「排他的論理和」と「双条件法」と「仮言命題」。

―「返り点と括弧」に関しては、『「返り点」と「括弧」の関係（https://kannbunn.blogspot.com/2019/01/blog-post_21.html）』他をお読み下さい。―
（01）
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精選版 日本国語大辞典の解説
はいたてき‐ろんりわ【排他的論理和】
〘名〙 論理和（「または」）の解釈の一つ。二つの命題から成る複合命題「ＡまたはＢ」が真となるのはＡとＢのどちらか一方だけが真であるときとする。日常の「または」もこの解釈をとる場合が多い。
（02）
「ＰまたはＱ」に対する真理値の割り当てを「排他的または」に対して行うと、二つの命題ＰとＱのどちらか一つだけが真のときに限って、「ＰまたはＱ」が真になるに対し、「包含的または」に対して行うと、二つの命題ＰとＱのどちらか一つか、あるいは、二つが真のときに「ＰまたはＱ」が真になる。― 中略 ―、命題論理は、「包含的または」の方を採用しており、「真理表」にもそれが反映されている（早川書房、「不可能、不確定、不完全、」、2011年、２０７頁改）。
従って、
（01）（02）により、
（03）
「排他的または」とは、すなはち、「排他的論理和」である。
従って、
（01）（02）（03）により、
（04）
（ⅰ）（Ｐ→～Ｑ）＆（～Ｐ→Ｑ）
（〃）（ＰならばＱでなく）＆（ＰでないならばＱである）。
に於いて、
（ⅰ）は「排他的論理和」である。
従って、
（04）により、
（05）
（ⅰ）（Ｐ→～Ｑ）＆（～Ｐ→　Ｑ）
（ⅱ）（Ｐ→　Ｑ）＆（～Ｐ→～Ｑ）
に於いて、
（ⅰ）が「排他的論理和」であるため、
（ⅱ）は「排他的論理和」ではない。
然るに、
（06）
１　　　（１）　　（Ｐ→～Ｑ）＆（～Ｐ→　Ｑ）　　　Ａ
　２　　（２）　　（Ｐ→　Ｑ）＆（～Ｐ→～Ｑ）　　　Ａ
１　　　（３）　　　Ｐ→～Ｑ　　　　　　　　　　　　１＆Ｅ
　２　　（４）　　　Ｐ→　Ｑ　　　　　　　　　　　　２＆Ｅ
１　　　（５）　　　　　　　　　　～Ｐ→　Ｑ　　　　１＆Ｅ
　２　　（６）　　　　　　　　　　～Ｐ→～Ｑ　　　　１＆Ｅ
　　　　（７）　　　Ｐ∨～Ｐ　　　　　　　　　　　　排中律
　　８　（８）　　　Ｐ　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
１　８　（９）　　　　　～Ｑ　　　　　　　　　　　　３８ＭＰＰ
　２８　（ア）　　　　　　Ｑ　　　　　　　　　　　　４８ＭＰＰ
１２８　（イ）　　　～Ｑ＆Ｑ　　　　　　　　　　　　９ア＆Ｉ
１　８　（ウ）～｛（Ｐ→　Ｑ）＆（～Ｐ→～Ｑ）｝　　１イＲＡＡ
　　　エ（エ）　　　　　～Ｐ　　　　　　　　　　　　Ａ
１　　エ（オ）　　　　　　　　　　　　　　Ｑ　　　　５エＭＰＰ
　２　エ（カ）　　　　　　　　　　　　　～Ｑ　　　　６エＭＰＰ
１２　エ（キ）　　　　　　　　　　　Ｑ＆～Ｑ　　　　オカ＆Ｉ
　２　エ（ク）～｛（Ｐ→　Ｑ）＆（～Ｐ→～Ｑ）｝　　１キＲＡＡ
１２　　（ケ）～｛（Ｐ→　Ｑ）＆（～Ｐ→～Ｑ）｝　　７８ウエク∨Ｅ
１２　　（コ）　｛（Ｐ→　Ｑ）＆（～Ｐ→～Ｑ）｝＆
　　　　　　　～｛（Ｐ→　Ｑ）＆（～Ｐ→～Ｑ）｝　　２ケ＆Ｉ
１　　　（サ）～｛（Ｐ→　Ｑ）＆（～Ｐ→～Ｑ）｝　　２コＲＡＡ
従って、
（06）により、
（07）
（１）（Ｐ→～Ｑ）＆（～Ｐ→　Ｑ）
（２）（Ｐ→　Ｑ）＆（～Ｐ→～Ｑ）
に於いて、
（１）を「仮定」し、
（２）を「仮定」すると、
（７）の「排中律」によって、
（２）は「否定」される。
従って、
（07）により、
（08）
（ⅰ）（Ｐ→～Ｑ）＆（～Ｐ→　Ｑ）
（ⅱ）（Ｐ→　Ｑ）＆（～Ｐ→～Ｑ）
に於いて、
（ⅰ）と、
（ⅱ）は「矛盾」する。
然るに、
（09）
（ⅱ）
１　（１）（Ｐ→Ｑ）＆（～Ｐ→～Ｑ）　Ａ
１　（２）　Ｐ→Ｑ　　　　　　　　　　１＆Ｅ
１　（３）　　　　　　　～Ｐ→～Ｑ　　１＆Ｅ
　４（４）　　　　　　　　　　　Ｑ　　Ａ
　４（５）　　　　　　　　　～～Ｑ　　４ＤＮ
１４（６）　　　　　　～～Ｐ　　　　　３５ＭＴＴ
１４（７）　　　　　　　　Ｐ　　　　　６ＤＮ
１　（８）　　　　　　　　Ｑ→　Ｐ　　４７ＣＰ
１　（９）（Ｐ→Ｑ）＆（　Ｑ→　Ｐ）　２８＆Ｉ
（ⅲ）
１　（１）（Ｐ→Ｑ）＆（　Ｑ→　Ｐ）　Ａ
１　（２）　Ｐ→Ｑ　　　　　　　　　　１＆Ｅ
１　（３）　　　　　　　　Ｑ→　Ｐ　　１＆Ｅ
　４（４）　　　　　　　　　　～Ｐ　　Ａ
１４（５）　　　　　　　～Ｑ　　　　　３４ＭＴＴ
１　（６）　　　　　　　～Ｐ→～Ｑ　　４５ＣＰ
１　（７）（Ｐ→Ｑ）＆（～Ｐ→～Ｑ）　１６＆Ｉ
従って、
（09）により、
（10）
（ⅱ）（Ｐ→Ｑ）＆（～Ｐ→～Ｑ）
（ⅲ）（Ｐ→Ｑ）＆（　Ｑ→　Ｐ）
に於いて、
（ⅱ）＝（ⅲ） である。
従って、
（08）（10）により、
（11）
（ⅰ）（Ｐ→～Ｑ）＆（～Ｐ→　Ｑ）
（ⅱ）（Ｐ→　Ｑ）＆（～Ｐ→～Ｑ）
（ⅲ）（Ｐ→　Ｑ）＆（　Ｑ→　Ｐ）
に於いて、
（ⅰ）と、
（ⅱ）は「矛盾」し、
（ⅱ）と、
（ⅲ）は「等しい」。
従って、
（11）により、
（12）
（ⅰ）（ＰならばＱでなく、）＆（ＰでないならばＱである。）
（ⅱ）（ＰならばＱであり、）＆（ＰでないならばＱである。）
（ⅲ）（ＰならばＱであり、）＆（Ｑならば、　　Ｐである。）
に於いて、
（ⅰ）と、
（ⅱ）は「矛盾」し、
（ⅱ）と、
（ⅲ）は「等しい」。
然るに、
（13）
（ⅲ）（ＰならばＱであり、）＆（ＱならばＰである。）
といふことから、
（ⅲ）（Ｐ→Ｑ）＆（Ｑ→Ｐ）
を、「双条件法」と言ふ。
然るに、
（14）
（ⅱ）（ＰならばＱであり、ＰでないならばＱである。）
といふ「言ひ方」は、
（ⅱ）（Ｐならば、そのときに限ってＱである。）
といふ風に、「言ひ換へ」ることが、出来る。
従って、
（05）（12）（13）（14）により、
（15）
（ⅰ）（ＰならばＱでなく、ＰでないならばＱである。）
である所の、「排他的論理和」と、
（ⅱ）（Ｐならば、そのときに限ってＱである。）
（ⅲ）（ＰならばＱであり、ＱならばＰである。）
である所の、「双条件法」とは、「矛盾」する。
然るに、
（16）
（ⅲ）（「逆」は、必ずしも「真」ではない。）
従って、
（16）
（ⅲ）（ＰならばＱである。）としても、
（ⅳ）（ＱならばＰである。）とは、「限らない」。
従って、
（16）により、
（17）
（ⅲ）（明日が晴ならば釣りに行く。）としても、
（ⅳ）（釣りに行くならば明日は晴。）とは、「限らない」。
従って、
（17）により、
（18）
（ⅲ）（ＰならばＱである。）としても、
（ⅳ）（ＱならばＰである。）とは、「限らない」。
といふことからすれば、
（ⅲ）（明日が晴ならば釣りに行く。）
（ⅳ）（明日は雨でも、釣りに行く。）
に於いて、
（ⅲ）と（ⅳ）は、「矛盾」しない。
然るに、
（19）
（ⅲ）（明日が晴ならば、その時に限って、釣りに行く。）
（ⅳ）（明日は雨でも、　　　　　　　　　釣りに行く。）
に於いて、
（ⅲ）と（ⅳ）は、「矛盾」する。
従って、
（14）（19）により、
（20）
（ⅲ）（明日が晴ならば、その時に限って、釣りに行く。）
（〃）（明日が晴ならば、釣りに行き、明日が雨ならば行かない。）
（ⅳ）（明日は雨でも、　　　　　　　　　釣りに行く。）
に於いて、
（ⅲ）と（ⅳ）は、「矛盾」する。
然るに、
（21）
（ⅲ）（明日が晴ならば釣りに行く。）
といふのであれば、普通は、
（ⅳ）（明日は雨でも　釣りに行く。）
とは思はない。
従って、
（20）（21）により、
（22）
（ⅲ）（明日が晴ならば釣りに行く。）
といふのであれば、我々は、「無意識」の内に、この場合は、
（ⅲ）（「逆」も必ず「真」である。）
と思ってゐる。といふ、ことになる。
（23）
１　（１）そんなことが起こるならば、太陽が西から昇る。　　　　　　Ａ
　２（２）　　　　　　　　　　　　　太陽が西から昇ることはない。　Ａ
１２（３）そんなことは起こらない。　　　　　　　　　　　　　　　　１２ＭＴＴ
といふ「推論」は、「妥当（valid）」である。
従って、
（24）
（ⅳ）そんなことは起こらない。
といふことを、言はんがために、
（ⅳ）そんなことが起こるならば、太陽が西から昇る。
といふ「言ひ方」をすることが有る。
然るに、
（25）
１（１）～Ｐ　　　Ａ
１（２）～Ｐ∨Ｑ　１∨Ｉ
１（３）　Ｐ→Ｑ　２含意の定義
に於いて、
　（３）の左側には、
１　しかない。
然るに、
（26）
１（１）～Ｐ　　　Ａ
１（２）～Ｐ∨Ｑ　１∨Ｉ
１（３）　Ｐ→Ｑ　２含意の定義
に於いて、
　（３）の左側には、
１　しかない。
といふことは、
１（３）　Ｐ→Ｑ　２含意の定義
の「行」が「真」であるのは、
１（１）～Ｐ　　　Ａ
の「行」が「真」であるからである。
といふことを、「意味」してゐる。
然るに、
（27）
　Ｐ＝ソクラテスは女である。
とするならば、
～Ｐ＝ソクラテスは女ではない。
は、「真」である。
従って、
（26）（27）により、
（28）
１（１）～ソクラテスは女である　　　　　　　Ａ
１（２）～ソクラテスは女である∨Ｑ　　　　　１∨Ｉ
１（３）　ソクラテスが男であるならば、Ｑ。　２含意の定義
といふ「推論」は、いづれにせよ、「妥当」である。
従って、
（28）により、
（29）
Ｑ＝太陽が西から昇る。
であるとすると、
１（１）～ソクラテスは女である　　　　　　　　　　　　　　Ａ
１（２）～ソクラテスは女である∨Ｑ　　　　　　　　　　　　１∨Ｉ
１（３）　ソクラテスが男であるならば、太陽が西から昇る。　２含意の定義
といふ「推論」は「妥当」である。
然るに、
（30）
（ⅲ）（ＰならばＱであり、）＆（Ｑならば、Ｐである。）
といふ「双条件法」ではなく、
（ⅰ）（ＰならばＱである。）
といふ「仮言命題」の場合は、
（ⅰ）真ならば真である。
（ⅱ）真ならば偽である。
（ⅲ）偽ならば真である。
（ⅳ）偽ならば偽である。
といふ「４通り」の内、
（ⅱ）真ならば偽である。
といふ「１通り」が「偽」であり、
（ⅰ）真ならば真である。
（ⅲ）偽ならば真である。
（ⅳ）偽ならば偽である。
といふ「３通り」が「真」である。
従って、
（29）（30）により、
（31）
（ⅱ）ソクラテスが男であるならば、太陽が西から昇る。
といふ「仮言命題」は、「偽」であり、
（ⅳ）ソクラテスが女であるならば、太陽が西から昇る。
といふ「仮言命題」は、「真」である。
従って、
（23）（31）により、
（32）
１　（１）ソクラテスが女であるならば、太陽が西から昇る。　　　　　　Ａ
　２（２）　　　　　　　　　　　　　　太陽が西から昇ることはない。　Ａ
１２（３）ソクラテスは男である。　　　　　　　　　　　　　　　　　　１２ＭＴＴ
といふ「推論」は、「妥当」であって、尚且つ、
１　（１）ソクラテスが女であるならば、太陽が西から昇る。　　　　　　Ａ
といふ「仮言命題」は、「真」である。
令和元年０５月０５日、毛利太。