～（Ｐ＆～Ｑ）＝Ｐ→Ｑ＝～Ｐ∨Ｑ。

―「返り点と括弧」に関しては、『「返り点」と「括弧」の関係（https://kannbunn.blogspot.com/2019/01/blog-post_21.html）』他をお読み下さい。―
（01）
（ＰまたはＱ。）といふ「日本語」は、「排他的論理」　　と「非排他的論理和」の、「２通り」がある。
（ＰならばＱ。）といふ「日本語」も、「逆も真である。」と「逆は偽である。」の、「２通り」がある。
然るに、
（02）
（Ｐかつ、Ｑでない。）といふ「日本語」は、「１通り」しかない。
従って、
（03）
（Ｐかつ、Ｑでない。ではない。）といふ「日本語」も、「１通り」しかない。
然るに、
（04）
（ⅰ）
１　　　（１）　～Ｐ∨　Ｑ　　Ａ
　２　　（２）　　Ｐ＆～Ｑ　　Ａ
　　３　（３）　～Ｐ　　　　　Ａ
　２　　（４）　　Ｐ　　　　　２＆Ｅ
　２３　（５）　～Ｐ＆　Ｐ　　３４＆Ｉ
　　３　（６）～（Ｐ＆～Ｑ）　２５ＲＡＡ
　　　７（７）　　　　　Ｑ　　Ａ
　２　　（８）　　　　～Ｑ　　２＆Ｅ
　２　７（９）　　Ｑ＆～Ｑ　　７８＆Ｉ
　　　７（ア）～（Ｐ＆～Ｑ）　２９ＲＡＡ
１　　　（イ）～（Ｐ＆～Ｑ）　１３６７ア∨Ｅ
（ⅲ）
１　　　（１）　～（　Ｐ＆～Ｑ）　　　　　　　　　Ａ
　２　　（２）　～（～Ｐ∨　Ｑ）　　　　　　　　　Ａ
　　３　（３）　　　～Ｐ　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　３　（４）　　　～Ｐ∨　Ｑ　　　　　　　　　　３∨Ｉ
　２３　（５）　～（～Ｐ∨　Ｑ）＆（～Ｐ∨　Ｑ）　２４＆Ｉ
　２　　（６）　　～～Ｐ　　　　　　　　　　　　　３５ＲＡＡ
　２　　（７）　　　　Ｐ　　　　　　　　　　　　　６ＤＮ
　　　８（８）　　　　　　　Ｑ　　　　　　　　　　Ａ
　　　８（９）　　　～Ｐ∨　Ｑ　　　　　　　　　　８∨Ｉ
　２　８（ア）　～（～Ｐ∨　Ｑ）＆（～Ｐ∨　Ｑ）　２８＆Ｉ
　２　　（イ）　　　　　　～Ｑ　　　　　　　　　　８アＲＡＡ
　２　　（ウ）　　　　Ｐ＆～Ｑ　　　　　　　　　　７イ＆Ｉ
１２　　（エ）　～（　Ｐ＆～Ｑ）＆（　Ｐ＆～Ｑ）　１ウ＆Ｉ
１　　　（オ）～～（～Ｐ∨　Ｑ）　　　　　　　　　２エＤＮ
１　　　（カ）　　　～Ｐ∨　Ｑ　　　　　　　　　　オＤＮ
（05）
（ⅱ）
１　（１）　　Ｐ→　Ｑ　　Ａ
　２（２）　　Ｐ＆～Ｑ　　Ａ
　２（３）　　Ｐ　　　　　２＆Ｅ
　２（４）　　　　～Ｑ　　２＆Ｅ
１２（５）　　　　　Ｑ　　１３ＭＰＰ
１２（６）　　～Ｑ＆Ｑ　　４５＆Ｉ
１　（７）～（Ｐ＆～Ｑ）　２６ＲＡＡ
（ⅲ）
１　　（１）～（Ｐ＆～Ｑ）　　　　　　　　Ａ
　２　（２）　　Ｐ　　　　　　　　　　　　Ａ
　　３（３）　　　　～Ｑ　　　　　　　　　Ａ
　２３（４）　　Ｐ＆～Ｑ　　　　　　　　　２３＆Ｉ
１２３（５）～（Ｐ＆～Ｑ）＆（Ｐ＆～Ｑ）　１４＆Ｉ
１２　（６）　　　～～Ｑ　　　　　　　　　３ＲＡＡ
１２　（７）　　　　　Ｑ　　　　　　　　　６ＤＮ
１　　（８）　　Ｐ→　Ｑ　　　　　　　　　２７ＣＰ
従って、
（04）（05）により、
（06）
（ⅰ）　～Ｐ∨　Ｑ　：Ｐでないか、または、Ｑである。
（ⅱ）　　Ｐ→　Ｑ　：Ｐであるならば、　　Ｑである。
（ⅲ）～（Ｐ＆～Ｑ）：Ｐであって、Ｑでない。といふことはない。
に於いて、
（ⅰ）＝（ⅱ）＝（ⅲ） である。
然るに、
（07）
「交換法則」により、
（ⅰ）　　Ｑ∨～Ｐ　：Ｑであるか、または、Ｐでない。
（ⅲ）～（～Ｑ＆Ｐ）：Ｑでなくて、Ｐである。といふことはない。
に於いて、
（ⅰ）＝（ⅲ） である。
然るに、
（08）
（ⅲ）Ｑでなくて、Ｐである。といふことはない。：～（～Ｑ＆Ｐ）
といふことは、
（ⅱ）Ｑでないならば、Ｐでない。：～Ｑ→～Ｐ
といふことに、他ならない。
従って、
（07）（08）により、
（09）
（ⅰ）　～Ｐ∨　Ｑ　：Ｐでないか、または、Ｑである。
（ⅱ）　　Ｐ→　Ｑ　：Ｐであるならば、　　Ｑである。
（ⅲ）～（Ｐ＆～Ｑ）：Ｐであって、Ｑでない。といふことはない。
に於いて、
（ⅰ）＝（ⅱ）＝（ⅲ） である。といふことは、
（ⅰ）　　Ｑ∨～Ｐ　：Ｑであるか、または、Ｐでない。
（ⅱ）　～Ｑ→～Ｐ　：Ｑでないならば、　　Ｐでない。
（ⅲ）～（～Ｑ＆Ｐ）：Ｑでなくて、Ｐである。といふことはない。
に於いて、
（ⅰ）＝（ⅱ）＝（ⅲ） である。といふことに、他ならない。
従って、
（09）により、
（10）
（ⅰ）　～Ｐ∨　Ｑ　：Ｐでないか、または、Ｑである。
（〃）　　Ｑ∨～Ｐ　：Ｑであるか、または、Ｐでない。
（ⅱ）　　Ｐ→　Ｑ　：Ｐであるならば、　　Ｑである。
（〃）　～Ｑ→～Ｐ　：Ｑでないならば、　　Ｐでない。
（ⅲ）～（Ｐ＆～Ｑ）：Ｐであって、Ｑでない。といふことはない。
（〃）～（～Ｑ＆Ｐ）：Ｑでなくて、Ｐである。といふことはない。
に於いて、
（ⅰ）＝（ⅱ）＝（ⅲ） であるものの、特に、
（ⅱ）　　Ｐ→　Ｑ　：Ｐであるならば、　　Ｑである。
（〃）　～Ｑ→～Ｐ　：Ｑでないならば、　　Ｐでない。
を、「対偶（Contraposition）」と言ふ。
然るに、
（03）により、
（11）
（ⅲ）の「右辺の日本語」には、「１通りの意味」しかない。
従って、
（10）（11）により、
（12）
（ⅰ）の「右辺の日本語」にも、「１通りの意味」しかなく、
（ⅱ）の「右辺の日本語」にも、「１通りの意味」しかない。
然るに、
（13）
① ～（真＆～真） は「真」。
② ～（真＆～偽） は「偽」。
③ ～（偽＆～真） は「真」。
④ ～（偽＆～偽） は「真」。
である。
従って、
（11）（12）（13）により、
（14）
① ～真∨真　は「真」。
② ～真∨偽　は「偽」。
③ ～偽∨真　は「真」。
④ ～偽∨偽　は「真」。
であって、
① 真→真　は「真」。
② 真→偽　は「偽」。
③ 偽→真　は「真」。
④ 偽→偽　は「真」。
である。
然るに、
（15）
精選版 日本国語大辞典の解説
はいたてき‐ろんりわ【排他的論理和】
〘名〙 論理和（「または」）の解釈の一つ。二つの命題から成る複合命題「ＡまたはＢ」が真となるのはＡとＢのどちらか一方だけが真であるときとする。日常の「または」もこの解釈をとる場合が多い。
従って、
（14）（15）により、
（16）
「～Ｐ∨Ｑ」が、「排他的論理和」であるならば、
① ～真∨真　は「真」。
② ～真∨偽　は「偽」。
③ ～偽∨真　は「真」。
④ ～偽∨偽　は「真」。
ではなく、
①｛（～真＝偽）∨真 ｝は「真」。
②｛（～真＝偽）∨偽 ｝は「偽」。
③｛（～偽＝真）∨真 ｝は「偽」。
④｛（～偽＝真）∨偽 ｝は「真」。
でなければ、ならない。
従って、
（10）（12）（16）により、
（17）
（ⅰ）～Ｐ∨Ｑ：Ｐでないか、または、Ｑである。
の場合は、「排他的論理和」ではない。
然るに、
（18）
① 真→真　は「真」。
② 真→偽　は「偽」。
③ 偽→真　は「真」。
④ 偽→偽　は「真」。
に於いて、「→」を、
　　　　　「←」に換へると、
① 真←真　は「真」。
② 真←偽　は「真」。
③ 偽←真　は「偽」。
④ 偽←偽　は「真」。
然るに、
（18）により、
（19）
② 真→偽　は「偽」。
③ 偽→真　は「真」
に対して、
② 真←偽　は「真」。
③ 偽←真　は「偽」。
であるため、「真・偽」が、「一致しない」。
従って、
（10）（18）（19）により、
（20）
（ⅱ）Ｐ→Ｑ：Ｐであるならば、Ｑである。
であるからと言って、
（ⅱ）Ｑ→Ｐ：Ｑであるならば、Ｐである。
といふ「逆も真である。」といふ、ワケではない。
然るに、
（21）
（ⅲ）　（Ｐ＆～Ｑ）：Ｐであって、Ｑでない。
（〃）　（～Ｐ＆Ｑ）：Ｐでなくて、Ｑである。
（〃）　（Ｑ＆～Ｐ）：Ｑであって、Ｐでない。
に於いて、
（ⅲ）＝（〃） ではない。
といふことは、「当然」である。
従って、
（21）により、
（22）
（ⅲ）～（Ｐ＆～Ｑ）：Ｐであって、Ｑでない。といふことはない。
であるからと言って、
（ⅲ）～（Ｑ＆～Ｐ）：Ｑであって、Ｐでない。といふことはない。
といふワケではない。
といふことは、「当然」である。
従って、
（01）（03）、（10）～（22）により、
（23）
（ⅰ）　～Ｐ∨　Ｑ　：Ｐでないか、または、Ｑである。
（ⅱ）　　Ｐ→　Ｑ　：Ｐであるならば、　　Ｑである。
（ⅲ）～（Ｐ＆～Ｑ）：Ｐであって、Ｑでない。といふことはない。
に於いて、
（ⅰ）＝（ⅱ）＝（ⅲ） であるものの、「一番、分かり易い」のは、
（ⅲ）～（Ｐ＆～Ｑ）：Ｐであって、Ｑでない。といふことはない。
である。
然るに、
（24）
「交換法則」により、
（ⅲ）～（Ｐ＆～Ｑ）：Ｐであって、Ｑでない。といふことはない。
（〃）～（～Ｑ＆Ｐ）：Ｑでなくて、Ｐである。といふことはない。
に於いて、
（ⅲ）＝（〃） である。
然るに、
（25）
（ⅲ）～（～Ｑ＆Ｐ）：Ｑでなくて、Ｐである。といふことはない。
といふことは、
（ⅲ）Ｐであるためには、Ｑであることが、「必要」である。
といふ、ことである。
従って、
（24）（25）により、
（26）
（ⅲ）～（Ｐ＆～Ｑ）：Ｐであって、Ｑでない。といふことはない。
（〃）～（～Ｑ＆Ｐ）：Ｑでなくて、Ｐである。といふことはない。
に於いて、
（ⅲ）Ｑであることは、Ｐであるための「必要条件」である。
然るに、
（27）
（ⅲ）～（Ｐ＆～Ｑ）：Ｐであって、Ｑでない。といふことはない。
であるならば、
（ⅲ）Ｐであれば、それだけで、Ｑである。
従って、
（28）
（ⅲ）～（Ｐ＆～Ｑ）：Ｐであって、Ｑでない。といふことはない。
（〃）～（～Ｑ＆Ｐ）：Ｑでなくて、Ｐである。といふことはない。
に於いて、
（ⅲ）Ｐであることは、Ｑであるための「十分条件」である。
従って、
（06）（26）（28）により、
（29）
（ⅱ）　　Ｐ→　Ｑ　：Ｐであるならば、Ｑである。
に於いても、
（ⅲ）Ｑであることは、Ｐであるための「必要条件」であって、
（ⅲ）Ｐであることは、Ｑであるための「十分条件」である。
然るに、
（30）
（ⅱ）　　Ｐ→　Ｑ　：Ｐであるならば、Ｑであり、
（ⅳ）　～Ｐ→～Ｑ　：Ｐでなければ、　Ｑでない。
であるならば、
（ⅱ）　　Ｐは、Ｑの「十分条件」であって、尚且つ、
（〃）　　Ｐは、Ｑの「必要条件」である。
従って、
（30）により、
（31）
（ⅱ）　　Ｐ→　Ｑ　：Ｐであるならば、Ｑであり、
（〃）　～Ｐ→～Ｑ　：Ｐでなければ、　Ｑでない。
であるならば、
（ⅱ）　　Ｐは、Ｑの「必要十分条件」である。
然るに、
（32）
（ⅱ）　　Ｐ→　Ｑ　：Ｐであるならば、Ｑであり、
（〃）　～Ｐ→～Ｑ　：Ｐでなければ、　Ｑでない。
であるならば、
（〃）　　Ｐ＝Ｑ　である。
従って、
（31）（32）により、
（33）
（ⅱ）　　Ｐ→　Ｑ　：Ｐであるならば、Ｑであり、
（〃）　～Ｐ→～Ｑ　：Ｐでなければ、　Ｑでない。
であるならば、
（ⅱ）　　Ｐは、Ｑの「必要十分条件」であって、
（〃）　　Ｑも、Ｐの「必要十分条件」である。
令和元年０５月０７日、毛利太。