「同一性」の「述語論理」の「研究」（Ⅱ）。

―「先程の記事（令和６年１月１４日）」の記事を書き直します。―
（01）
｛個体変数の変域｝＝｛ａ、ｂ、ｃ｝
であるとするならば、
① ∃ｘ（Ｆｘ）
② Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（02）
｛個体変数の変域｝＝｛ａ、ｂ、ｃ｝
であるとするならば、
③ ∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）
④（Ｆａ＆Ｆａ）∨（Ｆａ＆Ｆｂ）∨（Ｆａ＆Ｆｃ）∨（Ｆｂ＆Ｆａ）∨（Ｆｂ＆Ｆｂ）∨（Ｆｂ＆Ｆｃ）∨（Ｆｃ＆Ｆａ）∨（Ｆｃ＆Ｆｂ）∨（Ｆｃ＆Ｆｃ）
に於いて、
③＝④ である。
然るに、
（03）
①（Ｆａ＆Ｆａ）
②（Ｆｂ＆Ｆｂ）
③（Ｆｂ＆Ｆｃ）
④（Ｆａ＆Ｆａ）∨（Ｆａ＆Ｆｂ）∨（Ｆａ＆Ｆｃ）∨（Ｆｂ＆Ｆａ）∨（Ｆｂ＆Ｆｂ）∨（Ｆｂ＆Ｆｃ）∨（Ｆｃ＆Ｆａ）∨（Ｆｃ＆Ｆｂ）∨（Ｆｃ＆Ｆｃ）
に於いて、
① が「真」であれば、④ も「真」であり、
② が「真」であれば、④ も「真」であり、
③ が「真」であれば、④ も「真」である。
然るに、
（04）
「冪等律」により、
①（Ｆａ＆Ｆａ）
②（Ｆｂ＆Ｆｂ）
③（Ｆｂ＆Ｆｃ）
は、それぞれ、
①（Ｆａ）
②（Ｆｂ）
③（Ｆｃ）
に「等しい」。
従って、
（03）（04）により、
（05）
①（Ｆａ）
②（Ｆｂ）
③（Ｆｃ）
といふ「３つ内の、１つが真」であれば、それだけで、
④（Ｆａ＆Ｆａ）∨（Ｆａ＆Ｆｂ）∨（Ｆａ＆Ｆｃ）∨（Ｆｂ＆Ｆａ）∨（Ｆｂ＆Ｆｂ）∨（Ｆｂ＆Ｆｃ）∨（Ｆｃ＆Ｆａ）∨（Ｆｃ＆Ｆｂ）∨（Ｆｃ＆Ｆｃ）
も「真」になるし、次の『説明』、
１４２ ∃ｘ（Ｆｘ）├ ∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）
１　（１）　　∃ｘ（Ｆｘ）　　　　Ａ
　２（２）　　　　　Ｆａ　　　　　Ａ
　２（３）　　　　　Ｆａ＆Ｆａ　　２２＆Ｉ
　２（４）　　∃ｙ（Ｆａ＆Ｆｙ）　３ＥＩ
　２（５）∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）　４ＥＩ
１　（６）∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）　１２５ＥＥ
この連式の妥当性から、ひとつだけの対象がＦがもっているならば、 ∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）が帰結する。言い換えると、相異なった変数、「ｘ」と「ｙ」を用いる場合に、そのことから、それに対応する相異なる対象が存在するということは帰結しないのである（E.J.レモン著 論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年、２１０頁）。
といふ『説明』は、「そのこと」を述べてゐる。
然るに、
（06）
④ ∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）
ではなく、
⑤ ∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ≠ｙ）
であるとするならば、すなはち、
④（Ｆａ＆Ｆａ）∨（Ｆａ＆Ｆｂ）∨（Ｆａ＆Ｆｃ）∨（Ｆｂ＆Ｆａ）∨（Ｆｂ＆Ｆｂ）∨（Ｆｂ＆Ｆｃ）∨（Ｆｃ＆Ｆａ）∨（Ｆｃ＆Ｆｂ）∨（Ｆｃ＆Ｆｃ）
ではなく、
⑤（Ｆａ＆Ｆｂ）∨（Ｆａ＆Ｆｃ）∨（Ｆｂ＆Ｆｃ）
であるとするならば、
①（Ｆａ＆Ｆｂ）
②（Ｆａ＆Ｆｃ）
③（Ｆｂ＆Ｆｃ）
といふ「３つの内の、少なくとも１つは、真」である。
然るに、
（07）
｛個体変数の変域｝＝｛ａ、ｂ、ｃ｝
であるとして、例へば、
①（Ｆａ＆Ｆｂ）
であるならば、
①（ａはＦであり、ａではない、ｂもＦである）。
といふことになる。
従って、
（06）（07）により、
（08）
⑤ ∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ≠ｙ）
とするならば、すなはち、
⑤（Ｆａ＆Ｆｂ）∨（Ｆａ＆Ｆｃ）∨（Ｆｂ＆Ｆｃ）
とするならば、例へば、
①（ａはＦであり、ａではない、ｂもＦである）。
といふことになる。
従って、
（01）（06）（07）（08）により、
（09）
⑤ ∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ≠ｙ）
とするならば、
｛個体変数の変域｝＝｛ａ、ｂ、ｃ｝
の中の、「２個以上の個体が、Ｆである」。
然るに、
（10）
「２個以上の個体が、Ｆである」の「否定」は、
「１個以下の個体が、Ｆである」の「肯定」である。
然るに、
（11）
⑤ 　∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ≠ｙ）
⑥ ～∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ≠ｙ）
に於いて、
⑤ の「否定」は、
⑥ である。
従って、
（09）（10）（11）により、
（12）
⑤ 　∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ≠ｙ）
ではなく、
⑥ ～∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ≠ｙ）
であるならば、
⑥「１個以下の個体が、Ｆである」。
然るに、
（13）
（ⅵ）
１（１）　～∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ≠ｙ）　Ａ
１（２）　∀ｘ～∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ≠ｙ）　１量化子の関係
１（３）　∀ｘ∀ｙ～（Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ≠ｙ）　２量化子の関係
１（４）　　　∀ｙ～（Ｆａ＆Ｆｙ＆ａ≠ｙ）　３ＵＥ
１（５）　　　　　～（Ｆａ＆Ｆｂ＆ａ≠ｂ）　４ＵＥ
１（６）　　　～｛（Ｆａ＆Ｆｂ）＆ａ≠ｂ｝　５結合法則
１（７）　　　　～（Ｆａ＆Ｆｂ）∨ａ＝ｂ　　６ド・モルガンの法則
１（８）　　　　　（Ｆａ＆Ｆｂ）→ａ＝ｂ　　７含意の定義
１（９）　　∀ｙ｛（Ｆａ＆Ｆｙ）→ａ＝ｙ｝　８ＵＩ
１（ア）∀ｘ∀ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）→ｘ＝ｙ｝　９ＵＩ
（ⅶ）
１（１）∀ｘ∀ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）→ｘ＝ｙ｝　Ａ
１（２）　　∀ｙ｛（Ｆａ＆Ｆｙ）→ａ＝ｙ｝　１ＵＥ
１（３）　　　　　（Ｆａ＆Ｆｂ）→ａ＝ｂ　　２ＵＥ
１（４）　　　　～（Ｆａ＆Ｆｂ）∨ａ＝ｂ　　３含意の定義
１（５）　　　～｛（Ｆａ＆Ｆｂ）＆ａ≠ｂ｝　４ド・モルガンの法則
１（６）　　　　　～（Ｆａ＆Ｆｂ＆ａ≠ｂ）　５結合法則
１（７）　　　∀ｙ～（Ｆａ＆Ｆｙ＆ａ≠ｙ）　６ＵＩ
１（８）　∀ｘ∀ｙ～（Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ≠ｙ）　７ＵＩ
１（９）　∀ｘ～∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ≠ｙ）　８量化子の関係
１（ア）　～∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ≠ｙ）　９量化子の関係
従って、
（13）により、
（14）
⑥ ～∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ≠ｙ）
⑦ 　∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）
に於いて、
⑥＝⑦ である。
従って、
（12）（13）（14）により、
（15）
⑥ ～∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ≠ｙ）
が「そうである」やうに、
⑦ 　∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）
であるならば、
⑦「１個以下の個体が、Ｆである」。
然るに、
（16）
⑧ ∃ｘ（Ｆｘ）
であるならば、
⑧「１個以上の個体が、Ｆである」。
従って、
（15）（16）により、
（17）
⑧ ∃ｘ（Ｆｘ）＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）
であるならば、
⑧「１個以上で、１個以下の個体が、Ｆである」。
然るに、
（18）
⑧「１個以上で、１個以下の個体が、Ｆである」。
といふことは、
⑧「ちょうど１個（exactly one）の個体が、Ｆである」。
といふことに、「他ならない」。
然るに、
（19）
次に示す通り、
⑧ ∃ｘ（Ｆｘ）＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）
⑨ ∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝
に於いて、
⑧＝⑨ である。
（20）
（ⅷ）
１　　（１）∃ｘＦｘ＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）　Ａ
１　　（２）∃ｘＦｘ　　　　　　　　　　　　　　　　　１＆Ｅ
　３　（３）　　Ｆａ　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
１　　（４）　　　　　∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）　１＆Ｅ
１　　（５）　　　　　　　∀ｙ（Ｆａ＆Ｆｙ→ａ＝ｙ）　４ＵＥ
１　　（６）　　　　　　　　　　Ｆａ＆Ｆｂ→ａ＝ｂ　　５ＵＥ
　　７（７）　　　　　　　　　　　　　Ｆｂ　　　　　　Ａ
　３７（８）　　　　　　　　　　Ｆａ＆Ｆｂ　　　　　　３７＆Ｉ
１３７（９）　　　　　　　　　　　　　　　　ａ＝ｂ　　６８ＭＰＰ
１３　（ア）　　　　　　　　　　Ｆｂ→ａ＝ｂ　　　　　７９ＣＰ
１３　（イ）　　　　　　　∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ）　　　　アＵＩ
１３　（ウ）　　　　Ｆａ＆∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ）　　　　３イ＆Ｉ
１３　（エ）　∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝　　　ウＥＩ
１　　（オ）　∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝　　　２３エＥＥ
（ⅸ）
１　　（１）∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝　　　　Ａ
　２　（２）　　　Ｆａ＆∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ）　　　　　Ａ
　２　（３）　　　　　　∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ）　　　　　２＆Ｅ
　２　（４）　　　　　　　　　Ｆｂ→ａ＝ｂ　　　　　　３ＵＥ
　　５（５）　　　　　　Ｆａ＆Ｆｂ　　　　　　　　　　Ａ
　　５（６）　　　　　　　　　Ｆｂ　　　　　　　　　　５＆Ｅ
　２５（７）　　　　　　　　　　　　ａ＝ｂ　　　　　　４６ＭＰＰ
　２　（８）　　　　　　Ｆａ＆Ｆｂ→ａ＝ｂ　　　　　　５７ＣＰ
　２　（９）　　　∀ｙ（Ｆａ＆Ｆｙ→ａ＝ｙ）　　　　　８ＵＩ
　２　（ア）　∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）　　　　　９ＵＩ
　２　（イ）Ｆａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　２＆Ｅ
　２　（ウ）∃ｘＦｘ　　　　　　　　　　　　　　　　　イＥＩ
　２　（エ）∃ｘＦｘ＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）　アウ＆Ｉ
１　　（ウ）∃ｘＦｘ＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）　１２エＥＥ
従って、
（18）（19）（20）により、
（21）
⑨ ∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝
といふ「論理式」は、
⑨「ちょうど１個（exactly one）の個体が、Ｆである」。
といふことを、「示して」ゐる。
従って、
（21）により、
（22）
例へば、
⑨ 日本の山は富士山が最高峰である。
といふ「命題」は、
⑨ ∀ｘ｛日本の山ｘ→∃ｙ［（富士山ｙ＆最高峰ｙｘ）＆∀ｚ（最高峰ｚｘ→ｚ＝ｙ）］｝。
といふ「命題」、すなはち、
⑨ すべてのｘについて｛ｘが日本の山であるならば、あるｙは［（富士山であって、ｘの最高峰であって）、すべてのｚについて（ｚがｘの最高峰であるならば、ｚはｙと「同一」である）］｝。
といふ「命題」に「等しい」。
令和６年１月１４日、毛利太。