「命題論理」としての「述語論理」。

（01）
（ⅰ）
１　　　　　（１）　　Ｐ＆　　Ｑ＆　Ｒ　　　Ａ
　２　　　　（２）　～Ｐ∨　～Ｑ∨～Ｒ　　　Ａ
　２　　　　（３）　～Ｐ∨（～Ｑ∨～Ｒ）　　２結合法則
　　４　　　（４）　～Ｐ　　　　　　　　　　Ａ
１　　　　　（５）　　Ｐ　　　　　　　　　　１＆Ｅ
１　４　　　（６）　～Ｐ＆Ｐ　　　　　　　　４５＆Ｉ
　　４　　　（７）～（　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ）　　１６ＲＡＡ
　　　８　　（８）　　　　（～Ｑ∨～Ｒ）　　Ａ
　　　　９　（９）　　　　　～Ｑ　　　　　　Ａ
１　　　　　（ア）　　　　　　Ｑ　　　　　　１＆Ｅ
１　　　９　（イ）　　　　　～Ｑ＆Ｑ　　　　９ア＆Ｉ
　　　　９　（ウ）～（　Ｐ＆　Ｑ　＆Ｒ）　　１９ＲＡＡ
　　　　　エ（エ）　　　　　　　　～Ｒ　　　Ａ
１　　　　　（オ）　　　　　　　　　Ｒ　　　１＆Ｅ
１　　　　エ（カ）　　　　　　～Ｒ＆Ｒ　　　エオ＆Ｉ
　　　　　エ（キ）～（　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ）　　１カＲＡＡ
　　　８　　（ク）～（　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ）　　８９ウエキ∨Ｅ
　２　　　　（ケ）～（　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ）　　３４７８ク∨Ｅ
１２　　　　（コ）　（　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ）＆
　　　　　　　　　～（　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ）　　１ケ＆Ｉ
１　　　　　（サ）～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）　　２コＲＡＡ
（ⅱ）
１　　　　（１）　～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）　　Ａ
　　２　　（２）　　　～Ｐ　　　　　　　　　Ａ
　　２　　（３）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　　　　２∨Ｉ
　　２　　（４）　　　～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ　　　３∨Ｉ
１　２　　（５）　～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）＆
　　　　　　　　　　（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）　　１４＆Ｉ
１　　　　（６）　　～～Ｐ　　　　　　　　　２５ＲＡＡ
１　　　　（７）　　　　Ｐ　　　　　　　　　６ＤＮ
　　　８　（８）　　　　　　～Ｑ　　　　　　Ａ
　　　８　（９）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　　　　７∨Ｉ
　　　８　（ア）　　　～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ　　　８∨Ｉ
１　　８　（イ）　～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）＆
　　　　　　　　　　（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）　　１ア＆Ｉ
１　　　　（ウ）　　　　　～～Ｑ　　　　　　８ＲＡＡ
１　　　　（エ）　　　　　　　Ｑ　　　　　　ウＤＮ
　　　　オ（オ）　　　　　　　　　～Ｒ　　　Ａ
　　　　オ（カ）　　　　　　～Ｑ∨～Ｒ　　　オ∨Ｉ
　　　　オ（キ）　　　～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ　　　カ∨Ｉ
１　　　オ（ク）　～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）＆
　　　　　　　　　　（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）　　１オ＆Ｉ
１　　　　（ケ）　　　　　　　　～～Ｒ　　　オケＲＡＡ
１　　　　（コ）　　　　　　　　　　Ｒ　　　ケＤＮ
１　　　　（サ）　　　　Ｐ＆　Ｑ　　　　　　７エ＆Ｉ
１　　　　（シ）　　　　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ　　　コサ＆Ｉ
従って、
（01）により、
（02）
① 　　　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ　
② ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）
に於いて、
①＝② である（ド・モルガンの法則）。
従って、
（02）により、
（03）
① 　　　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ　
② ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）
に於いて、
Ｐ＝（象ａ→動ａ）
Ｑ＝（象ｂ→動ｂ）
Ｒ＝（象ｃ→動ｃ）
といふ「代入」を行ふと、
① 　　　（象ａ→動ａ）＆　（象ｂ→動ｂ）＆　（象ｃ→動ｃ）　
② ～（～（象ａ→動ａ）∨～（象ｂ→動ｂ）∨～（象ｃ→動ｃ））
に於いて、
①＝② である（ド・モルガンの法則）。
然るに、
（04）
（ⅰ）
１　（１）　　象ａ→　動ａ　　Ａ
　２（２）　　象ａ＆～動ａ　　Ａ
　２（３）　　象ａ　　　　　　２＆Ｅ
１２（４）　　　　　　動ａ　　１３ＭＰＰ
　２（５）　　　　　～動ａ　　２＆Ｅ
１２（６）　　動ａ＆～動ａ　　４５＆Ｉ
１　（７）～（象ａ＆～動ａ）　２６ＲＡＡ
（ⅱ）
１　　（１）～（象ａ＆～動ａ）　　Ａ
　２　（２）　　象ａ　　　　　　　Ａ
　　３（３）　　　　　～動ａ　　　Ａ
　２３（４）　　象ａ＆～動ａ　　　２３＆Ｉ
１２３（５）～（象ａ＆～動ａ）＆
　　　　　　　（象ａ＆～動ａ）　　１４＆Ｉ
１２　（６）　　　　～～動ａ　　　３５ＲＡＡ
１２　（７）　　　　　　動ａ　　　６ＤＮ
１　　（８）　　象ａ→　動ａ　　　２７ＣＰ
従って、
（04）により、
（05）
① 　　象ａ→　動ａ
② ～（象ａ＆～動ａ）
に於いて、
①＝② である。
従って、
（03）（05）により、
（06）
① 　　　　　（象ａ→　動ａ）　＆　　　（象ｂ→　動ｂ）　＆　　　（象ｃ→　動ｃ）　
② ～（～（～（象ａ＆～動ａ））∨～（～（象ｂ＆～動ｂ））∨～（～（象ｃ＆～動ｃ）））
に於いて、
①＝② である。
従って、
（06）により、
（07）
「二重否定律」により、
① 　　（象ａ→　動ａ）＆（象ｂ→　動ｂ）＆（象ｃ→　動ｃ）
② ～（（象ａ＆～動ａ）∨（象ｂ＆～動ｂ）∨（象ｃ＆～動ｃ））
に於いて、すなはち、
①　（ａが象ならば、ａは動物であり）、その上（ｂが象ならば、ｂは動物であり）、その上（ｂが象ならば、ｂは動物である）。
②（（ａが象であって動物ではないか）、または（ｂが象であって動物ではないか）、または（ｂが象であって動物ではないか））といふことはない。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（08）
｛個体の変域｝＝｛ａ、ｂ、ｃ｝
であるとして、
①　（ａが象ならば、ａは動物であり）、その上（ｂが象ならば、ｂは動物であり）、その上（ｂが象ならば、ｂは動物である）。
②（（ａが象であって動物ではないか）、または（ｂが象であって動物ではないか）、または（ｂが象であって動物ではないか））といふことはない。
といふことは、
① すべての象は動物である。
② 動物でない象はゐない。
といふことである。
然るに、
（09）
① すべての象は動物である。
② 動物でない象はゐない。
といふ「日本語」は、
①　 ∀ｘ（象ｘ→　動ｘ）
② ～∃ｘ（象ｘ＆～動ｘ）
といふ「述語論理式」に「相当」する。
従って、
（01）～（09）により、 （10）
｛個体の変域｝＝｛ａ、ｂ、ｃ｝
であるとして、
①　 ∀ｘ（象ｘ→　動ｘ）
② ～∃ｘ（象ｘ＆～動ｘ）
といふ「述語論理式」は、それぞれ、
① 　　（象ａ→　動ａ）＆（象ｂ→　動ｂ）＆（象ｃ→　動ｃ）
② ～（（象ａ＆～動ａ）∨（象ｂ＆～動ｂ）∨（象ｃ＆～動ｃ））
といふ「論理式」に、「等しく」、尚且つ、
①＝② である。
然るに、
（11）
① 　　（象ａ→　動ａ）＆（象ｂ→　動ｂ）＆（象ｃ→　動ｃ）
② ～（（象ａ＆～動ａ）∨（象ｂ＆～動ｂ）∨（象ｃ＆～動ｃ））
に於いて、
Ｐ＝象ａ（ａは　象である）。
Ｑ＝動ａ（ａは動物である）。
Ｒ＝象ｂ（ｂは　象である）。
Ｓ＝動ｂ（ｂは動物である）。
Ｔ＝象ｃ（ｃは　象である）。
Ｕ＝動ｃ（ｃは動物である）。
といふ「代入」を行ふと、
① 　　（Ｐ→　Ｑ）＆（Ｒ→　Ｓ）＆（Ｔ→　Ｕ）
② ～（（Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｒ＆～Ｓ）∨（Ｔ＆～Ｕ））
といふ「式」は、「命題論理式」である。
従って、
（01）～（11）により、
（12）
｛個体の変域｝＝｛ａ、ｂ、ｃ｝
であるとして、
Ｐ＝象ａ（ａは　象である）。
Ｑ＝動ａ（ａは動物である）。
Ｒ＝象ｂ（ｂは　象である）。
Ｓ＝動ｂ（ｂは動物である）。
Ｔ＝象ｃ（ｃは　象である）。
Ｕ＝動ｃ（ｃは動物である）。
であるとして、
①　 ∀ｘ（象ｘ→　動ｘ）
② ～∃ｘ（象ｘ＆～動ｘ）
といふ「述語論理式」は、
① 　　（Ｐ→　Ｑ）＆（Ｒ→　Ｓ）＆（Ｔ→　Ｕ）
② ～（（Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｒ＆～Ｓ）∨（Ｔ＆～Ｕ））
といふ「命題論理式」として、
①＝② である。
然るに、
（13）
（ⅰ）
１　　（１）　∀ｘ（象ｘ→　動ｘ）　　Ａ
　２　（２）　∃ｘ（象ｘ＆～動ｘ）　　Ａ
　　３（３）　　　　象ａ＆～動ａ　　　Ａ
１　　（４）　　　　象ａ→　動ａ　　　Ａ
　　３（５）　　　　象ａ　　　　　　　３＆Ｅ
１　３（６）　　　　　　　　動ａ　　　３４ＭＰＰ
　　３（７）　　　　　　　～動ａ　　　３＆Ｅ
１　３（８）　　　　動ａ＆～動ａ　　　６７＆Ｉ
　　３（９）～∀ｘ（象ｘ→　動ｘ）　　１８ＲＡＡ
　２　（ア）～∀ｘ（象ｘ→　動ｘ）　　２３９ＥＥ
１２　（イ）～∀ｘ（象ｘ→　動ｘ）＆
　　　　　　　∀ｘ（象ｘ→　動ｘ）　　１ア＆Ｉ
１　　（ウ）～∃ｘ（象ｘ＆～動ｘ）　　２イＲＡＡ
（ⅱ）
１　　（１）～∃ｘ（象ｘ＆～動ｘ）　　Ａ
　２　（２）　　　　象ａ　　　　　　　Ａ
　　３（３）　　　　　　　～動ａ　　　Ａ
　２３（４）　　　　象ａ＆～動ａ　　　２３＆Ｉ
　２３（５）　∃ｘ（象ｘ＆～動ｘ）　　４ＥＩ
１２３（６）～∃ｘ（象ｘ＆～動ｘ）＆
　　　　　　　∃ｘ（象ｘ＆～動ｘ）　　１５＆Ｉ
１２　（７）　　　　　　～～動ａ　　　３６ＲＡＡ
１２　（８）　　　　　　　　動ａ　　　７ＤＮ
１　　（９）　　　　象ａ→　動ａ　　　２８ＣＰ
１　　（ア）　∀ｘ（象ｘ→　動ｘ）　　９ＵＩ
従って、
（13）により、
（14）
①　 ∀ｘ（象ｘ→　動ｘ）
② ～∃ｘ（象ｘ＆～動ｘ）
といふ「述語論理式」は、「述語論理式」として、
①＝② であるものの、この場合は、
｛個体の変域｝＝｛ａ、ｂ、ｃ｝
ではなく、
｛個体の変域｝＝｛ａ、ｂ、ｃ、・・・・・∞｝
であっても、
①＝② である。
令和０５年０１月１６日、毛利太。