「ちょうど２個のものがＦである」の「述語論理」。

（01）
① ∃ｘ∃ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）＆ｘ≠ｙ｝⇔
① あるｘとあるｙについて｛（ｘはＦであり、ｙもＦであるが）、ｘはｙではない。｝⇔
① 少なくとも、２個以上の対象（objects）がＦである。
然るに、
（02）
② ∃ｘ∃ｙ∃ｚ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ＆Ｆｚ）＆（ｘ≠ｙ＆ｘ≠ｚ＆ｙ≠ｚ）｝⇔
② あるｘとあるｙとあるｚについて｛（ｘはＦであり、ｙもＦであり、ｚもＦであるが）、ｘはｙではなく、ｘはｚでもなく、ｚもｙではない。｝⇔
② 少なくとも、３個以上の対象（objects）がＦである。
従って、
（02）により、
（03）
③ ～∃ｘ∃ｙ∃ｚ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ＆Ｆｚ）＆（ｘ≠ｙ＆ｘ≠ｚ＆ｙ≠ｚ）｝⇔
③（３個以上の対象（objects）がＦである）といふことはない。⇔
③ Ｆである対象（objects）は、多くとも、高々、２個以下である。
然るに、
（04）
（ⅲ）
１　（１）～∃ｘ∃ｙ∃ｚ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ＆Ｆｚ）＆　（ｘ≠ｙ＆ｘ≠ｚ＆ｙ≠ｚ）｝　Ａ
１　（２）∀ｘ～∃ｙ∃ｚ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ＆Ｆｚ）＆　（ｘ≠ｙ＆ｘ≠ｚ＆ｙ≠ｚ）｝　１量化子の関係
１　（３）∀ｘ∀ｙ～∃ｚ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ＆Ｆｚ）＆　（ｘ≠ｙ＆ｘ≠ｚ＆ｙ≠ｚ）｝　２量化子の関係
１　（４）∀ｘ∀ｙ∀ｚ～｛（Ｆｘ＆Ｆｙ＆Ｆｚ）＆　（ｘ≠ｙ＆ｘ≠ｚ＆ｙ≠ｚ）｝　３量化子の関係
１　（５）　　∀ｙ∀ｚ～｛（Ｆａ＆Ｆｙ＆Ｆｚ）＆　（ａ≠ｙ＆ａ≠ｚ＆ｙ≠ｚ）｝　４ＵＥ
１　（６）　　　　∀ｚ～｛（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｚ）＆　（ａ≠ｂ＆ａ≠ｚ＆ｂ≠ｚ）｝　５ＵＥ
１　（７）　　　　　　～｛（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）＆　（ａ≠ｂ＆ａ≠ｃ＆ｂ≠ｃ）｝　６ＵＥ
１　（８）　　　　　　　～（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）∨～（ａ≠ｂ＆ａ≠ｃ＆ｂ≠ｃ）　　７ド・モルガンの法則
１　（９）　　　　　　　　（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）→～（ａ≠ｂ＆ａ≠ｃ＆ｂ≠ｃ）　　８含意の定義
　ア（ア）　　　　　　　　（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
１ア（イ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～（ａ≠ｂ＆ａ≠ｃ＆ｂ≠ｃ）　　９アＭＰＰ
１ア（ウ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（ａ＝ｂ∨ａ＝ｃ∨ｂ＝ｃ）　　イ、ド・モルガンの法則
１　（エ）　　　　　　　　（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）→　（ａ＝ｂ∨ａ＝ｃ∨ｂ＝ｃ）　　アウＣＰ
１　（オ）　　　　　∀ｚ｛（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｚ）→　（ａ＝ｂ∨ａ＝ｚ∨ｂ＝ｚ）｝　エＵＩ
１　（カ）　　　∀ｙ∀ｚ｛（Ｆａ＆Ｆｙ＆Ｆｚ）→　（ａ＝ｙ∨ａ＝ｚ∨ｙ＝ｚ）｝　オＵＩ
１　（キ）　∀ｘ∀ｙ∀ｚ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ＆Ｆｚ）→　（ｘ＝ｙ∨ｘ＝ｚ∨ｙ＝ｚ）｝　カＵＩ
（ⅳ）
１　（１）　∀ｘ∀ｙ∀ｚ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ＆Ｆｚ）→　（ｘ＝ｙ∨ｘ＝ｚ∨ｙ＝ｚ）｝　Ａ
１　（２）　　　∀ｙ∀ｚ｛（Ｆａ＆Ｆｙ＆Ｆｚ）→　（ａ＝ｙ∨ａ＝ｚ∨ｙ＝ｚ）｝　１ＵＥ
１　（３）　　　　　∀ｚ｛（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｚ）→　（ａ＝ｂ∨ａ＝ｚ∨ｂ＝ｚ）｝　２ＵＥ
１　（４）　　　　　　　　（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）→　（ａ＝ｂ∨ａ＝ｚ∨ｂ＝ｚ）　　３ＵＥ
　５（５）　　　　　　　　（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
１５（６）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（ａ＝ｂ∨ａ＝ｚ∨ｂ＝ｚ）　　４５ＭＰＰ
１５（７）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～（ａ≠ｂ＆ａ≠ｃ＆ｂ≠ｃ）　　６ド・モルガンの法則
１　（８）　　　　　　　　（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）→～（ａ≠ｂ＆ａ≠ｃ＆ｂ≠ｃ）　　５７ＣＰ
１　（９）　　　　　　　～（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）∨～（ａ≠ｂ＆ａ≠ｃ＆ｂ≠ｃ）　　８含意の定義
１　（ア）　　　　　　～｛（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）＆　（ａ≠ｂ＆ａ≠ｃ＆ｂ≠ｃ）｝　９ド・モルガンの法則
１　（イ）　　　　∀ｚ～｛（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｚ）＆　（ａ≠ｂ＆ａ≠ｚ＆ｂ≠ｚ）｝　アＵＩ
１　（ウ）　　∀ｙ∀ｚ～｛（Ｆａ＆Ｆｙ＆Ｆｚ）→　（ａ＝ｙ∨ａ＝ｚ∨ｙ＝ｚ）｝　イＵＩ
１　（エ）∀ｘ∀ｙ∀ｚ～｛（Ｆｘ＆Ｆｙ＆Ｆｚ）＆　（ｘ≠ｙ＆ｘ≠ｚ＆ｙ≠ｚ）｝　ウＵＩ
１　（オ）∀ｘ∀ｙ～∃ｚ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ＆Ｆｚ）＆　（ｘ≠ｙ＆ｘ≠ｚ＆ｙ≠ｚ）｝　エ量化子の関係
１　（カ）∀ｘ～∃ｙ∃ｚ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ＆Ｆｚ）＆　（ｘ≠ｙ＆ｘ≠ｚ＆ｙ≠ｚ）｝　オ量化子の関係
１　（キ）～∃ｘ∃ｙ∃ｚ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ＆Ｆｚ）＆　（ｘ≠ｙ＆ｘ≠ｚ＆ｙ≠ｚ）｝　カ量化子の関係
従って、
（03）（04）により、
（05）
③ ～∃ｘ∃ｙ∃ｚ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ＆Ｆｚ）＆（ｘ≠ｙ＆ｘ≠ｚ＆ｙ≠ｚ）｝≡Ｆである対象（objects）は、多くとも、２個以下である。
④ 　∀ｘ∀ｙ∀ｚ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ＆Ｆｚ）→（ｘ＝ｙ∨ｘ＝ｚ∨ｙ＝ｚ）｝≡Ｆである対象（objects）は、多くとも、２個以下である。
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（01）（05）により、
（06）
① 　　∃ｘ∃ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）＆ｘ≠ｙ｝　　　　　　　　　　　　　≡少なくとも、２個以上の対象（objects）がＦである。
④ ∀ｘ∀ｙ∀ｚ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ＆Ｆｚ）→（ｘ＝ｙ∨ｘ＝ｚ∨ｙ＝ｚ）｝≡Ｆである対象（objects）は、多くとも、２個以下である。
従って、
（06）により、
（07）
⑤ ちょうど２個の対象がＦである。
といふ「日本語」は、①＆④ である所の、
⑤ ∃ｘ∃ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）＆ｘ≠ｙ｝＆∀ｘ∀ｙ∀ｚ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ＆Ｆｚ）→（ｘ＝ｙ∨ｘ＝ｚ∨ｙ＝ｚ）｝
といふ「論理式」に「翻訳」出来る。
然るに、
（08）
（ⅴ）
１　　　（１）∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ≠ｙ）＆∀ｘ∀ｙ∀ｚ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ＆Ｆｚ）→（ｘ＝ｙ∨ｘ＝ｚ∨ｙ＝ｚ）｝　Ａ
１　　　（２）∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ≠ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　１＆Ｅ
　３　　（３）　　∃ｙ（Ｆａ＆Ｆｙ＆ａ≠ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　４　（４）　　　　　Ｆａ＆Ｆｂ＆ａ≠ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
１　　　（５）　　　　　　　　　　　　　　　　∀ｘ∀ｙ∀ｚ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ＆Ｆｚ）→（ｘ＝ｙ∨ｘ＝ｚ∨ｙ＝ｚ）｝　１＆Ｅ
１　　　（６）　　　　　　　　　　　　　　　　　　∀ｙ∀ｚ｛（Ｆａ＆Ｆｙ＆Ｆｚ）→（ａ＝ｙ∨ａ＝ｚ∨ｙ＝ｚ）｝　５ＵＥ
１　　　（７）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∀ｚ｛（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｚ）→（ａ＝ｂ∨ａ＝ｚ∨ｂ＝ｚ）｝　６ＵＥ
１　　　（８）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）→（ａ＝ｂ∨ａ＝ｃ∨ｂ＝ｃ）　　７ＵＥ
　　４　（９）　　　　　Ｆａ＆Ｆｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　４＆Ｅ
　　　ア（ア）　　　　　　　　　　　Ｆｃ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　４ア（イ）　　　　　Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　９ア＆Ｉ
１　４ア（ウ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（ａ＝ｂ∨ａ＝ｃ∨ｂ＝ｃ）　　８イＭＰＰ
１　４ア（エ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（ａ＝ｂ）∨（ａ＝ｃ∨ｂ＝ｃ）　　ウ結合法則
１　４ア（オ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～（ａ≠ｂ）∨（ａ＝ｃ∨ｂ＝ｃ）　　エＤＮ
１　４ア（カ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（ａ≠ｂ）→（ａ＝ｃ∨ｂ＝ｃ）　　オ含意の定義
　　４　（キ）　　　　　　　　　　 ａ≠ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ４＆Ｅ
１　４ア（ク）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（ａ＝ｃ∨ｂ＝ｃ）　　カキＭＰＰ
１　４　（ケ）　　　　　　　　　　　　　Ｆｃ→（ａ＝ｃ∨ｂ＝ｃ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　アクＣＰ
１　４　（コ）　　　　　　　　　　∀ｚ（Ｆｚ→（ａ＝ｚ∨ｂ＝ｚ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ケＵＩ
１　４　（サ）　　　　　（Ｆａ＆Ｆｂ＆ａ≠ｂ）＆∀ｚ［Ｆｚ→（ａ＝ｚ∨ｂ＝ｚ）］　　　　　　　　　　　　　　　　４コ＆Ｉ
１　４　（シ）　　∃ｙ｛（Ｆａ＆Ｆｙ＆ａ≠ｙ）＆∀ｚ［Ｆｚ→（ａ＝ｚ∨ｙ＝ｚ）］｝　　　　　　　　　　　　　　　サＥＩ
１３　　（ス）　　∃ｙ｛（Ｆａ＆Ｆｙ＆ａ≠ｙ）＆∀ｚ［Ｆｚ→（ａ＝ｚ∨ｙ＝ｚ）］｝　　　　　　　　　　　　　　　３４シＥＥ
１３　　（セ）∃ｘ∃ｙ｛（Ｆａ＆Ｆｙ＆ａ≠ｙ）＆∀ｚ［Ｆｚ→（ａ＝ｚ∨ｙ＝ｚ）］｝　　　　　　　　　　　　　　　スＥＩ
１　　　（ソ）∃ｘ∃ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ≠ｙ）＆∀ｚ［Ｆｚ→（ｘ＝ｚ∨ｙ＝ｚ）］｝　　　　　　　　　　　　　　　１３セＥＥ
（ⅵ）
１　　　（１）∃ｘ∃ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ≠ｙ）＆∀ｚ［Ｆｚ→（ｘ＝ｚ∨ｙ＝ｚ）］｝　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　２　　（２）　　∃ｙ｛（Ｆａ＆Ｆｙ＆ａ≠ｙ）＆∀ｚ［Ｆｚ→（ａ＝ｚ∨ｙ＝ｚ）］｝　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　３　（３）　　　　　（Ｆａ＆Ｆｂ＆ａ≠ｂ）＆∀ｚ［Ｆｚ→（ａ＝ｚ∨ｂ＝ｚ）］｝　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　３　（４）　　　　　（Ｆａ＆Ｆｂ＆ａ≠ｂ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　３＆Ｅ
　　３　（５）　　　　　　　　　　　　　　　　　∀ｚ［Ｆｚ→（ａ＝ｚ∨ｂ＝ｚ）］　　　　　　　　　　　　　　　　３＆Ｅ
　　３　（６）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ｆｃ→（ａ＝ｃ∨ｂ＝ｃ）　　　　　　　　　　　　　　　　　５ＵＥ
　　　７（７）　　　　　　Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　７（８）　　　　　　　　　　　　Ｆｃ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　７＆Ｅ
　　３７（９）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ａ＝ｃ∨ｂ＝ｃ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　６８ＭＰＰ
　　３７（ア）　　　　　　　　　　　　　　　　ａ＝ｂ∨ａ＝ｃ∨ｂ＝ｃ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　９∨Ｉ
　　３　（イ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）→（ａ＝ｂ∨ａ＝ｃ∨ｂ＝ｃ）　　７アＣＰ
　　３　（ウ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∀ｚ｛（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｚ）→（ａ＝ｂ∨ａ＝ｚ∨ｂ＝ｚ）｝　イＵＩ
　　３　（エ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　∀ｙ∀ｚ｛（Ｆａ＆Ｆｙ＆Ｆｚ）→（ａ＝ｙ∨ａ＝ｚ∨ｙ＝ｚ）｝　ウＵＩ
　　３　（オ）　　　　　　　　　　　　　　　　∀ｘ∀ｙ∀ｚ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ＆Ｆｚ）→（ｘ＝ｙ∨ｘ＝ｚ∨ｙ＝ｚ）｝　エＵＩ
　　３　（カ）　　　　（Ｆａ＆Ｆｂ＆ａ≠ｂ）＆∀ｘ∀ｙ∀ｚ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ＆Ｆｚ）→（ｘ＝ｙ∨ｘ＝ｚ∨ｙ＝ｚ）｝　４オ＆I
　　３　（キ）　　∃ｙ（Ｆａ＆Ｆｂ＆ａ≠ｂ）＆∀ｘ∀ｙ∀ｚ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ＆Ｆｚ）→（ｘ＝ｙ∨ｘ＝ｚ∨ｙ＝ｚ）｝　カＥＩ
　２　　（ク）　　∃ｙ（Ｆａ＆Ｆｂ＆ａ≠ｂ）＆∀ｘ∀ｙ∀ｚ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ＆Ｆｚ）→（ｘ＝ｙ∨ｘ＝ｚ∨ｙ＝ｚ）｝　２３キＥＥ
　２　　（コ）∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ≠ｙ）＆∀ｘ∀ｙ∀ｚ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ＆Ｆｚ）→（ｘ＝ｙ∨ｘ＝ｚ∨ｙ＝ｚ）｝　クＥＩ
１　　　（サ）∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ≠ｙ）＆∀ｘ∀ｙ∀ｚ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ＆Ｆｚ）→（ｘ＝ｙ∨ｘ＝ｚ∨ｙ＝ｚ）｝　１２コＥＥ
従って、
（08）により、
（09）
⑤ ∃ｘ∃ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）＆ｘ≠ｙ｝＆∀ｘ∀ｙ∀ｚ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ＆Ｆｚ）→（ｘ＝ｙ∨ｘ＝ｚ∨ｙ＝ｚ）｝
⑥ ∃ｘ∃ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ≠ｙ）＆∀ｚ［Ｆｚ→（ｘ＝ｚ∨ｙ＝ｚ）］｝
に於いて、
⑤＝⑥ である。
従って、
（07）（08）（09）により、
（10）
⑥ ちょうど２個の対象がＦである。⇔
⑥ ∃ｘ∃ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ≠ｙ）＆∀ｚ［Ｆｚ→（ｘ＝ｚ∨ｙ＝ｚ）］｝⇔
⑥ あるｘとあるｙについて｛（ｘはＦであり、ｙもＦであるが、ｘとｙは同一ではなく）、すべてのｚについて［ｚがＦであるならば、ｘがｚであるか、または、ｙがｚである］｝。
といふ「等式」が「成立」する。
従って、
（10）により、
（11）
⑥ ちょうど２人の人物が犯人である。⇔
⑥ ∃ｘ∃ｙ｛（犯人ｘ＆犯人ｙ＆ｘ≠ｙ）＆∀ｚ［犯人ｚ→（ｘ＝ｚ∨ｙ＝ｚ）］｝⇔
⑥ あるｘとあるｙについて｛（ｘは犯人であり、ｙも犯人であるが、ｘとｙは同一人物ではなく）、すべてのｚについて［ｚが犯人であるならば、ｘがｚであるか、または、ｙがｚである］｝。
といふ「等式」が「成立」する。
因みに、
（12）
⑤ ∃ｘ∃ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）＆ｘ≠ｙ｝＆∀ｘ∀ｙ∀ｚ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ＆Ｆｚ）→（ｘ＝ｙ∨ｘ＝ｚ∨ｙ＝ｚ）｝
⑥ ∃ｘ∃ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ≠ｙ）＆∀ｚ［Ｆｚ→（ｘ＝ｚ∨ｙ＝ｚ）］｝
に於いて、
⑤＝⑥ である。
といふことは、「昭和堂、論理学の基礎、1994年、１７７頁」に書かれてゐるのもの、「述語計算（証明）」自体は、載ってゐない。
（13）
私の「愛読書」である「E.J.レモン著、論理学初歩、1973年」は、「問題に対する解答」が載ってないし、最近、ブックオフで買った「論理学の書籍」は、「誤植」がふんだんに有って、「答え」に、マチガイがある。
令和６年１月２７日、毛利太。