「述語論理」と「のみが（only）」について（Ⅱ）。

（01）
さて次の論証を考えてみよう（これはQuine〔17〕の翻案である）。
（ⅰ）スミスと門衛のみが合言葉を知っていた。
（ⅱ）合言葉を知っていたある者が銃を盗んだ。
（ⅲ）故に、スミスかあるいはその門衛が銃を盗んだ。
これは明らかに健全である。
（E.J.レモン著、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、1973年、２０９頁改）
従って、
（01）により、
（02）
（ⅰ）スミスとジョンソンと門衛のみが合言葉を知っていた。
（ⅱ）合言葉を知っていたある者が銃を盗んだ。
（ⅲ）然るに、スミスとジョンソンは盗んでいない（アリバイが有る）。
（ⅳ）従って、門衛が銃を盗んだ。
といふ「推論」も、明らかに、健全である。
然るに、
（03）
Ｋ＝合言葉を知ってゐた。
Ｓ＝銃を盗んだ。
ｓ＝スミス。
ｊ＝ジョンソン。
ｇ＝門衛。
とする。
然るに、
（04）
１　　　　　　　（１）∀ｘ（Ｋｘ→ｘ＝ｓ∨ｘ＝ｊ∨ｘ＝ｇ）　Ａ
　２　　　　　　（２）∃ｘ（Ｋｘ＆Ｓｘ）　　　　　　　　　　Ａ
　　３　　　　　（３）　　　　　～Ｓｓ＆～Ｓｊ　　　　　　　Ａ
　　　４　　　　（４）　　　Ｋａ＆Ｓａ　　　　　　　　　　　Ａ
　　　４　　　　（５）　　　Ｋａ　　　　　　　　　　　　　　４＆Ｅ
　　　４　　　　（６）　　　　　　Ｓａ　　　　　　　　　　　４＆Ｅ
１　　　　　　　（７）　　　Ｋａ→ａ＝ｓ∨ａ＝ｊ　∨ａ＝ｇ　１ＵＥ
１　　４　　　　（８）　　　　　　ａ＝ｓ∨ａ＝ｊ　∨ａ＝ｇ　５７ＭＰＰ
１　　４　　　　（９）　　　　　（ａ＝ｓ∨ａ＝ｊ）∨ａ＝ｇ　８結合法則
　　　　ア　　　（ア）　　　　　（ａ＝ｓ∨ａ＝ｊ）　　　　　Ａ
　　　　　イ　　（イ）　　　　　　ａ＝ｓ　　　　　　　　　　Ａ
　　　４　イ　　（ウ）　　　　　　Ｓｓ　　　　　　　　　　　６イ＝Ｅ
　　　４　イ　　（エ）　　　　　　Ｓｓ∨Ｓｊ　　　　　　　　ウ∨Ｉ
　　　４　イ　　（オ）　　　　　　Ｓｓ∨Ｓｊ∨Ｓｇ　　　　　エ∨Ｉ
　　　　　　カ　（カ）　　　　　　　　　　ａ＝ｊ　　　　　　Ａ
　　　４　　カ　（キ）　　　　　　　　　Ｓｊ　　　　　　　　６カ＝Ｅ
　　　４　　カ　（ク）　　　　　　Ｓｓ∨Ｓｊ　　　　　　　　キ∨Ｉ
　　　４　　カ　（ケ）　　　　　　Ｓｓ∨Ｓｊ∨Ｓｇ　　　　　ク∨I
　　　４　　　　（コ）　　　　　　Ｓｓ∨Ｓｊ∨Ｓｇ　　　　　アイオカケ∨Ｅ
　　　４　　　サ（サ）　　　　　　　　　　　　　　　ａ＝ｇ　Ａ
　　　４　　　サ（シ）　　　　　　　　　　　　Ｓｇ　　　　　６サ＝Ｅ
　　　４　　　サ（ス）　　　　　　　　　Ｓｊ∨Ｓｇ　　　　　シ∨Ｉ
　　　４　　　サ（セ）　　　　　　Ｓｓ∨Ｓｊ∨Ｓｇ　　　　　ス∨Ｉ
１　　４　　　　（ソ）　　　　　　Ｓｓ∨Ｓｊ∨Ｓｇ　　　　　９アコサセ∨Ｅ
１２　　　　　　（タ）　　　　　　Ｓｓ∨Ｓｊ∨Ｓｇ　　　　　２４ソＥＥ
１２　　　　　　（チ）　　　　（Ｓｓ∨Ｓｊ）∨Ｓｇ　　　　　タ結合法則
１２　　　　　　（ツ）　　～～（Ｓｓ∨Ｓｊ）∨Ｓｇ　　　　　チＤＮ
１２　　　　　　（テ）　　　～（Ｓｓ∨Ｓｊ）→Ｓｇ　　　　　ツ含意の定義
　　３　　　　　（ト）　　　～（Ｓｓ∨Ｓｊ）　　　　　　　　３ド・モルガンの法則
１２３　　　　　（ナ）　　　　　　　　　　　　Ｓｇ　　　　　テトＭＰＰ
従って、
（04）により、
（05）
∀ｘ（Ｋｘ→ｘ＝ｓ∨ｘ＝ｊ∨ｘ＝ｇ），∃ｘ（Ｋｘ＆Ｓｘ），～Ｓｓ＆～Ｓｊ├ Ｓｇ
といふ「連式」は「妥当」である。
従って、
（03）（04）（05）により、
（06）
（ⅰ）∀ｘ（Ｋｘ→ｘ＝ｓ∨ｘ＝ｊ∨ｘ＝ｇ）
（ⅱ）∃ｘ（Ｋｘ＆Ｓｘ）
（ⅲ）～Ｓｓ＆～Ｓｊ
（ⅳ）　Ｓｇ
といふ「推論」、すなはち、
（ⅰ）すべてのｘについて（ｘが合言葉を知ってゐたならば、ｘはスミスか、ジョンソンか、門衛である）。然るに、
（ⅱ）あるｘは（合言葉を知ってゐたし、銃を盗んだ）。然るに、
（ⅲ）スミスは銃を盗んでゐないし、ジョンソンも銃を盗んでいない。従って、
（ⅳ）銃を盗んだのは門衛である。
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（02）（06）により、
（07）
（ⅰ）スミスとジョンソンと門衛のみが合言葉を知っていた。
（ⅱ）合言葉を知っていたある者が銃を盗んだ。
（ⅲ）然るに、スミスとジョンソンは盗んでいない（アリバイが有る）。
（ⅳ）従って、門衛が銃を盗んだ。
といふ「推論」は、『述語論理』としても、「妥当」である。
従って、
（05）（06）（07）により、
（08）
Ｐ＝スミスとジョンソンと門衛のみが合言葉を知っていた。
Ｑ＝合言葉を知っていたある者が銃を盗んだ。
Ｒ＝スミスとジョンソンは盗んでいない（アリバイが有る）。
Ｓ＝門衛が銃を盗んだ。
とするならば、
Ｐ，Ｑ，Ｒ├ Ｓ
であるものの、
① ∀ｘ（Ｋｘ→ｘ＝ｓ∨ｘ＝ｊ∨ｘ＝ｇ），∃ｘ（Ｋｘ＆Ｓｘ），～Ｓｓ＆～Ｓｊ├ Ｓｇ
② Ｐ，Ｑ，Ｒ├ Ｓ
に於いて、
① は、『述語論理』として　「妥当（ｖａｌｉｄ）」　　であるが、
② は、『命題論理』として「不妥当（ｉｎｖａｌｉｄ）」である。
従って、
（07）（08）により、
（09）
例へば、
（ⅰ）スミスとジョンソンと門衛のみが合言葉を知っていた。
（ⅱ）合言葉を知っていたある者が銃を盗んだ。
（ⅲ）然るに、スミスとジョンソンは盗んでいない。
（ⅳ）従って、門衛が銃を盗んだ。
といふ「推論」の「妥当性」は、『命題論理』では「証明」出来ない。
令和６年１月１０日、毛利太。