「伯楽不常有（部分否定）」と「伯楽常不有（全部否定）」の「述語論理」。

―「返り点と括弧」に関しては、『「返り点」と「括弧」の関係（https://kannbunn.blogspot.com/2019/01/blog-post_21.html）』他をお読み下さい。―
（01）
｛ａ、ｂ、ｃ｝が「変域（ドメイン）」であるとき、
① ～∀ｘ（　Ｆｘ）＝～（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）
然るに、
（02）
「ド・モルガンの法則」により、
① ～∀ｘ（　Ｆｘ）＝～（　Ｆａ＆　Ｆｂ＆　Ｆｃ）＝（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ）
然るに、
（03）
②   ∃ｘ（～Ｆｘ）＝　（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ）
従って、
（02）（03）により、
（04）
① ～∀ｘ（　Ｆｘ）＝～（　Ｆａ＆　Ｆｂ＆　Ｆｃ）＝（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ）
②   ∃ｘ（～Ｆｘ）＝　（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ）
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（05）
③ 　∀ｘ（　Ｆｘ）＝　（　Ｆａ＆　Ｆｂ＆　Ｆｃ）
④ ～∃ｘ（～Ｆｘ）＝～（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ）
然るに、
（06）
「ド・モルガンの法則と、二重否定」により、
④ ～∃ｘ（～Ｆｘ）＝～（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ）＝（～～Ｆａ＆～～Ｆｂ＆～～Ｆｃ）＝（　Ｆａ＆　Ｆｂ＆　Ｆｃ）
従って、
（05）（06）により、
（07）
③ 　∀ｘ（　Ｆｘ）＝　（　Ｆａ＆　Ｆｂ＆　Ｆｃ）
④ ～∃ｘ（～Ｆｘ）＝～（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ）＝（～～Ｆａ＆～～Ｆｂ＆～～Ｆｃ）＝（　Ｆａ＆　Ｆｂ＆　Ｆｃ）
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（07）により、
（08）
⑤ 　∀ｘ（　～Ｆｘ）＝　（　～Ｆａ＆　～Ｆｂ＆　～Ｆｃ）
⑥ ～∃ｘ（～～Ｆｘ）＝～（～～Ｆａ∨～～Ｆｂ∨～～Ｆｃ）
に於いて、
⑤＝⑥ である。
従って、
（09）
「二重否定」により、
⑤ 　∀ｘ（　～Ｆｘ）＝　（～Ｆａ＆～Ｆｂ＆～Ｆｃ）
⑥ ～∃ｘ（　　Ｆｘ）＝～（　Ｆａ∨　Ｆｂ∨　Ｆｃ）
従って、
（04）（07）（09）により、
（10）
① ～∀ｘ（　Ｆｘ）＝～（　Ｆａ＆　Ｆｂ＆　Ｆｃ）＝（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ）
②   ∃ｘ（～Ｆｘ）＝　（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ）
③ 　∀ｘ（　Ｆｘ）＝　（　Ｆａ＆　Ｆｂ＆　Ｆｃ）
④ ～∃ｘ（～Ｆｘ）＝～（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ）＝（　Ｆａ＆　Ｆｂ＆　Ｆｃ）
⑤ 　∀ｘ（～Ｆｘ）＝　（～Ｆａ＆～Ｆｂ＆～Ｆｃ）
⑥ ～∃ｘ（　Ｆｘ）＝～（　Ｆａ∨　Ｆｂ∨　Ｆｃ）
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ であって、
⑤＝⑥ であるものの、このこと他を、「量化子の関係」と言ふ。
然るに、
（11）
（ⅰ）
１　（１）～∀ｘ（馬喰ｘ→　伯楽ｘ）　Ａ
１　（２）∃ｘ～（馬喰ｘ→　伯楽ｘ）　１量化子の関係
　３（３）　　～（馬喰ａ→　伯楽ａ）　Ａ
　３（４）　～（～馬喰ａ∨　伯楽ａ）　３含意の定義
　３（５）　～～馬喰ａ＆　～伯楽ａ　　４ド・モルガンの法則
　３（６）　　　馬喰ａ＆　～伯楽ａ　　５ＤＮ
　３（７）∃ｘ（馬喰ｘ＆　～伯楽ｘ）　６ＥＩ
１　（８）∃ｘ（馬喰ｘ＆　～伯楽ｘ）　２３７ＥＥ
（ⅱ）
１　（１）∃ｘ（馬喰ｘ＆　～伯楽ｘ）　Ａ
　２（２）　　　馬喰ａ＆　～伯楽ａ　　Ａ
　２（３）～～（馬喰ａ＆　～伯楽ａ）　２ＤＮ
　２（４）～（～馬喰ａ∨～～伯楽ａ）　３ド・モルガンの法則
　２（５）～（～馬喰ａ∨　　伯楽ａ）　４ＤＮ
　２（６）　　～　馬喰ａ→　伯楽ａ）　５含意の定義
　２（７）∃ｘ～（馬喰ｘ→　伯楽ｘ）　６ＥＩ
１　（８）∃ｘ～（馬喰ｘ→　伯楽ｘ）　１２７ＥＥ
１　（９）～∀ｘ（馬喰ｘ→　伯楽ｘ）　８量化子の関係
（12）
（ⅲ）
１（１）　　　∀ｘ（馬喰ｘ→～伯楽ｘ）　Ａ
１（２）　　　　　　馬喰ａ→～伯楽ａ　　１ＵＥ
１（３）　　　　　～馬喰ａ∨～伯楽ａ　　２含意の定義
１（４）　　　　～（馬喰ａ＆　伯楽ａ）　３ド・モルガンの法則
１（５）　　∀ｘ～（馬喰ｘ＆　伯楽ｘ）　４ＵＩ
１（６）～∃ｘ～～（馬喰ｘ＆　伯楽ｘ）　４量化子の関係
１（７）　　～∃ｘ（馬喰ｘ＆　伯楽ｘ）　６ＤＮ
（ⅳ）
１（１）　　～∃ｘ（馬喰ｘ＆　伯楽ｘ）　Ａ
１（２）　　∀ｘ～（馬喰ｘ＆　伯楽ｘ）　１量化子の関係
１（３）　　　　～（馬喰ａ＆　伯楽ａ）　２ＵＥ
１（４）　　　　　～馬喰ａ∨～伯楽ａ　　３ド・モルガンの法則
１（５）　　　　　　馬喰ａ→～伯楽ａ　　４含意の定義
１（６）　　　∀ｘ（馬喰ｘ→～伯楽ｘ）　５ＵＩ
従って、
（11）（12）により、
（13）
① ～∀ｘ（馬喰ｘ→　伯楽ｘ）＝すべてのｘについて、ｘが馬喰であるならば、ｘは伯楽である。といふわけではない。
② 　∃ｘ（馬喰ｘ＆～伯楽ｘ）＝あるｘは馬喰であって、伯楽でない（伯楽ではない、馬喰が存在する）。
③   ∀ｘ（馬喰ｘ→～伯楽ｘ）＝すべてのｘについて、ｘが馬喰であるならば、ｘは伯楽ではない。
④ ～∃ｘ（馬喰ｘ＆　伯楽ｘ）＝あるｘが馬喰であって、伯楽である。といふことはない（伯楽である馬喰は、存在しない）。
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ である。
然るに、
（14）
｛ａ、ｂ、ｃ｝を「馬喰の変域（ドメイン）」とするとき、
② 　∃ｘ（馬喰ｘ＆～伯楽ｘ）＝　（～伯楽ａ∨～伯楽ｂ∨～伯楽ｃ）
④ ～∃ｘ（馬喰ｘ＆　伯楽ｘ）＝～（　伯楽ａ∨　伯楽ｂ∨　伯楽ｃ）
である。
従って、
（14）により、
（15）
「ドモルガンの法則」により、
② 　∃ｘ（馬喰ｘ＆～伯楽ｘ）＝（～伯楽ａ∨～伯楽ｂ∨～伯楽ｃ）
④ ～∃ｘ（馬喰ｘ＆　伯楽ｘ）＝（～伯楽ａ＆～伯楽ｂ＆～伯楽ｃ）
然るに、
（16）
② 　∃ｘ（馬喰ｘ＆～伯楽ｘ）＝（～伯楽ａ∨～伯楽ｂ∨～伯楽ｃ）
であれば、例へば、　　　　　　 （  伯楽ａ＆　伯楽ｂ＆　伯楽ｃ）
であれば、「偽」であるが、     （　伯楽ａ＆～伯楽ｂ＆～伯楽ｃ）
であれば、「真」である。
従って、
（14）（16）により、
（17）
｛ａ、ｂ、ｃ｝を「馬喰の変域（ドメイン）」とするとき、
② 　∃ｘ（馬喰ｘ＆～伯楽ｘ）＝（～伯楽ａ∨～伯楽ｂ∨～伯楽ｃ）
であれば、例へば、　
② 馬喰ａは伯楽である。
② 馬喰ｂは伯楽ではない。
② 馬喰ｃも伯楽ではない。
といふ場合に於いて、「真」である。
従って、
（18）
｛ａ、ｂ、ｃ｝を「馬喰の変域（ドメイン）」とするとき、
② 　∃ｘ（馬喰ｘ＆～伯楽ｘ）＝（～伯楽ａ∨～伯楽ｂ∨～伯楽ｃ）
であれば、
② 三人の内の、一人は伯楽であり、他の二人は伯楽でない。
のであれば、その場合は、「真」である。
従って、
（19）
② 　∃ｘ（馬喰ｘ＆～伯楽ｘ）＝（～伯楽ａ∨～伯楽ｂ∨～伯楽ｃ）
であれば、
②「部分否定」である。
従って、
（13）（19）により、
（20）
① ～∀ｘ（馬喰ｘ→　伯楽ｘ）＝すべてのｘについて、ｘが馬喰であるならば、ｘは伯楽である。といふわけではない。
② 　∃ｘ（馬喰ｘ＆～伯楽ｘ）＝あるｘは馬喰であって、伯楽でない（伯楽ではない、馬喰が存在する）。
に於いて、
①＝② は、「部分否定」である。
然るに、
（15）により、
（21）
｛ａ、ｂ、ｃ｝を「馬喰の変域（ドメイン）」とするとき、
④ ～∃ｘ（馬喰ｘ＆　伯楽ｘ）＝（～伯楽ａ＆～伯楽ｂ＆～伯楽ｃ）
であれば、
④ 三人の内の、三人とも伯楽でない。
ならば、そのときに限って、「真」である。
従って、
（13）（21）により、
（22）
③   ∀ｘ（馬喰ｘ→～伯楽ｘ）＝すべてのｘについて、ｘが馬喰であるならば、ｘは伯楽ではない。
④ ～∃ｘ（馬喰ｘ＆　伯楽ｘ）＝あるｘが馬喰であって、伯楽である。といふことはない（伯楽である馬喰は、存在しない）。
に於いて、
③＝④ は、「全部否定」である。
然るに、
（23）
①「有」は「他動詞的」であって、
②「在」は「自動詞的」である。
従って、
（23）により、
（24）
① 伯楽不常有。
② 伯楽不常在。
であれば、
① よりも、
② の方が、分かり易い。
然るに、
（25）
「不_二常～_一」「常ニハ～ず」と読み、「いつも～とはかぎらない」の意を示す一部否定の形。全部否定は「常不_二～_一」の形で「常に～ず」と読み、「いつもからなず～ない」の意を表す。
（旺文社、漢文の基礎、1973年、１５５頁）
然るに、
（26）
① 伯楽不常有＝
① 伯楽不（常有）＝
① 伯楽（常有）不⇒
① 伯楽は（常には有）ず。
（27）
③ 伯楽常不有＝
③ 伯楽常不（有）⇒
③ 伯楽常（有）不＝
③ 伯楽は常に（有ら）ず。
従って、
（20）（22）（25）（26）（27）により、
（28）
① 伯楽不常有＝伯楽は常には有ず。
といふ「漢文・訓読」は、それぞれ、
① ～∀ｘ（馬喰ｘ→　伯楽ｘ）＝すべてのｘについて、ｘが馬喰であるならば、ｘは伯楽である。といふわけではない。
② 　∃ｘ（馬喰ｘ＆～伯楽ｘ）＝あるｘは馬喰であって、伯楽でない（伯楽ではない、馬喰が存在する）。
といふ「述語論理・訓読」に対応し、
③ 伯楽常不有＝伯楽は常に有ず。
といふ「漢文・訓読」は、
① ～∀ｘ（馬喰ｘ→　伯楽ｘ）＝すべてのｘについて、ｘが馬喰であるならば、ｘは伯楽である。といふわけではない。
② 　∃ｘ（馬喰ｘ＆～伯楽ｘ）＝あるｘは馬喰であって、伯楽でない（伯楽ではない、馬喰が存在する）。
といふ「述語論理・訓読」に対応する。
然るに、
（29）
因みに言ふと、
① 伯楽不常有。
といふ「漢文」は、
① 伯楽不常有＝
① 伯楽不〔常（有）〕⇒
① 伯楽〔（有）常〕不＝
① 伯楽は〔（有ること）常なら〕ず。
といふ風に、読むことも、可能であるし、
③ 伯楽常不有。
といふ「漢文」は、
③ 伯楽常不有＝
③ 伯楽常〔不（有）〕⇒
③ 伯楽〔（有）不〕常＝
③ 伯楽は〔（有ら）ざること〕常なり。
といふ風に、読むことも、可能であり、この方が、分かり易い。
ｃｆ.
原田種臣、私の漢文講義、1995年、５６頁。
（30）
（ⅰ）
１　（１）～∀ｘ（馬喰ｘ→　伯楽ｘ）　Ａ
１　（２）∃ｘ～（馬喰ｘ→　伯楽ｘ）　１量化子の関係
　３（３）　　～（馬喰ａ→　伯楽ａ）　Ａ
　３（４）　～（～馬喰ａ∨　伯楽ａ）　３含意の定義
　３（５）　～～馬喰ａ＆　～伯楽ａ　　４ド・モルガンの法則
　３（６）　　　馬喰ａ＆　～伯楽ａ　　５ＤＮ
　３（７）∃ｘ（馬喰ｘ＆　～伯楽ｘ）　６ＥＩ
１　（８）∃ｘ（馬喰ｘ＆　～伯楽ｘ）　２３７ＥＥ
（ⅱ）
１　（１）∃ｘ（馬喰ｘ＆　～伯楽ｘ）　Ａ
　２（２）　　　馬喰ａ＆　～伯楽ａ　　Ａ
　２（３）～～（馬喰ａ＆　～伯楽ａ）　２ＤＮ
　２（４）～（～馬喰ａ∨～～伯楽ａ）　３ド・モルガンの法則
　２（５）～（～馬喰ａ∨　　伯楽ａ）　４ＤＮ
　２（６）　　～　馬喰ａ→　伯楽ａ）　５含意の定義
　２（７）∃ｘ～（馬喰ｘ→　伯楽ｘ）　６ＥＩ
１　（８）∃ｘ～（馬喰ｘ→　伯楽ｘ）　１２７ＥＥ
１　（９）～∀ｘ（馬喰ｘ→　伯楽ｘ）　８量化子の関係
といふ「計算」は、
（ⅰ）
１　（１）不常ｘ（馬喰ｘ則　伯楽ｘ）　Ａ
１　（２）有ｘ不（馬喰ｘ則　伯楽ｘ）　１量化子の関係
　３（３）　　不（馬喰ａ則　伯楽ａ）　Ａ
　３（４）　不（不馬喰ａ若　伯楽ａ）　３含意の定義
　３（５）　不不馬喰ａ且　不伯楽ａ　　４ド・モルガンの法則
　３（６）　　　馬喰ａ且　不伯楽ａ　　５ＤＮ
　３（７）有ｘ（馬喰ｘ且　不伯楽ｘ）　６ＥＩ
１　（８）有ｘ（馬喰ｘ且　不伯楽ｘ）　２３７ＥＥ
（ⅱ）
１　（１）有ｘ（馬喰ｘ且　不伯楽ｘ）　Ａ
　２（２）　　　馬喰ａ且　不伯楽ａ　　Ａ
　２（３）不不（馬喰ａ且　不伯楽ａ）　２ＤＮ
　２（４）不（不馬喰ａ若不不伯楽ａ）　３ド・モルガンの法則
　２（５）不（不馬喰ａ若　　伯楽ａ）　４ＤＮ
　２（６）　　不　馬喰ａ則　伯楽ａ）　５含意の定義
　２（７）有ｘ不（馬喰ｘ則　伯楽ｘ）　６ＥＩ
１　（８）有ｘ不（馬喰ｘ則　伯楽ｘ）　１２７ＥＥ
１　（９）不常ｘ（馬喰ｘ則　伯楽ｘ）　８量化子の関係
といふ風に、書いても、構はない。
（31）
１　（１）不常ｘ（馬喰ｘ則　伯楽ｘ）　Ａ
１　（２）有ｘ不（馬喰ｘ則　伯楽ｘ）　１量化子の関係
であれば、
１　（１）ｘが馬喰であるならば、則ち、ｘが伯楽である。といふことは、常にさうである。といふわけではない。　Ａ
１　（２）有るｘが馬喰であるならば、則ち、ｘが伯楽である。といふわけではない。　１量化子の関係
といふ風に、読めるため、
１　（１）不常ｘ（馬喰ｘ則　伯楽ｘ）　Ａ
１　（２）有ｘ不（馬喰ｘ則　伯楽ｘ）　１量化子の関係
よりも、
１　（１）～∀ｘ（馬喰ｘ→　伯楽ｘ）　Ａ
１　（２）∃ｘ～（馬喰ｘ→　伯楽ｘ）　１量化子の関係
といふ「記号」の方が、「優れてゐる」といふことには、ならない。
令和元年０５月０９日、毛利太。