂ） ５＆Ｅ
５ （８） 最高峰ｃａ→ｃ＝ｂ ７ＵＥ
９ （９） ∃ｚ（高尾山ｚ＆～富士山ｚ） Ａ
ア （ア） 高尾山ｃ＆～富士山ｃ Ａ
ア （イ） 高尾山ｃ ア＆Ｅ
ア （ウ） ～富士山ｃ ア＆Ｅ
エ（エ） ｃ＝ｂ Ａ
アエ（オ） ～富士山ｂ ウエ＝Ｅ
５ （カ） 富士山ｂ ６＆Ｅ
５ アエ（キ） ～富士山ｂ＆富士山ｂ オカ＆Ｉ
５ ア （ク） ｃ≠ｂ エキＲＡＡ
５ ア （ケ） ～最高峰ｃａ ８クＭＴＴ
５ ア （コ） 高尾山ｃ＆～最高峰ｃａ イケ＆Ｉ
５ ア （サ） ∃ｚ（高尾山ｚ＆～最高峰ｚａ） コＥＩ
５９ （シ） ∃ｚ（高尾山ｚ＆～最高峰ｚａ） ９アサＥＥ
１３ ９ （ス） ∃ｚ（高尾山ｚ＆～最高峰ｚａ） ４５シＥＥ
１ ９ （セ） 日本の山ａ→∃ｚ（高尾山ｚ＆～最高峰ｚａ） ３スＣＰ
１ ９ （ソ）∀ｘ｛日本の山ｘ→∃ｚ（高尾山ｚ＆～最高峰ｚｘ）｝ セＵＩ
従って、
（04）により、
（05）
（ⅰ）日本の山は、富士山が最高峰である。然るに、
（ⅱ） 高尾山は、富士山ではない。従って、
（ⅲ）日本の山は、高尾山は最高峰ではない。
といふ「推論」は「妥当」である。
然るに、
（06）
「漢字の意味」からしても、 「最高峰」は、「唯一」である。
従って、
（01）～（06）により、
（07）
① 日本の山は、富士山が最高峰である。
② ∀ｘ｛日本の山ｘ→∃ｙ［富士山ｙ＆最高峰ｙｘ＆∀ｚ（最高峰ｚｘ→ｚ＝ｙ）］｝。
③ すべてのｘについて｛ｘが日本の山ならば、あるｙは［富士山であって、ｘの最高峰であって、すべてのｚについて（ｚがｘの最高峰であるならば、ｚとｙは「同一」である）］｝。
といふ「命題」に於いて、
①＝②＝③ であると、せざるを得ない。
従って、
（07）により、
（08）
① 日本の山は、富士山が最高峰である。
② タゴール記念会は、 私が理事長である。
といふ「日本語」を「解釈」する際に、
① ∀ｘ｛ 日本の山ｘ→∃ｙ［富士山ｙ＆最高峰ｙｘ＆∀ｚ（最高峰ｚｘ→ｚ＝ｙ）］｝。
② ∀ｘ｛タゴール記念会員ｘ→∃ｙ［私ｙ ＆理事長ｙｘ＆∀ｚ（理事長ｚｘ→ｚ＝ｙ）］｝。
といふ「論理式（数学語）」を「無視」すべきではない。
令和６年１月１６日、毛利太。
2024年1月15日月曜日
「同一性」の「述語論理」の「研究」（Ⅲ）。
（01）
１ （１）∀ｘ｛日本の山ｘ→∃ｙ［富士山ｙ＆最高峰ｙｘ＆∀ｚ（最高峰ｚｘ→ｚ＝ｙ）］｝ Ａ
１ （２） 日本の山ａ→∃ｙ［富士山ｙ＆最高峰ｙａ＆∀ｚ（最高峰ｚａ→ｚ＝ｙ）］ １ＵＥ
３ （３） 日本の山ａ Ａ
１３ （４） ∃ｙ［富士山ｙ＆最高峰ｙａ＆∀ｚ（最高峰ｚａ→ｚ＝ｙ）］ ２３ＭＰＰ
５ （５） 富士山ｂ＆最高峰ｂａ＆∀ｚ（最高峰ｚａ→ｚ＝ｂ） Ａ
５ （６） 富士山ｂ＆最高峰ｂａ ５＆Ｅ
５ （７） ∀ｚ（最高峰ｚａ→ｚ＝ｂ） ５＆Ｅ
５ （８） 最高峰ｃａ→ｃ＝ｂ ７ＵＥ
９ （９） ∃ｚ（高尾山ｚ＆～富士山ｚ） Ａ
ア （ア） 高尾山ｃ＆～富士山ｃ Ａ
ア （イ） 高尾山ｃ ア＆Ｅ
ア （ウ） ～富士山ｃ ア＆Ｅ
エ（エ） ｃ＝ｂ Ａ
アエ（オ） ～富士山ｂ ウエ＝Ｅ
５ （カ） 富士山ｂ ６＆Ｅ
５ アエ（キ） ～富士山ｂ＆富士山ｂ オカ＆Ｉ
５ ア （ク） ｃ≠ｂ エキＲＡＡ
５ ア （ケ） ～最高峰ｃａ ８クＭＴＴ
５ ア （コ） 高尾山ｃ＆～最高峰ｃａ イケ＆Ｉ
５ ア （サ） ∃ｚ（高尾山ｚ＆～最高峰ｚａ） コＥＩ
５９ （シ） ∃ｚ（高尾山ｚ＆～最高峰ｚａ） ９アサＥＥ
１３ ９ （ス） ∃ｚ（高尾山ｚ＆～最高峰ｚａ） ４５シＥＥ
１ ９ （セ） 日本の山ａ→∃ｚ（高尾山ｚ＆～最高峰ｚａ） ３スＣＰ
１ ９ （ソ）∀ｘ｛日本の山ｘ→∃ｚ（高尾山ｚ＆～最高峰ｚｘ）｝ セＵＩ
従って、
（01）により、
（02）
（ⅰ）∀ｘ｛日本の山ｘ→∃ｙ［富士山ｙ＆最高峰ｙｘ＆∀ｚ（最高峰ｚｘ→ｚ＝ｙ）］｝。然るに、
（ⅱ）∃ｚ（高尾山ｚ＆～富士山ｚ）。従って、
（ⅲ）∀ｘ｛日本の山ｘ→∃ｚ（高尾山ｚ＆～最高峰ｚｘ）｝。
といふ「推論」、すなはち、
（ⅰ）すべてのｘについて｛ｘが日本の山ならば、あるｙは［富士山であって、ｘの最高峰であって、すべてのｚについて（ｚがｘの最高峰であるならば、ｚとｙは「同一」である）］｝。
（ⅱ）あるｚは（高尾山であって、富士山ではない）。従って、
（ⅲ）すべてのｘについて｛ｘが日本の山ならば、あるｚは（高尾山であって、ｘの最高峰ではない）｝。
といふ「推論」は「妥当」である。
従って、
（02）により、
（03）
（ⅰ）日本の山は、富士山が最高峰である。然るに、
（ⅱ） 高尾山は、富士山ではない。従って、
（ⅲ）日本の山は、高尾山は最高峰ではない。
といふ「推論」は「妥当」である。
従って、
（01）（02）（03）により、
（04）
① 日本の山は、富士山が最高峰である。
② ∀ｘ｛日本の山ｘ→∃ｙ［富士山ｙ＆最高峰ｙｘ＆∀ｚ（最高峰ｚｘ→ｚ＝ｙ）］｝。
に於いて、
①＝② であるからこそ、
（ⅰ）日本の山は、富士山が最高峰である。然るに、
（ⅱ） 高尾山は、富士山ではない。従って、
（ⅲ）日本の山は、高尾山は最高峰ではない。
といふ「推論」は「妥当」である。
従って、
（04）により、
（05）
① タゴール記念会は、私が理事長である。
② ∀ｘ｛タゴール記念会員ｘ→∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙｘ＆∀ｚ（理事長ｚｘ→ｚ＝ｙ）］｝。
に於いて、
①＝② であるからこそ、
（ⅰ）タゴール記念会は、私が理事長である。然るに、
（ⅱ）渡辺は、私ではない。従って、
（ⅲ）タゴール記念会は、渡辺は理事長ではない。
といふ「推論」は「妥当」である。
従って、
（05）により、
（06）
① タゴール記念会は、私が理事長である。
② タゴール記念会は、私以外は理事長ではない。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（07）
② 私以外は理事長ではない。
といふのであれば、「必然的」に、
③ 理事長は私である。
従って、
（06）（07）により、
（08）
① タゴール記念会は、私が理事長である。
② タゴール記念会は、私以外は理事長ではない。
③ タゴール記念会は、理事長は私です。
に於いて、
①＝②＝③ である。
然るに、
（09）
よく知られているように、「私が理事長です」は語順を変え、
理事長は、私です。 と直して初めて主辞賓辞が適用されるのである。また、かりに大倉氏が、
タゴール記念会は、私が理事長です。
と言ったとすれば、これは主辞「タゴール記念会」を品評するという心持ちの文である。
（三上章、日本語の論理、1963年、４０・４１頁）
従って、
（04）～（09）により、
（10）
① タゴール記念会は、私が理事長。
② ∀ｘ｛タゴール記念会員ｘ→∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙｘ＆∀ｚ（理事長ｚｘ→ｚ＝ｙ）］｝。
③ タゴール記念会は、理事長は私です。
に於いて、
①＝② であるからこそ、
①＝③ である。
従って、
（10）により、
（11）
換言すると、
① タゴール記念会は、私が理事長。
② タゴール記念会は、理事長は私です。
③ ∀ｘ｛タゴール記念会員ｘ→∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙｘ＆∀ｚ（理事長ｚｘ→ｚ＝ｙ）］｝。
に於いて、
①＝② であるからこそ、
①＝③ である。
令和６年１月１５日、毛利太。
１ （１）∀ｘ｛日本の山ｘ→∃ｙ［富士山ｙ＆最高峰ｙｘ＆∀ｚ（最高峰ｚｘ→ｚ＝ｙ）］｝ Ａ
１ （２） 日本の山ａ→∃ｙ［富士山ｙ＆最高峰ｙａ＆∀ｚ（最高峰ｚａ→ｚ＝ｙ）］ １ＵＥ
３ （３） 日本の山ａ Ａ
１３ （４） ∃ｙ［富士山ｙ＆最高峰ｙａ＆∀ｚ（最高峰ｚａ→ｚ＝ｙ）］ ２３ＭＰＰ
５ （５） 富士山ｂ＆最高峰ｂａ＆∀ｚ（最高峰ｚａ→ｚ＝ｂ） Ａ
５ （６） 富士山ｂ＆最高峰ｂａ ５＆Ｅ
５ （７） ∀ｚ（最高峰ｚａ→ｚ＝ｂ） ５＆Ｅ
５ （８） 最高峰ｃａ→ｃ＝ｂ ７ＵＥ
９ （９） ∃ｚ（高尾山ｚ＆～富士山ｚ） Ａ
ア （ア） 高尾山ｃ＆～富士山ｃ Ａ
ア （イ） 高尾山ｃ ア＆Ｅ
ア （ウ） ～富士山ｃ ア＆Ｅ
エ（エ） ｃ＝ｂ Ａ
アエ（オ） ～富士山ｂ ウエ＝Ｅ
５ （カ） 富士山ｂ ６＆Ｅ
５ アエ（キ） ～富士山ｂ＆富士山ｂ オカ＆Ｉ
５ ア （ク） ｃ≠ｂ エキＲＡＡ
５ ア （ケ） ～最高峰ｃａ ８クＭＴＴ
５ ア （コ） 高尾山ｃ＆～最高峰ｃａ イケ＆Ｉ
５ ア （サ） ∃ｚ（高尾山ｚ＆～最高峰ｚａ） コＥＩ
５９ （シ） ∃ｚ（高尾山ｚ＆～最高峰ｚａ） ９アサＥＥ
１３ ９ （ス） ∃ｚ（高尾山ｚ＆～最高峰ｚａ） ４５シＥＥ
１ ９ （セ） 日本の山ａ→∃ｚ（高尾山ｚ＆～最高峰ｚａ） ３スＣＰ
１ ９ （ソ）∀ｘ｛日本の山ｘ→∃ｚ（高尾山ｚ＆～最高峰ｚｘ）｝ セＵＩ
従って、
（01）により、
（02）
（ⅰ）∀ｘ｛日本の山ｘ→∃ｙ［富士山ｙ＆最高峰ｙｘ＆∀ｚ（最高峰ｚｘ→ｚ＝ｙ）］｝。然るに、
（ⅱ）∃ｚ（高尾山ｚ＆～富士山ｚ）。従って、
（ⅲ）∀ｘ｛日本の山ｘ→∃ｚ（高尾山ｚ＆～最高峰ｚｘ）｝。
といふ「推論」、すなはち、
（ⅰ）すべてのｘについて｛ｘが日本の山ならば、あるｙは［富士山であって、ｘの最高峰であって、すべてのｚについて（ｚがｘの最高峰であるならば、ｚとｙは「同一」である）］｝。
（ⅱ）あるｚは（高尾山であって、富士山ではない）。従って、
（ⅲ）すべてのｘについて｛ｘが日本の山ならば、あるｚは（高尾山であって、ｘの最高峰ではない）｝。
といふ「推論」は「妥当」である。
従って、
（02）により、
（03）
（ⅰ）日本の山は、富士山が最高峰である。然るに、
（ⅱ） 高尾山は、富士山ではない。従って、
（ⅲ）日本の山は、高尾山は最高峰ではない。
といふ「推論」は「妥当」である。
従って、
（01）（02）（03）により、
（04）
① 日本の山は、富士山が最高峰である。
② ∀ｘ｛日本の山ｘ→∃ｙ［富士山ｙ＆最高峰ｙｘ＆∀ｚ（最高峰ｚｘ→ｚ＝ｙ）］｝。
に於いて、
①＝② であるからこそ、
（ⅰ）日本の山は、富士山が最高峰である。然るに、
（ⅱ） 高尾山は、富士山ではない。従って、
（ⅲ）日本の山は、高尾山は最高峰ではない。
といふ「推論」は「妥当」である。
従って、
（04）により、
（05）
① タゴール記念会は、私が理事長である。
② ∀ｘ｛タゴール記念会員ｘ→∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙｘ＆∀ｚ（理事長ｚｘ→ｚ＝ｙ）］｝。
に於いて、
①＝② であるからこそ、
（ⅰ）タゴール記念会は、私が理事長である。然るに、
（ⅱ）渡辺は、私ではない。従って、
（ⅲ）タゴール記念会は、渡辺は理事長ではない。
といふ「推論」は「妥当」である。
従って、
（05）により、
（06）
① タゴール記念会は、私が理事長である。
② タゴール記念会は、私以外は理事長ではない。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（07）
② 私以外は理事長ではない。
といふのであれば、「必然的」に、
③ 理事長は私である。
従って、
（06）（07）により、
（08）
① タゴール記念会は、私が理事長である。
② タゴール記念会は、私以外は理事長ではない。
③ タゴール記念会は、理事長は私です。
に於いて、
①＝②＝③ である。
然るに、
（09）
よく知られているように、「私が理事長です」は語順を変え、
理事長は、私です。 と直して初めて主辞賓辞が適用されるのである。また、かりに大倉氏が、
タゴール記念会は、私が理事長です。
と言ったとすれば、これは主辞「タゴール記念会」を品評するという心持ちの文である。
（三上章、日本語の論理、1963年、４０・４１頁）
従って、
（04）～（09）により、
（10）
① タゴール記念会は、私が理事長。
② ∀ｘ｛タゴール記念会員ｘ→∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙｘ＆∀ｚ（理事長ｚｘ→ｚ＝ｙ）］｝。
③ タゴール記念会は、理事長は私です。
に於いて、
①＝② であるからこそ、
①＝③ である。
従って、
（10）により、
（11）
換言すると、
① タゴール記念会は、私が理事長。
② タゴール記念会は、理事長は私です。
③ ∀ｘ｛タゴール記念会員ｘ→∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙｘ＆∀ｚ（理事長ｚｘ→ｚ＝ｙ）］｝。
に於いて、
①＝② であるからこそ、
①＝③ である。
令和６年１月１５日、毛利太。
2024年1月14日日曜日
「同一性」の「述語論理」の「研究」（Ⅱ）。
―「先程の記事（令和６年１月１４日）」の記事を書き直します。―
（01）
｛個体変数の変域｝＝｛ａ、ｂ、ｃ｝
であるとするならば、
① ∃ｘ（Ｆｘ）
② Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（02）
｛個体変数の変域｝＝｛ａ、ｂ、ｃ｝
であるとするならば、
③ ∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）
④（Ｆａ＆Ｆａ）∨（Ｆａ＆Ｆｂ）∨（Ｆａ＆Ｆｃ）∨（Ｆｂ＆Ｆａ）∨（Ｆｂ＆Ｆｂ）∨（Ｆｂ＆Ｆｃ）∨（Ｆｃ＆Ｆａ）∨（Ｆｃ＆Ｆｂ）∨（Ｆｃ＆Ｆｃ）
に於いて、
③＝④ である。
然るに、
（03）
①（Ｆａ＆Ｆａ）
②（Ｆｂ＆Ｆｂ）
③（Ｆｂ＆Ｆｃ）
④（Ｆａ＆Ｆａ）∨（Ｆａ＆Ｆｂ）∨（Ｆａ＆Ｆｃ）∨（Ｆｂ＆Ｆａ）∨（Ｆｂ＆Ｆｂ）∨（Ｆｂ＆Ｆｃ）∨（Ｆｃ＆Ｆａ）∨（Ｆｃ＆Ｆｂ）∨（Ｆｃ＆Ｆｃ）
に於いて、
① が「真」であれば、④ も「真」であり、
② が「真」であれば、④ も「真」であり、
③ が「真」であれば、④ も「真」である。
然るに、
（04）
「冪等律」により、
①（Ｆａ＆Ｆａ）
②（Ｆｂ＆Ｆｂ）
③（Ｆｂ＆Ｆｃ）
は、それぞれ、
①（Ｆａ）
②（Ｆｂ）
③（Ｆｃ）
に「等しい」。
従って、
（03）（04）により、
（05）
①（Ｆａ）
②（Ｆｂ）
③（Ｆｃ）
といふ「３つ内の、１つが真」であれば、それだけで、
④（Ｆａ＆Ｆａ）∨（Ｆａ＆Ｆｂ）∨（Ｆａ＆Ｆｃ）∨（Ｆｂ＆Ｆａ）∨（Ｆｂ＆Ｆｂ）∨（Ｆｂ＆Ｆｃ）∨（Ｆｃ＆Ｆａ）∨（Ｆｃ＆Ｆｂ）∨（Ｆｃ＆Ｆｃ）
も「真」になるし、次の『説明』、
１４２ ∃ｘ（Ｆｘ）├ ∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）
１ （１） ∃ｘ（Ｆｘ） Ａ
２（２） Ｆａ Ａ
２（３） Ｆａ＆Ｆａ ２２＆Ｉ
２（４） ∃ｙ（Ｆａ＆Ｆｙ） ３ＥＩ
２（５）∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ） ４ＥＩ
１ （６）∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ） １２５ＥＥ
この連式の妥当性から、ひとつだけの対象がＦがもっているならば、 ∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）が帰結する。言い換えると、相異なった変数、「ｘ」と「ｙ」を用いる場合に、そのことから、それに対応する相異なる対象が存在するということは帰結しないのである（E.J.レモン著 論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年、２１０頁）。
といふ『説明』は、「そのこと」を述べてゐる。
然るに、
（06）
④ ∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）
ではなく、
⑤ ∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ≠ｙ）
であるとするならば、すなはち、
④（Ｆａ＆Ｆａ）∨（Ｆａ＆Ｆｂ）∨（Ｆａ＆Ｆｃ）∨（Ｆｂ＆Ｆａ）∨（Ｆｂ＆Ｆｂ）∨（Ｆｂ＆Ｆｃ）∨（Ｆｃ＆Ｆａ）∨（Ｆｃ＆Ｆｂ）∨（Ｆｃ＆Ｆｃ）
ではなく、
⑤（Ｆａ＆Ｆｂ）∨（Ｆａ＆Ｆｃ）∨（Ｆｂ＆Ｆｃ）
であるとするならば、
①（Ｆａ＆Ｆｂ）
②（Ｆａ＆Ｆｃ）
③（Ｆｂ＆Ｆｃ）
といふ「３つの内の、少なくとも１つは、真」である。
然るに、
（07）
｛個体変数の変域｝＝｛ａ、ｂ、ｃ｝
であるとして、例へば、
①（Ｆａ＆Ｆｂ）
であるならば、
①（ａはＦであり、ａではない、ｂもＦである）。
といふことになる。
従って、
（06）（07）により、
（08）
⑤ ∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ≠ｙ）
とするならば、すなはち、
⑤（Ｆａ＆Ｆｂ）∨（Ｆａ＆Ｆｃ）∨（Ｆｂ＆Ｆｃ）
とするならば、例へば、
①（ａはＦであり、ａではない、ｂもＦである）。
といふことになる。
従って、
（01）（06）（07）（08）により、
（09）
⑤ ∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ≠ｙ）
とするならば、
｛個体変数の変域｝＝｛ａ、ｂ、ｃ｝
の中の、「２個以上の個体が、Ｆである」。
然るに、
（10）
「２個以上の個体が、Ｆである」の「否定」は、
「１個以下の個体が、Ｆである」の「肯定」である。
然るに、
（11）
⑤ ∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ≠ｙ）
⑥ ～∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ≠ｙ）
に於いて、
⑤ の「否定」は、
⑥ である。
従って、
（09）（10）（11）により、
（12）
⑤ ∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ≠ｙ）
ではなく、
⑥ ～∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ≠ｙ）
であるならば、
⑥「１個以下の個体が、Ｆである」。
然るに、
（13）
（ⅵ）
１（１） ～∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ≠ｙ） Ａ
１（２） ∀ｘ～∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ≠ｙ） １量化子の関係
１（３） ∀ｘ∀ｙ～（Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ≠ｙ） ２量化子の関係
１（４） ∀ｙ～（Ｆａ＆Ｆｙ＆ａ≠ｙ） ３ＵＥ
１（５） ～（Ｆａ＆Ｆｂ＆ａ≠ｂ） ４ＵＥ
１（６） ～｛（Ｆａ＆Ｆｂ）＆ａ≠ｂ｝ ５結合法則
１（７） ～（Ｆａ＆Ｆｂ）∨ａ＝ｂ ６ド・モルガンの法則
１（８） （Ｆａ＆Ｆｂ）→ａ＝ｂ ７含意の定義
１（９） ∀ｙ｛（Ｆａ＆Ｆｙ）→ａ＝ｙ｝ ８ＵＩ
１（ア）∀ｘ∀ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）→ｘ＝ｙ｝ ９ＵＩ
（ⅶ）
１（１）∀ｘ∀ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）→ｘ＝ｙ｝ Ａ
１（２） ∀ｙ｛（Ｆａ＆Ｆｙ）→ａ＝ｙ｝ １ＵＥ
１（３） （Ｆａ＆Ｆｂ）→ａ＝ｂ ２ＵＥ
１（４） ～（Ｆａ＆Ｆｂ）∨ａ＝ｂ ３含意の定義
１（５） ～｛（Ｆａ＆Ｆｂ）＆ａ≠ｂ｝ ４ド・モルガンの法則
１（６） ～（Ｆａ＆Ｆｂ＆ａ≠ｂ） ５結合法則
１（７） ∀ｙ～（Ｆａ＆Ｆｙ＆ａ≠ｙ） ６ＵＩ
１（８） ∀ｘ∀ｙ～（Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ≠ｙ） ７ＵＩ
１（９） ∀ｘ～∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ≠ｙ） ８量化子の関係
１（ア） ～∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ≠ｙ） ９量化子の関係
従って、
（13）により、
（14）
⑥ ～∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ≠ｙ）
⑦ ∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）
に於いて、
⑥＝⑦ である。
従って、
（12）（13）（14）により、
（15）
⑥ ～∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ≠ｙ）
が「そうである」やうに、
⑦ ∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）
であるならば、
⑦「１個以下の個体が、Ｆである」。
然るに、
（16）
⑧ ∃ｘ（Ｆｘ）
であるならば、
⑧「１個以上の個体が、Ｆである」。
従って、
（15）（16）により、
（17）
⑧ ∃ｘ（Ｆｘ）＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）
であるならば、
⑧「１個以上で、１個以下の個体が、Ｆである」。
然るに、
（18）
⑧「１個以上で、１個以下の個体が、Ｆである」。
といふことは、
⑧「ちょうど１個（exactly one）の個体が、Ｆである」。
といふことに、「他ならない」。
然るに、
（19）
次に示す通り、
⑧ ∃ｘ（Ｆｘ）＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）
⑨ ∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝
に於いて、
⑧＝⑨ である。
（20）
（ⅷ）
１ （１）∃ｘＦｘ＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ） Ａ
１ （２）∃ｘＦｘ １＆Ｅ
３ （３） Ｆａ Ａ
１ （４） ∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ） １＆Ｅ
１ （５） ∀ｙ（Ｆａ＆Ｆｙ→ａ＝ｙ） ４ＵＥ
１ （６） Ｆａ＆Ｆｂ→ａ＝ｂ ５ＵＥ
７（７） Ｆｂ Ａ
３７（８） Ｆａ＆Ｆｂ ３７＆Ｉ
１３７（９） ａ＝ｂ ６８ＭＰＰ
１３ （ア） Ｆｂ→ａ＝ｂ ７９ＣＰ
１３ （イ） ∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ） アＵＩ
１３ （ウ） Ｆａ＆∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ） ３イ＆Ｉ
１３ （エ） ∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝ ウＥＩ
１ （オ） ∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝ ２３エＥＥ
（ⅸ）
１ （１）∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝ Ａ
２ （２） Ｆａ＆∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ） Ａ
２ （３） ∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ） ２＆Ｅ
２ （４） Ｆｂ→ａ＝ｂ ３ＵＥ
５（５） Ｆａ＆Ｆｂ Ａ
５（６） Ｆｂ ５＆Ｅ
２５（７） ａ＝ｂ ４６ＭＰＰ
２ （８） Ｆａ＆Ｆｂ→ａ＝ｂ ５７ＣＰ
２ （９） ∀ｙ（Ｆａ＆Ｆｙ→ａ＝ｙ） ８ＵＩ
２ （ア） ∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ） ９ＵＩ
２ （イ）Ｆａ ２＆Ｅ
２ （ウ）∃ｘＦｘ イＥＩ
２ （エ）∃ｘＦｘ＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ） アウ＆Ｉ
１ （ウ）∃ｘＦｘ＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ） １２エＥＥ
従って、
（18）（19）（20）により、
（21）
⑨ ∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝
といふ「論理式」は、
⑨「ちょうど１個（exactly one）の個体が、Ｆである」。
といふことを、「示して」ゐる。
従って、
（21）により、
（22）
例へば、
⑨ 日本の山は富士山が最高峰である。
といふ「命題」は、
⑨ ∀ｘ｛日本の山ｘ→∃ｙ［（富士山ｙ＆最高峰ｙｘ）＆∀ｚ（最高峰ｚｘ→ｚ＝ｙ）］｝。
といふ「命題」、すなはち、
⑨ すべてのｘについて｛ｘが日本の山であるならば、あるｙは［（富士山であって、ｘの最高峰であって）、すべてのｚについて（ｚがｘの最高峰であるならば、ｚはｙと「同一」である）］｝。
といふ「命題」に「等しい」。
令和６年１月１４日、毛利太。
（01）
｛個体変数の変域｝＝｛ａ、ｂ、ｃ｝
であるとするならば、
① ∃ｘ（Ｆｘ）
② Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（02）
｛個体変数の変域｝＝｛ａ、ｂ、ｃ｝
であるとするならば、
③ ∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）
④（Ｆａ＆Ｆａ）∨（Ｆａ＆Ｆｂ）∨（Ｆａ＆Ｆｃ）∨（Ｆｂ＆Ｆａ）∨（Ｆｂ＆Ｆｂ）∨（Ｆｂ＆Ｆｃ）∨（Ｆｃ＆Ｆａ）∨（Ｆｃ＆Ｆｂ）∨（Ｆｃ＆Ｆｃ）
に於いて、
③＝④ である。
然るに、
（03）
①（Ｆａ＆Ｆａ）
②（Ｆｂ＆Ｆｂ）
③（Ｆｂ＆Ｆｃ）
④（Ｆａ＆Ｆａ）∨（Ｆａ＆Ｆｂ）∨（Ｆａ＆Ｆｃ）∨（Ｆｂ＆Ｆａ）∨（Ｆｂ＆Ｆｂ）∨（Ｆｂ＆Ｆｃ）∨（Ｆｃ＆Ｆａ）∨（Ｆｃ＆Ｆｂ）∨（Ｆｃ＆Ｆｃ）
に於いて、
① が「真」であれば、④ も「真」であり、
② が「真」であれば、④ も「真」であり、
③ が「真」であれば、④ も「真」である。
然るに、
（04）
「冪等律」により、
①（Ｆａ＆Ｆａ）
②（Ｆｂ＆Ｆｂ）
③（Ｆｂ＆Ｆｃ）
は、それぞれ、
①（Ｆａ）
②（Ｆｂ）
③（Ｆｃ）
に「等しい」。
従って、
（03）（04）により、
（05）
①（Ｆａ）
②（Ｆｂ）
③（Ｆｃ）
といふ「３つ内の、１つが真」であれば、それだけで、
④（Ｆａ＆Ｆａ）∨（Ｆａ＆Ｆｂ）∨（Ｆａ＆Ｆｃ）∨（Ｆｂ＆Ｆａ）∨（Ｆｂ＆Ｆｂ）∨（Ｆｂ＆Ｆｃ）∨（Ｆｃ＆Ｆａ）∨（Ｆｃ＆Ｆｂ）∨（Ｆｃ＆Ｆｃ）
も「真」になるし、次の『説明』、
１４２ ∃ｘ（Ｆｘ）├ ∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）
１ （１） ∃ｘ（Ｆｘ） Ａ
２（２） Ｆａ Ａ
２（３） Ｆａ＆Ｆａ ２２＆Ｉ
２（４） ∃ｙ（Ｆａ＆Ｆｙ） ３ＥＩ
２（５）∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ） ４ＥＩ
１ （６）∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ） １２５ＥＥ
この連式の妥当性から、ひとつだけの対象がＦがもっているならば、 ∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）が帰結する。言い換えると、相異なった変数、「ｘ」と「ｙ」を用いる場合に、そのことから、それに対応する相異なる対象が存在するということは帰結しないのである（E.J.レモン著 論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年、２１０頁）。
といふ『説明』は、「そのこと」を述べてゐる。
然るに、
（06）
④ ∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）
ではなく、
⑤ ∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ≠ｙ）
であるとするならば、すなはち、
④（Ｆａ＆Ｆａ）∨（Ｆａ＆Ｆｂ）∨（Ｆａ＆Ｆｃ）∨（Ｆｂ＆Ｆａ）∨（Ｆｂ＆Ｆｂ）∨（Ｆｂ＆Ｆｃ）∨（Ｆｃ＆Ｆａ）∨（Ｆｃ＆Ｆｂ）∨（Ｆｃ＆Ｆｃ）
ではなく、
⑤（Ｆａ＆Ｆｂ）∨（Ｆａ＆Ｆｃ）∨（Ｆｂ＆Ｆｃ）
であるとするならば、
①（Ｆａ＆Ｆｂ）
②（Ｆａ＆Ｆｃ）
③（Ｆｂ＆Ｆｃ）
といふ「３つの内の、少なくとも１つは、真」である。
然るに、
（07）
｛個体変数の変域｝＝｛ａ、ｂ、ｃ｝
であるとして、例へば、
①（Ｆａ＆Ｆｂ）
であるならば、
①（ａはＦであり、ａではない、ｂもＦである）。
といふことになる。
従って、
（06）（07）により、
（08）
⑤ ∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ≠ｙ）
とするならば、すなはち、
⑤（Ｆａ＆Ｆｂ）∨（Ｆａ＆Ｆｃ）∨（Ｆｂ＆Ｆｃ）
とするならば、例へば、
①（ａはＦであり、ａではない、ｂもＦである）。
といふことになる。
従って、
（01）（06）（07）（08）により、
（09）
⑤ ∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ≠ｙ）
とするならば、
｛個体変数の変域｝＝｛ａ、ｂ、ｃ｝
の中の、「２個以上の個体が、Ｆである」。
然るに、
（10）
「２個以上の個体が、Ｆである」の「否定」は、
「１個以下の個体が、Ｆである」の「肯定」である。
然るに、
（11）
⑤ ∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ≠ｙ）
⑥ ～∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ≠ｙ）
に於いて、
⑤ の「否定」は、
⑥ である。
従って、
（09）（10）（11）により、
（12）
⑤ ∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ≠ｙ）
ではなく、
⑥ ～∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ≠ｙ）
であるならば、
⑥「１個以下の個体が、Ｆである」。
然るに、
（13）
（ⅵ）
１（１） ～∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ≠ｙ） Ａ
１（２） ∀ｘ～∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ≠ｙ） １量化子の関係
１（３） ∀ｘ∀ｙ～（Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ≠ｙ） ２量化子の関係
１（４） ∀ｙ～（Ｆａ＆Ｆｙ＆ａ≠ｙ） ３ＵＥ
１（５） ～（Ｆａ＆Ｆｂ＆ａ≠ｂ） ４ＵＥ
１（６） ～｛（Ｆａ＆Ｆｂ）＆ａ≠ｂ｝ ５結合法則
１（７） ～（Ｆａ＆Ｆｂ）∨ａ＝ｂ ６ド・モルガンの法則
１（８） （Ｆａ＆Ｆｂ）→ａ＝ｂ ７含意の定義
１（９） ∀ｙ｛（Ｆａ＆Ｆｙ）→ａ＝ｙ｝ ８ＵＩ
１（ア）∀ｘ∀ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）→ｘ＝ｙ｝ ９ＵＩ
（ⅶ）
１（１）∀ｘ∀ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）→ｘ＝ｙ｝ Ａ
１（２） ∀ｙ｛（Ｆａ＆Ｆｙ）→ａ＝ｙ｝ １ＵＥ
１（３） （Ｆａ＆Ｆｂ）→ａ＝ｂ ２ＵＥ
１（４） ～（Ｆａ＆Ｆｂ）∨ａ＝ｂ ３含意の定義
１（５） ～｛（Ｆａ＆Ｆｂ）＆ａ≠ｂ｝ ４ド・モルガンの法則
１（６） ～（Ｆａ＆Ｆｂ＆ａ≠ｂ） ５結合法則
１（７） ∀ｙ～（Ｆａ＆Ｆｙ＆ａ≠ｙ） ６ＵＩ
１（８） ∀ｘ∀ｙ～（Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ≠ｙ） ７ＵＩ
１（９） ∀ｘ～∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ≠ｙ） ８量化子の関係
１（ア） ～∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ≠ｙ） ９量化子の関係
従って、
（13）により、
（14）
⑥ ～∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ≠ｙ）
⑦ ∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）
に於いて、
⑥＝⑦ である。
従って、
（12）（13）（14）により、
（15）
⑥ ～∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ≠ｙ）
が「そうである」やうに、
⑦ ∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）
であるならば、
⑦「１個以下の個体が、Ｆである」。
然るに、
（16）
⑧ ∃ｘ（Ｆｘ）
であるならば、
⑧「１個以上の個体が、Ｆである」。
従って、
（15）（16）により、
（17）
⑧ ∃ｘ（Ｆｘ）＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）
であるならば、
⑧「１個以上で、１個以下の個体が、Ｆである」。
然るに、
（18）
⑧「１個以上で、１個以下の個体が、Ｆである」。
といふことは、
⑧「ちょうど１個（exactly one）の個体が、Ｆである」。
といふことに、「他ならない」。
然るに、
（19）
次に示す通り、
⑧ ∃ｘ（Ｆｘ）＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）
⑨ ∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝
に於いて、
⑧＝⑨ である。
（20）
（ⅷ）
１ （１）∃ｘＦｘ＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ） Ａ
１ （２）∃ｘＦｘ １＆Ｅ
３ （３） Ｆａ Ａ
１ （４） ∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ） １＆Ｅ
１ （５） ∀ｙ（Ｆａ＆Ｆｙ→ａ＝ｙ） ４ＵＥ
１ （６） Ｆａ＆Ｆｂ→ａ＝ｂ ５ＵＥ
７（７） Ｆｂ Ａ
３７（８） Ｆａ＆Ｆｂ ３７＆Ｉ
１３７（９） ａ＝ｂ ６８ＭＰＰ
１３ （ア） Ｆｂ→ａ＝ｂ ７９ＣＰ
１３ （イ） ∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ） アＵＩ
１３ （ウ） Ｆａ＆∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ） ３イ＆Ｉ
１３ （エ） ∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝ ウＥＩ
１ （オ） ∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝ ２３エＥＥ
（ⅸ）
１ （１）∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝ Ａ
２ （２） Ｆａ＆∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ） Ａ
２ （３） ∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ） ２＆Ｅ
２ （４） Ｆｂ→ａ＝ｂ ３ＵＥ
５（５） Ｆａ＆Ｆｂ Ａ
５（６） Ｆｂ ５＆Ｅ
２５（７） ａ＝ｂ ４６ＭＰＰ
２ （８） Ｆａ＆Ｆｂ→ａ＝ｂ ５７ＣＰ
２ （９） ∀ｙ（Ｆａ＆Ｆｙ→ａ＝ｙ） ８ＵＩ
２ （ア） ∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ） ９ＵＩ
２ （イ）Ｆａ ２＆Ｅ
２ （ウ）∃ｘＦｘ イＥＩ
２ （エ）∃ｘＦｘ＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ） アウ＆Ｉ
１ （ウ）∃ｘＦｘ＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ） １２エＥＥ
従って、
（18）（19）（20）により、
（21）
⑨ ∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝
といふ「論理式」は、
⑨「ちょうど１個（exactly one）の個体が、Ｆである」。
といふことを、「示して」ゐる。
従って、
（21）により、
（22）
例へば、
⑨ 日本の山は富士山が最高峰である。
といふ「命題」は、
⑨ ∀ｘ｛日本の山ｘ→∃ｙ［（富士山ｙ＆最高峰ｙｘ）＆∀ｚ（最高峰ｚｘ→ｚ＝ｙ）］｝。
といふ「命題」、すなはち、
⑨ すべてのｘについて｛ｘが日本の山であるならば、あるｙは［（富士山であって、ｘの最高峰であって）、すべてのｚについて（ｚがｘの最高峰であるならば、ｚはｙと「同一」である）］｝。
といふ「命題」に「等しい」。
令和６年１月１４日、毛利太。
2024年1月13日土曜日
「鼻は象が長い」の「述語論理」の「解説」。
（01）
①｛象の鼻、兎の鼻、馬の鼻｝
②｛象の耳、兎の耳、馬の耳｝
③｛象の耳、兎の耳、馬の耳｝
であるならば、
① 鼻に関しては、象の鼻は長く、象以外（兎と馬）の鼻は長くはない。
② 耳に関しては、兎の耳は長く、兎以外（象と馬）の耳は長くはない。
③ 顏に関しては、馬の顔は長く、馬以外（象と兎）の顔は長くはない。
といふ「命題」は「真」である。
然るに、
（02）
① 鼻に関しては、象の鼻は長く、象以外（兎と馬）の鼻は長くはない。
② 耳に関しては、兎の耳は長く、兎以外（象と馬）の耳は長くはない。
③ 顏に関しては、馬の顔は長く、馬以外（象と兎）の顔は長くはない。
といふことは、要するに、
① 鼻は象が長い。
② 耳は兎が長い。
③ 顔は馬が長い。
といふ、ことである。
従って、
（01）（02）により、
（03）
「番号」を付け替へるとして、
① 鼻は象が長い。
② 鼻に関しては、象の鼻は長く、象以外（兎と馬）の鼻は長くはない。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（04）
１ （１）∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ＆（～象ｙ＆鼻ｘｙ）→～長ｘ｝ Ａ
１ （２） ∃ｙ｛（鼻ａｙ＆象ｙ）→長ａ＆（～象ｙ＆鼻ａｙ）→～長ａ｝ １ＵＥ
３ （３） （鼻ａｂ＆象ｂ）→長ａ＆（～象ｂ＆鼻ａｂ）→～長ａ Ａ
３ （４） （～象ｂ＆鼻ａｂ）→～長ａ ３＆Ｅ
５ （５） ∀ｙ｛（兎ｙ→～象ｙ）＆∃ｘ（鼻ｘｙ）｝ Ａ
５ （６） （兎ｂ→～象ｂ）＆∃ｘ（鼻ｘｂ） ５ＵＥ
５ （７） 兎ｂ→～象ｂ ６＆Ｅ
８ （８） 兎ｂ Ａ
５８ （９） ～象ｂ ７８ＭＰＰ
５ （ア） ∃ｘ（鼻ｘｂ） ６＆Ｅ
イ （イ） 鼻ａｂ Ａ
５８イ （ウ） ～象ｂ＆鼻ａｂ ９イ＆Ｉ
３５８イ （エ） ～長ａ ４ウＭＰＰ
３５８イ （オ） 鼻ａｂ＆～長ａ イエ＆Ｉ
３５８イ （カ） ∃ｘ（鼻ｘｂ＆～長ｘ） オＥＩ
３５８ （キ） ∃ｘ（鼻ｘｂ＆～長ｘ） アイカＥＥ
３５ （ク） 兎ｂ→∃ｘ（鼻ｘｂ＆～長ｘ） ８キＣＰ
１ ５ （ケ） 兎ｂ→∃ｘ（鼻ｘｂ＆～長ｘ） ２３クＥＥ
コ （コ） ∃ｙ｛兎ｙ＆∀ｘ（鼻ｘｙ→ 長ｘ）｝ Ａ
サ （サ） 兎ｂ＆∀ｘ（鼻ｘｂ→ 長ｘ） Ａ
サ （シ） 兎ｂ シ＆Ｅ
１ ５ サ （ス） ∃ｘ（鼻ｘｂ＆～長ｘ） ケシＭＰＰ
サ （セ） ∀ｘ（鼻ｘｂ→ 長ｘ） サ＆Ｅ
ソ（ソ） 鼻ａｂ＆～長ａ Ａ
サ （タ） 鼻ａｂ→ 長ａ セＵＥ
ソ（チ） 鼻ａｂ ソ＆Ｅ
サソ（ツ） 長ａ タチＭＰＰ
ソ（テ） ～長ａ ソ＆Ｅ
サソ（ト） 長ａ＆～長ａ ツテ＆Ｉ
１ ５ サ （ナ） 長ａ＆～長ａ サソトＥＥ
１ ５ コ （ニ） 長ａ＆～長ａ コサナＥＥ
１ ５ （ヌ） ～∃ｙ｛兎ｙ＆∀ｘ（鼻ｘｙ→ 長ｘ）｝ コニＲＡＡ
従って、
（04）により、
（05）
（ⅰ）∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ＆（～象ｙ＆鼻ｘｙ）→～長ｘ｝。然るに、
（ⅱ） ∀ｙ｛（兎ｙ→～象ｙ）＆∃ｘ（鼻ｘｙ）｝。従って、
（ⅲ） ～∃ｙ｛ 兎ｙ＆∀ｘ（鼻ｘｙ→ 長ｘ）｝。
といふ『推論』、すなはち、
（ⅰ）すべてのｘとあるｙについて｛（ｘがｙの鼻であって、ｙが象である）ならば、ｘは長く、（ｙが象でなくて、ｘがｙの鼻である）ならば、ｘは長くない｝。然るに、
（ⅱ） すべてのｙについて｛（ｙが兎であるならば、ｙは象ではなく）、あるｘは（ｙの鼻である）｝。従って、
（ⅲ） すべてのｙについて｛ ｙが兎であるならば、あるｘは（ｙの鼻であって、長くない）｝。
（ⅲ） あるｙは｛ 兎であって、（ｘがｙの鼻ならば、ｘは長い）｝といふそのやうなｙは存在しない。
といふ『推論』、すなはち、
（ⅰ）鼻は象が長く、象以外の鼻は長くない。然るに、
（ⅱ）兎は象ではないが、兎には鼻がある。 従って、
（ⅲ）鼻の長い兎はゐない。
といふ『推論』は「妥当」である。
然るに、
（01）（05）により、
（06）
① 鼻に関しては、象の鼻は長く、象以外（兎と馬）の鼻は長くはない。
② 耳に関しては、兎の耳は長く、兎以外（象と馬）の耳は長くはない。
③ 顏に関しては、馬の顔は長く、馬以外（象と兎）の顔は長くはない。
といふ「命題」は「真」である。
といふことからすれば、
（ⅰ）鼻は象が長く、象以外の鼻は長くない。
（ⅱ）兎は象ではないが、兎には鼻がある。
（ⅲ）鼻の長い兎はゐない。
といふ「命題」は「真」である。
従って、
（01）～（06）により、
（07）
「番号」を付け替へるとして、
① 鼻は象が長い。
② 鼻に関しては、象の鼻は長く、象以外の鼻は長くはない。
③ ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ＆（～象ｙ＆鼻ｘｙ）→～長ｘ｝。
④ すべてのｘとあるｙについて｛（ｘがｙの鼻であって、ｙが象である）ならば、ｘは長く、（ｙが象でなくて、ｘがｙの鼻である）ならば、ｘは長くない｝。
に於いて、
①＝②＝③＝④ である。
然るに、
（08）
（ⅰ）論理式または命題関数において、量記号が現れる任意の箇所の作用範囲（スコープ）は、問題になっている変数が現れる少なくとも２つの箇所を含むであろう（その１つの箇所は量記号そのもののなかにある）；
（論理学初歩、E.J.レモン、竹尾 治一郎・浅野 楢英 訳、1973年、１８３頁改）
然るに、
（07）（08）により、
（09）
③ ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ＆（～象ｙ＆鼻ｘｙ）→～長ｘ｝。
に於いて、
③ ∀ｘと、 鼻ｘ の「作用範囲（スコープ」は、
③ ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ＆（～象ｙ＆鼻ｘｙ）→～長ｘ｝。
であるものの、このことは、
① 鼻は（象が長い）。
に於ける、
① 鼻は の「作用範囲（スコープ」が、
① （象が長い）
であるといふことを、「示してゐる」。
然るに、
（10）
これに対して三上は、日本語には主語はない、とする。「象は」は、テーマを提示する主題であり、これから象についてのことを述べますよというメンタルスペースのセットアップであり、そのメンタルスペースのスコープを形成する働きをもつと主張する（この場合は「長い」までをスコープとする）〔三上文法！ : wrong, rogue and log〕。
従って、
（09）（10）により、
（11）
「象は」は、テーマを提示する主題であり、これから象についてのことを述べますよというメンタルスペースのセットアップであり、そのメンタルスペースのスコープを形成する働きをもつと主張する。
といふ「説明」は、「必ずしも、マチガイ」ではない。
然るに、
（12）
三上章は、おそらく、
① 鼻は象が長い。
② 鼻に関しては、象の鼻は長く、象以外の鼻は長くはない。
③ ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ＆（～象ｙ＆鼻ｘｙ）→～長ｘ｝。
④ すべてのｘとあるｙについて｛（ｘがｙの鼻であって、ｙが象である）ならば、ｘは長く、（ｙが象でなくて、ｘがｙの鼻である）ならば、ｘは長くない｝。
に於いて、
①＝②＝③＝④ である。
といふことに、「気付いてゐない」し、「主語であること」と、「主題であることは」は、「必ずしも、矛盾」しない。
（13）
「象であること」と「動物であること」は、もちろん、「矛盾」しないものの、私には、「三上章の説明」は、
「象ではなくて、動物である（動物であるから、象ではない）」。
といふ「論法」と「ほとんど同じ」であるように、思へて、ならない。
令和６年１月１３日、毛利太。
①｛象の鼻、兎の鼻、馬の鼻｝
②｛象の耳、兎の耳、馬の耳｝
③｛象の耳、兎の耳、馬の耳｝
であるならば、
① 鼻に関しては、象の鼻は長く、象以外（兎と馬）の鼻は長くはない。
② 耳に関しては、兎の耳は長く、兎以外（象と馬）の耳は長くはない。
③ 顏に関しては、馬の顔は長く、馬以外（象と兎）の顔は長くはない。
といふ「命題」は「真」である。
然るに、
（02）
① 鼻に関しては、象の鼻は長く、象以外（兎と馬）の鼻は長くはない。
② 耳に関しては、兎の耳は長く、兎以外（象と馬）の耳は長くはない。
③ 顏に関しては、馬の顔は長く、馬以外（象と兎）の顔は長くはない。
といふことは、要するに、
① 鼻は象が長い。
② 耳は兎が長い。
③ 顔は馬が長い。
といふ、ことである。
従って、
（01）（02）により、
（03）
「番号」を付け替へるとして、
① 鼻は象が長い。
② 鼻に関しては、象の鼻は長く、象以外（兎と馬）の鼻は長くはない。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（04）
１ （１）∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ＆（～象ｙ＆鼻ｘｙ）→～長ｘ｝ Ａ
１ （２） ∃ｙ｛（鼻ａｙ＆象ｙ）→長ａ＆（～象ｙ＆鼻ａｙ）→～長ａ｝ １ＵＥ
３ （３） （鼻ａｂ＆象ｂ）→長ａ＆（～象ｂ＆鼻ａｂ）→～長ａ Ａ
３ （４） （～象ｂ＆鼻ａｂ）→～長ａ ３＆Ｅ
５ （５） ∀ｙ｛（兎ｙ→～象ｙ）＆∃ｘ（鼻ｘｙ）｝ Ａ
５ （６） （兎ｂ→～象ｂ）＆∃ｘ（鼻ｘｂ） ５ＵＥ
５ （７） 兎ｂ→～象ｂ ６＆Ｅ
８ （８） 兎ｂ Ａ
５８ （９） ～象ｂ ７８ＭＰＰ
５ （ア） ∃ｘ（鼻ｘｂ） ６＆Ｅ
イ （イ） 鼻ａｂ Ａ
５８イ （ウ） ～象ｂ＆鼻ａｂ ９イ＆Ｉ
３５８イ （エ） ～長ａ ４ウＭＰＰ
３５８イ （オ） 鼻ａｂ＆～長ａ イエ＆Ｉ
３５８イ （カ） ∃ｘ（鼻ｘｂ＆～長ｘ） オＥＩ
３５８ （キ） ∃ｘ（鼻ｘｂ＆～長ｘ） アイカＥＥ
３５ （ク） 兎ｂ→∃ｘ（鼻ｘｂ＆～長ｘ） ８キＣＰ
１ ５ （ケ） 兎ｂ→∃ｘ（鼻ｘｂ＆～長ｘ） ２３クＥＥ
コ （コ） ∃ｙ｛兎ｙ＆∀ｘ（鼻ｘｙ→ 長ｘ）｝ Ａ
サ （サ） 兎ｂ＆∀ｘ（鼻ｘｂ→ 長ｘ） Ａ
サ （シ） 兎ｂ シ＆Ｅ
１ ５ サ （ス） ∃ｘ（鼻ｘｂ＆～長ｘ） ケシＭＰＰ
サ （セ） ∀ｘ（鼻ｘｂ→ 長ｘ） サ＆Ｅ
ソ（ソ） 鼻ａｂ＆～長ａ Ａ
サ （タ） 鼻ａｂ→ 長ａ セＵＥ
ソ（チ） 鼻ａｂ ソ＆Ｅ
サソ（ツ） 長ａ タチＭＰＰ
ソ（テ） ～長ａ ソ＆Ｅ
サソ（ト） 長ａ＆～長ａ ツテ＆Ｉ
１ ５ サ （ナ） 長ａ＆～長ａ サソトＥＥ
１ ５ コ （ニ） 長ａ＆～長ａ コサナＥＥ
１ ５ （ヌ） ～∃ｙ｛兎ｙ＆∀ｘ（鼻ｘｙ→ 長ｘ）｝ コニＲＡＡ
従って、
（04）により、
（05）
（ⅰ）∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ＆（～象ｙ＆鼻ｘｙ）→～長ｘ｝。然るに、
（ⅱ） ∀ｙ｛（兎ｙ→～象ｙ）＆∃ｘ（鼻ｘｙ）｝。従って、
（ⅲ） ～∃ｙ｛ 兎ｙ＆∀ｘ（鼻ｘｙ→ 長ｘ）｝。
といふ『推論』、すなはち、
（ⅰ）すべてのｘとあるｙについて｛（ｘがｙの鼻であって、ｙが象である）ならば、ｘは長く、（ｙが象でなくて、ｘがｙの鼻である）ならば、ｘは長くない｝。然るに、
（ⅱ） すべてのｙについて｛（ｙが兎であるならば、ｙは象ではなく）、あるｘは（ｙの鼻である）｝。従って、
（ⅲ） すべてのｙについて｛ ｙが兎であるならば、あるｘは（ｙの鼻であって、長くない）｝。
（ⅲ） あるｙは｛ 兎であって、（ｘがｙの鼻ならば、ｘは長い）｝といふそのやうなｙは存在しない。
といふ『推論』、すなはち、
（ⅰ）鼻は象が長く、象以外の鼻は長くない。然るに、
（ⅱ）兎は象ではないが、兎には鼻がある。 従って、
（ⅲ）鼻の長い兎はゐない。
といふ『推論』は「妥当」である。
然るに、
（01）（05）により、
（06）
① 鼻に関しては、象の鼻は長く、象以外（兎と馬）の鼻は長くはない。
② 耳に関しては、兎の耳は長く、兎以外（象と馬）の耳は長くはない。
③ 顏に関しては、馬の顔は長く、馬以外（象と兎）の顔は長くはない。
といふ「命題」は「真」である。
といふことからすれば、
（ⅰ）鼻は象が長く、象以外の鼻は長くない。
（ⅱ）兎は象ではないが、兎には鼻がある。
（ⅲ）鼻の長い兎はゐない。
といふ「命題」は「真」である。
従って、
（01）～（06）により、
（07）
「番号」を付け替へるとして、
① 鼻は象が長い。
② 鼻に関しては、象の鼻は長く、象以外の鼻は長くはない。
③ ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ＆（～象ｙ＆鼻ｘｙ）→～長ｘ｝。
④ すべてのｘとあるｙについて｛（ｘがｙの鼻であって、ｙが象である）ならば、ｘは長く、（ｙが象でなくて、ｘがｙの鼻である）ならば、ｘは長くない｝。
に於いて、
①＝②＝③＝④ である。
然るに、
（08）
（ⅰ）論理式または命題関数において、量記号が現れる任意の箇所の作用範囲（スコープ）は、問題になっている変数が現れる少なくとも２つの箇所を含むであろう（その１つの箇所は量記号そのもののなかにある）；
（論理学初歩、E.J.レモン、竹尾 治一郎・浅野 楢英 訳、1973年、１８３頁改）
然るに、
（07）（08）により、
（09）
③ ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ＆（～象ｙ＆鼻ｘｙ）→～長ｘ｝。
に於いて、
③ ∀ｘと、 鼻ｘ の「作用範囲（スコープ」は、
③ ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ＆（～象ｙ＆鼻ｘｙ）→～長ｘ｝。
であるものの、このことは、
① 鼻は（象が長い）。
に於ける、
① 鼻は の「作用範囲（スコープ」が、
① （象が長い）
であるといふことを、「示してゐる」。
然るに、
（10）
これに対して三上は、日本語には主語はない、とする。「象は」は、テーマを提示する主題であり、これから象についてのことを述べますよというメンタルスペースのセットアップであり、そのメンタルスペースのスコープを形成する働きをもつと主張する（この場合は「長い」までをスコープとする）〔三上文法！ : wrong, rogue and log〕。
従って、
（09）（10）により、
（11）
「象は」は、テーマを提示する主題であり、これから象についてのことを述べますよというメンタルスペースのセットアップであり、そのメンタルスペースのスコープを形成する働きをもつと主張する。
といふ「説明」は、「必ずしも、マチガイ」ではない。
然るに、
（12）
三上章は、おそらく、
① 鼻は象が長い。
② 鼻に関しては、象の鼻は長く、象以外の鼻は長くはない。
③ ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ＆（～象ｙ＆鼻ｘｙ）→～長ｘ｝。
④ すべてのｘとあるｙについて｛（ｘがｙの鼻であって、ｙが象である）ならば、ｘは長く、（ｙが象でなくて、ｘがｙの鼻である）ならば、ｘは長くない｝。
に於いて、
①＝②＝③＝④ である。
といふことに、「気付いてゐない」し、「主語であること」と、「主題であることは」は、「必ずしも、矛盾」しない。
（13）
「象であること」と「動物であること」は、もちろん、「矛盾」しないものの、私には、「三上章の説明」は、
「象ではなくて、動物である（動物であるから、象ではない）」。
といふ「論法」と「ほとんど同じ」であるように、思へて、ならない。
令和６年１月１３日、毛利太。
2024年1月12日金曜日
「象は鼻が長い」の「述語論理」の「解説」。
（01）
「象は鼻が長い。」という文の主語に関する話題です。皆様はいかがお考えでしょうか、この文の主語は「象」だと思われますか、「鼻」だと思われますか。非常に簡単な文ではあるのですが、実はこの文は大正時代から文法的な論争が繰り返されていて、現時点でも明確な結論が出ていない問題なのです。歴史で邪馬台国のあった場所が「畿内説」「九州説」に分かれて議論が繰り返されているのと同じような印象を持っています（象は鼻が長い - 早稲田アカデミー）。
然るに、
（02）
― 何年もの間、繰り返し書いてゐるものの、―
（１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
（２）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｚ（耳ｚｘ＆～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝
（３）∃ｘ（象ｘ＆兎ｘ）
といふ「論理式（Well formed formulae）」は、「日本語」に「翻訳」すると、
（１）すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙは（ｘの鼻であって、長く）、すべてのｚについて（ｚがｘの鼻ではないならば、ｚは長くない）｝。
（２）すべてのｘについて｛ｘが兎であるならば、あるｚは（ｘの鼻ではなくて、ｚは長い）｝。
（３） あるｘについて（ｘは象であって、ｘは兎である）。
といふ「意味」である。
然るに、
（03）
次の「計算（Predicate calculus）」は、「妥当」である。
１ （１） ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
２ （２） ∀ｘ｛兎ｘ→∃ｚ（耳ｚｘ＆～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝ Ａ
３ （３） ∃ｘ（象ｘ＆兎ｘ） Ａ
１ （４） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） １ＵＥ
２ （５） 兎ａ→∃ｚ（耳ｚａ＆～鼻ｚａ＆長ｚ） ２ＵＥ
６ （６） 象ａ＆兎ａ Ａ
６ （７） 象ａ ６＆Ｅ
６ （８） 兎ａ ６＆Ｅ
１ ６ （９） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ４７ＭＰＰ
１ ６ （ア） ～鼻ｂａ→～長ｂ ９ＵＩ
２ ６ （イ） ∃ｚ（耳ｚａ＆～鼻ｚａ＆長ｚ） ５８ＭＰＰ
ウ （ウ） 耳ｂａ＆～鼻ｂａ＆長ｂ Ａ
ウ （エ） ～鼻ｂａ ウ＆Ｅ
ウ （オ） 長ｂ ウ＆Ｅ
１ ６ウ （カ） ～長ｂ アエＭＰＰ
１ ６ウ （キ） 長ｂ＆～長ｂ オカ＆Ｉ
１２ ６ （ク） 長ｂ＆～長ｂ イウキＥＥ
１２３ （ケ） 長ｂ＆～長ｂ ３６クＥＥ
１２ （コ）～∃ｘ（象ｘ＆兎ｘ） ３ケＲＡＡ
従って、
（03）により、
（04）
（１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。然るに、
（２）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｚ（耳ｚｘ＆～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝。従って、
（コ）～∃ｘ（象ｘ＆兎ｘ）。
といふ「推論」は、「妥当」である。
然るに、
（05）
（ⅰ）
１ （１）～∃ｘ（象ｘ＆ 兎ｘ） Ａ
２ （２） 象ａ＆ 兎ａ Ａ
２ （３） ∃ｘ（象ｘ＆ 兎ｘ） ２ＥＩ
１２ （４）～∃ｘ（象ｘ＆ 兎ｘ）＆
∃ｘ（象ｘ＆ 兎ｘ） １３＆Ｉ
１ （５） ～（象ａ＆ 兎ａ） ２４ＲＡＡ
６ （６） 象ａ Ａ
７ （７） 兎ａ Ａ
６７ （８） 象ａ＆ 兎ａ ６７＆Ｉ
１ ６７ （９） ～（象ａ＆ 兎ａ）＆
（象ａ＆ 兎ａ） ５８＆Ｉ
１ ６ （ア） ～兎ａ ７９ＲＡＡ
１ （イ） 象ａ→～兎ａ ６アＣＰ
１ （ウ） ∀ｘ（象ｘ→～兎ｘ） １ＵＩ
（ⅱ）
１ （１） ∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ） Ａ
２ （２） ∃ｘ（象ｘ＆ 兎ｘ） Ａ
１ （３） 兎ａ→～象ａ １ＵＥ
４ （４） 象ａ＆ 兎ａ Ａ
４ （５） 兎ａ ４＆Ｅ
１ ４ （６） ～象ａ ３５ＭＰＰ
４ （７） 象ａ ４＆Ｅ
１ ４ （８） 象ａ＆～象ａ ６７＆Ｉ
４ （９）～∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ） １８ＲＡＡ
２ （ア）～∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ） ２４９ＥＥ
１２ （イ） ∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ）＆
～∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ） １ア＆Ｉ
１ （ウ）～∃ｘ（象ｘ＆ 兎ｘ） ２イＲＡＡ
従って、
（05）により、
（06）
① ～∃ｘ（象ｘ＆ 兎ｘ）
② ∀ｘ（象ｘ→～兎ｘ）
に於いて、すなはち、
① （象であって、兎であるといふ、そのやうなｘ）は存在しない。
② すべてのｘについて（ｘが象であるならば、ｘは兎ではない）。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（03）～（06）により、
（07）
１ （１） ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
２ （２） ∀ｘ｛兎ｘ→∃ｚ（耳ｚｘ＆～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝ Ａ
３ （３） ∃ｘ（象ｘ＆兎ｘ） Ａ
１ （４） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） １ＵＥ
２ （５） 兎ａ→∃ｚ（耳ｚａ＆～鼻ｚａ＆長ｚ） ２ＵＥ
６ （６） 象ａ＆兎ａ Ａ
６ （７） 象ａ ６＆Ｅ
６ （８） 兎ａ ６＆Ｅ
１ ６ （９） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ４７ＭＰＰ
１ ６ （ア） ～鼻ｂａ→～長ｂ ９ＵＩ
２ ６ （イ） ∃ｚ（耳ｚａ＆～鼻ｚａ＆長ｚ） ５８ＭＰＰ
ウ （ウ） 耳ｂａ＆～鼻ｂａ＆長ｂ Ａ
ウ （エ） ～鼻ｂａ ウ＆Ｅ
ウ （オ） 長ｂ ウ＆Ｅ
１ ６ウ （カ） ～長ｂ アエＭＰＰ
１ ６ウ （キ） 長ｂ＆～長ｂ オカ＆Ｉ
１２ ６ （ク） 長ｂ＆～長ｂ イウキＥＥ
１２３ （ケ） 長ｂ＆～長ｂ ３６クＥＥ
１２ （コ）～∃ｘ（象ｘ＆兎ｘ） ３ケＲＡＡ
１２ （サ）∀ｘ～（象ｘ＆兎ｘ） コ量化子の関係
１２ （シ） ～（象ａ＆兎ａ） サＵＥ
ス （ス） 象ａ Ａ
セ（セ） 兎ａ Ａ
スセ（ソ） 象ａ＆兎ａ スセ＆Ｉ
１２ スセ（タ） ～（象ａ＆兎ａ）＆（象ａ＆兎ａ） シソ＆Ｉ
１２ ス （チ） ～兎ａ セタＲＡＡ
１２ （ツ） 象ａ→～兎ａ スチＣＰ
１２ （テ）∀ｘ（象ｘ→～兎ｘ） ツＵＩ
といふ『計算（Predicate calculus）』は、「妥当」であるものの、この『計算』を、『計算（07）』とする。
従って、
（07）により、
（08）
（１）象は鼻が長い。
（２）兎は鼻ではなく、耳が長い。
（３）象は兎ではない。
といふ「日本語」が、
（１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
（２）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｚ（耳ｚｘ＆～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝
（３）∀ｘ（象ｘ→～兎ｘ）
といふ「意味」、すなはち、
（１）すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙは（ｘの鼻であって、長く）、すべてのｚについて（ｚがｘの鼻ではないならば、ｚは長くない）｝。
（２）すべてのｘについて｛ｘが兎であるならば、あるｚは（ｘの鼻ではないが、ｚは長い）｝。
（３）すべてのｘについて（ｘが象であるならば、ｘは兎ではない）。
といふ「意味」であるならば、そのときに限って、
（１）象は鼻が長い。 然るに、
（２）兎は鼻ではなく、耳が長い。従って、
（３）象は兎ではない。
といふ『推論』は、「妥当」である。
然るに、
（09）
沢田充茂の『現代論理学入門』（一九六ニ年）には楽しい解説が載っています。
・・・・・・たとえば「象は鼻が長い」というような表現は、象が主語なのか、鼻が主語なのかはっきりしないから、このままではその論理的構造が明示されていない。いわば非論理的な文章である、というひともある。しかしこの文の論理的な構造をはっきりと文章にあらわして「すべてのｘについて、もしそのｘが象であるならば、ｙなるものが存在し、そのｙは鼻であり、ｘはｙを所有しており、このｙは長い」といえば・・・・・・たとえば動物園で象をはじめて見た小学生が、父親にむかってこのような文章で話しかけたとすれば、その子供は論理的であるといって感心されるまえに社会人としての常識をうたがわれるにきまっている。常識（すなはち共通にもっている情報）でわかっているものはいちいち言明の中にいれないで、いわば暗黙の了解事項として、省略し、できるだけ短い記号の組み合せで、できるだけ多くの情報を伝えることが日常言語の合理性の一つである。・・・・・・
（山崎紀美子、日本語基礎講座―三上文法入門、2003年、２１４頁）
然るに、
（09）により、
（10）
（１）すべてのｘについて、もしそのｘが象であるならば、ｙなるものが存在し、そのｙは鼻であり、ｘはｙを所有しており、このｙは長い。
といふことは、
（１）すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙは（ｘの鼻であって、長い）｝。
といふことであり、
（１）すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙは（ｘの鼻であって、長い）｝。
といふことは、
（１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝。
といふ「論理式」に相当し、
（１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
といふ「論理式」には、相当しない。
従って、
（08）（09）（10）により、
（11）
沢田先生による、
（１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝。然るに、
（２）兎は鼻ではなく、耳が長い。従って、
（３）象は兎ではない。
といふ『推論』は、
（１）が「誤訳」であるが故に、「妥当」ではなく、
私による、
（１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。然るに、
（２）兎は鼻ではなく、耳が長い。従って、
（３）象は兎ではない。
といふ『推論』こそが、「妥当」である。
従って、
（07）（11）により、
（12）
沢田先生が、
（１）象は鼻が長い。 然るに、
（２）兎は鼻ではなく、耳が長い。従って、
（３）象は兎ではない。
といふ『推論』を「妥当」とするのであれば、沢田先生は、
（１）象は鼻が長い。
といふ「日本語」を、
（１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
といふ風に、「翻訳」せざるを得ない。
然るに、
（07）（12）により、
（13）
（１）象は鼻が長い。 然るに、
（２）兎は鼻ではなく、耳が長い。従って、
（３）象は兎ではない。
といふ『推論』が「妥当」でないはずが無いし、『計算（07）』も「妥当」でないはずが無い。
従って、
（02）～（13）により、
（14）
① 象は鼻が長い。
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
③ すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙは（ｘの鼻であって、長く）、すべてのｚについて（ｚがｘの鼻ではないならば、ｚは長くない）｝。
に於いて、
①＝②＝③ であって、尚且つ、
④ 象は兎ではない。
⑤ ∀ｘ（象ｘ→～兎ｘ）。
⑥ すべてのｘについて（ｘが象であるならば、ｘは兎ではない）。
に於いて、
④＝⑤＝⑥ である。
従って、
（14）により、
（15）
① 象は鼻が長い。
④ 象は兎ではない。
に於ける、
① 象は
④ 象は
は、両方とも、
② ∀ｘ｛象ｘ→
⑤ ∀ｘ（象ｘ→
といふ「意味」、すなはち、
③ すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、
⑥ すべてのｘについて（ｘが象であるならば、
といふ「意味」になる。
然るに、
（16）
② ∀ｘ｛象ｘ→Ｐ｝
⑤ ∀ｘ（象ｘ→Ｑ｝
といふ「論理式」は、「形式として、正しい」。
然るに、
（17）
② ∀ｘ｛象ｘ→Ｐ｝
⑤ ∀ｘ（象ｘ→Ｑ｝
に於いて、
② Ｐ＝∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）
⑤ Ｑ＝～兎ｘ
といふ「代入（substitution）」を行った「結果」が、それぞれ、
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
⑤ ∀ｘ（象ｘ→～兎ｘ）。
である、といふ風に、「解すること」が出来る。
然るに、
（18）
これに対して三上は、日本語には主語はない、とする。「象は」は、テーマを提示する主題であり、これから象についてのことを述べますよというメンタルスペースのセットアップであり、そのメンタルスペースのスコープを形成する働きをもつと主張する（この場合は「長い」までをスコープとする）〔三上文法！ : wrong, rogue and log〕。
（19）
③ すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、
⑥ すべてのｘについて（ｘが象であるならば、
といふ「言ひ方」は、
③ これから象についてのことを述べますよ。
⑥ これから象についてのことを述べますよ。
といふ「言ひ方」に、「ほとんど、等しい」。
然るに、
（20）
一階述語論理は、数学のほぼ全領域を形式化するのに十分な表現力を持っている。実際、現代の標準的な集合論の公理系 ZFC は一階述語論理を用いて形式化されており、数学の大部分はそのように形式化された ZFC の中で行うことができる。すなわち、数学の命題は一階述語論理の論理式によって記述することができ、そのように論理式で記述された数学の定理には ZFC の公理からの形式的証明 (formal proof) が存在する。このことが一階述語論理が重要視される理由の一つである。この他にペアノ算術のように単独で形式化する理論もある（ウィキペディア）。
従って、
（14）～（20）により、
（21）
「英語」ではなく、
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
⑤ ∀ｘ（象ｘ→～兎ｘ）。
といふ『数学語（普遍語）』を「基準」にするならば、
① 象は鼻が長い。
④ 象は兎ではない。
に於ける、
① 象は
④ 象は
に、「区別」は無い。
従って、
（01）（21）により、
（22）
「常識（習慣）」として、
④ 象は兎ではない。
に於ける「象は」が、「主語」であるならば、
① 象は鼻が長い。
に於ける「象は」も、「主語」である。
令和６年１月１２日、毛利太。
「象は鼻が長い。」という文の主語に関する話題です。皆様はいかがお考えでしょうか、この文の主語は「象」だと思われますか、「鼻」だと思われますか。非常に簡単な文ではあるのですが、実はこの文は大正時代から文法的な論争が繰り返されていて、現時点でも明確な結論が出ていない問題なのです。歴史で邪馬台国のあった場所が「畿内説」「九州説」に分かれて議論が繰り返されているのと同じような印象を持っています（象は鼻が長い - 早稲田アカデミー）。
然るに、
（02）
― 何年もの間、繰り返し書いてゐるものの、―
（１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
（２）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｚ（耳ｚｘ＆～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝
（３）∃ｘ（象ｘ＆兎ｘ）
といふ「論理式（Well formed formulae）」は、「日本語」に「翻訳」すると、
（１）すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙは（ｘの鼻であって、長く）、すべてのｚについて（ｚがｘの鼻ではないならば、ｚは長くない）｝。
（２）すべてのｘについて｛ｘが兎であるならば、あるｚは（ｘの鼻ではなくて、ｚは長い）｝。
（３） あるｘについて（ｘは象であって、ｘは兎である）。
といふ「意味」である。
然るに、
（03）
次の「計算（Predicate calculus）」は、「妥当」である。
１ （１） ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
２ （２） ∀ｘ｛兎ｘ→∃ｚ（耳ｚｘ＆～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝ Ａ
３ （３） ∃ｘ（象ｘ＆兎ｘ） Ａ
１ （４） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） １ＵＥ
２ （５） 兎ａ→∃ｚ（耳ｚａ＆～鼻ｚａ＆長ｚ） ２ＵＥ
６ （６） 象ａ＆兎ａ Ａ
６ （７） 象ａ ６＆Ｅ
６ （８） 兎ａ ６＆Ｅ
１ ６ （９） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ４７ＭＰＰ
１ ６ （ア） ～鼻ｂａ→～長ｂ ９ＵＩ
２ ６ （イ） ∃ｚ（耳ｚａ＆～鼻ｚａ＆長ｚ） ５８ＭＰＰ
ウ （ウ） 耳ｂａ＆～鼻ｂａ＆長ｂ Ａ
ウ （エ） ～鼻ｂａ ウ＆Ｅ
ウ （オ） 長ｂ ウ＆Ｅ
１ ６ウ （カ） ～長ｂ アエＭＰＰ
１ ６ウ （キ） 長ｂ＆～長ｂ オカ＆Ｉ
１２ ６ （ク） 長ｂ＆～長ｂ イウキＥＥ
１２３ （ケ） 長ｂ＆～長ｂ ３６クＥＥ
１２ （コ）～∃ｘ（象ｘ＆兎ｘ） ３ケＲＡＡ
従って、
（03）により、
（04）
（１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。然るに、
（２）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｚ（耳ｚｘ＆～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝。従って、
（コ）～∃ｘ（象ｘ＆兎ｘ）。
といふ「推論」は、「妥当」である。
然るに、
（05）
（ⅰ）
１ （１）～∃ｘ（象ｘ＆ 兎ｘ） Ａ
２ （２） 象ａ＆ 兎ａ Ａ
２ （３） ∃ｘ（象ｘ＆ 兎ｘ） ２ＥＩ
１２ （４）～∃ｘ（象ｘ＆ 兎ｘ）＆
∃ｘ（象ｘ＆ 兎ｘ） １３＆Ｉ
１ （５） ～（象ａ＆ 兎ａ） ２４ＲＡＡ
６ （６） 象ａ Ａ
７ （７） 兎ａ Ａ
６７ （８） 象ａ＆ 兎ａ ６７＆Ｉ
１ ６７ （９） ～（象ａ＆ 兎ａ）＆
（象ａ＆ 兎ａ） ５８＆Ｉ
１ ６ （ア） ～兎ａ ７９ＲＡＡ
１ （イ） 象ａ→～兎ａ ６アＣＰ
１ （ウ） ∀ｘ（象ｘ→～兎ｘ） １ＵＩ
（ⅱ）
１ （１） ∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ） Ａ
２ （２） ∃ｘ（象ｘ＆ 兎ｘ） Ａ
１ （３） 兎ａ→～象ａ １ＵＥ
４ （４） 象ａ＆ 兎ａ Ａ
４ （５） 兎ａ ４＆Ｅ
１ ４ （６） ～象ａ ３５ＭＰＰ
４ （７） 象ａ ４＆Ｅ
１ ４ （８） 象ａ＆～象ａ ６７＆Ｉ
４ （９）～∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ） １８ＲＡＡ
２ （ア）～∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ） ２４９ＥＥ
１２ （イ） ∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ）＆
～∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ） １ア＆Ｉ
１ （ウ）～∃ｘ（象ｘ＆ 兎ｘ） ２イＲＡＡ
従って、
（05）により、
（06）
① ～∃ｘ（象ｘ＆ 兎ｘ）
② ∀ｘ（象ｘ→～兎ｘ）
に於いて、すなはち、
① （象であって、兎であるといふ、そのやうなｘ）は存在しない。
② すべてのｘについて（ｘが象であるならば、ｘは兎ではない）。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（03）～（06）により、
（07）
１ （１） ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
２ （２） ∀ｘ｛兎ｘ→∃ｚ（耳ｚｘ＆～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝ Ａ
３ （３） ∃ｘ（象ｘ＆兎ｘ） Ａ
１ （４） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） １ＵＥ
２ （５） 兎ａ→∃ｚ（耳ｚａ＆～鼻ｚａ＆長ｚ） ２ＵＥ
６ （６） 象ａ＆兎ａ Ａ
６ （７） 象ａ ６＆Ｅ
６ （８） 兎ａ ６＆Ｅ
１ ６ （９） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ４７ＭＰＰ
１ ６ （ア） ～鼻ｂａ→～長ｂ ９ＵＩ
２ ６ （イ） ∃ｚ（耳ｚａ＆～鼻ｚａ＆長ｚ） ５８ＭＰＰ
ウ （ウ） 耳ｂａ＆～鼻ｂａ＆長ｂ Ａ
ウ （エ） ～鼻ｂａ ウ＆Ｅ
ウ （オ） 長ｂ ウ＆Ｅ
１ ６ウ （カ） ～長ｂ アエＭＰＰ
１ ６ウ （キ） 長ｂ＆～長ｂ オカ＆Ｉ
１２ ６ （ク） 長ｂ＆～長ｂ イウキＥＥ
１２３ （ケ） 長ｂ＆～長ｂ ３６クＥＥ
１２ （コ）～∃ｘ（象ｘ＆兎ｘ） ３ケＲＡＡ
１２ （サ）∀ｘ～（象ｘ＆兎ｘ） コ量化子の関係
１２ （シ） ～（象ａ＆兎ａ） サＵＥ
ス （ス） 象ａ Ａ
セ（セ） 兎ａ Ａ
スセ（ソ） 象ａ＆兎ａ スセ＆Ｉ
１２ スセ（タ） ～（象ａ＆兎ａ）＆（象ａ＆兎ａ） シソ＆Ｉ
１２ ス （チ） ～兎ａ セタＲＡＡ
１２ （ツ） 象ａ→～兎ａ スチＣＰ
１２ （テ）∀ｘ（象ｘ→～兎ｘ） ツＵＩ
といふ『計算（Predicate calculus）』は、「妥当」であるものの、この『計算』を、『計算（07）』とする。
従って、
（07）により、
（08）
（１）象は鼻が長い。
（２）兎は鼻ではなく、耳が長い。
（３）象は兎ではない。
といふ「日本語」が、
（１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
（２）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｚ（耳ｚｘ＆～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝
（３）∀ｘ（象ｘ→～兎ｘ）
といふ「意味」、すなはち、
（１）すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙは（ｘの鼻であって、長く）、すべてのｚについて（ｚがｘの鼻ではないならば、ｚは長くない）｝。
（２）すべてのｘについて｛ｘが兎であるならば、あるｚは（ｘの鼻ではないが、ｚは長い）｝。
（３）すべてのｘについて（ｘが象であるならば、ｘは兎ではない）。
といふ「意味」であるならば、そのときに限って、
（１）象は鼻が長い。 然るに、
（２）兎は鼻ではなく、耳が長い。従って、
（３）象は兎ではない。
といふ『推論』は、「妥当」である。
然るに、
（09）
沢田充茂の『現代論理学入門』（一九六ニ年）には楽しい解説が載っています。
・・・・・・たとえば「象は鼻が長い」というような表現は、象が主語なのか、鼻が主語なのかはっきりしないから、このままではその論理的構造が明示されていない。いわば非論理的な文章である、というひともある。しかしこの文の論理的な構造をはっきりと文章にあらわして「すべてのｘについて、もしそのｘが象であるならば、ｙなるものが存在し、そのｙは鼻であり、ｘはｙを所有しており、このｙは長い」といえば・・・・・・たとえば動物園で象をはじめて見た小学生が、父親にむかってこのような文章で話しかけたとすれば、その子供は論理的であるといって感心されるまえに社会人としての常識をうたがわれるにきまっている。常識（すなはち共通にもっている情報）でわかっているものはいちいち言明の中にいれないで、いわば暗黙の了解事項として、省略し、できるだけ短い記号の組み合せで、できるだけ多くの情報を伝えることが日常言語の合理性の一つである。・・・・・・
（山崎紀美子、日本語基礎講座―三上文法入門、2003年、２１４頁）
然るに、
（09）により、
（10）
（１）すべてのｘについて、もしそのｘが象であるならば、ｙなるものが存在し、そのｙは鼻であり、ｘはｙを所有しており、このｙは長い。
といふことは、
（１）すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙは（ｘの鼻であって、長い）｝。
といふことであり、
（１）すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙは（ｘの鼻であって、長い）｝。
といふことは、
（１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝。
といふ「論理式」に相当し、
（１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
といふ「論理式」には、相当しない。
従って、
（08）（09）（10）により、
（11）
沢田先生による、
（１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝。然るに、
（２）兎は鼻ではなく、耳が長い。従って、
（３）象は兎ではない。
といふ『推論』は、
（１）が「誤訳」であるが故に、「妥当」ではなく、
私による、
（１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。然るに、
（２）兎は鼻ではなく、耳が長い。従って、
（３）象は兎ではない。
といふ『推論』こそが、「妥当」である。
従って、
（07）（11）により、
（12）
沢田先生が、
（１）象は鼻が長い。 然るに、
（２）兎は鼻ではなく、耳が長い。従って、
（３）象は兎ではない。
といふ『推論』を「妥当」とするのであれば、沢田先生は、
（１）象は鼻が長い。
といふ「日本語」を、
（１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
といふ風に、「翻訳」せざるを得ない。
然るに、
（07）（12）により、
（13）
（１）象は鼻が長い。 然るに、
（２）兎は鼻ではなく、耳が長い。従って、
（３）象は兎ではない。
といふ『推論』が「妥当」でないはずが無いし、『計算（07）』も「妥当」でないはずが無い。
従って、
（02）～（13）により、
（14）
① 象は鼻が長い。
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
③ すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙは（ｘの鼻であって、長く）、すべてのｚについて（ｚがｘの鼻ではないならば、ｚは長くない）｝。
に於いて、
①＝②＝③ であって、尚且つ、
④ 象は兎ではない。
⑤ ∀ｘ（象ｘ→～兎ｘ）。
⑥ すべてのｘについて（ｘが象であるならば、ｘは兎ではない）。
に於いて、
④＝⑤＝⑥ である。
従って、
（14）により、
（15）
① 象は鼻が長い。
④ 象は兎ではない。
に於ける、
① 象は
④ 象は
は、両方とも、
② ∀ｘ｛象ｘ→
⑤ ∀ｘ（象ｘ→
といふ「意味」、すなはち、
③ すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、
⑥ すべてのｘについて（ｘが象であるならば、
といふ「意味」になる。
然るに、
（16）
② ∀ｘ｛象ｘ→Ｐ｝
⑤ ∀ｘ（象ｘ→Ｑ｝
といふ「論理式」は、「形式として、正しい」。
然るに、
（17）
② ∀ｘ｛象ｘ→Ｐ｝
⑤ ∀ｘ（象ｘ→Ｑ｝
に於いて、
② Ｐ＝∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）
⑤ Ｑ＝～兎ｘ
といふ「代入（substitution）」を行った「結果」が、それぞれ、
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
⑤ ∀ｘ（象ｘ→～兎ｘ）。
である、といふ風に、「解すること」が出来る。
然るに、
（18）
これに対して三上は、日本語には主語はない、とする。「象は」は、テーマを提示する主題であり、これから象についてのことを述べますよというメンタルスペースのセットアップであり、そのメンタルスペースのスコープを形成する働きをもつと主張する（この場合は「長い」までをスコープとする）〔三上文法！ : wrong, rogue and log〕。
（19）
③ すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、
⑥ すべてのｘについて（ｘが象であるならば、
といふ「言ひ方」は、
③ これから象についてのことを述べますよ。
⑥ これから象についてのことを述べますよ。
といふ「言ひ方」に、「ほとんど、等しい」。
然るに、
（20）
一階述語論理は、数学のほぼ全領域を形式化するのに十分な表現力を持っている。実際、現代の標準的な集合論の公理系 ZFC は一階述語論理を用いて形式化されており、数学の大部分はそのように形式化された ZFC の中で行うことができる。すなわち、数学の命題は一階述語論理の論理式によって記述することができ、そのように論理式で記述された数学の定理には ZFC の公理からの形式的証明 (formal proof) が存在する。このことが一階述語論理が重要視される理由の一つである。この他にペアノ算術のように単独で形式化する理論もある（ウィキペディア）。
従って、
（14）～（20）により、
（21）
「英語」ではなく、
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
⑤ ∀ｘ（象ｘ→～兎ｘ）。
といふ『数学語（普遍語）』を「基準」にするならば、
① 象は鼻が長い。
④ 象は兎ではない。
に於ける、
① 象は
④ 象は
に、「区別」は無い。
従って、
（01）（21）により、
（22）
「常識（習慣）」として、
④ 象は兎ではない。
に於ける「象は」が、「主語」であるならば、
① 象は鼻が長い。
に於ける「象は」も、「主語」である。
令和６年１月１２日、毛利太。
2024年1月11日木曜日
「述語論理」と「のみが（only）」について（Ⅲ）。
（01）
１ （１） ∀ｘ（ Ｋｘ→ｘ＝ｓ∨ｘ＝ｇ） Ａ
２ （２）～∃ｘ（～Ｋｘ＆Ｓｘ） Ａ
３ （３） ∃ｘ（ｘ＝ｊ＆ｘ≠ｓ＆ｘ≠ｇ） Ａ
１ （４） Ｋａ→ａ＝ｓ∨ａ＝ｇ １ＵＥ
２ （５）∀ｘ～（～Ｋｘ＆Ｓｘ） ２量化子の関係
２ （６） ～（～Ｋａ＆Ｓａ） １ＵＥ
７ （７） ～Ｋａ Ａ
８ （８） Ｓａ Ａ
７８ （９） ～Ｋａ＆Ｓａ ７８＆Ｉ
２ ７８ （ア） ～（～Ｋａ＆Ｓａ）＆
（～Ｋａ＆Ｓａ） ６９＆Ｉ
２ ７ （イ） ～Ｓａ ８アＲＡＡ
２ （ウ） ～Ｋａ→～Ｓａ ７イＣＰ
エ （エ） ａ＝ｊ＆ａ≠ｓ＆ａ≠ｇ Ａ
エ （オ） ａ＝ｊ エ＆Ｅ
エ （カ） ａ≠ｓ＆ａ≠ｇ エ＆Ｅ
キ （キ） ａ＝ｓ∨ａ＝ｇ Ａ
ク （ク） ａ＝ｓ Ａ
エ （ケ） ａ≠ｓ カ＆Ｅ
エ ク （コ） ａ＝ｓ＆ａ≠ｓ クケ＆Ｉ
ク （サ） ～（ａ≠ｓ＆ａ≠ｇ） エコＲＡＡ
シ（シ） ａ＝ｇ Ａ
エ （ス） ａ≠ｇ カ＆Ｅ
エ シ（セ） ａ＝ｇ＆ａ≠ｇ シス＆Ｉ
シ（ソ） ～（ａ≠ｓ＆ａ≠ｇ） エシＲＡＡ
キ （タ） ～（ａ≠ｓ＆ａ≠ｇ） キクサシソ∨Ｅ
エキ （チ） （ａ≠ｓ＆ａ≠ｇ）＆
～（ａ≠ｓ＆ａ≠ｇ） カタ＆I
エ （ツ） ～（ａ＝ｓ∨ａ＝ｇ） キチＲＡＡ
３ （テ） ～（ａ＝ｓ∨ａ＝ｇ） ３エツＥＥ
１ ３ （ト） ～Ｋａ ４テＭＴＴ
１２３ （ナ） ～Ｓａ ウトＭＰＰ
１２３エ （ニ） ａ＝ｊ＆～Ｓａ オナ＆Ｉ
１２３エ （ヌ） ∃ｘ（ｘ＝ｊ＆～Ｓｘ） ニＥＩ
１２３ （ネ） ∃ｘ（ｘ＝ｊ＆～Ｓｘ） ３エヌＥＥ
従って、
（01）により、
（02）
（ⅰ） ∀ｘ（ Ｋｘ→ｘ＝ｓ∨ｘ＝ｇ）
（ⅱ）～∃ｘ（～Ｋｘ＆Ｓｘ）
（ⅲ） ∃ｘ（ｘ＝ｊ＆ｘ≠ｓ＆ｘ≠ｇ）
（ⅳ） ∃ｘ（ｘ＝ｊ＆～Ｓｘ）
といふ「推論」、すなはち、
（ⅰ）すべてのｘについて（ｘがＫをするならば、ｘはｓであるか、または、ｘはｇである）。然るに、
（ⅱ）あるｘが（Ｋをせずに、Ｓをする）といふことは無い。然るに、
（ⅲ）あるｘは（ｊであって、ｓではないし、ｇでもない）。従って、
（ⅳ）あるｘは（ｊであって、ｘはＳをしない）。
といふ「推論」は「妥当」である。
然るに、
（03）
Ｋ＝合言葉を知ってゐた。
Ｓ＝銃を盗んだ。
ｊ＝ジャック。
ｓ＝スミス。
ｇ＝門衛。
であるとする。
従って、
（02）（03）により、
（04）
（ⅰ）すべてのｘについて（ｘが合言葉を知ってゐたならば、ｘはスミスであるか、または、ｘは門衛である）。然るに、
（ⅱ）あるｘが（合言葉を知らずに、銃を盗んだ）といふことは有り得無い。然るに、
（ⅲ）あるｘは（ジャックであって、スミスではないし、門衛でもない）。 従って、
（ⅳ）あるｘは（ジャックであって、ｘは銃を盗んでゐない）。
といふ「推論」は「妥当」である。
従って、
（04）により、
（05）
（ⅰ）スミスと門衛のみがが合言葉を知っていた。然るに、
（ⅱ）合言葉を知らない者が銃を盗んだといふことは、有り得ない。然るに、
（ⅲ）ジャックはスミスではないし、門衛でもない。従って、
（ⅳ）ジャックは銃を盗んではゐない。
といふ「推論」は「妥当」である。
従って、
（02）（05）により、
（06）
（ⅰ）スミスと門衛のみがが合言葉を知っていた。然るに、
（ⅱ）合言葉を知らない者が銃を盗んだといふことは、有り得ない。然るに、
（ⅲ）ジャックはスミスではないし、門衛でもない。従って、
（ⅳ）ジャックは銃を盗んではゐない。
といふ「推論」は「妥当」であるといふことは、
（ⅰ） ∀ｘ（ Ｋｘ→ｘ＝ｓ∨ｘ＝ｇ）
（ⅱ）～∃ｘ（～Ｋｘ＆Ｓｘ）
（ⅲ） ∃ｘ（ｘ＝ｊ＆ｘ≠ｓ＆ｘ≠ｇ）
（ⅳ） ∃ｘ（ｘ＝ｊ＆～Ｓｘ）
といふ「述語論理式」によって、「証明」出来る。
然るに、
（07）
「述語論理」は「命題論理」の「拡大（enlargement）」であって、それ故、
「命題論理」の「記号」だけを使って、
（ⅰ） ∀ｘ（ Ｋｘ→ｘ＝ｓ∨ｘ＝ｇ）
（ⅱ）～∃ｘ（～Ｋｘ＆Ｓｘ）
（ⅲ） ∃ｘ（ｘ＝ｊ＆ｘ≠ｓ＆ｘ≠ｇ）
（ⅳ） ∃ｘ（ｘ＝ｊ＆～Ｓｘ）
といふ「論理式（Well formed formulae）」を書くことは出来ない。
従って、
（06）（07）により、
（08）
「命題論理」によって、
（ⅰ）スミスと門衛のみがが合言葉を知っていた。然るに、
（ⅱ）合言葉を知らない者が銃を盗んだといふことは、有り得ない。然るに、
（ⅲ）ジャックはスミスではないし、門衛でもない。従って、
（ⅳ）ジャックは銃を盗んではゐない。
といふ「推論の妥当性」を「証明」することは、「出来ない」。
因みに、
（09）
（ⅰ）すべてのｘについて（ｘが象であるならば、ｘは動物である）。然るに、
（ⅱ）花子は象である。従って、
（ⅲ）花子は動物である。
といふ「推論」、すなはち、
（ⅰ）象は動物である。然るに、
（ⅱ）花子は象である。従って、
（ⅲ）花子は動物である。
といふ「推論の妥当性」も、「命題論理」では、「証明出来ない」。
然るに、
（10）
その一方で、「述語論理（の表現力）」に関しては、
日常言語の文から述語計算の文の翻訳のためには、一般にあたまが柔軟であることが必要である。なんら確定的な規則があるわけでなく、量記号に十分に馴れるまでには、練習を積むことが必要である。そこに含まれている仕事は翻訳の仕事に違いないけれども、しかしそこへ翻訳が行われる形式言語は、自然言語のシンタックスとは幾らか違ったシンタックスをもっており、また限られた術語―論理的結合記号、変数、固有名、述語文字、および２つの量記号―しかももたない。その言語のおもな長所は、記法上の制限にもかかわらず、非常に広範な表現能力をもっていることである（Ｅ.Ｊ.レモン 著、武生治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、1973年、１３０頁）。
Flexibility of mind is generally required for translating from ordinary speech into sentences of the predicate calculus. No firm rules can be given, and practice is needed before full familiarity with quantifiers is reached. The activity involved is one of translation; but the formal language into which translation is being made has a rather different from that of a natural language，and has only a narrow terminology―logical connectives, variables, proper names, predicate-letters, and two quantifiers. The chief merit of the language is that, despite its notational limitations, it has a very wide expressive power（E.J.Lemmon, Beginning Logic, First published in Great Britain 1965）.
との、ことである。
令和６年１月１１日、毛利太。
１ （１） ∀ｘ（ Ｋｘ→ｘ＝ｓ∨ｘ＝ｇ） Ａ
２ （２）～∃ｘ（～Ｋｘ＆Ｓｘ） Ａ
３ （３） ∃ｘ（ｘ＝ｊ＆ｘ≠ｓ＆ｘ≠ｇ） Ａ
１ （４） Ｋａ→ａ＝ｓ∨ａ＝ｇ １ＵＥ
２ （５）∀ｘ～（～Ｋｘ＆Ｓｘ） ２量化子の関係
２ （６） ～（～Ｋａ＆Ｓａ） １ＵＥ
７ （７） ～Ｋａ Ａ
８ （８） Ｓａ Ａ
７８ （９） ～Ｋａ＆Ｓａ ７８＆Ｉ
２ ７８ （ア） ～（～Ｋａ＆Ｓａ）＆
（～Ｋａ＆Ｓａ） ６９＆Ｉ
２ ７ （イ） ～Ｓａ ８アＲＡＡ
２ （ウ） ～Ｋａ→～Ｓａ ７イＣＰ
エ （エ） ａ＝ｊ＆ａ≠ｓ＆ａ≠ｇ Ａ
エ （オ） ａ＝ｊ エ＆Ｅ
エ （カ） ａ≠ｓ＆ａ≠ｇ エ＆Ｅ
キ （キ） ａ＝ｓ∨ａ＝ｇ Ａ
ク （ク） ａ＝ｓ Ａ
エ （ケ） ａ≠ｓ カ＆Ｅ
エ ク （コ） ａ＝ｓ＆ａ≠ｓ クケ＆Ｉ
ク （サ） ～（ａ≠ｓ＆ａ≠ｇ） エコＲＡＡ
シ（シ） ａ＝ｇ Ａ
エ （ス） ａ≠ｇ カ＆Ｅ
エ シ（セ） ａ＝ｇ＆ａ≠ｇ シス＆Ｉ
シ（ソ） ～（ａ≠ｓ＆ａ≠ｇ） エシＲＡＡ
キ （タ） ～（ａ≠ｓ＆ａ≠ｇ） キクサシソ∨Ｅ
エキ （チ） （ａ≠ｓ＆ａ≠ｇ）＆
～（ａ≠ｓ＆ａ≠ｇ） カタ＆I
エ （ツ） ～（ａ＝ｓ∨ａ＝ｇ） キチＲＡＡ
３ （テ） ～（ａ＝ｓ∨ａ＝ｇ） ３エツＥＥ
１ ３ （ト） ～Ｋａ ４テＭＴＴ
１２３ （ナ） ～Ｓａ ウトＭＰＰ
１２３エ （ニ） ａ＝ｊ＆～Ｓａ オナ＆Ｉ
１２３エ （ヌ） ∃ｘ（ｘ＝ｊ＆～Ｓｘ） ニＥＩ
１２３ （ネ） ∃ｘ（ｘ＝ｊ＆～Ｓｘ） ３エヌＥＥ
従って、
（01）により、
（02）
（ⅰ） ∀ｘ（ Ｋｘ→ｘ＝ｓ∨ｘ＝ｇ）
（ⅱ）～∃ｘ（～Ｋｘ＆Ｓｘ）
（ⅲ） ∃ｘ（ｘ＝ｊ＆ｘ≠ｓ＆ｘ≠ｇ）
（ⅳ） ∃ｘ（ｘ＝ｊ＆～Ｓｘ）
といふ「推論」、すなはち、
（ⅰ）すべてのｘについて（ｘがＫをするならば、ｘはｓであるか、または、ｘはｇである）。然るに、
（ⅱ）あるｘが（Ｋをせずに、Ｓをする）といふことは無い。然るに、
（ⅲ）あるｘは（ｊであって、ｓではないし、ｇでもない）。従って、
（ⅳ）あるｘは（ｊであって、ｘはＳをしない）。
といふ「推論」は「妥当」である。
然るに、
（03）
Ｋ＝合言葉を知ってゐた。
Ｓ＝銃を盗んだ。
ｊ＝ジャック。
ｓ＝スミス。
ｇ＝門衛。
であるとする。
従って、
（02）（03）により、
（04）
（ⅰ）すべてのｘについて（ｘが合言葉を知ってゐたならば、ｘはスミスであるか、または、ｘは門衛である）。然るに、
（ⅱ）あるｘが（合言葉を知らずに、銃を盗んだ）といふことは有り得無い。然るに、
（ⅲ）あるｘは（ジャックであって、スミスではないし、門衛でもない）。 従って、
（ⅳ）あるｘは（ジャックであって、ｘは銃を盗んでゐない）。
といふ「推論」は「妥当」である。
従って、
（04）により、
（05）
（ⅰ）スミスと門衛のみがが合言葉を知っていた。然るに、
（ⅱ）合言葉を知らない者が銃を盗んだといふことは、有り得ない。然るに、
（ⅲ）ジャックはスミスではないし、門衛でもない。従って、
（ⅳ）ジャックは銃を盗んではゐない。
といふ「推論」は「妥当」である。
従って、
（02）（05）により、
（06）
（ⅰ）スミスと門衛のみがが合言葉を知っていた。然るに、
（ⅱ）合言葉を知らない者が銃を盗んだといふことは、有り得ない。然るに、
（ⅲ）ジャックはスミスではないし、門衛でもない。従って、
（ⅳ）ジャックは銃を盗んではゐない。
といふ「推論」は「妥当」であるといふことは、
（ⅰ） ∀ｘ（ Ｋｘ→ｘ＝ｓ∨ｘ＝ｇ）
（ⅱ）～∃ｘ（～Ｋｘ＆Ｓｘ）
（ⅲ） ∃ｘ（ｘ＝ｊ＆ｘ≠ｓ＆ｘ≠ｇ）
（ⅳ） ∃ｘ（ｘ＝ｊ＆～Ｓｘ）
といふ「述語論理式」によって、「証明」出来る。
然るに、
（07）
「述語論理」は「命題論理」の「拡大（enlargement）」であって、それ故、
「命題論理」の「記号」だけを使って、
（ⅰ） ∀ｘ（ Ｋｘ→ｘ＝ｓ∨ｘ＝ｇ）
（ⅱ）～∃ｘ（～Ｋｘ＆Ｓｘ）
（ⅲ） ∃ｘ（ｘ＝ｊ＆ｘ≠ｓ＆ｘ≠ｇ）
（ⅳ） ∃ｘ（ｘ＝ｊ＆～Ｓｘ）
といふ「論理式（Well formed formulae）」を書くことは出来ない。
従って、
（06）（07）により、
（08）
「命題論理」によって、
（ⅰ）スミスと門衛のみがが合言葉を知っていた。然るに、
（ⅱ）合言葉を知らない者が銃を盗んだといふことは、有り得ない。然るに、
（ⅲ）ジャックはスミスではないし、門衛でもない。従って、
（ⅳ）ジャックは銃を盗んではゐない。
といふ「推論の妥当性」を「証明」することは、「出来ない」。
因みに、
（09）
（ⅰ）すべてのｘについて（ｘが象であるならば、ｘは動物である）。然るに、
（ⅱ）花子は象である。従って、
（ⅲ）花子は動物である。
といふ「推論」、すなはち、
（ⅰ）象は動物である。然るに、
（ⅱ）花子は象である。従って、
（ⅲ）花子は動物である。
といふ「推論の妥当性」も、「命題論理」では、「証明出来ない」。
然るに、
（10）
その一方で、「述語論理（の表現力）」に関しては、
日常言語の文から述語計算の文の翻訳のためには、一般にあたまが柔軟であることが必要である。なんら確定的な規則があるわけでなく、量記号に十分に馴れるまでには、練習を積むことが必要である。そこに含まれている仕事は翻訳の仕事に違いないけれども、しかしそこへ翻訳が行われる形式言語は、自然言語のシンタックスとは幾らか違ったシンタックスをもっており、また限られた術語―論理的結合記号、変数、固有名、述語文字、および２つの量記号―しかももたない。その言語のおもな長所は、記法上の制限にもかかわらず、非常に広範な表現能力をもっていることである（Ｅ.Ｊ.レモン 著、武生治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、1973年、１３０頁）。
Flexibility of mind is generally required for translating from ordinary speech into sentences of the predicate calculus. No firm rules can be given, and practice is needed before full familiarity with quantifiers is reached. The activity involved is one of translation; but the formal language into which translation is being made has a rather different from that of a natural language，and has only a narrow terminology―logical connectives, variables, proper names, predicate-letters, and two quantifiers. The chief merit of the language is that, despite its notational limitations, it has a very wide expressive power（E.J.Lemmon, Beginning Logic, First published in Great Britain 1965）.
との、ことである。
令和６年１月１１日、毛利太。
2024年1月10日水曜日
「述語論理」と「のみが（only）」について（Ⅱ）。
（01）
さて次の論証を考えてみよう（これはQuine〔17〕の翻案である）。
（ⅰ）スミスと門衛のみが合言葉を知っていた。
（ⅱ）合言葉を知っていたある者が銃を盗んだ。
（ⅲ）故に、スミスかあるいはその門衛が銃を盗んだ。
これは明らかに健全である。
（E.J.レモン著、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、1973年、２０９頁改）
従って、
（01）により、
（02）
（ⅰ）スミスとジョンソンと門衛のみが合言葉を知っていた。
（ⅱ）合言葉を知っていたある者が銃を盗んだ。
（ⅲ）然るに、スミスとジョンソンは盗んでいない（アリバイが有る）。
（ⅳ）従って、門衛が銃を盗んだ。
といふ「推論」も、明らかに、健全である。
然るに、
（03）
Ｋ＝合言葉を知ってゐた。
Ｓ＝銃を盗んだ。
ｓ＝スミス。
ｊ＝ジョンソン。
ｇ＝門衛。
とする。
然るに、
（04）
１ （１）∀ｘ（Ｋｘ→ｘ＝ｓ∨ｘ＝ｊ∨ｘ＝ｇ） Ａ
２ （２）∃ｘ（Ｋｘ＆Ｓｘ） Ａ
３ （３） ～Ｓｓ＆～Ｓｊ Ａ
４ （４） Ｋａ＆Ｓａ Ａ
４ （５） Ｋａ ４＆Ｅ
４ （６） Ｓａ ４＆Ｅ
１ （７） Ｋａ→ａ＝ｓ∨ａ＝ｊ ∨ａ＝ｇ １ＵＥ
１ ４ （８） ａ＝ｓ∨ａ＝ｊ ∨ａ＝ｇ ５７ＭＰＰ
１ ４ （９） （ａ＝ｓ∨ａ＝ｊ）∨ａ＝ｇ ８結合法則
ア （ア） （ａ＝ｓ∨ａ＝ｊ） Ａ
イ （イ） ａ＝ｓ Ａ
４ イ （ウ） Ｓｓ ６イ＝Ｅ
４ イ （エ） Ｓｓ∨Ｓｊ ウ∨Ｉ
４ イ （オ） Ｓｓ∨Ｓｊ∨Ｓｇ エ∨Ｉ
カ （カ） ａ＝ｊ Ａ
４ カ （キ） Ｓｊ ６カ＝Ｅ
４ カ （ク） Ｓｓ∨Ｓｊ キ∨Ｉ
４ カ （ケ） Ｓｓ∨Ｓｊ∨Ｓｇ ク∨I
４ （コ） Ｓｓ∨Ｓｊ∨Ｓｇ アイオカケ∨Ｅ
４ サ（サ） ａ＝ｇ Ａ
４ サ（シ） Ｓｇ ６サ＝Ｅ
４ サ（ス） Ｓｊ∨Ｓｇ シ∨Ｉ
４ サ（セ） Ｓｓ∨Ｓｊ∨Ｓｇ ス∨Ｉ
１ ４ （ソ） Ｓｓ∨Ｓｊ∨Ｓｇ ９アコサセ∨Ｅ
１２ （タ） Ｓｓ∨Ｓｊ∨Ｓｇ ２４ソＥＥ
１２ （チ） （Ｓｓ∨Ｓｊ）∨Ｓｇ タ結合法則
１２ （ツ） ～～（Ｓｓ∨Ｓｊ）∨Ｓｇ チＤＮ
１２ （テ） ～（Ｓｓ∨Ｓｊ）→Ｓｇ ツ含意の定義
３ （ト） ～（Ｓｓ∨Ｓｊ） ３ド・モルガンの法則
１２３ （ナ） Ｓｇ テトＭＰＰ
従って、
（04）により、
（05）
∀ｘ（Ｋｘ→ｘ＝ｓ∨ｘ＝ｊ∨ｘ＝ｇ），∃ｘ（Ｋｘ＆Ｓｘ），～Ｓｓ＆～Ｓｊ├ Ｓｇ
といふ「連式」は「妥当」である。
従って、
（03）（04）（05）により、
（06）
（ⅰ）∀ｘ（Ｋｘ→ｘ＝ｓ∨ｘ＝ｊ∨ｘ＝ｇ）
（ⅱ）∃ｘ（Ｋｘ＆Ｓｘ）
（ⅲ）～Ｓｓ＆～Ｓｊ
（ⅳ） Ｓｇ
といふ「推論」、すなはち、
（ⅰ）すべてのｘについて（ｘが合言葉を知ってゐたならば、ｘはスミスか、ジョンソンか、門衛である）。然るに、
（ⅱ）あるｘは（合言葉を知ってゐたし、銃を盗んだ）。然るに、
（ⅲ）スミスは銃を盗んでゐないし、ジョンソンも銃を盗んでいない。従って、
（ⅳ）銃を盗んだのは門衛である。
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（02）（06）により、
（07）
（ⅰ）スミスとジョンソンと門衛のみが合言葉を知っていた。
（ⅱ）合言葉を知っていたある者が銃を盗んだ。
（ⅲ）然るに、スミスとジョンソンは盗んでいない（アリバイが有る）。
（ⅳ）従って、門衛が銃を盗んだ。
といふ「推論」は、『述語論理』としても、「妥当」である。
従って、
（05）（06）（07）により、
（08）
Ｐ＝スミスとジョンソンと門衛のみが合言葉を知っていた。
Ｑ＝合言葉を知っていたある者が銃を盗んだ。
Ｒ＝スミスとジョンソンは盗んでいない（アリバイが有る）。
Ｓ＝門衛が銃を盗んだ。
とするならば、
Ｐ，Ｑ，Ｒ├ Ｓ
であるものの、
① ∀ｘ（Ｋｘ→ｘ＝ｓ∨ｘ＝ｊ∨ｘ＝ｇ），∃ｘ（Ｋｘ＆Ｓｘ），～Ｓｓ＆～Ｓｊ├ Ｓｇ
② Ｐ，Ｑ，Ｒ├ Ｓ
に於いて、
① は、『述語論理』として 「妥当（ｖａｌｉｄ）」 であるが、
② は、『命題論理』として「不妥当（ｉｎｖａｌｉｄ）」である。
従って、
（07）（08）により、
（09）
例へば、
（ⅰ）スミスとジョンソンと門衛のみが合言葉を知っていた。
（ⅱ）合言葉を知っていたある者が銃を盗んだ。
（ⅲ）然るに、スミスとジョンソンは盗んでいない。
（ⅳ）従って、門衛が銃を盗んだ。
といふ「推論」の「妥当性」は、『命題論理』では「証明」出来ない。
令和６年１月１０日、毛利太。
さて次の論証を考えてみよう（これはQuine〔17〕の翻案である）。
（ⅰ）スミスと門衛のみが合言葉を知っていた。
（ⅱ）合言葉を知っていたある者が銃を盗んだ。
（ⅲ）故に、スミスかあるいはその門衛が銃を盗んだ。
これは明らかに健全である。
（E.J.レモン著、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、1973年、２０９頁改）
従って、
（01）により、
（02）
（ⅰ）スミスとジョンソンと門衛のみが合言葉を知っていた。
（ⅱ）合言葉を知っていたある者が銃を盗んだ。
（ⅲ）然るに、スミスとジョンソンは盗んでいない（アリバイが有る）。
（ⅳ）従って、門衛が銃を盗んだ。
といふ「推論」も、明らかに、健全である。
然るに、
（03）
Ｋ＝合言葉を知ってゐた。
Ｓ＝銃を盗んだ。
ｓ＝スミス。
ｊ＝ジョンソン。
ｇ＝門衛。
とする。
然るに、
（04）
１ （１）∀ｘ（Ｋｘ→ｘ＝ｓ∨ｘ＝ｊ∨ｘ＝ｇ） Ａ
２ （２）∃ｘ（Ｋｘ＆Ｓｘ） Ａ
３ （３） ～Ｓｓ＆～Ｓｊ Ａ
４ （４） Ｋａ＆Ｓａ Ａ
４ （５） Ｋａ ４＆Ｅ
４ （６） Ｓａ ４＆Ｅ
１ （７） Ｋａ→ａ＝ｓ∨ａ＝ｊ ∨ａ＝ｇ １ＵＥ
１ ４ （８） ａ＝ｓ∨ａ＝ｊ ∨ａ＝ｇ ５７ＭＰＰ
１ ４ （９） （ａ＝ｓ∨ａ＝ｊ）∨ａ＝ｇ ８結合法則
ア （ア） （ａ＝ｓ∨ａ＝ｊ） Ａ
イ （イ） ａ＝ｓ Ａ
４ イ （ウ） Ｓｓ ６イ＝Ｅ
４ イ （エ） Ｓｓ∨Ｓｊ ウ∨Ｉ
４ イ （オ） Ｓｓ∨Ｓｊ∨Ｓｇ エ∨Ｉ
カ （カ） ａ＝ｊ Ａ
４ カ （キ） Ｓｊ ６カ＝Ｅ
４ カ （ク） Ｓｓ∨Ｓｊ キ∨Ｉ
４ カ （ケ） Ｓｓ∨Ｓｊ∨Ｓｇ ク∨I
４ （コ） Ｓｓ∨Ｓｊ∨Ｓｇ アイオカケ∨Ｅ
４ サ（サ） ａ＝ｇ Ａ
４ サ（シ） Ｓｇ ６サ＝Ｅ
４ サ（ス） Ｓｊ∨Ｓｇ シ∨Ｉ
４ サ（セ） Ｓｓ∨Ｓｊ∨Ｓｇ ス∨Ｉ
１ ４ （ソ） Ｓｓ∨Ｓｊ∨Ｓｇ ９アコサセ∨Ｅ
１２ （タ） Ｓｓ∨Ｓｊ∨Ｓｇ ２４ソＥＥ
１２ （チ） （Ｓｓ∨Ｓｊ）∨Ｓｇ タ結合法則
１２ （ツ） ～～（Ｓｓ∨Ｓｊ）∨Ｓｇ チＤＮ
１２ （テ） ～（Ｓｓ∨Ｓｊ）→Ｓｇ ツ含意の定義
３ （ト） ～（Ｓｓ∨Ｓｊ） ３ド・モルガンの法則
１２３ （ナ） Ｓｇ テトＭＰＰ
従って、
（04）により、
（05）
∀ｘ（Ｋｘ→ｘ＝ｓ∨ｘ＝ｊ∨ｘ＝ｇ），∃ｘ（Ｋｘ＆Ｓｘ），～Ｓｓ＆～Ｓｊ├ Ｓｇ
といふ「連式」は「妥当」である。
従って、
（03）（04）（05）により、
（06）
（ⅰ）∀ｘ（Ｋｘ→ｘ＝ｓ∨ｘ＝ｊ∨ｘ＝ｇ）
（ⅱ）∃ｘ（Ｋｘ＆Ｓｘ）
（ⅲ）～Ｓｓ＆～Ｓｊ
（ⅳ） Ｓｇ
といふ「推論」、すなはち、
（ⅰ）すべてのｘについて（ｘが合言葉を知ってゐたならば、ｘはスミスか、ジョンソンか、門衛である）。然るに、
（ⅱ）あるｘは（合言葉を知ってゐたし、銃を盗んだ）。然るに、
（ⅲ）スミスは銃を盗んでゐないし、ジョンソンも銃を盗んでいない。従って、
（ⅳ）銃を盗んだのは門衛である。
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（02）（06）により、
（07）
（ⅰ）スミスとジョンソンと門衛のみが合言葉を知っていた。
（ⅱ）合言葉を知っていたある者が銃を盗んだ。
（ⅲ）然るに、スミスとジョンソンは盗んでいない（アリバイが有る）。
（ⅳ）従って、門衛が銃を盗んだ。
といふ「推論」は、『述語論理』としても、「妥当」である。
従って、
（05）（06）（07）により、
（08）
Ｐ＝スミスとジョンソンと門衛のみが合言葉を知っていた。
Ｑ＝合言葉を知っていたある者が銃を盗んだ。
Ｒ＝スミスとジョンソンは盗んでいない（アリバイが有る）。
Ｓ＝門衛が銃を盗んだ。
とするならば、
Ｐ，Ｑ，Ｒ├ Ｓ
であるものの、
① ∀ｘ（Ｋｘ→ｘ＝ｓ∨ｘ＝ｊ∨ｘ＝ｇ），∃ｘ（Ｋｘ＆Ｓｘ），～Ｓｓ＆～Ｓｊ├ Ｓｇ
② Ｐ，Ｑ，Ｒ├ Ｓ
に於いて、
① は、『述語論理』として 「妥当（ｖａｌｉｄ）」 であるが、
② は、『命題論理』として「不妥当（ｉｎｖａｌｉｄ）」である。
従って、
（07）（08）により、
（09）
例へば、
（ⅰ）スミスとジョンソンと門衛のみが合言葉を知っていた。
（ⅱ）合言葉を知っていたある者が銃を盗んだ。
（ⅲ）然るに、スミスとジョンソンは盗んでいない。
（ⅳ）従って、門衛が銃を盗んだ。
といふ「推論」の「妥当性」は、『命題論理』では「証明」出来ない。
令和６年１月１０日、毛利太。
2024年1月6日土曜日
「述語論理」と「のみが（only）」について。
（01）
さて次の論証を考えてみよう（これはQuine〔17〕の翻案である）。
（１２）スミスとその門衛のみが合言葉を知っていた。合言葉を知っていたある者が銃を盗んだ。故に、スミスかあるいはその門衛が銃を盗んだ。
Only Smith and the guard at the gate knew the password; Someone who knew the password stole the gun. Therefore, either Smith or the guard at the gate stole the gun.
これは明らかに健全である。しかしその健全性を、等号を含まない述語計算の中で示すことはできないのである。
「のみ（only）」という語の通常の意味を念頭におくならば、（１２）の第１の前提は次のことを意味する。
（１３）合言葉を知っていたすべての人は、スミスであったか、あるいはその門衛であった。
Everyone who knew the the password either was Smith or was the guard at the gate.
（１３）において、２つの「であった（was）」は同一性の「であった（was）」である。従って、
「Ｋ」が「合言葉を知っていたこと」を、「ｍ」がスミス、「ｎ」がその門衛を表すとするならば、（１３）はつぎのように記号化される。
（１４）∀ｘ（Ｋｘ→ｘ＝ｍ∨ｘ＝ｎ）
（E.J.レモン著、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、1973年、２０９頁）
然るに、
（02）
１ （１）∀ｘ（Ｋｘ→ｘ＝ｍ∨ｘ＝ｎ） Ａ
１ （２） Ｋａ→ａ＝ｍ∨ａ＝ｎ １ＵＥ
３ （３）∃ｘ（ｘ＝ｏ＆ｘ≠ｍ＆ｘ≠ｎ） Ａ
４ （４） ａ＝ｏ＆ａ≠ｍ＆ａ≠ｎ Ａ
４ （５） ａ＝ｏ ４＆Ｅ
４ （６） ａ≠ｍ＆ａ≠ｎ ４＆Ｅ
７ （７） ａ＝ｍ∨ａ＝ｎ Ａ
４ （８） ａ≠ｍ ６＆Ｅ
９ （９） ａ＝ｍ Ａ
４ ９ （ア） ａ≠ｍ＆ａ＝ｍ ８９＆Ｉ
９ （イ） ～（ａ≠ｍ＆ａ≠ｎ） ４アＲＡＡ
４ （ウ） ａ≠ｎ ６＆Ｅ
エ（エ） ａ＝ｎ Ａ
４ エ（オ） ａ≠ｎ＆ａ＝ｎ ウエ＆Ｉ
エ（カ） ～（ａ≠ｍ＆ａ≠ｎ） ４オＲＡＡ
７ （キ） ～（ａ≠ｍ＆ａ≠ｎ） ７９イエカ∨Ｅ
４７ （ク） （ａ≠ｍ＆ａ≠ｎ）＆
～（ａ≠ｍ＆ａ≠ｎ） ６キ＆Ｉ
４ （ケ） ～（ａ＝ｍ∨ａ＝ｎ） ７クＲＡＡ
３ （コ） ～（ａ＝ｍ∨ａ＝ｎ） ３４ケＥＥ
１３ （サ） ～Ｋａ ２コＭＴＴ
１ ４ （シ） ａ＝ｏ＆～Ｋａ ４サ＆Ｉ
１ ４ （ス）∃ｘ（ｘ＝ｏ＆～Ｋｘ） シＥＩ
１３ （セ）∃ｘ（ｘ＝ｏ＆～Ｋｘ） ３４スＥＥ
１ （ソ）∃ｘ（ｘ＝ｏ＆ｘ≠ｍ＆ｘ≠ｎ）→
∃ｘ（ｘ＝ｏ＆～Ｋｘ） ３セＣＰ
従って、
（02）により、
（03）
① ∀ｘ（Ｋｘ→ｘ＝ｍ∨ｘ＝ｎ）├ ∃ｘ（ｘ＝ｏ＆ｘ≠ｍ＆ｘ≠ｎ）→∃ｘ（ｘ＝ｏ＆～Ｋｘ）
といふ「推論」、すなはち、
① すべてのｘについて、（ｘが合言葉を知っていたならば、ｘはスミスであるか、あるいは、門衛であった）。従って、
あるｘがｏであって、そのｘが、スミスではなく、門衛でもないならば、ｏといふｘで、合言葉を知らなかったｘが存在する。
といふ「推論」は「妥当」である。
然るに、
（03）により、
（04）
① あるｘがｏであって、そのｘが、スミスではなく、門衛でもないならば、ｏといふｘで、合言葉を知らなかったｘが存在する。
といふことは、
（１３）合言葉を知っていたすべての人は、スミスであったか、あるいは、その門衛の、いずれかであった。
Everyone who knew the the password either was Smith or was the guard at the gate.
といふことに、「他ならない」。
従って、
（01）（04）により、
（05）
E.J.レモンによる、
「のみ（only）」という語の通常の意味を念頭におくならば、（１２）の第１の前提は次のことを意味する。
（１３）合言葉を知っていたすべての人は、スミスであったか、あるいは、その門衛の、いずれかであった。
Everyone who knew the the password either was Smith or was the guard at the gate.
といふ「説明」は、「正しい」。
従って、
（05）により、
（06）
「Ｓ」を、「銃を盗んだこと」を表すものとして用いるならば、われわれが証明しなくてはならないものはつぎの連式である。
１４１ ∀ｘ（Ｋｘ→ｘ＝ｍ∨ｘ＝ｎ），∃ｘ（Ｋｘ＆Ｓｘ）├ Ｓｍ∨Ｓｎ
１ （１）∀ｘ（Ｋｘ→ｘ＝ｍ∨ｘ＝ｎ） Ａ
２ （２）∃ｘ（Ｋｘ＆Ｓｘ） Ａ
３ （３） Ｋａ＆Ｓａ Ａ
３ （４） Ｋａ ３＆Ｅ
３ （５） Ｓａ ３＆Ｅ
１ （６） Ｋａ→ａ＝ｍ∨ａ＝ｎ １ＵＥ
１ ３ （７） ａ＝ｍ∨ａ＝ｎ ４６ＭＰＰ
８ （８） ａ＝ｍ Ａ
３８ （９） Ｓｍ ５８＝Ｅ
３８ （ア） Ｓｍ∨Ｓｎ ９∨Ｉ
イ（イ） ａ＝ｎ Ａ
３ イ（ウ） Ｓｎ ５イ＝Ｅ
３ イ（エ） Ｓｍ∨Ｓｎ ウ∨I
１ ３ （オ） Ｓｍ∨Ｓｎ ７８アイエ∨Ｅ
１２ （カ） Ｓｍ∨Ｓｎ ２３オＥＥ
（E.J.レモン著、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、1973年、２０９頁）
といふ「計算」は、「正しい」。
然るに、
（07）
「数学」が得意な学生は、世間では、「論理的な思考」が「得意」であるとされてゐるが、
「論理学」が得意な学生が、「論理的な思考」が「不得手」であるはずが無い。
然るに、
（08）
① ∀ｘ（Ｋｘ→ｘ＝ｍ∨ｘ＝ｎ）├ ∃ｘ（ｘ＝ｏ＆ｘ≠ｍ＆ｘ≠ｎ）→∃ｘ（ｘ＝ｏ＆～Ｋｘ）
② ∀ｘ（Ｋｘ→ｘ＝ｍ∨ｘ＝ｎ），∃ｘ（Ｋｘ＆Ｓｘ）├ Ｓｍ∨Ｓｎ
といふ「述語論理式」は、「数学（mathematics）」ではなく、『語学（language）』である。
従って、
（09）
「（文法を基礎とした）外国語としての英語の学習」が得意な「学生」は、あるいは、
「数学の学習」が得意な「学生」よりも、「論理的な思考」が得意なのかも、知れない（？！）。
令和６年１月６日、毛利太。
さて次の論証を考えてみよう（これはQuine〔17〕の翻案である）。
（１２）スミスとその門衛のみが合言葉を知っていた。合言葉を知っていたある者が銃を盗んだ。故に、スミスかあるいはその門衛が銃を盗んだ。
Only Smith and the guard at the gate knew the password; Someone who knew the password stole the gun. Therefore, either Smith or the guard at the gate stole the gun.
これは明らかに健全である。しかしその健全性を、等号を含まない述語計算の中で示すことはできないのである。
「のみ（only）」という語の通常の意味を念頭におくならば、（１２）の第１の前提は次のことを意味する。
（１３）合言葉を知っていたすべての人は、スミスであったか、あるいはその門衛であった。
Everyone who knew the the password either was Smith or was the guard at the gate.
（１３）において、２つの「であった（was）」は同一性の「であった（was）」である。従って、
「Ｋ」が「合言葉を知っていたこと」を、「ｍ」がスミス、「ｎ」がその門衛を表すとするならば、（１３）はつぎのように記号化される。
（１４）∀ｘ（Ｋｘ→ｘ＝ｍ∨ｘ＝ｎ）
（E.J.レモン著、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、1973年、２０９頁）
然るに、
（02）
１ （１）∀ｘ（Ｋｘ→ｘ＝ｍ∨ｘ＝ｎ） Ａ
１ （２） Ｋａ→ａ＝ｍ∨ａ＝ｎ １ＵＥ
３ （３）∃ｘ（ｘ＝ｏ＆ｘ≠ｍ＆ｘ≠ｎ） Ａ
４ （４） ａ＝ｏ＆ａ≠ｍ＆ａ≠ｎ Ａ
４ （５） ａ＝ｏ ４＆Ｅ
４ （６） ａ≠ｍ＆ａ≠ｎ ４＆Ｅ
７ （７） ａ＝ｍ∨ａ＝ｎ Ａ
４ （８） ａ≠ｍ ６＆Ｅ
９ （９） ａ＝ｍ Ａ
４ ９ （ア） ａ≠ｍ＆ａ＝ｍ ８９＆Ｉ
９ （イ） ～（ａ≠ｍ＆ａ≠ｎ） ４アＲＡＡ
４ （ウ） ａ≠ｎ ６＆Ｅ
エ（エ） ａ＝ｎ Ａ
４ エ（オ） ａ≠ｎ＆ａ＝ｎ ウエ＆Ｉ
エ（カ） ～（ａ≠ｍ＆ａ≠ｎ） ４オＲＡＡ
７ （キ） ～（ａ≠ｍ＆ａ≠ｎ） ７９イエカ∨Ｅ
４７ （ク） （ａ≠ｍ＆ａ≠ｎ）＆
～（ａ≠ｍ＆ａ≠ｎ） ６キ＆Ｉ
４ （ケ） ～（ａ＝ｍ∨ａ＝ｎ） ７クＲＡＡ
３ （コ） ～（ａ＝ｍ∨ａ＝ｎ） ３４ケＥＥ
１３ （サ） ～Ｋａ ２コＭＴＴ
１ ４ （シ） ａ＝ｏ＆～Ｋａ ４サ＆Ｉ
１ ４ （ス）∃ｘ（ｘ＝ｏ＆～Ｋｘ） シＥＩ
１３ （セ）∃ｘ（ｘ＝ｏ＆～Ｋｘ） ３４スＥＥ
１ （ソ）∃ｘ（ｘ＝ｏ＆ｘ≠ｍ＆ｘ≠ｎ）→
∃ｘ（ｘ＝ｏ＆～Ｋｘ） ３セＣＰ
従って、
（02）により、
（03）
① ∀ｘ（Ｋｘ→ｘ＝ｍ∨ｘ＝ｎ）├ ∃ｘ（ｘ＝ｏ＆ｘ≠ｍ＆ｘ≠ｎ）→∃ｘ（ｘ＝ｏ＆～Ｋｘ）
といふ「推論」、すなはち、
① すべてのｘについて、（ｘが合言葉を知っていたならば、ｘはスミスであるか、あるいは、門衛であった）。従って、
あるｘがｏであって、そのｘが、スミスではなく、門衛でもないならば、ｏといふｘで、合言葉を知らなかったｘが存在する。
といふ「推論」は「妥当」である。
然るに、
（03）により、
（04）
① あるｘがｏであって、そのｘが、スミスではなく、門衛でもないならば、ｏといふｘで、合言葉を知らなかったｘが存在する。
といふことは、
（１３）合言葉を知っていたすべての人は、スミスであったか、あるいは、その門衛の、いずれかであった。
Everyone who knew the the password either was Smith or was the guard at the gate.
といふことに、「他ならない」。
従って、
（01）（04）により、
（05）
E.J.レモンによる、
「のみ（only）」という語の通常の意味を念頭におくならば、（１２）の第１の前提は次のことを意味する。
（１３）合言葉を知っていたすべての人は、スミスであったか、あるいは、その門衛の、いずれかであった。
Everyone who knew the the password either was Smith or was the guard at the gate.
といふ「説明」は、「正しい」。
従って、
（05）により、
（06）
「Ｓ」を、「銃を盗んだこと」を表すものとして用いるならば、われわれが証明しなくてはならないものはつぎの連式である。
１４１ ∀ｘ（Ｋｘ→ｘ＝ｍ∨ｘ＝ｎ），∃ｘ（Ｋｘ＆Ｓｘ）├ Ｓｍ∨Ｓｎ
１ （１）∀ｘ（Ｋｘ→ｘ＝ｍ∨ｘ＝ｎ） Ａ
２ （２）∃ｘ（Ｋｘ＆Ｓｘ） Ａ
３ （３） Ｋａ＆Ｓａ Ａ
３ （４） Ｋａ ３＆Ｅ
３ （５） Ｓａ ３＆Ｅ
１ （６） Ｋａ→ａ＝ｍ∨ａ＝ｎ １ＵＥ
１ ３ （７） ａ＝ｍ∨ａ＝ｎ ４６ＭＰＰ
８ （８） ａ＝ｍ Ａ
３８ （９） Ｓｍ ５８＝Ｅ
３８ （ア） Ｓｍ∨Ｓｎ ９∨Ｉ
イ（イ） ａ＝ｎ Ａ
３ イ（ウ） Ｓｎ ５イ＝Ｅ
３ イ（エ） Ｓｍ∨Ｓｎ ウ∨I
１ ３ （オ） Ｓｍ∨Ｓｎ ７８アイエ∨Ｅ
１２ （カ） Ｓｍ∨Ｓｎ ２３オＥＥ
（E.J.レモン著、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、1973年、２０９頁）
といふ「計算」は、「正しい」。
然るに、
（07）
「数学」が得意な学生は、世間では、「論理的な思考」が「得意」であるとされてゐるが、
「論理学」が得意な学生が、「論理的な思考」が「不得手」であるはずが無い。
然るに、
（08）
① ∀ｘ（Ｋｘ→ｘ＝ｍ∨ｘ＝ｎ）├ ∃ｘ（ｘ＝ｏ＆ｘ≠ｍ＆ｘ≠ｎ）→∃ｘ（ｘ＝ｏ＆～Ｋｘ）
② ∀ｘ（Ｋｘ→ｘ＝ｍ∨ｘ＝ｎ），∃ｘ（Ｋｘ＆Ｓｘ）├ Ｓｍ∨Ｓｎ
といふ「述語論理式」は、「数学（mathematics）」ではなく、『語学（language）』である。
従って、
（09）
「（文法を基礎とした）外国語としての英語の学習」が得意な「学生」は、あるいは、
「数学の学習」が得意な「学生」よりも、「論理的な思考」が得意なのかも、知れない（？！）。
令和６年１月６日、毛利太。
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