―「返り点と括弧」に関しては、
(α)「返り点」と「括弧」に付いて。 :(https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_11.html)
(β)「返り点」と「括弧」の条件。 :(https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_15.html)
(γ)「返り点」と「括弧」の条件(Ⅱ):(https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_16.html)
(δ)「返り点」は、下には戻らない。 :(https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_20.html)
(ε)「下中上点」等が必要な「理由」。:(https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_22.html)
(ζ)「返り点・モドキ」について。 :(https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_24.html)⇒
Web上には存在しますが、何故か、アクセス出来ません。
(η)「一二点・上下点」に付いて。 :(https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_26.html)
(θ)「括弧」の「順番」。 :(https://kannbunn.blogspot.com/2018/01/blog-post.html)
(ι)「返り点」と「括弧」の関係 :(https://kannbunn.blogspot.com/2019/01/blog-post_21.html)
等々、「その他、諸々」を、お読み下さい。―
(01)
「二項述語における量記号の変換の規則」により、
① ∀y∀x(Fxy)=(Faa&Fba&Fca)&(Fbb&Fab&Fcb)&(Fcc&Fac&Fbc)
② ∃y∀x(Fxy)=(Faa&Fba&Fca)∨(Fbb&Fab&Fcb)∨(Fcc&Fac&Fbc)
③ ∀x∃y(Fxy)=(Faa∨Fab∨Fac)&(Fbb∨Fba∨Fbc)&(Fcc∨Fca∨Fcb)
④ ∃x∃y(Fxy)=(Faa∨Fab∨Fac)∨(Fbb∨Fba∨Fbc)∨(Fcc∨Fca∨Fcb)
に於いて、
① は、② を「含意」し、
② は、③ を「含意」し、
③ は、④ を「含意」する。
従って、
(01)により、
(02)
② ∃y∀x(愛xy)=(愛aa&愛ba&愛ca)∨(愛bb&愛ab&愛cb)∨(愛cc&愛ac&愛bc)
③ ∀x∃y(愛xy)=(愛aa∨愛ab∨愛ac)&(愛bb∨愛ba∨愛bc)&(愛cc∨愛ca∨愛cb)
に於いて、
② は、③ を「含意」する。
従って、
(02)により、
(03)
② すべての人によって愛される人がゐる。
③ すべての人はある人を愛してゐる。
に於いて、
② は、③ を「含意」する。
従って、
(03)により、
(04)
② すべての少年によって、愛される少女がゐる(少女為全少年所愛)。
③ すべての少年には、愛する所の少女がゐる(少年皆有其所愛少女)。
に於いて、
② は、③ を「含意」するに、違ひない。
従って、
(04)により、
(05)
② ∃x{少女x&∀y(少年y→愛yx)}
③ ∀x{少年x→∃y(少女y&愛yx)}
に於いて、
② は、③ を「含意」するに、違ひない。
従って、
(06)
② ∃x{少女x&∀y(少年y→愛yx)}
③ ∀y{少年y→∃x(少女x&愛yx)}
に於いて、
② ならば、③ であるが、
③ ならば、② ではない。
といふ風に、予想される。
然るに、
(07)
(ⅱ)
1 (1)∃x{少女x&∀y(少年y→愛yx)} A
2 (2) 少女a&∀y(少年y→愛ya) A
2 (3) 少女a 2&I
2 (4) ∀y(少年y→愛ya) 2&I
2 (5) 少年b→愛ba 4UE
6(6) 少年b A
26(7) 愛ba 56MPP
26(8) 少女a&愛ba 37&I
26(9) ∃x(少女x&愛bx) 8EI
1 6(ア) ∃x(少女x&愛bx) 129EE
1 (イ) 少年b→∃x(少女x&愛bx) 6アCP
1 (ウ)∀y{少年y→∃x(少女x&愛yx)} 1UI
といふ「計算」は、「正しい」。
然るに、
(08)
(ⅲ)
1 (1)∀y{少年y→∃x(少女x&愛yx)} A
1 (2) 少年b→∃x(少女x&愛bx) 1UE
3 (3) 少年b A
13 (4) ∃x(少女x&愛bx) 23MPP
5(5) 少女a&愛ba A
5(6) 少女a 5&E
5(7) 愛ba 5&E
の場合は、これ以上、「続けよう」が無い。
従って、
(08)により、
(09)
以下では、敢へて、「ルールを無視した、デタラメな計算」をすると、
1 (1)∀y{少年y→∃x(少女x&愛yx)} A
1 (2) 少年b→∃x(少女x&愛bx) 1UE
3 (3) 少年b A
13 (4) ∃x(少女x&愛bx) 23MPP
5(5) 少女a&愛ba A
5(6) 少女a 5&E
5(7) 愛ba 5&E
5(8) 少年b→愛ba 37CP は「マチガイ1」。
5(9) ∀y(少年y→愛ya) 8UI は「マチガイ2」。
5(ア) 少女a&∀y(少年y→愛ya) 69&I
5(イ)∃x{少女x&∀y(少年y→愛yc)} アEI
1 (ウ)∃x{少女a&∀y(少年y→愛ya)} 45イEE は「マチガイ3」。
従って、
(09)により、
(10)
1 (1)∀y{少年y→∃x(少女x&愛yx)} A
1 (2) 少年b→∃x(少女x&愛bx) 1UE
3 (3) 少年b A
13 (4) ∃x(少女x&愛bx) 23MPP
5(5) 少女a&愛ba A
5(6) 少女a 5&E
5(7) 愛ba 5&E
5(8) 少年b→愛ba 37CP
5(9) ∀y(少年y→愛ya) 8UI
5(ア) 少女a&∀y(少年y→愛ya) 69&I
5(イ)∃x{少女a&∀y(少年y→愛ya)} アEI
1 (ウ)∃x{少女a&∀y(少年y→愛ya)} 45イEE
といふ「計算」は、「マチガイ」を「3つ」犯しているため、「マチガイ」である。
従って、
(04)(06)(07)(10)により、
(11)
果たして、
② ∃x{少女x&∀y(少年y→愛yx)}=少女為全少年所愛。
③ ∀y{少年y→∃x(少女x&愛yx)}=少年皆有其所愛少女。
に於いて、
② ならば、③ であるが、
③ ならば、② ではない。
(12)
{xの変域が、三人の人}={a、b、c}
であるとして、
② ∃y∀x(愛xy)=(愛aa&愛ba&愛ca)∨(愛bb&愛ab&愛cb)∨(愛cc&愛ac&愛bc)
③ ∀x∃y(愛xy)=(愛aa∨愛ab∨愛ac)&(愛bb∨愛ba∨愛bc)&(愛cc∨愛ca∨愛cb)
に於いて、それぞれ、
② すべての人によって愛される人がゐる。
③ すべての人はある人を愛してゐる。
といふ「意味」である「理由」は、以下の通りである。
(13)
② (愛aa&愛ba&愛ca)∨(愛bb&愛ab&愛cb)∨(愛cc&愛ac&愛bc)=∃y∀x(愛xy)
の場合は、例へば、
② (愛aa&愛ba&愛ca)
が「真(本当)」であれば、それだけで、「真(本当)」である。
然るに、
(14)
② (愛aa&愛ba&愛ca)
であるならば、
② 愛aa⇒ aは、a自身によって、愛されてゐる。
② 愛ba⇒ aは、bによって、愛されてゐる。
② 愛ca⇒ aは、cによって、愛されてゐる。
然るに、
(12)により、
(15)
{xの変域が、三人の人}={a、b、c}
である。といふことは、
{a、b、c}={すべての人}
である。
従って、
(14)(15)により、
(16)
② aは、すべての人によって愛されてゐる。
のだから、
② すべての人によって愛される人がゐる。
といふ、ことになる。
従って、
(12)~(16)により、
(17)
② ∃y∀x(愛xy)=(愛aa&愛ba&愛ca)∨(愛bb&愛ab&愛cb)∨(愛cc&愛ac&愛bc)
③ ∀x∃y(愛xy)=(愛aa∨愛ab∨愛ac)&(愛bb∨愛ba∨愛bc)&(愛cc∨愛ca∨愛cb)
に於いて、
② すべての人によって愛される人がゐる。
である。
然るに、
(18)
③ (愛aa∨愛ab∨愛ac)&(愛bb∨愛ba∨愛bc)&(愛cc∨愛ca∨愛cb)=∀x∃y(愛xy)
の場合は、例へば、
③ (愛ab)&(愛ba)&(愛cb)
が「真(本当)」であれば、それだけで、「真(本当)」である。
然るに、
(19)
③ (愛ab)&(愛ba)&(愛cb)
であるならば、
③ 愛ab⇒ aは、bを愛してゐる。
③ 愛ba⇒ bは、aを愛してゐる。
③ 愛cb⇒ cは、bを愛してゐる。
従って、
(15)(19)により、
(20)
③ すべての人は、ある人を愛してゐる。
従って、
(17)(20)により、
(21)
② ∃y∀x(愛xy)=(愛aa&愛ba&愛ca)∨(愛bb&愛ab&愛cb)∨(愛cc&愛ac&愛bc)
③ ∀x∃y(愛xy)=(愛aa∨愛ab∨愛ac)&(愛bb∨愛ba∨愛bc)&(愛cc∨愛ca∨愛cb)
に於いて、
② すべての人によって愛される人がゐる。
③ すべての人は、ある人を愛してゐる。
といふ、ことになる。
令和元年05月27日、毛利太。
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