(01)
(ⅰ)
1 (1)(P→~Q)&(~P→Q) A
1 (2) P→~Q 2&E
3 (3) Q A
3 (4) ~~Q 3DN
13 (5)~P 24MTT
1 (6) Q→~P 35CP
1 (7) ~P→Q 2&E
8(8) ~Q A
1 8(9) ~~P 78MTT
1 8(ア) P 9DN
1 (イ) ~Q→P 8アCP
1 (ウ)( P→~Q)&
( Q→~P)&
(~P→ Q)&
(~Q→ P) 267イ&I
(〃)
1 (1)( P→~Q)&
( Q→~P)&
(~P→ Q)&
(~Q→ P) A
1 (2)( P→~Q) 1&E
1 (3)(~P→ Q) 1&E
1 (4)(P→~Q)&(~P→Q) 23&I
従って、
(01)により、
(02)
(ⅰ)(P→~Q)&(~P→Q)
(〃)(P→~Q)&(Q→~P)&(~P→Q)&(~Q→P)
に於いて、
(ⅰ)=(〃) である。
従って、
(02)により、
(03)
(ⅰ)(P→~Q) &(~P→Q)
(〃)(P→~Q)&(その対偶)&(~P→Q)&(その対偶)
に於いて、
(ⅰ)=(〃) である。
然るに、
(04)
(ⅰ)(P→~Q) &(~P→Q)
(〃)(P→~Q)&(その対偶)&(~P→Q)&(その対偶)
(〃)(P→~Q)&(Q→~P)&(~P→Q)&(~Q→P)
といふことは、
(〃)(PならばQでなく)&(QならばPでなく)&(PでないならばQであり)&(QでないならばPである)。
といふことに、他ならない。
然るに、
(05)
(ⅰ)『二つの命題PとQのどちらか一つだが真のときに限って、「PまたはQ」が真になる。』といふことは、
(〃)(Pならば Qでなく)&(Qならば Pでなく)&(PでないならばQであり)&(QでないならばPである)。
といふことに、他ならない。
然るに、
(06)
「PまたはQ」に対する真理値の割り当てを「排他的または」に対して行うと、二つの命題PとQのどちらか一つだけが真のときに限って、「PまたはQ」が真になるに対し、「包含的または」に対して行うと、二つの命題PとQのどちらか一つか、あるいは、二つが真のときに「PまたはQ」が真になる。― 中略 ―、命題論理は、「包含的または」の方を採用しており、「真理表」にもそれが反映されている(早川書房、「不可能、不確定、不完全、」、2011年、207頁改)。
従って、
(04)(05)(06)により、
(07)
(ⅰ)(P→~Q) &(~P→Q)
(〃)(PならばQでなく)&(PでないならばQである)。
(〃)「排他的または」
に於いて、
(ⅰ)=(〃) である。
然るに、
(08)
(ⅰ)
1 (1) P→~Q A
2(2) P& Q A
2(3) P 2&E
2(4) Q 2&E
12(5) ~Q 13MPP
12(6) Q&~Q 45&I
1 (7) ~Q 46RAA
1 (8) ~P∨~Q 7∨I
(〃)
1 (1) ~P∨~Q A
2 (2) P& Q A
3 (3) ~P A
2 (4) P 2&E
23 (5) ~P& P 34&I
3 (6)~(P& Q) 25RAA
7 (7) ~Q A
2 (8) Q 2&E
2 7 (9) ~Q&Q 78&I
7 (ア)~(P& Q) 29RAA
1 (イ)~(P& Q) 1367ア∨E
ウ (ウ) P A
エ(エ) Q A
ウエ(オ) P& Q エオ&I
1 ウエ(カ)~(P& Q)&
(P& Q) イオ&I
1 ウ (キ) ~Q エカRAA
1 (ク) P→~Q ウキCP
従って、
(08)により、
(09)
(ⅰ) P→~Q
(〃)~P∨~Q
に於いて、
(ⅰ)=(〃) である。
然るに、
(10)
(ⅰ)
1 (1) ~P→ Q A
2(2) P&~Q A
2(3) P 2&E
2(4) ~Q 2&E
12(5) Q 13MPP
12(6) ~Q&Q 45&I
1 (7) ~~Q 4RAA
1 (8) Q 7DN
1 (9) P∨ Q 8∨I
(〃)
1 (1) P∨ Q A
2 (2) ~P&~Q A
3 (3) P A
2 (4) ~P 2&E
23 (5) P&~P 34&I
3 (6)~(~P&~Q) 25RAA
7 (7) Q A
2 (8) ~Q 2&E
2 7 (9) Q&~Q 78&I
7 (ア)~(~P&~Q) 29RAA
1 (イ)~(~P&~Q) 1367ア∨E
ウ (ウ) ~P A
エ(エ) ~Q A
ウエ(オ) ~P&~Q エオ&I
1 ウエ(カ)~(~P&~Q)&
(~P&~Q) イオ&I
1 ウ (キ) ~~Q エカRAA
1 ウ (ク) Q キDN
1 (ケ) ~P→ Q ウキCP
従って、
(10)により、
(11)
(ⅰ)~P→ Q
(〃) P∨ Q
に於いて、
(ⅰ)=(〃) である。
従って、
(09)(11)により、
(12)
(ⅰ)( P→~Q)&(~P→Q)
(〃)(~P∨~Q)&( P∨Q)
に於いて、
(ⅰ)=(〃) である。
従って、
(07)(12)により、
(13)
(ⅰ)( P→~Q) &(~P→Q)
(〃)(~P∨~Q) &( P∨Q)
(〃)(PならばQでなく) &(PでないならばQである)。
(〃)(PでないかQでなく)&(Pであるか Qである)。
(〃)「排他的または」
に於いて、
(ⅰ)=(〃) である。
然るに、
(14)
(ⅰ)(PでないかQでなく)&(PであるかQである)。
(ⅱ) (PであるかQである)。
に於いて、
(ⅰ)=(ⅱ) ではない。
従って、
(06)(13)(14)により、
(15)
(ⅱ)(~P→Q)
(〃)( P∨Q)
(〃)(PでないならばQである)。
(〃)(Pであるか Qである)。
(〃)「包含的または」
に於いて、
(ⅱ)=(〃) である。
従って、
(15)により、
(16)
(ⅱ)( P→Q)
(〃)(~P∨Q)
(〃)(PであるならばQである)。
(〃)(Pでないか Qである)。
(〃)「包含的または」
に於いて、
(ⅱ)=(〃) である。
従って、
(17)
「論理学」でいふ所の、
(ⅱ)(Pであるならば、 Qである)。
といふ「仮言命題」は、
(ⅱ)(Pでないか、または、Qである)。
といふ「選言命題」であって、尚且つ、この場合の「または」は、
(ⅱ)「包含的または」であって、
(ⅰ)「排他的または」ではない。
然るに、
(18)
① ~P∨Q(Pでないか、または、Qである)。
② ~P∨Q(Pでないか、または、Qである)。
③ ~P∨Q(Pでないか、または、Qである)。
④ ~P∨Q(Pでないか、または、Qである)。
といふ「包括的または」に於いて、
① ~真∨真(真でないか、または、真である)。
② ~真∨偽(真でないか、または、偽である)。
③ ~偽∨真(偽でないか、または、真である)。
④ ~偽∨偽(偽でないか、または、偽である)。
であるとする。
然るに、
(19)
~真=真でない=偽である=偽。
~偽=偽でない=真である=真。
である。
従って、
(18)(19)により、
(20)
① 偽∨真(偽であるか、または、真である)。
② 偽∨偽(偽であるか、または、偽である)。
③ 真∨真(真であるか、または、真である)。
④ 真∨偽(真であるか、または、偽である)。
従って、
(20)により、
(21)
① 偽∨真(偽であるか、または、真である)。
② 偽∨偽(偽であるか、または、偽である)。
③ 真∨真(真であるか、または、真である)。
④ 真∨偽(真であるか、または、偽である)。
に於いて、
② 偽∨偽(偽であるか、または、偽である)。
だけが、
② 両方とも、「偽である」。
従って、
(06)(16)~(21)により、
(22)
① ~真∨真(真でないか、または、真である)。
②
③ ~偽∨真(偽でないか、または、真である)。
④ ~偽∨偽(偽でないか、または、偽である)。
といふ「包括的または」に於いて、
② ~真∨偽(真でないか、または、偽である)。
だけが、「偽」である。
従って、
(16)(22)により、
(23)
(ⅱ)( P→Q)
(〃)(~P∨Q)
(〃)(PであるならばQである)。
(〃)(Pでないか Qである)。
といふ「仮言命題(包括的または)」の場合は、
① ~真∨真(真でないか、または、真である)。
③ ~偽∨真(偽でないか、または、真である)。
④ ~偽∨偽(偽でないか、または、偽である)。
といふ「3通り」に於いて、「真」になる。
従って、
(23)により、
(24)
①「明日が晴ならば、釣りに行く。」
といふ「日本語」が、「包括的または」であるならば、
②「明日は晴である 釣りに行かない。」
③「明日は雨である。釣りに行く。」
④「明日は雨である。釣りに行かない。」
に於いて、
② は「偽」であり、
③ は「真」であり、
④ も「真」である。
従って、
(24)により、
(25)
①「明日が晴ならば、 釣りに行く。」
といふ「日本語」が、「仮言命題(包括的または)」であるならば、
②「明日は晴である。 釣りに行かない。」
といふことが、起これば、「ウソ(偽)」であるが、
③「明日は雨である。 釣りに行く。」
といふことが、起こったとしても、「ウソ(偽)」にはならない。
然るに、
(26)
(ⅰ)( P→~Q) &(~P→Q)
(〃)(PならばQでなく)&(PでないならばQである)。
(〃)「排他的または」
に於ける、
(ⅰ)(P→~Q)&(~P→ Q)
といふ「仮言命題の連言」の「二つの後件」を「否定」し、
⑤(P→ Q)&(~P→~Q)
といふ風に、書き換へる、ことにする。
然るに、
(27)
⑤(P→Q)&(~P→~Q)
に於いて、
P=「明日は晴である。」
Q=「釣りに行く。」
といふ「代入」を行ふと、
⑤(P→Q)&(~P→~Q)⇔
⑤「明日が晴ならば、釣りに行き、明日が晴でないならば釣りに行かない。」
といふ、ことになる。
然るに、
(28)
⑤「明日が晴ならば、釣りに行き、明日が晴でないならば釣りに行かない。」
といふことは、
⑤「明日が晴ならば、そのときに限って、釣りに行く。」
といふ、ことである。
従って、
(27)(28)により、
(29)
⑤(P→Q)&(~P→~Q)⇔
⑤「明日が晴ならば、そのときに限って、釣りに行く。」
といふ、ことになる。
然るに、
(23)(24)(26)により、
(30)
⑤「明日が晴ならば、そのときに限って、釣りに行く。」
といふ「日本語」は、「包括的または」ではないし、「排他的または」でもないし、
⑤「明日が晴ならば、そのときに限って、釣りに行く。」
といふのであれば、
③「明日は雨である。釣りに行く。」
といふことが、起これば、ウソ(偽)」にはならざるを、得ない。
然るに、
(31)
⑤「明日が晴ならば、そのときに限って、釣りに行く。」
のやうな、
⑤(P→Q)&(~P→~Q)
⑤(P→Q)&( Q→ P)
を、「双条件法」と言ふ。
cf.
(~P→~Q)は、
( Q→ P)の「対偶」である。
従って、
(25)(30)(31)により、
(32)
①「明日が晴ならば、釣りに行く。」
といふ「日本語」に於いて、
① が、「包括的または」であるならば、
③「明日は雨である。釣りに行く。」
といふことが、起こったとしても、「ウソ(偽)」にはならないが、
① が、「双条件法」であるならば、
③「明日は雨である。釣りに行く。」
といふことが、起こったとすれば、「ウソ(偽)」になる。
従って、
(25)(32)により、
(33)
①「明日が晴ならば、釣りに行く。」
③「明日は雨である。釣りに行く。」
に於いて、
①と③ が、「矛盾」であると、感じるのであれば、その人は、
①「明日が晴ならば、釣りに行く。」
といふ「日本語」を、
⑤「明日が晴ならば、そのときに限って、釣りに行く。」
といふ「双条件法」であると、思ってゐる。
といふ、ことになる。
従って、
(34)
①「明日が晴ならば、釣りに行く。」
⑤「明日が晴ならば、そのときに限って、釣りに行く。」
に於いて、
①と⑤を、「混乱せずに、使用する」ならば、
①「明日が晴ならば、釣りに行く。」
③「明日は雨である。釣りに行く。」
に於いて、
①と③ が、「矛盾」であるとは、思はない。ことになる。
然るに、
(35)
⑤(P→Q)&( Q→ P)
⑤(P→Q)&(~P→~Q)
といふことは、
⑤ に於いては、
⑤「逆とその対偶」も「真」である。
といふことに、他ならない。
従って、
(35)により、
(36)
「逆は必ずしも、真ではない。」といふことを、
「ワザワザ確認しなければならない。」といふことは、大半の日本人は、
①「明日が晴ならば、釣りに行く。」
⑤「明日が晴ならば、そのときに限って、釣りに行く。」
といふ「日本語」に於いて、
①と⑤ を、「区別せずに使ってゐる。」
といふことを、「意味」してゐる。
従って、
(24)(36)により、
(37)
①「明日が晴ならば、釣りに行く。」
といふ「日本語」に於いて、
②「明日は晴である。釣りに行かない。」
③「明日は雨である。釣りに行く。」
④「明日は雨である。釣りに行かない。」
に於いて、
② は「偽」であることは、「正しい」。
③ は「真」であることは、「正しく」ない。
④ も「真」であることは、「正しい」。
とするならば、
①「包括的または」
⑤「双条件法」
であるところの、
①と⑤ を、「区別せずに使ってゐる。」
といふことを、「意味」してゐる。
従って、
(16)(37)により、
(38)
(ⅱ)( P→Q)
(〃)(~P∨Q)
(〃)(PであるならばQである)。
(〃)(Pでないか Qである)。
(〃)「包含的または」
に於いて、
(ⅱ)=(〃) であるが、
(ⅱ)( P→Q)
(〃)(~P∨Q)
(ⅴ)( P→Q)&( Q→P)
(〃)(~P∨Q)&(~Q∨P)
(〃)Pならば、そのときに限って、Qである。
(〃)「双条件法」
に於いて、
(ⅱ)=(ⅴ) ではない。
といふことを、「確認」することは、「重要」である。
令和元年05月04日、毛利太。
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