（01）
（ⅰ）
１ （１） ∀ｘ（ｘ≠２＆素数ｘ→奇数ｘ） Ａ
１ （２） ａ≠２＆素数ａ→奇数ａ １ＵＥ
３ （３） ～奇数ａ Ａ
１３ （４） ～（ａ≠２＆素数ａ） ２３ＭＴＴ
１３ （５） ａ＝２∨～素数ａ ４ド・モルガンの法則
１３ （６） ～素数ａ∨ａ＝２ ５交換法則
１３ （７） 素数ａ→ａ＝２ ６含意の定義
１ （８） ～奇数ａ→（素数ａ→ａ＝２） ３７ＣＰ
９（９） ～奇数ａ＆ 素数ａ Ａ
９（ア） ～奇数ａ ９＆Ｅ
１ ９（イ） 素数ａ→ａ＝２ ８アＭＰＰ
９（ウ） 素数ａ ９＆Ｅ
１ ９（エ） ａ＝２ イウＭＰＰ
１ （オ） ～奇数ａ＆素数ａ→ａ＝２ ９エＣＰ
１ （カ）∀ｘ（～奇数ｘ＆素数ｘ→ｘ＝２） オＵＩ
（ⅱ）
１ （１）∀ｘ（～奇数ｘ＆素数ｘ→ｘ＝２） Ａ
１ （２） ～奇数ａ＆素数ａ→ａ＝２ １ＵＥ
３ （３） ａ≠２ Ａ
１３ （４） ～（～奇数ａ＆素数ａ） ２３ＭＴＴ
１３ （５） 奇数ａ∨～素数ａ ４ド・モルガンの法則
１３ （６） ～素数ａ∨奇数ａ ５交換法則
１３ （７） 素数ａ→奇数ａ ６含意の定義
１ （８） ａ≠２→（素数ａ→奇数ａ） ３７ＣＰ
９（９） ａ≠２＆ 素数ａ Ａ
９（ア） ａ≠２ ９＆Ｅ
１ ９（イ） （素数ａ→奇数ａ） ８アＭＰＰ
９（ウ） 素数ａ ９＆Ｅ
１ ９（エ） 奇数ａ イウＭＰＰ
１ （オ） ａ≠２＆素数ａ→奇数ａ ９エＣＰ
１ （カ） ∀ｘ（ｘ≠２＆素数ｘ→奇数ｘ） オＵＩ
従って、
（01）により、
（02）
① ∀ｘ（ｘ≠２ ＆素数ｘ→奇数ｘ）
② ∀ｘ（～奇数ｘ＆素数ｘ→ｘ＝２）
に於いて、すなはち、
① すべてのｘについて（２以外の素数であるならば、ｘは偶数ではない）。
② すべてのｘについて（ｘが奇数でなくて素数であるならば、ｘは２である）。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（02）により、
（03）
「交換法則」により、
① ∀ｘ（素数ｘ＆ｘ≠２ →奇数ｘ）
② ∀ｘ（素数ｘ＆～奇数ｘ→ｘ＝２）
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（04）
奇数ｘ＝～偶数ｘ
～奇数ｘ＝ 偶数ｘ
従って、
（03）（04）により、
（05）
① ∀ｘ（素数ｘ＆ｘ≠２→～遇数ｘ）
② ∀ｘ（素数ｘ＆偶数ｘ→ ｘ＝２）
に於いて、すなはち、
① すべてのｘについて（ｘが素数で、２以外であるならば、ｘは偶数ではない）。
② すべてのｘについて（ｘが素数で、 偶数であるならば、ｘは２である）。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（05）により、
（06）
① 素数は、２以外は偶数ではない。
② 素数は、偶数は２である。
於いて、
①＝② である。
然るに、
（07）
「日本語話者の直観」として、
① 素数は、２が偶数である。
② 素数は、偶数は２である。
③ 素数は、２以外は偶数ではない。
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（08）
「日本語話者の直観」として、
① ２が偶数である。
② 偶数は２である。
③ ２以外は偶数ではない。
に於いて、
①＝②＝③ である。
然るに、
（09）
｛２，３，５，７，１１，１３，１７，１９｝
に於いて、
① ２が偶数である。
② 偶数は２である。
③ ２以外は偶数ではない。
といふ「命題」は、３つとも、「真」である。
令和０５年０１月１８日、毛利太。
2023年1月18日水曜日
2023年1月17日火曜日
ド・モルガンの「馬の頭（の述語論理）」。
（01）
ド・モルガンが、明らかに健全であるにもかかわらず、伝統的論理学のわくぐみのなかでは取り扱うことができなかった論証として挙げた、有名なま簡単な論証がある。
There is a famouse and simple arugument,cited by de Morgan as an example of a kind of reasoning which,through patently sound,could not be handled within the framework of traditional logic.
（１）すべての馬は動物である。故にすべての馬の頭は動物の頭である。
（〃）All horses are animals; therefore all horses' heads are animals'head.
（２）馬の頭であるすべてのモノは動物の頭である。
（〃）Anything that is a head of a horse is a head of an animal.
あるモノが馬の頭であるためには、それ（あるモノ）がその馬の頭であるような馬が存在しなければならない。
For something to be a head of a horse there must be some horse of which it is the head；
記号で書くと、ａは、∃ｙ（Ｆｙ＆Ｈａｙ）であるときまたそのときに限って馬の頭である。
in symboles, a is a head of a head of a horse if and only if ∃ｙ（Ｆｙ＆Ｈａｙ）
１２３ ∀ｘ（馬ｘ→動ｘ）├ ∀ｘ｛∃ｙ（馬ｙ＆頭ｘｙ）→∃ｙ（動ｙ＆頭ｘｙ）｝
１ （１） ∀ｘ（馬ｘ→動ｘ） Ａ
２ （２） ∃ｙ（馬ｙ＆頭ａｙ） Ａ
３（３） 馬ｂ＆頭ａｂ Ａ
３（４） 馬ｂ ３＆Ｅ
３（５） 頭ａｂ ３＆Ｅ
１ （６） 馬ｂ→動ｂ １ＵＥ
１ ３（７） 動ｂ ４６ＭＰＰ
１ ３（８） 動ｂ＆頭ａｂ ５７＆Ｉ
１ ３（９） ∃ｙ（動ｙ＆頭ａｙ） ８ＥＩ
１２ （ア） ∃ｙ（動ｙ＆頭ａｙ） ２３９ＥＥ
１ （イ） ∃ｙ（馬ｙ＆頭ａｙ）→∃ｙ（動ｙ＆頭ａｙ） ２アＣＰ
１ （ウ）∀ｘ｛∃ｙ（馬ｙ＆頭ｘｙ）→∃ｙ（動ｙ＆頭ｘｙ）｝ イＵＩ
（E.J.レモン、論理学初歩、竹尾治一郎・竹尾楢英 訳、1973年、１６７頁を参照）
然るに、
（02）
（ⅰ）すべての馬は動物である。故に、
（ⅱ）すべての馬の頭は動物の頭である。
の場合は「３段論法」ではなく、「２段論法」であるが、それでゐて、
１ （１） ∀ｘ（馬ｘ→動ｘ） Ａ
２ （２） ∃ｙ（馬ｙ＆頭ａｙ） Ａ
の「時点」では、「前提」が「２個」であるため、中途半端に、「３段論法」である。
然るに、
（03）
□□□ ∀ｘ（馬ｘ→動ｘ），∀ｘ（動ｘ→∃ｙ（頭ｘｙ）｝├ ∀ｘ｛馬ｘ→∃ｙ（動ｘ＆頭ｘｙ）｝
１ （１） ∀ｘ（馬ｘ→動ｘ） Ａ
２ （２） ∀ｘ（動ｘ→∃ｙ（頭ｘｙ）｝ Ａ
１ （３） 馬ａ→動ａ １ＵＥ
２ （４） 動ａ→∃ｙ（頭ａｙ） ２ＵＥ
５ （５） 馬ａ Ａ
２５ （６） 動ａ ３５ＭＰＰ
１２５ （７） ∃ｙ（頭ａｙ） ４６ＭＰＰ
８（８） 頭ａｂ Ａ
１２５８（９） 動ａ＆頭ａｂ ６８＆Ｉ
１２５８（ア） ∃ｙ（動ａ＆頭ａｙ） ９ＥＩ
１２５ （イ） ∃ｙ（動ａ＆頭ａｙ） ７８アＥＥ
１２ （ウ） 馬ａ→∃ｙ（動ａ＆頭ａｙ） ５イＣＰ
１２ （エ）∀ｘ｛馬ｘ→∃ｙ（動ｘ＆頭ｘｙ）｝ ウＵＩ
従って、
（02）により、
（03）
（ⅰ）∀ｘ（馬ｘ→動ｘ）
（ⅱ）∀ｘ｛動ｘ→∃ｙ（頭ｘｙ）｝
（ⅲ）∀ｘ｛馬ｘ→∃ｙ（動ｘ＆頭ｘｙ）｝
といふ「３段論法」、すなはち、
（ⅰ）すべてのｘについて（ｘが馬ならば、ｘは動物である）。
（ⅱ）すべてのｘについて｛ｘが動物であるならば、あるｙは（ｘの頭である）｝。
（ⅲ）すべてのｘについて｛ｘが馬ならば、あるｙは（動物である所のｘの頭である）｝。
といふ「３段論法」、すなはち、
（ⅰ）馬は動物である。 然るに、
（ⅱ）動物には頭が有る。故に、
（ⅲ）馬には動物の頭が有る。
といふ「３段論法」は、「妥当」である。
然るに、
（04）
（ⅱ）すべての馬の頭は動物の頭である。
といふことは、
（ⅲ）すべての馬には動物の頭が有る。
といふことに、他ならないし、
１２３ ∀ｘ（馬ｘ→動ｘ）├ ∀ｘ｛∃ｙ（馬ｙ＆頭ｘｙ）→∃ｙ（動ｙ＆頭ｘｙ）｝
といふ「連式」よりも、
□□□ ∀ｘ（馬ｘ→動ｘ），∀ｘ（動ｘ→∃ｙ（頭ｘｙ）｝├ ∀ｘ｛馬ｘ→∃ｙ（動ｘ＆頭ｘｙ）｝
といふ「連式」の方が、「分かり易い」。
令和０５年０１月１７日、毛利太。
ド・モルガンが、明らかに健全であるにもかかわらず、伝統的論理学のわくぐみのなかでは取り扱うことができなかった論証として挙げた、有名なま簡単な論証がある。
There is a famouse and simple arugument,cited by de Morgan as an example of a kind of reasoning which,through patently sound,could not be handled within the framework of traditional logic.
（１）すべての馬は動物である。故にすべての馬の頭は動物の頭である。
（〃）All horses are animals; therefore all horses' heads are animals'head.
（２）馬の頭であるすべてのモノは動物の頭である。
（〃）Anything that is a head of a horse is a head of an animal.
あるモノが馬の頭であるためには、それ（あるモノ）がその馬の頭であるような馬が存在しなければならない。
For something to be a head of a horse there must be some horse of which it is the head；
記号で書くと、ａは、∃ｙ（Ｆｙ＆Ｈａｙ）であるときまたそのときに限って馬の頭である。
in symboles, a is a head of a head of a horse if and only if ∃ｙ（Ｆｙ＆Ｈａｙ）
１２３ ∀ｘ（馬ｘ→動ｘ）├ ∀ｘ｛∃ｙ（馬ｙ＆頭ｘｙ）→∃ｙ（動ｙ＆頭ｘｙ）｝
１ （１） ∀ｘ（馬ｘ→動ｘ） Ａ
２ （２） ∃ｙ（馬ｙ＆頭ａｙ） Ａ
３（３） 馬ｂ＆頭ａｂ Ａ
３（４） 馬ｂ ３＆Ｅ
３（５） 頭ａｂ ３＆Ｅ
１ （６） 馬ｂ→動ｂ １ＵＥ
１ ３（７） 動ｂ ４６ＭＰＰ
１ ３（８） 動ｂ＆頭ａｂ ５７＆Ｉ
１ ３（９） ∃ｙ（動ｙ＆頭ａｙ） ８ＥＩ
１２ （ア） ∃ｙ（動ｙ＆頭ａｙ） ２３９ＥＥ
１ （イ） ∃ｙ（馬ｙ＆頭ａｙ）→∃ｙ（動ｙ＆頭ａｙ） ２アＣＰ
１ （ウ）∀ｘ｛∃ｙ（馬ｙ＆頭ｘｙ）→∃ｙ（動ｙ＆頭ｘｙ）｝ イＵＩ
（E.J.レモン、論理学初歩、竹尾治一郎・竹尾楢英 訳、1973年、１６７頁を参照）
然るに、
（02）
（ⅰ）すべての馬は動物である。故に、
（ⅱ）すべての馬の頭は動物の頭である。
の場合は「３段論法」ではなく、「２段論法」であるが、それでゐて、
１ （１） ∀ｘ（馬ｘ→動ｘ） Ａ
２ （２） ∃ｙ（馬ｙ＆頭ａｙ） Ａ
の「時点」では、「前提」が「２個」であるため、中途半端に、「３段論法」である。
然るに、
（03）
□□□ ∀ｘ（馬ｘ→動ｘ），∀ｘ（動ｘ→∃ｙ（頭ｘｙ）｝├ ∀ｘ｛馬ｘ→∃ｙ（動ｘ＆頭ｘｙ）｝
１ （１） ∀ｘ（馬ｘ→動ｘ） Ａ
２ （２） ∀ｘ（動ｘ→∃ｙ（頭ｘｙ）｝ Ａ
１ （３） 馬ａ→動ａ １ＵＥ
２ （４） 動ａ→∃ｙ（頭ａｙ） ２ＵＥ
５ （５） 馬ａ Ａ
２５ （６） 動ａ ３５ＭＰＰ
１２５ （７） ∃ｙ（頭ａｙ） ４６ＭＰＰ
８（８） 頭ａｂ Ａ
１２５８（９） 動ａ＆頭ａｂ ６８＆Ｉ
１２５８（ア） ∃ｙ（動ａ＆頭ａｙ） ９ＥＩ
１２５ （イ） ∃ｙ（動ａ＆頭ａｙ） ７８アＥＥ
１２ （ウ） 馬ａ→∃ｙ（動ａ＆頭ａｙ） ５イＣＰ
１２ （エ）∀ｘ｛馬ｘ→∃ｙ（動ｘ＆頭ｘｙ）｝ ウＵＩ
従って、
（02）により、
（03）
（ⅰ）∀ｘ（馬ｘ→動ｘ）
（ⅱ）∀ｘ｛動ｘ→∃ｙ（頭ｘｙ）｝
（ⅲ）∀ｘ｛馬ｘ→∃ｙ（動ｘ＆頭ｘｙ）｝
といふ「３段論法」、すなはち、
（ⅰ）すべてのｘについて（ｘが馬ならば、ｘは動物である）。
（ⅱ）すべてのｘについて｛ｘが動物であるならば、あるｙは（ｘの頭である）｝。
（ⅲ）すべてのｘについて｛ｘが馬ならば、あるｙは（動物である所のｘの頭である）｝。
といふ「３段論法」、すなはち、
（ⅰ）馬は動物である。 然るに、
（ⅱ）動物には頭が有る。故に、
（ⅲ）馬には動物の頭が有る。
といふ「３段論法」は、「妥当」である。
然るに、
（04）
（ⅱ）すべての馬の頭は動物の頭である。
といふことは、
（ⅲ）すべての馬には動物の頭が有る。
といふことに、他ならないし、
１２３ ∀ｘ（馬ｘ→動ｘ）├ ∀ｘ｛∃ｙ（馬ｙ＆頭ｘｙ）→∃ｙ（動ｙ＆頭ｘｙ）｝
といふ「連式」よりも、
□□□ ∀ｘ（馬ｘ→動ｘ），∀ｘ（動ｘ→∃ｙ（頭ｘｙ）｝├ ∀ｘ｛馬ｘ→∃ｙ（動ｘ＆頭ｘｙ）｝
といふ「連式」の方が、「分かり易い」。
令和０５年０１月１７日、毛利太。
2023年1月16日月曜日
「命題論理」としての「述語論理」。
（01）
（ⅰ）
１ （１） Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ Ａ
２ （２） ～Ｐ∨ ～Ｑ∨～Ｒ Ａ
２ （３） ～Ｐ∨（～Ｑ∨～Ｒ） ２結合法則
４ （４） ～Ｐ Ａ
１ （５） Ｐ １＆Ｅ
１ ４ （６） ～Ｐ＆Ｐ ４５＆Ｉ
４ （７）～（ Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ） １６ＲＡＡ
８ （８） （～Ｑ∨～Ｒ） Ａ
９ （９） ～Ｑ Ａ
１ （ア） Ｑ １＆Ｅ
１ ９ （イ） ～Ｑ＆Ｑ ９ア＆Ｉ
９ （ウ）～（ Ｐ＆ Ｑ ＆Ｒ） １９ＲＡＡ
エ（エ） ～Ｒ Ａ
１ （オ） Ｒ １＆Ｅ
１ エ（カ） ～Ｒ＆Ｒ エオ＆Ｉ
エ（キ）～（ Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ） １カＲＡＡ
８ （ク）～（ Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ） ８９ウエキ∨Ｅ
２ （ケ）～（ Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ） ３４７８ク∨Ｅ
１２ （コ） （ Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ）＆
～（ Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ） １ケ＆Ｉ
１ （サ）～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ） ２コＲＡＡ
（ⅱ）
１ （１） ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ） Ａ
２ （２） ～Ｐ Ａ
２ （３） ～Ｐ∨～Ｑ ２∨Ｉ
２ （４） ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ ３∨Ｉ
１ ２ （５） ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ） １４＆Ｉ
１ （６） ～～Ｐ ２５ＲＡＡ
１ （７） Ｐ ６ＤＮ
８ （８） ～Ｑ Ａ
８ （９） ～Ｐ∨～Ｑ ７∨Ｉ
８ （ア） ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ ８∨Ｉ
１ ８ （イ） ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ） １ア＆Ｉ
１ （ウ） ～～Ｑ ８ＲＡＡ
１ （エ） Ｑ ウＤＮ
オ（オ） ～Ｒ Ａ
オ（カ） ～Ｑ∨～Ｒ オ∨Ｉ
オ（キ） ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ カ∨Ｉ
１ オ（ク） ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ） １オ＆Ｉ
１ （ケ） ～～Ｒ オケＲＡＡ
１ （コ） Ｒ ケＤＮ
１ （サ） Ｐ＆ Ｑ ７エ＆Ｉ
１ （シ） Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ コサ＆Ｉ
従って、
（01）により、
（02）
① Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ
② ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）
に於いて、
①＝② である（ド・モルガンの法則）。
従って、
（02）により、
（03）
① Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ
② ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）
に於いて、
Ｐ＝（象ａ→動ａ）
Ｑ＝（象ｂ→動ｂ）
Ｒ＝（象ｃ→動ｃ）
といふ「代入」を行ふと、
① （象ａ→動ａ）＆ （象ｂ→動ｂ）＆ （象ｃ→動ｃ）
② ～（～（象ａ→動ａ）∨～（象ｂ→動ｂ）∨～（象ｃ→動ｃ））
に於いて、
①＝② である（ド・モルガンの法則）。
然るに、
（04）
（ⅰ）
１ （１） 象ａ→ 動ａ Ａ
２（２） 象ａ＆～動ａ Ａ
２（３） 象ａ ２＆Ｅ
１２（４） 動ａ １３ＭＰＰ
２（５） ～動ａ ２＆Ｅ
１２（６） 動ａ＆～動ａ ４５＆Ｉ
１ （７）～（象ａ＆～動ａ） ２６ＲＡＡ
（ⅱ）
１ （１）～（象ａ＆～動ａ） Ａ
２ （２） 象ａ Ａ
３（３） ～動ａ Ａ
２３（４） 象ａ＆～動ａ ２３＆Ｉ
１２３（５）～（象ａ＆～動ａ）＆
（象ａ＆～動ａ） １４＆Ｉ
１２ （６） ～～動ａ ３５ＲＡＡ
１２ （７） 動ａ ６ＤＮ
１ （８） 象ａ→ 動ａ ２７ＣＰ
従って、
（04）により、
（05）
① 象ａ→ 動ａ
② ～（象ａ＆～動ａ）
に於いて、
①＝② である。
従って、
（03）（05）により、
（06）
① （象ａ→ 動ａ） ＆ （象ｂ→ 動ｂ） ＆ （象ｃ→ 動ｃ）
② ～（～（～（象ａ＆～動ａ））∨～（～（象ｂ＆～動ｂ））∨～（～（象ｃ＆～動ｃ）））
に於いて、
①＝② である。
従って、
（06）により、
（07）
「二重否定律」により、
① （象ａ→ 動ａ）＆（象ｂ→ 動ｂ）＆（象ｃ→ 動ｃ）
② ～（（象ａ＆～動ａ）∨（象ｂ＆～動ｂ）∨（象ｃ＆～動ｃ））
に於いて、すなはち、
① （ａが象ならば、ａは動物であり）、その上（ｂが象ならば、ｂは動物であり）、その上（ｂが象ならば、ｂは動物である）。
②（（ａが象であって動物ではないか）、または（ｂが象であって動物ではないか）、または（ｂが象であって動物ではないか））といふことはない。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（08）
｛個体の変域｝＝｛ａ、ｂ、ｃ｝
であるとして、
① （ａが象ならば、ａは動物であり）、その上（ｂが象ならば、ｂは動物であり）、その上（ｂが象ならば、ｂは動物である）。
②（（ａが象であって動物ではないか）、または（ｂが象であって動物ではないか）、または（ｂが象であって動物ではないか））といふことはない。
といふことは、
① すべての象は動物である。
② 動物でない象はゐない。
といふことである。
然るに、
（09）
① すべての象は動物である。
② 動物でない象はゐない。
といふ「日本語」は、
① ∀ｘ（象ｘ→ 動ｘ）
② ～∃ｘ（象ｘ＆～動ｘ）
といふ「述語論理式」に「相当」する。
従って、
（01）～（09）により、 （10）
｛個体の変域｝＝｛ａ、ｂ、ｃ｝
であるとして、
① ∀ｘ（象ｘ→ 動ｘ）
② ～∃ｘ（象ｘ＆～動ｘ）
といふ「述語論理式」は、それぞれ、
① （象ａ→ 動ａ）＆（象ｂ→ 動ｂ）＆（象ｃ→ 動ｃ）
② ～（（象ａ＆～動ａ）∨（象ｂ＆～動ｂ）∨（象ｃ＆～動ｃ））
といふ「論理式」に、「等しく」、尚且つ、
①＝② である。
然るに、
（11）
① （象ａ→ 動ａ）＆（象ｂ→ 動ｂ）＆（象ｃ→ 動ｃ）
② ～（（象ａ＆～動ａ）∨（象ｂ＆～動ｂ）∨（象ｃ＆～動ｃ））
に於いて、
Ｐ＝象ａ（ａは 象である）。
Ｑ＝動ａ（ａは動物である）。
Ｒ＝象ｂ（ｂは 象である）。
Ｓ＝動ｂ（ｂは動物である）。
Ｔ＝象ｃ（ｃは 象である）。
Ｕ＝動ｃ（ｃは動物である）。
といふ「代入」を行ふと、
① （Ｐ→ Ｑ）＆（Ｒ→ Ｓ）＆（Ｔ→ Ｕ）
② ～（（Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｒ＆～Ｓ）∨（Ｔ＆～Ｕ））
といふ「式」は、「命題論理式」である。
従って、
（01）～（11）により、
（12）
｛個体の変域｝＝｛ａ、ｂ、ｃ｝
であるとして、
Ｐ＝象ａ（ａは 象である）。
Ｑ＝動ａ（ａは動物である）。
Ｒ＝象ｂ（ｂは 象である）。
Ｓ＝動ｂ（ｂは動物である）。
Ｔ＝象ｃ（ｃは 象である）。
Ｕ＝動ｃ（ｃは動物である）。
であるとして、
① ∀ｘ（象ｘ→ 動ｘ）
② ～∃ｘ（象ｘ＆～動ｘ）
といふ「述語論理式」は、
① （Ｐ→ Ｑ）＆（Ｒ→ Ｓ）＆（Ｔ→ Ｕ）
② ～（（Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｒ＆～Ｓ）∨（Ｔ＆～Ｕ））
といふ「命題論理式」として、
①＝② である。
然るに、
（13）
（ⅰ）
１ （１） ∀ｘ（象ｘ→ 動ｘ） Ａ
２ （２） ∃ｘ（象ｘ＆～動ｘ） Ａ
３（３） 象ａ＆～動ａ Ａ
１ （４） 象ａ→ 動ａ Ａ
３（５） 象ａ ３＆Ｅ
１ ３（６） 動ａ ３４ＭＰＰ
３（７） ～動ａ ３＆Ｅ
１ ３（８） 動ａ＆～動ａ ６７＆Ｉ
３（９）～∀ｘ（象ｘ→ 動ｘ） １８ＲＡＡ
２ （ア）～∀ｘ（象ｘ→ 動ｘ） ２３９ＥＥ
１２ （イ）～∀ｘ（象ｘ→ 動ｘ）＆
∀ｘ（象ｘ→ 動ｘ） １ア＆Ｉ
１ （ウ）～∃ｘ（象ｘ＆～動ｘ） ２イＲＡＡ
（ⅱ）
１ （１）～∃ｘ（象ｘ＆～動ｘ） Ａ
２ （２） 象ａ Ａ
３（３） ～動ａ Ａ
２３（４） 象ａ＆～動ａ ２３＆Ｉ
２３（５） ∃ｘ（象ｘ＆～動ｘ） ４ＥＩ
１２３（６）～∃ｘ（象ｘ＆～動ｘ）＆
∃ｘ（象ｘ＆～動ｘ） １５＆Ｉ
１２ （７） ～～動ａ ３６ＲＡＡ
１２ （８） 動ａ ７ＤＮ
１ （９） 象ａ→ 動ａ ２８ＣＰ
１ （ア） ∀ｘ（象ｘ→ 動ｘ） ９ＵＩ
従って、
（13）により、
（14）
① ∀ｘ（象ｘ→ 動ｘ）
② ～∃ｘ（象ｘ＆～動ｘ）
といふ「述語論理式」は、「述語論理式」として、
①＝② であるものの、この場合は、
｛個体の変域｝＝｛ａ、ｂ、ｃ｝
ではなく、
｛個体の変域｝＝｛ａ、ｂ、ｃ、・・・・・∞｝
であっても、
①＝② である。
令和０５年０１月１６日、毛利太。
（ⅰ）
１ （１） Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ Ａ
２ （２） ～Ｐ∨ ～Ｑ∨～Ｒ Ａ
２ （３） ～Ｐ∨（～Ｑ∨～Ｒ） ２結合法則
４ （４） ～Ｐ Ａ
１ （５） Ｐ １＆Ｅ
１ ４ （６） ～Ｐ＆Ｐ ４５＆Ｉ
４ （７）～（ Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ） １６ＲＡＡ
８ （８） （～Ｑ∨～Ｒ） Ａ
９ （９） ～Ｑ Ａ
１ （ア） Ｑ １＆Ｅ
１ ９ （イ） ～Ｑ＆Ｑ ９ア＆Ｉ
９ （ウ）～（ Ｐ＆ Ｑ ＆Ｒ） １９ＲＡＡ
エ（エ） ～Ｒ Ａ
１ （オ） Ｒ １＆Ｅ
１ エ（カ） ～Ｒ＆Ｒ エオ＆Ｉ
エ（キ）～（ Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ） １カＲＡＡ
８ （ク）～（ Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ） ８９ウエキ∨Ｅ
２ （ケ）～（ Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ） ３４７８ク∨Ｅ
１２ （コ） （ Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ）＆
～（ Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ） １ケ＆Ｉ
１ （サ）～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ） ２コＲＡＡ
（ⅱ）
１ （１） ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ） Ａ
２ （２） ～Ｐ Ａ
２ （３） ～Ｐ∨～Ｑ ２∨Ｉ
２ （４） ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ ３∨Ｉ
１ ２ （５） ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ） １４＆Ｉ
１ （６） ～～Ｐ ２５ＲＡＡ
１ （７） Ｐ ６ＤＮ
８ （８） ～Ｑ Ａ
８ （９） ～Ｐ∨～Ｑ ７∨Ｉ
８ （ア） ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ ８∨Ｉ
１ ８ （イ） ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ） １ア＆Ｉ
１ （ウ） ～～Ｑ ８ＲＡＡ
１ （エ） Ｑ ウＤＮ
オ（オ） ～Ｒ Ａ
オ（カ） ～Ｑ∨～Ｒ オ∨Ｉ
オ（キ） ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ カ∨Ｉ
１ オ（ク） ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ） １オ＆Ｉ
１ （ケ） ～～Ｒ オケＲＡＡ
１ （コ） Ｒ ケＤＮ
１ （サ） Ｐ＆ Ｑ ７エ＆Ｉ
１ （シ） Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ コサ＆Ｉ
従って、
（01）により、
（02）
① Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ
② ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）
に於いて、
①＝② である（ド・モルガンの法則）。
従って、
（02）により、
（03）
① Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ
② ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）
に於いて、
Ｐ＝（象ａ→動ａ）
Ｑ＝（象ｂ→動ｂ）
Ｒ＝（象ｃ→動ｃ）
といふ「代入」を行ふと、
① （象ａ→動ａ）＆ （象ｂ→動ｂ）＆ （象ｃ→動ｃ）
② ～（～（象ａ→動ａ）∨～（象ｂ→動ｂ）∨～（象ｃ→動ｃ））
に於いて、
①＝② である（ド・モルガンの法則）。
然るに、
（04）
（ⅰ）
１ （１） 象ａ→ 動ａ Ａ
２（２） 象ａ＆～動ａ Ａ
２（３） 象ａ ２＆Ｅ
１２（４） 動ａ １３ＭＰＰ
２（５） ～動ａ ２＆Ｅ
１２（６） 動ａ＆～動ａ ４５＆Ｉ
１ （７）～（象ａ＆～動ａ） ２６ＲＡＡ
（ⅱ）
１ （１）～（象ａ＆～動ａ） Ａ
２ （２） 象ａ Ａ
３（３） ～動ａ Ａ
２３（４） 象ａ＆～動ａ ２３＆Ｉ
１２３（５）～（象ａ＆～動ａ）＆
（象ａ＆～動ａ） １４＆Ｉ
１２ （６） ～～動ａ ３５ＲＡＡ
１２ （７） 動ａ ６ＤＮ
１ （８） 象ａ→ 動ａ ２７ＣＰ
従って、
（04）により、
（05）
① 象ａ→ 動ａ
② ～（象ａ＆～動ａ）
に於いて、
①＝② である。
従って、
（03）（05）により、
（06）
① （象ａ→ 動ａ） ＆ （象ｂ→ 動ｂ） ＆ （象ｃ→ 動ｃ）
② ～（～（～（象ａ＆～動ａ））∨～（～（象ｂ＆～動ｂ））∨～（～（象ｃ＆～動ｃ）））
に於いて、
①＝② である。
従って、
（06）により、
（07）
「二重否定律」により、
① （象ａ→ 動ａ）＆（象ｂ→ 動ｂ）＆（象ｃ→ 動ｃ）
② ～（（象ａ＆～動ａ）∨（象ｂ＆～動ｂ）∨（象ｃ＆～動ｃ））
に於いて、すなはち、
① （ａが象ならば、ａは動物であり）、その上（ｂが象ならば、ｂは動物であり）、その上（ｂが象ならば、ｂは動物である）。
②（（ａが象であって動物ではないか）、または（ｂが象であって動物ではないか）、または（ｂが象であって動物ではないか））といふことはない。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（08）
｛個体の変域｝＝｛ａ、ｂ、ｃ｝
であるとして、
① （ａが象ならば、ａは動物であり）、その上（ｂが象ならば、ｂは動物であり）、その上（ｂが象ならば、ｂは動物である）。
②（（ａが象であって動物ではないか）、または（ｂが象であって動物ではないか）、または（ｂが象であって動物ではないか））といふことはない。
といふことは、
① すべての象は動物である。
② 動物でない象はゐない。
といふことである。
然るに、
（09）
① すべての象は動物である。
② 動物でない象はゐない。
といふ「日本語」は、
① ∀ｘ（象ｘ→ 動ｘ）
② ～∃ｘ（象ｘ＆～動ｘ）
といふ「述語論理式」に「相当」する。
従って、
（01）～（09）により、 （10）
｛個体の変域｝＝｛ａ、ｂ、ｃ｝
であるとして、
① ∀ｘ（象ｘ→ 動ｘ）
② ～∃ｘ（象ｘ＆～動ｘ）
といふ「述語論理式」は、それぞれ、
① （象ａ→ 動ａ）＆（象ｂ→ 動ｂ）＆（象ｃ→ 動ｃ）
② ～（（象ａ＆～動ａ）∨（象ｂ＆～動ｂ）∨（象ｃ＆～動ｃ））
といふ「論理式」に、「等しく」、尚且つ、
①＝② である。
然るに、
（11）
① （象ａ→ 動ａ）＆（象ｂ→ 動ｂ）＆（象ｃ→ 動ｃ）
② ～（（象ａ＆～動ａ）∨（象ｂ＆～動ｂ）∨（象ｃ＆～動ｃ））
に於いて、
Ｐ＝象ａ（ａは 象である）。
Ｑ＝動ａ（ａは動物である）。
Ｒ＝象ｂ（ｂは 象である）。
Ｓ＝動ｂ（ｂは動物である）。
Ｔ＝象ｃ（ｃは 象である）。
Ｕ＝動ｃ（ｃは動物である）。
といふ「代入」を行ふと、
① （Ｐ→ Ｑ）＆（Ｒ→ Ｓ）＆（Ｔ→ Ｕ）
② ～（（Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｒ＆～Ｓ）∨（Ｔ＆～Ｕ））
といふ「式」は、「命題論理式」である。
従って、
（01）～（11）により、
（12）
｛個体の変域｝＝｛ａ、ｂ、ｃ｝
であるとして、
Ｐ＝象ａ（ａは 象である）。
Ｑ＝動ａ（ａは動物である）。
Ｒ＝象ｂ（ｂは 象である）。
Ｓ＝動ｂ（ｂは動物である）。
Ｔ＝象ｃ（ｃは 象である）。
Ｕ＝動ｃ（ｃは動物である）。
であるとして、
① ∀ｘ（象ｘ→ 動ｘ）
② ～∃ｘ（象ｘ＆～動ｘ）
といふ「述語論理式」は、
① （Ｐ→ Ｑ）＆（Ｒ→ Ｓ）＆（Ｔ→ Ｕ）
② ～（（Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｒ＆～Ｓ）∨（Ｔ＆～Ｕ））
といふ「命題論理式」として、
①＝② である。
然るに、
（13）
（ⅰ）
１ （１） ∀ｘ（象ｘ→ 動ｘ） Ａ
２ （２） ∃ｘ（象ｘ＆～動ｘ） Ａ
３（３） 象ａ＆～動ａ Ａ
１ （４） 象ａ→ 動ａ Ａ
３（５） 象ａ ３＆Ｅ
１ ３（６） 動ａ ３４ＭＰＰ
３（７） ～動ａ ３＆Ｅ
１ ３（８） 動ａ＆～動ａ ６７＆Ｉ
３（９）～∀ｘ（象ｘ→ 動ｘ） １８ＲＡＡ
２ （ア）～∀ｘ（象ｘ→ 動ｘ） ２３９ＥＥ
１２ （イ）～∀ｘ（象ｘ→ 動ｘ）＆
∀ｘ（象ｘ→ 動ｘ） １ア＆Ｉ
１ （ウ）～∃ｘ（象ｘ＆～動ｘ） ２イＲＡＡ
（ⅱ）
１ （１）～∃ｘ（象ｘ＆～動ｘ） Ａ
２ （２） 象ａ Ａ
３（３） ～動ａ Ａ
２３（４） 象ａ＆～動ａ ２３＆Ｉ
２３（５） ∃ｘ（象ｘ＆～動ｘ） ４ＥＩ
１２３（６）～∃ｘ（象ｘ＆～動ｘ）＆
∃ｘ（象ｘ＆～動ｘ） １５＆Ｉ
１２ （７） ～～動ａ ３６ＲＡＡ
１２ （８） 動ａ ７ＤＮ
１ （９） 象ａ→ 動ａ ２８ＣＰ
１ （ア） ∀ｘ（象ｘ→ 動ｘ） ９ＵＩ
従って、
（13）により、
（14）
① ∀ｘ（象ｘ→ 動ｘ）
② ～∃ｘ（象ｘ＆～動ｘ）
といふ「述語論理式」は、「述語論理式」として、
①＝② であるものの、この場合は、
｛個体の変域｝＝｛ａ、ｂ、ｃ｝
ではなく、
｛個体の変域｝＝｛ａ、ｂ、ｃ、・・・・・∞｝
であっても、
①＝② である。
令和０５年０１月１６日、毛利太。
2023年1月15日日曜日
「矛盾（韓非子）」の「述語論理（Ⅸ）」。
（01）
［一］ 矛盾（韓非子）
① 楚人有 鬻盾與矛者。
② 譽之曰、吾盾之堅、於物莫能陷也。
③ 又譽其矛曰、吾矛之利、於物無不陷也。
④ 或曰、以子之矛、陷子之盾、何如。
⑤ 其人弗能應也。
（02）
① 楚人有［鬻〔盾與（矛）〕者］。
② 譽（之）曰、吾盾之堅、莫（能陷）也。
③ 又譽（其矛）曰、吾矛之利、於（物）無〔不（陷）〕也。
④ 或曰、以（子之矛）、陷（子之盾）何如。
⑤ 其人弗〔能（應）〕也。
（03）
① 楚人［〔盾（矛）與〕鬻者］有。
②（之） 譽曰、吾盾之堅、（能陷）莫也。
③ 又（其矛）譽曰、吾矛之利、（物）於〔（陷）不〕無也。
④ 或曰、（子之矛）以、（子之盾）陷何如。
⑤ 其人〔（應）能〕弗也。
（04）
① 楚人に［〔盾と（矛）とを〕鬻ぐ者］有り。
②（之） 譽めて曰はく、吾が盾の堅きこと、（能く陷す）莫き也。
③ 又（其の矛を）譽めて曰は、吾が矛の利なること、（物に）於いて〔（陷さ）不り〕無き也。
④ 或曰、（子の矛を）以て、（子の盾を）陷さば何如。
⑤ 其の人〔（應ふる）能は〕弗る也。
（05）
楚の国の人で盾と矛を売る者がいた。この人はこれを誉めて「私の盾は頑丈で、これを貫けるものはない」と言った。また、矛を誉めて「私の矛は鋭くて、物において貫けないものはない」と言った。ある人が「あなたの矛であなたの盾を貫いたらどうなるのですか」といった。商人は答えることができなかった（WIKIBOOKS）。
（06）
（ⅰ）
１ （１）∀ｘ｛～吾盾ｘ＆盾ｘ→∃ｙ（吾矛ｙ＆陥没ｙｘ）｝ Ａ
２（２） ∀ｙ（吾矛ｙ→～陥ｙａ） Ａ
１ （３） ～吾盾ａ＆盾ａ→∃ｙ（吾矛ｙ＆陥没ｙａ） １ＵＥ
２（４） ∀ｙ（吾矛ｙ→～陥ｙａ） Ａ
２（５） 吾矛ｂ→～陥ｂａ ４ＵＥ
２（６） ～吾矛ｂ∨～陥ｂａ ５含意の定義
２（７） ～（吾矛ｂ＆ 陥ｂａ） ６ド・モルガンの法則
２（８） ∀ｙ～（吾矛ｙ＆ 陥ｙａ） ７ＵＩ
２（９） ～∃ｙ（吾矛ｙ＆ 陥ｙａ） ８量化子の関係
１２（ア） ～（～吾盾ａ＆盾ａ） ３９ＭＴＴ
１２（イ） 吾盾ａ∨～盾ａ ア、ド・モルガンの法則
１２（ウ） ～盾ａ∨吾盾ａ イ、交換法則
１２（エ） 盾ａ→吾盾ａ ウ含意の定義
１ （オ） ∀ｙ（吾矛ｙ→～陥ｙａ）→（盾ａ→吾盾ａ） ２エＣＰ
１ （カ）∀ｘ｛∀ｙ（吾矛ｙ→～陥ｙｘ）→（盾ｘ→吾盾ｘ）｝ オＵＩ
（ⅱ）
１ （１）∀ｘ｛∀ｙ（吾矛ｙ→～陥ｙｘ）→（盾ｘ→吾盾ｘ）｝ オＵＩ
１ （２） ∀ｙ（吾矛ｙ→～陥ｙａ）→（盾ａ→吾盾ａ） Ａ
３ （３） ～吾盾ａ＆盾ａ Ａ
４ （４） 盾ａ→吾盾ａ Ａ
３ （５） 盾ａ ３＆Ｅ
３４ （６） 吾盾ａ ４５ＭＰＰ
３ （７） ～吾盾ａ ３＆Ｅ
３４ （８） ～吾盾ａ＆吾盾ａ ６７＆Ｉ
３ （９） ～（盾ａ→吾盾ａ） ４８ＣＰ
１３ （ア） ～∀ｙ（吾矛ｙ→～陥ｙａ） ２９ＲＡＡ
１３ （イ） ∃ｙ～（吾矛ｙ→～陥ｙａ） ア量化子の関係
ウ（ウ） ～（吾矛ｂ→～陥ｂａ） Ａ
ウ（エ） ～（～吾矛ｂ∨～陥ｂａ） ウ含意の定義
ウ（オ） 吾矛ｂ＆ 陥ｂａ エ、ド・モルガンの法則
ウ（カ） ∃ｙ（吾矛ｙ＆ 陥ｙａ） オＥＩ
１３ （キ） ∃ｙ（吾矛ｙ＆ 陥ｙａ） イウカＥＥ
１ （ク） ～吾盾ａ＆盾ａ→∃ｙ（吾矛ｙ＆陥没ｙａ） ３キＣＰ
１ （ケ）∀ｘ｛～吾盾ｘ＆盾ｘ→∃ｙ（吾矛ｙ＆陥没ｙｘ）｝ クＵＩ
従って、
（06）により、
（07）
① ∀ｘ｛～吾盾ｘ＆盾ｘ→ ∃ｙ（吾矛ｙ＆陥没ｙｘ）｝
② ∀ｘ｛∀ｙ（吾矛ｙ→～陥ｙｘ）→（盾ｘ→吾盾ｘ）｝
に於いて、すなはち、
① すべてのｘについて｛ｘが吾が盾ではない盾であるならば、あるｙは（吾が矛であって、ｙはｘを陥す）｝。
② すべてのｘについて｛すべてのｙについて（ｙが吾が矛ならば、ｙがｘを陥さない）ならば（ｘが盾ならば、ｘは吾が盾である）｝。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（07）により、
（08）
① すべてのｘについて｛ｘが吾が盾ではない盾であるならば、あるｙは（吾が矛であって、ｙはｘを陥す）｝。
② すべてのｘについて｛すべてのｙについて（ｙが吾が矛ならば、ｙがｘを陥さない）ならば（ｘが盾ならば、ｘは吾が盾である）｝。
に於いて、すなはち、
① 私の矛は、私の盾以外の、全ての盾を通する。
② 私の矛が貫通しないならば、それが盾ならば、私の盾である。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（09）
一階述語論理は、数学のほぼ全領域を形式化するのに十分な表現力を持っている。実際、現代の標準的な集合論の公理系 ZFC は一階述語論理を用いて形式化されており、数学の大部分はそのように形式化された ZFC の中で行うことができる（ウィキペディア）。
従って、
（07）（09）により、
（10）
① ∀ｘ｛～吾盾ｘ＆盾ｘ→ ∃ｙ（吾矛ｙ＆陥没ｙｘ）｝
② ∀ｘ｛∀ｙ（吾矛ｙ→～陥ｙｘ）→（盾ｘ→吾盾ｘ）｝
といふ「言語（数学語）」は、「数学科の学生」が、「一番得意」であると思はれる。
然るに、
（11）
「（述語論理で書かれている）ε-δ論法」で躓く「数学科の学生」は多い。
とのことなので、だとすると、「ほとんどの数学科の１年生」は、
① ∀ｘ｛～吾盾ｘ＆盾ｘ→ ∃ｙ（吾矛ｙ＆陥没ｙｘ）｝
② ∀ｘ｛∀ｙ（吾矛ｙ→～陥ｙｘ）→（盾ｘ→吾盾ｘ）｝
に於いて、
①＝② を、「理解できない」ものと、思はれる。
令和０５年０１月１５日、毛利太。
［一］ 矛盾（韓非子）
① 楚人有 鬻盾與矛者。
② 譽之曰、吾盾之堅、於物莫能陷也。
③ 又譽其矛曰、吾矛之利、於物無不陷也。
④ 或曰、以子之矛、陷子之盾、何如。
⑤ 其人弗能應也。
（02）
① 楚人有［鬻〔盾與（矛）〕者］。
② 譽（之）曰、吾盾之堅、莫（能陷）也。
③ 又譽（其矛）曰、吾矛之利、於（物）無〔不（陷）〕也。
④ 或曰、以（子之矛）、陷（子之盾）何如。
⑤ 其人弗〔能（應）〕也。
（03）
① 楚人［〔盾（矛）與〕鬻者］有。
②（之） 譽曰、吾盾之堅、（能陷）莫也。
③ 又（其矛）譽曰、吾矛之利、（物）於〔（陷）不〕無也。
④ 或曰、（子之矛）以、（子之盾）陷何如。
⑤ 其人〔（應）能〕弗也。
（04）
① 楚人に［〔盾と（矛）とを〕鬻ぐ者］有り。
②（之） 譽めて曰はく、吾が盾の堅きこと、（能く陷す）莫き也。
③ 又（其の矛を）譽めて曰は、吾が矛の利なること、（物に）於いて〔（陷さ）不り〕無き也。
④ 或曰、（子の矛を）以て、（子の盾を）陷さば何如。
⑤ 其の人〔（應ふる）能は〕弗る也。
（05）
楚の国の人で盾と矛を売る者がいた。この人はこれを誉めて「私の盾は頑丈で、これを貫けるものはない」と言った。また、矛を誉めて「私の矛は鋭くて、物において貫けないものはない」と言った。ある人が「あなたの矛であなたの盾を貫いたらどうなるのですか」といった。商人は答えることができなかった（WIKIBOOKS）。
（06）
（ⅰ）
１ （１）∀ｘ｛～吾盾ｘ＆盾ｘ→∃ｙ（吾矛ｙ＆陥没ｙｘ）｝ Ａ
２（２） ∀ｙ（吾矛ｙ→～陥ｙａ） Ａ
１ （３） ～吾盾ａ＆盾ａ→∃ｙ（吾矛ｙ＆陥没ｙａ） １ＵＥ
２（４） ∀ｙ（吾矛ｙ→～陥ｙａ） Ａ
２（５） 吾矛ｂ→～陥ｂａ ４ＵＥ
２（６） ～吾矛ｂ∨～陥ｂａ ５含意の定義
２（７） ～（吾矛ｂ＆ 陥ｂａ） ６ド・モルガンの法則
２（８） ∀ｙ～（吾矛ｙ＆ 陥ｙａ） ７ＵＩ
２（９） ～∃ｙ（吾矛ｙ＆ 陥ｙａ） ８量化子の関係
１２（ア） ～（～吾盾ａ＆盾ａ） ３９ＭＴＴ
１２（イ） 吾盾ａ∨～盾ａ ア、ド・モルガンの法則
１２（ウ） ～盾ａ∨吾盾ａ イ、交換法則
１２（エ） 盾ａ→吾盾ａ ウ含意の定義
１ （オ） ∀ｙ（吾矛ｙ→～陥ｙａ）→（盾ａ→吾盾ａ） ２エＣＰ
１ （カ）∀ｘ｛∀ｙ（吾矛ｙ→～陥ｙｘ）→（盾ｘ→吾盾ｘ）｝ オＵＩ
（ⅱ）
１ （１）∀ｘ｛∀ｙ（吾矛ｙ→～陥ｙｘ）→（盾ｘ→吾盾ｘ）｝ オＵＩ
１ （２） ∀ｙ（吾矛ｙ→～陥ｙａ）→（盾ａ→吾盾ａ） Ａ
３ （３） ～吾盾ａ＆盾ａ Ａ
４ （４） 盾ａ→吾盾ａ Ａ
３ （５） 盾ａ ３＆Ｅ
３４ （６） 吾盾ａ ４５ＭＰＰ
３ （７） ～吾盾ａ ３＆Ｅ
３４ （８） ～吾盾ａ＆吾盾ａ ６７＆Ｉ
３ （９） ～（盾ａ→吾盾ａ） ４８ＣＰ
１３ （ア） ～∀ｙ（吾矛ｙ→～陥ｙａ） ２９ＲＡＡ
１３ （イ） ∃ｙ～（吾矛ｙ→～陥ｙａ） ア量化子の関係
ウ（ウ） ～（吾矛ｂ→～陥ｂａ） Ａ
ウ（エ） ～（～吾矛ｂ∨～陥ｂａ） ウ含意の定義
ウ（オ） 吾矛ｂ＆ 陥ｂａ エ、ド・モルガンの法則
ウ（カ） ∃ｙ（吾矛ｙ＆ 陥ｙａ） オＥＩ
１３ （キ） ∃ｙ（吾矛ｙ＆ 陥ｙａ） イウカＥＥ
１ （ク） ～吾盾ａ＆盾ａ→∃ｙ（吾矛ｙ＆陥没ｙａ） ３キＣＰ
１ （ケ）∀ｘ｛～吾盾ｘ＆盾ｘ→∃ｙ（吾矛ｙ＆陥没ｙｘ）｝ クＵＩ
従って、
（06）により、
（07）
① ∀ｘ｛～吾盾ｘ＆盾ｘ→ ∃ｙ（吾矛ｙ＆陥没ｙｘ）｝
② ∀ｘ｛∀ｙ（吾矛ｙ→～陥ｙｘ）→（盾ｘ→吾盾ｘ）｝
に於いて、すなはち、
① すべてのｘについて｛ｘが吾が盾ではない盾であるならば、あるｙは（吾が矛であって、ｙはｘを陥す）｝。
② すべてのｘについて｛すべてのｙについて（ｙが吾が矛ならば、ｙがｘを陥さない）ならば（ｘが盾ならば、ｘは吾が盾である）｝。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（07）により、
（08）
① すべてのｘについて｛ｘが吾が盾ではない盾であるならば、あるｙは（吾が矛であって、ｙはｘを陥す）｝。
② すべてのｘについて｛すべてのｙについて（ｙが吾が矛ならば、ｙがｘを陥さない）ならば（ｘが盾ならば、ｘは吾が盾である）｝。
に於いて、すなはち、
① 私の矛は、私の盾以外の、全ての盾を通する。
② 私の矛が貫通しないならば、それが盾ならば、私の盾である。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（09）
一階述語論理は、数学のほぼ全領域を形式化するのに十分な表現力を持っている。実際、現代の標準的な集合論の公理系 ZFC は一階述語論理を用いて形式化されており、数学の大部分はそのように形式化された ZFC の中で行うことができる（ウィキペディア）。
従って、
（07）（09）により、
（10）
① ∀ｘ｛～吾盾ｘ＆盾ｘ→ ∃ｙ（吾矛ｙ＆陥没ｙｘ）｝
② ∀ｘ｛∀ｙ（吾矛ｙ→～陥ｙｘ）→（盾ｘ→吾盾ｘ）｝
といふ「言語（数学語）」は、「数学科の学生」が、「一番得意」であると思はれる。
然るに、
（11）
「（述語論理で書かれている）ε-δ論法」で躓く「数学科の学生」は多い。
とのことなので、だとすると、「ほとんどの数学科の１年生」は、
① ∀ｘ｛～吾盾ｘ＆盾ｘ→ ∃ｙ（吾矛ｙ＆陥没ｙｘ）｝
② ∀ｘ｛∀ｙ（吾矛ｙ→～陥ｙｘ）→（盾ｘ→吾盾ｘ）｝
に於いて、
①＝② を、「理解できない」ものと、思はれる。
令和０５年０１月１５日、毛利太。
「ド・モルガンの法則」は「無限に続く」。
（01）
（ⅰ）
１ （１） －ａ・－ｂ Ａ
２ （２） ａ∨ ｂ Ａ
１ （３） －ａ １・Ｅ
３ （４） ａ Ａ
１ ３ （５） －ａ・ａ ３４・Ｉ
３ （６）－（－ａ・－ｂ） １５ＲＡＡ
１ （７） －ｂ １・Ｅ
８（８） ｂ Ａ
１ ８（９） －ｂ・ｂ ７８・Ｉ
８（ア）－（－ａ・－ｂ） １９ＲＡＡ
２ （イ）－（－ａ・－ｂ） ２３６８ア∨Ｅ
１２ （ウ）－（－ａ・－ｂ）・
（－ａ・－ｂ） １イ・Ｉ
１ （エ） －（ａ∨ ｂ） ２ウＲＡＡ
（ⅱ）
１ （１） －（ａ∨ ｂ） Ａ
２ （２） －（－ａ・－ｂ） Ａ
３ （３） ａ Ａ
３ （４） ａ∨ ｂ ３∨Ｉ
１ ３ （５） －（ａ∨ ｂ）・
（ａ∨ ｂ） １４・Ｉ
１ （６） －ａ ３５ＲＡＡ
７（７） ｂ Ａ
７（８） ａ∨ ｂ ３∨Ｉ
１ ７（９） －（ａ∨ ｂ）・
（ａ∨ ｂ） １８・Ｉ
１ （ア） －ｂ ７９ＲＡＡ
１ （イ） －ａ・－ｂ ６ア・Ｉ
１２ （ウ） －（－ａ・－ｂ）・
（－ａ・－ｂ） ２イ・Ｉ
１ （エ）－－（－ａ・－ｂ） ２ウＲＡＡ
１ （オ） －ａ・－ｂ エＤＮ
従って、
（01）により、 （02）
① －ａ・－ｂ
② －（ａ∨ ｂ）
に於いて、
①＝② は「ド・モルガンの法則」である。
然るに、
（03）
第１５図で、橋Ａが上がって船が通過できるような状態をａで、橋Ａが閉じて汽車が通過できるような状態にあるときを－ａで現し、橋Ｂについてもそれぞれ同じようにｂと－ｂと定める。船が湾を出て行くことができる可能性はＡかＢのどちらかが上がっていればいいのだから、
ａ∨ ｂ ・・・・・船が通れる場合
で表せる。また汽車が島をとおって向こう岸に行ける可能性はＡもＢも共に閉じているときだけであるから、
－ａ・－ｂ ・・・・・汽車が通れる場合
である。ところが船が通れる場合には汽車は通れないし、汽車が通れる場合には船は通れない。両方は矛盾し合う。故に一方の否定が他と等意になるから
－（ａ∨ｂ）≡－ａ・－ｂ
という式が成り立つ（沢田允茂、現代論理学入門、1962年、２０６頁）。
然るに、
（03）により、
（04）
この場合、
橋の数＝ ２本
橋の数＝ ３０本
橋の数＝ ４００本
橋の数＝５０００本
であっても、「同じこと」である。
然るに、
（05）
① －ａ・－ｂ
② －（ａ∨ ｂ）
に於いて、
ｂ＝（ｂ∨ｃ）
といふ「代入」を行ふと、
① －ａ・－（ｂ∨ｃ）
② －（ａ∨ （ｂ∨ｃ））
然るに、
（02）により、
（06）
① －（ｂ∨ｃ）≡－ｂ・－ｃ
従って、
（05）（06）により、
（07）
① －ａ・－ｂ・－ｃ）
② －（ａ∨ （ｂ∨ｃ））
に於いて、
①＝② である。
従って、
（07）により、
（08）
① －ａ・－ｂ・－ｃ
② －（ａ∨ ｂ∨ ｃ）
に於いて、
①＝② である。
従って、
（03）（04）（08）により、
（09）
「ド・モルガンの法則」は、「項の数」が「無限」であっても、「成立」する。
令和５年０１月１５日、毛利太。
（ⅰ）
１ （１） －ａ・－ｂ Ａ
２ （２） ａ∨ ｂ Ａ
１ （３） －ａ １・Ｅ
３ （４） ａ Ａ
１ ３ （５） －ａ・ａ ３４・Ｉ
３ （６）－（－ａ・－ｂ） １５ＲＡＡ
１ （７） －ｂ １・Ｅ
８（８） ｂ Ａ
１ ８（９） －ｂ・ｂ ７８・Ｉ
８（ア）－（－ａ・－ｂ） １９ＲＡＡ
２ （イ）－（－ａ・－ｂ） ２３６８ア∨Ｅ
１２ （ウ）－（－ａ・－ｂ）・
（－ａ・－ｂ） １イ・Ｉ
１ （エ） －（ａ∨ ｂ） ２ウＲＡＡ
（ⅱ）
１ （１） －（ａ∨ ｂ） Ａ
２ （２） －（－ａ・－ｂ） Ａ
３ （３） ａ Ａ
３ （４） ａ∨ ｂ ３∨Ｉ
１ ３ （５） －（ａ∨ ｂ）・
（ａ∨ ｂ） １４・Ｉ
１ （６） －ａ ３５ＲＡＡ
７（７） ｂ Ａ
７（８） ａ∨ ｂ ３∨Ｉ
１ ７（９） －（ａ∨ ｂ）・
（ａ∨ ｂ） １８・Ｉ
１ （ア） －ｂ ７９ＲＡＡ
１ （イ） －ａ・－ｂ ６ア・Ｉ
１２ （ウ） －（－ａ・－ｂ）・
（－ａ・－ｂ） ２イ・Ｉ
１ （エ）－－（－ａ・－ｂ） ２ウＲＡＡ
１ （オ） －ａ・－ｂ エＤＮ
従って、
（01）により、 （02）
① －ａ・－ｂ
② －（ａ∨ ｂ）
に於いて、
①＝② は「ド・モルガンの法則」である。
然るに、
（03）
第１５図で、橋Ａが上がって船が通過できるような状態をａで、橋Ａが閉じて汽車が通過できるような状態にあるときを－ａで現し、橋Ｂについてもそれぞれ同じようにｂと－ｂと定める。船が湾を出て行くことができる可能性はＡかＢのどちらかが上がっていればいいのだから、
ａ∨ ｂ ・・・・・船が通れる場合
で表せる。また汽車が島をとおって向こう岸に行ける可能性はＡもＢも共に閉じているときだけであるから、
－ａ・－ｂ ・・・・・汽車が通れる場合
である。ところが船が通れる場合には汽車は通れないし、汽車が通れる場合には船は通れない。両方は矛盾し合う。故に一方の否定が他と等意になるから
－（ａ∨ｂ）≡－ａ・－ｂ
という式が成り立つ（沢田允茂、現代論理学入門、1962年、２０６頁）。
然るに、
（03）により、
（04）
この場合、
橋の数＝ ２本
橋の数＝ ３０本
橋の数＝ ４００本
橋の数＝５０００本
であっても、「同じこと」である。
然るに、
（05）
① －ａ・－ｂ
② －（ａ∨ ｂ）
に於いて、
ｂ＝（ｂ∨ｃ）
といふ「代入」を行ふと、
① －ａ・－（ｂ∨ｃ）
② －（ａ∨ （ｂ∨ｃ））
然るに、
（02）により、
（06）
① －（ｂ∨ｃ）≡－ｂ・－ｃ
従って、
（05）（06）により、
（07）
① －ａ・－ｂ・－ｃ）
② －（ａ∨ （ｂ∨ｃ））
に於いて、
①＝② である。
従って、
（07）により、
（08）
① －ａ・－ｂ・－ｃ
② －（ａ∨ ｂ∨ ｃ）
に於いて、
①＝② である。
従って、
（03）（04）（08）により、
（09）
「ド・モルガンの法則」は、「項の数」が「無限」であっても、「成立」する。
令和５年０１月１５日、毛利太。
2023年1月14日土曜日
「ド・モルガンの法則」と「述語論理」。
―「医療過誤」に関する「レポート（医学博士・弁護士に読んでもらう）」を、「６４０グラム」程書いてゐたため、久しぶりの「ブログ」です。―
（01）
（ⅰ）
１ （１） ～Ｐ＆～Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ∨ Ｑ Ａ
１ （３） ～Ｐ １＆Ｅ
３ （４） Ｐ Ａ
１ ３ （５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（～Ｐ＆～Ｑ） １５ＲＡＡ
１ （７） ～Ｑ １＆Ｅ
８（８） Ｑ Ａ
１ ８（９） ～Ｑ＆Ｑ ７８＆Ｉ
８（ア）～（～Ｐ＆～Ｑ） １９ＲＡＡ
２ （イ）～（～Ｐ＆～Ｑ） ２３６８ア∨Ｅ
１２ （ウ）～（～Ｐ＆～Ｑ）＆
（～Ｐ＆～Ｑ） １イ＆Ｉ
１ （エ） ～（Ｐ∨ Ｑ） ２ウＲＡＡ
（ⅱ）
１ （１） ～（Ｐ∨ Ｑ） Ａ
２ （２） ～（～Ｐ＆～Ｑ） Ａ
３ （３） Ｐ Ａ
３ （４） Ｐ∨ Ｑ ３∨Ｉ
１ ３ （５） ～（Ｐ∨ Ｑ）＆
（Ｐ∨ Ｑ） １４＆Ｉ
１ （６） ～Ｐ ３５ＲＡＡ
７（７） Ｑ Ａ
７（８） Ｐ∨ Ｑ ３∨Ｉ
１ ７（９） ～（Ｐ∨ Ｑ）＆
（Ｐ∨ Ｑ） １８＆Ｉ
１ （ア） ～Ｑ ７９ＲＡＡ
１ （イ） ～Ｐ＆～Ｑ ６ア＆Ｉ
１２ （ウ） ～（～Ｐ＆～Ｑ）＆
（～Ｐ＆～Ｑ） ２イ＆Ｉ
１ （エ）～～（～Ｐ＆～Ｑ） ２ウＲＡＡ
１ （オ） ～Ｐ＆～Ｑ エＤＮ
従って、
（01）により、
（02）
① ～Ｐ＆～Ｑ
② ～（Ｐ∨ Ｑ）
に於いて、
①＝② は「ド・モルガンの法則」である。
然るに、
（03）
① ～Ｐ＆～Ｑ
② ～（Ｐ∨ Ｑ）
に於いて、
Ｑ＝Ｑ∨Ｒ
といふ「代入」を行ふと、
① ～Ｐ＆～（Ｑ∨Ｒ）
② ～（Ｐ∨ （Ｑ∨Ｒ））
に於いて、
①＝② は「ド・モルガンの法則」である。
従って、
（02）（03）により、
（04）
「ド・モルガンの法則」と「結合法則」により、
① ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ
② ～（Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ）
に於いて、
①＝② は「ド・モルガンの法則」である。
然るに、
（05）
（ⅰ）
１ （１） ∀ｘ（象ｘ→～兎ｘ） Ａ
１ （２） 象ａ→～兎ａ １ＵＥ
３（３） 象ａ＆ 兎ａ Ａ
３（４） 象ａ ３＆Ｅ
１３（５） ～兎ａ ２４ＭＰＰ
１３（６） 兎ａ ３＆Ｅ
１３（７） ～兎ａ＆兎ａ ５６＆Ｉ
１ （８） ～（象ａ＆ 兎ａ） ３７ＲＡＡ
１ （９）∀ｘ～（象ｘ＆ 兎ｘ） ８ＵＩ
（ⅱ）
１ （１）∀ｘ～（象ｘ＆ 兎ｘ） Ａ
１ （２） ～（象ａ＆ 兎ａ） １ＵＥ
３ （３） 象ａ Ａ
４（４） 兎ａ Ａ
３４（５） 象ａ＆ 兎ａ ３４＆Ｉ
１３４（６） ～（象ａ＆ 兎ａ）＆
（象ａ＆ 兎ａ） ２５＆Ｉ
１３ （７） ～兎ａ ４６ＲＡＡ
１ （８） 象ａ→～兎ａ ３７ＣＰ
１ （９） ∀ｘ（象ｘ→～兎ｘ） ８ＵＩ
従って、
（05）により、
（06）
① ∀ｘ（象ｘ→～兎ｘ）
② ∀ｘ～（象ｘ＆兎ｘ）
に於いて、すなはち、
① すべてのｘについて（ｘが象であるならば、ｘは兎ではない）。
② すべてのｘについて（ｘが象であって、ｘが兎である）といふことはない。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（07）
｛個体の変域｝＝｛ａ、ｂ、ｃ｝ であるとして、
② ∀ｘ～（象ｘ＆兎ｘ）
③ ～（象ａ＆兎ａ）＆～（象ｂ＆兎ｂ）＆～（象ｃ＆兎ｃ）
に於いて、
②＝③ である。
然るに、
（04）（07）により、
（08）
③ ～（象ａ＆兎ａ）＆～（象ｂ＆兎ｂ）＆～（象ｃ＆兎ｃ）
④ ～｛（象ａ＆兎ａ）∨ （象ｂ＆兎ｂ）∨ （象ｃ＆兎ｃ）｝
に於いて、すなはち、
③ （ａといふ象が兎であることはない）し、（ｂといふ象が兎であることもない）し、（ｃという象が兎であることもない）。
④｛（ａといふ象が兎である）か、または、 （ｂといふ象が兎である）か、または、 （ｃといふ象が兎である）｝といふことはない。
に於いて、
③＝④ は「ド・モルガンの法則」である。
然るに、
（09）
｛個体の変域｝＝｛ａ、ｂ、ｃ｝ であるとして、
③ （ａといふ象が兎であることはない）し、（ｂといふ象が兎であることもない）し、（ｃという象が兎であることもない）。
④｛（ａといふ象が兎である）か、または、 （ｂといふ象が兎である）か、または、 （ｃといふ象が兎である）｝といふことはない。
といふことは、
③ 全ての象は、兎ではない。
④ 兎である象は存在しない。
といふ、ことであって、
④ 兎である象は存在しない。
といふ「日本語」は、
④ ～∃ｘ（象ｘ＆兎ｘ）
といふ「述語論理式」に「相当」する。
従って、
（06）～（09）により、
（10）
① ∀ｘ（象ｘ→～兎ｘ）＝全ての象は、兎ではない。
② ～∃ｘ（象ｘ＆兎ｘ）＝象である兎は存在しない。
に於いて、
①＝② は「ド・モルガンの法則」である。
従って、
（10）により、
（11）
「対偶」と「交換法則」により、
① ∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ）＝全ての兎は、象ではない。
② ～∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ）＝兎である象は存在しない。
に於いても、
①＝② は「ド・モルガンの法則」である。
令和０５年０１月１４日、毛利太。
（01）
（ⅰ）
１ （１） ～Ｐ＆～Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ∨ Ｑ Ａ
１ （３） ～Ｐ １＆Ｅ
３ （４） Ｐ Ａ
１ ３ （５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（～Ｐ＆～Ｑ） １５ＲＡＡ
１ （７） ～Ｑ １＆Ｅ
８（８） Ｑ Ａ
１ ８（９） ～Ｑ＆Ｑ ７８＆Ｉ
８（ア）～（～Ｐ＆～Ｑ） １９ＲＡＡ
２ （イ）～（～Ｐ＆～Ｑ） ２３６８ア∨Ｅ
１２ （ウ）～（～Ｐ＆～Ｑ）＆
（～Ｐ＆～Ｑ） １イ＆Ｉ
１ （エ） ～（Ｐ∨ Ｑ） ２ウＲＡＡ
（ⅱ）
１ （１） ～（Ｐ∨ Ｑ） Ａ
２ （２） ～（～Ｐ＆～Ｑ） Ａ
３ （３） Ｐ Ａ
３ （４） Ｐ∨ Ｑ ３∨Ｉ
１ ３ （５） ～（Ｐ∨ Ｑ）＆
（Ｐ∨ Ｑ） １４＆Ｉ
１ （６） ～Ｐ ３５ＲＡＡ
７（７） Ｑ Ａ
７（８） Ｐ∨ Ｑ ３∨Ｉ
１ ７（９） ～（Ｐ∨ Ｑ）＆
（Ｐ∨ Ｑ） １８＆Ｉ
１ （ア） ～Ｑ ７９ＲＡＡ
１ （イ） ～Ｐ＆～Ｑ ６ア＆Ｉ
１２ （ウ） ～（～Ｐ＆～Ｑ）＆
（～Ｐ＆～Ｑ） ２イ＆Ｉ
１ （エ）～～（～Ｐ＆～Ｑ） ２ウＲＡＡ
１ （オ） ～Ｐ＆～Ｑ エＤＮ
従って、
（01）により、
（02）
① ～Ｐ＆～Ｑ
② ～（Ｐ∨ Ｑ）
に於いて、
①＝② は「ド・モルガンの法則」である。
然るに、
（03）
① ～Ｐ＆～Ｑ
② ～（Ｐ∨ Ｑ）
に於いて、
Ｑ＝Ｑ∨Ｒ
といふ「代入」を行ふと、
① ～Ｐ＆～（Ｑ∨Ｒ）
② ～（Ｐ∨ （Ｑ∨Ｒ））
に於いて、
①＝② は「ド・モルガンの法則」である。
従って、
（02）（03）により、
（04）
「ド・モルガンの法則」と「結合法則」により、
① ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ
② ～（Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ）
に於いて、
①＝② は「ド・モルガンの法則」である。
然るに、
（05）
（ⅰ）
１ （１） ∀ｘ（象ｘ→～兎ｘ） Ａ
１ （２） 象ａ→～兎ａ １ＵＥ
３（３） 象ａ＆ 兎ａ Ａ
３（４） 象ａ ３＆Ｅ
１３（５） ～兎ａ ２４ＭＰＰ
１３（６） 兎ａ ３＆Ｅ
１３（７） ～兎ａ＆兎ａ ５６＆Ｉ
１ （８） ～（象ａ＆ 兎ａ） ３７ＲＡＡ
１ （９）∀ｘ～（象ｘ＆ 兎ｘ） ８ＵＩ
（ⅱ）
１ （１）∀ｘ～（象ｘ＆ 兎ｘ） Ａ
１ （２） ～（象ａ＆ 兎ａ） １ＵＥ
３ （３） 象ａ Ａ
４（４） 兎ａ Ａ
３４（５） 象ａ＆ 兎ａ ３４＆Ｉ
１３４（６） ～（象ａ＆ 兎ａ）＆
（象ａ＆ 兎ａ） ２５＆Ｉ
１３ （７） ～兎ａ ４６ＲＡＡ
１ （８） 象ａ→～兎ａ ３７ＣＰ
１ （９） ∀ｘ（象ｘ→～兎ｘ） ８ＵＩ
従って、
（05）により、
（06）
① ∀ｘ（象ｘ→～兎ｘ）
② ∀ｘ～（象ｘ＆兎ｘ）
に於いて、すなはち、
① すべてのｘについて（ｘが象であるならば、ｘは兎ではない）。
② すべてのｘについて（ｘが象であって、ｘが兎である）といふことはない。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（07）
｛個体の変域｝＝｛ａ、ｂ、ｃ｝ であるとして、
② ∀ｘ～（象ｘ＆兎ｘ）
③ ～（象ａ＆兎ａ）＆～（象ｂ＆兎ｂ）＆～（象ｃ＆兎ｃ）
に於いて、
②＝③ である。
然るに、
（04）（07）により、
（08）
③ ～（象ａ＆兎ａ）＆～（象ｂ＆兎ｂ）＆～（象ｃ＆兎ｃ）
④ ～｛（象ａ＆兎ａ）∨ （象ｂ＆兎ｂ）∨ （象ｃ＆兎ｃ）｝
に於いて、すなはち、
③ （ａといふ象が兎であることはない）し、（ｂといふ象が兎であることもない）し、（ｃという象が兎であることもない）。
④｛（ａといふ象が兎である）か、または、 （ｂといふ象が兎である）か、または、 （ｃといふ象が兎である）｝といふことはない。
に於いて、
③＝④ は「ド・モルガンの法則」である。
然るに、
（09）
｛個体の変域｝＝｛ａ、ｂ、ｃ｝ であるとして、
③ （ａといふ象が兎であることはない）し、（ｂといふ象が兎であることもない）し、（ｃという象が兎であることもない）。
④｛（ａといふ象が兎である）か、または、 （ｂといふ象が兎である）か、または、 （ｃといふ象が兎である）｝といふことはない。
といふことは、
③ 全ての象は、兎ではない。
④ 兎である象は存在しない。
といふ、ことであって、
④ 兎である象は存在しない。
といふ「日本語」は、
④ ～∃ｘ（象ｘ＆兎ｘ）
といふ「述語論理式」に「相当」する。
従って、
（06）～（09）により、
（10）
① ∀ｘ（象ｘ→～兎ｘ）＝全ての象は、兎ではない。
② ～∃ｘ（象ｘ＆兎ｘ）＝象である兎は存在しない。
に於いて、
①＝② は「ド・モルガンの法則」である。
従って、
（10）により、
（11）
「対偶」と「交換法則」により、
① ∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ）＝全ての兎は、象ではない。
② ～∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ）＝兎である象は存在しない。
に於いても、
①＝② は「ド・モルガンの法則」である。
令和０５年０１月１４日、毛利太。
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