2019年5月30日木曜日

「二項述語における量記号の変換の規則」の説明(Ⅲ)。

―「返り点と括弧」に関しては、
(α)「返り点」と「括弧」に付いて。 :(https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_11.html
(β)「返り点」と「括弧」の条件。  :(https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_15.html
(γ)「返り点」と「括弧」の条件(Ⅱ):(https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_16.html
(δ)「返り点」は、下には戻らない。 :(https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_20.html
(ε)「下中上点」等が必要な「理由」。:(https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_22.html
(ζ)「返り点・モドキ」について。  :(https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_24.html)⇒
 Web上には存在しますが、何故か、アクセス出来ません。
(η)「一二点・上下点」に付いて。  :(https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_26.html
(θ)「括弧」の「順番」。      :(https://kannbunn.blogspot.com/2018/01/blog-post.html
(ι)「返り点」と「括弧」の関係   :(https://kannbunn.blogspot.com/2019/01/blog-post_21.html
等々、「その他、諸々」を、お読み下さい。―

(01)
(ⅰ)
1   (1) ~P∨~Q  A
 2  (2)  P& Q  A
  3 (3) ~P     A
 2  (4)  P     2&E
 23 (5) ~P&P   34&I
  3 (6)~(P&Q)  25RAA
   7(7)    ~Q  A
 2  (8)     Q  2&E
 2 7(9) ~Q&Q   78&I
   7(ア)~(P&Q)  29RAA
1   (イ)~(P&Q)  1367ア∨E
(ⅱ)
1   (1) ~( P& Q)  A
 2  (2) ~(~P∨~Q)  A
  3 (3)   ~P      A
  3 (4)   ~P∨~Q   3∨I
 23 (5) ~(~P∨~Q)&
         (~P∨~Q)  24&I
 2  (6)  ~~P      35RAA
 2  (7)    P      6DN
   8(8)      ~Q   A
   8(9)   ~P∨~Q   8∨I
 2 8(ア) ~(~P∨~Q)&
         (~P∨~Q)  29&I
 2  (イ)     ~~Q   8アRAA
 2  (ウ)       Q   イDN
 2  (エ)    P& Q   7ウ&I
12  (オ) ~( P& Q)&
         ( P& Q)  1エ&イ
1   (カ)~~(~P∨~Q)  2オRAA
1   (キ)   ~P∨~Q   カDN
(01)により、
(02)
①(~P∨~Q)⇔ ~(P&Q)
であるところの、「ド・モルガンの法則」は、「ベン図」を用ひなくとも、「命題論理」として「正しい」。
(03)
(ⅰ)
1   (1)∀x(~Fx∨~Gx) A
1   (2)   ~Fa∨~Ga  1UE
 3  (3)    Fa& Ga  A
  4 (4)   ~Fa      A 
 3  (5)    Fa      3&E
 34 (6)   ~Fa&Fa   45&I
  4 (7)  ~(Fa& Ga) 36RAA
   8(8)       ~Ga  A
 3  (9)        Ga  3&E
 3 8(ア)    ~Ga&Ga  89&I
   8(イ)  ~(Fa& Ga) 3アRAA
1   (ウ)  ~(Fa& Ga) 2478イ∨E
1   (エ)∀x~(Fx& Gx) ウUI
(ⅱ)
1   (1)∀x~( Fx& Gx)  A  
 2  (2)  ~(~Fa∨~Ga)  A
  3 (3)    ~Fa       A
  3 (4)    ~Fa∨~Ga   3∨I
 23 (5)  ~(~Fa∨~Ga)&
          (~Fa∨~Ga)  24&I
 2  (6)  ~~Fa        35RAA
 2  (7)    Fa        6DN
   8(8)        ~Ga   A
   8(9)    ~Fa∨~Ga   8∨I
 2 8(ア)  ~(~Fa∨~Ga)&       
          (~Fa∨~Ga)  29&I
 2  (イ)       ~~Ga   8アRAA
 2  (ウ)         Ga   イDN
 2  (エ)     Fa& Ga   7ウ&I
1   (オ)  ~( Fa& Ga)  1UE
12  (カ)   ( Fa& Ga)&
         ~( Fa& Ga)  エオ&I
1   (キ) ~~(~Fa∨~Ga)  2カRAA
1   (ク)   (~Fa∨~Ga)  キDN
1   (ケ) ∀x(~Fx∨~Gx)  クUI
従って、
(03)により、
(04)
② ∀x(~Fx∨~Gx)⇔ ∀x(~Fx∨~Gx)
であるところの、「ド・モルガンの法則」は、「ベン図」を用ひなくとも、「述語論理」として「正しい」。
従って、
(02)(04)により、
(05)
①         (~P∨~Q)⇔ ~(P&Q)
② ∀x(~Fx∨~Gx)⇔ ∀x(~Fx∨~Gx)
であるところの、「ド・モルガンの法則」は、「ベン図」を用ひなくとも、「命題論理」としても、「述語論理」としても「正しい」。
然るに、
(01)(03)により、
(06)
(ⅱ)
  3 (3)~P      A
  3 (4)~P∨~Q   3∨I(選言導入の規則
(ⅱ)
  3 (3)~Fa     A
  3 (4)~Fa∨~Ga 3∨I(選言導入の規則
従って、
(05)(06)により、
(07)
「∨I(選言導入の規則)」を用ひなければ、
①     (~P∨~Q)⇔ ~(P&Q)
② ∀x(~Fx∨~Gx)⇔ ∀x(~Fx∨~Gx)
であるところの、「ド・モルガンの法則」は、「命題論理」としても、「述語論理」としても「証明できない」が故に、「他の規則」と同様に、「∨I(選言導入の規則)」は、「重要」である。
然るに、
(08)
この規則は、推論の中で意識されることがおおよそないといえます。「彼女は背が高い」という主張をPとしましょう。すると、このPから「彼女は背が高い または 彼女は美人だ」が導けます。この場合、主張Qは「彼女は美人だ」に対応しています。しかし、「彼女は背が高い」がわかっているのに、わざわざ、「彼女は背が高い または 彼女は美人だ」とつなげる場面は普通の会話ではあまりないでしょう。数学の証明でも、これが使われる場面はほとんど見かけないような気がします(小島寛之、証明と論理に強くなる、2017年、156頁)。
従って、
(07)(08)により、
(09)
「∨I(選言導入の規則)」は、「重要」であるが、「分りにくい」。
然るに、
(10)
1(1)~P   A
1(2)~P∨Q 1∨I(選言導入の規則)
1(3) P→Q 2含意の定義
1(〃)若し、PならばQである。
1(4)  ~Q 13前件否定の誤謬。
従って、
(10)により、
(11)
「Pでない。PならばQである。故に。Qでない。」
とするならば、「前件否定の誤謬」といふ、「マチガイ」になる。
然るに、
(12)
「Pでない。PならばQである。故に。Qである。」
とするならば、もちろん、「マチガイ」である。
従って、
(10)(11)(12)により、
(13)
1(1)~P   A
1(2)~P∨Q 1∨I(選言導入の規則)
1(〃)Pでないか、または、Qである。 1∨I(選言導入の規則)
としても、
1(〃)Qであるのか、Qでないのか。 は、「全くの、不明」である。
然るに、
(14)
1(1)~P   A
1(2)~P∨Q 1∨I(選言導入の規則)
に於いて、
 (2)の左には、
 があり、このことは、
(〃)Pでないか、または、Qである。 1∨I(選言導入の規則)
に於いて、「Pでない」といふことの、「保証(証拠)」になってゐる。
従って、
(13)(14)により、
(15)
1(1)~P   A
1(2)~P∨Q 1∨I(選言導入の規則)
1(〃)Pでないか、または、Qである。 1∨I(選言導入の規則)
といふのは、実際には、
1(〃)Pではないが、「Qであるか、Qでないか」は「不明」である。
といふ、「意味」である。
従って、
(15)により、
(16)
1(1)P   A
1(2)P∨Q 1∨I(選言導入の規則)
1(〃)Pであるか、または、Qである。 1∨I(選言導入の規則)
といふのは、実際には、
1(〃)Pではあるが、「Qであるか、Qでないか」は「不明」である。
といふ、「意味」である。
然るに、
(17)
1(1)Pである。 ただし、
1(2)Pではあるが、「Qであるか、Qでないか」は「不明」である。
といふ「日本語」に、「不自然な所」は、「全く、無い」。
従って、
(18)
1(1)P     A
1(2)P∨Q   1∨I(選言導入の規則)
1(〃)Pではあるが、「Qであるか、Qでないか」は「不明」である。 1∨I(選言導入の規則)
といふ「推論」は、「日本語」としても、「完全に、正しい」。
従って、
(18)により、
(19)
1(1)P     A
1(2)P∨Q   1∨I(選言導入の規則)
1(3)P∨Q∨R 1∨I(選言導入の規則)
1(〃)Pではあるが、「Qであるか、Qでないか」は「不明」であるし、「Rあるか、Rでないか」も「不明」である。
といふ「推論」には、「何らの問題」も無い。
従って、
(20)
1(1)    R  A
1(2)  Q∨R    1∨I(選言導入の規則)
1(3)P∨Q∨R 1∨I(選言導入の規則)
1(〃)Rではあるが、「Qであるか、Qでないか」は「不明」であるし、「Pあるか、Pでないか」も「不明」である。
といふ「推論」には、「何らの問題」も無い。
従って、
(19)(20)により、
(21)
② P∨Q∨R=Pか、Qか、Rである。
といふ「命題」が与へられた際に、言へることは、
② P Q R
といふ「3つ」内の。少なくとも、「1つ」は、「(本当)」である。
といふ、ことである。
従って、
(21)により、
(22)
②(愛da∨愛db∨愛dc)
といふ「命題」が与へられた際に、言へることは、
②  愛da 愛db 愛dc
といふ「3つ」内の。少なくとも、「1つ」は、「真(本当)」である。
といふ、ことである。
同様に、
(23)
②(愛ea∨愛eb∨愛ec)
といふ「命題」が与へられた際に、言へることは、
②  愛ea 愛eb 愛ec)
といふ「3つ」内の。少なくとも、「1つ」は、「真(本当)」である。
といふ、ことである。
同様に、
(24)
②(愛fa∨愛fb∨愛fc)
といふ「命題」が与へられた際に、言へることは、
②  愛fa∨愛fb∨愛fc
といふ「3つ」内の。少なくとも、「1つ」は、「真(本当)」である。
といふ、ことである。
従って、
(01)~(24)により、
(25)
①(愛da&愛ea&愛fa)∨(愛db&愛eb&愛fb)∨(愛dc&愛ec&愛fc)
といふ「命題」が与へられた際に、言へることは、
①(愛da&愛ea&愛fa) (愛db&愛eb&愛fb) (愛dc&愛ec&愛fc)
といふ「3つ」内の。少なくとも、「1つ」は、「真(本当)」である。
といふ、ことである。
然るに、
(26)
例えば、
①(愛da&愛ea&愛fa)
が「真(本当)」である場合は、
①(愛da愛ea愛fa) は、「3つ」とも、「(本当)」である。
同様に、
(27)
①(愛db&愛eb&愛fb)
が「真(本当)」である場合も、
①(愛dc&愛ec&愛fc)
が「真(本当)」である場合も、それぞれ、「3つ」とも、「真(本当)」である。
従って、
(28)
①(愛da&愛ea&愛fa)
が「真(本当)」である場合は、
①  愛da
①  愛ea
①  愛fa
が「真(本当)」であるため、(21)により、
①  愛da∨愛db∨愛dc
①  愛ea∨愛eb∨愛ec
①  愛fa∨愛fb∨愛fc
といふ「3つ」が、「3つ」とも、「真(本当)」である。
従って、
(28)により、
(29)
①(愛da&愛ea&愛fa)
が「真(本当)」である場合は、
②(愛da∨愛db∨愛dc)&(愛ea∨愛eb∨愛ec)&(愛fa∨愛fb∨愛fc)
は「真(本当)」である。
従って、
(25)~(29)により、
(30)
同様に、
①(愛db&愛eb&愛fb)
が「真(本当)」である場合も、
②(愛da∨愛db∨愛dc)&(愛ea∨愛eb∨愛ec)&(愛fa∨愛fb∨愛fc)
は「真(本当)」であり、
①(愛dc&愛ec&愛fc)
が「真(本当)」である場合も、
②(愛da∨愛db∨愛dc)&(愛ea∨愛eb∨愛ec)&(愛fa∨愛fb∨愛fc)
は「真(本当)」である。
然るに、
(21)(29)(30)ににより、
(31)
①(愛da&愛ea&愛fa)∨(愛db&愛eb&愛fb)∨(愛dc&愛ec&愛fc)
②(愛da∨愛db∨愛dc)&(愛ea∨愛eb∨愛ec)&(愛fa∨愛fb∨愛fc)
に於いて、
① が「真(本当)」であるならば、
② も「真(本当)」である。
然るに、
(21)により、
(32)
例へば、
②(愛da        )&(    愛eb    )&(        愛fc)
が「真(本当)」である場合も、
②(愛da∨愛db∨愛dc)&(愛ea∨愛eb∨愛ec)&(愛fa∨愛fb∨愛fc)
は「真(本当)」である。
然るに、
(33)
②(愛da        )&(    愛eb    )&(        愛fc)
が、「真(本当)」であるとしても、
①(愛da&愛ea&愛fa)∨(愛db&愛eb&愛fb)∨(愛dc&愛ec&愛fc)
は、「真(本当)」には、ならない。
従って、
(31)(32)(33)により、
(34)
①(愛da&愛ea&愛fa)∨(愛db&愛eb&愛fb)∨(愛dc&愛ec&愛fc)
②(愛da∨愛db∨愛dc)&(愛ea∨愛eb∨愛ec)&(愛fa∨愛fb∨愛fc)
に於いて、
① が「真(本当)」であるならば、
② は「真(本当)」であるが、
② が「真(本当)」であるとしても、
① は「真(本当)」であるとは、限らない
従って、
(34)により、
(35)
{xの変域が、三人の少女}={a、b、c}
{yの変域が、三人の少年}={d、e、f}
であるとして、
①(愛da&愛ea&愛fa)∨(愛db&愛eb&愛fb)∨(愛dc&愛ec&愛fc)
②(愛da∨愛db∨愛dc)&(愛ea∨愛eb∨愛ec)&(愛fa∨愛fb∨愛fc)
に於いて、
① ならば、② であるが、
② ならば、① ではない
然るに、
(36)
{xの変域が、三人の少女}={a、b、c}
{yの変域が、三人の少年}={d、e、f}
であるとして、例へば
① 少年dは少女を愛し、少年eも少女を愛し、少年fも少女を愛す=(愛db&愛eb&愛fb)。
といふことは、
① すべての少年(dとeとf)は、共通の、ある一人の少女()を愛す。
といふことに、他ならない。
(37)
{xの変域が、三人の少女}={a、b、c}
{yの変域が、三人の少年}={d、e、f}
であるとして、
②「dはを愛するか、dはbを愛するか、dはcを愛するか。」の内の、少なくとも一つは、「真(本当)」である。
②「eはaを愛するか、eはを愛するか、eはcを愛するか。」の内の、少なくとも一つは、「真(本当)」である。
②「fはaを愛するか、fはbを愛するか、fはを愛するか。」の内の、少なくとも一つは、「真(本当)」である。
といふことは、
① すべての少年(dとeとf)は、ある少女(aかbかc)を愛す。
といふことに、他ならない。
然るに、
(38)
(ⅰ)
1  (1)∃x{少女x&∀y(少年y→愛yx)} A
 2 (2)    少女a&∀y(少年y→愛ya)   A
 2 (3)    少女a               2&I
 2 (4)        ∀y(少年y→愛ya)   2&I
 2 (5)           少年b→愛ba    4UE
  6(6)           少年b        A
 26(7)               愛ba    56MPP
 26(8)           少女a&愛ba    37&I
 26(9)        ∃x(少女x&愛bx)   8EI
1 6(ア)        ∃x(少女x&愛bx)   129EE
1  (イ)   少年b→∃x(少女x&愛bx)  6アCP
1  (ウ)∀y{少年y→∃x(少女x&愛yx)} 1UI
といふ「計算」は、「正しい」。
然るに、
(39)
(ⅱ)
1  (1)∀y{少年y→∃x(少女x&愛yx)} A
1  (2)   少年b→∃x(少女x&愛bx)  1UE
 3 (3)   少年b              A
13 (4)       ∃x(少女x&愛bx)  23MPP
  5(5)          少女a&愛ba   A
  5(6)          少女a       5&E
  5(7)              愛ba   5&E
の場合は、これ以上、「続けよう」が無い。
従って、
(38)(39)により、
(40)
① ∃x{少女x&∀y(少年y→愛yx)}
② ∀y{少年y→∃x(少女x&愛yx)}
に於いて、
① ならば、② であるが、
② ならば、① ではない
然るに、
(36)~(40)により、
(41)
① ∃x{少女x&∀y(少年y→愛yx)}
② ∀y{少年y→∃x(少女x&愛yx)}
といふ「述語論理式」は、
{xの変域が、三人の少女}={a、b、c}
{yの変域が、三人の少年}={d、e、f}
である際の、
①(愛da&愛ea&愛fa)∨(愛db&愛eb&愛fb)∨(愛dc&愛ec&愛fc)
②(愛da∨愛db∨愛dc)&(愛ea∨愛eb∨愛ec)&(愛fa∨愛fb∨愛fc)
といふ「それ」に「等しい」。
然るに、
(01)~(04)により、
(42)
「述語論理」は、「命題論理」の「拡張」であって、それ故、「命題論理」は、「述語論理の基礎」である。
然るに、
(43)
①(愛da&愛ea&愛fa)∨(愛db&愛eb&愛fb)∨(愛dc&愛ec&愛fc)
②(愛da∨愛db∨愛dc)&(愛ea∨愛eb∨愛ec)&(愛fa∨愛fb∨愛fc)
といふ「それ」を、仮に『といふ書き方』とするならば、『といふ書き方』は、
① ∃x{少女x&∀y(少年y→愛yx)}
② ∀y{少年y→∃x(少女x&愛yx)}
といふ「述語論理式」を、表すことは、出来たとしても、例へば、
1(1)~P       A
1(2)~P∨Q     1∨I(選言導入の規則)
1(3) P→Q     2含意の定義
 (4)~P→(P→Q) 1CP
 (〃)Pでないならば(PならばQである)。 1CP
といふ「命題論理」を、表すことが、出来ない。
従って、
(42)(43)により、
(44)
「命題論理」を「基礎」とし、その上に成立する「述語論理」を、『といふ書き方』に、「置き換へ」ることは、出来ない。
cf.
『といふ書き方』を書いたのは、おそらく、私が初めて(?)なので、『といふ書き方』には、「正式な名前」は無いものと、思はれます。
令和元年05月30日、毛利太。
     

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