ド・モルガンの「馬の頭（の述語論理）」。

（01）
ド・モルガンが、明らかに健全であるにもかかわらず、伝統的論理学のわくぐみのなかでは取り扱うことができなかった論証として挙げた、有名なま簡単な論証がある。
There is a famouse and simple arugument,cited by de Morgan as an example of a kind of reasoning which,through patently sound,could not be handled within the framework of traditional logic.

（１）すべての馬は動物である。故にすべての馬の頭は動物の頭である。
（〃）All horses are animals; therefore all horses' heads are animals'head.
（２）馬の頭であるすべてのモノは動物の頭である。
（〃）Anything that is a head of a horse is a head of an animal.

あるモノが馬の頭であるためには、それ（あるモノ）がその馬の頭であるような馬が存在しなければならない。
For something to be a head of a horse there must be some horse of which it is the head；

記号で書くと、ａは、∃ｙ（Ｆｙ＆Ｈａｙ）であるときまたそのときに限って馬の頭である。
in symboles, a is a head of a head of a horse if and only if ∃ｙ（Ｆｙ＆Ｈａｙ）

１２３　∀ｘ（馬ｘ→動ｘ）├ ∀ｘ｛∃ｙ（馬ｙ＆頭ｘｙ）→∃ｙ（動ｙ＆頭ｘｙ）｝
１　　（１）　　　∀ｘ（馬ｘ→動ｘ）　　 　　　　　　　　　　　　Ａ
　２　（２）　　　∃ｙ（馬ｙ＆頭ａｙ）　 　　　　　　　　　　　　Ａ
　　３（３）　　　　　　馬ｂ＆頭ａｂ　　　　　　　　　　　　　 　Ａ
　　３（４）　　　　　　馬ｂ　　　　　　 　　　　　　　　　　　　３＆Ｅ
　　３（５）　　　　　　　　　頭ａｂ　　 　　　　　　　　　　　　３＆Ｅ
１　　（６）　　　　　　馬ｂ→動ｂ　　　 　　　　　　　　　　　　１ＵＥ
１　３（７）　　　　　　　　　動ｂ　　　　　　　　　　　　　　　 ４６ＭＰＰ
１　３（８）　　　　　　動ｂ＆頭ａｂ　　 　　　　　　　　　　　　５７＆Ｉ
１　３（９）　　　∃ｙ（動ｙ＆頭ａｙ）　 　　　　　　　　　　　　８ＥＩ
１２　（ア）　　　∃ｙ（動ｙ＆頭ａｙ）　 　　　　　　　　　　　　２３９ＥＥ
１　　（イ）　　　∃ｙ（馬ｙ＆頭ａｙ）→∃ｙ（動ｙ＆頭ａｙ）　　 ２アＣＰ
１　　（ウ）∀ｘ｛∃ｙ（馬ｙ＆頭ｘｙ）→∃ｙ（動ｙ＆頭ｘｙ）｝ 　イＵＩ
（E.J.レモン、論理学初歩、竹尾治一郎・竹尾楢英 訳、1973年、１６７頁を参照）
然るに、
（02）
（ⅰ）すべての馬は動物である。故に、
（ⅱ）すべての馬の頭は動物の頭である。
の場合は「３段論法」ではなく、「２段論法」であるが、それでゐて、
１　　（１）　　　∀ｘ（馬ｘ→動ｘ）　　 　　　　　　　　　　　　Ａ
　２　（２）　　　∃ｙ（馬ｙ＆頭ａｙ）　 　　　　　　　　　　　　Ａ
の「時点」では、「前提」が「２個」であるため、中途半端に、「３段論法」である。
然るに、
（03）
□□□　∀ｘ（馬ｘ→動ｘ），∀ｘ（動ｘ→∃ｙ（頭ｘｙ）｝├ ∀ｘ｛馬ｘ→∃ｙ（動ｘ＆頭ｘｙ）｝
１　 （１）　　　∀ｘ（馬ｘ→動ｘ）　　　　　　Ａ
　２　　（２）　　　∀ｘ（動ｘ→∃ｙ（頭ｘｙ）｝　Ａ
１　　　（３）　　　　　　馬ａ→動ａ　　　　　　　１ＵＥ
　２ （４）　　　　　　動ａ→∃ｙ（頭ａｙ）　　２ＵＥ
　　５　（５）　　　　　　馬ａ　　　　　　　　　　Ａ
　２５　（６）　　　　　　　　　動ａ　　　　　　　３５ＭＰＰ
１２５　（７）　　　　　　　　　∃ｙ（頭ａｙ）　　４６ＭＰＰ
　　　８（８）　　　　　　　　　　　　頭ａｂ　　　Ａ
１２５８（９）　　　　　　　　　動ａ＆頭ａｂ　　　６８＆Ｉ
１２５８（ア）　　　　　　∃ｙ（動ａ＆頭ａｙ）　　９ＥＩ
１２５　（イ）　　　　　　∃ｙ（動ａ＆頭ａｙ）　　７８アＥＥ
１２　　（ウ）　　　馬ａ→∃ｙ（動ａ＆頭ａｙ）　　５イＣＰ
１２　　（エ）∀ｘ｛馬ｘ→∃ｙ（動ｘ＆頭ｘｙ）｝　ウＵＩ
従って、
（02）により、
（03）
（ⅰ）∀ｘ（馬ｘ→動ｘ）
（ⅱ）∀ｘ｛動ｘ→∃ｙ（頭ｘｙ）｝
（ⅲ）∀ｘ｛馬ｘ→∃ｙ（動ｘ＆頭ｘｙ）｝
といふ「３段論法」、すなはち、
（ⅰ）すべてのｘについて（ｘが馬ならば、ｘは動物である）。
（ⅱ）すべてのｘについて｛ｘが動物であるならば、あるｙは（ｘの頭である）｝。
（ⅲ）すべてのｘについて｛ｘが馬ならば、あるｙは（動物である所のｘの頭である）｝。
といふ「３段論法」、すなはち、
（ⅰ）馬は動物である。　然るに、
（ⅱ）動物には頭が有る。故に、
（ⅲ）馬には動物の頭が有る。
といふ「３段論法」は、「妥当」である。
然るに、
（04）
（ⅱ）すべての馬の頭は動物の頭である。
といふことは、
（ⅲ）すべての馬には動物の頭が有る。
といふことに、他ならないし、
１２３　∀ｘ（馬ｘ→動ｘ）├ ∀ｘ｛∃ｙ（馬ｙ＆頭ｘｙ）→∃ｙ（動ｙ＆頭ｘｙ）｝
といふ「連式」よりも、
□□□　∀ｘ（馬ｘ→動ｘ），∀ｘ（動ｘ→∃ｙ（頭ｘｙ）｝├ ∀ｘ｛馬ｘ→∃ｙ（動ｘ＆頭ｘｙ）｝
といふ「連式」の方が、「分かり易い」。
令和０５年０１月１７日、毛利太。