返り点に対する「括弧」の用法。: 5月 2019

2019年5月30日木曜日

「二項述語における量記号の変換の規則」の説明（Ⅲ）。

―「返り点と括弧」に関しては、（α）「返り点」と「括弧」に付いて。　：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_11.html）（β）「返り点」と「括弧」の条件。　　：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_15.html）（γ）「返り点」と「括弧」の条件（Ⅱ）：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_16.html）（δ）「返り点」は、下には戻らない。　：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_20.html）（ε）「下中上点」等が必要な「理由」。：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_22.html）（ζ）「返り点・モドキ」について。　　：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_24.html）⇒ 　Ｗｅｂ上には存在しますが、何故か、アクセス出来ません。（η）「一二点・上下点」に付いて。　　：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_26.html）（θ）「括弧」の「順番」。　　　　　　：（https://kannbunn.blogspot.com/2018/01/blog-post.html）（ι）「返り点」と「括弧」の関係　　　：（https://kannbunn.blogspot.com/2019/01/blog-post_21.html）等々、「その他、諸々」を、お読み下さい。― （01）（ⅰ）１　　　（１）　～Ｐ∨～Ｑ　　Ａ　２　　（２）　　Ｐ＆　Ｑ　　Ａ　　３　（３）　～Ｐ　　　　　Ａ　２　　（４）　　Ｐ　　　　　２＆Ｅ　２３　（５）　～Ｐ＆Ｐ　　　３４＆Ｉ　　３　（６）～（Ｐ＆Ｑ）　　２５ＲＡＡ　　　７（７）　　　　～Ｑ　　Ａ　２　　（８）　　　　　Ｑ　　２＆Ｅ　２　７（９）　～Ｑ＆Ｑ　　　７８＆Ｉ　　　７（ア）～（Ｐ＆Ｑ）　　２９ＲＡＡ１　　　（イ）～（Ｐ＆Ｑ）　　１３６７ア∨Ｅ（ⅱ）１　　　（１）　～（　Ｐ＆　Ｑ）　　Ａ　２　　（２）　～（～Ｐ∨～Ｑ）　　Ａ　　３　（３）　　　～Ｐ　　　　　　Ａ　　３　（４）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　３∨Ｉ　２３　（５）　～（～Ｐ∨～Ｑ）＆　　　　　　　　　（～Ｐ∨～Ｑ）　　２４＆Ｉ　２　　（６）　　～～Ｐ　　　　　　３５ＲＡＡ　２　　（７）　　　　Ｐ　　　　　　６ＤＮ　　　８（８）　　　　　　～Ｑ　　　Ａ　　　８（９）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　８∨Ｉ　２　８（ア）　～（～Ｐ∨～Ｑ）＆　　　　　　　　　（～Ｐ∨～Ｑ）　　２９＆Ｉ　２　　（イ）　　　　　～～Ｑ　　　８アＲＡＡ　２　　（ウ）　　　　　　　Ｑ　　　イＤＮ　２　　（エ）　　　　Ｐ＆　Ｑ　　　７ウ＆Ｉ１２　　（オ）　～（　Ｐ＆　Ｑ）＆　　　　　　　　　（　Ｐ＆　Ｑ）　　１エ＆イ１　　　（カ）～～（～Ｐ∨～Ｑ）　　２オＲＡＡ１　　　（キ）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　カＤＮ（01）により、（02） ①（～Ｐ∨～Ｑ）⇔　～（Ｐ＆Ｑ）であるところの、「ド・モルガンの法則」は、「ベン図」を用ひなくとも、「命題論理」として「正しい」。（03）（ⅰ）１　　　（１）∀ｘ（～Ｆｘ∨～Ｇｘ）　Ａ１　　　（２）　　　～Ｆａ∨～Ｇａ　　１ＵＥ　３　　（３）　　　　Ｆａ＆　Ｇａ　　Ａ　　４　（４）　　　～Ｆａ　　　　　　Ａ　　３　　（５）　　　　Ｆａ　　　　　　３＆Ｅ　３４　（６）　　　～Ｆａ＆Ｆａ　　　４５＆Ｉ　　４　（７）　　～（Ｆａ＆　Ｇａ）　３６ＲＡＡ　　　８（８）　　　　　　　～Ｇａ　　Ａ　３　　（９）　　　　　　　　Ｇａ　　３＆Ｅ　３　８（ア）　　　　～Ｇａ＆Ｇａ　　８９＆Ｉ　　　８（イ）　　～（Ｆａ＆　Ｇａ）　３アＲＡＡ１　　　（ウ）　　～（Ｆａ＆　Ｇａ）　２４７８イ∨Ｅ１　　　（エ）∀ｘ～（Ｆｘ＆　Ｇｘ）　ウＵＩ（ⅱ）１　　　（１）∀ｘ～（　Ｆｘ＆　Ｇｘ）　　Ａ　　　２　　（２）　　～（～Ｆａ∨～Ｇａ）　　Ａ　　３　（３）　　　　～Ｆａ　　　　　　　Ａ　　３　（４）　　　　～Ｆａ∨～Ｇａ　　　３∨Ｉ　２３　（５）　　～（～Ｆａ∨～Ｇａ）＆　　　　　　　　　　（～Ｆａ∨～Ｇａ）　　２４＆Ｉ　２　　（６）　　～～Ｆａ　　　　　　　　３５ＲＡＡ　２　　（７）　　　　Ｆａ　　　　　　　　６ＤＮ　　　８（８）　　　　　　　　～Ｇａ　　　Ａ　　　８（９）　　　　～Ｆａ∨～Ｇａ　　　８∨Ｉ　２　８（ア）　　～（～Ｆａ∨～Ｇａ）＆　　　　　　　　　　　　　　　　　（～Ｆａ∨～Ｇａ）　　２９＆Ｉ　２　　（イ）　　　　　　　～～Ｇａ　　　８アＲＡＡ　２　　（ウ）　　　　　　　　　Ｇａ　　　イＤＮ　２　　（エ）　　　　　Ｆａ＆　Ｇａ　　　７ウ＆Ｉ１　　　（オ）　　～（　Ｆａ＆　Ｇａ）　　１ＵＥ１２　　（カ）　　　（　Ｆａ＆　Ｇａ）＆　　　　　　　　　～（　Ｆａ＆　Ｇａ）　　エオ＆Ｉ１　　　（キ）　～～（～Ｆａ∨～Ｇａ）　　２カＲＡＡ１　　　（ク）　　　（～Ｆａ∨～Ｇａ）　　キＤＮ１　　　（ケ）　∀ｘ（～Ｆｘ∨～Ｇｘ）　　クＵＩ従って、（03）により、（04） ② ∀ｘ（～Ｆｘ∨～Ｇｘ）⇔ ∀ｘ（～Ｆｘ∨～Ｇｘ）であるところの、「ド・モルガンの法則」は、「ベン図」を用ひなくとも、「述語論理」として「正しい」。従って、（02）（04）により、（05） ① （～Ｐ∨～Ｑ）⇔　～（Ｐ＆Ｑ） ② ∀ｘ（～Ｆｘ∨～Ｇｘ）⇔ ∀ｘ（～Ｆｘ∨～Ｇｘ）であるところの、「ド・モルガンの法則」は、「ベン図」を用ひなくとも、「命題論理」としても、「述語論理」としても「正しい」。然るに、（01）（03）により、（06）（ⅱ）　　３　（３）～Ｐ　　　　　　Ａ　　３　（４）～Ｐ∨～Ｑ　　　３∨Ｉ（選言導入の規則）（ⅱ）　　３　（３）～Ｆａ　　　　　Ａ　　３　（４）～Ｆａ∨～Ｇａ　３∨Ｉ（選言導入の規則）従って、（05）（06）により、（07）「∨Ｉ（選言導入の規則）」を用ひなければ、 ①　　　　（～Ｐ∨～Ｑ）⇔　～（Ｐ＆Ｑ） ② ∀ｘ（～Ｆｘ∨～Ｇｘ）⇔ ∀ｘ（～Ｆｘ∨～Ｇｘ）であるところの、「ド・モルガンの法則」は、「命題論理」としても、「述語論理」としても「証明できない」が故に、「他の規則」と同様に、「∨Ｉ（選言導入の規則）」は、「重要」である。然るに、（08）この規則は、推論の中で意識されることがおおよそないといえます。「彼女は背が高い」という主張をＰとしましょう。すると、このＰから「彼女は背が高い　または　彼女は美人だ」が導けます。この場合、主張Ｑは「彼女は美人だ」に対応しています。しかし、「彼女は背が高い」がわかっているのに、わざわざ、「彼女は背が高い　または　彼女は美人だ」とつなげる場面は普通の会話ではあまりないでしょう。数学の証明でも、これが使われる場面はほとんど見かけないような気がします（小島寛之、証明と論理に強くなる、2017年、１５６頁）。従って、（07）（08）により、（09）「∨Ｉ（選言導入の規則）」は、「重要」であるが、「分りにくい」。然るに、（10）１（１）～Ｐ　　　Ａ１（２）～Ｐ∨Ｑ　１∨Ｉ（選言導入の規則）１（３）　Ｐ→Ｑ　２含意の定義１（〃）若し、ＰならばＱである。１（４）　　～Ｑ　１３前件否定の誤謬。従って、（10）により、（11）「Ｐでない。ＰならばＱである。故に。Ｑでない。」とするならば、「前件否定の誤謬」といふ、「マチガイ」になる。然るに、（12）「Ｐでない。ＰならばＱである。故に。Ｑである。」とするならば、もちろん、「マチガイ」である。従って、（10）（11）（12）により、（13）１（１）～Ｐ　　　Ａ１（２）～Ｐ∨Ｑ　１∨Ｉ（選言導入の規則）１（〃）Ｐでないか、または、Ｑである。　１∨Ｉ（選言導入の規則）としても、１（〃）Ｑであるのか、Ｑでないのか。　は、「全くの、不明」である。然るに、（14）１（１）～Ｐ　　　Ａ１（２）～Ｐ∨Ｑ　１∨Ｉ（選言導入の規則）に於いて、　（２）の左には、１　があり、このことは、１（〃）Ｐでないか、または、Ｑである。　１∨Ｉ（選言導入の規則）に於いて、「Ｐでない」といふことの、「保証（証拠）」になってゐる。従って、（13）（14）により、（15）１（１）～Ｐ　　　Ａ１（２）～Ｐ∨Ｑ　１∨Ｉ（選言導入の規則）１（〃）Ｐでないか、または、Ｑである。　１∨Ｉ（選言導入の規則）といふのは、実際には、１（〃）Ｐではないが、「Ｑであるか、Ｑでないか」は「不明」である。といふ、「意味」である。従って、（15）により、（16）１（１）Ｐ　　　Ａ１（２）Ｐ∨Ｑ　１∨Ｉ（選言導入の規則）１（〃）Ｐであるか、または、Ｑである。　１∨Ｉ（選言導入の規則）といふのは、実際には、１（〃）Ｐではあるが、「Ｑであるか、Ｑでないか」は「不明」である。といふ、「意味」である。然るに、（17）１（１）Ｐである。　ただし、１（２）Ｐではあるが、「Ｑであるか、Ｑでないか」は「不明」である。といふ「日本語」に、「不自然な所」は、「全く、無い」。従って、（18）１（１）Ｐ　　　　　Ａ１（２）Ｐ∨Ｑ　　　１∨Ｉ（選言導入の規則）１（〃）Ｐではあるが、「Ｑであるか、Ｑでないか」は「不明」である。　１∨Ｉ（選言導入の規則）といふ「推論」は、「日本語」としても、「完全に、正しい」。従って、（18）により、（19）１（１）Ｐ　　　　　Ａ１（２）Ｐ∨Ｑ　　　１∨Ｉ（選言導入の規則）１（３）Ｐ∨Ｑ∨Ｒ　１∨Ｉ（選言導入の規則）１（〃）Ｐではあるが、「Ｑであるか、Ｑでないか」は「不明」であるし、「Ｒあるか、Ｒでないか」も「不明」である。といふ「推論」には、「何らの問題」も無い。従って、（20）１（１）　　　　Ｒ　　Ａ１（２）　　Ｑ∨Ｒ　　　　１∨Ｉ（選言導入の規則）１（３）Ｐ∨Ｑ∨Ｒ　１∨Ｉ（選言導入の規則）１（〃）Ｒではあるが、「Ｑであるか、Ｑでないか」は「不明」であるし、「Ｐあるか、Ｐでないか」も「不明」である。といふ「推論」には、「何らの問題」も無い。従って、（19）（20）により、（21） ② Ｐ∨Ｑ∨Ｒ＝Ｐか、Ｑか、Ｒである。といふ「命題」が与へられた際に、言へることは、 ② Ｐ　Ｑ　Ｒといふ「３つ」内の。少なくとも、「１つ」は、「真（本当）」である。といふ、ことである。従って、（21）により、（22） ②（愛ｄａ∨愛ｄｂ∨愛ｄｃ）といふ「命題」が与へられた際に、言へることは、 ② 愛ｄａ　愛ｄｂ　愛ｄｃといふ「３つ」内の。少なくとも、「１つ」は、「真（本当）」である。といふ、ことである。同様に、（23） ②（愛ｅａ∨愛ｅｂ∨愛ｅｃ）といふ「命題」が与へられた際に、言へることは、 ② 愛ｅａ　愛ｅｂ　愛ｅｃ）といふ「３つ」内の。少なくとも、「１つ」は、「真（本当）」である。といふ、ことである。同様に、（24） ②（愛ｆａ∨愛ｆｂ∨愛ｆｃ）といふ「命題」が与へられた際に、言へることは、 ② 愛ｆａ∨愛ｆｂ∨愛ｆｃといふ「３つ」内の。少なくとも、「１つ」は、「真（本当）」である。といふ、ことである。従って、（01）～（24）により、（25） ①（愛ｄａ＆愛ｅａ＆愛ｆａ）∨（愛ｄｂ＆愛ｅｂ＆愛ｆｂ）∨（愛ｄｃ＆愛ｅｃ＆愛ｆｃ）といふ「命題」が与へられた際に、言へることは、 ①（愛ｄａ＆愛ｅａ＆愛ｆａ）　（愛ｄｂ＆愛ｅｂ＆愛ｆｂ）　（愛ｄｃ＆愛ｅｃ＆愛ｆｃ）といふ「３つ」内の。少なくとも、「１つ」は、「真（本当）」である。といふ、ことである。然るに、（26）例えば、 ①（愛ｄａ＆愛ｅａ＆愛ｆａ）が「真（本当）」である場合は、 ①（愛ｄａと愛ｅａと愛ｆａ）は、「３つ」とも、「真（本当）」である。同様に、（27） ①（愛ｄｂ＆愛ｅｂ＆愛ｆｂ）が「真（本当）」である場合も、 ①（愛ｄｃ＆愛ｅｃ＆愛ｆｃ）が「真（本当）」である場合も、それぞれ、「３つ」とも、「真（本当）」である。従って、（28） ①（愛ｄａ＆愛ｅａ＆愛ｆａ）が「真（本当）」である場合は、 ① 愛ｄａ ① 愛ｅａ ① 愛ｆａが「真（本当）」であるため、（21）により、 ① 愛ｄａ∨愛ｄｂ∨愛ｄｃ ① 愛ｅａ∨愛ｅｂ∨愛ｅｃ ① 愛ｆａ∨愛ｆｂ∨愛ｆｃといふ「３つ」が、「３つ」とも、「真（本当）」である。従って、（28）により、（29） ①（愛ｄａ＆愛ｅａ＆愛ｆａ）が「真（本当）」である場合は、 ②（愛ｄａ∨愛ｄｂ∨愛ｄｃ）＆（愛ｅａ∨愛ｅｂ∨愛ｅｃ）＆（愛ｆａ∨愛ｆｂ∨愛ｆｃ）は「真（本当）」である。従って、（25）～（29）により、（30）同様に、 ①（愛ｄｂ＆愛ｅｂ＆愛ｆｂ）が「真（本当）」である場合も、 ②（愛ｄａ∨愛ｄｂ∨愛ｄｃ）＆（愛ｅａ∨愛ｅｂ∨愛ｅｃ）＆（愛ｆａ∨愛ｆｂ∨愛ｆｃ）は「真（本当）」であり、 ①（愛ｄｃ＆愛ｅｃ＆愛ｆｃ）が「真（本当）」である場合も、 ②（愛ｄａ∨愛ｄｂ∨愛ｄｃ）＆（愛ｅａ∨愛ｅｂ∨愛ｅｃ）＆（愛ｆａ∨愛ｆｂ∨愛ｆｃ）は「真（本当）」である。然るに、（21）（29）（30）ににより、（31） ①（愛ｄａ＆愛ｅａ＆愛ｆａ）∨（愛ｄｂ＆愛ｅｂ＆愛ｆｂ）∨（愛ｄｃ＆愛ｅｃ＆愛ｆｃ） ②（愛ｄａ∨愛ｄｂ∨愛ｄｃ）＆（愛ｅａ∨愛ｅｂ∨愛ｅｃ）＆（愛ｆａ∨愛ｆｂ∨愛ｆｃ）に於いて、 ① が「真（本当）」であるならば、 ② も「真（本当）」である。然るに、（21）により、（32）例へば、 ②（愛ｄａ　　　　　　　　）＆（　　　　愛ｅｂ　　　　）＆（　　　　　　　　愛ｆｃ）が「真（本当）」である場合も、 ②（愛ｄａ∨愛ｄｂ∨愛ｄｃ）＆（愛ｅａ∨愛ｅｂ∨愛ｅｃ）＆（愛ｆａ∨愛ｆｂ∨愛ｆｃ）は「真（本当）」である。然るに、（33） ②（愛ｄａ　　　　　　　　）＆（　　　　愛ｅｂ　　　　）＆（　　　　　　　　愛ｆｃ）が、「真（本当）」であるとしても、 ①（愛ｄａ＆愛ｅａ＆愛ｆａ）∨（愛ｄｂ＆愛ｅｂ＆愛ｆｂ）∨（愛ｄｃ＆愛ｅｃ＆愛ｆｃ）は、「真（本当）」には、ならない。従って、（31）（32）（33）により、（34） ①（愛ｄａ＆愛ｅａ＆愛ｆａ）∨（愛ｄｂ＆愛ｅｂ＆愛ｆｂ）∨（愛ｄｃ＆愛ｅｃ＆愛ｆｃ） ②（愛ｄａ∨愛ｄｂ∨愛ｄｃ）＆（愛ｅａ∨愛ｅｂ∨愛ｅｃ）＆（愛ｆａ∨愛ｆｂ∨愛ｆｃ）に於いて、 ① が「真（本当）」であるならば、 ② は「真（本当）」であるが、 ② が「真（本当）」であるとしても、 ① は「真（本当）」であるとは、限らない。従って、（34）により、（35）｛ｘの変域が、三人の少女｝＝｛ａ、ｂ、ｃ｝｛ｙの変域が、三人の少年｝＝｛ｄ、ｅ、ｆ｝であるとして、 ①（愛ｄａ＆愛ｅａ＆愛ｆａ）∨（愛ｄｂ＆愛ｅｂ＆愛ｆｂ）∨（愛ｄｃ＆愛ｅｃ＆愛ｆｃ） ②（愛ｄａ∨愛ｄｂ∨愛ｄｃ）＆（愛ｅａ∨愛ｅｂ∨愛ｅｃ）＆（愛ｆａ∨愛ｆｂ∨愛ｆｃ）に於いて、 ① ならば、② であるが、 ② ならば、① ではない。然るに、（36）｛ｘの変域が、三人の少女｝＝｛ａ、ｂ、ｃ｝｛ｙの変域が、三人の少年｝＝｛ｄ、ｅ、ｆ｝であるとして、例へば、 ① 少年ｄは少女ｂを愛し、少年ｅも少女ｂを愛し、少年ｆも少女ｂを愛す＝（愛ｄｂ＆愛ｅｂ＆愛ｆｂ）。といふことは、 ① すべての少年（ｄとｅとｆ）は、共通の、ある一人の少女（ｂ）を愛す。といふことに、他ならない。（37）｛ｘの変域が、三人の少女｝＝｛ａ、ｂ、ｃ｝｛ｙの変域が、三人の少年｝＝｛ｄ、ｅ、ｆ｝であるとして、 ②「ｄはａを愛するか、ｄはｂを愛するか、ｄはｃを愛するか。」の内の、少なくとも一つは、「真（本当）」である。 ②「ｅはａを愛するか、ｅはｂを愛するか、ｅはｃを愛するか。」の内の、少なくとも一つは、「真（本当）」である。 ②「ｆはａを愛するか、ｆはｂを愛するか、ｆはｃを愛するか。」の内の、少なくとも一つは、「真（本当）」である。といふことは、 ① すべての少年（ｄとｅとｆ）は、ある少女（ａかｂかｃ）を愛す。といふことに、他ならない。然るに、（38）（ⅰ）１　　（１）∃ｘ｛少女ｘ＆∀ｙ（少年ｙ→愛ｙｘ）｝　Ａ　２　（２）　　少女ａ＆∀ｙ（少年ｙ→愛ｙａ）　Ａ　２　（３）　　少女ａ　　　　　　　　　　　　　２＆Ｉ　２　（４）　　　　　　 ∀ｙ（少年ｙ→愛ｙａ）　２＆Ｉ　２　（５）　　　　　　　　　少年ｂ→愛ｂａ　　４ＵＥ　　６（６）　　　　　　　　　少年ｂ　　　　　　Ａ　２６（７）　　　　　　　　　　　　　愛ｂａ　　５６ＭＰＰ　２６（８）　　　　　　　　　少女ａ＆愛ｂａ　　３７＆Ｉ　２６（９）　　　　　　 ∃ｘ（少女ｘ＆愛ｂｘ）　８ＥＩ１　６（ア）　　　　　　 ∃ｘ（少女ｘ＆愛ｂｘ）　１２９ＥＥ１　　（イ）　　　少年ｂ→∃ｘ（少女ｘ＆愛ｂｘ）　６アＣＰ１　　（ウ）∀ｙ｛少年ｙ→∃ｘ（少女ｘ＆愛ｙｘ）｝１ＵＩといふ「計算」は、「正しい」。然るに、（39）（ⅱ）１　　（１）∀ｙ｛少年ｙ→∃ｘ（少女ｘ＆愛ｙｘ）｝　Ａ１　　（２）　　　少年ｂ→∃ｘ（少女ｘ＆愛ｂｘ）　　１ＵＥ　３　（３）　　　少年ｂ　　　　　　　　　　　　　　Ａ１３　（４）　　　　　　　∃ｘ（少女ｘ＆愛ｂｘ）　　２３ＭＰＰ　　５（５）　　　　　　　　　　少女ａ＆愛ｂａ　　　Ａ　　５（６）　　　　　　　　　　少女ａ　　　　　　　５＆Ｅ　　５（７）　　　　　　　　　　　　　　愛ｂａ　　　５＆Ｅの場合は、これ以上、「続けよう」が無い。従って、（38）（39）により、（40） ① ∃ｘ｛少女ｘ＆∀ｙ（少年ｙ→愛ｙｘ）｝ ② ∀ｙ｛少年ｙ→∃ｘ（少女ｘ＆愛ｙｘ）｝に於いて、 ① ならば、② であるが、 ② ならば、① ではない。然るに、（36）～（40）により、（41） ① ∃ｘ｛少女ｘ＆∀ｙ（少年ｙ→愛ｙｘ）｝ ② ∀ｙ｛少年ｙ→∃ｘ（少女ｘ＆愛ｙｘ）｝といふ「述語論理式」は、｛ｘの変域が、三人の少女｝＝｛ａ、ｂ、ｃ｝｛ｙの変域が、三人の少年｝＝｛ｄ、ｅ、ｆ｝である際の、 ①（愛ｄａ＆愛ｅａ＆愛ｆａ）∨（愛ｄｂ＆愛ｅｂ＆愛ｆｂ）∨（愛ｄｃ＆愛ｅｃ＆愛ｆｃ） ②（愛ｄａ∨愛ｄｂ∨愛ｄｃ）＆（愛ｅａ∨愛ｅｂ∨愛ｅｃ）＆（愛ｆａ∨愛ｆｂ∨愛ｆｃ）といふ「それ」に「等しい」。然るに、（01）～（04）により、（42）「述語論理」は、「命題論理」の「拡張」であって、それ故、「命題論理」は、「述語論理の基礎」である。然るに、（43） ①（愛ｄａ＆愛ｅａ＆愛ｆａ）∨（愛ｄｂ＆愛ｅｂ＆愛ｆｂ）∨（愛ｄｃ＆愛ｅｃ＆愛ｆｃ） ②（愛ｄａ∨愛ｄｂ∨愛ｄｃ）＆（愛ｅａ∨愛ｅｂ∨愛ｅｃ）＆（愛ｆａ∨愛ｆｂ∨愛ｆｃ）といふ「それ」を、仮に『といふ書き方』とするならば、『といふ書き方』は、 ① ∃ｘ｛少女ｘ＆∀ｙ（少年ｙ→愛ｙｘ）｝ ② ∀ｙ｛少年ｙ→∃ｘ（少女ｘ＆愛ｙｘ）｝といふ「述語論理式」を、表すことは、出来たとしても、例へば、１（１）～Ｐ　　　　　　　Ａ１（２）～Ｐ∨Ｑ　　　　　１∨Ｉ（選言導入の規則）１（３）　Ｐ→Ｑ　　　　　２含意の定義　（４）～Ｐ→（Ｐ→Ｑ）　１ＣＰ　（〃）Ｐでないならば（ＰならばＱである）。　１ＣＰといふ「命題論理」を、表すことが、出来ない。従って、（42）（43）により、（44）「命題論理」を「基礎」とし、その上に成立する「述語論理」を、『といふ書き方』に、「置き換へ」ることは、出来ない。ｃｆ. 『といふ書き方』を書いたのは、おそらく、私が初めて（？）なので、『といふ書き方』には、「正式な名前」は無いものと、思はれます。令和元年０５月３０日、毛利太。　　　　　

2019年5月29日水曜日

「二項述語における量記号の変換の規則」の説明（Ⅱ）。

―「返り点と括弧」に関しては、（α）「返り点」と「括弧」に付いて。　：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_11.html）（β）「返り点」と「括弧」の条件。　　：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_15.html）（γ）「返り点」と「括弧」の条件（Ⅱ）：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_16.html）（δ）「返り点」は、下には戻らない。　：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_20.html）（ε）「下中上点」等が必要な「理由」。：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_22.html）（ζ）「返り点・モドキ」について。　　：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_24.html）⇒ 　Ｗｅｂ上には存在しますが、何故か、アクセス出来ません。（η）「一二点・上下点」に付いて。　　：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_26.html）（θ）「括弧」の「順番」。　　　　　　：（https://kannbunn.blogspot.com/2018/01/blog-post.html）（ι）「返り点」と「括弧」の関係　　　：（https://kannbunn.blogspot.com/2019/01/blog-post_21.html）等々、「その他、諸々」を、お読み下さい。― （01）｛ｘの変域が、三人の少女｝＝｛ａ、ｂ、ｃ｝｛ｙの変域が、三人の少年｝＝｛ｄ、ｅ、ｆ｝であるとして、 ①（愛ｄａ＆愛ｅａ＆愛ｆａ）∨（愛ｄｂ＆愛ｅｂ＆愛ｆｂ）∨（愛ｄｃ＆愛ｅｃ＆愛ｆｃ） ②（愛ｄａ∨愛ｄｂ∨愛ｄｃ）＆（愛ｅａ∨愛ｅｂ∨愛ｅｃ）＆（愛ｆａ∨愛ｆｂ∨愛ｆｃ）とする。然るに、（02）「真理表（Truth table）」により、 ① Ｐ∨Ｑ∨Ｒであるならば、 ① Ｐ、Ｑ、Ｒの内の、「少なくとも、一つ」が、「真（本当）」である。従って、（01）（02）により、（03） ①（愛ｄａ＆愛ｅａ＆愛ｆａ）∨（愛ｄｂ＆愛ｅｂ＆愛ｆｂ）∨（愛ｄｃ＆愛ｅｃ＆愛ｆｃ）に於いて、例へば、 ① 　　　　　　　　　　　　　　（愛ｄｂ＆愛ｅｂ＆愛ｆｂ）が「真（本当）」であるとする。従って、（01）（03）により、（04）　　　　｛ｘの変域が、三人の少女｝＝｛ａ、ｂ、ｃ｝｛ｙの変域が、三人の少年｝＝｛ｄ、ｅ、ｆ｝であるとして、 ①（愛ｄｂ＆愛ｅｂ＆愛ｆｂ）＝少年ｄは少女ｂを愛し、少年ｅも少女ｂを愛し、少年ｆも少女ｂを愛す。といふ、ことになる。然るに、（05）｛ｘの変域が、三人の少女｝＝｛ａ、ｂ、ｃ｝｛ｙの変域が、三人の少年｝＝｛ｄ、ｅ、ｆ｝であるとして、 ① 少年ｄは少女ｂを愛し、少年ｅも少女ｂを愛し、少年ｆも少女ｂを愛す＝（愛ｄｂ＆愛ｅｂ＆愛ｆｂ）。といふことは、 ① すべての少年（ｄとｅとｆ）は、共通の、ある一人の少女（ｂ）を愛す。といふことに、他ならない。然るに、（06）「真理表（Truth table）」により、 ② Ｐ＆Ｑ＆Ｒであるならば、 ① Ｐ、Ｑ、Ｒといふ「３つ」が、「真（本当）」である。従って、（01）（06）により、（07） ②（愛ｄａ∨愛ｄｂ∨愛ｄｃ）＆（愛ｅａ∨愛ｅｂ∨愛ｅｃ）＆（愛ｆａ∨愛ｆｂ∨愛ｆｃ）に於いて、 ②（愛ｄａ∨愛ｄｂ∨愛ｄｃ）は「真（本当）」であり、 ②（愛ｅａ∨愛ｅｂ∨愛ｅｃ）も「真（本当）」であり、 ②（愛ｆａ∨愛ｆｂ∨愛ｆｃ）も「真（本当）」である。然るに、（02）により、（08）例へば、 ②（愛ｄａ∨愛ｄｂ∨愛ｄｃ）が「真（本当）」であるならば、 ②「ｄはａを愛するか、ｄはｂを愛するか、ｄはｃを愛するか。」の内の、少なくとも一つは、「真（本当）」である。同様に、（09） ②（愛ｅａ∨愛ｅｂ∨愛ｅｃ）が「真（本当）」であるならば、 ②「ｅはａを愛するか、ｅはｂを愛するか、ｅはｃを愛するか。」の内の、少なくとも一つは、「真（本当）」である。同様に、（10） ②（愛ｆａ∨愛ｆｂ∨愛ｆｃ）が「真（本当）」であるならば、 ②「ｆはａを愛するか、ｆはｂを愛するか、ｆはｃを愛するか。」の内の、少なくとも一つは、「真（本当）」である。従って、（01）（07）～（10）により、（11）｛ｘの変域が、三人の少女｝＝｛ａ、ｂ、ｃ｝｛ｙの変域が、三人の少年｝＝｛ｄ、ｅ、ｆ｝であるとして、 ②「ｄはａを愛するか、ｄはｂを愛するか、ｄはｃを愛するか。」の内の、少なくとも一つは、「真（本当）」である。 ②「ｅはａを愛するか、ｅはｂを愛するか、ｅはｃを愛するか。」の内の、少なくとも一つは、「真（本当）」である。 ②「ｆはａを愛するか、ｆはｂを愛するか、ｆはｃを愛するか。」の内の、少なくとも一つは、「真（本当）」である。といふことは、 ① すべての少年（ｄとｅとｆ）は、ある少女（ａかｂかｃ）を愛す。といふことに、他ならない。従って、（01）（05）（11）により、（12）｛ｘの変域が、三人の少女｝＝｛ａ、ｂ、ｃ｝｛ｙの変域が、三人の少年｝＝｛ｄ、ｅ、ｆ｝であるとして、 ①（愛ｄａ＆愛ｅａ＆愛ｆａ）∨（愛ｄｂ＆愛ｅｂ＆愛ｆｂ）∨（愛ｄｃ＆愛ｅｃ＆愛ｆｃ） ②（愛ｄａ∨愛ｄｂ∨愛ｄｃ）＆（愛ｅａ∨愛ｅｂ∨愛ｅｃ）＆（愛ｆａ∨愛ｆｂ∨愛ｆｃ）といふことは、 ① すべての少年（ｄとｅとｆ）は、共通の、一人の少女（ａかｂかｃ）だけを愛す。 ② すべての少年（ｄとｅとｆ）は、共通とは限らない、ある少女（ａかｂかｃ）を愛す。といふ、「意味」になる。ｃｆ. All the nice girls love a sailor. （すべてのすてきな女の子は、水夫を愛している）という文を取り上げてみよう。この文は、「どのすてきな女の子も、水夫を誰か愛している。アリスはジョーを愛し、メアリーはバートを愛し、デスデモーナはビリーを愛している」という意味にもとれるし、また、「どのすてきな女の子も、一人の特定の水夫を愛している。その水夫の名前は、ジャック・タールである」という意味にもとれる。論理学では、この二つの異なる構造をはっきり示す、厳密な表記を提供してくれるのである。（ジーン・エイチソン著、田中晴美田中幸子訳、入門言語学、1980年、９２頁）然るに、（02）（06）により、（13） ①（愛ｄａ＆愛ｅａ＆愛ｆａ）∨（愛ｄｂ＆愛ｅｂ＆愛ｆｂ）∨（愛ｄｃ＆愛ｅｃ＆愛ｆｃ）の内の、例へば、 ①（愛ｄａ＆愛ｅａ＆愛ｆａ）が「真（本当）」であるならば、 ① 愛ｄａ　は「真（本当）」であり、 ① 愛ｅａ　も「真（本当）」であり、 ① 愛ｆａ　も「真（本当）」である。然るに、（02）により、（14） ① 愛ｄａ　は「真（本当）」であり、 ① 愛ｅａ　も「真（本当）」であり、 ① 愛ｆａ　も「真（本当）」であるならば、「∨Ｉ（選言導入）」により、 ①（愛ｄａ∨愛ｅａ∨愛ｆａ）は「真（本当）」であり、 ①（愛ｄｂ＆愛ｅｂ＆愛ｆｂ）は「真（本当）」であり、 ①（愛ｄｃ＆愛ｅｃ＆愛ｆｃ）は「真（本当）」であり、そのため、「＆Ｉ（連言導入）」により、 ②（愛ｄａ∨愛ｄｂ∨愛ｄｃ）＆（愛ｅａ∨愛ｅｂ∨愛ｅｃ）＆（愛ｆａ∨愛ｆｂ∨愛ｆｃ）は「真（本当）」である。然るに、（13）（14）により、（15） ①（愛ｄａ＆愛ｅａ＆愛ｆａ）∨（愛ｄｂ＆愛ｅｂ＆愛ｆｂ）∨（愛ｄｃ＆愛ｅｃ＆愛ｆｃ）の内の、 ①（愛ｄｂ＆愛ｅｂ＆愛ｆｂ）が「真（本当）」である場合も、 ①（愛ｄｃ＆愛ｅｃ＆愛ｆｃ）が「真（本当）」である場合も、いづれにせよ、 ②（愛ｄａ∨愛ｄｂ∨愛ｄｃ）＆（愛ｅａ∨愛ｅｂ∨愛ｅｃ）＆（愛ｆａ∨愛ｆｂ∨愛ｆｃ）は「真（本当）」である。従って、（13）（14）（15）により、（16） ①（愛ｄａ＆愛ｅａ＆愛ｆａ）∨（愛ｄｂ＆愛ｅｂ＆愛ｆｂ）∨（愛ｄｃ＆愛ｅｃ＆愛ｆｃ） ②（愛ｄａ∨愛ｄｂ∨愛ｄｃ）＆（愛ｅａ∨愛ｅｂ∨愛ｅｃ）＆（愛ｆａ∨愛ｆｂ∨愛ｆｃ）に於いて、 ① が「真（本当）」であならば、 ② も「真（本当）」である。然るに、（17） ① Ｐ＆Ｑ＆Ｒ＝ＰでＱでＲである。であれば、「＆Ｅ（連言除去）」と「∨Ｉ（選言導入）」により、 ② Ｐ∨Ｑ∨Ｒ＝ＰかＱかＲである。であるが、 ② Ｐ∨Ｑ∨Ｒ＝ＰかＱかＲである。であるとしても、 ① Ｐ＆Ｑ＆Ｒ＝ＰでＱでＲである。ではない。従って、（16）（17）により、（18） ①（愛ｄａ＆愛ｅａ＆愛ｆａ）∨（愛ｄｂ＆愛ｅｂ＆愛ｆｂ）∨（愛ｄｃ＆愛ｅｃ＆愛ｆｃ） ②（愛ｄａ∨愛ｄｂ∨愛ｄｃ）＆（愛ｅａ∨愛ｅｂ∨愛ｅｃ）＆（愛ｆａ∨愛ｆｂ∨愛ｆｃ）に於いて、 ① が「真（本当）」であるならば、 ② も「真（本当）」である。が、 ② が「真（本当）」であるならば、 ① も「真（本当）」である。ではない。然るに、（01）（18）により、（19）｛ｘの変域が、三人の少女｝＝｛ａ、ｂ、ｃ｝｛ｙの変域が、三人の少年｝＝｛ｄ、ｅ、ｆ｝であるとして、 ①（愛ｄａ＆愛ｅａ＆愛ｆａ）∨（愛ｄｂ＆愛ｅｂ＆愛ｆｂ）∨（愛ｄｃ＆愛ｅｃ＆愛ｆｃ） ②（愛ｄａ∨愛ｄｂ∨愛ｄｃ）＆（愛ｅａ∨愛ｅｂ∨愛ｅｃ）＆（愛ｆａ∨愛ｆｂ∨愛ｆｃ）は、それぞれ、 ① ∃ｘ｛少女ｘ＆∀ｙ（少年ｙ→愛ｙｘ）｝＝あるｘは少女であって、すべてｙについて、ｙが少年であるならば、　ｙはｘを愛す。 ② ∀ｙ｛少年ｙ→∃ｘ（少女ｘ＆愛ｙｘ）｝＝すべてのｙについて、ｙが少年であるならば、あるｘは少女であって、ｙはｘを愛す。といふ「論理式」に、一応、「対応」する。然るに、（20）（ⅰ）１　　（１）∃ｘ｛少女ｘ＆∀ｙ（少年ｙ→愛ｙｘ）｝Ａ　２　（２）　　　少女ａ＆∀ｙ（少年ｙ→愛ｙａ）　Ａ　２　（３）　　　少女ａ　　　　　　　　　　　　　２＆Ｉ　２　（４）　　　　　　　∀ｙ（少年ｙ→愛ｙａ）　２＆Ｉ　２　（５）　　　　　　　　　　少年ｂ→愛ｂａ　　４ＵＥ　　６（６）　　　　　　　　　　少年ｂ　　　　　　Ａ　２６（７）　　　　　　　　　　　　　　愛ｂａ　　５６ＭＰＰ　２６（８）　　　　　　　　　　少女ａ＆愛ｂａ　　３７＆Ｉ　２６（９）　　　　　　　∃ｘ（少女ｘ＆愛ｂｘ）　８ＥＩ１６（ア）　　　　　　　 ∃ｘ（少女ｘ＆愛ｂｘ）　１２９ＥＥ１　　（イ）　　　少年ｂ→∃ｘ（少女ｘ＆愛ｂｘ）　６アＣＰ１　　（ウ）∀ｙ｛少年ｙ→∃ｘ（少女ｘ＆愛ｙｘ）｝１ＵＩといふ「計算」は、「正しい」。然るに、（21）（ⅱ）１　　（１）∀ｙ｛少年ｙ→∃ｘ（少女ｘ＆愛ｙｘ）｝　Ａ１　　（２）　　　少年ｂ→∃ｘ（少女ｘ＆愛ｂｘ）　　１ＵＥ　３　（３）　　　少年ｂ　　　　　　　　　　　　　　Ａ１３　（４）　　　　　　　∃ｘ（少女ｘ＆愛ｂｘ）　　２３ＭＰＰ　　５（５）　　　　　　　　　　少女ａ＆愛ｂａ　　　Ａ　　５（６）　　　　　　　　　　少女ａ　　　　　　　５＆Ｅ　　５（７）　　　　　　　　　　　　　　愛ｂａ　　　５＆Ｅの場合は、これ以上、「続けよう」が無い。従って、（19）（20）（21）により、（22） ① ∃ｘ｛少女ｘ＆∀ｙ（少年ｙ→愛ｙｘ）｝ ② ∀ｙ｛少年ｙ→∃ｘ（少女ｘ＆愛ｙｘ）｝の場合も、 ① が「真（本当）」であるならば、 ② も「真（本当）」である。が、 ② が「真（本当）」であるならば、 ① も「真（本当）」である。ではない。然るに、（23） ① ∃ｘ｛少女ｘ＆∀ｙ（少年ｙ→愛ｙｘ）｝ ② ∀ｙ｛少年ｙ→∃ｘ（少女ｘ＆愛ｙｘ）｝の場合は、「少年が一人もゐない」場合も、「真（本当）」である。従って、（24） ① ∃ｘ｛少女ｘ＆∀ｙ（少年ｙ→愛ｙｘ）｝ ② ∀ｙ｛少年ｙ→∃ｘ（少女ｘ＆愛ｙｘ）｝といふ「二項述語論理式」と、 ①（愛ｄａ＆愛ｅａ＆愛ｆａ）∨（愛ｄｂ＆愛ｅｂ＆愛ｆｂ）∨（愛ｄｃ＆愛ｅｃ＆愛ｆｃ） ②（愛ｄａ∨愛ｄｂ∨愛ｄｃ）＆（愛ｅａ∨愛ｅｂ∨愛ｅｃ）＆（愛ｆａ∨愛ｆｂ∨愛ｆｃ）といふ「書き方」とは、「完全に、一致する」といふ、わけではない。然るに、（25）１　　（１）∀ｘ｛鼻ｘ＆長ｘ→　∃ｙ（象ｙ＆　鼻ｘｙ）｝　　　Ａ１　　（２）　　　鼻ａ＆長ａ→　∃ｙ（象ｙ＆　鼻ａｙ）　　　　１ＵＥ　３　（３）　　　鼻ａ＆長ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ　　４（４）　　　　　　　　　　∀ｙ（象ｙ→～鼻ａｙ）　　　　Ａ　　４（５）　　　　　　　　　　　　　象ｂ→～鼻ａｂ　　　　　４ＵＥ　　４（６）　　　　　　　　　　　　～象ｂ∨～鼻ａｂ　　　　　５含意の定義　　４（７）～（象ｂ＆　鼻ａｂ）　　　　６ド・モルガンの法則　　４（８）　　　　　　　　　∀ｙ～（象ｙ＆　鼻ａｙ）　　　　７ＵＩ　　４（９）　　　　　　　　　～∃ｙ（象ｙ＆　鼻ａｙ）　　　　８量化子の関係１３　（ア）　　　　　　　　　　∃ｙ（象ｙ＆　鼻ａｙ）　　　　２３ＭＰＰ１３４（イ）　　　　　　　　　～∃ｙ（象ｙ＆　鼻ａｙ）＆　　　　　　　　　　　　　　　　∃ｙ（象ｙ＆　鼻ａｙ）　　　　４５＆Ｉ１　４（ウ）　～（鼻ａ＆　長ａ）　　　　　　　　　　　　　　　３ウＲＡＡ１　４（エ）　　～鼻ａ∨～長ａ　　　　　　　　　　　　　　　　ウ、ド・モルガンの法則１　４（オ）　　（鼻ａ→～長ａ）　　　　　　　　　　　　　　　エ含意の定義１　　（エ）　　　∀ｙ（象ｙ→～鼻ａｙ）→（鼻ａ→～長ａ）　　４オＣＰ１　　（カ）∀ｘ｛∀ｙ（象ｙ→～鼻ｘｙ）→（鼻ｘ→～長ｘ）｝　エＵＩ１　　（〃）すべてのｘと、すべてのｙについて、ｙが象ならば、　ｘがｙの鼻でないならば、ｘが鼻ならば、ｘは長くない。　エＵＩ１　　（〃）すべてのｘと、すべてのｙについて、ｙが象であって、ｘがｙの鼻ではなく、　　ｘが鼻ならば、ｘは長くない。　エＵＩ然るに、（26）｛象、兎、キリン｝が｛ｙの変域（ドメイン）｝であるとして、 ③ すべてのｘと、すべてのｙについて、ｙが象であって、ｘがｙの鼻ではなく、ｘが鼻ならば、ｘは長くない。といふことは、 ③ ｘが象の鼻ではない鼻（兎やキリンの鼻）であるならば、ｘは長くない。といふ、ことである。然るに、（27） ③ ｘが象の鼻ではない鼻（兎やキリンの鼻）であるならば、ｘは長くない。といふことは、 ③ 鼻は象が長い。といふ、ことである。従って、然るに、（28）１　　　　　（１）象は鼻が長い。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ１　　　　　（〃）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝　Ａ１　　　　　（〃）すべてのｘについて、ｘが象であるならば、有るｙはｘの鼻であって長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。　Ａ　２　　　　（２）兎の耳は長く、兎の耳は鼻ではない。　　　　　　　　　　　　　　Ａ　２　　　　（〃）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（耳ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝　Ａ　２　　　　（〃）すべてのｘについて、ｘが兎であるならば、有るｙはｘの耳であって長く、すべてのｚについて、ｚがｘの耳ならば、ｚはｘの鼻ではない。　Ａ　　３　　　（３）有る兎は象である。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ　　３　　　（〃）∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ　　３　　　（〃）あるｘは兎であって象である。　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ１　　　　　（４）　　　象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　１ＵＥ　２　　　　（５）　　　兎ａ→∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ）　　１ＵＥ　　　６　　（６）　　　兎ａ＆象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ　　　６　　（７）　　　兎ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　６＆Ｅ　　　６　　（８）　　　　　　象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　６＆Ｅ１　　６　　（９）　　　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　４７ＭＰＰ　２　６　　（ア）　　　　　　∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ）　　５８ＭＰＰ１　　６　　（イ）　　　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　９＆Ｅ　２　６　　（ウ）　　　　　　∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　ア＆Ｅ　　　　エ　（エ）　　　　　　　　　鼻ｂａ＆長ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ　　　　　オ（オ）　　　　　　　　　耳ｂａ＆長ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ１　　６　　（カ）　　　　　　　　　　　　　　　　　∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　９＆Ｅ１　　６　　（キ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～鼻ｂａ→～長ｂ　　　カＵＥ　２　６　　（ク）　　　　　　　　　　　　　　　　　∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ）　　ア＆Ｅ　２　６　　（ケ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　耳ｂａ→～鼻ｂａ　　　クＵＥ　　　　　オ（コ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　耳ｂａ　　　　　　　　オ＆Ｅ　２　６　オ（サ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～鼻ｂａ　　　ケコＭＰＰ１２　６　オ（シ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～長ｂ　　　キサコＭＰＰ　　　　　オ（ス）　　　　　　　　　　　　　長ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　オ＆Ｅ１２　６　オ（セ）　　　　　　　　　　　　　長ｂ＆～長ｂ　　　　　　　　　　　　シス＆Ｉ１２　６　　（ソ）　　　　　　　　　　　　　長ｂ＆～長ｂ　　　　　　　　　　　　ウオセＥＥ１２３　　　（タ）　　　　　　　　　　　　　長ｂ＆～長ｂ　　　　　　　　　　　　３６ソＥＥ１２　　　　（チ）～∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　３タＲＡＡ１２　　　　（ツ）∀ｘ～（兎ｘ＆象ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　チ量化子の関係１２　　　　（テ）　　～（兎ａ＆象ａ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ツＵＥ１２　　　　（ト）　　～兎ａ∨～象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　テ、ド・モルガンの法則１２　　　　（ナ）　　　兎ａ→～象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ト含意の定義１２　　　　（ニ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ナＵＩ１２　　　　（〃）すべてのｘについて、ｘが兎であるならば、ｘは象ではない。　　　ナＵＩ１２　　　　（〃）兎は象ではない。従って、（25）～（28）により、（29）　　 ③ 鼻は象が長い＝∀ｘ｛鼻ｘ＆長ｘ→∃ｙ（象ｙ＆鼻ｘｙ）｝ ④ 象は鼻が長い＝∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝である。然るに、（30） ①（愛ｄａ＆愛ｅａ＆愛ｆａ）∨（愛ｄｂ＆愛ｅｂ＆愛ｆｂ）∨（愛ｄｃ＆愛ｅｃ＆愛ｆｃ） ②（愛ｄａ∨愛ｄｂ∨愛ｄｃ）＆（愛ｅａ∨愛ｅｂ∨愛ｅｃ）＆（愛ｆａ∨愛ｆｂ∨愛ｆｃ）といふ「書き方」を、仮に、『といふ書き方』とする。従って、（24）（29）（30）により、（31） ① ∃ｘ｛少女ｘ＆∀ｙ（少年ｙ→愛ｙｘ）｝ ② ∀ｙ｛少年ｙ→∃ｘ（少女ｘ＆愛ｙｘ）｝といふ「論理式」に相当する、『といふ書き方』が、 ①（愛ｄａ＆愛ｅａ＆愛ｆａ）∨（愛ｄｂ＆愛ｅｂ＆愛ｆｂ）∨（愛ｄｃ＆愛ｅｃ＆愛ｆｃ） ②（愛ｄａ∨愛ｄｂ∨愛ｄｃ）＆（愛ｅａ∨愛ｅｂ∨愛ｅｃ）＆（愛ｆａ∨愛ｆｂ∨愛ｆｃ）である。といふことからすれば、 ③ ∀ｘ｛鼻ｘ＆長ｘ→∃ｙ（象ｙ＆鼻ｘｙ）｝ ④ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝といふ「論理式」に相当する、『といふ書き方』も、あるに、違ひない。然るに、（32）「慣れれば」どうかは、分からないものの、「慣れたこと」がないため、 ③ ∀ｘ｛鼻ｘ＆長ｘ→∃ｙ（象ｙ＆鼻ｘｙ）｝ ④ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝といふ「論理式」に相当する、『といふ書き方』は、直ぐには、「思ひ浮かばない」。加へて、（33） ① 少女為全少年為所愛＝∃ｘ｛少女ｘ＆∀ｙ（少年ｙ→愛ｙｘ）｝ ② 少年皆有其所愛少女＝∀ｙ｛少年ｙ→∃ｘ（少女ｘ＆愛ｙｘ）｝ ③ 鼻は象が長い　　　＝∀ｘ｛鼻ｘ＆長ｘ→∃ｙ（象ｙ＆鼻ｘｙ）｝ ④ 象は鼻が長い　　　＝∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝は、「左辺」は「言語」で、「右辺」は、「人工言語」であるが、 ①（愛ｄａ＆愛ｅａ＆愛ｆａ）∨（愛ｄｂ＆愛ｅｂ＆愛ｆｂ）∨（愛ｄｃ＆愛ｅｃ＆愛ｆｃ） ②（愛ｄａ∨愛ｄｂ∨愛ｄｃ）＆（愛ｅａ∨愛ｅｂ∨愛ｅｃ）＆（愛ｆａ∨愛ｆｂ∨愛ｆｃ）は、「言語」といふ「感じ」が、しない。加へて、（34） ① ∃ｘ｛少女ｘ＆∀ｙ（少年ｙ→愛ｙｘ）｝ ② ∀ｙ｛少年ｙ→∃ｘ（少女ｘ＆愛ｙｘ）｝ ③ ∀ｘ｛鼻ｘ＆長ｘ→∃ｙ（象ｙ＆鼻ｘｙ）｝ ④ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝といふ「述語論理式（自然演繹）」は、「我々が、日常的に用ひる、推論の規則」に従ふ「形」で、作られてゐる。然るに、（35） ①（愛ｄａ＆愛ｅａ＆愛ｆａ）∨（愛ｄｂ＆愛ｅｂ＆愛ｆｂ）∨（愛ｄｃ＆愛ｅｃ＆愛ｆｃ） ②（愛ｄａ∨愛ｄｂ∨愛ｄｃ）＆（愛ｅａ∨愛ｅｂ∨愛ｅｃ）＆（愛ｆａ∨愛ｆｂ∨愛ｆｃ）のやうな『といふ書き方』は、「真理表（Truth table）」によって、 ① が「真（本当）」であるならば、 ② も「真（本当）」である。が、 ② が「真（本当）」であるならば、 ① も「真（本当）」である。ではない。といふことを、示してゐるものの、このやうな「機械的な方法」は、「我々が、日常的に用ひる、推論の規則」に従ってゐるとは、言ひ難い。然るに、（36）「我々が、日常的に用ひる、推論の規則」に従ふ「論理学」と、「さうではない論理学」を「比較」すれば、「我々にとって、望ましい論理学」は、「前者」の方であるに、違ひない。従って、（30）（33）～（36）により、（37） ① ∃ｘ｛少女ｘ＆∀ｙ（少年ｙ→愛ｙｘ）｝ ② ∀ｙ｛少年ｙ→∃ｘ（少女ｘ＆愛ｙｘ）｝ ③ ∀ｘ｛鼻ｘ＆長ｘ→∃ｙ（象ｙ＆鼻ｘｙ）｝ ④ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝のやうな「述語論理式」を、 ①（愛ｄａ＆愛ｅａ＆愛ｆａ）∨（愛ｄｂ＆愛ｅｂ＆愛ｆｂ）∨（愛ｄｃ＆愛ｅｃ＆愛ｆｃ） ②（愛ｄａ∨愛ｄｂ∨愛ｄｃ）＆（愛ｅａ∨愛ｅｂ∨愛ｅｃ）＆（愛ｆａ∨愛ｆｂ∨愛ｆｃ）のやうな『といふ書き方』に、全面的に「置き換へる」ことは、たとへ、それが可能（？）であったとしても、「好ましいやり方」であるとは、言へない。令和元年０５月２９日、毛利太。

2019年5月28日火曜日

「二項述語における量記号の交換の規則」の説明。

「二項述語における量記号の交換の規則（Ⅲ）」

2019年5月27日月曜日

「二項述語における量記号の変換の規則（Ⅱ）」

2019年5月26日日曜日

二項述語における量記号の変換の規則。

2019年5月25日土曜日

すべての（∀ｘ）と存在（∃ｘ）について。

2019年5月24日金曜日

∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）は、よくある「マチガイ」である（Ⅲ）。

2019年5月23日木曜日

∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）は、よくある「マチガイ」である（Ⅱ）。

2019年5月22日水曜日

∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）は、よくある「マチガイ」である。

「無不知劉老人者（助字弁略）」の述語論理。

2019年5月21日火曜日

「All the nice girls love all the sailor.」の述語論理。

2019年5月20日月曜日

「All the nice girls love a sailor.」の述語論理。

2019年5月19日日曜日

「楚人有鬻盾与矛者（韓非子、矛盾）」の「述語論理」（Ⅲ）。

―「昨日の記事の、補足」を「補足」をします。― ―「返り点と括弧」に関しては、（α）「返り点」と「括弧」に付いて。　：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_11.html）（β）「返り点」と「括弧」の条件。　　：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_15.html）（γ）「返り点」と「括弧」の条件（Ⅱ）：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_16.html）（δ）「返り点」は、下には戻らない。　：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_20.html）（ε）「下中上点」等が必要な「理由」。：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_22.html）（ζ）「返り点・モドキ」について。　　：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_24.html）⇒ 　Ｗｅｂ上には存在しますが、何故か、アクセス出来ません。（η）「一二点・上下点」に付いて。　　：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_26.html）（θ）「括弧」の「順番」。　　　　　　：（https://kannbunn.blogspot.com/2018/01/blog-post.html）（ι）「返り点」と「括弧」の関係　　　：（https://kannbunn.blogspot.com/2019/01/blog-post_21.html）等々、「その他、諸々」を、お読み下さい。今となっては、どのやうなことを書いて、どのやうなことを書かなかったのか、ハッキリとは、覚えてはゐません。― （16） ① ∃ｘ｛盾ｘ＆∀ｙ（矛ｙ→～陥ｙｘ）｝ ② ∀ｙ｛矛ｙ→∃ｘ（盾ｘ＆～陥ｙｘ）｝に於いて、 ①＝② であるはず。と、思っゐたものの、（08）でも示した通り、１　　（１）∃ｘ｛盾ｘ＆∀ｙ（矛ｙ→～陥ｙｘ）｝　Ａ　２　（２）　　　盾ａ＆∀ｙ（矛ｙ→～陥ｙａ）　　Ａ　２　（３）　　　盾ａ　　　　　　　　　　　　　　２＆Ｅ　２　（４）　　　　　　∀ｙ（矛ｙ→～陥ｙａ）　　３＆Ｅ　２　（５）　　　　　　　　　矛ｂ→～陥ｂａ　　　４ＵＥ　　６（６）　　　　　　　　　矛ｂ　　　　　　　　Ａ　２６（７）　　　　　　　　　　　　～陥ｂａ　　　５６ＭＰＰ　２６（８）　　　　　　　　　盾ａ＆～陥ｂａ　　　３７＆Ｉ　２６（９）　　　　　　∃ｘ（盾ｘ＆～陥ｂｘ）　　８ＥＩ１　６（ア）　　　　　　∃ｘ（盾ｘ＆～陥ｂｘ）　　１２９ＥＥ１　　（イ）　　　矛ｂ→∃ｘ（盾ｘ＆～陥ｂｘ）　　６アＣＰ１　　（ウ）∀ｙ｛矛ｙ→∃ｘ（盾ｘ＆～陥ｙｘ）｝　イＵＩであり、それ故、 ① ならば、② である。然るに、（17）
１　　（１）∀ｙ｛矛ｙ→∃ｘ（盾ｘ＆～陥ｙｘ）｝　Ａ
１　　（２）　　　矛ｂ→∃ｘ（盾ｘ＆～陥ｂｘ）　　１ＵＥ
　３　（３）　　　矛ｂ　　　　　　　　　　　　　　Ａ
１３　（４）　　　　　　∃ｘ（盾ｘ＆～陥ｂｘ）　　２３ＭＰＰ
　　５（５）　　　　　　　　　盾ａ＆～陥ｂａ　　　Ａ
１３　（６）　　　　　　　　　盾ａ＆～陥ｂａ　　　４５５ＥＥ
１３　（７）　　　　　　　　　　　　～陥ｂａ　　　６＆Ｅ
１　　（８）　　　　　　　　　矛ｂ→～陥ｂａ　　　３７ＣＰ
１　　（９）　　　　　　∀ｙ（矛ｙ→～陥ｙａ）　　８ＵＩ
１３　（ア）　　　盾ａ　　　　　　　　　　　　　　６＆Ｅ
１３　（イ）　　　盾ａ＆∀ｙ（矛ｙ→～陥ｙａ）　　９ア＆Ｉ
１３　（ウ）∃ｘ｛盾ａ＆∀ｙ（矛ｙ→～陥ｙａ）｝　イＥＩ
然るに、（18）１３　（ウ）∃ｘ｛盾ｘ＆∀ｙ（矛ｙ→～陥ｙｘ）｝　エＥＩではなく、１　　（ウ）∃ｘ｛盾ａ＆∀ｙ（矛ｙ→～陥ｙａ）｝　エＥＩでなければ、 ① ∃ｘ｛盾ｘ＆∀ｙ（矛ｙ→～陥ｙｘ）｝ ② ∀ｙ｛矛ｙ→∃ｘ（盾ｘ＆～陥ｙｘ）｝に於いて、 ①＝② ではない。従って、（16）（17）（18）により、（19） ① ∃ｘ｛盾ｘ＆∀ｙ（矛ｙ→～陥ｙｘ）｝＝あるｘは盾であり、すべてのｙについて、ｙが矛であるならば、ｙはｘを突き通さない。 ② ∀ｙ｛矛ｙ→∃ｘ（盾ｘ＆～陥ｙｘ）｝＝すべてのｙについて、ｙが矛であるならば、あるｘは盾であり、ｙはｘを突き通さない。に於いて、 ① ならば、② であるが、 ② ならば、① である。ではない。然るに、（20） ① ∃ｘ｛盾ｘ＆∀ｙ（矛ｙ→～陥ｙｘ）｝＝あるｘは盾であり、すべてのｙについて、ｙが矛であるならば、ｙはｘを突き通さない。 ② ∀ｙ｛矛ｙ→∃ｘ（盾ｘ＆～陥ｙｘ）｝＝すべてのｙについて、ｙが矛であるならば、あるｘは盾であり、ｙはｘを突き通さない。に於いて、　盾＝少女　矛＝少年～陥＝愛すといふ「代入（置換）」を行ふと、 ① ∃ｘ｛少女ｘ＆∀ｙ（少年ｙ→愛ｙｘ）｝＝ある少女は、すべての少年によって、愛される。 ② ∀ｙ｛少年ｙ→∃ｘ（少女ｘ＆愛ｙｘ）｝＝すべての少年には、愛する少女がゐる。である。然るに、（21）　　（34）すべての少年はある少女を愛す。この文には多義性が含まれることが知られる。これは、 ① すべての少年によって愛されるあるひとりの（非常に幸運な）少女が存在する。という意味かも知れないし、あるいは、 ② すべての少年に対して、彼が愛する（さいわい、別々の）少女がみつかりうる。という意味かもしれない。（論理学初歩、E.J.レモン著、竹尾治一郎・浅野楢英訳、1973年、１２７頁）（22）Ａｌｌｔｈｅｎｉｃｅｇｉｒｌｓｌｏｖｅａｓａｉｌｏｒ. （すべてのすてきな女の子は、水夫を愛している）という文を取り上げてみよう。この文は、「どのすてきな女の子も、水夫を誰か愛している。アリスはジョーを愛し、メアリーはバートを愛し、デスデモーナはビリーを愛している」という意味にもとれるし、また、「どのすてきな女の子も、一人の特定の水夫を愛している。その水夫の名前は、ジャック・タールである」という意味にもとれる。論理学では、この二つの異なる構造をはっきり示す、厳密な表記を提供してくれるのである。（ジーン・エイチソン著、田中晴美田中幸子訳、入門言語学、1980年、９２頁）従って、（21）（22）により、（23） ① すべての少年によって愛される、ある少女がゐる。 ② すべての少年は、ある少女を愛してゐる。に於いて、 ① の場合は、 ① 特定の、「あるひとりの少女」でなければ、ならないものの、 ② の場合は、 ② 特定の、「あるひとりの少女」であっても、不特定の、「別々の、複数の少女」であっても、「両方」とも「可能」である。然るに、（24） ② の場合に、 ② 不特定の、「別々の、複数の少女」であるとすれば、 ① 　特定の、「あるひとりの少女」ではない。従って、（24）により、（25） ① すべての少年によって愛される、ある少女がゐる。 ② すべての少年は、ある少女を愛してゐる。に於いて、 ① ならば、② であるが、 ② ならば、① である。ではない。従って、（19）～（25）により、（26） ① ∃ｘ｛少女ｘ＆∀ｙ（少年ｙ→愛ｙｘ）｝＝ある少女は、すべての少年によって、愛される。 ② ∀ｙ｛少年ｙ→∃ｘ（少女ｘ＆愛ｙｘ）｝＝すべての少年には、愛する少女がゐる。に於いて、 ① ならば、② であるが、 ② ならば、① である。ではないし、それ故、 ① ∃ｘ｛盾ｘ＆∀ｙ（矛ｙ→～陥ｙｘ）｝＝あるｘは盾であり、すべてのｙについて、ｙが矛であるならば、ｙはｘを突き通さない。 ② ∀ｙ｛矛ｙ→∃ｘ（盾ｘ＆～陥ｙｘ）｝＝すべてのｙについて、ｙが矛であるならば、あるｘは盾であり、ｙはｘを突き通さない。に於いても、 ① ならば、② であるが、 ② ならば、① である。ではない。然るに、（21）（26）により、（27） ① ∃ｘ｛少女ｘ＆∀ｙ（少年ｙ→愛ｙｘ）｝＝ある少女は、すべての少年によって、愛される。といふことは、その「左辺」からすると、 ① すべての少年によって愛されるあるひとりの（非常に幸運な）少女が存在する。といふ意味である。従って、（26）（27）により、（28） ① ∃ｘ｛盾ｘ＆∀ｙ（矛ｙ→～陥ｙｘ）｝＝あるｘは盾であり、すべてのｙについて、ｙが矛であるならば、ｙはｘを突き通さない。といふことは、その「左辺」からすると、 ① すべての矛を以てしても、突き通すことが出来ない（非常に堅牢な）ひとつの盾が存在する。といふ意味である。然るに、（29）楚人に盾と矛とを鬻く者有り。之を誉めて曰く、吾が盾の堅きこと、能陥す莫きなり。従って、（26）（28）（29）により、（30）吾が盾の堅きこと、能陥す莫きなり。といふことは、 ① ∃ｘ｛盾ｘ＆∀ｙ（矛ｙ→～陥ｙｘ）｝＝あるｘは盾であり、すべてのｙについて、ｙが矛であるならば、ｙはｘを突き通さない。 ② ∀ｙ｛矛ｙ→∃ｘ（盾ｘ＆～陥ｙｘ）｝＝すべてのｙについて、ｙが矛であるならば、あるｘは盾であり、ｙはｘを突き通さない。に於いて、この場合は、 ① の「意味」であって、 ② の「意味」ではない。令和元年０５月１９日、毛利太。

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