2019年5月27日月曜日

「二項述語における量記号の変換の規則(Ⅱ)」

―「返り点と括弧」に関しては、
(α)「返り点」と「括弧」に付いて。 :(https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_11.html
(β)「返り点」と「括弧」の条件。  :(https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_15.html
(γ)「返り点」と「括弧」の条件(Ⅱ):(https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_16.html
(δ)「返り点」は、下には戻らない。 :(https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_20.html
(ε)「下中上点」等が必要な「理由」。:(https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_22.html
(ζ)「返り点・モドキ」について。  :(https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_24.html)⇒
 Web上には存在しますが、何故か、アクセス出来ません。
(η)「一二点・上下点」に付いて。  :(https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_26.html
(θ)「括弧」の「順番」。      :(https://kannbunn.blogspot.com/2018/01/blog-post.html
(ι)「返り点」と「括弧」の関係   :(https://kannbunn.blogspot.com/2019/01/blog-post_21.html
等々、「その他、諸々」を、お読み下さい。―
(01)
「二項述語における量記号の変換の規則」により、
① ∀y∀x(Fxy)=(Faa&Fba&Fca)&(Fbb&Fab&Fcb)&(Fcc&Fac&Fbc)
② ∃y∀x(Fxy)=(Faa&Fba&Fca)∨(Fbb&Fab&Fcb)∨(Fcc&Fac&Fbc)
③ ∀x∃y(Fxy)=(Faa∨Fab∨Fac)&(Fbb∨Fba∨Fbc)&(Fcc∨Fca∨Fcb)
④ ∃x∃y(Fxy)=(Faa∨Fab∨Fac)∨(Fbb∨Fba∨Fbc)∨(Fcc∨Fca∨Fcb)
に於いて、
① は、② を「含意」し、
② は、③ を「含意」し、
③ は、④ を「含意」する。
従って、
(01)により、
(02)
② ∃y∀x(愛xy)=(愛aa&愛ba&愛ca)∨(愛bb&愛ab&愛cb)∨(愛cc&愛ac&愛bc)
③ ∀x∃y(愛xy)=(愛aa∨愛ab∨愛ac)&(愛bb∨愛ba∨愛bc)&(愛cc∨愛ca∨愛cb)
に於いて、
② は、③ を「含意」する。
従って、
(02)により、
(03)
すべての人によって愛される人がゐる。
すべての人はある人を愛してゐる。
に於いて、
② は、③ を「含意」する。
従って、
(03)により、
(04)
すべての少年によって、愛される少女がゐる(少女為全少年所愛)。
すべての少年には、愛する所の少女がゐる(少年皆有其所愛少女)。
に於いて、
② は、③ を「含意」するに、違ひない。
従って、
(04)により、
(05)
② ∃x{少女x&∀y(少年y→愛yx)}
③ ∀x{少年x→∃y(少女y&愛yx)}
に於いて、
② は、③ を「含意」するに、違ひない。
従って、
(06)
② ∃x{少女x&∀y(少年y→愛yx)}
③ ∀y{少年y→∃x(少女x&愛yx)}
に於いて、
② ならば、③ であるが、
③ ならば、② ではない
といふ風に、予想される。
然るに、
(07)
(ⅱ)
1  (1)∃x{少女x&∀y(少年y→愛yx)} A
 2 (2)   少女a&∀y(少年y→愛ya)  A
 2 (3)   少女a              2&I
 2 (4)       ∀y(少年y→愛ya)  2&I
 2 (5)          少年b→愛ba   4UE
  6(6)          少年b       A
 26(7)              愛ba   56MPP
 26(8)          少女a&愛ba   37&I
 26(9)       ∃x(少女x&愛bx)  8EI
1 6(ア)       ∃x(少女x&愛bx)  129EE
1  (イ)   少年b→∃x(少女x&愛bx)  6アCP
1  (ウ)∀y{少年y→∃x(少女x&愛yx)} 1UI
といふ「計算」は、「正しい」。
然るに、
(08)
(ⅲ)
1  (1)∀y{少年y→∃x(少女x&愛yx)} A
1  (2)   少年b→∃x(少女x&愛bx)  1UE
 3 (3)   少年b              A
13 (4)       ∃x(少女x&愛bx)  23MPP
  5(5)          少女a&愛ba   A
  5(6)          少女a       5&E
  5(7)              愛ba   5&E
の場合は、これ以上、「続けよう」が無い。
従って、
(08)により、
(09)
以下では、敢へて、「ルールを無視した、デタラメな計算」をすると、
1  (1)∀y{少年y→∃x(少女x&愛yx)}  A
1  (2)   少年b→∃x(少女x&愛bx)  1UE
 3 (3)   少年b              A
13 (4)       ∃x(少女x&愛bx)  23MPP
  5(5)          少女a&愛ba   A
  5(6)          少女a       5&E
  5(7)              愛ba   5&E
  5(8)          少年b→愛ba   37CP  は「マチガイ1」。
  5(9)       ∀y(少年y→愛ya)  8UI   は「マチガイ2」。
  5(ア)   少女a&∀y(少年y→愛ya)  69&I
  5(イ)∃x{少女x&∀y(少年y→愛yc)} アEI
1  (ウ)∃x{少女a&∀y(少年y→愛ya)} 45イEE は「マチガイ3」。
従って、
(09)により、
(10)
1  (1)∀y{少年y→∃x(少女x&愛yx)} A
1  (2)   少年b→∃x(少女x&愛bx)  1UE
 3 (3)   少年b              A
13 (4)       ∃x(少女x&愛bx)  23MPP
  5(5)          少女a&愛ba   A
  5(6)          少女a       5&E
  5(7)              愛ba   5&E
  5(8)          少年b→愛ba   37CP
  5(9)       ∀y(少年y→愛ya)  8UI
  5(ア)   少女a&∀y(少年y→愛ya)  69&I
  5(イ)∃x{少女a&∀y(少年y→愛ya)} アEI
1  (ウ)∃x{少女a&∀y(少年y→愛ya)} 45イEE
といふ「計算」は、「マチガイ」を「3つ」犯しているため、「マチガイ」である。
従って、
(04)(06)(07)(10)により、
(11)
果たして、
② ∃x{少女x&∀y(少年y→愛yx)}=少女為全少年所愛。
③ ∀y{少年y→∃x(少女x&愛yx)}=少年皆有其所愛少女。
に於いて、
② ならば、③ であるが、
③ ならば、② ではない
(12)
{xの変域が、三人の人}={a、b、c}
であるとして、
② ∃y∀x(愛xy)=(愛aa&愛ba&愛ca)∨(愛bb&愛ab&愛cb)∨(愛cc&愛ac&愛bc)
③ ∀x∃y(愛xy)=(愛aa∨愛ab∨愛ac)&(愛bb∨愛ba∨愛bc)&(愛cc∨愛ca∨愛cb)
に於いて、それぞれ、
すべての人によって愛される人がゐる。
すべての人はある人を愛してゐる。
といふ「意味」である「理由」は、以下の通りである。
(13)
② (愛aa&愛ba&愛ca)∨(愛bb&愛ab&愛cb)∨(愛cc&愛ac&愛bc)=∃y∀x(愛xy)
の場合は、例へば、
② (愛aa&愛ba&愛ca)
が「真(本当)」であれば、それだけで、「真(本当)」である。
然るに、
(14)
② (愛aa&愛ba&愛ca)
であるならば、
② 愛aa⇒ aは、a自身によって、愛されてゐる。
② 愛ba⇒ aは、bによって、愛されてゐる。
② 愛ca⇒ aは、cによって、愛されてゐる。
然るに、
(12)により、
(15)
{xの変域が、三人の人}={a、b、c}
である。といふことは、
{a、b、c}={すべての人
である。
従って、
(14)(15)により、
(16)
② aは、すべての人によって愛されてゐる。
のだから、
② すべての人によって愛される人がゐる。
といふ、ことになる。
従って、
(12)~(16)により、
(17)
② ∃y∀x(愛xy)=(愛aa&愛ba&愛ca)∨(愛bb&愛ab&愛cb)∨(愛cc&愛ac&愛bc)
③ ∀x∃y(愛xy)=(愛aa∨愛ab∨愛ac)&(愛bb∨愛ba∨愛bc)&(愛cc∨愛ca∨愛cb)
に於いて、
② すべての人によって愛される人がゐる。
である。
然るに、
(18)
③ (愛aa∨愛ab∨愛ac)&(愛bb∨愛ba∨愛bc)&(愛cc∨愛ca∨愛cb)=∀x∃y(愛xy)
の場合は、例へば、
③ (愛ab)&(愛ba)&(愛cb)
が「真(本当)」であれば、それだけで、「真(本当)」である。
然るに、
(19)
③ (愛ab)&(愛ba)&(愛cb)
であるならば、
③ 愛ab⇒ aは、bを愛してゐる。
③ 愛ba⇒ bは、aを愛してゐる。
③ 愛cb⇒ cは、bを愛してゐる。
従って、
(15)(19)により、
(20)
③ すべての人は、ある人を愛してゐる。
従って、
(17)(20)により、
(21)
② ∃y∀x(愛xy)=(愛aa&愛ba&愛ca)∨(愛bb&愛ab&愛cb)∨(愛cc&愛ac&愛bc)
③ ∀x∃y(愛xy)=(愛aa∨愛ab∨愛ac)&(愛bb∨愛ba∨愛bc)&(愛cc∨愛ca∨愛cb)
に於いて、
すべての人によって愛される人がゐる。
すべての人は、ある人を愛してゐる。
といふ、ことになる。
令和元年05月27日、毛利太。

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