ただ今、第二回目の口頭弁論の「準備書面」を作成中（いい感じで書けています）であるため、
しばらくの間、ブログを書かないことを、お知らせします。
令和６年４月３０日、毛利太。
2024年4月30日火曜日
2024年4月1日月曜日
「唯一のｘがＦである」の「述語論理」（Ⅱ）。
（01）
「一昨日（令和６年３月３０日）の記事」でも示した通り、
｛ｘの変域｝＝｛ａ，ｂ，ｃ｝
であるとして、
⑪ ∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）
であるならば、
①（Ｆａ＆Ｆａ）
②（Ｆｂ＆Ｆｂ）
③（Ｆｃ＆Ｆｃ）
④（ Ｆｂ＆Ｆｃ）
⑤（Ｆａ ＆Ｆｃ）
⑥（Ｆａ＆Ｆｂ ）
⑦（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）
といふ「７通り」が、「真」であることが「可能」である。
従って、
（01）により、
（02）
⑫ ∃ｘ∃ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）＆（ｘ≠ｙ）｝
といふ「論理式」ではなく、
⑪ ∃ｘ∃ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）＆（ｘ＝ｙ）｝
といふ「論理式」が「真」であるならば、
①（Ｆａ＆Ｆａ）
②（Ｆｂ＆Ｆｂ）
③（Ｆｃ＆Ｆｃ）
といふ「３通りの内の、どれか１つが真」である。
従って、
（01）（02）により、
（03）
⑪ ∃ｘ∃ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）＆（ｘ＝ｙ）｝
といふ「論理式」ではなく、
⑫ ∃ｘ∃ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）＆（ｘ≠ｙ）｝
といふ「論理式」が「真」であるならば、
④（ Ｆｂ＆Ｆｃ）
⑤（Ｆａ ＆Ｆｃ）
⑥（Ｆａ＆Ｆｂ ）
⑦（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）
といふ「４通りの内の、どれか１つが真」である。
然るに、
（04）
④（ Ｆｂ＆Ｆｃ）
⑤（Ｆａ ＆Ｆｃ）
⑥（Ｆａ＆Ｆｂ ）
⑦（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）
といふ「４通りの内の、どれか１つが真」である。
といふことは、｛ａ，ｂ，ｃ｝の中の、
⑫「２個以上の個体が、Ｆである。」
といふ、ことである。
従って、
（03）（04）により、
（05）
⑫ ∃ｘ∃ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）＆（ｘ≠ｙ）｝
⑬ ～∃ｘ∃ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）＆（ｘ≠ｙ）｝
といふ「論理式」は、それぞれ、
⑫「２個以上の個体が、Ｆである。」
⑬「２個以上の個体が、Ｆである。」といふことはない。
といふ「意味」である。
然るに、
（06）
（ⅲ）
１（１）～∃ｘ∃ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）＆（ｘ≠ｙ）｝ Ａ
１（２）∀ｘ～∃ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）＆（ｘ≠ｙ）｝ １量化子の関係
１（３）∀ｘ∀ｙ～｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）＆（ｘ≠ｙ）｝ ２量化子の関係
１（４） ∀ｙ～｛（Ｆａ＆Ｆｙ）＆（ａ≠ｙ）｝ ３ＵＥ
１（５） ～｛（Ｆａ＆Ｆｂ）＆（ａ≠ｂ）｝ ４ＵＥ
１（６） ～（Ｆａ＆Ｆｂ）∨（ａ＝ｂ） ５ド・モルガンの法則
１（７） （Ｆａ＆Ｆｂ）→（ａ＝ｂ） ６含意の定義
１（８） ∀ｙ｛（Ｆａ＆Ｆｙ）→（ａ＝ｙ）｝ ７ＵＩ
１（９） ∀ｘ∀ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）→（ｘ＝ｙ）｝ ８ＵＩ
（ⅳ）
１（１） ∀ｘ∀ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）→（ｘ＝ｙ）｝ Ａ
１（２） ∀ｙ｛（Ｆａ＆Ｆｙ）→（ａ＝ｙ）｝ １ＵＥ
１（３） （Ｆａ＆Ｆｂ）→（ａ＝ｂ） ２ＵＥ
１（４） ～（Ｆａ＆Ｆｂ）∨（ａ＝ｂ） ３含意の定義
１（５） ～｛（Ｆａ＆Ｆｂ）＆（ａ≠ｂ）｝ ４ド・モルガンの法則
１（６） ∀ｙ～｛（Ｆａ＆Ｆｙ）＆（ａ≠ｙ）｝ ５ＵＩ
１（７）∀ｘ∀ｙ～｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）＆（ｘ≠ｙ）｝ ６ＵＩ
１（８）∀ｘ～∃ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）＆（ｘ≠ｙ）｝ ７量化子の関係
１（９）～∃ｘ∃ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）＆（ｘ≠ｙ）｝ ８量化子の関係
従って、
（05）（06）により、
（07）
⑬ ～∃ｘ∃ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）＆（ｘ≠ｙ）｝
⑭ ∀ｘ∀ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）→（ｘ＝ｙ）｝
に於いて、
⑬＝⑭ である。
従って、
（05）（06）（07）により、
（08）
⑬ ～∃ｘ∃ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）＆（ｘ≠ｙ）｝
⑭ ∀ｘ∀ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）→（ｘ＝ｙ）｝
といふ「論理式」、すなはち、
⑬「あるｘとあるｙについて（ｘがＦであって、ｙもＦであって、ｘとｙが「同一」ではない。」といふことはない。
⑭「すべてのｘとｙについて（ｘがＦであって、ｙもＦであるならば、ｘとｙは、「同一」である）。」
といふ「論理式」は、「両方」とも、
⑬「２個以上の個体が、Ｆである。」といふことはない。
⑭「２個以上の個体が、Ｆである。」といふことはない。
といふ「意味」である。
然るに、
（09）
⑭ ∃ｘ（Ｆｘ）
といふ「論理式」、すなはち、
⑭「（Ｆであるｘ）が存在する。」
といふ「論理式」は、
⑭「１個以上の個体が、Ｆである。」
といふ「意味」である。
従って、
（08）（09）により、
（10）
⑭ ∃ｘ（Ｆｘ）＆∀ｘ∀ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）→（ｘ＝ｙ）｝
といふ「論理式」は、
⑭「１個以上の個体が、Ｆである」が、「２個以上の個体が、Ｆである」といふことはない。
といふ「意味」である。
然るに、
（11）
（ⅳ）
１ （１）∃ｘＦｘ＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ） Ａ
１ （２）∃ｘＦｘ １＆Ｅ
３ （３） Ｆａ Ａ
１ （４） ∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ） １＆Ｅ
１ （５） ∀ｙ（Ｆａ＆Ｆｙ→ａ＝ｙ） ４ＵＥ
１ （６） Ｆａ＆Ｆｂ→ａ＝ｂ ５ＵＥ
７（７） Ｆｂ Ａ
３７（８） Ｆａ＆Ｆｂ ３７＆Ｉ
１３７（９） ａ＝ｂ ６８ＭＰＰ
１３ （ア） Ｆｂ→ａ＝ｂ ７９ＣＰ
１３ （イ） ∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ） アＵＩ
１３ （ウ） Ｆａ＆∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ） ３イ＆Ｉ
１３ （エ） ∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝ ウＥＩ
１ （オ） ∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝ ２３エＥＥ
（ⅴ）
１ （１）∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝ Ａ
２ （２） Ｆａ＆∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ） Ａ
２ （３） ∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ） ２＆Ｅ
２ （４） Ｆｂ→ａ＝ｂ ３ＵＥ
５（５） Ｆａ＆Ｆｂ Ａ
５（６） Ｆｂ ５＆Ｅ
２５（７） ａ＝ｂ ４６ＭＰＰ
２ （８） Ｆａ＆Ｆｂ→ａ＝ｂ ５７ＣＰ
２ （９） ∀ｙ（Ｆａ＆Ｆｙ→ａ＝ｙ） ８ＵＩ
２ （ア） ∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ） ９ＵＩ
２ （イ）Ｆａ ２＆Ｅ
２ （ウ）∃ｘＦｘ イＥＩ
２ （エ）∃ｘＦｘ＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ） アウ＆Ｉ
１ （ウ）∃ｘＦｘ＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ） １２エＥＥ
従って、
（11）により、
（12）
⑭ ∃ｘＦｘ＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）
⑮ ∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝
に於いて、
⑭＝⑮ である。
従って、
（10）（11）（12）により、
（13）
⑭ ∃ｘ（Ｆｘ）＆∀ｘ∀ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）→（ｘ＝ｙ）｝
⑮ ∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝
といふ「論理式」、すなはち、
⑭「あるｘはＦであり、すべてのｘとｙについて（ｘがＦであって、ｙもＦであるならば、ｘとｙは、「同一」である）。」
⑮「あるｘはＦであり、すべてのｙについて（ｙがＦであるならば、ｘとｙは、「同一」である）。」
といふ「論理式」は、「両方」とも、
⑭「１個以上の個体が、Ｆである」が、「２個以上の個体が、Ｆである」といふことはない。
⑮「１個以上の個体が、Ｆである」が、「２個以上の個体が、Ｆである」といふことはない。
といふ「意味」である。
然るに、
（14）
⑮「１個以上の個体が、Ｆである」が、「２個以上の個体が、Ｆである」といふことはない。
といふことは、
⑮「唯一の個体だけが、Ｆである。」
といふ「意味」である。
従って、
（13）（14）により、
（15）
⑮ ∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝
といふ「論理式」、すなはち、
⑮「あるｘはＦであり、すべてのｙについて（ｙがＦであるならば、ｘとｙは、「同一」である）。」
といふ「論理式」は、
⑮「唯一の個体だけが、Ｆである。」
といふ「意味」である。
従って、
（15）により、
（16）
⑮ ∃ｘ｛偶素数ｘ＆∀ｙ（偶素数ｙ→ｘ＝ｙ＝２）｝
といふ「論理式」は、
⑮「偶数の素数は、２だけである。」
といふ「意味」である。
然るに、
（15）（16）により、
（17）
「自然数２が、個体である」といふのは「ヲカシイ」ものの、
「述語論理」では、「ｘやｙやｚ」を「個体変数（individual variable）」と言ふ。
令和６年４月１日、毛利太。
「一昨日（令和６年３月３０日）の記事」でも示した通り、
｛ｘの変域｝＝｛ａ，ｂ，ｃ｝
であるとして、
⑪ ∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）
であるならば、
①（Ｆａ＆Ｆａ）
②（Ｆｂ＆Ｆｂ）
③（Ｆｃ＆Ｆｃ）
④（ Ｆｂ＆Ｆｃ）
⑤（Ｆａ ＆Ｆｃ）
⑥（Ｆａ＆Ｆｂ ）
⑦（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）
といふ「７通り」が、「真」であることが「可能」である。
従って、
（01）により、
（02）
⑫ ∃ｘ∃ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）＆（ｘ≠ｙ）｝
といふ「論理式」ではなく、
⑪ ∃ｘ∃ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）＆（ｘ＝ｙ）｝
といふ「論理式」が「真」であるならば、
①（Ｆａ＆Ｆａ）
②（Ｆｂ＆Ｆｂ）
③（Ｆｃ＆Ｆｃ）
といふ「３通りの内の、どれか１つが真」である。
従って、
（01）（02）により、
（03）
⑪ ∃ｘ∃ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）＆（ｘ＝ｙ）｝
といふ「論理式」ではなく、
⑫ ∃ｘ∃ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）＆（ｘ≠ｙ）｝
といふ「論理式」が「真」であるならば、
④（ Ｆｂ＆Ｆｃ）
⑤（Ｆａ ＆Ｆｃ）
⑥（Ｆａ＆Ｆｂ ）
⑦（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）
といふ「４通りの内の、どれか１つが真」である。
然るに、
（04）
④（ Ｆｂ＆Ｆｃ）
⑤（Ｆａ ＆Ｆｃ）
⑥（Ｆａ＆Ｆｂ ）
⑦（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）
といふ「４通りの内の、どれか１つが真」である。
といふことは、｛ａ，ｂ，ｃ｝の中の、
⑫「２個以上の個体が、Ｆである。」
といふ、ことである。
従って、
（03）（04）により、
（05）
⑫ ∃ｘ∃ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）＆（ｘ≠ｙ）｝
⑬ ～∃ｘ∃ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）＆（ｘ≠ｙ）｝
といふ「論理式」は、それぞれ、
⑫「２個以上の個体が、Ｆである。」
⑬「２個以上の個体が、Ｆである。」といふことはない。
といふ「意味」である。
然るに、
（06）
（ⅲ）
１（１）～∃ｘ∃ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）＆（ｘ≠ｙ）｝ Ａ
１（２）∀ｘ～∃ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）＆（ｘ≠ｙ）｝ １量化子の関係
１（３）∀ｘ∀ｙ～｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）＆（ｘ≠ｙ）｝ ２量化子の関係
１（４） ∀ｙ～｛（Ｆａ＆Ｆｙ）＆（ａ≠ｙ）｝ ３ＵＥ
１（５） ～｛（Ｆａ＆Ｆｂ）＆（ａ≠ｂ）｝ ４ＵＥ
１（６） ～（Ｆａ＆Ｆｂ）∨（ａ＝ｂ） ５ド・モルガンの法則
１（７） （Ｆａ＆Ｆｂ）→（ａ＝ｂ） ６含意の定義
１（８） ∀ｙ｛（Ｆａ＆Ｆｙ）→（ａ＝ｙ）｝ ７ＵＩ
１（９） ∀ｘ∀ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）→（ｘ＝ｙ）｝ ８ＵＩ
（ⅳ）
１（１） ∀ｘ∀ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）→（ｘ＝ｙ）｝ Ａ
１（２） ∀ｙ｛（Ｆａ＆Ｆｙ）→（ａ＝ｙ）｝ １ＵＥ
１（３） （Ｆａ＆Ｆｂ）→（ａ＝ｂ） ２ＵＥ
１（４） ～（Ｆａ＆Ｆｂ）∨（ａ＝ｂ） ３含意の定義
１（５） ～｛（Ｆａ＆Ｆｂ）＆（ａ≠ｂ）｝ ４ド・モルガンの法則
１（６） ∀ｙ～｛（Ｆａ＆Ｆｙ）＆（ａ≠ｙ）｝ ５ＵＩ
１（７）∀ｘ∀ｙ～｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）＆（ｘ≠ｙ）｝ ６ＵＩ
１（８）∀ｘ～∃ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）＆（ｘ≠ｙ）｝ ７量化子の関係
１（９）～∃ｘ∃ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）＆（ｘ≠ｙ）｝ ８量化子の関係
従って、
（05）（06）により、
（07）
⑬ ～∃ｘ∃ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）＆（ｘ≠ｙ）｝
⑭ ∀ｘ∀ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）→（ｘ＝ｙ）｝
に於いて、
⑬＝⑭ である。
従って、
（05）（06）（07）により、
（08）
⑬ ～∃ｘ∃ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）＆（ｘ≠ｙ）｝
⑭ ∀ｘ∀ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）→（ｘ＝ｙ）｝
といふ「論理式」、すなはち、
⑬「あるｘとあるｙについて（ｘがＦであって、ｙもＦであって、ｘとｙが「同一」ではない。」といふことはない。
⑭「すべてのｘとｙについて（ｘがＦであって、ｙもＦであるならば、ｘとｙは、「同一」である）。」
といふ「論理式」は、「両方」とも、
⑬「２個以上の個体が、Ｆである。」といふことはない。
⑭「２個以上の個体が、Ｆである。」といふことはない。
といふ「意味」である。
然るに、
（09）
⑭ ∃ｘ（Ｆｘ）
といふ「論理式」、すなはち、
⑭「（Ｆであるｘ）が存在する。」
といふ「論理式」は、
⑭「１個以上の個体が、Ｆである。」
といふ「意味」である。
従って、
（08）（09）により、
（10）
⑭ ∃ｘ（Ｆｘ）＆∀ｘ∀ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）→（ｘ＝ｙ）｝
といふ「論理式」は、
⑭「１個以上の個体が、Ｆである」が、「２個以上の個体が、Ｆである」といふことはない。
といふ「意味」である。
然るに、
（11）
（ⅳ）
１ （１）∃ｘＦｘ＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ） Ａ
１ （２）∃ｘＦｘ １＆Ｅ
３ （３） Ｆａ Ａ
１ （４） ∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ） １＆Ｅ
１ （５） ∀ｙ（Ｆａ＆Ｆｙ→ａ＝ｙ） ４ＵＥ
１ （６） Ｆａ＆Ｆｂ→ａ＝ｂ ５ＵＥ
７（７） Ｆｂ Ａ
３７（８） Ｆａ＆Ｆｂ ３７＆Ｉ
１３７（９） ａ＝ｂ ６８ＭＰＰ
１３ （ア） Ｆｂ→ａ＝ｂ ７９ＣＰ
１３ （イ） ∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ） アＵＩ
１３ （ウ） Ｆａ＆∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ） ３イ＆Ｉ
１３ （エ） ∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝ ウＥＩ
１ （オ） ∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝ ２３エＥＥ
（ⅴ）
１ （１）∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝ Ａ
２ （２） Ｆａ＆∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ） Ａ
２ （３） ∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ） ２＆Ｅ
２ （４） Ｆｂ→ａ＝ｂ ３ＵＥ
５（５） Ｆａ＆Ｆｂ Ａ
５（６） Ｆｂ ５＆Ｅ
２５（７） ａ＝ｂ ４６ＭＰＰ
２ （８） Ｆａ＆Ｆｂ→ａ＝ｂ ５７ＣＰ
２ （９） ∀ｙ（Ｆａ＆Ｆｙ→ａ＝ｙ） ８ＵＩ
２ （ア） ∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ） ９ＵＩ
２ （イ）Ｆａ ２＆Ｅ
２ （ウ）∃ｘＦｘ イＥＩ
２ （エ）∃ｘＦｘ＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ） アウ＆Ｉ
１ （ウ）∃ｘＦｘ＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ） １２エＥＥ
従って、
（11）により、
（12）
⑭ ∃ｘＦｘ＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）
⑮ ∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝
に於いて、
⑭＝⑮ である。
従って、
（10）（11）（12）により、
（13）
⑭ ∃ｘ（Ｆｘ）＆∀ｘ∀ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）→（ｘ＝ｙ）｝
⑮ ∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝
といふ「論理式」、すなはち、
⑭「あるｘはＦであり、すべてのｘとｙについて（ｘがＦであって、ｙもＦであるならば、ｘとｙは、「同一」である）。」
⑮「あるｘはＦであり、すべてのｙについて（ｙがＦであるならば、ｘとｙは、「同一」である）。」
といふ「論理式」は、「両方」とも、
⑭「１個以上の個体が、Ｆである」が、「２個以上の個体が、Ｆである」といふことはない。
⑮「１個以上の個体が、Ｆである」が、「２個以上の個体が、Ｆである」といふことはない。
といふ「意味」である。
然るに、
（14）
⑮「１個以上の個体が、Ｆである」が、「２個以上の個体が、Ｆである」といふことはない。
といふことは、
⑮「唯一の個体だけが、Ｆである。」
といふ「意味」である。
従って、
（13）（14）により、
（15）
⑮ ∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝
といふ「論理式」、すなはち、
⑮「あるｘはＦであり、すべてのｙについて（ｙがＦであるならば、ｘとｙは、「同一」である）。」
といふ「論理式」は、
⑮「唯一の個体だけが、Ｆである。」
といふ「意味」である。
従って、
（15）により、
（16）
⑮ ∃ｘ｛偶素数ｘ＆∀ｙ（偶素数ｙ→ｘ＝ｙ＝２）｝
といふ「論理式」は、
⑮「偶数の素数は、２だけである。」
といふ「意味」である。
然るに、
（15）（16）により、
（17）
「自然数２が、個体である」といふのは「ヲカシイ」ものの、
「述語論理」では、「ｘやｙやｚ」を「個体変数（individual variable）」と言ふ。
令和６年４月１日、毛利太。
2024年3月30日土曜日
∃ｘ（Ｆｘ）├ ∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）！？
（01）
１４２ ∃ｘ（Ｆｘ）├ ∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）
１ （１） ∃ｘ（Ｆｘ） Ａ
２（２） Ｆａ Ａ
２（３） Ｆａ＆Ｆａ ２２＆Ｉ
２（４） ∃ｙ（Ｆａ＆Ｆｙ） ３ＥＩ
２（５）∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ） ４ＥＩ
１ （６）∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ） １２５ＥＥ
（この結果は事実上、強化して相互導出可能にすることができる。）この連式の妥当性から、
ひとつだけの対象がＦを持っているならば、∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）ということが帰結する。
言い換えると、相異なる変数「ｘ」と「ｙ」を用いる場合に、そのことから、それに対応する異なった対象が存在する、
ということは、帰結しないのである（E.J.レモン著、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英、1973年、２１０頁）。
然るに、
（02）
｛ｘの変域｝＝｛ａ，ｂ，ｃ｝
であるならば、
（ⅰ） ∃ｙ（Ｆｙ）
（ⅱ）（Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ）
に於いて、
（ⅰ）＝（ⅱ）である。
然るに、
（03）
「選言（∨）の真理表」により、
（ⅱ）（Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ）
といふ「論理式」は、
①（Ｆａ ）∨
②（ Ｆｂ ）∨
③（ Ｆｃ）∨
④（Ｆａ＆Ｆｂ ）∨
⑤（Ｆａ ＆Ｆｃ）∨
⑥（ Ｆｂ＆Ｆｃ）∨
⑦（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）
といふ「論理式」に「等しい」。
従って、
（02）（03）により、
（04）
｛ｘの変域｝＝｛ａ，ｂ，ｃ｝
であるならば、
∃ｙ（Ｆｙ）は、
といふ「論理式」は、
①（Ｆａ）
② （Ｆｂ）
③ （Ｆｃ）
④（Ｆａ＆Ｆｂ ）
⑤（Ｆａ ＆Ｆｃ）
⑥（ Ｆｂ＆Ｆｃ）
⑦（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）
といふ「７通りの内の、どれか１つ」である。
然るに、
（05）
「冪等律」により、
①（Ｆａ）
②（Ｆｂ）
③（Ｆｃ）
といふ「３つの論理式」は、それぞれ、
①（Ｆａ＆Ｆａ）
②（Ｆｂ＆Ｆｂ）
③（Ｆｃ＆Ｆｃ）
といふ「３つの論理式」に「等しい」。
従って、
（04）（05）により、
（06）
｛ｘの変域｝＝｛ａ，ｂ，ｃ｝
であるならば、
∃ｙ（Ｆｙ）は、
といふ「論理式」は、
①（Ｆａ＆Ｆａ）
②（Ｆｂ＆Ｆｂ）
③（Ｆｃ＆Ｆｃ）
④（ Ｆｂ＆Ｆｃ）
⑤（Ｆａ ＆Ｆｃ）
⑥（Ｆａ＆Ｆｂ ）
⑦（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）
といふ「７通りの内の、どれか１つ」である。
然るに、
（07）
｛ｘの変域｝＝｛ａ，ｂ，ｃ｝
であるならば、
∃ｘ｛∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）｝＝
｛（Ｆｘ＆Ｆａ）∨（Ｆｘ＆Ｆｂ）∨（Ｆｘ＆Ｆｃ）｝∨
｛（Ｆｘ＆Ｆａ）∨（Ｆｘ＆Ｆｂ）∨（Ｆｘ＆Ｆｃ）｝∨
｛（Ｆｘ＆Ｆａ）∨（Ｆｘ＆Ｆｂ）∨（Ｆｘ＆Ｆｃ）｝
であるため、
∃ｘ｛∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）｝＝
｛（Ｆａ＆Ｆａ）∨（Ｆａ＆Ｆｂ）∨（Ｆａ＆Ｆｃ）｝∨
｛（Ｆｂ＆Ｆａ）∨（Ｆｂ＆Ｆｂ）∨（Ｆｂ＆Ｆｃ）｝∨
｛（Ｆｃ＆Ｆａ）∨（Ｆｃ＆Ｆｂ）∨（Ｆｃ＆Ｆｃ）｝
である。
然るに、
（08）
「交換法則」により、
①（Ｆａ＆Ｆｂ）
②（Ｆｃ＆Ｆａ）
③（Ｆａ＆Ｆｃ）
④（Ｆｃ＆Ｆａ）
⑤（Ｆｂ＆Ｆｃ）
⑥（Ｆｃ＆Ｆｂ）
に於いて、
①＝④
②＝⑤
③＝⑥
従って、
（07）（08）により、
（09）
｛ｘの変域｝＝｛ａ，ｂ，ｃ｝
であるならば、
∃ｘ｛∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）｝＝
｛（Ｆａ＆Ｆａ）∨（Ｆａ＆Ｆｂ） ∨（Ｆａ＆Ｆｃ）｝∨
｛（Ｆｂ＆Ｆｂ）∨（Ｆｂ＆Ｆｃ）｝∨
｛（Ｆｃ＆Ｆｃ）｝
である。
従って、
（09）により、
（10）
「交換法則・結合法則」により、
∃ｘ｛∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）｝＝
｛（Ｆａ＆Ｆａ）∨（Ｆｂ＆Ｆｂ）∨（Ｆｃ＆Ｆｃ）｝∨｛（Ｆａ＆Ｆｂ）∨（Ｆａ＆Ｆｃ）∨（Ｆｂ＆Ｆｃ）｝
である。
然るに、
（11）
１ （１）｛（Ｆａ＆Ｆａ）∨（Ｆｂ＆Ｆｂ） ∨（Ｆｃ＆Ｆｃ）｝∨｛（Ｆａ＆Ｆｂ）∨（Ｆａ＆Ｆｃ） ∨（Ｆｂ＆Ｆｃ）｝ Ａ
２ （２）｛（Ｆａ＆Ｆａ）∨（Ｆｂ＆Ｆｂ） ∨（Ｆｃ＆Ｆｃ）｝ Ａ
２ （３）｛（Ｆａ＆Ｆａ）∨（Ｆｂ＆Ｆｂ）｝∨（Ｆｃ＆Ｆｃ） ２結合法則
４ （４）｛（Ｆａ＆Ｆａ）∨（Ｆｂ＆Ｆｂ）｝ Ａ
５ （５） （Ｆａ＆Ｆａ） Ａ
５ （６） Ｆａ ５＆Ｅ
５ （７） Ｆａ∨Ｆｂ ６∨Ｉ
５ （８） Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ ７∨Ｉ
９ （９） （Ｆｂ＆Ｆｂ） Ａ
９ （ア） Ｆｂ ９＆Ｅ
９ （イ） Ｆａ∨Ｆｂ ア∨Ｉ
９ （ウ） Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ イ∨Ｉ
４ （エ） Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ ４５８９ウ∨Ｅ
オ （オ） （Ｆｃ＆Ｆｃ） Ａ
オ （カ） Ｆｃ オ＆Ｅ
オ （キ） Ｆｂ∨Ｆｃ カ∨Ｉ
オ （ク） Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ キ∨Ｉ
２ （ケ） Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ ２４エオク∨Ｅ
コ （コ） ｛（Ｆａ＆Ｆｂ）∨（Ｆａ＆Ｆｃ） ∨（Ｆｂ＆Ｆｃ）｝ Ａ
コ （サ） ｛（Ｆａ＆Ｆｂ）∨（Ｆａ＆Ｆｃ）｝∨（Ｆｂ＆Ｆｃ） コ結合法則
シ （シ） ｛（Ｆａ＆Ｆｂ）∨（Ｆａ＆Ｆｃ）｝ Ａ
ス （ス） Ｆａ＆Ｆｂ Ａ
ス （セ） Ｆａ ス＆Ｅ
ス （ソ） Ｆａ∨Ｆｂ セ∨Ｉ
ス （タ） Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ ソ∨Ｉ
チ （チ） Ｆａ＆Ｆｃ Ａ
チ （ツ） Ｆａ チ＆Ｅ
チ （テ） Ｆａ∨Ｆｂ ツ∨Ｉ
チ （ト） Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ テ∨Ｉ
シ （ナ） Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ シスタチト∨Ｅ
ニ（ニ） （Ｆｂ＆Ｆｃ） Ａ
ニ（ヌ） Ｆｂ ニ＆Ｅ
ニ（ネ） Ｆａ∨Ｆｂ ヌ∨Ｉ
ニ（ノ） Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ ネ∨Ｉ
コ （ハ） Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ コシナニノ∨Ｅ
１ （ヒ） Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ １２ケコハ∨Ｅ
従って、
（11）により、
（12）
①｛（Ｆａ＆Ｆａ）∨（Ｆｂ＆Ｆｂ）∨（Ｆｃ＆Ｆｃ）｝∨｛（Ｆａ＆Ｆｂ）∨（Ｆａ＆Ｆｃ）∨（Ｆｂ＆Ｆｃ）｝
② （Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ）
に於いて、
①⇒② である。
従って、
（10）（11）（12）により、
（13）
｛ｘの変域｝＝｛ａ，ｂ，ｃ｝
であるならば、
∃ｘ｛∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）｝
といふ「論理式」も、
①（Ｆａ＆Ｆａ）
②（Ｆｂ＆Ｆｂ）
③（Ｆｃ＆Ｆｃ）
④（ Ｆｂ＆Ｆｃ）
⑤（Ｆａ ＆Ｆｃ）
⑥（Ｆａ＆Ｆｂ ）
⑦（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）
といふ「７通りの内の、どれか１つ」である。
従って、
（06）（13）により、
（14）
｛ｘの変域｝＝｛ａ，ｂ，ｃ｝
であるならば、
∃ｙ（Ｆｙ）
といふ「論理式」と、
∃ｘ｛∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）｝
といふ「論理式」は、両方とも、
①（Ｆａ＆Ｆａ）
②（Ｆｂ＆Ｆｂ）
③（Ｆｃ＆Ｆｃ）
④（ Ｆｂ＆Ｆｃ）
⑤（Ｆａ ＆Ｆｃ）
⑥（Ｆａ＆Ｆｂ ）
⑦（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）
といふ「７通りの内の、どれか１つ」である。
従って、
（01）（14）により、
（15）
ひとつだけの対象が、性質Ｆを持っているならば、∃ｘ｛∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）｝ということが帰結する。
言い換えると、相異なる変数「ｘ」と「ｙ」を用いる場合に、そのことから、それに対応する異なった対象が存在する、
ということは、帰結しないのである（E.J.レモン著、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英、1973年、２１０頁）。
といふ「説明」は、「正しい」。
令和６年３月３０日、毛利太。
１４２ ∃ｘ（Ｆｘ）├ ∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）
１ （１） ∃ｘ（Ｆｘ） Ａ
２（２） Ｆａ Ａ
２（３） Ｆａ＆Ｆａ ２２＆Ｉ
２（４） ∃ｙ（Ｆａ＆Ｆｙ） ３ＥＩ
２（５）∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ） ４ＥＩ
１ （６）∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ） １２５ＥＥ
（この結果は事実上、強化して相互導出可能にすることができる。）この連式の妥当性から、
ひとつだけの対象がＦを持っているならば、∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）ということが帰結する。
言い換えると、相異なる変数「ｘ」と「ｙ」を用いる場合に、そのことから、それに対応する異なった対象が存在する、
ということは、帰結しないのである（E.J.レモン著、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英、1973年、２１０頁）。
然るに、
（02）
｛ｘの変域｝＝｛ａ，ｂ，ｃ｝
であるならば、
（ⅰ） ∃ｙ（Ｆｙ）
（ⅱ）（Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ）
に於いて、
（ⅰ）＝（ⅱ）である。
然るに、
（03）
「選言（∨）の真理表」により、
（ⅱ）（Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ）
といふ「論理式」は、
①（Ｆａ ）∨
②（ Ｆｂ ）∨
③（ Ｆｃ）∨
④（Ｆａ＆Ｆｂ ）∨
⑤（Ｆａ ＆Ｆｃ）∨
⑥（ Ｆｂ＆Ｆｃ）∨
⑦（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）
といふ「論理式」に「等しい」。
従って、
（02）（03）により、
（04）
｛ｘの変域｝＝｛ａ，ｂ，ｃ｝
であるならば、
∃ｙ（Ｆｙ）は、
といふ「論理式」は、
①（Ｆａ）
② （Ｆｂ）
③ （Ｆｃ）
④（Ｆａ＆Ｆｂ ）
⑤（Ｆａ ＆Ｆｃ）
⑥（ Ｆｂ＆Ｆｃ）
⑦（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）
といふ「７通りの内の、どれか１つ」である。
然るに、
（05）
「冪等律」により、
①（Ｆａ）
②（Ｆｂ）
③（Ｆｃ）
といふ「３つの論理式」は、それぞれ、
①（Ｆａ＆Ｆａ）
②（Ｆｂ＆Ｆｂ）
③（Ｆｃ＆Ｆｃ）
といふ「３つの論理式」に「等しい」。
従って、
（04）（05）により、
（06）
｛ｘの変域｝＝｛ａ，ｂ，ｃ｝
であるならば、
∃ｙ（Ｆｙ）は、
といふ「論理式」は、
①（Ｆａ＆Ｆａ）
②（Ｆｂ＆Ｆｂ）
③（Ｆｃ＆Ｆｃ）
④（ Ｆｂ＆Ｆｃ）
⑤（Ｆａ ＆Ｆｃ）
⑥（Ｆａ＆Ｆｂ ）
⑦（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）
といふ「７通りの内の、どれか１つ」である。
然るに、
（07）
｛ｘの変域｝＝｛ａ，ｂ，ｃ｝
であるならば、
∃ｘ｛∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）｝＝
｛（Ｆｘ＆Ｆａ）∨（Ｆｘ＆Ｆｂ）∨（Ｆｘ＆Ｆｃ）｝∨
｛（Ｆｘ＆Ｆａ）∨（Ｆｘ＆Ｆｂ）∨（Ｆｘ＆Ｆｃ）｝∨
｛（Ｆｘ＆Ｆａ）∨（Ｆｘ＆Ｆｂ）∨（Ｆｘ＆Ｆｃ）｝
であるため、
∃ｘ｛∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）｝＝
｛（Ｆａ＆Ｆａ）∨（Ｆａ＆Ｆｂ）∨（Ｆａ＆Ｆｃ）｝∨
｛（Ｆｂ＆Ｆａ）∨（Ｆｂ＆Ｆｂ）∨（Ｆｂ＆Ｆｃ）｝∨
｛（Ｆｃ＆Ｆａ）∨（Ｆｃ＆Ｆｂ）∨（Ｆｃ＆Ｆｃ）｝
である。
然るに、
（08）
「交換法則」により、
①（Ｆａ＆Ｆｂ）
②（Ｆｃ＆Ｆａ）
③（Ｆａ＆Ｆｃ）
④（Ｆｃ＆Ｆａ）
⑤（Ｆｂ＆Ｆｃ）
⑥（Ｆｃ＆Ｆｂ）
に於いて、
①＝④
②＝⑤
③＝⑥
従って、
（07）（08）により、
（09）
｛ｘの変域｝＝｛ａ，ｂ，ｃ｝
であるならば、
∃ｘ｛∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）｝＝
｛（Ｆａ＆Ｆａ）∨（Ｆａ＆Ｆｂ） ∨（Ｆａ＆Ｆｃ）｝∨
｛（Ｆｂ＆Ｆｂ）∨（Ｆｂ＆Ｆｃ）｝∨
｛（Ｆｃ＆Ｆｃ）｝
である。
従って、
（09）により、
（10）
「交換法則・結合法則」により、
∃ｘ｛∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）｝＝
｛（Ｆａ＆Ｆａ）∨（Ｆｂ＆Ｆｂ）∨（Ｆｃ＆Ｆｃ）｝∨｛（Ｆａ＆Ｆｂ）∨（Ｆａ＆Ｆｃ）∨（Ｆｂ＆Ｆｃ）｝
である。
然るに、
（11）
１ （１）｛（Ｆａ＆Ｆａ）∨（Ｆｂ＆Ｆｂ） ∨（Ｆｃ＆Ｆｃ）｝∨｛（Ｆａ＆Ｆｂ）∨（Ｆａ＆Ｆｃ） ∨（Ｆｂ＆Ｆｃ）｝ Ａ
２ （２）｛（Ｆａ＆Ｆａ）∨（Ｆｂ＆Ｆｂ） ∨（Ｆｃ＆Ｆｃ）｝ Ａ
２ （３）｛（Ｆａ＆Ｆａ）∨（Ｆｂ＆Ｆｂ）｝∨（Ｆｃ＆Ｆｃ） ２結合法則
４ （４）｛（Ｆａ＆Ｆａ）∨（Ｆｂ＆Ｆｂ）｝ Ａ
５ （５） （Ｆａ＆Ｆａ） Ａ
５ （６） Ｆａ ５＆Ｅ
５ （７） Ｆａ∨Ｆｂ ６∨Ｉ
５ （８） Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ ７∨Ｉ
９ （９） （Ｆｂ＆Ｆｂ） Ａ
９ （ア） Ｆｂ ９＆Ｅ
９ （イ） Ｆａ∨Ｆｂ ア∨Ｉ
９ （ウ） Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ イ∨Ｉ
４ （エ） Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ ４５８９ウ∨Ｅ
オ （オ） （Ｆｃ＆Ｆｃ） Ａ
オ （カ） Ｆｃ オ＆Ｅ
オ （キ） Ｆｂ∨Ｆｃ カ∨Ｉ
オ （ク） Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ キ∨Ｉ
２ （ケ） Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ ２４エオク∨Ｅ
コ （コ） ｛（Ｆａ＆Ｆｂ）∨（Ｆａ＆Ｆｃ） ∨（Ｆｂ＆Ｆｃ）｝ Ａ
コ （サ） ｛（Ｆａ＆Ｆｂ）∨（Ｆａ＆Ｆｃ）｝∨（Ｆｂ＆Ｆｃ） コ結合法則
シ （シ） ｛（Ｆａ＆Ｆｂ）∨（Ｆａ＆Ｆｃ）｝ Ａ
ス （ス） Ｆａ＆Ｆｂ Ａ
ス （セ） Ｆａ ス＆Ｅ
ス （ソ） Ｆａ∨Ｆｂ セ∨Ｉ
ス （タ） Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ ソ∨Ｉ
チ （チ） Ｆａ＆Ｆｃ Ａ
チ （ツ） Ｆａ チ＆Ｅ
チ （テ） Ｆａ∨Ｆｂ ツ∨Ｉ
チ （ト） Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ テ∨Ｉ
シ （ナ） Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ シスタチト∨Ｅ
ニ（ニ） （Ｆｂ＆Ｆｃ） Ａ
ニ（ヌ） Ｆｂ ニ＆Ｅ
ニ（ネ） Ｆａ∨Ｆｂ ヌ∨Ｉ
ニ（ノ） Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ ネ∨Ｉ
コ （ハ） Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ コシナニノ∨Ｅ
１ （ヒ） Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ １２ケコハ∨Ｅ
従って、
（11）により、
（12）
①｛（Ｆａ＆Ｆａ）∨（Ｆｂ＆Ｆｂ）∨（Ｆｃ＆Ｆｃ）｝∨｛（Ｆａ＆Ｆｂ）∨（Ｆａ＆Ｆｃ）∨（Ｆｂ＆Ｆｃ）｝
② （Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ）
に於いて、
①⇒② である。
従って、
（10）（11）（12）により、
（13）
｛ｘの変域｝＝｛ａ，ｂ，ｃ｝
であるならば、
∃ｘ｛∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）｝
といふ「論理式」も、
①（Ｆａ＆Ｆａ）
②（Ｆｂ＆Ｆｂ）
③（Ｆｃ＆Ｆｃ）
④（ Ｆｂ＆Ｆｃ）
⑤（Ｆａ ＆Ｆｃ）
⑥（Ｆａ＆Ｆｂ ）
⑦（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）
といふ「７通りの内の、どれか１つ」である。
従って、
（06）（13）により、
（14）
｛ｘの変域｝＝｛ａ，ｂ，ｃ｝
であるならば、
∃ｙ（Ｆｙ）
といふ「論理式」と、
∃ｘ｛∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）｝
といふ「論理式」は、両方とも、
①（Ｆａ＆Ｆａ）
②（Ｆｂ＆Ｆｂ）
③（Ｆｃ＆Ｆｃ）
④（ Ｆｂ＆Ｆｃ）
⑤（Ｆａ ＆Ｆｃ）
⑥（Ｆａ＆Ｆｂ ）
⑦（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）
といふ「７通りの内の、どれか１つ」である。
従って、
（01）（14）により、
（15）
ひとつだけの対象が、性質Ｆを持っているならば、∃ｘ｛∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）｝ということが帰結する。
言い換えると、相異なる変数「ｘ」と「ｙ」を用いる場合に、そのことから、それに対応する異なった対象が存在する、
ということは、帰結しないのである（E.J.レモン著、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英、1973年、２１０頁）。
といふ「説明」は、「正しい」。
令和６年３月３０日、毛利太。
2024年3月28日木曜日
「この問題の正解率は６４.５％でした。」と「述語論理」（Ⅱ）。
（01）
男子＝男の子である。
～男子＝男の子でない。
女子＝女の子である。
～女子＝女の子でない。 帽子＝帽子をかぶっている。
～帽子＝帽子をかぶっていない。
スニ＝スニ―カーを履いている。
～スニ＝スニーカーを履いていない。
とする。
従って、
（01）により、
（02）
（α） ∀ｘ（～帽子ｘ→女子ｘ）
（β）～∃ｘ（ スニｘ＆男子ｘ）
（１） ∀ｘ（ 男子ｘ→帽子ｘ）
（２）～∃ｘ（ 帽子ｘ＆女子ｘ）
（３）～∃ｘ（ 帽子ｘ＆スニｘ）
といふ「述語論理式」は、
（α）帽子をかぶっていない子どもは、みんな女の子です
（β）スニーカーを履いている男の子は一人もいません。
（１）男の子はみんな帽子をかぶっている。
（２）帽子をかぶっている女の子はいない。
（３）帽子をかぶっていて、しかもスニーカーを履いている子どもは一人もいない。
といふ「日本語」に「等しい」。
然るに、
（03）
（Γ）∀ｘ（男子ｘ⇔～女子ｘ）
（〃）男の子であるならば、女の子ではなく、女の子でないならば、男の子である。
を「公理」とする。
然るに、
（04）
（α）
１ （１）∀ｘ（～帽子ｘ→女子ｘ） Ａ
１ （２） ～帽子ａ→女子ａ １ＵＥ
（３）∀ｘ（男子ｘ⇔～女子ｘ） 公理
（４） 男子ａ⇔～女子ａ ＵＥ
（５） 男子ａ→～女子ａ ４＆Ｅ（Ｄｆ.⇔）
６（６） 男子ａ Ａ
６（７） ～女子ａ ５６ＭＰＰ
１６（８） ～～帽子ａ １７ＭＰＰ
１６（９） 帽子ａ ８ＤＮ
１ （ア） 男子ａ→帽子ａ ６９ＣＰ
１ （イ） ∀ｘ（男子ｘ→帽子ｘ） アＵＩ
（〃）
１ （１）∀ｘ（男子ｘ→ 帽子ｘ） Ａ
１ （２） 男子ａ→ 帽子ａ １ＵＥ
（３）∀ｘ（男子ｘ⇔～女子ｘ） 公理
（４） 男子ａ⇔～女子ａ ＵＥ
（５） ～女子ａ→男子ａ ４＆Ｅ（Ｄｆ.⇔）
６（６） ～帽子ａ Ａ
１６（７） ～男子ａ ２６ＭＴＴ
１６（８） ～～女子ａ ５７ＭＴＴ
１６（９） 女子ａ ８ＤＮ
１ （ア） ～帽子ａ→女子ａ ６９ＣＰ
１ （イ）∀ｘ（～帽子ｘ→女子ｘ） アＵＩ
従って、
（02）（03）（04）により、
（05）
（α） ∀ｘ（～帽子ｘ→女子ｘ）
（β）～∃ｘ（ スニｘ＆男子ｘ）
（１） ∀ｘ（ 男子ｘ→帽子ｘ）
（２）～∃ｘ（ 帽子ｘ＆女子ｘ）
（３）～∃ｘ（ 帽子ｘ＆スニｘ）
といふ「述語論理式」は、
（α） ∀ｘ（ 男子ｘ→帽子ｘ）
（β）～∃ｘ（ スニｘ＆男子ｘ）
（１） ∀ｘ（ 男子ｘ→帽子ｘ）
（２）～∃ｘ（ 帽子ｘ＆女子ｘ）
（３）～∃ｘ（ 帽子ｘ＆スニｘ）
といふ「述語論理式」に「等しい」。
然るに、
（06）
（β）
１ （１）～∃ｘ（スニｘ＆ 男子ｘ） Ａ
１ （２）∀ｘ～（スニｘ＆ 男子ｘ） １量化子の関係
１ （３） ～（スニａ＆ 男子ａ） ２ＵＥ
１ （４） ～スニａ∨～男子ａ ３ド・モルガンの法則
１ （５） スニａ→～男子ａ ４含意の定義
（６） ∀ｘ（男子ｘ⇔～女子ｘ） 公理
（７） 男子ａ⇔～女子ａ ６ＵＥ
（８） ～女子ａ→男子ａ ７＆Ｅ（Ｄｆ.⇔）
９ （９） ～男子ａ Ａ
９ （ア） ～～女子ａ ８９ＭＴＴ
９ （イ） 女子ａ アＤＮ
（ウ） ～男子ａ→女子ａ ９イＣＰ
エ（エ） スニａ Ａ
１ エ（オ） ～男子ａ ５エＭＰＰ
１ エ（カ） 女子ａ ウオＭＰＰ
１ （キ） スニａ→ 女子ａ エカＣＰ
１ （ク） ∀ｘ（スニｘ→ 女子ｘ） キＵＩ
（〃）
１ （１） ∀ｘ（スニｘ→ 女子ｘ） Ａ
１ （２） スニａ→ 女子ａ １ＵＥ
（３） ∀ｘ（男子ｘ⇔～女子ｘ） 公理
（４） 男子ａ⇔～女子ａ ３ＵＥ
（５） 男子ａ→～女子ａ ４＆Ｅ（Ｄｆ.⇔）
６ （６） 女子ａ Ａ
６ （７） ～～女子ａ ６ＤＮ
６ （８） ～男子ａ ５７ＭＴＴ
（９） 女子ａ→～男子ａ ６８ＭＰＰ
ア（ア） スニａ Ａ
１ ア（イ） 女子ａ ２アＭＰＰ
１ ア（ウ） ～男子ａ ９イＭＰＰ
１ （エ） スニａ→～男子ａ アウＣＰ
１ （オ） ～スニａ∨～男子ａ エ含意の定義
１ （カ） ～（スニａ＆ 男子ａ） オ、ド・モルガンの法則
１ （キ）∀ｘ～（スニｘ＆ 男子ｘ） カＵＩ
従って、
（05）（06）により、
（07）
（α） ∀ｘ（～帽子ｘ→女子ｘ）
（β）～∃ｘ（ スニｘ＆男子ｘ）
（１） ∀ｘ（ 男子ｘ→帽子ｘ）
（２）～∃ｘ（ 帽子ｘ＆女子ｘ）
（３）～∃ｘ（ 帽子ｘ＆ スニｘ）
といふ「述語論理式」は、
（α） ∀ｘ（ 男子ｘ→帽子ｘ）
（β） ∀ｘ（ スニｘ→女子ｘ）
（１） ∀ｘ（ 男子ｘ→帽子ｘ）
（２）～∃ｘ（ 帽子ｘ＆女子ｘ）
（３）～∃ｘ（ 帽子ｘ＆スニｘ）
といふ「述語論理式」に「等しい」。
然るに、
（08）
（２）
１ （１）～∃ｘ（帽子ｘ＆ 女子ｘ） Ａ
１ （２）∀ｘ～（帽子ｘ＆ 女子ｘ） １量化子の関係
１ （３） ～（帽子ａ＆ 女子ａ） ２ＵＥ
１ （４） ～帽子ａ∨～女子ａ ３ド・モルガンの法則
１ （５） 帽子ａ→～女子ａ ４含意の定義
（６） ∀ｘ（女子ｘ⇔～男子ｘ） 公理
（７） 女子ａ⇔～男子ａ ６ＵＥ
（８） ～男子ａ→女子ａ ７＆Ｅ（Ｄｆ.⇔）
９ （９） ～女子ａ Ａ
９ （ア） ～～男子ａ ８９ＭＴＴ
９ （イ） 男子ａ アＤＮ
（ウ） ～女子ａ→男子ａ ９イＣＰ
エ（エ） 帽子ａ Ａ
１ エ（オ） ～女子ａ ５エＭＰＰ
１ エ（カ） 男子ａ ウオＭＰＰ
１ （キ） 帽子ａ→ 男子ａ エカＣＰ
１ （ク） ∀ｘ（帽子ｘ→ 男子ｘ） キＵＩ
（〃）
１ （１） ∀ｘ（帽子ｘ→ 男子ｘ） Ａ
１ （２） 帽子ａ→ 男子ａ １ＵＥ
（３） ∀ｘ（女子ｘ⇔～男子ｘ） 公理
（４） 女子ａ⇔～男子ａ ３ＵＥ
（５） 女子ａ→～男子ａ ４＆Ｅ（Ｄｆ.⇔）
６ （６） 男子ａ Ａ
６ （７） ～～男子ａ ６ＤＮ
６ （８） ～女子ａ ５７ＭＴＴ
（９） 男子ａ→～女子ａ ６８ＭＰＰ
ア（ア） 帽子ａ Ａ
１ ア（イ） 男子ａ ２アＭＰＰ
１ ア（ウ） ～女子ａ ９イＭＰＰ
１ （エ） 帽子ａ→～女子ａ アウＣＰ
１ （オ） ～帽子ａ∨～女子ａ エ含意の定義
１ （カ） ～（帽子ａ＆ 女子ａ） オ、ド・モルガンの法則
１ （キ）∀ｘ～（帽子ｘ＆ 女子ｘ） カＵＩ
１ （ク）～∃ｘ（帽子ｘ＆ 女子ｘ） キ量化子の関係
従って、
（07）（08）により、
（09）
（α） ∀ｘ（男子ｘ→帽子ｘ）
（β） ∀ｘ（スニｘ→女子ｘ）
（１） ∀ｘ（男子ｘ→帽子ｘ）
（２）～∃ｘ（帽子ｘ＆女子ｘ）
（３）～∃ｘ（帽子ｘ＆スニｘ）
といふ「論理式」は、
（α） ∀ｘ（男子ｘ→帽子ｘ）
（β） ∀ｘ（スニｘ→女子ｘ）
（１） ∀ｘ（男子ｘ→帽子ｘ）
（２） ∀ｘ（帽子ｘ→男子ｘ）
（３）～∃ｘ（帽子ｘ＆スニｘ）
といふ「述語論理式」に「等しい」。
従って、
（05）～（09）により、
（10）
（α） ∀ｘ（～帽子ｘ→女子ｘ）
（β）～∃ｘ（ スニｘ＆男子ｘ）
（１） ∀ｘ（ 男子ｘ→帽子ｘ）
（２）～∃ｘ（ 帽子ｘ＆女子ｘ）
（３）～∃ｘ（ 帽子ｘ＆スニｘ）
といふ「述語論理式」は、
（α） ∀ｘ（男子ｘ→帽子ｘ）
（β） ∀ｘ（スニｘ→女子ｘ）
（１） ∀ｘ（男子ｘ→帽子ｘ）
（２） ∀ｘ（帽子ｘ→男子ｘ）
（３）～∃ｘ（帽子ｘ＆スニｘ）
といふ「述語論理式」に「等しい」。
従って、
（10）により、
（11）
（α） ∀ｘ（男子ｘ→帽子ｘ）
（１） ∀ｘ（男子ｘ→帽子ｘ）
（２） ∀ｘ（帽子ｘ→男子ｘ）
に於いて、
（２）は（α）の「逆」であり、
（２）は（１）の「逆」であるが、「逆は、必ずしも、真ではない」。
従って、
（11）により、
（12）
（α）⇔（１）であるが、
（α）→（２）ではない。
然るに、
（13）
１ （１）∀ｘ（男子ｘ→帽子ｘ） Ａ
２ （２）∀ｘ（スニｘ→女子ｘ） Ａ
３ （３）∃ｘ（帽子ｘ＆スニｘ） Ａ
１ （４） 男子ａ→帽子ａ １ＵＥ
２ （５） スニａ→女子ａ ２ＵＥ
６（６） 帽子ａ＆スニａ Ａ
６（７） 帽子ａ ６＆Ｅ
６（８） スニａ ６＆Ｅ
２ ６（９） 女子ａ ５７ＭＰＰ
２ ６（ア） 帽子ａ＆女子ａ ７９＆Ｉ
２ ６（イ）∃ｘ（帽子ｘ＆女子ｘ） アＥＩ
２３ （ウ）∃ｘ（帽子ｘ＆女子ｘ） ３６イＥＥ
従って、
（01）（02）（10）（13）により、
（14）
（α）∀ｘ（男子ｘ→帽子ｘ）
（β）∀ｘ（スニｘ→女子ｘ）
（３）∃ｘ（帽子ｘ＆女子ｘ）
といふ「命題」、すなはち、
（α）男の子は、みんな帽子をかぶっています。
（β）スニーカーを履いている子どもは、みんな女の子です。
（γ）帽子をかぶっている女の子もいます。
といふ「命題」は「矛盾」しない。
ｅ．ｇ.
太郎と次郎は、二人とも、野球帽をかぶっているが、スニーカーではなく、スパイクを履いている。
花子は帽子をかぶって、スニーカーを履いているが、桃子は、帽子をかぶらずに、スニーカーを履いている。
従って、
（13）（14）により、
（15）
（α） ∀ｘ（男子ｘ→帽子ｘ）
（β） ∀ｘ（スニｘ→女子ｘ）
であるからと言って、必ずしも、
（３）～∃ｘ（帽子ｘ＆女子ｘ）
（〃）帽子をかぶっている女の子はいません。
といふことには、ならない。
従って、
（02）（10）（11）（15）により、
（16）
（α） ∀ｘ（～帽子ｘ→女子ｘ）
（β）～∃ｘ（ スニｘ＆男子ｘ）
（１） ∀ｘ（ 男子ｘ→帽子ｘ）
（２）～∃ｘ（ 帽子ｘ＆女子ｘ）
（３）～∃ｘ（ 帽子ｘ＆スニｘ）
といふ「述語論理式」は、
（α）帽子をかぶっていない子どもは、みんな女の子です
（β）スニーカーを履いている男の子は一人もいません。
（１）男の子はみんな帽子をかぶっている。
（２）帽子をかぶっている女の子はいない。
（３）帽子をかぶっていて、しかもスニーカーを履いている子どもは一人もいない。
といふ「日本語」に「等しく」、
（α）帽子をかぶっていない子どもは、みんな女の子です
（β）スニーカーを履いている男の子は一人もいません。
といふ「命題」が「真（〇）」であるならば、
（１）男の子はみんな帽子をかぶっている。
だけが、必ず、「真（〇）」である。
従って、
（16）により、
（17）
問題 次の報告から確実に正しいと言えることには〇を、そうでないないものには✕を、左側の空欄に記入して下さい。
公園に子どもたちが集まっています。
男の子も女の子もいます。
（α）帽子をかぶっていない子どもは、みんな女の子です。そして、
（β）スニーカーを履いている男の子は一人もいません。
（１）男の子はみんな帽子をかぶっている。
（２）帽子をかぶっている女の子はいない。
（３）帽子をかぶっていて、しかもスニーカーを履いている子どもは一人もいない。
正しいのは（１）のみです。
（ＡＩ vs. 教科書が読めない子供たち、新井紀子、2018年、１８２・１８３頁）。
といふ、ことになる。
令和６年３月２８日、毛利太。
男子＝男の子である。
～男子＝男の子でない。
女子＝女の子である。
～女子＝女の子でない。 帽子＝帽子をかぶっている。
～帽子＝帽子をかぶっていない。
スニ＝スニ―カーを履いている。
～スニ＝スニーカーを履いていない。
とする。
従って、
（01）により、
（02）
（α） ∀ｘ（～帽子ｘ→女子ｘ）
（β）～∃ｘ（ スニｘ＆男子ｘ）
（１） ∀ｘ（ 男子ｘ→帽子ｘ）
（２）～∃ｘ（ 帽子ｘ＆女子ｘ）
（３）～∃ｘ（ 帽子ｘ＆スニｘ）
といふ「述語論理式」は、
（α）帽子をかぶっていない子どもは、みんな女の子です
（β）スニーカーを履いている男の子は一人もいません。
（１）男の子はみんな帽子をかぶっている。
（２）帽子をかぶっている女の子はいない。
（３）帽子をかぶっていて、しかもスニーカーを履いている子どもは一人もいない。
といふ「日本語」に「等しい」。
然るに、
（03）
（Γ）∀ｘ（男子ｘ⇔～女子ｘ）
（〃）男の子であるならば、女の子ではなく、女の子でないならば、男の子である。
を「公理」とする。
然るに、
（04）
（α）
１ （１）∀ｘ（～帽子ｘ→女子ｘ） Ａ
１ （２） ～帽子ａ→女子ａ １ＵＥ
（３）∀ｘ（男子ｘ⇔～女子ｘ） 公理
（４） 男子ａ⇔～女子ａ ＵＥ
（５） 男子ａ→～女子ａ ４＆Ｅ（Ｄｆ.⇔）
６（６） 男子ａ Ａ
６（７） ～女子ａ ５６ＭＰＰ
１６（８） ～～帽子ａ １７ＭＰＰ
１６（９） 帽子ａ ８ＤＮ
１ （ア） 男子ａ→帽子ａ ６９ＣＰ
１ （イ） ∀ｘ（男子ｘ→帽子ｘ） アＵＩ
（〃）
１ （１）∀ｘ（男子ｘ→ 帽子ｘ） Ａ
１ （２） 男子ａ→ 帽子ａ １ＵＥ
（３）∀ｘ（男子ｘ⇔～女子ｘ） 公理
（４） 男子ａ⇔～女子ａ ＵＥ
（５） ～女子ａ→男子ａ ４＆Ｅ（Ｄｆ.⇔）
６（６） ～帽子ａ Ａ
１６（７） ～男子ａ ２６ＭＴＴ
１６（８） ～～女子ａ ５７ＭＴＴ
１６（９） 女子ａ ８ＤＮ
１ （ア） ～帽子ａ→女子ａ ６９ＣＰ
１ （イ）∀ｘ（～帽子ｘ→女子ｘ） アＵＩ
従って、
（02）（03）（04）により、
（05）
（α） ∀ｘ（～帽子ｘ→女子ｘ）
（β）～∃ｘ（ スニｘ＆男子ｘ）
（１） ∀ｘ（ 男子ｘ→帽子ｘ）
（２）～∃ｘ（ 帽子ｘ＆女子ｘ）
（３）～∃ｘ（ 帽子ｘ＆スニｘ）
といふ「述語論理式」は、
（α） ∀ｘ（ 男子ｘ→帽子ｘ）
（β）～∃ｘ（ スニｘ＆男子ｘ）
（１） ∀ｘ（ 男子ｘ→帽子ｘ）
（２）～∃ｘ（ 帽子ｘ＆女子ｘ）
（３）～∃ｘ（ 帽子ｘ＆スニｘ）
といふ「述語論理式」に「等しい」。
然るに、
（06）
（β）
１ （１）～∃ｘ（スニｘ＆ 男子ｘ） Ａ
１ （２）∀ｘ～（スニｘ＆ 男子ｘ） １量化子の関係
１ （３） ～（スニａ＆ 男子ａ） ２ＵＥ
１ （４） ～スニａ∨～男子ａ ３ド・モルガンの法則
１ （５） スニａ→～男子ａ ４含意の定義
（６） ∀ｘ（男子ｘ⇔～女子ｘ） 公理
（７） 男子ａ⇔～女子ａ ６ＵＥ
（８） ～女子ａ→男子ａ ７＆Ｅ（Ｄｆ.⇔）
９ （９） ～男子ａ Ａ
９ （ア） ～～女子ａ ８９ＭＴＴ
９ （イ） 女子ａ アＤＮ
（ウ） ～男子ａ→女子ａ ９イＣＰ
エ（エ） スニａ Ａ
１ エ（オ） ～男子ａ ５エＭＰＰ
１ エ（カ） 女子ａ ウオＭＰＰ
１ （キ） スニａ→ 女子ａ エカＣＰ
１ （ク） ∀ｘ（スニｘ→ 女子ｘ） キＵＩ
（〃）
１ （１） ∀ｘ（スニｘ→ 女子ｘ） Ａ
１ （２） スニａ→ 女子ａ １ＵＥ
（３） ∀ｘ（男子ｘ⇔～女子ｘ） 公理
（４） 男子ａ⇔～女子ａ ３ＵＥ
（５） 男子ａ→～女子ａ ４＆Ｅ（Ｄｆ.⇔）
６ （６） 女子ａ Ａ
６ （７） ～～女子ａ ６ＤＮ
６ （８） ～男子ａ ５７ＭＴＴ
（９） 女子ａ→～男子ａ ６８ＭＰＰ
ア（ア） スニａ Ａ
１ ア（イ） 女子ａ ２アＭＰＰ
１ ア（ウ） ～男子ａ ９イＭＰＰ
１ （エ） スニａ→～男子ａ アウＣＰ
１ （オ） ～スニａ∨～男子ａ エ含意の定義
１ （カ） ～（スニａ＆ 男子ａ） オ、ド・モルガンの法則
１ （キ）∀ｘ～（スニｘ＆ 男子ｘ） カＵＩ
従って、
（05）（06）により、
（07）
（α） ∀ｘ（～帽子ｘ→女子ｘ）
（β）～∃ｘ（ スニｘ＆男子ｘ）
（１） ∀ｘ（ 男子ｘ→帽子ｘ）
（２）～∃ｘ（ 帽子ｘ＆女子ｘ）
（３）～∃ｘ（ 帽子ｘ＆ スニｘ）
といふ「述語論理式」は、
（α） ∀ｘ（ 男子ｘ→帽子ｘ）
（β） ∀ｘ（ スニｘ→女子ｘ）
（１） ∀ｘ（ 男子ｘ→帽子ｘ）
（２）～∃ｘ（ 帽子ｘ＆女子ｘ）
（３）～∃ｘ（ 帽子ｘ＆スニｘ）
といふ「述語論理式」に「等しい」。
然るに、
（08）
（２）
１ （１）～∃ｘ（帽子ｘ＆ 女子ｘ） Ａ
１ （２）∀ｘ～（帽子ｘ＆ 女子ｘ） １量化子の関係
１ （３） ～（帽子ａ＆ 女子ａ） ２ＵＥ
１ （４） ～帽子ａ∨～女子ａ ３ド・モルガンの法則
１ （５） 帽子ａ→～女子ａ ４含意の定義
（６） ∀ｘ（女子ｘ⇔～男子ｘ） 公理
（７） 女子ａ⇔～男子ａ ６ＵＥ
（８） ～男子ａ→女子ａ ７＆Ｅ（Ｄｆ.⇔）
９ （９） ～女子ａ Ａ
９ （ア） ～～男子ａ ８９ＭＴＴ
９ （イ） 男子ａ アＤＮ
（ウ） ～女子ａ→男子ａ ９イＣＰ
エ（エ） 帽子ａ Ａ
１ エ（オ） ～女子ａ ５エＭＰＰ
１ エ（カ） 男子ａ ウオＭＰＰ
１ （キ） 帽子ａ→ 男子ａ エカＣＰ
１ （ク） ∀ｘ（帽子ｘ→ 男子ｘ） キＵＩ
（〃）
１ （１） ∀ｘ（帽子ｘ→ 男子ｘ） Ａ
１ （２） 帽子ａ→ 男子ａ １ＵＥ
（３） ∀ｘ（女子ｘ⇔～男子ｘ） 公理
（４） 女子ａ⇔～男子ａ ３ＵＥ
（５） 女子ａ→～男子ａ ４＆Ｅ（Ｄｆ.⇔）
６ （６） 男子ａ Ａ
６ （７） ～～男子ａ ６ＤＮ
６ （８） ～女子ａ ５７ＭＴＴ
（９） 男子ａ→～女子ａ ６８ＭＰＰ
ア（ア） 帽子ａ Ａ
１ ア（イ） 男子ａ ２アＭＰＰ
１ ア（ウ） ～女子ａ ９イＭＰＰ
１ （エ） 帽子ａ→～女子ａ アウＣＰ
１ （オ） ～帽子ａ∨～女子ａ エ含意の定義
１ （カ） ～（帽子ａ＆ 女子ａ） オ、ド・モルガンの法則
１ （キ）∀ｘ～（帽子ｘ＆ 女子ｘ） カＵＩ
１ （ク）～∃ｘ（帽子ｘ＆ 女子ｘ） キ量化子の関係
従って、
（07）（08）により、
（09）
（α） ∀ｘ（男子ｘ→帽子ｘ）
（β） ∀ｘ（スニｘ→女子ｘ）
（１） ∀ｘ（男子ｘ→帽子ｘ）
（２）～∃ｘ（帽子ｘ＆女子ｘ）
（３）～∃ｘ（帽子ｘ＆スニｘ）
といふ「論理式」は、
（α） ∀ｘ（男子ｘ→帽子ｘ）
（β） ∀ｘ（スニｘ→女子ｘ）
（１） ∀ｘ（男子ｘ→帽子ｘ）
（２） ∀ｘ（帽子ｘ→男子ｘ）
（３）～∃ｘ（帽子ｘ＆スニｘ）
といふ「述語論理式」に「等しい」。
従って、
（05）～（09）により、
（10）
（α） ∀ｘ（～帽子ｘ→女子ｘ）
（β）～∃ｘ（ スニｘ＆男子ｘ）
（１） ∀ｘ（ 男子ｘ→帽子ｘ）
（２）～∃ｘ（ 帽子ｘ＆女子ｘ）
（３）～∃ｘ（ 帽子ｘ＆スニｘ）
といふ「述語論理式」は、
（α） ∀ｘ（男子ｘ→帽子ｘ）
（β） ∀ｘ（スニｘ→女子ｘ）
（１） ∀ｘ（男子ｘ→帽子ｘ）
（２） ∀ｘ（帽子ｘ→男子ｘ）
（３）～∃ｘ（帽子ｘ＆スニｘ）
といふ「述語論理式」に「等しい」。
従って、
（10）により、
（11）
（α） ∀ｘ（男子ｘ→帽子ｘ）
（１） ∀ｘ（男子ｘ→帽子ｘ）
（２） ∀ｘ（帽子ｘ→男子ｘ）
に於いて、
（２）は（α）の「逆」であり、
（２）は（１）の「逆」であるが、「逆は、必ずしも、真ではない」。
従って、
（11）により、
（12）
（α）⇔（１）であるが、
（α）→（２）ではない。
然るに、
（13）
１ （１）∀ｘ（男子ｘ→帽子ｘ） Ａ
２ （２）∀ｘ（スニｘ→女子ｘ） Ａ
３ （３）∃ｘ（帽子ｘ＆スニｘ） Ａ
１ （４） 男子ａ→帽子ａ １ＵＥ
２ （５） スニａ→女子ａ ２ＵＥ
６（６） 帽子ａ＆スニａ Ａ
６（７） 帽子ａ ６＆Ｅ
６（８） スニａ ６＆Ｅ
２ ６（９） 女子ａ ５７ＭＰＰ
２ ６（ア） 帽子ａ＆女子ａ ７９＆Ｉ
２ ６（イ）∃ｘ（帽子ｘ＆女子ｘ） アＥＩ
２３ （ウ）∃ｘ（帽子ｘ＆女子ｘ） ３６イＥＥ
従って、
（01）（02）（10）（13）により、
（14）
（α）∀ｘ（男子ｘ→帽子ｘ）
（β）∀ｘ（スニｘ→女子ｘ）
（３）∃ｘ（帽子ｘ＆女子ｘ）
といふ「命題」、すなはち、
（α）男の子は、みんな帽子をかぶっています。
（β）スニーカーを履いている子どもは、みんな女の子です。
（γ）帽子をかぶっている女の子もいます。
といふ「命題」は「矛盾」しない。
ｅ．ｇ.
太郎と次郎は、二人とも、野球帽をかぶっているが、スニーカーではなく、スパイクを履いている。
花子は帽子をかぶって、スニーカーを履いているが、桃子は、帽子をかぶらずに、スニーカーを履いている。
従って、
（13）（14）により、
（15）
（α） ∀ｘ（男子ｘ→帽子ｘ）
（β） ∀ｘ（スニｘ→女子ｘ）
であるからと言って、必ずしも、
（３）～∃ｘ（帽子ｘ＆女子ｘ）
（〃）帽子をかぶっている女の子はいません。
といふことには、ならない。
従って、
（02）（10）（11）（15）により、
（16）
（α） ∀ｘ（～帽子ｘ→女子ｘ）
（β）～∃ｘ（ スニｘ＆男子ｘ）
（１） ∀ｘ（ 男子ｘ→帽子ｘ）
（２）～∃ｘ（ 帽子ｘ＆女子ｘ）
（３）～∃ｘ（ 帽子ｘ＆スニｘ）
といふ「述語論理式」は、
（α）帽子をかぶっていない子どもは、みんな女の子です
（β）スニーカーを履いている男の子は一人もいません。
（１）男の子はみんな帽子をかぶっている。
（２）帽子をかぶっている女の子はいない。
（３）帽子をかぶっていて、しかもスニーカーを履いている子どもは一人もいない。
といふ「日本語」に「等しく」、
（α）帽子をかぶっていない子どもは、みんな女の子です
（β）スニーカーを履いている男の子は一人もいません。
といふ「命題」が「真（〇）」であるならば、
（１）男の子はみんな帽子をかぶっている。
だけが、必ず、「真（〇）」である。
従って、
（16）により、
（17）
問題 次の報告から確実に正しいと言えることには〇を、そうでないないものには✕を、左側の空欄に記入して下さい。
公園に子どもたちが集まっています。
男の子も女の子もいます。
（α）帽子をかぶっていない子どもは、みんな女の子です。そして、
（β）スニーカーを履いている男の子は一人もいません。
（１）男の子はみんな帽子をかぶっている。
（２）帽子をかぶっている女の子はいない。
（３）帽子をかぶっていて、しかもスニーカーを履いている子どもは一人もいない。
正しいのは（１）のみです。
（ＡＩ vs. 教科書が読めない子供たち、新井紀子、2018年、１８２・１８３頁）。
といふ、ことになる。
令和６年３月２８日、毛利太。
2024年3月27日水曜日
「この問題の正解率は６４.５％でした。」と「述語論理」。
（01）
問題 次の報告から確実に正しいと言えることには〇を、そうでないないものには✕を、左側の空欄に記入して下さい。
公園に子どもたちが集まっています。
男の子も女の子もいます。
（α）帽子をかぶっていない子どもは、みんな女の子です。そして、
（β）スニーカーを履いている男の子は一人もいません。
（１）男の子はみんな帽子をかぶっている。
（２）帽子をかぶっている女の子はいない。
（３）帽子をかぶっていて、しかもスニーカーを履いている子どもは一人もいない。
（ＡＩ vs. 教科書が読めない子供たち、新井紀子、2018年、１８２頁）。
正しいのは（１）のみです。
― 中略 ―
この問題の正解率は６４.５％でした。入試で問われるスキルは何一つ問うていないのに、
国立Ｓクラスでは８５％が正当した一方、私大Ｂ、Ｃクラスでは正当率が５割を切りました。
では、多くの高校生が憧れる私大Ｓクラスではどうだったか。国立Ｓクラスに比べて２０ポイントも低い６６.８％に留まりました。
どこの大学に入学できるかは、学習量でも知識でも運でもない、論理的な読解と推論の力ではないのか、６０００枚の答案をみているうちに、私は確信するようになりました。
（ＡＩ vs. 教科書が読めない子供たち、新井紀子、2018年、１８２頁）。
然るに、
（02）
（α）帽子をかぶっていない子どもは、みんな女の子です。そして、
（β）スニーカーを履いている男の子は一人もいません。
（１）男の子はみんな帽子をかぶっている。
（２）帽子をかぶっている女の子はいない。
（３）帽子をかぶっていて、しかもスニーカーを履いている子どもは一人もいない。
という「日本語」は、それぞれ、
（α）すべてのｘについて（ｘが帽子をかぶっていないならば、ｘは女子である）。
（β）（スニーカーを履いているｘであって、そのうえ、男子であるｘ）は存在しない。
（１）すべてのｘについて（ｘが男子ならば、ｘは帽子をかぶっている）。
（２）（帽子をかぶっているｘであって、そのうえ、女子であるｘ）は存在しない。
（３）（帽子をかぶっていて、その上、スニーカーを履いているｘ）は存在しない。
という「意味」である。
然るに、
（03）
（α）すべてのｘについて（ｘが帽子をかぶっていないならば、ｘは女子である）。
（β）（スニーカーを履いているｘであって、そのうえ、男子であるｘ）は存在しない。
（１）すべてのｘについて（ｘが男子ならば、ｘは帽子をかぶっている）。
（２）（帽子をかぶっているｘであって、そのうえ、女子であるｘ）は存在しない。
（３）（帽子をかぶっていて、その上、スニーカーを履いているｘ）は存在しない。
という「日本語」は、
（α） ∀ｘ（～帽子ｘ→女子ｘ）。
（β）～∃ｘ（スニｘ＆ 男子ｘ）。
（１） ∀ｘ（男子ｘ→ 帽子ｘ）。
（２）～∃ｘ（帽子ｘ＆ 女子ｘ）。
（３）～∃ｘ（帽子ｘ＆ スニｘ）。
という「述語論理式」に「相当」する。
従って、
（02）（03）により、
（04）
（α）帽子をかぶっていない子どもは、みんな女の子です。
（β）スニーカーを履いている男の子は一人もいません。
（１）男の子はみんな帽子をかぶっている。
（２）帽子をかぶっている女の子はいない。
（３）帽子をかぶっていて、しかもスニーカーを履いている子どもは一人もいない。
という「日本語」は、それぞれ、
（α） ∀ｘ（～帽子ｘ→女子ｘ）。
（β）～∃ｘ（スニｘ＆ 男子ｘ）。
（１） ∀ｘ（男子ｘ→ 帽子ｘ）。
（２）～∃ｘ（帽子ｘ＆ 女子ｘ）。
（３）～∃ｘ（帽子ｘ＆ スニｘ）。
という「述語論理式」に「相当」する。
然るに、
（05）
（Γ） ∀ｘ（男子ｘ⇔～女子ｘ）
（〃）∀ｘ｛（男子ｘ→～女子ｘ）＆（～女子ｘ→男子ｘ）｝
（〃）男子ならば、そのときに限って、女子ではない。
という「命題」を、「公理」とする。
然るに、
（06）
「結論」を先に言うと、
（α）帽子をかぶっていない子どもは、みんな女の子です。
（１）男の子はみんな帽子をかぶっている。
（２）帽子をかぶっている女の子はいない。
（３）帽子をかぶっていて、しかもスニーカーを履いている子どもは一人もいない。
に於いて、
（α）と（１）は「対偶」であり、
（１）と（２）は「 逆 」であり、
（１）と（３）も「 逆 」であり、そのため、
（１）〇
（２）✕
（３）✕
然るに、
（07）
（α）
１ （１）∀ｘ（～帽子ｘ→女子ｘ） Ａ
１ （２） ～帽子ａ→女子ａ １ＵＥ
（３）∀ｘ（男子ｘ⇔～女子ｘ） 公理
（４） 男子ａ⇔～女子ａ ＵＥ
（５） 男子ａ→～女子ａ ４＆Ｅ（Ｄｆ.⇔）
６（６） 男子ａ Ａ
６（７） ～女子ａ ５６ＭＰＰ
１６（８） ～～帽子ａ １７ＭＰＰ
１６（９） 帽子ａ ８ＤＮ
１ （ア） 男子ａ→帽子ａ ６９ＣＰ
１ （イ） ∀ｘ（男子ｘ→帽子ｘ） アＵＩ
（１）
１ （１）∀ｘ（男子ｘ→ 帽子ｘ） Ａ
１ （２） 男子ａ→ 帽子ａ １ＵＥ
（３）∀ｘ（男子ｘ⇔～女子ｘ） 公理
（４） 男子ａ⇔～女子ａ ＵＥ
（５） ～女子ａ→男子ａ ４＆Ｅ（Ｄｆ.⇔）
６（６） ～帽子ａ Ａ
１６（７） ～男子ａ ２６ＭＴＴ
１６（８） ～～女子ａ ５７ＭＴＴ
１６（９） 女子ａ ８ＤＮ
１ （ア） ～帽子ａ→女子ａ ６９ＣＰ
１ （イ）∀ｘ（～帽子ｘ→女子ｘ） アＵＩ
従って、
（04）（07）により、
（08）
（α）∀ｘ（～帽子ｘ→女子ｘ）
（１）∀ｘ（男子ｘ→ 帽子ｘ）
に於いて、すなわち、
（α）帽子をかぶっていない子どもは、みんな女の子です（男の子ではない）。
（１）男の子（女の子でない子ども）はみんな帽子をかぶっている。
に於いて、
（α）と（１）は「対偶」であり、それ故、
（α）と（１）は「等しい」。
然るに、
（09）
（２）
１ （１）～∃ｘ（帽子ｘ＆女子ｘ） Ａ
１ （２）∀ｘ～（帽子ｘ＆女子ｘ） １量化子の関係
１ （３） ～（帽子ａ＆女子ａ） １ＵＥ
１ （４） ～帽子ａ∨～女子ａ ３ド・モルガンの法則
１ （５） 帽子ａ→～女子ａ ４含意の定義
（６）∀ｘ（男子ｘ⇔～女子ｘ） 公理
（７） 男子ａ⇔～女子ａ ６ＵＥ
（８） ～女子ａ→男子ａ ７＆Ｅ（Ｄｆ.⇔）
９（９） 帽子ａ Ａ
１９（ア） ～女子ａ ５９ＭＰＰ
１９（イ） 男子ａ ８アＭＰＰ
１ （ウ） 帽子ａ→ 男子ａ ９イＣＰ
１ （エ）∀ｘ（帽子ｘ→ 男子ｘ） ウＵＩ
（Ⅱ）
１ （１）∀ｘ（帽子ｘ→ 男子ｘ） Ａ
１ （２） 帽子ａ→ 男子ａ １ＵＥ
（３）∀ｘ（男子ｘ⇔～女子ｘ） 公理
（４） 男子ａ⇔～女子ａ ３ＵＥ
（５） 男子ａ→～女子ａ ４＆Ｅ（Ｄｆ.⇔）
６（６） 帽子ａ Ａ
１６（７） 男子ａ ２６ＭＰＰ
１６（８） ～女子ａ ５７ＭＰＰ
１ （９） 帽子ａ→～女子ａ ６８ＣＰ
１ （ア） ～帽子ａ∨～女子ａ ９含意の定義
１ （イ） ～（帽子ａ＆女子ａ） ア、ド・モルガンの法則
１ （ウ）∀ｘ～（帽子ｘ＆女子ｘ） イＵＩ
１ （エ）～∃ｘ（帽子ｘ＆女子ｘ） ウ量化子の関係
従って、
（09）により、
（10）
（２）～∃ｘ（帽子ｘ＆女子ｘ）
（Ⅱ） ∀ｘ（帽子ｘ→男子ｘ）
に於いて、
（２）＝（Ⅱ） である。
従って、
（11）
（２）～∃ｘ（帽子ｘ＆女子ｘ）
（Ⅱ） ∀ｘ（帽子ｘ→男子ｘ）
（１） ∀ｘ（男子ｘ→帽子ｘ）
に於いて、
（２）＝（Ⅱ）であって、
（Ⅱ）は（１）の「逆」であるが、「逆は必ずしも、〇（真）ではない」。
従って、
（04）（11）により、
（12）
（１）男の子はみんな帽子をかぶっている。
（２）帽子をかぶっている女の子はいない。
に於いて、
（２）は（１）の「逆」であるが、「逆は必ずしも、〇（真）ではない」。
然るに、
（13）
（β）スニーカーを履いている男の子は一人もいません。
１ （１）～∃ｘ（スニｘ＆男子ｘ） Ａ
１ （２）∀ｘ～（スニｘ＆男子ｘ） １量化子の関係
１ （３） ～（スニａ＆男子ａ） １ＵＥ
１ （４） ～スニａ∨～男子ａ ３ド・モルガンの法則
１ （５） スニａ→～男子ａ ４含意の定義
（６）∀ｘ（男子ｘ⇔～女子ｘ） 公理
（７） 男子ａ⇔～女子ａ ６ＵＥ
（８） ～男子ａ→ 女子ａ ７＆Ｅ（Ｄｆ.⇔）
９（９） スニａ Ａ
１９（ア） ～男子ａ ５９ＭＰＰ
１９（イ） 女子ａ ８アＭＰＰ
１ （ウ） スニａ→ 女子ａ ９イＣＰ
１ （エ）∀ｘ（スニｘ→ 女子ｘ） ウＵＩ
（Ｂ）スニーカーを履いている子は、みんな女子です。
１ （１）∀ｘ（スニｘ→ 女子ｘ） Ａ
１ （２） スニａ→ 女子ａ １ＵＩ
（３）∀ｘ（男子ｘ⇔～女子ｘ） 公理
（４） 男子ａ⇔～女子ａ ３ＵＥ
（５） 男子ａ→～女子ａ ４＆Ｅ（Ｄｆ.⇔）
６ （６） 女子ａ Ａ
６ （７） ～～女子ａ ６ＤＮ
６ （８） ～男子ａ ５７ＭＴＴ
（９） 女子ａ→～男子ａ ６８ＣＰ
ア（ア） スニａ Ａ
１ ア（イ） 女子ａ ２アＭＰＰ
１ ア（ウ） ～男子ａ ９イＭＰＰ
１ （エ） スニａ→～男子ａ アウＣＰ
１ （オ） ～スニａ∨～男子ａ エ含意の定義
１ （カ） ～（スニａ＆男子ａ） オ、ド・モルガンの法則
１ （キ）∀ｘ～（スニｘ＆男子ｘ） カＵＩ
１ （ク）～∃ｘ（スニｘ＆男子ｘ） キ、量化子の関係
従って、
（13）により、
（14）
（β）～∃ｘ（スニｘ＆男子ｘ）
（Ｂ） ∀ｘ（スニｘ→女子ｘ）
に於いて、すなわち、
（β）スニーカーを履いている男の子は一人もいません。
（Ｂ）スニーカーを履いている子は、みんな女子です。
に於いて、
（β）＝（Ｂ）である。
然るに、
（15）
（Ｂ）スニーカーを履いている子は、みんな女子です。
というのであれば、
（３）帽子をかぶっていて、しかも「スニーカーを履いている子ども」は一人もいない。
ということは、
（３）帽子をかぶっていて、しかも「女の子である子ども」は一人もいない。
ということに、「他ならない」。
然るに、
（16）
一々、「計算」はしないものの、
（３）帽子をかぶっていて、しかも「女の子である子ども」は一人もいない。
ということは、
（Ⅱ）帽子をかぶっている子はみんな男の子です。
（〃）∀ｘ（帽子ｘ→男子ｘ）
ということに、「他ならない」。
従って、
（12）～（16）により、
（17）
（１）男の子はみんな帽子をかぶっている。
（２）帽子をかぶっている女の子はいない。
に於いて、
（２）は（１）の「逆」であるが、「逆は必ずしも、〇（真）ではない」。
というだけでなく、
（１）男の子はみんな帽子をかぶっている。
（３）帽子をかぶっていて、しかも「スニーカーを履いている子ども」は一人もいない。
（３）は（１）の「逆」であるが、「逆は必ずしも、〇（真）ではない」。
従って、
（04）（05）（06）（17）により、
（18）
もう一度、確認すると、
（α）帽子をかぶっていない子どもは、みんな女の子です。
（β）スニーカーを履いている男の子は一人もいません。
（Γ）男子ならば、そのときに限って、女子ではない。
（１）男の子はみんな帽子をかぶっている。
（２）帽子をかぶっている女の子はいない。
（３）帽子をかぶっていて、しかもスニーカーを履いている子どもは一人もいない。
という「日本語」は、それぞれ、
（α） ∀ｘ（～帽子ｘ→女子ｘ）。
（β）～∃ｘ（スニｘ＆ 男子ｘ）。
（Γ） ∀ｘ（男子ｘ⇔～女子ｘ）。
（１） ∀ｘ（男子ｘ→ 帽子ｘ）。
（２）～∃ｘ（帽子ｘ＆ 女子ｘ）。
（３）～∃ｘ（帽子ｘ＆ スニｘ）。
という「述語論理式」に「相当」し、それ故、
（α）帽子をかぶっていない子どもは、みんな女の子です。
（１）男の子はみんな帽子をかぶっている。
（２）帽子をかぶっている女の子はいない。
（３）帽子をかぶっていて、しかもスニーカーを履いている子どもは一人もいない。
に於いて、
（α）と（１）は「対偶」であり、
（１）と（２）は「 逆 」であり、
（１）と（３）も「 逆 」であり、そのため、
（１）〇
（２）✕
（３）✕
である。
（01）（18）により、
（19）
問題 次の報告から確実に正しいと言えることには〇を、そうでないないものには✕を、左側の空欄に記入して下さい。
公園に子どもたちが集まっています。
男の子も女の子もいます。
（α）帽子をかぶっていない子どもは、みんな女の子です。そして、
（β）スニーカーを履いている男の子は一人もいません。
（１）男の子はみんな帽子をかぶっている。
（２）帽子をかぶっている女の子はいない。
（３）帽子をかぶっていて、しかもスニーカーを履いている子どもは一人もいない。
（ＡＩ vs. 教科書が読めない子供たち、新井紀子、2018年、１８２頁）。
正しいのは（１）のみです。
といふ「問題」は、「述語論理」によって、「解答」可能である。
然るに、
（20）
（述語）論理式にはこれまで述べたように、厳密な（形式的な）意味論が与えられるから、自然言語文も、翻訳を介して意味論に法っとった解釈が与えられ、したがって、間接的であるが、自然言語に意味論が与えられることになる（長尾真・淵一博、論理と意味、1983年、１６７頁）。
（21）
さて、統計的な手法が登場する以前、自然言語処理の技術を使う自動翻訳や質疑応答の分野では、研究者たちはＡＩに文法などの言葉のルールを覚えさせ、論理的、演繹的な手法で精度を上げようとしました。けれど、その手法は何度試みても失敗を繰り返しました（ＡＩ vs. 教科書が読めない子供たち、新井紀子、2018年、１２４頁）。
従って、
（19）（20）（21）により、
（22）
問題 次の報告から確実に正しいと言えることには〇を、そうでないないものには✕を、左側の空欄に記入して下さい。
公園に子どもたちが集まっています。
というような「問題」を、「生成ＡＩ」は、「（述語）論理式」を用いて、「解答」することは、出来ない。
令和６年３月２７日、毛利太。
問題 次の報告から確実に正しいと言えることには〇を、そうでないないものには✕を、左側の空欄に記入して下さい。
公園に子どもたちが集まっています。
男の子も女の子もいます。
（α）帽子をかぶっていない子どもは、みんな女の子です。そして、
（β）スニーカーを履いている男の子は一人もいません。
（１）男の子はみんな帽子をかぶっている。
（２）帽子をかぶっている女の子はいない。
（３）帽子をかぶっていて、しかもスニーカーを履いている子どもは一人もいない。
（ＡＩ vs. 教科書が読めない子供たち、新井紀子、2018年、１８２頁）。
正しいのは（１）のみです。
― 中略 ―
この問題の正解率は６４.５％でした。入試で問われるスキルは何一つ問うていないのに、
国立Ｓクラスでは８５％が正当した一方、私大Ｂ、Ｃクラスでは正当率が５割を切りました。
では、多くの高校生が憧れる私大Ｓクラスではどうだったか。国立Ｓクラスに比べて２０ポイントも低い６６.８％に留まりました。
どこの大学に入学できるかは、学習量でも知識でも運でもない、論理的な読解と推論の力ではないのか、６０００枚の答案をみているうちに、私は確信するようになりました。
（ＡＩ vs. 教科書が読めない子供たち、新井紀子、2018年、１８２頁）。
然るに、
（02）
（α）帽子をかぶっていない子どもは、みんな女の子です。そして、
（β）スニーカーを履いている男の子は一人もいません。
（１）男の子はみんな帽子をかぶっている。
（２）帽子をかぶっている女の子はいない。
（３）帽子をかぶっていて、しかもスニーカーを履いている子どもは一人もいない。
という「日本語」は、それぞれ、
（α）すべてのｘについて（ｘが帽子をかぶっていないならば、ｘは女子である）。
（β）（スニーカーを履いているｘであって、そのうえ、男子であるｘ）は存在しない。
（１）すべてのｘについて（ｘが男子ならば、ｘは帽子をかぶっている）。
（２）（帽子をかぶっているｘであって、そのうえ、女子であるｘ）は存在しない。
（３）（帽子をかぶっていて、その上、スニーカーを履いているｘ）は存在しない。
という「意味」である。
然るに、
（03）
（α）すべてのｘについて（ｘが帽子をかぶっていないならば、ｘは女子である）。
（β）（スニーカーを履いているｘであって、そのうえ、男子であるｘ）は存在しない。
（１）すべてのｘについて（ｘが男子ならば、ｘは帽子をかぶっている）。
（２）（帽子をかぶっているｘであって、そのうえ、女子であるｘ）は存在しない。
（３）（帽子をかぶっていて、その上、スニーカーを履いているｘ）は存在しない。
という「日本語」は、
（α） ∀ｘ（～帽子ｘ→女子ｘ）。
（β）～∃ｘ（スニｘ＆ 男子ｘ）。
（１） ∀ｘ（男子ｘ→ 帽子ｘ）。
（２）～∃ｘ（帽子ｘ＆ 女子ｘ）。
（３）～∃ｘ（帽子ｘ＆ スニｘ）。
という「述語論理式」に「相当」する。
従って、
（02）（03）により、
（04）
（α）帽子をかぶっていない子どもは、みんな女の子です。
（β）スニーカーを履いている男の子は一人もいません。
（１）男の子はみんな帽子をかぶっている。
（２）帽子をかぶっている女の子はいない。
（３）帽子をかぶっていて、しかもスニーカーを履いている子どもは一人もいない。
という「日本語」は、それぞれ、
（α） ∀ｘ（～帽子ｘ→女子ｘ）。
（β）～∃ｘ（スニｘ＆ 男子ｘ）。
（１） ∀ｘ（男子ｘ→ 帽子ｘ）。
（２）～∃ｘ（帽子ｘ＆ 女子ｘ）。
（３）～∃ｘ（帽子ｘ＆ スニｘ）。
という「述語論理式」に「相当」する。
然るに、
（05）
（Γ） ∀ｘ（男子ｘ⇔～女子ｘ）
（〃）∀ｘ｛（男子ｘ→～女子ｘ）＆（～女子ｘ→男子ｘ）｝
（〃）男子ならば、そのときに限って、女子ではない。
という「命題」を、「公理」とする。
然るに、
（06）
「結論」を先に言うと、
（α）帽子をかぶっていない子どもは、みんな女の子です。
（１）男の子はみんな帽子をかぶっている。
（２）帽子をかぶっている女の子はいない。
（３）帽子をかぶっていて、しかもスニーカーを履いている子どもは一人もいない。
に於いて、
（α）と（１）は「対偶」であり、
（１）と（２）は「 逆 」であり、
（１）と（３）も「 逆 」であり、そのため、
（１）〇
（２）✕
（３）✕
然るに、
（07）
（α）
１ （１）∀ｘ（～帽子ｘ→女子ｘ） Ａ
１ （２） ～帽子ａ→女子ａ １ＵＥ
（３）∀ｘ（男子ｘ⇔～女子ｘ） 公理
（４） 男子ａ⇔～女子ａ ＵＥ
（５） 男子ａ→～女子ａ ４＆Ｅ（Ｄｆ.⇔）
６（６） 男子ａ Ａ
６（７） ～女子ａ ５６ＭＰＰ
１６（８） ～～帽子ａ １７ＭＰＰ
１６（９） 帽子ａ ８ＤＮ
１ （ア） 男子ａ→帽子ａ ６９ＣＰ
１ （イ） ∀ｘ（男子ｘ→帽子ｘ） アＵＩ
（１）
１ （１）∀ｘ（男子ｘ→ 帽子ｘ） Ａ
１ （２） 男子ａ→ 帽子ａ １ＵＥ
（３）∀ｘ（男子ｘ⇔～女子ｘ） 公理
（４） 男子ａ⇔～女子ａ ＵＥ
（５） ～女子ａ→男子ａ ４＆Ｅ（Ｄｆ.⇔）
６（６） ～帽子ａ Ａ
１６（７） ～男子ａ ２６ＭＴＴ
１６（８） ～～女子ａ ５７ＭＴＴ
１６（９） 女子ａ ８ＤＮ
１ （ア） ～帽子ａ→女子ａ ６９ＣＰ
１ （イ）∀ｘ（～帽子ｘ→女子ｘ） アＵＩ
従って、
（04）（07）により、
（08）
（α）∀ｘ（～帽子ｘ→女子ｘ）
（１）∀ｘ（男子ｘ→ 帽子ｘ）
に於いて、すなわち、
（α）帽子をかぶっていない子どもは、みんな女の子です（男の子ではない）。
（１）男の子（女の子でない子ども）はみんな帽子をかぶっている。
に於いて、
（α）と（１）は「対偶」であり、それ故、
（α）と（１）は「等しい」。
然るに、
（09）
（２）
１ （１）～∃ｘ（帽子ｘ＆女子ｘ） Ａ
１ （２）∀ｘ～（帽子ｘ＆女子ｘ） １量化子の関係
１ （３） ～（帽子ａ＆女子ａ） １ＵＥ
１ （４） ～帽子ａ∨～女子ａ ３ド・モルガンの法則
１ （５） 帽子ａ→～女子ａ ４含意の定義
（６）∀ｘ（男子ｘ⇔～女子ｘ） 公理
（７） 男子ａ⇔～女子ａ ６ＵＥ
（８） ～女子ａ→男子ａ ７＆Ｅ（Ｄｆ.⇔）
９（９） 帽子ａ Ａ
１９（ア） ～女子ａ ５９ＭＰＰ
１９（イ） 男子ａ ８アＭＰＰ
１ （ウ） 帽子ａ→ 男子ａ ９イＣＰ
１ （エ）∀ｘ（帽子ｘ→ 男子ｘ） ウＵＩ
（Ⅱ）
１ （１）∀ｘ（帽子ｘ→ 男子ｘ） Ａ
１ （２） 帽子ａ→ 男子ａ １ＵＥ
（３）∀ｘ（男子ｘ⇔～女子ｘ） 公理
（４） 男子ａ⇔～女子ａ ３ＵＥ
（５） 男子ａ→～女子ａ ４＆Ｅ（Ｄｆ.⇔）
６（６） 帽子ａ Ａ
１６（７） 男子ａ ２６ＭＰＰ
１６（８） ～女子ａ ５７ＭＰＰ
１ （９） 帽子ａ→～女子ａ ６８ＣＰ
１ （ア） ～帽子ａ∨～女子ａ ９含意の定義
１ （イ） ～（帽子ａ＆女子ａ） ア、ド・モルガンの法則
１ （ウ）∀ｘ～（帽子ｘ＆女子ｘ） イＵＩ
１ （エ）～∃ｘ（帽子ｘ＆女子ｘ） ウ量化子の関係
従って、
（09）により、
（10）
（２）～∃ｘ（帽子ｘ＆女子ｘ）
（Ⅱ） ∀ｘ（帽子ｘ→男子ｘ）
に於いて、
（２）＝（Ⅱ） である。
従って、
（11）
（２）～∃ｘ（帽子ｘ＆女子ｘ）
（Ⅱ） ∀ｘ（帽子ｘ→男子ｘ）
（１） ∀ｘ（男子ｘ→帽子ｘ）
に於いて、
（２）＝（Ⅱ）であって、
（Ⅱ）は（１）の「逆」であるが、「逆は必ずしも、〇（真）ではない」。
従って、
（04）（11）により、
（12）
（１）男の子はみんな帽子をかぶっている。
（２）帽子をかぶっている女の子はいない。
に於いて、
然るに、
（13）
（β）スニーカーを履いている男の子は一人もいません。
１ （１）～∃ｘ（スニｘ＆男子ｘ） Ａ
１ （２）∀ｘ～（スニｘ＆男子ｘ） １量化子の関係
１ （３） ～（スニａ＆男子ａ） １ＵＥ
１ （４） ～スニａ∨～男子ａ ３ド・モルガンの法則
１ （５） スニａ→～男子ａ ４含意の定義
（６）∀ｘ（男子ｘ⇔～女子ｘ） 公理
（７） 男子ａ⇔～女子ａ ６ＵＥ
（８） ～男子ａ→ 女子ａ ７＆Ｅ（Ｄｆ.⇔）
９（９） スニａ Ａ
１９（ア） ～男子ａ ５９ＭＰＰ
１９（イ） 女子ａ ８アＭＰＰ
１ （ウ） スニａ→ 女子ａ ９イＣＰ
１ （エ）∀ｘ（スニｘ→ 女子ｘ） ウＵＩ
（Ｂ）スニーカーを履いている子は、みんな女子です。
１ （１）∀ｘ（スニｘ→ 女子ｘ） Ａ
１ （２） スニａ→ 女子ａ １ＵＩ
（３）∀ｘ（男子ｘ⇔～女子ｘ） 公理
（４） 男子ａ⇔～女子ａ ３ＵＥ
（５） 男子ａ→～女子ａ ４＆Ｅ（Ｄｆ.⇔）
６ （６） 女子ａ Ａ
６ （７） ～～女子ａ ６ＤＮ
６ （８） ～男子ａ ５７ＭＴＴ
（９） 女子ａ→～男子ａ ６８ＣＰ
ア（ア） スニａ Ａ
１ ア（イ） 女子ａ ２アＭＰＰ
１ ア（ウ） ～男子ａ ９イＭＰＰ
１ （エ） スニａ→～男子ａ アウＣＰ
１ （オ） ～スニａ∨～男子ａ エ含意の定義
１ （カ） ～（スニａ＆男子ａ） オ、ド・モルガンの法則
１ （キ）∀ｘ～（スニｘ＆男子ｘ） カＵＩ
１ （ク）～∃ｘ（スニｘ＆男子ｘ） キ、量化子の関係
従って、
（13）により、
（14）
（β）～∃ｘ（スニｘ＆男子ｘ）
（Ｂ） ∀ｘ（スニｘ→女子ｘ）
に於いて、すなわち、
（β）スニーカーを履いている男の子は一人もいません。
（Ｂ）スニーカーを履いている子は、みんな女子です。
に於いて、
（β）＝（Ｂ）である。
然るに、
（15）
（Ｂ）スニーカーを履いている子は、みんな女子です。
というのであれば、
（３）帽子をかぶっていて、しかも「スニーカーを履いている子ども」は一人もいない。
ということは、
（３）帽子をかぶっていて、しかも「女の子である子ども」は一人もいない。
ということに、「他ならない」。
然るに、
（16）
一々、「計算」はしないものの、
（３）帽子をかぶっていて、しかも「女の子である子ども」は一人もいない。
ということは、
（Ⅱ）帽子をかぶっている子はみんな男の子です。
（〃）∀ｘ（帽子ｘ→男子ｘ）
ということに、「他ならない」。
従って、
（12）～（16）により、
（17）
（１）男の子はみんな帽子をかぶっている。
（２）帽子をかぶっている女の子はいない。
に於いて、
というだけでなく、
（１）男の子はみんな帽子をかぶっている。
（３）帽子をかぶっていて、しかも「スニーカーを履いている子ども」は一人もいない。
（３）は（１）の「逆」であるが、「逆は必ずしも、〇（真）ではない」。
従って、
（04）（05）（06）（17）により、
（18）
もう一度、確認すると、
（α）帽子をかぶっていない子どもは、みんな女の子です。
（β）スニーカーを履いている男の子は一人もいません。
（Γ）男子ならば、そのときに限って、女子ではない。
（１）男の子はみんな帽子をかぶっている。
（２）帽子をかぶっている女の子はいない。
（３）帽子をかぶっていて、しかもスニーカーを履いている子どもは一人もいない。
という「日本語」は、それぞれ、
（α） ∀ｘ（～帽子ｘ→女子ｘ）。
（β）～∃ｘ（スニｘ＆ 男子ｘ）。
（Γ） ∀ｘ（男子ｘ⇔～女子ｘ）。
（１） ∀ｘ（男子ｘ→ 帽子ｘ）。
（２）～∃ｘ（帽子ｘ＆ 女子ｘ）。
（３）～∃ｘ（帽子ｘ＆ スニｘ）。
という「述語論理式」に「相当」し、それ故、
（α）帽子をかぶっていない子どもは、みんな女の子です。
（１）男の子はみんな帽子をかぶっている。
（２）帽子をかぶっている女の子はいない。
（３）帽子をかぶっていて、しかもスニーカーを履いている子どもは一人もいない。
に於いて、
（α）と（１）は「対偶」であり、
（１）と（２）は「 逆 」であり、
（１）と（３）も「 逆 」であり、そのため、
（１）〇
（２）✕
（３）✕
である。
（01）（18）により、
（19）
問題 次の報告から確実に正しいと言えることには〇を、そうでないないものには✕を、左側の空欄に記入して下さい。
公園に子どもたちが集まっています。
男の子も女の子もいます。
（α）帽子をかぶっていない子どもは、みんな女の子です。そして、
（β）スニーカーを履いている男の子は一人もいません。
（１）男の子はみんな帽子をかぶっている。
（２）帽子をかぶっている女の子はいない。
（３）帽子をかぶっていて、しかもスニーカーを履いている子どもは一人もいない。
（ＡＩ vs. 教科書が読めない子供たち、新井紀子、2018年、１８２頁）。
正しいのは（１）のみです。
といふ「問題」は、「述語論理」によって、「解答」可能である。
然るに、
（20）
（述語）論理式にはこれまで述べたように、厳密な（形式的な）意味論が与えられるから、自然言語文も、翻訳を介して意味論に法っとった解釈が与えられ、したがって、間接的であるが、自然言語に意味論が与えられることになる（長尾真・淵一博、論理と意味、1983年、１６７頁）。
（21）
さて、統計的な手法が登場する以前、自然言語処理の技術を使う自動翻訳や質疑応答の分野では、研究者たちはＡＩに文法などの言葉のルールを覚えさせ、論理的、演繹的な手法で精度を上げようとしました。けれど、その手法は何度試みても失敗を繰り返しました（ＡＩ vs. 教科書が読めない子供たち、新井紀子、2018年、１２４頁）。
従って、
（19）（20）（21）により、
（22）
問題 次の報告から確実に正しいと言えることには〇を、そうでないないものには✕を、左側の空欄に記入して下さい。
公園に子どもたちが集まっています。
というような「問題」を、「生成ＡＩ」は、「（述語）論理式」を用いて、「解答」することは、出来ない。
令和６年３月２７日、毛利太。
2024年3月24日日曜日
「この問題の正解率は６４.５％でした。」（Ⅱ）
（01）
問題 次の報告から確実に正しいと言えることには〇を、そうでないないものには✕を、左側の空欄に記入して下さい。
公園に子どもたちが集まっています。
男の子も女の子もいます。
帽子をかぶっていない子どもは、みんな女の子です。そして、
スニーカーを履いている男の子は一人もいません。
（１）男の子はみんな帽子をかぶっている。
（２）帽子をかぶっている女の子はいない。
（３）帽子をかぶっていて、しかもスニーカーを履いている子どもは一人もいない。
正しいのは（１）のみです。
（ＡＩ vs. 教科書が読めない子供たち、新井紀子、2018年、１８２頁）。
従って、
（01）により、
（02）
「教科書が読めない子供たち」によると、
（ⅰ）帽子をかぶっていないならば、女子である。従って、
（ⅱ）男子であるならば、帽子をかぶっている。
という『推論』は、「妥当」である。
然るに、
（03）
１ （１） ∀ｘ（～帽子ｘ→女子ｘ） Ａ
２ （２） ∀ｘ（女子ｘ→～男子ｘ） Ａ
３ （３） ～∀ｘ（男子ｘ→帽子ｘ） Ａ
１ （４） ～帽子ａ→女子ａ １ＵＥ
２ （５） 女子ａ→～男子ａ ２ＵＥ
３ （６） ∃ｘ～（男子ｘ→帽子ｘ） ３量化子の関係
７（７） ～（男子ａ→帽子ａ） Ａ
７（８） ～（～男子ａ∨帽子ａ） ７含意の定義
７（９） 男子ａ＆～帽子ａ ８ド・モルガンの法則
７（ア） ～帽子ａ ９＆Ｅ
１ ７（イ） 女子ａ ４アＭＰＰ
１２ ７（ウ） ～男子ａ ５イＭＰＰ
１２ ７（エ） 男子ａ ９＆Ｅ
１２ ７（オ） 男子ａ＆～男子ａ イウ＆Ｉ
１ ７（カ）～∀ｘ（女子ｘ→～男子ｘ） ２オＲＡＡ
１ ３ （キ）～∀ｘ（女子ｘ→～男子ｘ） ３７カＥＥ
１２３ （ク）～∀ｘ（女子ｘ→～男子ｘ）＆
∀ｘ（女子ｘ→～男子ｘ） ２キ＆Ｉ
１２ （ケ）～～∀ｘ（男子ｘ→帽子ｘ） ３クＲＡＡ
１２ （コ） ∀ｘ（男子ｘ→帽子ｘ） ケＤＮ
従って、
（03）により、
（04）
（ⅰ）∀ｘ（～帽子ｘ→女子ｘ）。然るに、
（ⅱ）∀ｘ（女子ｘ→～男子ｘ）。従って、
（ⅲ） ∀ｘ（男子ｘ→帽子ｘ）。
という『推論』、すなはち、
（ⅰ）すべてのｘについて（ｘが帽子をかぶっていないならば、ｘは女子である）。然るに、
（ⅱ）すべてのｘについて（ｘが女子であるならば、ｘは男子ではない）。従って、
（ⅲ）すべてのｘについて（ｘが男子であるならば、ｘは帽子をかぶっている）。
という『推論』、すなはち、
（ⅰ）帽子をかぶっていないならば、女子である。然るに、
（ⅱ）女子であるならば、男子ではない。従って、
（ⅲ）男子であるならば、帽子をかぶっている。
という『推論』は、「妥当」である。
従って、
（04）により、
（05）
「述語論理」からすれば、
（ⅰ）帽子をかぶっていないならば、女子である。然るに、
（ⅱ）女子であるならば、男子ではない。従って、
（ⅲ）男子であるならば、帽子をかぶっている。
という『推論』は、「妥当」であるが、
（ⅰ）帽子をかぶっていないならば、女子である。従って、
（ⅲ）男子であるならば、帽子をかぶっている。
という『推論』は、「妥当」ではない。
従って、
（02）（05）により、
（06）
「述語論理」からすれば、
「ＡＩ vs. 教科書が読めない子供たち、新井紀子、2018年」による、
（ⅰ）帽子をかぶっていないならば、女子である。従って、
（ⅱ）男子であるならば、帽子をかぶっている。
という『推論』は、
（ⅱ）女子であるならば、男子ではない。
という「前提」が、「省略」されているため、「妥当」ではない。
従って、
（06）により、
（07）
「ＡＩ」に対して、
「述語論理」による『推論』をさせる場合は、
「ＡＩ」に対して、
「人間の５歳児には常識である」所の、
（ⅱ）女子であるならば、男子ではない。
という「常識」を、「予め、教えなければ、ならない」。
従って、
（07）により、
（08）
「生成ＡＩ」が、
「人間の５歳児なみに、賢くなる」ためには、
「生成ＡＩ」は、
「人間の５歳児なみの、常識を、獲得しなければ、ならない」。
然るに、
（09）
「人間の５歳児は、知らないことが多い」としても、
「人間の５歳児には、様々な、実体験が有り」、その一方で、
「人間の５歳児の知識としては、例えば、ウィキペディアから得たものは、ほとんど無い。」
従って、
（09）により、
（10）
「生成ＡＩ」が、
「人間の５歳児と同じように、賢くなること」は、「不可能」である。
令和６年３月２４日、毛利太。
問題 次の報告から確実に正しいと言えることには〇を、そうでないないものには✕を、左側の空欄に記入して下さい。
公園に子どもたちが集まっています。
男の子も女の子もいます。
帽子をかぶっていない子どもは、みんな女の子です。そして、
スニーカーを履いている男の子は一人もいません。
（１）男の子はみんな帽子をかぶっている。
（２）帽子をかぶっている女の子はいない。
（３）帽子をかぶっていて、しかもスニーカーを履いている子どもは一人もいない。
正しいのは（１）のみです。
（ＡＩ vs. 教科書が読めない子供たち、新井紀子、2018年、１８２頁）。
従って、
（01）により、
（02）
「教科書が読めない子供たち」によると、
（ⅰ）帽子をかぶっていないならば、女子である。従って、
（ⅱ）男子であるならば、帽子をかぶっている。
という『推論』は、「妥当」である。
然るに、
（03）
１ （１） ∀ｘ（～帽子ｘ→女子ｘ） Ａ
２ （２） ∀ｘ（女子ｘ→～男子ｘ） Ａ
３ （３） ～∀ｘ（男子ｘ→帽子ｘ） Ａ
１ （４） ～帽子ａ→女子ａ １ＵＥ
２ （５） 女子ａ→～男子ａ ２ＵＥ
３ （６） ∃ｘ～（男子ｘ→帽子ｘ） ３量化子の関係
７（７） ～（男子ａ→帽子ａ） Ａ
７（８） ～（～男子ａ∨帽子ａ） ７含意の定義
７（９） 男子ａ＆～帽子ａ ８ド・モルガンの法則
７（ア） ～帽子ａ ９＆Ｅ
１ ７（イ） 女子ａ ４アＭＰＰ
１２ ７（ウ） ～男子ａ ５イＭＰＰ
１２ ７（エ） 男子ａ ９＆Ｅ
１２ ７（オ） 男子ａ＆～男子ａ イウ＆Ｉ
１ ７（カ）～∀ｘ（女子ｘ→～男子ｘ） ２オＲＡＡ
１ ３ （キ）～∀ｘ（女子ｘ→～男子ｘ） ３７カＥＥ
１２３ （ク）～∀ｘ（女子ｘ→～男子ｘ）＆
∀ｘ（女子ｘ→～男子ｘ） ２キ＆Ｉ
１２ （ケ）～～∀ｘ（男子ｘ→帽子ｘ） ３クＲＡＡ
１２ （コ） ∀ｘ（男子ｘ→帽子ｘ） ケＤＮ
従って、
（03）により、
（04）
（ⅰ）∀ｘ（～帽子ｘ→女子ｘ）。然るに、
（ⅱ）∀ｘ（女子ｘ→～男子ｘ）。従って、
（ⅲ） ∀ｘ（男子ｘ→帽子ｘ）。
という『推論』、すなはち、
（ⅰ）すべてのｘについて（ｘが帽子をかぶっていないならば、ｘは女子である）。然るに、
（ⅱ）すべてのｘについて（ｘが女子であるならば、ｘは男子ではない）。従って、
（ⅲ）すべてのｘについて（ｘが男子であるならば、ｘは帽子をかぶっている）。
という『推論』、すなはち、
（ⅰ）帽子をかぶっていないならば、女子である。然るに、
（ⅱ）女子であるならば、男子ではない。従って、
（ⅲ）男子であるならば、帽子をかぶっている。
という『推論』は、「妥当」である。
従って、
（04）により、
（05）
「述語論理」からすれば、
（ⅰ）帽子をかぶっていないならば、女子である。然るに、
（ⅱ）女子であるならば、男子ではない。従って、
（ⅲ）男子であるならば、帽子をかぶっている。
という『推論』は、「妥当」であるが、
（ⅰ）帽子をかぶっていないならば、女子である。従って、
（ⅲ）男子であるならば、帽子をかぶっている。
という『推論』は、「妥当」ではない。
従って、
（02）（05）により、
（06）
「述語論理」からすれば、
「ＡＩ vs. 教科書が読めない子供たち、新井紀子、2018年」による、
（ⅰ）帽子をかぶっていないならば、女子である。従って、
（ⅱ）男子であるならば、帽子をかぶっている。
という『推論』は、
（ⅱ）女子であるならば、男子ではない。
という「前提」が、「省略」されているため、「妥当」ではない。
従って、
（06）により、
（07）
「ＡＩ」に対して、
「述語論理」による『推論』をさせる場合は、
「ＡＩ」に対して、
「人間の５歳児には常識である」所の、
（ⅱ）女子であるならば、男子ではない。
という「常識」を、「予め、教えなければ、ならない」。
従って、
（07）により、
（08）
「生成ＡＩ」が、
「人間の５歳児なみに、賢くなる」ためには、
「生成ＡＩ」は、
「人間の５歳児なみの、常識を、獲得しなければ、ならない」。
然るに、
（09）
「人間の５歳児は、知らないことが多い」としても、
「人間の５歳児には、様々な、実体験が有り」、その一方で、
「人間の５歳児の知識としては、例えば、ウィキペディアから得たものは、ほとんど無い。」
従って、
（09）により、
（10）
「生成ＡＩ」が、
「人間の５歳児と同じように、賢くなること」は、「不可能」である。
令和６年３月２４日、毛利太。
「この問題の正解率は６４.５％でした。」
（01）
問題 次の報告から確実に正しいと言えることには〇を、そうでないないものには✕を、左側の空欄に記入して下さい。
公園に子どもたちが集まっています。
男の子も女の子もいます。
帽子をかぶっていない子どもは、みんな女の子です。そして、
スニーカーを履いている男の子は一人もいません。
（１）男の子はみんな帽子をかぶっている。
（２）帽子をかぶっている女の子はいない。
（３）帽子をかぶっていて、しかもスニーカーを履いている子どもは一人もいない。
― 中略 ―
この問題の正解率は６４.５％でした。入試で問われるスキルは何一つ問うていないのに、
国立Ｓクラスでは８５％が正当した一方、私大Ｂ、Ｃクラスでは正当率が５割を切りました。
では、多くの高校生が憧れる私大Ｓクラスではどうだったか。国立Ｓクラスに比べて２０ポイントも低い６６.８％に留まりました。
どこの大学に入学できるかは、学習量でも知識でも運でもない、論理的な読解と推論の力ではないのか、６０００枚の答案をみているうちに、私は確信するようになりました。
（ＡＩ vs. 教科書が読めない子供たち、新井紀子、2018年、１８２頁）。
然るに、
（01）により、
（02）
（ⅰ）帽子をかぶっていない子どもは、みんな女の子です。
（ⅱ）スニーカーを履いている男の子は一人もいません。
（１）男の子はみんな帽子をかぶっている。
（２）帽子をかぶっている女の子はいない。
（３）帽子をかぶっていて、しかもスニーカーを履いている子どもは一人もいない。
然るに、
（03）
男子＝｛（一郎）、（次郎）、（三郎）｝
女子＝｛ 花子 、 桃子、 （梅子）｝
に於いて、
帽子をかぶっている ＝｛（一郎）、（次郎）、（三郎）、（梅子）｝
帽子をかぶっていない＝｛ 花子、 桃子｝
とする。
従って、
（03）により、
（04）
（ⅰ）帽子をかぶっていない子どもは、みんな女の子（花子、桃子）です。
（１）男の子（一郎、次郎、三郎）はみんな帽子をかぶっている。
といふ「命題」は、「真（〇）」である。
然るに、
（03）により、
（05）
帽子をかぶっている＝｛（一郎）、（次郎）、（三郎）、（梅子）｝
であるため、
帽子をかぶっている≒｛（梅子）｝
であって、それ故、
（２）帽子をかぶっている女の子はいない。
（〃）梅子は女の子ではない。
といふ「命題」は、「偽（✕）」である。
然るに、
（01）により、
（06）
（ⅱ）スニーカーを履いている男の子は一人もいません。
といふことは、
帽子をかぶっている＝｛（一郎）、（次郎）、（三郎）、（梅子）｝
といふ「４人」の内の｛（一郎）、（次郎）、（三郎） ｝といふ「３人」は、「スニーカーを履いていない」。
といふことである。
然るに、
（07）
帽子をかぶっている＝｛（一郎）、（次郎）、（三郎）、（梅子）｝
といふ「４人」の内の｛（一郎）、（次郎）、（三郎） ｝といふ「３人」は、「スニーカーを履いていない」。
といふことは、
帽子をかぶっている≒｛（梅子）｝
に関しては、「スニーカーを履いているかも、知れない」。
といふことである。
然るに、
（03）（07）により、
（08）
帽子をかぶっている≒｛（梅子）｝
に関しては、「スニーカーを履いているかも、知れない」。
といふことは、
（３）帽子をかぶっていて、しかもスニーカーを履いている子どもは一人もいない。
といふのではなく、
（３）帽子をかぶっていて、しかもスニーカーを履いている子ども（梅子）がいる。
かも知れない。
といふ、ことである。
従って、
（08）により、
（09）
（３）帽子をかぶっていて、しかもスニーカーを履いている子どもは一人もいない。
といふ「命題」は、「偽（✕）」である。
従って、
（01）～（09）により、
（10）
（ⅰ）帽子をかぶっていない子どもは、みんな女の子です。
（ⅱ）スニーカーを履いている男の子は一人もいません。
といふ「命題」が「真（〇）」であるならば、
（１）男の子はみんな帽子をかぶっている。
（２）帽子をかぶっている女の子はいない。
（３）帽子をかぶっていて、しかもスニーカーを履いている子どもは一人もいない。
に於いて、
（１）だけが、「真（〇）」であるが、「新井紀子」先生の「解答」も、
（１）だけが、「真（〇）」である。
然るに、
（11）
この問題は、
（ⅰ）
１ （１）～∃ｘ（女子ｘ＆ 男子ｘ） Ａ
２ （２） 女子ａ＆ 男子ａ Ａ
２ （３） ∃ｘ（女子ｘ＆ 男子ｘ） ２ＥＩ
１２ （４）～∃ｘ（女子ｘ＆ 男子ｘ）＆
∃ｘ（女子ｘ＆ 男子ｘ） １３＆Ｉ
１ （５） ～（女子ａ＆ 男子ａ） ２４ＲＡＡ
６ （６） 女子ａ Ａ
７（７） 男子ａ Ａ
６７（８） 女子ａ＆ 男子ａ ６７＆Ｉ
１ ６７（９） ～（女子ａ＆ 男子ａ）＆
（女子ａ＆ 男子ａ） ５８＆Ｉ
１ ６ （ア） ～男子ａ ７ＲＡＡ
１ （イ） 女子ａ→～男子ａ ６アＣＰ
１ （ウ ∀ｘ（女子ｘ→～男子ｘ） イＵＩ
（ⅱ）
１ （１） ∀ｘ（女子ｘ→～男子ｘ） Ａ
２ （２） ∃ｘ（女子ｘ＆ 男子ｘ） Ａ
１ （３） 女子ａ→～男子ａ １ＵＥ
３ （４） 女子ａ＆男子ａ Ａ
３ （５） 女子ａ ４＆Ｅ
１ ３ （６） ～男子ａ ３５ＭＰＰ
３ （７） 男子ａ ４＆Ｅ
１ ３ （８） ～男ａ＆男子ａ ６７＆Ｉ
３ （９）～∀ｘ（女子ｘ→～男子ｘ） １８ＲＡＡ
２ （ア）～∀ｘ（女子ｘ→～男子ｘ） ２３９ＥＥ
１２ （イ）～∀ｘ（女子ｘ→～男子ｘ）＆
∀ｘ（女子ｘ→～男子ｘ） １ア＆Ｉ
１ （ウ）～∃ｘ（女子ｘ＆ 男子ｘ） ２イＲＡＡ
という「計算」に拘っていると、「頭がぐちゃぐちゃになる」ものの、
男子＝｛（一郎）、（次郎）、（三郎）｝
女子＝｛ 花子 、 桃子、 （梅子）｝
という風に、「書いて」みると、「極めて、簡単に、答えが出る」。
従って、
（12）
「生成ＡＩ君」に対しても、「このような解法」を、勧めたい。
令和６年３月２４日、毛利太。
問題 次の報告から確実に正しいと言えることには〇を、そうでないないものには✕を、左側の空欄に記入して下さい。
公園に子どもたちが集まっています。
男の子も女の子もいます。
帽子をかぶっていない子どもは、みんな女の子です。そして、
スニーカーを履いている男の子は一人もいません。
（１）男の子はみんな帽子をかぶっている。
（２）帽子をかぶっている女の子はいない。
（３）帽子をかぶっていて、しかもスニーカーを履いている子どもは一人もいない。
― 中略 ―
この問題の正解率は６４.５％でした。入試で問われるスキルは何一つ問うていないのに、
国立Ｓクラスでは８５％が正当した一方、私大Ｂ、Ｃクラスでは正当率が５割を切りました。
では、多くの高校生が憧れる私大Ｓクラスではどうだったか。国立Ｓクラスに比べて２０ポイントも低い６６.８％に留まりました。
どこの大学に入学できるかは、学習量でも知識でも運でもない、論理的な読解と推論の力ではないのか、６０００枚の答案をみているうちに、私は確信するようになりました。
（ＡＩ vs. 教科書が読めない子供たち、新井紀子、2018年、１８２頁）。
然るに、
（01）により、
（02）
（ⅰ）帽子をかぶっていない子どもは、みんな女の子です。
（ⅱ）スニーカーを履いている男の子は一人もいません。
（１）男の子はみんな帽子をかぶっている。
（２）帽子をかぶっている女の子はいない。
（３）帽子をかぶっていて、しかもスニーカーを履いている子どもは一人もいない。
然るに、
（03）
男子＝｛（一郎）、（次郎）、（三郎）｝
女子＝｛ 花子 、 桃子、 （梅子）｝
に於いて、
帽子をかぶっている ＝｛（一郎）、（次郎）、（三郎）、（梅子）｝
帽子をかぶっていない＝｛ 花子、 桃子｝
とする。
従って、
（03）により、
（04）
（ⅰ）帽子をかぶっていない子どもは、みんな女の子（花子、桃子）です。
（１）男の子（一郎、次郎、三郎）はみんな帽子をかぶっている。
といふ「命題」は、「真（〇）」である。
然るに、
（03）により、
（05）
帽子をかぶっている＝｛（一郎）、（次郎）、（三郎）、（梅子）｝
であるため、
帽子をかぶっている≒｛（梅子）｝
であって、それ故、
（２）帽子をかぶっている女の子はいない。
（〃）梅子は女の子ではない。
といふ「命題」は、「偽（✕）」である。
然るに、
（01）により、
（06）
（ⅱ）スニーカーを履いている男の子は一人もいません。
といふことは、
帽子をかぶっている＝｛（一郎）、（次郎）、（三郎）、（梅子）｝
といふ「４人」の内の｛（一郎）、（次郎）、（三郎） ｝といふ「３人」は、「スニーカーを履いていない」。
といふことである。
然るに、
（07）
帽子をかぶっている＝｛（一郎）、（次郎）、（三郎）、（梅子）｝
といふ「４人」の内の｛（一郎）、（次郎）、（三郎） ｝といふ「３人」は、「スニーカーを履いていない」。
といふことは、
帽子をかぶっている≒｛（梅子）｝
に関しては、「スニーカーを履いているかも、知れない」。
といふことである。
然るに、
（03）（07）により、
（08）
帽子をかぶっている≒｛（梅子）｝
に関しては、「スニーカーを履いているかも、知れない」。
といふことは、
（３）帽子をかぶっていて、しかもスニーカーを履いている子どもは一人もいない。
といふのではなく、
（３）帽子をかぶっていて、しかもスニーカーを履いている子ども（梅子）がいる。
かも知れない。
といふ、ことである。
従って、
（08）により、
（09）
（３）帽子をかぶっていて、しかもスニーカーを履いている子どもは一人もいない。
といふ「命題」は、「偽（✕）」である。
従って、
（01）～（09）により、
（10）
（ⅰ）帽子をかぶっていない子どもは、みんな女の子です。
（ⅱ）スニーカーを履いている男の子は一人もいません。
といふ「命題」が「真（〇）」であるならば、
（１）男の子はみんな帽子をかぶっている。
（２）帽子をかぶっている女の子はいない。
（３）帽子をかぶっていて、しかもスニーカーを履いている子どもは一人もいない。
に於いて、
（１）だけが、「真（〇）」であるが、「新井紀子」先生の「解答」も、
（１）だけが、「真（〇）」である。
然るに、
（11）
この問題は、
（ⅰ）
１ （１）～∃ｘ（女子ｘ＆ 男子ｘ） Ａ
２ （２） 女子ａ＆ 男子ａ Ａ
２ （３） ∃ｘ（女子ｘ＆ 男子ｘ） ２ＥＩ
１２ （４）～∃ｘ（女子ｘ＆ 男子ｘ）＆
∃ｘ（女子ｘ＆ 男子ｘ） １３＆Ｉ
１ （５） ～（女子ａ＆ 男子ａ） ２４ＲＡＡ
６ （６） 女子ａ Ａ
７（７） 男子ａ Ａ
６７（８） 女子ａ＆ 男子ａ ６７＆Ｉ
１ ６７（９） ～（女子ａ＆ 男子ａ）＆
（女子ａ＆ 男子ａ） ５８＆Ｉ
１ ６ （ア） ～男子ａ ７ＲＡＡ
１ （イ） 女子ａ→～男子ａ ６アＣＰ
１ （ウ ∀ｘ（女子ｘ→～男子ｘ） イＵＩ
（ⅱ）
１ （１） ∀ｘ（女子ｘ→～男子ｘ） Ａ
２ （２） ∃ｘ（女子ｘ＆ 男子ｘ） Ａ
１ （３） 女子ａ→～男子ａ １ＵＥ
３ （４） 女子ａ＆男子ａ Ａ
３ （５） 女子ａ ４＆Ｅ
１ ３ （６） ～男子ａ ３５ＭＰＰ
３ （７） 男子ａ ４＆Ｅ
１ ３ （８） ～男ａ＆男子ａ ６７＆Ｉ
３ （９）～∀ｘ（女子ｘ→～男子ｘ） １８ＲＡＡ
２ （ア）～∀ｘ（女子ｘ→～男子ｘ） ２３９ＥＥ
１２ （イ）～∀ｘ（女子ｘ→～男子ｘ）＆
∀ｘ（女子ｘ→～男子ｘ） １ア＆Ｉ
１ （ウ）～∃ｘ（女子ｘ＆ 男子ｘ） ２イＲＡＡ
という「計算」に拘っていると、「頭がぐちゃぐちゃになる」ものの、
男子＝｛（一郎）、（次郎）、（三郎）｝
女子＝｛ 花子 、 桃子、 （梅子）｝
という風に、「書いて」みると、「極めて、簡単に、答えが出る」。
従って、
（12）
「生成ＡＩ君」に対しても、「このような解法」を、勧めたい。
令和６年３月２４日、毛利太。
2024年3月23日土曜日
ＡＩは何も考えてはいない！！
（01）
「マイクロソフトのＡＩ」に「質問(兎は象ですか？)」をしたところ、「ＡＩ」は「パニック」を起こしたのか？？
という「回答」の「１回目」は、右のやうな「日本語（申し訳ありません）」ではなく、「英語（I apologize）」であった。
然るに、
（02）
さて、統計的な手法が登場する以前、自然言語処理の技術を使う自動翻訳や質疑応答の分野では、研究者たちはＡＩに文法などの言葉のルールを憶えさせ、論理的、演繹的な手法で精度を上げようとしました（ＡＩ vs. 教科書が読めない子供たち、新井紀子、2018年、１２４頁）。
然るに、
（03）
Ｐｒｏｌｏｇの文は「述語論理」にならって節（Ｃｌａｕｓｅ）と呼ぶことが多いのでここでも節と呼ぶことににします。一つの節は、一つの述語が、どういう場合に真になるかを記述しています。もっとも単純な例として、
ｆａｔｈｅｒ（ｍａｒｙ，ｈｅｎｒｙ）.
という節は、ｆａｔｈｅｒという述語がｍａｒｙ，ｈｅｎｒｙという引数に対して成立するということを表しています（淵一博 監修、第五世代コンピューター入門、1987年、１１頁）。
然るに、
（04）
第五世代コンピュータ（だいごせだいコンピュータ）計画とは、1982年から1992年にかけて日本の通商産業省（現経済産業省）所管の新世代コンピュータ技術開発機構（ICOT）が進めた国家プロジェクトで、いわゆる人工知能コンピュータの開発を目的に総額540億円の国家予算が投入された（ウィキペディア）。
従って、
（02）（03）（04）により、
（05）
「（統計的な手法が登場する以前の、）第五世代コンピュータ計画」の「時代」には、
１ （１） ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
２ （２） ∀ｘ｛兎ｘ→∃ｚ（耳ｚｘ＆～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝ Ａ
３ （３） ∃ｘ（象ｘ＆兎ｘ） Ａ
１ （４） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） １ＵＥ
２ （５） 兎ａ→∃ｚ（耳ｚａ＆～鼻ｚａ＆長ｚ） ２ＵＥ
６ （６） 象ａ＆兎ａ Ａ
６ （７） 象ａ ６＆Ｅ
６ （８） 兎ａ ６＆Ｅ
１ ６ （９） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ４７ＭＰＰ
１ ６ （ア） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ９＆Ｅ
１ ６ （イ） ～鼻ｂａ→～長ｂ アＵＥ
２ ６ （ウ） ∃ｚ（耳ｚａ＆～鼻ｚａ＆長ｚ） ５８ＭＰＰ
エ （エ） 耳ｂａ＆～鼻ｂａ＆長ｂ Ａ
エ （オ） ～鼻ｂａ エ＆Ｅ
エ （カ） 長ｂ エ＆Ｅ
１ ６エ （キ） ～長ｂ イオＭＰＰ
１ ６エ （ク） 長ｂ＆～長ｂ カキ＆Ｉ
１２ ６ （ケ） 長ｂ＆～長ｂ ウエクＥＥ
１２３ （コ） 長ｂ＆～長ｂ ３６ケＥＥ
１２ （サ）～∃ｘ（象ｘ＆ 兎ｘ） ３コＲＡＡ
シ （シ） ～（象ａ→～兎ａ） Ａ
シ （ス） ～（～象ａ∨～兎ａ） シ含意の定義
シ （セ） 象ａ＆ 兎ａ ス、ド・モルガンの法則
シ （ソ） ∃ｘ（象ｘ＆ 兎ｘ） セＥＩ
１２ シ （タ）～∃ｘ（象ｘ＆ 兎ｘ）＆∃ｘ（象ｘ＆ 兎ｘ） サソ＆Ｉ
１２ （チ） ～～（象ａ→～兎ａ） シタＲＡＡ
１２ （ツ） （象ａ→～兎ａ） チＤＮ
テ（テ） 兎ａ Ａ
テ（ト） ～～兎ａ テＤＮ
１２ テ（ナ） ～象ａ ツトＭＴＴ
１２ （ニ） 兎ａ→～象ａ テナＣＰ
１２ （ヌ） ∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ） ニＵＩ
といふ「述語計算」を用ひて、「コンピューター」に対して、
（ⅰ）象は鼻が長い。然るに、
（ⅱ）兎の耳は長いが、耳は鼻ではない。従って、
（ⅲ）兎は象ではない。
といふ「推論（演繹）」をさせようとしてゐた。
然るに、
（05）により、
（06）
２（２） ∀ｘ｛兎ｘ→∃ｚ（耳ｚｘ＆～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝ Ａ
から、 「～鼻ｚｘ（耳は鼻でない）」を「除いた」場合は、
１２（ヌ） ∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ） ニＵＩ
１２（〃） 兎は象ではない。 ニＵＩ
といふ「結論」を得ることは、出来ない。
従って、
（05）（06）により、
（07）
（ⅱ）兎の耳は鼻ではない。
といふ「条件」が示されてはゐない。
といふ「理由」により、
（ⅰ）象は鼻が長い。然るに、
（ⅱ）兎は耳が長い。従って、
（ⅲ）兎は象ではない。
といふ「推論（演繹）」は、「述語論理」としては、「間違ひ」である。
然るに、
（08）
（ⅱ）兎の耳は鼻ではない。
（〃）王様の耳はロバの耳である。
（〃）パンの耳は食べられる。
といふことは、「（一々、断らなくとも）、常識」である。
従って、
（08）～（08）により、
（09）
「人間」にではなく、
「第五世代コンピュータ」に対して、次に、
（ⅰ）ロバは耳が長い。然るに、
（ⅱ）王様は耳が短い。従って、
（ⅲ）王様はロバではない。
といふ「推論（演繹）」を行わせようとするならば、
（ⅱ）（童話の中では）王様の耳は長いこともあるが、
（〃）（童話の中でも）パンの耳は、王様の耳ではない。
といふこと、「その他」を、予め、「記述」をしておく「必要」が有る。
従って、
（02）（07）（08）（09）により、
（10）
「述語論理」を用ひて、
「第五世代コンピュータ」に対して、
（ⅰ）象は鼻が長い。然るに、
（ⅱ）兎は耳が長い。従って、
（ⅲ）兎は象ではない。
といふ「推論（演繹）」を行はせようとすると、
「文法などの言葉のルール」の他に、「大量の常識」を、
「第五世代コンピュータ」に対して、「教へなければ、ならない」。
然るに、
（11）
国語はどう考えても正攻法でなんとかできるとは思えません。そこで国語チームが試みたのは、センター国語試験で最も配点の大きい傍線部分の問題に対し、文字の重複などごく表面的なことから選択肢を選ぶという「荒業」でした。単純に言うと、傍線のついている部分とその前の段落の文を取って来て、「『あ』という文字が何回、『山』という文字が何回」と同じ文字の数を数えて、選択肢のほうも同様に数えて、いちばん重複の多い選択肢を選ぶという方法を採用したのです。文の意味どころか、単語の意味も調べません（ＡＩ vs. 教科書が読めない子供たち、 新井紀子、2018年、１２４頁）。
然るに、
（12）
「グーグルのＡＩ」に「質問(兎は象ですか？)」をしたところ、
然るに、
（13）
論理式にはこれまで述べたように、厳密な（形式的な）意味論が与えられるから、自然言語文も、翻訳を介して意味論に法っとった解釈が与えられ、したがって、間接的であるが、自然言語に意味論が与えられることになる（長尾真・淵一博、論理と意味、1983年、１６７頁）。
然るに、
（14）
他方、アメリカの企業は日本の失敗を学びました。論理的な手法で自動翻訳などのＡＩを開発することに見切りをつけ、統計的手法に梶を切り、グーグル翻訳やワトソンなどで成果を上げたのです（ＡＩ vs. 教科書が読めない子供たち、新井紀子、2018年、９０頁）。
然るに、
（15）
さて、統計的な手法が登場する以前、自然言語処理の技術を使う自動翻訳や質疑応答の分野では、研究者たちはＡＩに文法などの言葉のルールを覚えさせ、論理的、演繹的な手法で精度を上げようとしました。けれど、その手法は何度試みても失敗を繰り返しました（ＡＩ vs. 教科書が読めない子供たち、新井紀子、2018年、１２４頁）。
従って、
（02）（12）～（15）により、
（16）
①「論理」と「意味」による「ＡＩ技術」と、
②「統計的な手法」による、「ＡＩ技術」とが有って、
① では、「難しかった」、または、「成功」しなかった所の、
（ⅰ）象は鼻が長い。然るに、
（ⅱ）兎は耳が長い。従って、
（ⅲ）兎は象ではない。
といふ「推論」は、
② では、「容易」である。
といふ、ことになる。
然るに、
（17）
言ふ迄も無く、「我々（人間）」は、「論理と意味」だけを用ひて、「推論（演繹）」をする。
従って、
（18）
（ⅰ）象は鼻が長い。然るに、
（ⅱ）兎は耳が長い。従って、
（ⅲ）兎は象ではない。
といふ「推論（演繹）」する際に、「我々（人間）」は、「統計的な手法」など、「用ひない」。
従って、
（19）
「ＡＩ」は、「我々（人間）のやうに、考へはしない」し、と言ふよりも、固より、 「ＡＩ」は、「何も考えてはいない！！」
然るに、
（20）
最近は、その努力を怠っているものの、私は、以前から、曾祖父のやうに、「漢文か書ける」ようになりたかったものの、その一方で、「ＡＩが発達すれば、人間が書かなくとも、ＡＩが漢文を書くようになる」のではと、思ってゐた。
然るに、
（21）
「漢文」には、「ネイティブ・ライター」はゐない上に、「（「東大合格を目指すＡＩ」にとって）さらに過酷な状況にあるのは古文や漢文です（ＡＩ vs. 教科書が読めない子供たち、新井紀子、2018年、８４頁）」といふこともあって、「もう一度、漢文の勉強を、趣味にしよう」と、思ってゐるが、このところ、「私も、いくらか、忙しい」。
令和６年３月２３日、毛利太。
「マイクロソフトのＡＩ」に「質問(兎は象ですか？)」をしたところ、「ＡＩ」は「パニック」を起こしたのか？？
然るに、
（02）
さて、統計的な手法が登場する以前、自然言語処理の技術を使う自動翻訳や質疑応答の分野では、研究者たちはＡＩに文法などの言葉のルールを憶えさせ、論理的、演繹的な手法で精度を上げようとしました（ＡＩ vs. 教科書が読めない子供たち、新井紀子、2018年、１２４頁）。
然るに、
（03）
Ｐｒｏｌｏｇの文は「述語論理」にならって節（Ｃｌａｕｓｅ）と呼ぶことが多いのでここでも節と呼ぶことににします。一つの節は、一つの述語が、どういう場合に真になるかを記述しています。もっとも単純な例として、
ｆａｔｈｅｒ（ｍａｒｙ，ｈｅｎｒｙ）.
という節は、ｆａｔｈｅｒという述語がｍａｒｙ，ｈｅｎｒｙという引数に対して成立するということを表しています（淵一博 監修、第五世代コンピューター入門、1987年、１１頁）。
然るに、
（04）
第五世代コンピュータ（だいごせだいコンピュータ）計画とは、1982年から1992年にかけて日本の通商産業省（現経済産業省）所管の新世代コンピュータ技術開発機構（ICOT）が進めた国家プロジェクトで、いわゆる人工知能コンピュータの開発を目的に総額540億円の国家予算が投入された（ウィキペディア）。
従って、
（02）（03）（04）により、
（05）
「（統計的な手法が登場する以前の、）第五世代コンピュータ計画」の「時代」には、
１ （１） ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
２ （２） ∀ｘ｛兎ｘ→∃ｚ（耳ｚｘ＆～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝ Ａ
３ （３） ∃ｘ（象ｘ＆兎ｘ） Ａ
１ （４） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） １ＵＥ
２ （５） 兎ａ→∃ｚ（耳ｚａ＆～鼻ｚａ＆長ｚ） ２ＵＥ
６ （６） 象ａ＆兎ａ Ａ
６ （７） 象ａ ６＆Ｅ
６ （８） 兎ａ ６＆Ｅ
１ ６ （９） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ４７ＭＰＰ
１ ６ （ア） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ９＆Ｅ
１ ６ （イ） ～鼻ｂａ→～長ｂ アＵＥ
２ ６ （ウ） ∃ｚ（耳ｚａ＆～鼻ｚａ＆長ｚ） ５８ＭＰＰ
エ （エ） 耳ｂａ＆～鼻ｂａ＆長ｂ Ａ
エ （オ） ～鼻ｂａ エ＆Ｅ
エ （カ） 長ｂ エ＆Ｅ
１ ６エ （キ） ～長ｂ イオＭＰＰ
１ ６エ （ク） 長ｂ＆～長ｂ カキ＆Ｉ
１２ ６ （ケ） 長ｂ＆～長ｂ ウエクＥＥ
１２３ （コ） 長ｂ＆～長ｂ ３６ケＥＥ
１２ （サ）～∃ｘ（象ｘ＆ 兎ｘ） ３コＲＡＡ
シ （シ） ～（象ａ→～兎ａ） Ａ
シ （ス） ～（～象ａ∨～兎ａ） シ含意の定義
シ （セ） 象ａ＆ 兎ａ ス、ド・モルガンの法則
シ （ソ） ∃ｘ（象ｘ＆ 兎ｘ） セＥＩ
１２ シ （タ）～∃ｘ（象ｘ＆ 兎ｘ）＆∃ｘ（象ｘ＆ 兎ｘ） サソ＆Ｉ
１２ （チ） ～～（象ａ→～兎ａ） シタＲＡＡ
１２ （ツ） （象ａ→～兎ａ） チＤＮ
テ（テ） 兎ａ Ａ
テ（ト） ～～兎ａ テＤＮ
１２ テ（ナ） ～象ａ ツトＭＴＴ
１２ （ニ） 兎ａ→～象ａ テナＣＰ
１２ （ヌ） ∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ） ニＵＩ
といふ「述語計算」を用ひて、「コンピューター」に対して、
（ⅰ）象は鼻が長い。然るに、
（ⅱ）兎の耳は長いが、耳は鼻ではない。従って、
（ⅲ）兎は象ではない。
といふ「推論（演繹）」をさせようとしてゐた。
然るに、
（05）により、
（06）
２（２） ∀ｘ｛兎ｘ→∃ｚ（耳ｚｘ＆～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝ Ａ
から、 「～鼻ｚｘ（耳は鼻でない）」を「除いた」場合は、
１２（ヌ） ∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ） ニＵＩ
１２（〃） 兎は象ではない。 ニＵＩ
といふ「結論」を得ることは、出来ない。
従って、
（05）（06）により、
（07）
（ⅱ）兎の耳は鼻ではない。
といふ「条件」が示されてはゐない。
といふ「理由」により、
（ⅰ）象は鼻が長い。然るに、
（ⅱ）兎は耳が長い。従って、
（ⅲ）兎は象ではない。
といふ「推論（演繹）」は、「述語論理」としては、「間違ひ」である。
然るに、
（08）
（ⅱ）兎の耳は鼻ではない。
（〃）王様の耳はロバの耳である。
（〃）パンの耳は食べられる。
といふことは、「（一々、断らなくとも）、常識」である。
従って、
（08）～（08）により、
（09）
「人間」にではなく、
「第五世代コンピュータ」に対して、次に、
（ⅰ）ロバは耳が長い。然るに、
（ⅱ）王様は耳が短い。従って、
（ⅲ）王様はロバではない。
といふ「推論（演繹）」を行わせようとするならば、
（ⅱ）（童話の中では）王様の耳は長いこともあるが、
（〃）（童話の中でも）パンの耳は、王様の耳ではない。
といふこと、「その他」を、予め、「記述」をしておく「必要」が有る。
従って、
（02）（07）（08）（09）により、
（10）
「述語論理」を用ひて、
「第五世代コンピュータ」に対して、
（ⅰ）象は鼻が長い。然るに、
（ⅱ）兎は耳が長い。従って、
（ⅲ）兎は象ではない。
といふ「推論（演繹）」を行はせようとすると、
「文法などの言葉のルール」の他に、「大量の常識」を、
「第五世代コンピュータ」に対して、「教へなければ、ならない」。
然るに、
（11）
国語はどう考えても正攻法でなんとかできるとは思えません。そこで国語チームが試みたのは、センター国語試験で最も配点の大きい傍線部分の問題に対し、文字の重複などごく表面的なことから選択肢を選ぶという「荒業」でした。単純に言うと、傍線のついている部分とその前の段落の文を取って来て、「『あ』という文字が何回、『山』という文字が何回」と同じ文字の数を数えて、選択肢のほうも同様に数えて、いちばん重複の多い選択肢を選ぶという方法を採用したのです。文の意味どころか、単語の意味も調べません（ＡＩ vs. 教科書が読めない子供たち、 新井紀子、2018年、１２４頁）。
然るに、
（12）
「グーグルのＡＩ」に「質問(兎は象ですか？)」をしたところ、
（13）
論理式にはこれまで述べたように、厳密な（形式的な）意味論が与えられるから、自然言語文も、翻訳を介して意味論に法っとった解釈が与えられ、したがって、間接的であるが、自然言語に意味論が与えられることになる（長尾真・淵一博、論理と意味、1983年、１６７頁）。
然るに、
（14）
他方、アメリカの企業は日本の失敗を学びました。論理的な手法で自動翻訳などのＡＩを開発することに見切りをつけ、統計的手法に梶を切り、グーグル翻訳やワトソンなどで成果を上げたのです（ＡＩ vs. 教科書が読めない子供たち、新井紀子、2018年、９０頁）。
然るに、
（15）
さて、統計的な手法が登場する以前、自然言語処理の技術を使う自動翻訳や質疑応答の分野では、研究者たちはＡＩに文法などの言葉のルールを覚えさせ、論理的、演繹的な手法で精度を上げようとしました。けれど、その手法は何度試みても失敗を繰り返しました（ＡＩ vs. 教科書が読めない子供たち、新井紀子、2018年、１２４頁）。
従って、
（02）（12）～（15）により、
（16）
①「論理」と「意味」による「ＡＩ技術」と、
②「統計的な手法」による、「ＡＩ技術」とが有って、
① では、「難しかった」、または、「成功」しなかった所の、
（ⅰ）象は鼻が長い。然るに、
（ⅱ）兎は耳が長い。従って、
（ⅲ）兎は象ではない。
といふ「推論」は、
② では、「容易」である。
といふ、ことになる。
然るに、
（17）
言ふ迄も無く、「我々（人間）」は、「論理と意味」だけを用ひて、「推論（演繹）」をする。
従って、
（18）
（ⅰ）象は鼻が長い。然るに、
（ⅱ）兎は耳が長い。従って、
（ⅲ）兎は象ではない。
といふ「推論（演繹）」する際に、「我々（人間）」は、「統計的な手法」など、「用ひない」。
従って、
（19）
「ＡＩ」は、「我々（人間）のやうに、考へはしない」し、と言ふよりも、固より、 「ＡＩ」は、「何も考えてはいない！！」
然るに、
（20）
最近は、その努力を怠っているものの、私は、以前から、曾祖父のやうに、「漢文か書ける」ようになりたかったものの、その一方で、「ＡＩが発達すれば、人間が書かなくとも、ＡＩが漢文を書くようになる」のではと、思ってゐた。
然るに、
（21）
「漢文」には、「ネイティブ・ライター」はゐない上に、「（「東大合格を目指すＡＩ」にとって）さらに過酷な状況にあるのは古文や漢文です（ＡＩ vs. 教科書が読めない子供たち、新井紀子、2018年、８４頁）」といふこともあって、「もう一度、漢文の勉強を、趣味にしよう」と、思ってゐるが、このところ、「私も、いくらか、忙しい」。
令和６年３月２３日、毛利太。
2024年2月26日月曜日
「ド・モルガンの法則（命題変数が３つで、∨と∧が混在する場合）」。
（01）
― 次に示す通り、例へば、―
① Ｐ∨ Ｑ
② ￢Ｐ∧￢Ｑ
③ Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ
④ ￢（￢Ｐ∧￢Ｑ∧￢Ｒ）
⑤ ￢Ｐ∧ Ｑ∨￢Ｒ
⑥ ￢（ Ｐ∨￢Ｑ∧ Ｒ）
に於いて、
①＝② である。
③＝④ である。
⑤＝⑥ である。
（02）
（ⅰ）
１ （１） Ｐ∨ Ｑ Ａ
２ （２） ￢Ｐ∧￢Ｑ Ａ
３ （３） Ｐ Ａ
２ （４） ￢Ｐ ２∧Ｅ
２３ （５） Ｐ∧￢Ｐ ３４∧Ｉ
３ （６）￢（￢Ｐ∧￢Ｑ） ２５ＲＡＡ
７（７） Ｑ Ａ
２ （８） ￢Ｑ ２∧Ｅ
２ ７（９） Ｑ∧￢Ｑ ７８∧Ｉ
７（ア）￢（￢Ｐ∧￢Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）￢（￢Ｐ∧￢Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
（ⅱ）
１ （１）￢（￢Ｐ∧￢Ｑ） Ａ
２ （２） ￢（Ｐ∨ Ｑ） Ａ
３ （３） Ｐ Ａ
３ （４） Ｐ∨ Ｑ ３∨Ｉ
２３ （５） ￢（Ｐ∨ Ｑ）∧
（Ｐ∨ Ｑ） ２４∧Ｉ
２ （６） ￢Ｐ ３５ＲＡＡ
７（７） Ｑ Ａ
７（８） Ｐ∨ Ｑ ７∨Ｉ
２ ７（９） ￢（Ｐ∨ Ｑ）∧
（Ｐ∨ Ｑ） ２８∧Ｉ
２ （ア） ￢Ｑ ７９ＲＡＡ
２ （イ） ￢Ｐ∧￢Ｑ ６ア∧Ｉ
１２ （ウ）￢（￢Ｐ∧￢Ｑ）∧
（￢Ｐ∧￢Ｑ） １イ∧Ｉ
１ （エ）￢￢（Ｐ∨ Ｑ） ２ウＲＡＡ
１ （オ） Ｐ∨ Ｑ エＤＮ
従って、
（02）により、
（03）
① Ｐ∨ Ｑ
② ￢（￢Ｐ∧￢Ｑ）
により、
①＝② である（命題変数が２つである場合の、ド・モルガンの法則）。
（04）
（ⅲ）
１ （１） Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ Ａ
２ （２） ￢Ｐ∧￢Ｑ∧￢Ｒ Ａ
１ （３） （Ｐ∨ Ｑ）∨Ｒ １結合法則
４ （４） （Ｐ∨ Ｑ） Ａ
５ （５） Ｐ Ａ
２ （６） ￢Ｐ ２∧Ｅ
２ ５ （７） Ｐ∧￢Ｐ ５６∧Ｉ
５ （８）￢（￢Ｐ∧￢Ｑ∧￢Ｒ） ２７ＲＡＡ
９ （９） Ｑ Ａ
２ （ア） ￢Ｑ ２∧Ｅ
２ ９ （イ） Ｑ∧￢Ｑ ９ア∧Ｉ
９ （ウ）￢（￢Ｐ∧￢Ｑ∧￢Ｒ） ２９ＲＡＡ
４ （エ）￢（￢Ｐ∧￢Ｑ∧￢Ｒ） ４５８９ウ∨Ｅ
オ（オ） Ｒ Ａ
２ （カ） ￢Ｒ ２∧Ｅ
２ オ（キ） Ｒ∧￢Ｒ オカ∧Ｉ
オ（ク）￢（￢Ｐ∧￢Ｑ∧￢Ｒ） ２キＲＡＡ
１ （ケ）￢（￢Ｐ∧￢Ｑ∧￢Ｒ） ３４エオク∨Ｅ
１２ （コ）￢（￢Ｐ∧￢Ｑ∧￢Ｒ）∧
（￢Ｐ∧￢Ｑ∧￢Ｒ） ２ケ∧Ｉ
１ （サ）￢（￢Ｐ∧￢Ｑ∧￢Ｒ） ２コＲＡＡ
（ⅳ）
１ （１） ￢（￢Ｐ∧￢Ｑ∧￢Ｒ） Ａ
２ （２） ￢（ Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ） Ａ
３ （３） Ｐ Ａ
３ （４） Ｐ∨ Ｑ ３∨Ｉ
３ （５） Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ ３４∨Ｉ
２３ （６） ￢（ Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ）∧
（ Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ） ２５∧Ｉ
２ （７） ￢Ｐ ３６ＲＡＡ
８ （８） Ｑ Ａ
８ （９） Ｐ∨ Ｑ ８∨Ｉ
８ （ア） Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ ９∨Ｉ
２ ８ （イ） ￢（ Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ）∧
（ Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ） ２ア∧Ｉ
２ （ウ） ￢Ｑ ８イ∧Ｉ
２ （エ） ￢Ｐ∧￢Ｑ ７ウ∧Ｉ
オ（オ） Ｒ Ａ
オ（カ） Ｑ∨ Ｒ オ∨Ｉ
オ（キ） Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ ∨Ｉ
２ オ（ク） ￢（ Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ）∧
（ Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ） ２キ∧Ｉ
２ （ケ） ￢Ｒ オクＲＡＡ
２ （コ） ￢Ｐ∧￢Ｑ∧￢Ｒ エケ∧Ｉ
１２ （サ） ￢（￢Ｐ∧￢Ｑ∧￢Ｒ）∧
（￢Ｐ∧￢Ｑ∧￢Ｒ） １コ∧Ｉ
１ （シ）￢￢（ Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ） ２サＲＡＡ
１ （ス） （ Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ） シＤＮ
従って、
（04）により、
（05）
③ Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ
④ ￢（￢Ｐ∧￢Ｑ∧￢Ｒ）
に於いて、
③＝④ である（命題変数が３つである場合の、ド・モルガンの法則）。
然るに、
（06）
（ⅴ）
１ （１） ￢Ｐ∧ Ｑ ∨￢Ｒ Ａ
２ （２） Ｐ∨￢Ｑ ∧ Ｒ Ａ
１ （３） （￢Ｐ∧ Ｑ）∨￢Ｒ １結合法則
２ （４） （ Ｐ∨￢Ｑ）∧ Ｒ ２結合法則
５ （５） （￢Ｐ∧ Ｑ） Ａ
２ （６） （ Ｐ∨￢Ｑ） ４∧Ｅ
５ （７） ￢Ｐ ５∧Ｅ
８ （８） Ｐ Ａ
５８ （９） ￢Ｐ∧Ｐ ７８∧Ｉ
８ （ア）￢（￢Ｐ∧ Ｑ） ５９ＲＡＡ
５ （イ） Ｑ ５∧Ｅ
ウ （ウ） ￢Ｑ Ａ
５ ウ （エ） Ｑ∧￢Ｑ イウ∧Ｉ
ウ （オ）￢（￢Ｐ∧ Ｑ） ５エＲＡＡ
２ （カ）￢（￢Ｐ∧ Ｑ） ２８アウオ∨Ｅ
キ （キ） ￢Ｒ Ａ
２ （ク） Ｒ ４∧Ｅ
２ キ （ケ） ￢Ｒ∧Ｒ キク∧Ｉ
２ （コ） ￢￢Ｒ キケＤＮ
２ （サ） Ｒ コＤＮ
２ （シ）￢（￢Ｐ∧ Ｑ）∧ Ｒ カサ∧Ｉ
ス （ス） （￢Ｐ∧ Ｑ） Ａ（３の選言項左）
２ （セ）￢（￢Ｐ∧ Ｑ） シ∧Ｅ
２ ス （ソ） （￢Ｐ∧ Ｑ）∧
￢（￢Ｐ∧ Ｑ） スセ∧Ｉ
ス （タ） ￢（Ｐ∨￢Ｑ ∧ Ｒ） ２ソＲＡＡ
チ（チ） ￢Ｒ Ａ（３の選言項右）
２ （ツ） Ｒ シ∧Ｅ
２ チ（テ） ￢Ｒ∧Ｒ チツ∧Ｉ
チ（ト） ￢（Ｐ∨￢Ｑ ∧ Ｒ） ２テＲＡＡ
１ （ナ） ￢（Ｐ∨￢Ｑ ∧ Ｒ） ３スタチト∨Ｅ
１２ （ニ） ￢（Ｐ∨￢Ｑ ∧ Ｒ）∧
（Ｐ∨￢Ｑ ∧ Ｒ） ２ナ∧Ｉ
１ （ヌ） ￢（Ｐ∨￢Ｑ ∧ Ｒ） ２ニＲＡＡ
（ⅵ）
１ （１） ￢（Ｐ∨￢Ｑ ∧ Ｒ） Ａ
１ （２） ￢（（Ｐ∨￢Ｑ）∧ Ｒ） １結合法則
３ （３） ￢（￢Ｐ∧ Ｑ ∨￢Ｒ） Ａ
３ （４）￢（（￢Ｐ∧ Ｑ）∨￢Ｒ） ３結合法則
５ （５） （￢Ｐ∧ Ｑ） Ａ
５ （６） （￢Ｐ∧ Ｑ）∨￢Ｒ ５∨Ｉ
３５ （７）￢（（￢Ｐ∧ Ｑ）∨￢Ｒ）∧
（（￢Ｐ∧ Ｑ）∨￢Ｒ） ４６∧Ｉ
３ （８） ￢（￢Ｐ∧ Ｑ） ５７ＲＡＡ
９ （９） ￢（Ｐ∨￢Ｑ） Ａ
ア （ア） Ｐ Ａ
ア （イ） Ｐ∨￢Ｑ ア∨Ｉ
９ア （ウ） ￢（Ｐ∨￢Ｑ）∧
（Ｐ∨￢Ｑ） ９イ∧Ｉ
９ （エ） ￢Ｐ アウＲＡＡ
オ （オ） ￢Ｑ Ａ
オ （カ） Ｐ∨￢Ｑ オ∨Ｉ
９ オ （キ） ￢（Ｐ∨￢Ｑ）∧
（Ｐ∨￢Ｑ） ９カ∧Ｉ
９ （ク） ￢￢Ｑ オキＲＡＡ
９ （ケ） Ｑ クＤＮ
９ （コ） ￢Ｐ∧ Ｑ エケ∧Ｉ
３ ９ （サ） ￢（￢Ｐ∧ Ｑ）∧
（￢Ｐ∧ Ｑ） ８コ∧Ｉ
３ （シ） ￢￢（Ｐ∨￢Ｑ） ９サＲＡＡ
３ （ス） （Ｐ∨￢Ｑ） シＤＮ
セ （セ） ￢Ｒ Ａ
セ （ソ） （￢Ｐ∧ Ｑ）∨￢Ｒ セ∨Ｉ
３ セ （タ）￢（（￢Ｐ∧ Ｑ）∨￢Ｒ）∧
（（￢Ｐ∧ Ｑ）∨￢Ｒ ３ソ∧Ｉ
３ （チ） ￢￢Ｒ セタＲＡＡ
３ （ツ） Ｒ チＤＮ
３ （テ） （Ｐ∨￢Ｑ）∧ Ｒ スツ∧Ｉ
１３ （ト） ￢（Ｐ∨￢Ｑ ∧ Ｒ） １テ∧Ｉ
１ （ナ）￢￢（￢Ｐ∧ Ｑ ∨￢Ｒ） ３トＲＡＡ
１ （ニ） （￢Ｐ∧ Ｑ ∨￢Ｒ） ナＤＮ
従って、
（06）により、
（07）
⑤ ￢Ｐ∧ Ｑ∨￢Ｒ
⑥ ￢（ Ｐ∨￢Ｑ∧ Ｒ）
に於いて、
⑤＝⑥ である（命題変数が３つで、∨と∧が混在する場合のド・モルガンの法則）。
然るに、
（07）により、
（08）
特に、（ⅵ）の「計算」は、途中で、自分でも「何をやってゐるのか」分からなくなるくらひ、「メチャクチャ、めんどくさい」。
然るに、
（09）
（ⅵ）の「計算」も、「ド・モルガンの法則」を用ひて良いのであれば、
（ⅵ）
１ （１） ￢（Ｐ∨￢Ｑ ∧ Ｒ） Ａ
１ （２）￢（（Ｐ∨￢Ｑ）∧ Ｒ） １結合法則
１ （３） ￢（Ｐ∨￢Ｑ）∨￢Ｒ ２（２項によるド・モルガンの法則）
４ （４） ￢（Ｐ∨￢Ｑ） Ａ
４ （５） ￢Ｐ∧ Ｑ ４（２項によるド・モルガンの法則）
４ （６） ￢Ｐ∧ Ｑ∨ ￢Ｒ ５∨Ｉ
７ （７） ￢Ｒ Ａ
７ （８） ￢Ｐ∧ Ｑ∨ ￢Ｒ ７∨Ｉ
１ （９） ￢Ｐ∧ Ｑ∨ ￢Ｒ ３４６７８∨Ｅ
といふ具合に、「メチャクチャ、簡単である」。
（10）
― お知らせ ―
しばらく（１週間、あるいは、２週間、あるいは、３週間ほど？）、ブログを、休みます。
令和６年２月２６日、毛利太。
― 次に示す通り、例へば、―
① Ｐ∨ Ｑ
② ￢Ｐ∧￢Ｑ
③ Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ
④ ￢（￢Ｐ∧￢Ｑ∧￢Ｒ）
⑤ ￢Ｐ∧ Ｑ∨￢Ｒ
⑥ ￢（ Ｐ∨￢Ｑ∧ Ｒ）
に於いて、
①＝② である。
③＝④ である。
⑤＝⑥ である。
（02）
（ⅰ）
１ （１） Ｐ∨ Ｑ Ａ
２ （２） ￢Ｐ∧￢Ｑ Ａ
３ （３） Ｐ Ａ
２ （４） ￢Ｐ ２∧Ｅ
２３ （５） Ｐ∧￢Ｐ ３４∧Ｉ
３ （６）￢（￢Ｐ∧￢Ｑ） ２５ＲＡＡ
７（７） Ｑ Ａ
２ （８） ￢Ｑ ２∧Ｅ
２ ７（９） Ｑ∧￢Ｑ ７８∧Ｉ
７（ア）￢（￢Ｐ∧￢Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）￢（￢Ｐ∧￢Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
（ⅱ）
１ （１）￢（￢Ｐ∧￢Ｑ） Ａ
２ （２） ￢（Ｐ∨ Ｑ） Ａ
３ （３） Ｐ Ａ
３ （４） Ｐ∨ Ｑ ３∨Ｉ
２３ （５） ￢（Ｐ∨ Ｑ）∧
（Ｐ∨ Ｑ） ２４∧Ｉ
２ （６） ￢Ｐ ３５ＲＡＡ
７（７） Ｑ Ａ
７（８） Ｐ∨ Ｑ ７∨Ｉ
２ ７（９） ￢（Ｐ∨ Ｑ）∧
（Ｐ∨ Ｑ） ２８∧Ｉ
２ （ア） ￢Ｑ ７９ＲＡＡ
２ （イ） ￢Ｐ∧￢Ｑ ６ア∧Ｉ
１２ （ウ）￢（￢Ｐ∧￢Ｑ）∧
（￢Ｐ∧￢Ｑ） １イ∧Ｉ
１ （エ）￢￢（Ｐ∨ Ｑ） ２ウＲＡＡ
１ （オ） Ｐ∨ Ｑ エＤＮ
従って、
（02）により、
（03）
① Ｐ∨ Ｑ
② ￢（￢Ｐ∧￢Ｑ）
により、
①＝② である（命題変数が２つである場合の、ド・モルガンの法則）。
（04）
（ⅲ）
１ （１） Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ Ａ
２ （２） ￢Ｐ∧￢Ｑ∧￢Ｒ Ａ
１ （３） （Ｐ∨ Ｑ）∨Ｒ １結合法則
４ （４） （Ｐ∨ Ｑ） Ａ
５ （５） Ｐ Ａ
２ （６） ￢Ｐ ２∧Ｅ
２ ５ （７） Ｐ∧￢Ｐ ５６∧Ｉ
５ （８）￢（￢Ｐ∧￢Ｑ∧￢Ｒ） ２７ＲＡＡ
９ （９） Ｑ Ａ
２ （ア） ￢Ｑ ２∧Ｅ
２ ９ （イ） Ｑ∧￢Ｑ ９ア∧Ｉ
９ （ウ）￢（￢Ｐ∧￢Ｑ∧￢Ｒ） ２９ＲＡＡ
４ （エ）￢（￢Ｐ∧￢Ｑ∧￢Ｒ） ４５８９ウ∨Ｅ
オ（オ） Ｒ Ａ
２ （カ） ￢Ｒ ２∧Ｅ
２ オ（キ） Ｒ∧￢Ｒ オカ∧Ｉ
オ（ク）￢（￢Ｐ∧￢Ｑ∧￢Ｒ） ２キＲＡＡ
１ （ケ）￢（￢Ｐ∧￢Ｑ∧￢Ｒ） ３４エオク∨Ｅ
１２ （コ）￢（￢Ｐ∧￢Ｑ∧￢Ｒ）∧
（￢Ｐ∧￢Ｑ∧￢Ｒ） ２ケ∧Ｉ
１ （サ）￢（￢Ｐ∧￢Ｑ∧￢Ｒ） ２コＲＡＡ
（ⅳ）
１ （１） ￢（￢Ｐ∧￢Ｑ∧￢Ｒ） Ａ
２ （２） ￢（ Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ） Ａ
３ （３） Ｐ Ａ
３ （４） Ｐ∨ Ｑ ３∨Ｉ
３ （５） Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ ３４∨Ｉ
２３ （６） ￢（ Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ）∧
（ Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ） ２５∧Ｉ
２ （７） ￢Ｐ ３６ＲＡＡ
８ （８） Ｑ Ａ
８ （９） Ｐ∨ Ｑ ８∨Ｉ
８ （ア） Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ ９∨Ｉ
２ ８ （イ） ￢（ Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ）∧
（ Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ） ２ア∧Ｉ
２ （ウ） ￢Ｑ ８イ∧Ｉ
２ （エ） ￢Ｐ∧￢Ｑ ７ウ∧Ｉ
オ（オ） Ｒ Ａ
オ（カ） Ｑ∨ Ｒ オ∨Ｉ
オ（キ） Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ ∨Ｉ
２ オ（ク） ￢（ Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ）∧
（ Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ） ２キ∧Ｉ
２ （ケ） ￢Ｒ オクＲＡＡ
２ （コ） ￢Ｐ∧￢Ｑ∧￢Ｒ エケ∧Ｉ
１２ （サ） ￢（￢Ｐ∧￢Ｑ∧￢Ｒ）∧
（￢Ｐ∧￢Ｑ∧￢Ｒ） １コ∧Ｉ
１ （シ）￢￢（ Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ） ２サＲＡＡ
１ （ス） （ Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ） シＤＮ
従って、
（04）により、
（05）
③ Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ
④ ￢（￢Ｐ∧￢Ｑ∧￢Ｒ）
に於いて、
③＝④ である（命題変数が３つである場合の、ド・モルガンの法則）。
然るに、
（06）
（ⅴ）
１ （１） ￢Ｐ∧ Ｑ ∨￢Ｒ Ａ
２ （２） Ｐ∨￢Ｑ ∧ Ｒ Ａ
１ （３） （￢Ｐ∧ Ｑ）∨￢Ｒ １結合法則
２ （４） （ Ｐ∨￢Ｑ）∧ Ｒ ２結合法則
５ （５） （￢Ｐ∧ Ｑ） Ａ
２ （６） （ Ｐ∨￢Ｑ） ４∧Ｅ
５ （７） ￢Ｐ ５∧Ｅ
８ （８） Ｐ Ａ
５８ （９） ￢Ｐ∧Ｐ ７８∧Ｉ
８ （ア）￢（￢Ｐ∧ Ｑ） ５９ＲＡＡ
５ （イ） Ｑ ５∧Ｅ
ウ （ウ） ￢Ｑ Ａ
５ ウ （エ） Ｑ∧￢Ｑ イウ∧Ｉ
ウ （オ）￢（￢Ｐ∧ Ｑ） ５エＲＡＡ
２ （カ）￢（￢Ｐ∧ Ｑ） ２８アウオ∨Ｅ
キ （キ） ￢Ｒ Ａ
２ （ク） Ｒ ４∧Ｅ
２ キ （ケ） ￢Ｒ∧Ｒ キク∧Ｉ
２ （コ） ￢￢Ｒ キケＤＮ
２ （サ） Ｒ コＤＮ
２ （シ）￢（￢Ｐ∧ Ｑ）∧ Ｒ カサ∧Ｉ
ス （ス） （￢Ｐ∧ Ｑ） Ａ（３の選言項左）
２ （セ）￢（￢Ｐ∧ Ｑ） シ∧Ｅ
２ ス （ソ） （￢Ｐ∧ Ｑ）∧
￢（￢Ｐ∧ Ｑ） スセ∧Ｉ
ス （タ） ￢（Ｐ∨￢Ｑ ∧ Ｒ） ２ソＲＡＡ
チ（チ） ￢Ｒ Ａ（３の選言項右）
２ （ツ） Ｒ シ∧Ｅ
２ チ（テ） ￢Ｒ∧Ｒ チツ∧Ｉ
チ（ト） ￢（Ｐ∨￢Ｑ ∧ Ｒ） ２テＲＡＡ
１ （ナ） ￢（Ｐ∨￢Ｑ ∧ Ｒ） ３スタチト∨Ｅ
１２ （ニ） ￢（Ｐ∨￢Ｑ ∧ Ｒ）∧
（Ｐ∨￢Ｑ ∧ Ｒ） ２ナ∧Ｉ
１ （ヌ） ￢（Ｐ∨￢Ｑ ∧ Ｒ） ２ニＲＡＡ
（ⅵ）
１ （１） ￢（Ｐ∨￢Ｑ ∧ Ｒ） Ａ
１ （２） ￢（（Ｐ∨￢Ｑ）∧ Ｒ） １結合法則
３ （３） ￢（￢Ｐ∧ Ｑ ∨￢Ｒ） Ａ
３ （４）￢（（￢Ｐ∧ Ｑ）∨￢Ｒ） ３結合法則
５ （５） （￢Ｐ∧ Ｑ） Ａ
５ （６） （￢Ｐ∧ Ｑ）∨￢Ｒ ５∨Ｉ
３５ （７）￢（（￢Ｐ∧ Ｑ）∨￢Ｒ）∧
（（￢Ｐ∧ Ｑ）∨￢Ｒ） ４６∧Ｉ
３ （８） ￢（￢Ｐ∧ Ｑ） ５７ＲＡＡ
９ （９） ￢（Ｐ∨￢Ｑ） Ａ
ア （ア） Ｐ Ａ
ア （イ） Ｐ∨￢Ｑ ア∨Ｉ
９ア （ウ） ￢（Ｐ∨￢Ｑ）∧
（Ｐ∨￢Ｑ） ９イ∧Ｉ
９ （エ） ￢Ｐ アウＲＡＡ
オ （オ） ￢Ｑ Ａ
オ （カ） Ｐ∨￢Ｑ オ∨Ｉ
９ オ （キ） ￢（Ｐ∨￢Ｑ）∧
（Ｐ∨￢Ｑ） ９カ∧Ｉ
９ （ク） ￢￢Ｑ オキＲＡＡ
９ （ケ） Ｑ クＤＮ
９ （コ） ￢Ｐ∧ Ｑ エケ∧Ｉ
３ ９ （サ） ￢（￢Ｐ∧ Ｑ）∧
（￢Ｐ∧ Ｑ） ８コ∧Ｉ
３ （シ） ￢￢（Ｐ∨￢Ｑ） ９サＲＡＡ
３ （ス） （Ｐ∨￢Ｑ） シＤＮ
セ （セ） ￢Ｒ Ａ
セ （ソ） （￢Ｐ∧ Ｑ）∨￢Ｒ セ∨Ｉ
３ セ （タ）￢（（￢Ｐ∧ Ｑ）∨￢Ｒ）∧
（（￢Ｐ∧ Ｑ）∨￢Ｒ ３ソ∧Ｉ
３ （チ） ￢￢Ｒ セタＲＡＡ
３ （ツ） Ｒ チＤＮ
３ （テ） （Ｐ∨￢Ｑ）∧ Ｒ スツ∧Ｉ
１３ （ト） ￢（Ｐ∨￢Ｑ ∧ Ｒ） １テ∧Ｉ
１ （ナ）￢￢（￢Ｐ∧ Ｑ ∨￢Ｒ） ３トＲＡＡ
１ （ニ） （￢Ｐ∧ Ｑ ∨￢Ｒ） ナＤＮ
従って、
（06）により、
（07）
⑤ ￢Ｐ∧ Ｑ∨￢Ｒ
⑥ ￢（ Ｐ∨￢Ｑ∧ Ｒ）
に於いて、
⑤＝⑥ である（命題変数が３つで、∨と∧が混在する場合のド・モルガンの法則）。
然るに、
（07）により、
（08）
特に、（ⅵ）の「計算」は、途中で、自分でも「何をやってゐるのか」分からなくなるくらひ、「メチャクチャ、めんどくさい」。
然るに、
（09）
（ⅵ）の「計算」も、「ド・モルガンの法則」を用ひて良いのであれば、
（ⅵ）
１ （１） ￢（Ｐ∨￢Ｑ ∧ Ｒ） Ａ
１ （２）￢（（Ｐ∨￢Ｑ）∧ Ｒ） １結合法則
１ （３） ￢（Ｐ∨￢Ｑ）∨￢Ｒ ２（２項によるド・モルガンの法則）
４ （４） ￢（Ｐ∨￢Ｑ） Ａ
４ （５） ￢Ｐ∧ Ｑ ４（２項によるド・モルガンの法則）
４ （６） ￢Ｐ∧ Ｑ∨ ￢Ｒ ５∨Ｉ
７ （７） ￢Ｒ Ａ
７ （８） ￢Ｐ∧ Ｑ∨ ￢Ｒ ７∨Ｉ
１ （９） ￢Ｐ∧ Ｑ∨ ￢Ｒ ３４６７８∨Ｅ
といふ具合に、「メチャクチャ、簡単である」。
（10）
― お知らせ ―
しばらく（１週間、あるいは、２週間、あるいは、３週間ほど？）、ブログを、休みます。
令和６年２月２６日、毛利太。
2024年2月25日日曜日
「象の鼻が長い」の「述語論理」。
（01）
①｛象の鼻、兎の鼻、馬の鼻｝
②｛象の耳、兎の耳、馬の耳｝
③｛象の耳、兎の耳、馬の耳｝
であるならば、
① 鼻に関しては、象の鼻は長く、象以外（兎と馬）の鼻は長くはない。
② 耳に関しては、兎の耳は長く、兎以外（象と馬）の耳は長くはない。
③ 顏に関しては、馬の顔は長く、馬以外（象と兎）の顔は長くはない。
といふ「命題」は「真」である。
然るに、
（02）
① 鼻に関しては、象の鼻は長く、象以外（兎と馬）の鼻は長くはない。
② 耳に関しては、兎の耳は長く、兎以外（象と馬）の耳は長くはない。
③ 顏に関しては、馬の顔は長く、馬以外（象と兎）の顔は長くはない。
といふことは、要するに、
① 鼻は象が長い。
② 耳は兎が長い。
③ 顔は馬が長い。
といふ、ことである。
従って、
（01）（02）により、
（03）
「番号」を付け替へるとして、
① 鼻は象が長い。
② 鼻に関しては、象の鼻は長く、象以外（兎と馬）の鼻は長くはない。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（04）
①｛象の鼻、兎の鼻、馬の鼻｝
②｛象の耳、兎の耳、馬の耳｝
③｛象の耳、兎の耳、馬の耳｝
といふ「３つの集合」ではなく、
①｛象の鼻、兎の鼻、馬の鼻｝
といふ「１つの集合」だけに「注目」するならば、
① 象の鼻が長い。
② 象の鼻は長く、象以外（兎と馬）の鼻は長くはない。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（01）～（04）により、
（05）
①｛象、兎、馬｝
といふ「集合」の、
①｛象の鼻、兎の鼻、馬の鼻｝
といふ「部分集合」に「注目」すれば、
① 象の鼻が長い。
といふことになり、
①｛象、兎、馬｝
といふ「集合」の、
①｛象の鼻、兎の鼻、馬の鼻｝
②｛象の耳、兎の耳、馬の耳｝
③｛象の耳、兎の耳、馬の耳｝
といふ「部分集合」に「注目」すれば、
② 鼻は象が長い。
といふことになる。
従って、
（06）
① 象の鼻が長い。
② 鼻は象が長い。
といふ「日本語」は、「命題」としては、両方とも、
③ 象の鼻は長く、象の鼻以外（兎の鼻、馬の鼻）は長くない。
といふ「意味」になる。
然るに、
（07）
① ∀ｙ∃ｘ｛（象ｘ＆鼻ｙｘ）→長ｙ＆（～象ｘ＆鼻ｙｘ）→～長ｙ｝。
② ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ＆（～象ｙ＆鼻ｘｙ）→～長ｘ｝。
といふ「述語論理」の「読み方（意味）」は、
① すべてのｙとあるｘについて｛（ｘが象であって、ｙがｘの鼻である）ならば、ｙは長く、（ｘが象でなくて、ｙがｘの鼻である）ならば、ｙは長くない｝。
② すべてのｘとあるｙについて｛（ｘがｙの鼻であって、ｙが象である）ならば、ｘは長く、（ｙが象でなくて、ｘがｙの鼻である）ならば、ｘは長くない｝。
となるものの、この場合は、「語順が異なる」だけで、「真理値」からすれば、
①＝② である。
従って、
（06）（07）により、
（08）
① 象の鼻が長い。
② 鼻は象が長い。
といふ「日本語」は、それぞれ、
① ∀ｙ∃ｘ｛（象ｘ＆鼻ｙｘ）→長ｙ＆（～象ｘ＆鼻ｙｘ）→～長ｙ｝。
② ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ＆（～象ｙ＆鼻ｘｙ）→～長ｘ｝。
といふ「述語論理式」に、「対応」する。
然るに、
（09）
１ （１）∀ｙ∃ｘ｛（象ｘ＆鼻ｙｘ）→長ｙ＆（～象ｘ＆鼻ｙｘ）→～長ｙ｝ Ａ
１ （２） ∃ｘ｛（象ｘ＆鼻ｂｘ）→長ｂ＆（～象ｘ＆鼻ｂｘ）→～長ｂ｝ １ＵＥ
３ （３） （象ａ＆鼻ｂａ）→長ｂ＆（～象ａ＆鼻ｂａ）→～長ｂ Ａ）
３ （４） （～象ａ＆鼻ｂａ）→～長ｂ ３＆Ｅ
５ （５） ∀ｘ｛（兎ｘ→～象ｘ）＆∃ｙ（鼻ｙｘ）｝ Ａ
５ （６） （兎ａ→～象ａ）＆∃ｙ（鼻ｙａ） ５ＵＥ
５ （７） 兎ａ→～象ａ ６＆Ｅ
５ （８） ∃ｙ（鼻ｙａ） ６＆Ｅ
９ （９） 鼻ｂａ Ａ
ア （ア） 兎ａ Ａ
５ ア （イ） ～象ａ ７アＭＰＰ
５９ア （ウ） ～象ａ＆鼻ｂａ ９イ＆Ｉ
３５９ア （エ） ～長ｂ ４ウＭＰＰ
３５９ア （オ） 鼻ｂａ＆～長ｂ ９エ＆Ｉ
３５９ア （カ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆～長ｂ） オＥＩ
３５ ア （キ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆～長ｂ） ８９カＥＥ
３５ （ク） 兎ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆～長ｂ） アキＣＰ
１ ５ （ケ） 兎ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆～長ｂ） ２３クＥＥ
コ （コ） ∃ｘ｛兎ｘ＆∀ｙ（鼻ｙｘ→ 長ｙ）｝ Ａ
サ （サ） 兎ａ＆∀ｙ（鼻ｙａ→ 長ｙ） Ａ
サ （シ） 兎ａ サ＆Ｅ
サ （ス） ∀ｙ（鼻ｙａ→ 長ｙ） サ＆Ｅ
サ （セ） 鼻ｂａ→ 長ｂ スＵＥ
１ ５ サ （ソ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆～長ｂ） ケシＭＰＰ
タ（タ） 鼻ｂａ＆～長ｂ Ａ
タ（チ） 鼻ｂａ タ＆Ｅ
タ（ツ） ～長ｂ タ＆Ｅ
サタ（テ） 長ｂ セチＭＰＰ
サタ（ト） ～長ｂ＆長ｂ ツテ＆Ｉ
１ ５ サ （ナ） ～長ｂ＆長ｂ ソタトＥＥ
１ ５ コ （ニ） ～長ｂ＆長ｂ コサナＥＥ
１ ５ （ヌ） ～∃ｘ｛兎ｘ＆∀ｙ（鼻ｙｘ→長ｙ）｝ コニＲＡＡ
従って、
（09）により、
（10）
（ⅰ）∀ｙ∃ｘ｛（象ｘ＆鼻ｙｘ）→長ｙ＆（～象ｘ＆鼻ｙｘ）→～長ｙ｝。然るに、
（ⅱ） ∀ｘ｛（兎ｘ→～象ｘ）＆∃ｙ（鼻ｙｘ）｝。従って、
（ⅲ） ～∃ｘ｛ 兎ｘ＆∀ｙ（鼻ｙｘ→長ｙ）｝。
といふ『推論』、すなはち、
（ⅰ）すべてのｙとあるｘについて｛（ｘが象であって、ｙがｘの鼻である）ならば、ｙは長く、（ｘが象でなくて、ｙがｘの鼻である）ならば、ｙは長くない｝。然るに、
（ⅱ） すべてのｘについて｛（ｘが兎であるならば、ｘは象ではなく）、あるｙは（ｘの鼻である）｝。従って、
（ⅲ） あるｘが｛ 兎であって、すべてのｙについて、（ｙがｘの鼻ならば、ｙは長い）｝といふことはない。
といふ『推論』、すなはち、
（ⅰ）象の鼻が長い。然るに、
（ⅱ）兎は象ではないが、兎には鼻がある。従って、
（ⅲ）兎の鼻が長い、といふことはない。
といふ『推論』は、「妥当」である。
従って、
（07）～（10）により、
（11）
（ⅰ）鼻は象が長い。然るに、
（ⅱ）兎は象ではないが、兎には鼻がある。従って、
（ⅲ）兎の鼻が長い、といふことはない。
といふ『推論』も、「妥当」である。
令和６年２月２５日、毛利太。
①｛象の鼻、兎の鼻、馬の鼻｝
②｛象の耳、兎の耳、馬の耳｝
③｛象の耳、兎の耳、馬の耳｝
であるならば、
① 鼻に関しては、象の鼻は長く、象以外（兎と馬）の鼻は長くはない。
② 耳に関しては、兎の耳は長く、兎以外（象と馬）の耳は長くはない。
③ 顏に関しては、馬の顔は長く、馬以外（象と兎）の顔は長くはない。
といふ「命題」は「真」である。
然るに、
（02）
① 鼻に関しては、象の鼻は長く、象以外（兎と馬）の鼻は長くはない。
② 耳に関しては、兎の耳は長く、兎以外（象と馬）の耳は長くはない。
③ 顏に関しては、馬の顔は長く、馬以外（象と兎）の顔は長くはない。
といふことは、要するに、
① 鼻は象が長い。
② 耳は兎が長い。
③ 顔は馬が長い。
といふ、ことである。
従って、
（01）（02）により、
（03）
「番号」を付け替へるとして、
① 鼻は象が長い。
② 鼻に関しては、象の鼻は長く、象以外（兎と馬）の鼻は長くはない。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（04）
①｛象の鼻、兎の鼻、馬の鼻｝
②｛象の耳、兎の耳、馬の耳｝
③｛象の耳、兎の耳、馬の耳｝
といふ「３つの集合」ではなく、
①｛象の鼻、兎の鼻、馬の鼻｝
といふ「１つの集合」だけに「注目」するならば、
① 象の鼻が長い。
② 象の鼻は長く、象以外（兎と馬）の鼻は長くはない。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（01）～（04）により、
（05）
①｛象、兎、馬｝
といふ「集合」の、
①｛象の鼻、兎の鼻、馬の鼻｝
といふ「部分集合」に「注目」すれば、
① 象の鼻が長い。
といふことになり、
①｛象、兎、馬｝
といふ「集合」の、
①｛象の鼻、兎の鼻、馬の鼻｝
②｛象の耳、兎の耳、馬の耳｝
③｛象の耳、兎の耳、馬の耳｝
といふ「部分集合」に「注目」すれば、
② 鼻は象が長い。
といふことになる。
従って、
（06）
① 象の鼻が長い。
② 鼻は象が長い。
といふ「日本語」は、「命題」としては、両方とも、
③ 象の鼻は長く、象の鼻以外（兎の鼻、馬の鼻）は長くない。
といふ「意味」になる。
然るに、
（07）
① ∀ｙ∃ｘ｛（象ｘ＆鼻ｙｘ）→長ｙ＆（～象ｘ＆鼻ｙｘ）→～長ｙ｝。
② ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ＆（～象ｙ＆鼻ｘｙ）→～長ｘ｝。
といふ「述語論理」の「読み方（意味）」は、
① すべてのｙとあるｘについて｛（ｘが象であって、ｙがｘの鼻である）ならば、ｙは長く、（ｘが象でなくて、ｙがｘの鼻である）ならば、ｙは長くない｝。
② すべてのｘとあるｙについて｛（ｘがｙの鼻であって、ｙが象である）ならば、ｘは長く、（ｙが象でなくて、ｘがｙの鼻である）ならば、ｘは長くない｝。
となるものの、この場合は、「語順が異なる」だけで、「真理値」からすれば、
①＝② である。
従って、
（06）（07）により、
（08）
① 象の鼻が長い。
② 鼻は象が長い。
といふ「日本語」は、それぞれ、
① ∀ｙ∃ｘ｛（象ｘ＆鼻ｙｘ）→長ｙ＆（～象ｘ＆鼻ｙｘ）→～長ｙ｝。
② ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ＆（～象ｙ＆鼻ｘｙ）→～長ｘ｝。
といふ「述語論理式」に、「対応」する。
然るに、
（09）
１ （１）∀ｙ∃ｘ｛（象ｘ＆鼻ｙｘ）→長ｙ＆（～象ｘ＆鼻ｙｘ）→～長ｙ｝ Ａ
１ （２） ∃ｘ｛（象ｘ＆鼻ｂｘ）→長ｂ＆（～象ｘ＆鼻ｂｘ）→～長ｂ｝ １ＵＥ
３ （３） （象ａ＆鼻ｂａ）→長ｂ＆（～象ａ＆鼻ｂａ）→～長ｂ Ａ）
３ （４） （～象ａ＆鼻ｂａ）→～長ｂ ３＆Ｅ
５ （５） ∀ｘ｛（兎ｘ→～象ｘ）＆∃ｙ（鼻ｙｘ）｝ Ａ
５ （６） （兎ａ→～象ａ）＆∃ｙ（鼻ｙａ） ５ＵＥ
５ （７） 兎ａ→～象ａ ６＆Ｅ
５ （８） ∃ｙ（鼻ｙａ） ６＆Ｅ
９ （９） 鼻ｂａ Ａ
ア （ア） 兎ａ Ａ
５ ア （イ） ～象ａ ７アＭＰＰ
５９ア （ウ） ～象ａ＆鼻ｂａ ９イ＆Ｉ
３５９ア （エ） ～長ｂ ４ウＭＰＰ
３５９ア （オ） 鼻ｂａ＆～長ｂ ９エ＆Ｉ
３５９ア （カ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆～長ｂ） オＥＩ
３５ ア （キ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆～長ｂ） ８９カＥＥ
３５ （ク） 兎ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆～長ｂ） アキＣＰ
１ ５ （ケ） 兎ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆～長ｂ） ２３クＥＥ
コ （コ） ∃ｘ｛兎ｘ＆∀ｙ（鼻ｙｘ→ 長ｙ）｝ Ａ
サ （サ） 兎ａ＆∀ｙ（鼻ｙａ→ 長ｙ） Ａ
サ （シ） 兎ａ サ＆Ｅ
サ （ス） ∀ｙ（鼻ｙａ→ 長ｙ） サ＆Ｅ
サ （セ） 鼻ｂａ→ 長ｂ スＵＥ
１ ５ サ （ソ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆～長ｂ） ケシＭＰＰ
タ（タ） 鼻ｂａ＆～長ｂ Ａ
タ（チ） 鼻ｂａ タ＆Ｅ
タ（ツ） ～長ｂ タ＆Ｅ
サタ（テ） 長ｂ セチＭＰＰ
サタ（ト） ～長ｂ＆長ｂ ツテ＆Ｉ
１ ５ サ （ナ） ～長ｂ＆長ｂ ソタトＥＥ
１ ５ コ （ニ） ～長ｂ＆長ｂ コサナＥＥ
１ ５ （ヌ） ～∃ｘ｛兎ｘ＆∀ｙ（鼻ｙｘ→長ｙ）｝ コニＲＡＡ
従って、
（09）により、
（10）
（ⅰ）∀ｙ∃ｘ｛（象ｘ＆鼻ｙｘ）→長ｙ＆（～象ｘ＆鼻ｙｘ）→～長ｙ｝。然るに、
（ⅱ） ∀ｘ｛（兎ｘ→～象ｘ）＆∃ｙ（鼻ｙｘ）｝。従って、
（ⅲ） ～∃ｘ｛ 兎ｘ＆∀ｙ（鼻ｙｘ→長ｙ）｝。
といふ『推論』、すなはち、
（ⅰ）すべてのｙとあるｘについて｛（ｘが象であって、ｙがｘの鼻である）ならば、ｙは長く、（ｘが象でなくて、ｙがｘの鼻である）ならば、ｙは長くない｝。然るに、
（ⅱ） すべてのｘについて｛（ｘが兎であるならば、ｘは象ではなく）、あるｙは（ｘの鼻である）｝。従って、
（ⅲ） あるｘが｛ 兎であって、すべてのｙについて、（ｙがｘの鼻ならば、ｙは長い）｝といふことはない。
といふ『推論』、すなはち、
（ⅰ）象の鼻が長い。然るに、
（ⅱ）兎は象ではないが、兎には鼻がある。従って、
（ⅲ）兎の鼻が長い、といふことはない。
といふ『推論』は、「妥当」である。
従って、
（07）～（10）により、
（11）
（ⅰ）鼻は象が長い。然るに、
（ⅱ）兎は象ではないが、兎には鼻がある。従って、
（ⅲ）兎の鼻が長い、といふことはない。
といふ『推論』も、「妥当」である。
令和６年２月２５日、毛利太。
2024年2月24日土曜日
「象は鼻が長い（動物である）」の「述語論理」の解説。
（01）
（ⅰ）象は鼻が長い。然るに、
（ⅱ）兎は耳は長い。従って、
（ⅲ）兎は象ではない。
といふ『推論』は、「妥当」である。
然るに、
（02）
（ⅰ）象といふ動物のパーツ（部分）の中では、鼻は長く、 鼻以外は長くない。 然るに、
（ⅱ）兎といふ動物のパーツ（部分）の中では、耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。従って、
（ⅲ）象が、兎であると「仮定」すると「矛盾」する。従って、
（〃）兎は象ではない。
といふ『推論（背理法）』は、「妥当」である。
従って、
（01）（02）により、
（03）
（ⅰ）象といふ動物のパーツ（部分）の中では、鼻は長く、 鼻以外は長くない。 然るに、
（ⅱ）兎といふ動物のパーツ（部分）の中では、耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。従って、
（ⅲ）象が、兎であると「仮定」すると「矛盾」する。従って、
（〃）兎は象ではない。
といふ「推論（背理法）」が「妥当」であるが故に、
（ⅰ）象は鼻が長い。然るに、
（ⅱ）兎は耳は長い。従って、
（ⅲ）兎は象ではない。
といふ『推論』は、「妥当」である。
然るに、
（04）
１ （１） ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
２ （２） ∀ｘ｛兎ｘ→∃ｚ（耳ｚｘ＆～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝ Ａ
３ （３） ∃ｘ（象ｘ＆兎ｘ） Ａ
１ （４） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） １ＵＥ
２ （５） 兎ａ→∃ｚ（耳ｚａ＆～鼻ｚａ＆長ｚ） ２ＵＥ
６ （６） 象ａ＆兎ａ Ａ
６ （７） 象ａ ６＆Ｅ
６ （８） 兎ａ ６＆Ｅ
１ ６ （９） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ４７ＭＰＰ
１ ６ （ア） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ９＆Ｅ
１ ６ （イ） ～鼻ｂａ→～長ｂ アＵＥ
２ ６ （ウ） ∃ｚ（耳ｚａ＆～鼻ｚａ＆長ｚ） ５８ＭＰＰ
エ （エ） 耳ｂａ＆～鼻ｂａ＆長ｂ Ａ
エ （オ） ～鼻ｂａ エ＆Ｅ
エ （カ） 長ｂ エ＆Ｅ
１ ６エ （キ） ～長ｂ イオＭＰＰ
１ ６エ （ク） 長ｂ＆～長ｂ カキ＆Ｉ
１２ ６ （ケ） 長ｂ＆～長ｂ ウエクＥＥ
１２３ （コ） 長ｂ＆～長ｂ ３６ケＥＥ
１２ （サ）～∃ｘ（象ｘ＆ 兎ｘ） ３コＲＡＡ
シ （シ） ～（象ａ→～兎ａ） Ａ
シ （ス） ～（～象ａ∨～兎ａ） シ含意の定義
シ （セ） 象ａ＆ 兎ａ ス、ド・モルガンの法則
シ （ソ） ∃ｘ（象ｘ＆ 兎ｘ） セＥＩ
１２ シ （タ）～∃ｘ（象ｘ＆ 兎ｘ）＆∃ｘ（象ｘ＆ 兎ｘ） サソ＆Ｉ
１２ （チ） ～～（象ａ→～兎ａ） シタＲＡＡ
１２ （ツ） （象ａ→～兎ａ） チＤＮ
テ（テ） 兎ａ Ａ
テ（ト） ～～兎ａ テＤＮ
１２ テ（ナ） ～象ａ ツトＭＴＴ
１２ （ニ） 兎ａ→～象ａ テナＣＰ
１２ （ヌ） ∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ） ニＵＩ
従って、
（04）により、
（05）
（ⅰ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。然るに、
（ⅱ）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｚ（耳ｚｘ＆～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝。従って、
（ⅲ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ）。
といふ『推論』、すなはち、
（ⅰ）すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙは（ｘの鼻であって、長く）、すべてのｚについて（ｚがｘの鼻ではないならば、ｚは長くない）｝。然るに、
（ⅱ）すべてのｘについて｛ｘが兎であるならば、あるｚは（ｘの鼻ではないが、ｚは長い）｝。従って、
（ⅲ）すべてのｘについて（ｘが兎であるならば、ｘは象ではない）。
といふ『推論』、すなはち、
（ⅰ）象といふ動物のパーツ（部分）の中では、鼻は長く、 鼻以外は長くない。 然るに、
（ⅱ）兎といふ動物のパーツ（部分）の中では、耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。従って、
（ⅲ）象が、兎であると「仮定」すると「矛盾」する。従って、
（ⅳ）兎は象ではない。
といふ『推論』は「妥当」である。
従って、
（01）～（05）により、
（06）
（ⅰ）象は鼻が長い。然るに、
（ⅱ）兎は耳は長い。従って、
（ⅲ）兎は象ではない。
といふ『推論』が、「妥当」であるならば、
（ⅰ）象といふ動物のパーツ（部分）の中では、鼻は長く、 鼻以外は長くない。 然るに、
（ⅱ）兎といふ動物のパーツ（部分）の中では、耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。従って、
（ⅲ）象が、兎であると「仮定」すると「矛盾」する。従って、
（〃）兎は象ではない。
といふ『推論』は、「妥当」であり、
（ⅰ）象といふ動物のパーツ（部分）の中では、鼻は長く、 鼻以外は長くない。 然るに、
（ⅱ）兎といふ動物のパーツ（部分）の中では、耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。従って、
（ⅲ）象が、兎であると「仮定」すると「矛盾」する。従って、
（〃）兎は象ではない。
といふ『推論』が、「妥当」であるならば、
（ⅰ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。然るに、
（ⅱ）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｚ（耳ｚｘ＆～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝。従って、
（ⅲ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ）。
といふ『推論』は、「妥当」である。
従って、
（06）により、
（07）
（ⅰ）象は鼻が長い。然るに、
（ⅱ）兎は耳は長い。従って、
（ⅲ）兎は象ではない。
といふ『推論』は、
（ⅰ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。然るに、
（ⅱ）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｚ（耳ｚｘ＆～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝。従って、
（ⅲ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ）。
といふ『推論』に「他ならない」。
従って、
（07）により、
（08）
① 象は鼻が長い。
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（08）により、
（09）
② 象は鼻が長い動物である。
③ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）＆動物ｘ｝。
③ すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙは（ｘの鼻であって、長く）、すべてのｚについて（ｚがｘの鼻ではないならば、ｚは長くなく）、その上、ｘは動物である｝。
に於いて、
②＝③ である。
従って、
（09）により、
（10）
③ 象は動物である。
④ ∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ｝。
④ すべてのｘについて｛ｘが象であるなら、ｘは動物である｝。
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（09）（10）により、
（11）
「番号」を付け直すとして、
① 象は動物である。
② 象は鼻が長い。
③ 象は鼻が長い動物である。
といふ「日本語」は、それぞれ、
① ∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ｝。
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
③ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）＆動物ｘ｝。
といふ「述語論理式」に「対応」する。
然るに、
（11）により、
（12）
① 象は動物である。
② 象は鼻が長い。
③ 象は鼻が長い動物である。
といふ「日本語」に於ける、
① 象は
② 象は
③ 象は
といふ「主語（主辞）」は、３つとも、「述語論理的」には、
① ∀ｘ｛象ｘ→
② ∀ｘ｛象ｘ→
③ ∀ｘ｛象ｘ→
であって、「区別」は無い。
従って、
（13）
① 象は動物である。
に於ける、
① 象は が「主語」であるならば、
① 象は動物である。
② 象は鼻が長い。
③ 象は鼻が長い動物である。
といふ「日本語」に於ける、
① 象は
② 象は
③ 象は
は、３つとも、「主語（主辞）」である。
然るに、
（14）
「象は鼻が長い」はどれが主辞がわからないから、このままでは非論理的な構造の文である、と言う人がもしあった（沢田『入門』二九ペ）とすれば、その人は旧『論理学』を知らない人であろう、これはこのままで、
象は 鼻が長い。
主辞 賓辞
とはっきりしている。速水式に簡単明リョウである。意味も、主辞賓辞の関係も小学生にもわかるはずの文である。これに文句をつけたり、それを取り次いだりするのは、人々が西洋文法に巻かれていることを語る以外の何物でもない。このまま定理扱いしてもよろしい。そしてこの定理の逆は真でないとして、鼻の長いもの例に、鞍馬山の天狗だの、池の尾の禅珍内供だのを上げるのも一興だろう。それでおしまいである（三上章、日本語の論理、1963年、１３・１４頁）。
従って、
（13）（14）により、
（15）
三上章 による、
象は 鼻が長い。
主辞 賓辞
とはっきりしている。 といふ「意見」は、「述語論理的」には、「正しい」。
然るに、
（16）
といふ『主語を殺した男』といふ「タイトル」が示してゐる通り、に、三上章先生は、固より、「（日本語に於ける）主語」といふモノを、認めない。
令和６年２月２４日、毛利太。
（ⅰ）象は鼻が長い。然るに、
（ⅱ）兎は耳は長い。従って、
（ⅲ）兎は象ではない。
といふ『推論』は、「妥当」である。
然るに、
（02）
（ⅰ）象といふ動物のパーツ（部分）の中では、鼻は長く、 鼻以外は長くない。 然るに、
（ⅱ）兎といふ動物のパーツ（部分）の中では、耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。従って、
（ⅲ）象が、兎であると「仮定」すると「矛盾」する。従って、
（〃）兎は象ではない。
といふ『推論（背理法）』は、「妥当」である。
従って、
（01）（02）により、
（03）
（ⅰ）象といふ動物のパーツ（部分）の中では、鼻は長く、 鼻以外は長くない。 然るに、
（ⅱ）兎といふ動物のパーツ（部分）の中では、耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。従って、
（ⅲ）象が、兎であると「仮定」すると「矛盾」する。従って、
（〃）兎は象ではない。
といふ「推論（背理法）」が「妥当」であるが故に、
（ⅰ）象は鼻が長い。然るに、
（ⅱ）兎は耳は長い。従って、
（ⅲ）兎は象ではない。
といふ『推論』は、「妥当」である。
然るに、
（04）
１ （１） ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
２ （２） ∀ｘ｛兎ｘ→∃ｚ（耳ｚｘ＆～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝ Ａ
３ （３） ∃ｘ（象ｘ＆兎ｘ） Ａ
１ （４） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） １ＵＥ
２ （５） 兎ａ→∃ｚ（耳ｚａ＆～鼻ｚａ＆長ｚ） ２ＵＥ
６ （６） 象ａ＆兎ａ Ａ
６ （７） 象ａ ６＆Ｅ
６ （８） 兎ａ ６＆Ｅ
１ ６ （９） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ４７ＭＰＰ
１ ６ （ア） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ９＆Ｅ
１ ６ （イ） ～鼻ｂａ→～長ｂ アＵＥ
２ ６ （ウ） ∃ｚ（耳ｚａ＆～鼻ｚａ＆長ｚ） ５８ＭＰＰ
エ （エ） 耳ｂａ＆～鼻ｂａ＆長ｂ Ａ
エ （オ） ～鼻ｂａ エ＆Ｅ
エ （カ） 長ｂ エ＆Ｅ
１ ６エ （キ） ～長ｂ イオＭＰＰ
１ ６エ （ク） 長ｂ＆～長ｂ カキ＆Ｉ
１２ ６ （ケ） 長ｂ＆～長ｂ ウエクＥＥ
１２３ （コ） 長ｂ＆～長ｂ ３６ケＥＥ
１２ （サ）～∃ｘ（象ｘ＆ 兎ｘ） ３コＲＡＡ
シ （シ） ～（象ａ→～兎ａ） Ａ
シ （ス） ～（～象ａ∨～兎ａ） シ含意の定義
シ （セ） 象ａ＆ 兎ａ ス、ド・モルガンの法則
シ （ソ） ∃ｘ（象ｘ＆ 兎ｘ） セＥＩ
１２ シ （タ）～∃ｘ（象ｘ＆ 兎ｘ）＆∃ｘ（象ｘ＆ 兎ｘ） サソ＆Ｉ
１２ （チ） ～～（象ａ→～兎ａ） シタＲＡＡ
１２ （ツ） （象ａ→～兎ａ） チＤＮ
テ（テ） 兎ａ Ａ
テ（ト） ～～兎ａ テＤＮ
１２ テ（ナ） ～象ａ ツトＭＴＴ
１２ （ニ） 兎ａ→～象ａ テナＣＰ
１２ （ヌ） ∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ） ニＵＩ
従って、
（04）により、
（05）
（ⅰ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。然るに、
（ⅱ）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｚ（耳ｚｘ＆～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝。従って、
（ⅲ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ）。
といふ『推論』、すなはち、
（ⅰ）すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙは（ｘの鼻であって、長く）、すべてのｚについて（ｚがｘの鼻ではないならば、ｚは長くない）｝。然るに、
（ⅱ）すべてのｘについて｛ｘが兎であるならば、あるｚは（ｘの鼻ではないが、ｚは長い）｝。従って、
（ⅲ）すべてのｘについて（ｘが兎であるならば、ｘは象ではない）。
といふ『推論』、すなはち、
（ⅰ）象といふ動物のパーツ（部分）の中では、鼻は長く、 鼻以外は長くない。 然るに、
（ⅱ）兎といふ動物のパーツ（部分）の中では、耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。従って、
（ⅲ）象が、兎であると「仮定」すると「矛盾」する。従って、
（ⅳ）兎は象ではない。
といふ『推論』は「妥当」である。
従って、
（01）～（05）により、
（06）
（ⅰ）象は鼻が長い。然るに、
（ⅱ）兎は耳は長い。従って、
（ⅲ）兎は象ではない。
といふ『推論』が、「妥当」であるならば、
（ⅰ）象といふ動物のパーツ（部分）の中では、鼻は長く、 鼻以外は長くない。 然るに、
（ⅱ）兎といふ動物のパーツ（部分）の中では、耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。従って、
（ⅲ）象が、兎であると「仮定」すると「矛盾」する。従って、
（〃）兎は象ではない。
といふ『推論』は、「妥当」であり、
（ⅰ）象といふ動物のパーツ（部分）の中では、鼻は長く、 鼻以外は長くない。 然るに、
（ⅱ）兎といふ動物のパーツ（部分）の中では、耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。従って、
（ⅲ）象が、兎であると「仮定」すると「矛盾」する。従って、
（〃）兎は象ではない。
といふ『推論』が、「妥当」であるならば、
（ⅰ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。然るに、
（ⅱ）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｚ（耳ｚｘ＆～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝。従って、
（ⅲ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ）。
といふ『推論』は、「妥当」である。
従って、
（06）により、
（07）
（ⅰ）象は鼻が長い。然るに、
（ⅱ）兎は耳は長い。従って、
（ⅲ）兎は象ではない。
といふ『推論』は、
（ⅰ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。然るに、
（ⅱ）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｚ（耳ｚｘ＆～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝。従って、
（ⅲ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ）。
といふ『推論』に「他ならない」。
従って、
（07）により、
（08）
① 象は鼻が長い。
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（08）により、
（09）
② 象は鼻が長い動物である。
③ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）＆動物ｘ｝。
③ すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙは（ｘの鼻であって、長く）、すべてのｚについて（ｚがｘの鼻ではないならば、ｚは長くなく）、その上、ｘは動物である｝。
に於いて、
②＝③ である。
従って、
（09）により、
（10）
③ 象は動物である。
④ ∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ｝。
④ すべてのｘについて｛ｘが象であるなら、ｘは動物である｝。
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（09）（10）により、
（11）
「番号」を付け直すとして、
① 象は動物である。
② 象は鼻が長い。
③ 象は鼻が長い動物である。
といふ「日本語」は、それぞれ、
① ∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ｝。
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
③ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）＆動物ｘ｝。
といふ「述語論理式」に「対応」する。
然るに、
（11）により、
（12）
① 象は動物である。
② 象は鼻が長い。
③ 象は鼻が長い動物である。
といふ「日本語」に於ける、
① 象は
② 象は
③ 象は
といふ「主語（主辞）」は、３つとも、「述語論理的」には、
① ∀ｘ｛象ｘ→
② ∀ｘ｛象ｘ→
③ ∀ｘ｛象ｘ→
であって、「区別」は無い。
従って、
（13）
① 象は動物である。
に於ける、
① 象は が「主語」であるならば、
① 象は動物である。
② 象は鼻が長い。
③ 象は鼻が長い動物である。
といふ「日本語」に於ける、
① 象は
② 象は
③ 象は
は、３つとも、「主語（主辞）」である。
然るに、
（14）
「象は鼻が長い」はどれが主辞がわからないから、このままでは非論理的な構造の文である、と言う人がもしあった（沢田『入門』二九ペ）とすれば、その人は旧『論理学』を知らない人であろう、これはこのままで、
象は 鼻が長い。
主辞 賓辞
とはっきりしている。速水式に簡単明リョウである。意味も、主辞賓辞の関係も小学生にもわかるはずの文である。これに文句をつけたり、それを取り次いだりするのは、人々が西洋文法に巻かれていることを語る以外の何物でもない。このまま定理扱いしてもよろしい。そしてこの定理の逆は真でないとして、鼻の長いもの例に、鞍馬山の天狗だの、池の尾の禅珍内供だのを上げるのも一興だろう。それでおしまいである（三上章、日本語の論理、1963年、１３・１４頁）。
従って、
（13）（14）により、
（15）
三上章 による、
象は 鼻が長い。
主辞 賓辞
とはっきりしている。 といふ「意見」は、「述語論理的」には、「正しい」。
然るに、
（16）
といふ『主語を殺した男』といふ「タイトル」が示してゐる通り、に、三上章先生は、固より、「（日本語に於ける）主語」といふモノを、認めない。
令和６年２月２４日、毛利太。
2024年2月23日金曜日
「（Ｐ＆Ｑ）→～Ｐ」の「対偶」について。
（01）
① （Ｐ＆Ｑ）→ Ｐ
② （Ｐ＆Ｑ）→～Ｐ
といふ「論理式」、すなはち、
① ＰであってＱであるならば、Ｐである。
② ＰであってＱであるならば、Ｐでない。
といふ「命題」に於いて、
① は、明らかに「真（トートロジー）」であるが、
② は、明らかに「偽（矛盾）」である（？？）。
然るに、
（02）
① （Ｐ＆Ｑ）→Ｐ
に対する「否定」を「計算」すると、
（ⅰ）
１（１） ～｛（Ｐ＆Ｑ）→ Ｐ｝ Ａ
１（２）～｛～（Ｐ＆Ｑ）∨ Ｐ｝ １含意の定義
１（３） （Ｐ＆Ｑ）＆～Ｐ ２ド・モルガンの法則
１（４） Ｐ＆Ｑ ３＆Ｅ
１（５） Ｐ ４＆Ｅ
１（６） Ｑ ４＆Ｅ
１（７） ～Ｐ ３＆Ｅ
１（８） Ｐ＆～Ｐ ５７＆Ｉ
１（９） （Ｐ＆～Ｐ）＆Ｑ ６８＆Ｉ
（〃）
１（１） （Ｐ＆～Ｐ）＆Ｑ Ａ
１（２） Ｐ＆～Ｐ １＆Ｅ
１（３） Ｐ ２＆Ｅ
１（４） ～Ｐ ２＆Ｅ
１（５） Ｑ １＆Ｅ
１（６） Ｐ＆Ｑ ３５＆I
１（７） （Ｐ＆Ｑ）＆～Ｐ ４６＆I
１（８）～｛～（Ｐ＆Ｑ）∨ Ｐ｝ ７ド・モルガンの法則
１（９） ～｛（Ｐ＆Ｑ）→ Ｐ｝ ８含意の定義
従って、
（02）により、
（03）
① （Ｐ＆Ｑ）→Ｐ
に対する「否定」を「計算」すると、
①（Ｐ＆～Ｐ）＆Ｑ
であるものの、
①（Ｐ＆～Ｐ）＆Ｑ
であれば、
①（矛盾）＆Ｑ
であって、
①（矛盾）＆Ｑ
は、「偽」である。
然るに、
（04）
② （Ｐ＆Ｑ）→～Ｐ
に対する「否定」を「計算」すると、
（ⅱ）
１（１） ～｛（Ｐ＆Ｑ）→～Ｐ｝ Ａ
１（２）～｛～（Ｐ＆Ｑ）∨～Ｐ｝ １含意の定義
１（３） （Ｐ＆Ｑ）＆ Ｐ ２ド・モルガンの法則
１（４） Ｐ＆Ｑ ３＆Ｅ
（ⅲ）
１（１） Ｐ＆Ｑ Ａ
１（２） Ｐ １＆Ｅ
１（３） （Ｐ＆Ｑ）＆ Ｐ １２＆Ｉ
１（４）～｛～（Ｐ＆Ｑ）∨～Ｐ｝ ３ド・モルガンの法則
１（５） ～｛（Ｐ＆Ｑ）→～Ｐ｝ ４含意の定義
従って、
（04）により、
（05）
② （Ｐ＆Ｑ）→～Ｐ
に対する「否定」を「計算」すると、
③ Ｐ＆Ｑ
であるものの、
③ Ｐ＆Ｑ
は、それ自体は、「真」でも、「偽」でもない。
然るに、
（04）により、
（06）
いづれにせよ、
② ～｛（Ｐ＆Ｑ）→～Ｐ｝
③ Ｐ＆Ｑ
に於いて、
②＝③ である。
従って、
（06）により、
（07）
② ～～｛（Ｐ＆Ｑ）→～Ｐ｝
③ ～（Ｐ＆Ｑ）
に於いて、
②＝③ である。
従って、
（07）により、
（08）
「二重否定律（ＤＮ）」により、
② （Ｐ＆Ｑ）→～Ｐ
③ ～（Ｐ＆Ｑ）
然るに、
（09）
（ⅲ）
１ （１）～（Ｐ＆Ｑ） Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
３（３） Ｑ Ａ
２３（４） Ｐ＆Ｑ ２３＆Ｉ
１２３（５）～（Ｐ＆Ｑ）＆
（Ｐ＆Ｑ） １３＆Ｉ
１２ （６） ～Ｑ ３５ＲＡＡ
１ （７） Ｐ→～Ｑ ２６ＣＰ
（ⅳ）
１ （１） Ｐ→～Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆ Ｑ Ａ
２ （３） Ｐ ２＆Ｅ
１２ （４） ～Ｑ １３ＭＰＰ
２ （５） Ｑ ２＆Ｅ
１２ （６） ～Ｑ＆Ｑ ４５＆Ｉ
１ （７）～（Ｐ＆Ｑ） ２６ＲＡＡ
従って、
（09）により、
（10）
③ ～（Ｐ＆Ｑ）
④ Ｐ→～Ｑ
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（08）（09）（10）により、
（11）
② （Ｐ＆Ｑ）→～Ｐ
③ ～（Ｐ＆Ｑ）
④ Ｐ→～Ｑ
に於いて、
②＝③＝④ である。
然るに、
（12）
（ⅱ）
１ （１） （Ｐ＆Ｑ）→～Ｐ Ａ
１ （２）～（Ｐ＆Ｑ）∨～Ｐ Ａ
３ （３）～（Ｐ＆Ｑ） Ａ
３ （４）～Ｐ∨～Ｑ ド・モルガンの法則
３ （５）～Ｐ∨～Ｑ∨ ～Ｐ ４∨Ｉ
６（６） ～Ｐ Ａ
６（７） ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｐ ７∨Ｉ
１ （８）～Ｐ∨～Ｑ∨ ～Ｐ １３５６７∨Ｅ
１ （９）～Ｐ∨～Ｐ∨ ～Ｑ ８交換法則
１ （ア）～Ｐ∨～Ｑ ９冪等律
１ （イ） Ｐ→～Ｑ ア含意の定義
（ⅲ）
１ （１） Ｐ→～Ｑ Ａ
１ （２） ～Ｐ∨～Ｑ １含意の定義
１ （３） ～Ｐ∨～Ｐ∨ ～Ｑ ２冪等律。
１ （４） ～Ｐ∨～Ｑ∨ ～Ｐ ３交換法則
１ （５）（～Ｐ∨～Ｑ）∨～Ｐ ４結合法則
６ （６）（～Ｐ∨～Ｑ） Ａ
６ （７）～（Ｐ＆Ｑ） ６ド・モルガンの法則
６ （８）～（Ｐ＆Ｑ）∨ ～Ｐ ７∨Ｉ
９（９） ～Ｐ Ａ
９（ア）～（Ｐ＆Ｑ）∨ ～Ｐ ９∨Ｉ
１ （イ） （Ｐ＆Ｑ）→ ～Ｐ ア含意の定義
従って、
（12）により、
（13）
②（Ｐ＆Ｑ）→～Ｐ
③ Ｐ→～Ｑ
に於いて、
②＝③ である。
然るに、
（14）
（ⅱ）
１ （１） （Ｐ＆Ｑ）→～Ｐ Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
２ （３） ～～Ｐ ２ＤＮ
１２ （４）～（Ｐ＆Ｑ） １３ＭＴＴ
１２ （５）～Ｐ∨～Ｑ ４ド・モルガンの法則
１２ （６） Ｐ→～Ｑ ５含意の定義
１ （７） Ｐ→（Ｐ→～Ｑ） ２６ＣＰ
８（８） Ｐ Ａ
１ ８（９） Ｐ→～Ｑ ７８ＭＰＰ
１ ８（ア） ～Ｑ ８９ＭＰＰ
１ （イ） Ｐ→～Ｑ ８アＣＰ
（ⅲ）
１ （１） Ｐ→～Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆ Ｑ Ａ
２ （３） Ｐ ２＆Ｅ
１２ （４） ～Ｑ １３ＭＰＰ
２ （５） Ｑ ２＆Ｅ
１２ （６） ～Ｑ＆Ｑ ４５＆Ｉ
１ （７）～（Ｐ＆Ｑ） ２６ＲＡＡ
１ （８）～（Ｐ＆Ｑ）∨～Ｐ ７∨Ｉ
１ （９） （Ｐ＆Ｑ）→～Ｐ ８含意の定義
従って、
（14）により、
（15）
②（Ｐ＆Ｑ）→～Ｐ
③ Ｐ→～Ｑ
に於いて、
②＝③ は「対偶」である。
従って、
（12）（15）により、
（16）
（ⅱ）
１ （１） （Ｐ＆Ｑ）→～Ｐ Ａ
１ （２）～（Ｐ＆Ｑ）∨～Ｐ Ａ
３ （３）～（Ｐ＆Ｑ） Ａ
３ （４）～Ｐ∨～Ｑ ド・モルガンの法則
３ （５）～Ｐ∨～Ｑ∨ ～Ｐ ４∨Ｉ
６（６） ～Ｐ Ａ
６（７） ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｐ ７∨Ｉ
１ （８）～Ｐ∨～Ｑ∨ ～Ｐ １３５６７∨Ｅ
１ （９）～Ｐ∨～Ｐ∨ ～Ｑ ８交換法則
１ （ア）～Ｐ∨～Ｑ ９冪等律
１ （イ） Ｐ→～Ｑ ア含意の定義
（ⅲ）
１ （１） Ｐ→～Ｑ Ａ
１ （２） ～Ｐ∨～Ｑ １含意の定義
１ （３） ～Ｐ∨～Ｐ∨ ～Ｑ ２冪等律。
１ （４） ～Ｐ∨～Ｑ∨ ～Ｐ ３交換法則
１ （５）（～Ｐ∨～Ｑ）∨～Ｐ ４結合法則
６ （６）（～Ｐ∨～Ｑ） Ａ
６ （７）～（Ｐ＆Ｑ） ６ド・モルガンの法則
６ （８）～（Ｐ＆Ｑ）∨ ～Ｐ ７∨Ｉ
９（９） ～Ｐ Ａ
９（ア）～（Ｐ＆Ｑ）∨ ～Ｐ ９∨Ｉ
１ （イ） （Ｐ＆Ｑ）→ ～Ｐ ア含意の定義
といふ「計算」は、結局は、「対偶の計算」であった。
といふことになる。
従って、
（11）～（16）により、
（17）
いづれにせよ、
②（Ｐ＆Ｑ）→～Ｐ
③ Ｐ→～Ｑ
に於いて、すなはち、
② ＰであってＱであるならば、Ｐでない。
③ Ｐであるならば、Ｑでない。
に於いて、
②＝③ である。
然るに、
（17）により、
（18）
③ Ｐであるならば、Ｑでない。
といふ「命題」は、言ふまでもなく、「矛盾」ではない。
従って、
（01）（18）により、
（19）
① （Ｐ＆Ｑ）→ Ｐ
② （Ｐ＆Ｑ）→～Ｐ
といふ「論理式」、すなはち、
① ＰであってＱであるならば、Ｐである。
② ＰであってＱであるならば、Ｐでない。
といふ「命題」に於いて、
① は、明らかに「真（トートロジー）」であるが、
② は、決して、「偽（矛盾）」ではない（！！）。
令和６年２月２３日、毛利太。
① （Ｐ＆Ｑ）→ Ｐ
② （Ｐ＆Ｑ）→～Ｐ
といふ「論理式」、すなはち、
① ＰであってＱであるならば、Ｐである。
② ＰであってＱであるならば、Ｐでない。
といふ「命題」に於いて、
① は、明らかに「真（トートロジー）」であるが、
② は、明らかに「偽（矛盾）」である（？？）。
然るに、
（02）
① （Ｐ＆Ｑ）→Ｐ
に対する「否定」を「計算」すると、
（ⅰ）
１（１） ～｛（Ｐ＆Ｑ）→ Ｐ｝ Ａ
１（２）～｛～（Ｐ＆Ｑ）∨ Ｐ｝ １含意の定義
１（３） （Ｐ＆Ｑ）＆～Ｐ ２ド・モルガンの法則
１（４） Ｐ＆Ｑ ３＆Ｅ
１（５） Ｐ ４＆Ｅ
１（６） Ｑ ４＆Ｅ
１（７） ～Ｐ ３＆Ｅ
１（８） Ｐ＆～Ｐ ５７＆Ｉ
１（９） （Ｐ＆～Ｐ）＆Ｑ ６８＆Ｉ
（〃）
１（１） （Ｐ＆～Ｐ）＆Ｑ Ａ
１（２） Ｐ＆～Ｐ １＆Ｅ
１（３） Ｐ ２＆Ｅ
１（４） ～Ｐ ２＆Ｅ
１（５） Ｑ １＆Ｅ
１（６） Ｐ＆Ｑ ３５＆I
１（７） （Ｐ＆Ｑ）＆～Ｐ ４６＆I
１（８）～｛～（Ｐ＆Ｑ）∨ Ｐ｝ ７ド・モルガンの法則
１（９） ～｛（Ｐ＆Ｑ）→ Ｐ｝ ８含意の定義
従って、
（02）により、
（03）
① （Ｐ＆Ｑ）→Ｐ
に対する「否定」を「計算」すると、
①（Ｐ＆～Ｐ）＆Ｑ
であるものの、
①（Ｐ＆～Ｐ）＆Ｑ
であれば、
①（矛盾）＆Ｑ
であって、
①（矛盾）＆Ｑ
は、「偽」である。
然るに、
（04）
② （Ｐ＆Ｑ）→～Ｐ
に対する「否定」を「計算」すると、
（ⅱ）
１（１） ～｛（Ｐ＆Ｑ）→～Ｐ｝ Ａ
１（２）～｛～（Ｐ＆Ｑ）∨～Ｐ｝ １含意の定義
１（３） （Ｐ＆Ｑ）＆ Ｐ ２ド・モルガンの法則
１（４） Ｐ＆Ｑ ３＆Ｅ
（ⅲ）
１（１） Ｐ＆Ｑ Ａ
１（２） Ｐ １＆Ｅ
１（３） （Ｐ＆Ｑ）＆ Ｐ １２＆Ｉ
１（４）～｛～（Ｐ＆Ｑ）∨～Ｐ｝ ３ド・モルガンの法則
１（５） ～｛（Ｐ＆Ｑ）→～Ｐ｝ ４含意の定義
従って、
（04）により、
（05）
② （Ｐ＆Ｑ）→～Ｐ
に対する「否定」を「計算」すると、
③ Ｐ＆Ｑ
であるものの、
③ Ｐ＆Ｑ
は、それ自体は、「真」でも、「偽」でもない。
然るに、
（04）により、
（06）
いづれにせよ、
② ～｛（Ｐ＆Ｑ）→～Ｐ｝
③ Ｐ＆Ｑ
に於いて、
②＝③ である。
従って、
（06）により、
（07）
② ～～｛（Ｐ＆Ｑ）→～Ｐ｝
③ ～（Ｐ＆Ｑ）
に於いて、
②＝③ である。
従って、
（07）により、
（08）
「二重否定律（ＤＮ）」により、
② （Ｐ＆Ｑ）→～Ｐ
③ ～（Ｐ＆Ｑ）
然るに、
（09）
（ⅲ）
１ （１）～（Ｐ＆Ｑ） Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
３（３） Ｑ Ａ
２３（４） Ｐ＆Ｑ ２３＆Ｉ
１２３（５）～（Ｐ＆Ｑ）＆
（Ｐ＆Ｑ） １３＆Ｉ
１２ （６） ～Ｑ ３５ＲＡＡ
１ （７） Ｐ→～Ｑ ２６ＣＰ
（ⅳ）
１ （１） Ｐ→～Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆ Ｑ Ａ
２ （３） Ｐ ２＆Ｅ
１２ （４） ～Ｑ １３ＭＰＰ
２ （５） Ｑ ２＆Ｅ
１２ （６） ～Ｑ＆Ｑ ４５＆Ｉ
１ （７）～（Ｐ＆Ｑ） ２６ＲＡＡ
従って、
（09）により、
（10）
③ ～（Ｐ＆Ｑ）
④ Ｐ→～Ｑ
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（08）（09）（10）により、
（11）
② （Ｐ＆Ｑ）→～Ｐ
③ ～（Ｐ＆Ｑ）
④ Ｐ→～Ｑ
に於いて、
②＝③＝④ である。
然るに、
（12）
（ⅱ）
１ （１） （Ｐ＆Ｑ）→～Ｐ Ａ
１ （２）～（Ｐ＆Ｑ）∨～Ｐ Ａ
３ （３）～（Ｐ＆Ｑ） Ａ
３ （４）～Ｐ∨～Ｑ ド・モルガンの法則
３ （５）～Ｐ∨～Ｑ∨ ～Ｐ ４∨Ｉ
６（６） ～Ｐ Ａ
６（７） ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｐ ７∨Ｉ
１ （８）～Ｐ∨～Ｑ∨ ～Ｐ １３５６７∨Ｅ
１ （９）～Ｐ∨～Ｐ∨ ～Ｑ ８交換法則
１ （ア）～Ｐ∨～Ｑ ９冪等律
１ （イ） Ｐ→～Ｑ ア含意の定義
（ⅲ）
１ （１） Ｐ→～Ｑ Ａ
１ （２） ～Ｐ∨～Ｑ １含意の定義
１ （３） ～Ｐ∨～Ｐ∨ ～Ｑ ２冪等律。
１ （４） ～Ｐ∨～Ｑ∨ ～Ｐ ３交換法則
１ （５）（～Ｐ∨～Ｑ）∨～Ｐ ４結合法則
６ （６）（～Ｐ∨～Ｑ） Ａ
６ （７）～（Ｐ＆Ｑ） ６ド・モルガンの法則
６ （８）～（Ｐ＆Ｑ）∨ ～Ｐ ７∨Ｉ
９（９） ～Ｐ Ａ
９（ア）～（Ｐ＆Ｑ）∨ ～Ｐ ９∨Ｉ
１ （イ） （Ｐ＆Ｑ）→ ～Ｐ ア含意の定義
従って、
（12）により、
（13）
②（Ｐ＆Ｑ）→～Ｐ
③ Ｐ→～Ｑ
に於いて、
②＝③ である。
然るに、
（14）
（ⅱ）
１ （１） （Ｐ＆Ｑ）→～Ｐ Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
２ （３） ～～Ｐ ２ＤＮ
１２ （４）～（Ｐ＆Ｑ） １３ＭＴＴ
１２ （５）～Ｐ∨～Ｑ ４ド・モルガンの法則
１２ （６） Ｐ→～Ｑ ５含意の定義
１ （７） Ｐ→（Ｐ→～Ｑ） ２６ＣＰ
８（８） Ｐ Ａ
１ ８（９） Ｐ→～Ｑ ７８ＭＰＰ
１ ８（ア） ～Ｑ ８９ＭＰＰ
１ （イ） Ｐ→～Ｑ ８アＣＰ
（ⅲ）
１ （１） Ｐ→～Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆ Ｑ Ａ
２ （３） Ｐ ２＆Ｅ
１２ （４） ～Ｑ １３ＭＰＰ
２ （５） Ｑ ２＆Ｅ
１２ （６） ～Ｑ＆Ｑ ４５＆Ｉ
１ （７）～（Ｐ＆Ｑ） ２６ＲＡＡ
１ （８）～（Ｐ＆Ｑ）∨～Ｐ ７∨Ｉ
１ （９） （Ｐ＆Ｑ）→～Ｐ ８含意の定義
従って、
（14）により、
（15）
②（Ｐ＆Ｑ）→～Ｐ
③ Ｐ→～Ｑ
に於いて、
②＝③ は「対偶」である。
従って、
（12）（15）により、
（16）
（ⅱ）
１ （１） （Ｐ＆Ｑ）→～Ｐ Ａ
１ （２）～（Ｐ＆Ｑ）∨～Ｐ Ａ
３ （３）～（Ｐ＆Ｑ） Ａ
３ （４）～Ｐ∨～Ｑ ド・モルガンの法則
３ （５）～Ｐ∨～Ｑ∨ ～Ｐ ４∨Ｉ
６（６） ～Ｐ Ａ
６（７） ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｐ ７∨Ｉ
１ （８）～Ｐ∨～Ｑ∨ ～Ｐ １３５６７∨Ｅ
１ （９）～Ｐ∨～Ｐ∨ ～Ｑ ８交換法則
１ （ア）～Ｐ∨～Ｑ ９冪等律
１ （イ） Ｐ→～Ｑ ア含意の定義
（ⅲ）
１ （１） Ｐ→～Ｑ Ａ
１ （２） ～Ｐ∨～Ｑ １含意の定義
１ （３） ～Ｐ∨～Ｐ∨ ～Ｑ ２冪等律。
１ （４） ～Ｐ∨～Ｑ∨ ～Ｐ ３交換法則
１ （５）（～Ｐ∨～Ｑ）∨～Ｐ ４結合法則
６ （６）（～Ｐ∨～Ｑ） Ａ
６ （７）～（Ｐ＆Ｑ） ６ド・モルガンの法則
６ （８）～（Ｐ＆Ｑ）∨ ～Ｐ ７∨Ｉ
９（９） ～Ｐ Ａ
９（ア）～（Ｐ＆Ｑ）∨ ～Ｐ ９∨Ｉ
１ （イ） （Ｐ＆Ｑ）→ ～Ｐ ア含意の定義
といふ「計算」は、結局は、「対偶の計算」であった。
といふことになる。
従って、
（11）～（16）により、
（17）
いづれにせよ、
②（Ｐ＆Ｑ）→～Ｐ
③ Ｐ→～Ｑ
に於いて、すなはち、
② ＰであってＱであるならば、Ｐでない。
③ Ｐであるならば、Ｑでない。
に於いて、
②＝③ である。
然るに、
（17）により、
（18）
③ Ｐであるならば、Ｑでない。
といふ「命題」は、言ふまでもなく、「矛盾」ではない。
従って、
（01）（18）により、
（19）
① （Ｐ＆Ｑ）→ Ｐ
② （Ｐ＆Ｑ）→～Ｐ
といふ「論理式」、すなはち、
① ＰであってＱであるならば、Ｐである。
② ＰであってＱであるならば、Ｐでない。
といふ「命題」に於いて、
① は、明らかに「真（トートロジー）」であるが、
② は、決して、「偽（矛盾）」ではない（！！）。
令和６年２月２３日、毛利太。
2024年2月22日木曜日
「恒真式（トートロジー」ではない「式」の作り方。
（01）
１（１） Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ Ａ
１（２） Ｒ １＆Ｅ
１（３） Ｑ∨Ｒ ２∨Ｉ
１（４）～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｑ∨Ｒ ３∨Ｉ
１（５） Ｐ＆Ｑ→ Ｑ∨Ｒ ４含意の定義
（ⅱ）
１（１） Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ Ａ
１（２） Ｑ １＆Ｅ
１（３） Ｑ∨Ｒ ２∨Ｉ
１（４）～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｑ∨Ｒ ３∨Ｉ
１（５） Ｐ＆Ｑ→ Ｑ∨Ｒ ４含意の定義
（ⅲ
１（１） Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ Ａ
１（２） Ｒ １＆Ｅ
１（３） Ｑ∨Ｒ ２∨Ｉ
１（４）～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｑ∨Ｒ ３∨Ｉ
１（５） Ｐ＆Ｑ→ Ｑ∨Ｒ ４含意の定義
（ⅳ
１ （１） Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ Ａ
１ （２） ～Ｑ １＆Ｅ
２（３） Ｐ＆ Ｑ Ａ
２（４） Ｑ ３＆Ｅ
１２（５） ～Ｑ＆Ｑ ３４＆Ｉ
１ （６）～（Ｐ＆Ｑ） ２５ＲＡＡ
１ （７）～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｑ ６∨Ｉ
１ （８）～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｑ∨Ｒ ７∨Ｉ
１ （９） Ｐ＆Ｑ→ Ｑ∨Ｒ ８含意の定義
（ⅴ
１（１） ～Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ Ａ
１（２） Ｒ １＆Ｅ
１（３） Ｑ∨Ｒ ２∨Ｉ
１（４）～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｑ∨Ｒ ３∨Ｉ
１（５） Ｐ＆Ｑ→ Ｑ∨Ｒ ４含意の定義
（ⅵ
１（１） ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ Ａ
１（２） Ｑ １＆Ｅ
１（３） Ｑ∨Ｒ ２∨Ｉ
１（４）～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｑ∨Ｒ ３∨Ｉ
１（５） Ｐ＆Ｑ→ Ｑ∨Ｒ ４含意の定義
（ⅶ
１（１） ～Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ Ａ
１（２） Ｒ １＆Ｅ
１（３） Ｑ∨Ｒ ２∨Ｉ
１（４）～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｑ∨Ｒ ３∨Ｉ
１（５） Ｐ＆Ｑ→ Ｑ∨Ｒ ４含意の定義
（ⅷ
１ （１） ～Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ Ａ
１ （２） ～Ｑ １＆Ｅ
２（３） Ｐ＆ Ｑ Ａ
２（４） Ｑ ３＆Ｅ
１２（５） ～Ｑ＆Ｑ ３４＆Ｉ
１ （６）～（Ｐ＆Ｑ） ２５ＲＡＡ
１ （７）～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｑ ６∨Ｉ
１ （８）～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｑ∨Ｒ ７∨Ｉ
１ （９） Ｐ＆Ｑ→ Ｑ∨Ｒ ８含意の定義
従って、
（01）により、
（02）
① Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├ Ｐ＆Ｑ→Ｑ∨Ｒ
② Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├ Ｐ＆Ｑ→Ｑ∨Ｒ
③ Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├ Ｐ＆Ｑ→Ｑ∨Ｒ
④ Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├ Ｐ＆Ｑ→Ｑ∨Ｒ
⑤ ～Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├ Ｐ＆Ｑ→Ｑ∨Ｒ
⑥ ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├ Ｐ＆Ｑ→Ｑ∨Ｒ
⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├ Ｐ＆Ｑ→Ｑ∨Ｒ
⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├ Ｐ＆Ｑ→Ｑ∨Ｒ
従って、
（01）（02）により、
（03）
① Ｐ＆Ｑ→Ｑ∨Ｒ
といふ「論理式」、すなはち、
① ＰであってＱであるならば、Ｑであるか、または、Ｒである。
といふ「命題」は、
① 命題変数（Ｐ、Ｑ、Ｒ）の「真偽」に関はらず、「恒に真」である。
従って、
（03）により、
（04）
① Ｐ＆Ｑ→Ｑ∨Ｒ
といふ「論理式」は、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（05）
① Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ
② Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ
③ Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ
④ Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ
⑤ ～Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ
⑥ ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ
⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ
⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ
に於ける、例へば、
⑥ を「否定」すると、
⑥ ～（ Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ）は、「ド・モルガンの法則」により、
⑥ （～Ｐ∨～Ｑ∨ Ｒ）に、「等しい」。
然るに、
（06）
（ⅱ）
１（１）～Ｐ∨ ～Ｑ∨Ｒ Ａ
１（２）～Ｐ∨（～Ｑ∨Ｒ） １結合法則
１（３） Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ） ２含意の定義
（〃）
１（１） Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ） Ａ
１（２）～Ｐ∨（～Ｑ∨Ｒ） １含意の定義
１（３）～Ｐ∨ ～Ｑ∨Ｒ ２結合法則
従って、
（05）（06）により、
（07）
① Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ
② Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ
③ Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ
④ Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ
⑤ ～Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ
⑥ ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ
⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ
⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ
に於ける、例へば、
⑥ を「否定」すると、
⑥ ～（～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ）は、「ド・モルガンの法則」により、
⑥ （ Ｐ∨～Ｑ∨ Ｒ）に、「等しく」、
⑥ （ Ｐ∨～Ｑ∨ Ｒ）は、「含意の定義」により、
⑥ ～Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）に、「等しい」。
従って、
（07）により、
（08）
① Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ
② Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ
③ Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ
④ Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ
⑤ ～Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ
⑥ ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ
⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ
⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ
に於ける、
⑥ を「否定」すると、
⑥ ～Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
であるため、「否定」をする前の、
⑥ 自体は、 「二重否定」により、
⑥ ～（～Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ））
でなければ、ならない。
従って、
（02）（08）により、
（09）
この場合は、
① Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├ Ｐ＆Ｑ→Ｑ∨Ｒ
② Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├ Ｐ＆Ｑ→Ｑ∨Ｒ
③ Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├ Ｐ＆Ｑ→Ｑ∨Ｒ
④ Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├ Ｐ＆Ｑ→Ｑ∨Ｒ
⑤ ～Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├ Ｐ＆Ｑ→Ｑ∨Ｒ
⑥ ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├ Ｐ＆Ｑ→Ｑ∨Ｒ
⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├ Ｐ＆Ｑ→Ｑ∨Ｒ
⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├ Ｐ＆Ｑ→Ｑ∨Ｒ
のやうに、
① Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
② Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
③ Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
④ Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
⑤ ～Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
⑥ ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
といふ風には、ならずに、
① Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
② Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
③ Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
④ Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
⑤ ～Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
⑥ ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├ ～（Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ））
⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
といふ風に、なるに「違ひない」。
然るに、
（10）
（ⅰ）
１（１） Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ Ａ
１（２） Ｒ １＆Ｅ
１（３） ～Ｑ∨Ｒ ２∨Ｉ
１（４）～～Ｐ∨～Ｑ∨Ｒ ３∨Ｉ
１（５） ～Ｐ→～Ｑ∨Ｒ ４含意の定義
（ⅱ）
１（１） Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ Ａ
１（２） Ｐ １＆Ｅ
１（３）～～Ｐ ２ＤＮ
１（４）～～Ｐ∨Ｑ ３∨Ｉ
１（５）～～Ｐ∨Ｑ∨Ｒ ４∨Ｉ
１（６） ～Ｐ→Ｑ∨Ｒ ５∨Ｉ
（ⅲ）
１（１） Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ Ａ
１（２） Ｒ １＆Ｅ
１（３） ～Ｑ∨Ｒ ２∨Ｉ
１（４）～～Ｐ∨～Ｑ∨Ｒ ３∨Ｉ
１（５） ～Ｐ→～Ｑ∨Ｒ ４含意の定義
（ⅳ）
１（１） Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ Ａ
１（２） Ｐ １＆Ｅ
１（３）～～Ｐ ２ＤＮ
１（４）～～Ｐ∨Ｑ ３∨Ｉ
１（５）～～Ｐ∨Ｑ∨Ｒ ４∨Ｉ
１（６） ～Ｐ→Ｑ∨Ｒ ５∨Ｉ
（ⅴ）
１（１） ～Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ Ａ
１（２） Ｒ １＆Ｅ
１（３） ～Ｑ∨Ｒ ２∨Ｉ
１（４）～～Ｐ∨～Ｑ∨Ｒ ３∨Ｉ
１（５） ～Ｐ→～Ｑ∨Ｒ ４含意の定義
（ⅵ）
１ （１） ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ Ａ
２ （２） ～Ｐ→～Ｑ∨ Ｒ Ａ
１ （３） ～Ｐ １＆Ｅ
１２ （４） ～Ｑ∨ Ｒ ２３ＭＰＰ
５ （５） ～Ｑ Ａ
１ （６） Ｑ １＆Ｅ
１ ５ （７） ～Ｑ＆Ｑ ５６＆Ｉ
５ （８）～（～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ） １７ＲＡＡ
９（９） Ｒ Ａ
１ （ア） ～Ｒ １＆Ｅ
１ ９（イ） Ｒ＆～Ｒ ９ア＆Ｉ
９（ウ）～（～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ） １イＲＡＡ
１２ （エ）～（～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ） ４５８９ウ∨Ｅ
１２ （オ） （～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ）＆
～（～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ） １エ＆Ｉ
１ （カ）～（～Ｐ→～Ｑ∨ Ｒ） ２オＲＡＡ
（ⅶ）
１（１） ～Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ Ａ
１（２） Ｒ １＆Ｅ
１（３） ～Ｑ∨Ｒ ２∨Ｉ
１（４）～～Ｐ∨～Ｑ∨Ｒ ３∨Ｉ
１（５） ～Ｐ→～Ｑ∨Ｒ ４含意の定義
（ⅷ）
１（１） ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ Ａ
１（２） ～Ｑ １＆Ｅ
１（３） ～Ｑ∨Ｒ ２∨Ｉ
１（４）～～Ｐ∨～Ｑ∨Ｒ ３∨Ｉ
１（５） ～Ｐ→～Ｑ∨Ｒ ４含意の定義
従って、
（09）（10）により、
（11）
果たして、
① Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
② Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
③ Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
④ Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
⑤ ～Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
⑥ ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├ ～（Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ））
⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
である。
然るに、
（12）
（ⅵ）
１ （１） ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ Ａ
２ （２） ～Ｐ→～Ｑ∨ Ｒ Ａ
１ （３） ～Ｐ １＆Ｅ
１２ （４） ～Ｑ∨ Ｒ ２３ＭＰＰ
５ （５） ～Ｑ Ａ
１ （６） Ｑ １＆Ｅ
１ ５ （７） ～Ｑ＆Ｑ ６７＆Ｉ
５ （８）～（～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ） １７ＲＡＡ
９（９） Ｒ Ａ
１ （ア） ～Ｒ １＆Ｅ
１ ９（イ） Ｒ＆～Ｒ ９ア＆Ｉ
９（ウ）～（～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ） １イＲＡＡ
１２ （エ）～（～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ） ４５８９ウ∨Ｉ
１２ （オ） （～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ）＆
～（～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ） １エ＆Ｉ
１ （カ）～（～Ｐ→～Ｑ∨ Ｒ） ２オＲＡＡ
（〃）
１ （１）～（～Ｐ→～Ｑ∨ Ｒ） Ａ
１ （２）～（ Ｐ∨～Ｑ∨ Ｒ） １含意の定義
３ （３） Ｐ Ａ
３ （４） Ｐ∨～Ｑ ３∨Ｉ
３ （５） Ｐ∨～Ｑ∨ Ｒ ４∨Ｉ
１３ （６）～（ Ｐ∨～Ｑ∨ Ｒ）＆
（ Ｐ∨～Ｑ∨ Ｒ） ２５＆Ｉ
１ （７） ～Ｐ ５６ＲＡＡ
８ （８） ～Ｑ Ａ
８ （９） Ｐ∨～Ｑ ８∨Ｉ
８ （ア） Ｐ∨～Ｑ∨ Ｒ ９∨Ｉ
１ ８ （イ）～（ Ｐ∨～Ｑ∨ Ｒ）＆
（ Ｐ∨～Ｑ∨ Ｒ） ２ア＆Ｉ
１ （ウ） ～～Ｑ ８ＲＡＡ
１ （エ） Ｑ ウＤＮ
オ（オ） Ｒ Ａ
オ（カ） ～Ｑ∨ Ｒ オ∨Ｉ
オ（キ） Ｐ∨～Ｑ∨ Ｒ ∨Ｉ
１ オ（ク）～（ Ｐ∨～Ｑ∨ Ｒ）＆
（ Ｐ∨～Ｑ∨ Ｒ） ２キ＆Ｉ
１ （ケ） ～Ｒ オクＲＡＡ
１ （コ） ～Ｐ＆ Ｑ ７エ＆Ｉ
１ （サ） ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ ケコ＆Ｉ
従って、
（12）により、
（13）
⑥ ～Ｐ＆Ｑ＆～Ｒ ├ ～（～Ｐ→～Ｑ∨Ｒ）
であるだけではなく、
⑥ ～Ｐ＆Ｑ＆～Ｒ ┤├ ～（～Ｐ→～Ｑ∨Ｒ）
である。
従って、
（11）（13）により、
（14）
① Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
② Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
③ Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
④ Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
⑤ ～Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
である一方で、
⑥ ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ ┤├ ～（Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ））
であるため、
⑥ ～Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
といふ「論理式」、
⑥ Ｐでないならば、Ｑでないか、または、Ｒである。
といふ「命題」は、
⑥ 命題変数（Ｐ、Ｑ、Ｒ）の「真偽」に関はらず、「恒に真」である。
といふことには、ならない。
従って、
（03）（14）により、
（15）
① ＰであってＱであるならば、Ｑであるか、または、Ｒである。
⑥ Ｐでないならば、Ｑでないか、または、Ｒである。
に於いて、
① は、「恒真式（トートロジー）」であって、
⑥ は、「恒真式（トートロジー）」ではない。
令和６年２月２２日、毛利太。
１（１） Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ Ａ
１（２） Ｒ １＆Ｅ
１（３） Ｑ∨Ｒ ２∨Ｉ
１（４）～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｑ∨Ｒ ３∨Ｉ
１（５） Ｐ＆Ｑ→ Ｑ∨Ｒ ４含意の定義
（ⅱ）
１（１） Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ Ａ
１（２） Ｑ １＆Ｅ
１（３） Ｑ∨Ｒ ２∨Ｉ
１（４）～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｑ∨Ｒ ３∨Ｉ
１（５） Ｐ＆Ｑ→ Ｑ∨Ｒ ４含意の定義
（ⅲ
１（１） Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ Ａ
１（２） Ｒ １＆Ｅ
１（３） Ｑ∨Ｒ ２∨Ｉ
１（４）～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｑ∨Ｒ ３∨Ｉ
１（５） Ｐ＆Ｑ→ Ｑ∨Ｒ ４含意の定義
（ⅳ
１ （１） Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ Ａ
１ （２） ～Ｑ １＆Ｅ
２（３） Ｐ＆ Ｑ Ａ
２（４） Ｑ ３＆Ｅ
１２（５） ～Ｑ＆Ｑ ３４＆Ｉ
１ （６）～（Ｐ＆Ｑ） ２５ＲＡＡ
１ （７）～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｑ ６∨Ｉ
１ （８）～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｑ∨Ｒ ７∨Ｉ
１ （９） Ｐ＆Ｑ→ Ｑ∨Ｒ ８含意の定義
（ⅴ
１（１） ～Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ Ａ
１（２） Ｒ １＆Ｅ
１（３） Ｑ∨Ｒ ２∨Ｉ
１（４）～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｑ∨Ｒ ３∨Ｉ
１（５） Ｐ＆Ｑ→ Ｑ∨Ｒ ４含意の定義
（ⅵ
１（１） ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ Ａ
１（２） Ｑ １＆Ｅ
１（３） Ｑ∨Ｒ ２∨Ｉ
１（４）～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｑ∨Ｒ ３∨Ｉ
１（５） Ｐ＆Ｑ→ Ｑ∨Ｒ ４含意の定義
（ⅶ
１（１） ～Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ Ａ
１（２） Ｒ １＆Ｅ
１（３） Ｑ∨Ｒ ２∨Ｉ
１（４）～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｑ∨Ｒ ３∨Ｉ
１（５） Ｐ＆Ｑ→ Ｑ∨Ｒ ４含意の定義
（ⅷ
１ （１） ～Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ Ａ
１ （２） ～Ｑ １＆Ｅ
２（３） Ｐ＆ Ｑ Ａ
２（４） Ｑ ３＆Ｅ
１２（５） ～Ｑ＆Ｑ ３４＆Ｉ
１ （６）～（Ｐ＆Ｑ） ２５ＲＡＡ
１ （７）～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｑ ６∨Ｉ
１ （８）～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｑ∨Ｒ ７∨Ｉ
１ （９） Ｐ＆Ｑ→ Ｑ∨Ｒ ８含意の定義
従って、
（01）により、
（02）
① Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├ Ｐ＆Ｑ→Ｑ∨Ｒ
② Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├ Ｐ＆Ｑ→Ｑ∨Ｒ
③ Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├ Ｐ＆Ｑ→Ｑ∨Ｒ
④ Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├ Ｐ＆Ｑ→Ｑ∨Ｒ
⑤ ～Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├ Ｐ＆Ｑ→Ｑ∨Ｒ
⑥ ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├ Ｐ＆Ｑ→Ｑ∨Ｒ
⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├ Ｐ＆Ｑ→Ｑ∨Ｒ
⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├ Ｐ＆Ｑ→Ｑ∨Ｒ
従って、
（01）（02）により、
（03）
① Ｐ＆Ｑ→Ｑ∨Ｒ
といふ「論理式」、すなはち、
① ＰであってＱであるならば、Ｑであるか、または、Ｒである。
といふ「命題」は、
① 命題変数（Ｐ、Ｑ、Ｒ）の「真偽」に関はらず、「恒に真」である。
従って、
（03）により、
（04）
① Ｐ＆Ｑ→Ｑ∨Ｒ
といふ「論理式」は、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（05）
① Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ
② Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ
③ Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ
④ Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ
⑤ ～Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ
⑥ ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ
⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ
⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ
に於ける、例へば、
⑥ を「否定」すると、
⑥ ～（ Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ）は、「ド・モルガンの法則」により、
⑥ （～Ｐ∨～Ｑ∨ Ｒ）に、「等しい」。
然るに、
（06）
（ⅱ）
１（１）～Ｐ∨ ～Ｑ∨Ｒ Ａ
１（２）～Ｐ∨（～Ｑ∨Ｒ） １結合法則
１（３） Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ） ２含意の定義
（〃）
１（１） Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ） Ａ
１（２）～Ｐ∨（～Ｑ∨Ｒ） １含意の定義
１（３）～Ｐ∨ ～Ｑ∨Ｒ ２結合法則
従って、
（05）（06）により、
（07）
① Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ
② Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ
③ Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ
④ Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ
⑤ ～Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ
⑥ ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ
⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ
⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ
に於ける、例へば、
⑥ を「否定」すると、
⑥ ～（～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ）は、「ド・モルガンの法則」により、
⑥ （ Ｐ∨～Ｑ∨ Ｒ）に、「等しく」、
⑥ （ Ｐ∨～Ｑ∨ Ｒ）は、「含意の定義」により、
⑥ ～Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）に、「等しい」。
従って、
（07）により、
（08）
① Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ
② Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ
③ Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ
④ Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ
⑤ ～Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ
⑥ ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ
⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ
⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ
に於ける、
⑥ を「否定」すると、
⑥ ～Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
であるため、「否定」をする前の、
⑥ 自体は、 「二重否定」により、
⑥ ～（～Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ））
でなければ、ならない。
従って、
（02）（08）により、
（09）
この場合は、
① Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├ Ｐ＆Ｑ→Ｑ∨Ｒ
② Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├ Ｐ＆Ｑ→Ｑ∨Ｒ
③ Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├ Ｐ＆Ｑ→Ｑ∨Ｒ
④ Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├ Ｐ＆Ｑ→Ｑ∨Ｒ
⑤ ～Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├ Ｐ＆Ｑ→Ｑ∨Ｒ
⑥ ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├ Ｐ＆Ｑ→Ｑ∨Ｒ
⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├ Ｐ＆Ｑ→Ｑ∨Ｒ
⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├ Ｐ＆Ｑ→Ｑ∨Ｒ
のやうに、
① Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
② Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
③ Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
④ Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
⑤ ～Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
⑥ ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
といふ風には、ならずに、
① Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
② Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
③ Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
④ Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
⑤ ～Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
⑥ ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├ ～（Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ））
⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
といふ風に、なるに「違ひない」。
然るに、
（10）
（ⅰ）
１（１） Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ Ａ
１（２） Ｒ １＆Ｅ
１（３） ～Ｑ∨Ｒ ２∨Ｉ
１（４）～～Ｐ∨～Ｑ∨Ｒ ３∨Ｉ
１（５） ～Ｐ→～Ｑ∨Ｒ ４含意の定義
（ⅱ）
１（１） Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ Ａ
１（２） Ｐ １＆Ｅ
１（３）～～Ｐ ２ＤＮ
１（４）～～Ｐ∨Ｑ ３∨Ｉ
１（５）～～Ｐ∨Ｑ∨Ｒ ４∨Ｉ
１（６） ～Ｐ→Ｑ∨Ｒ ５∨Ｉ
（ⅲ）
１（１） Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ Ａ
１（２） Ｒ １＆Ｅ
１（３） ～Ｑ∨Ｒ ２∨Ｉ
１（４）～～Ｐ∨～Ｑ∨Ｒ ３∨Ｉ
１（５） ～Ｐ→～Ｑ∨Ｒ ４含意の定義
（ⅳ）
１（１） Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ Ａ
１（２） Ｐ １＆Ｅ
１（３）～～Ｐ ２ＤＮ
１（４）～～Ｐ∨Ｑ ３∨Ｉ
１（５）～～Ｐ∨Ｑ∨Ｒ ４∨Ｉ
１（６） ～Ｐ→Ｑ∨Ｒ ５∨Ｉ
（ⅴ）
１（１） ～Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ Ａ
１（２） Ｒ １＆Ｅ
１（３） ～Ｑ∨Ｒ ２∨Ｉ
１（４）～～Ｐ∨～Ｑ∨Ｒ ３∨Ｉ
１（５） ～Ｐ→～Ｑ∨Ｒ ４含意の定義
（ⅵ）
１ （１） ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ Ａ
２ （２） ～Ｐ→～Ｑ∨ Ｒ Ａ
１ （３） ～Ｐ １＆Ｅ
１２ （４） ～Ｑ∨ Ｒ ２３ＭＰＰ
５ （５） ～Ｑ Ａ
１ （６） Ｑ １＆Ｅ
１ ５ （７） ～Ｑ＆Ｑ ５６＆Ｉ
５ （８）～（～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ） １７ＲＡＡ
９（９） Ｒ Ａ
１ （ア） ～Ｒ １＆Ｅ
１ ９（イ） Ｒ＆～Ｒ ９ア＆Ｉ
９（ウ）～（～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ） １イＲＡＡ
１２ （エ）～（～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ） ４５８９ウ∨Ｅ
１２ （オ） （～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ）＆
～（～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ） １エ＆Ｉ
１ （カ）～（～Ｐ→～Ｑ∨ Ｒ） ２オＲＡＡ
（ⅶ）
１（１） ～Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ Ａ
１（２） Ｒ １＆Ｅ
１（３） ～Ｑ∨Ｒ ２∨Ｉ
１（４）～～Ｐ∨～Ｑ∨Ｒ ３∨Ｉ
１（５） ～Ｐ→～Ｑ∨Ｒ ４含意の定義
（ⅷ）
１（１） ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ Ａ
１（２） ～Ｑ １＆Ｅ
１（３） ～Ｑ∨Ｒ ２∨Ｉ
１（４）～～Ｐ∨～Ｑ∨Ｒ ３∨Ｉ
１（５） ～Ｐ→～Ｑ∨Ｒ ４含意の定義
従って、
（09）（10）により、
（11）
果たして、
① Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
② Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
③ Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
④ Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
⑤ ～Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
⑥ ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├ ～（Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ））
⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
である。
然るに、
（12）
（ⅵ）
１ （１） ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ Ａ
２ （２） ～Ｐ→～Ｑ∨ Ｒ Ａ
１ （３） ～Ｐ １＆Ｅ
１２ （４） ～Ｑ∨ Ｒ ２３ＭＰＰ
５ （５） ～Ｑ Ａ
１ （６） Ｑ １＆Ｅ
１ ５ （７） ～Ｑ＆Ｑ ６７＆Ｉ
５ （８）～（～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ） １７ＲＡＡ
９（９） Ｒ Ａ
１ （ア） ～Ｒ １＆Ｅ
１ ９（イ） Ｒ＆～Ｒ ９ア＆Ｉ
９（ウ）～（～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ） １イＲＡＡ
１２ （エ）～（～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ） ４５８９ウ∨Ｉ
１２ （オ） （～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ）＆
～（～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ） １エ＆Ｉ
１ （カ）～（～Ｐ→～Ｑ∨ Ｒ） ２オＲＡＡ
（〃）
１ （１）～（～Ｐ→～Ｑ∨ Ｒ） Ａ
１ （２）～（ Ｐ∨～Ｑ∨ Ｒ） １含意の定義
３ （３） Ｐ Ａ
３ （４） Ｐ∨～Ｑ ３∨Ｉ
３ （５） Ｐ∨～Ｑ∨ Ｒ ４∨Ｉ
１３ （６）～（ Ｐ∨～Ｑ∨ Ｒ）＆
（ Ｐ∨～Ｑ∨ Ｒ） ２５＆Ｉ
１ （７） ～Ｐ ５６ＲＡＡ
８ （８） ～Ｑ Ａ
８ （９） Ｐ∨～Ｑ ８∨Ｉ
８ （ア） Ｐ∨～Ｑ∨ Ｒ ９∨Ｉ
１ ８ （イ）～（ Ｐ∨～Ｑ∨ Ｒ）＆
（ Ｐ∨～Ｑ∨ Ｒ） ２ア＆Ｉ
１ （ウ） ～～Ｑ ８ＲＡＡ
１ （エ） Ｑ ウＤＮ
オ（オ） Ｒ Ａ
オ（カ） ～Ｑ∨ Ｒ オ∨Ｉ
オ（キ） Ｐ∨～Ｑ∨ Ｒ ∨Ｉ
１ オ（ク）～（ Ｐ∨～Ｑ∨ Ｒ）＆
（ Ｐ∨～Ｑ∨ Ｒ） ２キ＆Ｉ
１ （ケ） ～Ｒ オクＲＡＡ
１ （コ） ～Ｐ＆ Ｑ ７エ＆Ｉ
１ （サ） ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ ケコ＆Ｉ
従って、
（12）により、
（13）
⑥ ～Ｐ＆Ｑ＆～Ｒ ├ ～（～Ｐ→～Ｑ∨Ｒ）
であるだけではなく、
⑥ ～Ｐ＆Ｑ＆～Ｒ ┤├ ～（～Ｐ→～Ｑ∨Ｒ）
である。
従って、
（11）（13）により、
（14）
① Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
② Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
③ Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
④ Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
⑤ ～Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
である一方で、
⑥ ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ ┤├ ～（Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ））
であるため、
⑥ ～Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
といふ「論理式」、
⑥ Ｐでないならば、Ｑでないか、または、Ｒである。
といふ「命題」は、
⑥ 命題変数（Ｐ、Ｑ、Ｒ）の「真偽」に関はらず、「恒に真」である。
といふことには、ならない。
従って、
（03）（14）により、
（15）
① ＰであってＱであるならば、Ｑであるか、または、Ｒである。
⑥ Ｐでないならば、Ｑでないか、または、Ｒである。
に於いて、
① は、「恒真式（トートロジー）」であって、
⑥ は、「恒真式（トートロジー）」ではない。
令和６年２月２２日、毛利太。
2024年2月20日火曜日
「ある入門書」にある「述語論理」の「例題」（Ⅱ）。
（01）
たとえ名辞が三つに限られていても、ヴェン図形では処理できない推論がある。
たとえば、以下の推論を考えよう。
もしある論理学の問題がやさしければ、すべての受講者は単位がもらえる。
しかし、ある受講者は単位がもらえない。
∴ 論理学の問題はどれもやさしくない。
第一の前提では、特称肯定命題と全称肯定命題が「→」で結ばれている。
結合子については、われわれの推論の方法をすでに習得している。
結合子で結ばれた命題については、ヴェン図で処理できるだろう。
しかし、この二つ混ざった命題については、われわれはどう処理してよいのかまだわからないのである。
われわれは本格的な述語論理へすすまなければならない。
（昭和堂入門選書２５、論理学基礎、1994年、１１４頁）
然るに、
（02）
「昭和堂入門選書２５、論理学基礎」には、
もしある論理学の問題がやさしければ、すべての受講者は単位がもらえる。
しかし、ある受講者は単位がもらえない。
∴ 論理学の問題はどれもやさしくない。
に対する、「述語論理」よる「証明（解答）」が、示されてゐない。
加へて、
（03）
第一の前提では、特称肯定命題と全称肯定命題が「→」で結ばれている。
とすると、私には、「証明（解答）」が書けない。
従って、
（04）
もしある論理学の問題がやさしければ、すべての受講者は単位がもらえる。
といふ「第一の前提」に関しては、
特称肯定命題と全称肯定命題が「→」で結ばれている。
とはせずに、
全称肯定命題と全称肯定命題が「→」で結ばれている。
としたいものの、その場合、「証明（解答）」は、次（05）の通りとなる。
すなはち、
（05）
論理＝論理学の問題である。
容易＝易しい。
学生＝受講者である。
単位＝論理学の単位がもらえる。
であるとして、
１ （１） ∀ｘ｛論理ｘ＆容易ｘ→∀ｙ（学生ｙ→単位ｙｘ）｝ Ａ
２ （２） ∃ｙ（学生ｙ＆～単位ｙａ） Ａ
１ （３） 論理ａ＆容易ａ→∀ｙ（学生ｙ→単位ｙａ） １ＵＥ
４ （４） 学生ｂ＆～単位ｂａ Ａ
５（５） 論理ａ＆容易ａ Ａ
１ ５（６） ∀ｙ（学生ｙ→単位ｙａ） ３５ＭＰＰ
１ ５（７） 学生ｂ→単位ｂａ ６ＵＥ
４ （８） 学生ｂ ４＆Ｅ
１ ４５（９） 単位ｂａ ７８ＭＰＰ
１ ４５（ア） ～単位ｂａ ４＆Ｅ
１ ４５（イ） ～単位ｂａ＆単位ｂａ ９ア＆Ｉ
１ ４ （ウ） ～（論理ａ＆容易ａ） ５イＲＡＡ
１ ４ （エ） ～論理ａ∨～容易ａ ウ、ド・モルガンの法則
１ ４ （オ） 論理ａ→～容易ａ エ含意の定義
１ ４ （カ） ∀ｘ（論理ｘ→～容易ｘ） オＵＩ
１２ （キ） ∀ｘ（論理ｘ→～容易ｘ） ２４カＥＥ
といふ風に、書くことが出来る（はずである）。
従って、
（01）～（05）により、
（06）
もし論理学の問題がやさしければ、すべての学生は単位がもらえる。
しかし、ある学生は単位がもらえない。
∴ 論理学の問題はどれもやさしくない。
といふ「推論」は、正しい（はずである）。
令和６年２月２０日、毛利太。
たとえ名辞が三つに限られていても、ヴェン図形では処理できない推論がある。
たとえば、以下の推論を考えよう。
もしある論理学の問題がやさしければ、すべての受講者は単位がもらえる。
しかし、ある受講者は単位がもらえない。
∴ 論理学の問題はどれもやさしくない。
第一の前提では、特称肯定命題と全称肯定命題が「→」で結ばれている。
結合子については、われわれの推論の方法をすでに習得している。
結合子で結ばれた命題については、ヴェン図で処理できるだろう。
しかし、この二つ混ざった命題については、われわれはどう処理してよいのかまだわからないのである。
われわれは本格的な述語論理へすすまなければならない。
（昭和堂入門選書２５、論理学基礎、1994年、１１４頁）
然るに、
（02）
「昭和堂入門選書２５、論理学基礎」には、
もしある論理学の問題がやさしければ、すべての受講者は単位がもらえる。
しかし、ある受講者は単位がもらえない。
∴ 論理学の問題はどれもやさしくない。
に対する、「述語論理」よる「証明（解答）」が、示されてゐない。
加へて、
（03）
第一の前提では、特称肯定命題と全称肯定命題が「→」で結ばれている。
とすると、私には、「証明（解答）」が書けない。
従って、
（04）
もしある論理学の問題がやさしければ、すべての受講者は単位がもらえる。
といふ「第一の前提」に関しては、
特称肯定命題と全称肯定命題が「→」で結ばれている。
とはせずに、
全称肯定命題と全称肯定命題が「→」で結ばれている。
としたいものの、その場合、「証明（解答）」は、次（05）の通りとなる。
すなはち、
（05）
論理＝論理学の問題である。
容易＝易しい。
学生＝受講者である。
単位＝論理学の単位がもらえる。
であるとして、
１ （１） ∀ｘ｛論理ｘ＆容易ｘ→∀ｙ（学生ｙ→単位ｙｘ）｝ Ａ
２ （２） ∃ｙ（学生ｙ＆～単位ｙａ） Ａ
１ （３） 論理ａ＆容易ａ→∀ｙ（学生ｙ→単位ｙａ） １ＵＥ
４ （４） 学生ｂ＆～単位ｂａ Ａ
５（５） 論理ａ＆容易ａ Ａ
１ ５（６） ∀ｙ（学生ｙ→単位ｙａ） ３５ＭＰＰ
１ ５（７） 学生ｂ→単位ｂａ ６ＵＥ
４ （８） 学生ｂ ４＆Ｅ
１ ４５（９） 単位ｂａ ７８ＭＰＰ
１ ４５（ア） ～単位ｂａ ４＆Ｅ
１ ４５（イ） ～単位ｂａ＆単位ｂａ ９ア＆Ｉ
１ ４ （ウ） ～（論理ａ＆容易ａ） ５イＲＡＡ
１ ４ （エ） ～論理ａ∨～容易ａ ウ、ド・モルガンの法則
１ ４ （オ） 論理ａ→～容易ａ エ含意の定義
１ ４ （カ） ∀ｘ（論理ｘ→～容易ｘ） オＵＩ
１２ （キ） ∀ｘ（論理ｘ→～容易ｘ） ２４カＥＥ
といふ風に、書くことが出来る（はずである）。
従って、
（01）～（05）により、
（06）
もし論理学の問題がやさしければ、すべての学生は単位がもらえる。
しかし、ある学生は単位がもらえない。
∴ 論理学の問題はどれもやさしくない。
といふ「推論」は、正しい（はずである）。
令和６年２月２０日、毛利太。
2024年2月19日月曜日
「ある入門書」にある「論理学」の「例題」。
（01）
他方、ヴェン図は、三段論法の枠にはまらない推論にも使える。
たとえば、次の推論を考えてみよう。
哲学者はみなエゴイストであるか嘘つきである。
すべての哲学者は嘘つきであるとは限らない。
∴ あるエゴイストは嘘つきではない。
（昭和堂入門選書２５、論理学基礎、1994年、１１２頁）
然るに、
（02）
① 哲学者はみなエゴイストであるか嘘つきである。
② 嘘つきでない哲学者はエゴイストである。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（03）
① すべての哲学者は嘘つきであるとは限らない。
② 嘘つきでない哲学者がゐる。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（02）（03）により、
（04）
① 哲学者はみなエゴイストであるか嘘つきである。
② すべての哲学者は嘘つきであるとは限らない。
といふことは、
① 嘘つきでない哲学者はエゴイストである。
② 嘘つきでない哲学者がゐる。
といふことに、「他ならない」。
然るに、
（05）
① 嘘つきでない哲学者はエゴイストである。
② 嘘つきでない哲学者がゐる。
といふことは、
③ 嘘つきでない哲学者がゐるが、嘘つきでない哲学者はエゴイストである。
といふことである。
然るに、
（06）
③ 嘘つきでない哲学者がゐるが、嘘つきでない哲学者はエゴイストである。
といふことは、
③ 嘘つきでない哲学者がゐて、その哲学者はエゴイストである。
といふことである。
然るに、
（07）
③ 嘘つきでない者がゐて、その者はエゴイストである。
といふのであれば、
② あるエゴイストは嘘つきではない。
といふ、ことになる。
従って、
（01）～（07）により、
（08）
「日本語」で考へる限り、たしかに、
哲学者はみなエゴイストであるか嘘つきである。
すべての哲学者は嘘つきであるとは限らない。
∴ あるエゴイストは嘘つきではない。
といふ「推論」は、「妥当」である。
然るに、
（09）
１ （１） ∀ｘ（哲学者ｘ→ エゴイストｘ∨嘘つきｘ） Ａ
２ （２）～∀ｘ（哲学者ｘ→ 嘘つきｘ） Ａ
１ （３） 哲学者ａ→ エゴイストａ∨嘘つきａ １ＵＥ
２ （４）∃ｘ～（哲学者ｘ→ 嘘つきｘ） ２量化子の関係
５（５） ～（哲学者ａ→ 嘘つきａ） Ａ
５（６） ～（～哲学者ａ∨ 嘘つきａ） ５含意の定義
５（７） 哲学者ａ＆～嘘つきａ ６ド・モルガンの法則
５（８） 哲学者ａ ７＆Ｅ
５（９） ～嘘つきａ ７＆Ｅ
１ ５（ア） エゴイストａ∨嘘つきａ ３８ＭＰＰ
１ ５（イ） 嘘つきａ∨エゴイストａ ア交換法則
１ ５（ウ） ～～嘘つきａ∨エゴイストａ イＤＮ
１ ５（エ） ～嘘つきａ→エゴイストａ ウ含意の定義
１ ５（オ） エゴイストａ ９エＭＰＰ
１ ５（カ） エゴイストａ＆～嘘つきａ ９オ＆Ｉ
１ ５（キ） ∃ｘ（エゴイストｘ＆～嘘つきｘ） カＥＩ
１２ （ク） ∃ｘ（エゴイストｘ＆～嘘つきｘ） ４５キＥＥ
従って、
（09）により、
（10）
（ⅰ） ∀ｘ（哲学者ｘ→ エゴイストｘ∨嘘つきｘ）。然るに、
（ⅱ）～∀ｘ（哲学者ｘ→ 嘘つきｘ）。 従って、
（ⅲ） ∃ｘ（エゴイストｘ＆～嘘つきｘ）。
といふ「推論」、すなはち、
（ⅰ）すべてのｘについて（ｘが哲学者であるならば、ｘはエゴイストであるか、または、ｘは嘘つきである）。然るに、
（ⅱ）すべてのｘについて（ｘが哲学者であるならば、ｘは嘘つきである）といふわけではない。従って、
（ⅲ） あるｘについて（ｘはエゴイストであるが、ｘは嘘つきではない）。
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（08）（09）（10）により、
（11）
哲学者はみなエゴイストであるか嘘つきである。
すべての哲学者は嘘つきであるとは限らない。
∴ あるエゴイストは嘘つきではない。
といふ「推論」は、「日本語」で考へても、「述語論理」で「計算」しても、「妥当」である。
然るに、
（12）
法律家、つまり弁護士とか裁判官とか検事などは、
自分たちが論理を得意とすると思っているようです。
（横浜の弁護士のブログ）
従って、
（11）（12）により、
（13）
「弁護士とか裁判官とか検事」などは、
原告はみなエゴイストであるか嘘つきである。
すべての原告は嘘つきであるとは限らない。
∴ あるエゴイストは嘘つきではない。
といふ「推論」に接した際に、「この推論は妥当」である。
といふことを、「直ちに判定」出来ることが「期待」される。
然るに、
（14）
でも、他分野の学問にそれなりに触れた人にとっては、
法律家が論理を理解しているようには思えないと思います。
むしろ、法律学というのは極めて非論理的なものという印象を抱くのではないでしょうか。
然るに、
（15）
短答式試験の試験科目は、民法、憲法、刑法の計3科目です。
論文式試験の試験科目は、憲法、行政法、民法、商法、民事訴訟法、刑法、刑事訴訟法、選択科目の系8科目です。
といふ風に、「司法試験の試験科目」に「論理学」は無い。
従って、
（13）（14）（15）により、
（16）
大変、「由々しきこと」ではあるものの、恐らくは、ある裁判官は、
原告はみなエゴイストであるか嘘つきである。
すべての原告は嘘つきであるとは限らない。
∴ あるエゴイストは嘘つきではない。
といふ「推論」に接した際に、「この推論は妥当」である。
といふことを、「直ちに判定」出来るとは、限らない（！？）。
令和６年２月１９日、毛利太。
他方、ヴェン図は、三段論法の枠にはまらない推論にも使える。
たとえば、次の推論を考えてみよう。
哲学者はみなエゴイストであるか嘘つきである。
すべての哲学者は嘘つきであるとは限らない。
∴ あるエゴイストは嘘つきではない。
（昭和堂入門選書２５、論理学基礎、1994年、１１２頁）
然るに、
（02）
① 哲学者はみなエゴイストであるか嘘つきである。
② 嘘つきでない哲学者はエゴイストである。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（03）
① すべての哲学者は嘘つきであるとは限らない。
② 嘘つきでない哲学者がゐる。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（02）（03）により、
（04）
① 哲学者はみなエゴイストであるか嘘つきである。
② すべての哲学者は嘘つきであるとは限らない。
といふことは、
① 嘘つきでない哲学者はエゴイストである。
② 嘘つきでない哲学者がゐる。
といふことに、「他ならない」。
然るに、
（05）
① 嘘つきでない哲学者はエゴイストである。
② 嘘つきでない哲学者がゐる。
といふことは、
③ 嘘つきでない哲学者がゐるが、嘘つきでない哲学者はエゴイストである。
といふことである。
然るに、
（06）
③ 嘘つきでない哲学者がゐるが、嘘つきでない哲学者はエゴイストである。
といふことは、
③ 嘘つきでない哲学者がゐて、その哲学者はエゴイストである。
といふことである。
然るに、
（07）
③ 嘘つきでない者がゐて、その者はエゴイストである。
といふのであれば、
② あるエゴイストは嘘つきではない。
といふ、ことになる。
従って、
（01）～（07）により、
（08）
「日本語」で考へる限り、たしかに、
哲学者はみなエゴイストであるか嘘つきである。
すべての哲学者は嘘つきであるとは限らない。
∴ あるエゴイストは嘘つきではない。
といふ「推論」は、「妥当」である。
然るに、
（09）
１ （１） ∀ｘ（哲学者ｘ→ エゴイストｘ∨嘘つきｘ） Ａ
２ （２）～∀ｘ（哲学者ｘ→ 嘘つきｘ） Ａ
１ （３） 哲学者ａ→ エゴイストａ∨嘘つきａ １ＵＥ
２ （４）∃ｘ～（哲学者ｘ→ 嘘つきｘ） ２量化子の関係
５（５） ～（哲学者ａ→ 嘘つきａ） Ａ
５（６） ～（～哲学者ａ∨ 嘘つきａ） ５含意の定義
５（７） 哲学者ａ＆～嘘つきａ ６ド・モルガンの法則
５（８） 哲学者ａ ７＆Ｅ
５（９） ～嘘つきａ ７＆Ｅ
１ ５（ア） エゴイストａ∨嘘つきａ ３８ＭＰＰ
１ ５（イ） 嘘つきａ∨エゴイストａ ア交換法則
１ ５（ウ） ～～嘘つきａ∨エゴイストａ イＤＮ
１ ５（エ） ～嘘つきａ→エゴイストａ ウ含意の定義
１ ５（オ） エゴイストａ ９エＭＰＰ
１ ５（カ） エゴイストａ＆～嘘つきａ ９オ＆Ｉ
１ ５（キ） ∃ｘ（エゴイストｘ＆～嘘つきｘ） カＥＩ
１２ （ク） ∃ｘ（エゴイストｘ＆～嘘つきｘ） ４５キＥＥ
従って、
（09）により、
（10）
（ⅰ） ∀ｘ（哲学者ｘ→ エゴイストｘ∨嘘つきｘ）。然るに、
（ⅱ）～∀ｘ（哲学者ｘ→ 嘘つきｘ）。 従って、
（ⅲ） ∃ｘ（エゴイストｘ＆～嘘つきｘ）。
といふ「推論」、すなはち、
（ⅰ）すべてのｘについて（ｘが哲学者であるならば、ｘはエゴイストであるか、または、ｘは嘘つきである）。然るに、
（ⅱ）すべてのｘについて（ｘが哲学者であるならば、ｘは嘘つきである）といふわけではない。従って、
（ⅲ） あるｘについて（ｘはエゴイストであるが、ｘは嘘つきではない）。
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（08）（09）（10）により、
（11）
哲学者はみなエゴイストであるか嘘つきである。
すべての哲学者は嘘つきであるとは限らない。
∴ あるエゴイストは嘘つきではない。
といふ「推論」は、「日本語」で考へても、「述語論理」で「計算」しても、「妥当」である。
然るに、
（12）
法律家、つまり弁護士とか裁判官とか検事などは、
自分たちが論理を得意とすると思っているようです。
（横浜の弁護士のブログ）
従って、
（11）（12）により、
（13）
「弁護士とか裁判官とか検事」などは、
原告はみなエゴイストであるか嘘つきである。
すべての原告は嘘つきであるとは限らない。
∴ あるエゴイストは嘘つきではない。
といふ「推論」に接した際に、「この推論は妥当」である。
といふことを、「直ちに判定」出来ることが「期待」される。
然るに、
（14）
でも、他分野の学問にそれなりに触れた人にとっては、
法律家が論理を理解しているようには思えないと思います。
むしろ、法律学というのは極めて非論理的なものという印象を抱くのではないでしょうか。
然るに、
（15）
短答式試験の試験科目は、民法、憲法、刑法の計3科目です。
論文式試験の試験科目は、憲法、行政法、民法、商法、民事訴訟法、刑法、刑事訴訟法、選択科目の系8科目です。
といふ風に、「司法試験の試験科目」に「論理学」は無い。
従って、
（13）（14）（15）により、
（16）
大変、「由々しきこと」ではあるものの、恐らくは、ある裁判官は、
原告はみなエゴイストであるか嘘つきである。
すべての原告は嘘つきであるとは限らない。
∴ あるエゴイストは嘘つきではない。
といふ「推論」に接した際に、「この推論は妥当」である。
といふことを、「直ちに判定」出来るとは、限らない（！？）。
令和６年２月１９日、毛利太。
2024年2月18日日曜日
「恒真式（トートロジー）」の「研究」の続き。
―「昨日（令和６年２月１７日）」の「続き」を書きます。―
然るに、
（27）
（ⅰ）
１ （１）（～Ｐ∨Ｐ）＆Ｑ Ａ
１ （２） ～Ｐ∨Ｐ １＆Ｅ
１ （３） Ｑ １＆Ｅ
４ （４） ～Ｐ Ａ
１４ （５） ～Ｐ＆Ｑ ３４＆Ｉ
１４ （６）（～Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｑ） ５∨Ｉ
７（７） Ｐ Ａ
７（８） Ｐ＆Ｑ ３７＆Ｉ
１ ７（９）（～Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｑ） ８∨Ｉ
１ （ア）（～Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｑ） ２４６７９∨Ｅ
（ⅱ）
１ （１）（～Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｑ） Ａ
２ （２） ～Ｐ＆Ｑ Ａ
２ （３） ～Ｐ ２＆Ｅ
２ （４） Ｑ ２＆Ｅ
２ （５） ～Ｐ∨Ｐ ３∨Ｉ
２ （６）（～Ｐ∨Ｐ）＆Ｑ ４５＆Ｉ
７（７） Ｐ＆Ｑ Ａ
７（８） Ｐ ７＆Ｅ
７（９） Ｑ ７＆Ｅ
７（ア） ～Ｐ∨Ｐ ８∨Ｉ
７（イ） （～Ｐ∨Ｐ）＆Ｑ ９ア＆Ｉ
１ （ウ）（～Ｐ∨Ｐ）＆Ｑ １２６７イ∨Ｅ
従って、
（27）により、
（28）
①（～Ｐ∨Ｐ）＆Ｑ
②（～Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｑ）
に於いて、
①＝② である（分配法則）。
然るに、
（29）
①（～Ｐ∨Ｐ）＆Ｑ
②（～Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｑ）
が「真」であるならば、
① Ｐであろうと、Ｐでなかろうと、いづれにせよ、Ｑである。
② Ｐであろうと、Ｐでなかろうと、いづれにせよ、Ｑである。
然るに、
（30）
① Ｐであろうと、Ｐでなかろうと、いづれにせよ、Ｑである。
② Ｐであろうと、Ｐでなかろうと、いづれにせよ、Ｑである。
といふことは、要するに、
① Ｑである。
② Ｑである。
といふことに、「他ならない」。
従って、
（29）（30）により、
（31）
①（～Ｐ∨Ｐ）＆Ｑ
②（～Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｑ）
といふ「論理式」は、
① Ｑ
② Ｑ
といふ「命題変数」に「等しい」が、言ふまでもなく、
① Ｑ
② Ｑ
といふ「命題変数」は「恒真式（トートロジー）」ではない。
従って、
（18）（31）により、
（32）
①（～Ｐ∨Ｐ）∨Ｑ
②（～Ｐ∨Ｐ）＆Ｑ
に於いて、
① は「恒真式（トートロジー）」であるが、
② は「恒真式（トートロジー）」ではない。
令和６年２月１８日、毛利太。
然るに、
（27）
（ⅰ）
１ （１）（～Ｐ∨Ｐ）＆Ｑ Ａ
１ （２） ～Ｐ∨Ｐ １＆Ｅ
１ （３） Ｑ １＆Ｅ
４ （４） ～Ｐ Ａ
１４ （５） ～Ｐ＆Ｑ ３４＆Ｉ
１４ （６）（～Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｑ） ５∨Ｉ
７（７） Ｐ Ａ
７（８） Ｐ＆Ｑ ３７＆Ｉ
１ ７（９）（～Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｑ） ８∨Ｉ
１ （ア）（～Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｑ） ２４６７９∨Ｅ
（ⅱ）
１ （１）（～Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｑ） Ａ
２ （２） ～Ｐ＆Ｑ Ａ
２ （３） ～Ｐ ２＆Ｅ
２ （４） Ｑ ２＆Ｅ
２ （５） ～Ｐ∨Ｐ ３∨Ｉ
２ （６）（～Ｐ∨Ｐ）＆Ｑ ４５＆Ｉ
７（７） Ｐ＆Ｑ Ａ
７（８） Ｐ ７＆Ｅ
７（９） Ｑ ７＆Ｅ
７（ア） ～Ｐ∨Ｐ ８∨Ｉ
７（イ） （～Ｐ∨Ｐ）＆Ｑ ９ア＆Ｉ
１ （ウ）（～Ｐ∨Ｐ）＆Ｑ １２６７イ∨Ｅ
従って、
（27）により、
（28）
①（～Ｐ∨Ｐ）＆Ｑ
②（～Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｑ）
に於いて、
①＝② である（分配法則）。
然るに、
（29）
①（～Ｐ∨Ｐ）＆Ｑ
②（～Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｑ）
が「真」であるならば、
① Ｐであろうと、Ｐでなかろうと、いづれにせよ、Ｑである。
② Ｐであろうと、Ｐでなかろうと、いづれにせよ、Ｑである。
然るに、
（30）
① Ｐであろうと、Ｐでなかろうと、いづれにせよ、Ｑである。
② Ｐであろうと、Ｐでなかろうと、いづれにせよ、Ｑである。
といふことは、要するに、
① Ｑである。
② Ｑである。
といふことに、「他ならない」。
従って、
（29）（30）により、
（31）
①（～Ｐ∨Ｐ）＆Ｑ
②（～Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｑ）
といふ「論理式」は、
① Ｑ
② Ｑ
といふ「命題変数」に「等しい」が、言ふまでもなく、
① Ｑ
② Ｑ
といふ「命題変数」は「恒真式（トートロジー）」ではない。
従って、
（18）（31）により、
（32）
①（～Ｐ∨Ｐ）∨Ｑ
②（～Ｐ∨Ｐ）＆Ｑ
に於いて、
① は「恒真式（トートロジー）」であるが、
② は「恒真式（トートロジー）」ではない。
令和６年２月１８日、毛利太。
2024年2月17日土曜日
「恒真式（トートロジー）」の「研究」。
（01）
（ⅰ）
１ （１） ～Ｐ∨ Ｐ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｐ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆ Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（Ｐ＆～Ｐ） ２５ＲＡＡ
７（７） Ｐ Ａ
２ （８） ～Ｐ ２＆Ｅ
２ ７（９） Ｐ＆～Ｐ ７８＆Ｉ
７（ア）～（Ｐ＆～Ｐ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（Ｐ＆～Ｐ） １３６７ア∨Ｅ
（ⅱ）
１ （１） ～（Ｐ＆～Ｐ） Ａ
２ （２） ～（～Ｐ∨Ｐ） Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
３ （４） ～Ｐ∨Ｐ ３∨Ｉ
２３ （５） ～（～Ｐ∨Ｐ）＆
（～Ｐ∨Ｐ） ２４＆Ｉ
２ （６） Ｐ ３５ＲＡＡ
２ （７） Ｐ ６ＤＮ
８（８） Ｐ Ａ
８（９） ～Ｐ∨Ｐ ８∨Ｉ
２ ８（ア） ～（～Ｐ∨Ｐ）＆
（～Ｐ∨Ｐ） ２８＆Ｉ
２ （イ） ～Ｐ ８アＲＡＡ
２ （ウ） Ｐ＆～Ｐ ７イ＆Ｉ
１２ （エ） ～（Ｐ＆～Ｐ）＆
（Ｐ＆～Ｐ） １ウ＆Ｉ
１ （オ）～～（～Ｐ∨Ｐ） ２エＲＡＡ
１ （カ） ～Ｐ∨Ｐ オＤＮ
従って、
（01）により、
（02）
① ～Ｐ∨ Ｐ
② ～（Ｐ＆～Ｐ）
に於いて、
①＝② である（ド・モルガンの法則）。
然るに、
（03）
（ⅱ）
１ （１） ～（Ｐ＆～Ｐ） Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
３（３） ～Ｐ Ａ
２３（４） Ｐ＆～Ｐ ２３＆Ｉ
１２３（５） ～（Ｐ＆～Ｐ）＆
（Ｐ＆～Ｐ） １５＆Ｉ
１２ （６） Ｐ ３５ＲＡＡ
１２ （７） Ｐ ６ＤＮ
１ （８） （Ｐ→ Ｐ） ２７ＣＰ
（ⅲ）
１ （１） （Ｐ→ Ｐ） Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｐ Ａ
２ （３） Ｐ Ａ
１２ （４） Ｐ １３ＭＰＰ
２ （５） ～Ｐ ２＆Ｅ
１２ （６） Ｐ＆～Ｐ ４５＆Ｉ
１ （７） ～（Ｐ＆～Ｐ） ２６ＲＡＡ
従って、
（03）により、
（04）
② ～（Ｐ＆～Ｐ）
③ Ｐ→ Ｐ
に於いて、
②＝③ である。
従って、
（02）（04）により、
（05）
① （～Ｐ∨Ｐ）は「排中律」。
② ～（Ｐ＆～Ｐ）は「矛盾律」。
③ （Ｐ→ Ｐ）は「同一律」。
に於いて、
①＝②＝③ である。
然るに、
（06）
（ⅰ）
１（１） Ｐ Ａ
１（２）～Ｐ∨Ｐ １∨Ｉ
（ⅱ）
１（１）～Ｐ Ａ
１（２）～Ｐ∨Ｐ １∨Ｉ
従って、
（06）により、
（07）
① Ｐ├ ～Ｐ∨Ｐ
② ～Ｐ├ ～Ｐ∨Ｐ
従って、
（05）（06）（07）により、
（08）
① （～Ｐ∨Ｐ）は「排中律」であって、「命題変数Ｐの真偽」に関はらず、「恒に真（トートロジー）」である。
② ～（Ｐ＆～Ｐ）は「矛盾律」であって、「命題変数Ｐの真偽」に関はらず、「恒に真（トートロジー）」である。
③ （Ｐ→ Ｐ）は「同一律」であって、「命題変数Ｐの真偽」に関はらず、「恒に真（トートロジー）」である。
然るに、
（09）
（ⅰ）
１（１） Ｐ＆ Ｑ Ａ
１（２） Ｐ １＆Ｅ
１（３） ～Ｐ∨Ｐ ２∨Ｉ
１（４）（～Ｐ∨Ｐ）∨Ｑ ３∨Ｉ
（ⅱ）
１（１） Ｐ＆～Ｑ Ａ
１（２） Ｐ １＆Ｅ
１（３） ～Ｐ∨Ｐ ２∨Ｉ
１（４）（～Ｐ∨Ｐ）∨Ｑ ３∨Ｉ
（ⅲ）
１（１） ～Ｐ＆ Ｑ Ａ
１（２） ～Ｐ １＆Ｅ
１（３） ～Ｐ∨Ｐ ２∨Ｉ
１（４）（～Ｐ∨Ｐ）∨Ｑ ３∨Ｉ
（ⅳ）
１（１） ～Ｐ＆～Ｑ Ａ
１（２） ～Ｐ １＆Ｅ
１（３） ～Ｐ∨Ｐ ２∨Ｉ
１（４）（～Ｐ∨Ｐ）∨Ｑ ３∨Ｉ
従って、
（09）により、
（10）
① Ｐ＆ Ｑ├（～Ｐ∨Ｐ）∨Ｑ
② Ｐ＆～Ｑ├（～Ｐ∨Ｐ）∨Ｑ
③ ～Ｐ＆ Ｑ├（～Ｐ∨Ｐ）∨Ｑ
④ ～Ｐ＆～Ｑ├（～Ｐ∨Ｐ）∨Ｑ
従って、
（08）（09）（10）により、
（11）
① （～Ｐ∨Ｐ）∨Ｑ は、「命題変数ＰとＱの真偽」に関はらず、「恒に真（トートロジー）」である。
② ～（Ｐ＆～Ｐ）∨Ｑ は、「命題変数ＰとＱの真偽」に関はらず、「恒に真（トートロジー）」である。
③ （Ｐ→ Ｐ）∨Ｑ は、「命題変数ＰとＱの真偽」に関はらず、「恒に真（トートロジー）」である。
然るに、
（12）
（ⅰ）
１（１）（～Ｐ∨Ｐ）∨Ｑ Ａ
１（２） ～Ｐ∨（Ｐ∨Ｑ） １結合法則
１（３） Ｐ→（Ｐ∨Ｑ） ２含意の定義
（ⅳ）
１（１） Ｐ→（Ｐ∨Ｑ） Ａ
１（２） ～Ｐ∨（Ｐ∨Ｑ） １含意の定義
１（３）（～Ｐ∨Ｐ）∨Ｑ ２結合法則
従って、
（12）により、
（13）
①（～Ｐ∨Ｐ）∨Ｑ
② Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（14）
（ⅲ）
１（１）（～Ｐ∨Ｐ）∨～Ｑ Ａ
１（２） ～Ｐ∨Ｐ ∨～Ｑ １結合法則
１（３） ～Ｐ∨～Ｑ∨ Ｐ ２交換法則
１（４）（～Ｐ∨～Ｑ）∨Ｐ ３結合法則
１（５）～（Ｐ＆Ｑ）∨ Ｐ ４ド・モルガンの法則
１（６） （Ｐ＆Ｑ）→ Ｐ ５含意の定義
（ⅳ）
１（１） （Ｐ＆Ｑ）→ Ｐ Ａ
１（２）～（Ｐ＆Ｑ）∨ Ｐ １含意の定義
１（３） ～Ｐ∨～Ｑ∨ Ｐ ２ド・モルガンの法則
１（４） ～Ｐ∨Ｐ ∨～Ｑ ３交換法則
１（５）（～Ｐ∨Ｐ）∨～Ｑ 結合法則
従って、
（14）により、
（15）
③（～Ｐ∨Ｐ）∨～Ｑ
④ （Ｐ＆Ｑ）→ Ｐ
に於いて、
③＝④ である。
然るに、
（16）
（ⅰ）
１（１） Ｐ＆ Ｑ Ａ
１（２） Ｐ １＆Ｅ
１（３） ～Ｐ∨Ｐ ２∨Ｉ
１（４）（～Ｐ∨Ｐ）∨～Ｑ ３∨Ｉ
（ⅱ）
１（１） Ｐ＆～Ｑ Ａ
１（２） Ｐ １＆Ｅ
１（３） ～Ｐ∨Ｐ ２∨Ｉ
１（４）（～Ｐ∨Ｐ）∨～Ｑ ３∨Ｉ
（ⅲ）
１（１） ～Ｐ＆ Ｑ Ａ
１（２） ～Ｐ １＆Ｅ
１（３） ～Ｐ∨Ｐ ２∨Ｉ
１（４）（～Ｐ∨Ｐ）∨～Ｑ ３∨Ｉ
（ⅳ）
１（１） ～Ｐ＆～Ｑ Ａ
１（２） ～Ｐ １＆Ｅ
１（３） ～Ｐ∨Ｐ ２∨Ｉ
１（４）（～Ｐ∨Ｐ）∨～Ｑ ３∨Ｉ
従って、
（16）により、
（17）
① Ｐ＆ Ｑ├（～Ｐ∨Ｐ）∨～Ｑ
② Ｐ＆～Ｑ├（～Ｐ∨Ｐ）∨～Ｑ
③ ～Ｐ＆ Ｑ├（～Ｐ∨Ｐ）∨～Ｑ
④ ～Ｐ＆～Ｑ├（～Ｐ∨Ｐ）∨～Ｑ
従って、
（10）（11）（13）（15）（17）により、
（18）
①（～Ｐ∨Ｐ）∨ Ｑ は、「命題変数ＰとＱの真偽」に関はらず、「恒に真（トートロジー）」である。
② Ｐ→（Ｐ∨ Ｑ）は、「命題変数ＰとＱの真偽」に関はらず、「恒に真（トートロジー）」である。
③（～Ｐ∨Ｐ）∨～Ｑ は、「命題変数ＰとＱの真偽」に関はらず、「恒に真（トートロジー）」である。
④ （Ｐ＆Ｑ）→ Ｐ は、「命題変数ＰとＱの真偽」に関はらず、「恒に真（トートロジー）」である。
といふ「意味」では、
①＝②＝③＝④ である。
然るに、
（18）により、
（19）
①（～Ｐ∨Ｐ）∨ Ｑ
③（～Ｐ∨Ｐ）∨～Ｑ
に於いて、
① は、「 Ｑ」であるが、
③ は、「～Ｑ」であるため、
①＝③ ではない。
従って、
（13）（15）（19）により、
（20）
②「選言導入（∨Ｉ）」である所の、 Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）は、「命題変数ＰとＱの真偽」に関はらず、「恒に真（トートロジー）」であって、
④「連言除去（＆Ｅ）」である所の、（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ も、「命題変数ＰとＱの真偽」に関はらず、「恒に真（トートロジー）」であるものの、
②＝④ ではない。
然るに、
（21）
（ⅰ）
１（１） Ｐ＆ Ｑ Ａ
１（２） Ｐ １＆Ｅ
１（３） Ｑ １＆Ｅ
１（４） ～Ｐ∨Ｐ ３∨Ｉ
１（５）（～Ｐ∨Ｐ）＆Ｑ ３４＆Ｉ
といふ「推論」は「妥当」である。
（ⅱ）
１（１） Ｐ＆～Ｑ Ａ
１（２） Ｐ １＆Ｅ
１（３） ～Ｑ １＆Ｅ
１（４） ～Ｐ∨Ｐ ３∨Ｉ
１（５）（～Ｐ∨Ｐ）＆Ｑ ３４＆Ｉ
といふ「推論」は「妥当」ではない。
（ⅲ）
１（１） ～Ｐ＆ Ｑ Ａ
１（２） ～Ｐ １＆Ｅ
１（３） Ｑ １＆Ｅ
１（４） ～Ｐ∨Ｐ ３∨Ｉ
１（５）（～Ｐ∨Ｐ）＆Ｑ ３４＆Ｉ
といふ「推論」は「妥当」である。
（ⅳ）
１（１） ～Ｐ＆～Ｑ Ａ
１（２） ～Ｐ １＆Ｅ
１（３） ～Ｑ １＆Ｅ
１（４） ～Ｐ∨Ｐ ３∨Ｉ
１（５）（～Ｐ∨Ｐ）＆Ｑ ３４＆Ｉ
といふ「推論」は「妥当」ではない。
従って、
（21）により、
（22）
① Ｐ＆ Ｑ├（～Ｐ∨Ｐ）＆Ｑ
② Ｐ＆～Ｑ├（～Ｐ∨Ｐ）＆Ｑ
③ ～Ｐ＆ Ｑ├（～Ｐ∨Ｐ）＆Ｑ
④ ～Ｐ＆～Ｑ├（～Ｐ∨Ｐ）＆Ｑ
に於いて、
①と③ は「妥当」であるが、
②と④ は「妥当」ではなく、それ故、
①（～Ｐ∨Ｐ）＆Ｑ は、「恒に真（トートロジー）」ではない。
従って、
（18）（22）により、
（23）
①（～Ｐ∨Ｐ）∨Ｑ は、「恒に、真（トートロジー）」であるが、
②（～Ｐ∨Ｐ）＆Ｑ は、「恒には真（トートロジー）」ではない。
従って、
（23）により、
（24）
「結合法則・含意の定義」として、
①（～Ｐ∨Ｐ）∨Ｑ ≡～Ｐ∨（Ｐ∨Ｑ）≡Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）。
②（～Ｐ∨Ｐ）＆Ｑ ≡～Ｐ∨（Ｐ＆Ｑ）≡Ｐ→（Ｐ＆Ｑ）。
であるものの、
① は「妥当」であるが、
② は「妥当」ではない。
従って、
（24）により、
（25）
① Ｐであるならば（Ｐであるか、または、Ｑである）。
② Ｐであるならば（Ｐであって、尚且つ、Ｑである）。
に於いて、
① は「妥当」であるが、
② は「妥当」ではない。
（26）
仮に、
②（～Ｐ∨Ｐ）＆Ｑ ≡～Ｐ∨（Ｐ＆Ｑ）≡Ｐ→（Ｐ＆Ｑ）。
であるならば、すなはち、
② Ｐであるならば（Ｐであって、尚且つ、Ｑである）。
とするならば、
②「任意の命題」が「真」であるならば、「全ての命題」は「真」である。
といふことになるものの、
②「そのやうなこと」は、「有っては、ならない」。
令和６年２月１７日、毛利太。
（ⅰ）
１ （１） ～Ｐ∨ Ｐ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｐ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆ Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（Ｐ＆～Ｐ） ２５ＲＡＡ
７（７） Ｐ Ａ
２ （８） ～Ｐ ２＆Ｅ
２ ７（９） Ｐ＆～Ｐ ７８＆Ｉ
７（ア）～（Ｐ＆～Ｐ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（Ｐ＆～Ｐ） １３６７ア∨Ｅ
（ⅱ）
１ （１） ～（Ｐ＆～Ｐ） Ａ
２ （２） ～（～Ｐ∨Ｐ） Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
３ （４） ～Ｐ∨Ｐ ３∨Ｉ
２３ （５） ～（～Ｐ∨Ｐ）＆
（～Ｐ∨Ｐ） ２４＆Ｉ
２ （６） Ｐ ３５ＲＡＡ
２ （７） Ｐ ６ＤＮ
８（８） Ｐ Ａ
８（９） ～Ｐ∨Ｐ ８∨Ｉ
２ ８（ア） ～（～Ｐ∨Ｐ）＆
（～Ｐ∨Ｐ） ２８＆Ｉ
２ （イ） ～Ｐ ８アＲＡＡ
２ （ウ） Ｐ＆～Ｐ ７イ＆Ｉ
１２ （エ） ～（Ｐ＆～Ｐ）＆
（Ｐ＆～Ｐ） １ウ＆Ｉ
１ （オ）～～（～Ｐ∨Ｐ） ２エＲＡＡ
１ （カ） ～Ｐ∨Ｐ オＤＮ
従って、
（01）により、
（02）
① ～Ｐ∨ Ｐ
② ～（Ｐ＆～Ｐ）
に於いて、
①＝② である（ド・モルガンの法則）。
然るに、
（03）
（ⅱ）
１ （１） ～（Ｐ＆～Ｐ） Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
３（３） ～Ｐ Ａ
２３（４） Ｐ＆～Ｐ ２３＆Ｉ
１２３（５） ～（Ｐ＆～Ｐ）＆
（Ｐ＆～Ｐ） １５＆Ｉ
１２ （６） Ｐ ３５ＲＡＡ
１２ （７） Ｐ ６ＤＮ
１ （８） （Ｐ→ Ｐ） ２７ＣＰ
（ⅲ）
１ （１） （Ｐ→ Ｐ） Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｐ Ａ
２ （３） Ｐ Ａ
１２ （４） Ｐ １３ＭＰＰ
２ （５） ～Ｐ ２＆Ｅ
１２ （６） Ｐ＆～Ｐ ４５＆Ｉ
１ （７） ～（Ｐ＆～Ｐ） ２６ＲＡＡ
従って、
（03）により、
（04）
② ～（Ｐ＆～Ｐ）
③ Ｐ→ Ｐ
に於いて、
②＝③ である。
従って、
（02）（04）により、
（05）
① （～Ｐ∨Ｐ）は「排中律」。
② ～（Ｐ＆～Ｐ）は「矛盾律」。
③ （Ｐ→ Ｐ）は「同一律」。
に於いて、
①＝②＝③ である。
然るに、
（06）
（ⅰ）
１（１） Ｐ Ａ
１（２）～Ｐ∨Ｐ １∨Ｉ
（ⅱ）
１（１）～Ｐ Ａ
１（２）～Ｐ∨Ｐ １∨Ｉ
従って、
（06）により、
（07）
① Ｐ├ ～Ｐ∨Ｐ
② ～Ｐ├ ～Ｐ∨Ｐ
従って、
（05）（06）（07）により、
（08）
① （～Ｐ∨Ｐ）は「排中律」であって、「命題変数Ｐの真偽」に関はらず、「恒に真（トートロジー）」である。
② ～（Ｐ＆～Ｐ）は「矛盾律」であって、「命題変数Ｐの真偽」に関はらず、「恒に真（トートロジー）」である。
③ （Ｐ→ Ｐ）は「同一律」であって、「命題変数Ｐの真偽」に関はらず、「恒に真（トートロジー）」である。
然るに、
（09）
（ⅰ）
１（１） Ｐ＆ Ｑ Ａ
１（２） Ｐ １＆Ｅ
１（３） ～Ｐ∨Ｐ ２∨Ｉ
１（４）（～Ｐ∨Ｐ）∨Ｑ ３∨Ｉ
（ⅱ）
１（１） Ｐ＆～Ｑ Ａ
１（２） Ｐ １＆Ｅ
１（３） ～Ｐ∨Ｐ ２∨Ｉ
１（４）（～Ｐ∨Ｐ）∨Ｑ ３∨Ｉ
（ⅲ）
１（１） ～Ｐ＆ Ｑ Ａ
１（２） ～Ｐ １＆Ｅ
１（３） ～Ｐ∨Ｐ ２∨Ｉ
１（４）（～Ｐ∨Ｐ）∨Ｑ ３∨Ｉ
（ⅳ）
１（１） ～Ｐ＆～Ｑ Ａ
１（２） ～Ｐ １＆Ｅ
１（３） ～Ｐ∨Ｐ ２∨Ｉ
１（４）（～Ｐ∨Ｐ）∨Ｑ ３∨Ｉ
従って、
（09）により、
（10）
① Ｐ＆ Ｑ├（～Ｐ∨Ｐ）∨Ｑ
② Ｐ＆～Ｑ├（～Ｐ∨Ｐ）∨Ｑ
③ ～Ｐ＆ Ｑ├（～Ｐ∨Ｐ）∨Ｑ
④ ～Ｐ＆～Ｑ├（～Ｐ∨Ｐ）∨Ｑ
従って、
（08）（09）（10）により、
（11）
① （～Ｐ∨Ｐ）∨Ｑ は、「命題変数ＰとＱの真偽」に関はらず、「恒に真（トートロジー）」である。
② ～（Ｐ＆～Ｐ）∨Ｑ は、「命題変数ＰとＱの真偽」に関はらず、「恒に真（トートロジー）」である。
③ （Ｐ→ Ｐ）∨Ｑ は、「命題変数ＰとＱの真偽」に関はらず、「恒に真（トートロジー）」である。
然るに、
（12）
（ⅰ）
１（１）（～Ｐ∨Ｐ）∨Ｑ Ａ
１（２） ～Ｐ∨（Ｐ∨Ｑ） １結合法則
１（３） Ｐ→（Ｐ∨Ｑ） ２含意の定義
（ⅳ）
１（１） Ｐ→（Ｐ∨Ｑ） Ａ
１（２） ～Ｐ∨（Ｐ∨Ｑ） １含意の定義
１（３）（～Ｐ∨Ｐ）∨Ｑ ２結合法則
従って、
（12）により、
（13）
①（～Ｐ∨Ｐ）∨Ｑ
② Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（14）
（ⅲ）
１（１）（～Ｐ∨Ｐ）∨～Ｑ Ａ
１（２） ～Ｐ∨Ｐ ∨～Ｑ １結合法則
１（３） ～Ｐ∨～Ｑ∨ Ｐ ２交換法則
１（４）（～Ｐ∨～Ｑ）∨Ｐ ３結合法則
１（５）～（Ｐ＆Ｑ）∨ Ｐ ４ド・モルガンの法則
１（６） （Ｐ＆Ｑ）→ Ｐ ５含意の定義
（ⅳ）
１（１） （Ｐ＆Ｑ）→ Ｐ Ａ
１（２）～（Ｐ＆Ｑ）∨ Ｐ １含意の定義
１（３） ～Ｐ∨～Ｑ∨ Ｐ ２ド・モルガンの法則
１（４） ～Ｐ∨Ｐ ∨～Ｑ ３交換法則
１（５）（～Ｐ∨Ｐ）∨～Ｑ 結合法則
従って、
（14）により、
（15）
③（～Ｐ∨Ｐ）∨～Ｑ
④ （Ｐ＆Ｑ）→ Ｐ
に於いて、
③＝④ である。
然るに、
（16）
（ⅰ）
１（１） Ｐ＆ Ｑ Ａ
１（２） Ｐ １＆Ｅ
１（３） ～Ｐ∨Ｐ ２∨Ｉ
１（４）（～Ｐ∨Ｐ）∨～Ｑ ３∨Ｉ
（ⅱ）
１（１） Ｐ＆～Ｑ Ａ
１（２） Ｐ １＆Ｅ
１（３） ～Ｐ∨Ｐ ２∨Ｉ
１（４）（～Ｐ∨Ｐ）∨～Ｑ ３∨Ｉ
（ⅲ）
１（１） ～Ｐ＆ Ｑ Ａ
１（２） ～Ｐ １＆Ｅ
１（３） ～Ｐ∨Ｐ ２∨Ｉ
１（４）（～Ｐ∨Ｐ）∨～Ｑ ３∨Ｉ
（ⅳ）
１（１） ～Ｐ＆～Ｑ Ａ
１（２） ～Ｐ １＆Ｅ
１（３） ～Ｐ∨Ｐ ２∨Ｉ
１（４）（～Ｐ∨Ｐ）∨～Ｑ ３∨Ｉ
従って、
（16）により、
（17）
① Ｐ＆ Ｑ├（～Ｐ∨Ｐ）∨～Ｑ
② Ｐ＆～Ｑ├（～Ｐ∨Ｐ）∨～Ｑ
③ ～Ｐ＆ Ｑ├（～Ｐ∨Ｐ）∨～Ｑ
④ ～Ｐ＆～Ｑ├（～Ｐ∨Ｐ）∨～Ｑ
従って、
（10）（11）（13）（15）（17）により、
（18）
①（～Ｐ∨Ｐ）∨ Ｑ は、「命題変数ＰとＱの真偽」に関はらず、「恒に真（トートロジー）」である。
② Ｐ→（Ｐ∨ Ｑ）は、「命題変数ＰとＱの真偽」に関はらず、「恒に真（トートロジー）」である。
③（～Ｐ∨Ｐ）∨～Ｑ は、「命題変数ＰとＱの真偽」に関はらず、「恒に真（トートロジー）」である。
④ （Ｐ＆Ｑ）→ Ｐ は、「命題変数ＰとＱの真偽」に関はらず、「恒に真（トートロジー）」である。
といふ「意味」では、
①＝②＝③＝④ である。
然るに、
（18）により、
（19）
①（～Ｐ∨Ｐ）∨ Ｑ
③（～Ｐ∨Ｐ）∨～Ｑ
に於いて、
① は、「 Ｑ」であるが、
③ は、「～Ｑ」であるため、
①＝③ ではない。
従って、
（13）（15）（19）により、
（20）
②「選言導入（∨Ｉ）」である所の、 Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）は、「命題変数ＰとＱの真偽」に関はらず、「恒に真（トートロジー）」であって、
④「連言除去（＆Ｅ）」である所の、（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ も、「命題変数ＰとＱの真偽」に関はらず、「恒に真（トートロジー）」であるものの、
②＝④ ではない。
然るに、
（21）
（ⅰ）
１（１） Ｐ＆ Ｑ Ａ
１（２） Ｐ １＆Ｅ
１（３） Ｑ １＆Ｅ
１（４） ～Ｐ∨Ｐ ３∨Ｉ
１（５）（～Ｐ∨Ｐ）＆Ｑ ３４＆Ｉ
といふ「推論」は「妥当」である。
（ⅱ）
１（１） Ｐ＆～Ｑ Ａ
１（２） Ｐ １＆Ｅ
１（３） ～Ｑ １＆Ｅ
１（４） ～Ｐ∨Ｐ ３∨Ｉ
１（５）（～Ｐ∨Ｐ）＆Ｑ ３４＆Ｉ
といふ「推論」は「妥当」ではない。
（ⅲ）
１（１） ～Ｐ＆ Ｑ Ａ
１（２） ～Ｐ １＆Ｅ
１（３） Ｑ １＆Ｅ
１（４） ～Ｐ∨Ｐ ３∨Ｉ
１（５）（～Ｐ∨Ｐ）＆Ｑ ３４＆Ｉ
といふ「推論」は「妥当」である。
（ⅳ）
１（１） ～Ｐ＆～Ｑ Ａ
１（２） ～Ｐ １＆Ｅ
１（３） ～Ｑ １＆Ｅ
１（４） ～Ｐ∨Ｐ ３∨Ｉ
１（５）（～Ｐ∨Ｐ）＆Ｑ ３４＆Ｉ
といふ「推論」は「妥当」ではない。
従って、
（21）により、
（22）
① Ｐ＆ Ｑ├（～Ｐ∨Ｐ）＆Ｑ
② Ｐ＆～Ｑ├（～Ｐ∨Ｐ）＆Ｑ
③ ～Ｐ＆ Ｑ├（～Ｐ∨Ｐ）＆Ｑ
④ ～Ｐ＆～Ｑ├（～Ｐ∨Ｐ）＆Ｑ
に於いて、
①と③ は「妥当」であるが、
②と④ は「妥当」ではなく、それ故、
①（～Ｐ∨Ｐ）＆Ｑ は、「恒に真（トートロジー）」ではない。
従って、
（18）（22）により、
（23）
①（～Ｐ∨Ｐ）∨Ｑ は、「恒に、真（トートロジー）」であるが、
②（～Ｐ∨Ｐ）＆Ｑ は、「恒には真（トートロジー）」ではない。
従って、
（23）により、
（24）
「結合法則・含意の定義」として、
①（～Ｐ∨Ｐ）∨Ｑ ≡～Ｐ∨（Ｐ∨Ｑ）≡Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）。
②（～Ｐ∨Ｐ）＆Ｑ ≡～Ｐ∨（Ｐ＆Ｑ）≡Ｐ→（Ｐ＆Ｑ）。
であるものの、
① は「妥当」であるが、
② は「妥当」ではない。
従って、
（24）により、
（25）
① Ｐであるならば（Ｐであるか、または、Ｑである）。
② Ｐであるならば（Ｐであって、尚且つ、Ｑである）。
に於いて、
① は「妥当」であるが、
② は「妥当」ではない。
（26）
仮に、
②（～Ｐ∨Ｐ）＆Ｑ ≡～Ｐ∨（Ｐ＆Ｑ）≡Ｐ→（Ｐ＆Ｑ）。
であるならば、すなはち、
② Ｐであるならば（Ｐであって、尚且つ、Ｑである）。
とするならば、
②「任意の命題」が「真」であるならば、「全ての命題」は「真」である。
といふことになるものの、
②「そのやうなこと」は、「有っては、ならない」。
令和６年２月１７日、毛利太。
2024年2月14日水曜日
「恒真式（トートロジー）」の「意味」について。
（01）
① Ａ，Ｂ├ Ｃ
② Ａ├ Ｂ→Ｃ
③ ├ Ａ→（Ｂ→Ｃ）
に於いて、
① ならば、② であり、
② ならば、③ である。
従って、
（01）により、
（02）
① Ａが真で、Ｂも真、なので、Ｃは真である。
② Ａが真、なので、Ｂが真ならば、Ｃは真である。
③ なので、Ａが真ならば（Ｂが真ならば、Ｃは真である）。
に於いて、
① ならば、② であり、
② ならば、③ である。
従って、
（01）（02）により、
（03）
① Ａ，Ｂ├ Ｃ
② Ａ├ Ｂ→Ｃ
③ ├ Ａ→（Ｂ→Ｃ）
であれば、
① 真，真├ 真
② 真├ 真→真
③ ├ 真→（真→真）
である。
然るに、
（04）
③ ├ 真→（真→真）
であれば、
③ 真→（真→真）
である。
然るに、
（05）
「真理表（Truth table）」により、
① 真→（真→真）
② 真→（真）
③ 真
に於いて、
① ならば、② であって、
② ならば、③ である。
従って、
（01）～（05）により、
（06）
① Ａ，Ｂ├ Ｃ
② Ａ├ Ｂ→Ｃ
③ ├ Ａ→（Ｂ→Ｃ）
であるならば、
④ Ａ→（Ｂ→Ｃ）
は「真」である。
然るに、
（07）
１ （１） Ｐ Ａ
２（２） Ｐ→Ｑ Ａ
１２（３） Ｑ １２ＭＰＰ
１ （４）（Ｐ→Ｑ）→Ｑ ２３ＣＰ
（５） Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ） １４ＣＰ
従って、
（06）（07）により、
（08）
① Ｐ，Ｐ→Ｑ├ Ｑ
② Ｐ├（Ｐ→Ｑ）→Ｑ
③ ├ Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）
であるため、
④ Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）
は「真」である。
然るに、
（09）
「番号」を付け直すとして、
① Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）
② ～｛Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）｝
に於いて、
② は、① の「否定」である。
従って、
（08）（09）により、
（10）
① Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）
② ～｛Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）｝
に於いて、
① が「真」である以上、その「否定」である、
② は、必然的に、「偽」である。
然るに、
（11）
（ⅰ）
１（１） Ｐ→（ （ Ｐ→Ｑ）→Ｑ） Ａ
１（２）～Ｐ∨（ （ Ｐ→Ｑ）→Ｑ） １含意の定義
１（３）～Ｐ∨（ （～Ｐ∨Ｑ）→Ｑ） ２含意の定義
１（４）～Ｐ∨（～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｑ） ２含意の定義
（ⅱ）
１（１）～Ｐ∨（～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｑ） Ａ
１（２）～Ｐ∨（ （～Ｐ∨Ｑ）→Ｑ） １含意の定義
１（３）～Ｐ∨（ （ Ｐ→Ｑ）→Ｑ） ２含意の定義
１（４） Ｐ→（ （ Ｐ→Ｑ）→Ｑ） ３含意の定義
従って、
（11）により、
（12）
① Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）
と いふ「論理式」は、
① ～Ｐ∨（～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｑ）
と いふ「論理式」に「等しい」。
従って、
（10）（12）により、
（13）
① Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）
② ～｛Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）｝
に於いて、すなはち、
① ～Ｐ∨（～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｑ）
② ～｛～Ｐ∨（～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｑ）｝
に於いて、
① が「真」である以上、その「否定」である、
② は、必然的に、「偽」である。
然るに、
（14）
（ⅱ）
１（１）～｛～Ｐ∨（～（～Ｐ∨Ｑ）∨ Ｑ）｝ Ａ
１（２） Ｐ＆～（～（～Ｐ∨Ｑ）∨ Ｑ） １ド・モルガンの法則
１（３） Ｐ ２＆Ｅ
１（４） ～（～（～Ｐ∨Ｑ）∨ Ｑ） ２＆Ｅ
１（５） （～Ｐ∨Ｑ）＆～Ｑ ４ド・モルガンの法則
１（６） （～Ｐ∨Ｑ） ５＆Ｅ
１（７） Ｐ→Ｑ ６含意の定義
１（８） Ｑ ３７ＭＰＰ
１（９） ～Ｑ ５＆Ｅ
１（ア） Ｑ＆～Ｑ ８９＆Ｉ
１（イ） Ｐ＆（Ｑ＆～Ｑ） ３ア＆Ｉ
（ⅲ）
１（１） Ｐ＆（Ｑ＆～Ｑ） Ａ
１（２） Ｐ １＆Ｅ
１（３） （Ｑ＆～Ｑ） １＆Ｅ
１（４） Ｑ ３＆Ｅ
１（５） ～Ｑ ３＆Ｅ
１（６） ～Ｐ∨Ｑ ４∨Ｉ
１（７） （～Ｐ∨Ｑ）＆～Ｑ ５６＆Ｉ
１（８） ～（～（～Ｐ∨Ｑ）∨ Ｑ） ７ド・モルガンの法則
１（９） Ｐ＆～（～（～Ｐ∨Ｑ）∨ Ｑ） ２８＆Ｉ
１（ア）～｛～Ｐ∨（～（～Ｐ∨Ｑ）∨ Ｑ）｝ ９ド・モルガンの法則
従って、
（14）により、
（15）
② ～｛～Ｐ∨（～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｑ）｝
③ Ｐ＆（Ｑ＆～Ｑ）
に於いて、すなはち、
② ～｛～Ｐ∨（～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｑ）｝
③ Ｐ＆（矛盾）
に於いて、すなはち、
② ～｛～Ｐ∨（～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｑ）｝
③ Ｐ＆（偽）
に於いて、すなはち、
② ～｛～Ｐ∨（～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｑ）｝
③ 偽
に於いて、すなはち、
②＝③ である。
従って、
（10）～（15）により、
（16）
① Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）
② ～｛Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）｝
に於いて、
① が「真」である以上、その「否定」である、
② は、必然的 に、「偽」である。
といふ「命題」は、「真」である。
然るに、
（17）
（ⅰ）
１（１） Ｐ＆ Ｑ Ａ
１（２） Ｑ Ａ
１（３） ～（Ｐ→Ｑ）∨Ｑ ２∨Ｉ
１（４） （Ｐ→Ｑ）→Ｑ ３含意の定義
１（５）～Ｐ∨（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ） ４∨Ｉ
１（６） Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ） ５含意の定義
（ⅱ）
１ （１） Ｐ＆～Ｑ Ａ
２（２） Ｐ→ Ｑ Ａ
１ （３） Ｐ １＆Ｅ
１２（４） Ｑ ２３ＭＰＰ
１ （５） ～Ｑ １＆Ｅ
１２（６） Ｑ＆～Ｑ ４５＆Ｉ
１ （７） ～（Ｐ→Ｑ） ２ＲＡＡ
１ （８） ～（Ｐ→Ｑ）∨Ｑ ７∨Ｉ
１ （９） （Ｐ→Ｑ）→Ｑ ８含意の定義
１ （ア）～Ｐ∨（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ） ９∨Ｉ
１ （イ） Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ） ア含意の定義
（ⅲ）
１（１） ～Ｐ＆ Ｑ Ａ
１（２） Ｑ Ａ
１（３） ～（Ｐ→Ｑ）∨Ｑ ２∨Ｉ
１（４） （Ｐ→Ｑ）→Ｑ ３含意の定義
１（５）～Ｐ∨（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ） ４∨Ｉ
１（６） Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ） ５含意の定義
（ⅳ）
１（１） ～Ｐ＆～Ｑ Ａ
１（２）～Ｐ １＆Ｅ
１（３）～Ｐ∨（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ） ２∨Ｉ
１（４） Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ） ３含意の定義
従って、
（17）により、
（18）
① Ｐ＆ Ｑ├ Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）
② Ｐ＆～Ｑ├ Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）
③ ～Ｐ＆ Ｑ├ Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）
④ ～Ｐ＆～Ｑ├ Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）
といふ「連式」は、４つとも「正しい」。
従って、
（18）により、
（19）
① Ｐが真で、Ｑが真である、としても、
② Ｐが真で、Ｑが偽である、としても、
③ Ｐが偽で、Ｑが真である、としても、
④ Ｐが偽で、Ｑが偽である、としても、
いづれにしても、
① Ｐならば（（ＰならばＱである）ならばＱである）。
といふ「命題」は、「恒に真」である。
従って、
（08）（16）（19）により、
（20）
① Ｐ，Ｐ→Ｑ├ Ｑ
② Ｐ├（Ｐ→Ｑ）→Ｑ
③ ├ Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）
であるため、
④ Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）
は「真」である。
といふことは、
④ の「否定」は「偽」であり、
④ は「命題変数（ＰとＱ）の真偽」に関はらず、「恒に真」である。
といふことに、「他ならない」。
令和６年２月１４日、毛利太。
① Ａ，Ｂ├ Ｃ
② Ａ├ Ｂ→Ｃ
③ ├ Ａ→（Ｂ→Ｃ）
に於いて、
① ならば、② であり、
② ならば、③ である。
従って、
（01）により、
（02）
① Ａが真で、Ｂも真、なので、Ｃは真である。
② Ａが真、なので、Ｂが真ならば、Ｃは真である。
③ なので、Ａが真ならば（Ｂが真ならば、Ｃは真である）。
に於いて、
① ならば、② であり、
② ならば、③ である。
従って、
（01）（02）により、
（03）
① Ａ，Ｂ├ Ｃ
② Ａ├ Ｂ→Ｃ
③ ├ Ａ→（Ｂ→Ｃ）
であれば、
① 真，真├ 真
② 真├ 真→真
③ ├ 真→（真→真）
である。
然るに、
（04）
③ ├ 真→（真→真）
であれば、
③ 真→（真→真）
である。
然るに、
（05）
「真理表（Truth table）」により、
① 真→（真→真）
② 真→（真）
③ 真
に於いて、
① ならば、② であって、
② ならば、③ である。
従って、
（01）～（05）により、
（06）
① Ａ，Ｂ├ Ｃ
② Ａ├ Ｂ→Ｃ
③ ├ Ａ→（Ｂ→Ｃ）
であるならば、
④ Ａ→（Ｂ→Ｃ）
は「真」である。
然るに、
（07）
１ （１） Ｐ Ａ
２（２） Ｐ→Ｑ Ａ
１２（３） Ｑ １２ＭＰＰ
１ （４）（Ｐ→Ｑ）→Ｑ ２３ＣＰ
（５） Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ） １４ＣＰ
従って、
（06）（07）により、
（08）
① Ｐ，Ｐ→Ｑ├ Ｑ
② Ｐ├（Ｐ→Ｑ）→Ｑ
③ ├ Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）
であるため、
④ Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）
は「真」である。
然るに、
（09）
「番号」を付け直すとして、
① Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）
② ～｛Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）｝
に於いて、
② は、① の「否定」である。
従って、
（08）（09）により、
（10）
① Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）
② ～｛Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）｝
に於いて、
① が「真」である以上、その「否定」である、
② は、必然的に、「偽」である。
然るに、
（11）
（ⅰ）
１（１） Ｐ→（ （ Ｐ→Ｑ）→Ｑ） Ａ
１（２）～Ｐ∨（ （ Ｐ→Ｑ）→Ｑ） １含意の定義
１（３）～Ｐ∨（ （～Ｐ∨Ｑ）→Ｑ） ２含意の定義
１（４）～Ｐ∨（～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｑ） ２含意の定義
（ⅱ）
１（１）～Ｐ∨（～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｑ） Ａ
１（２）～Ｐ∨（ （～Ｐ∨Ｑ）→Ｑ） １含意の定義
１（３）～Ｐ∨（ （ Ｐ→Ｑ）→Ｑ） ２含意の定義
１（４） Ｐ→（ （ Ｐ→Ｑ）→Ｑ） ３含意の定義
従って、
（11）により、
（12）
① Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）
と いふ「論理式」は、
① ～Ｐ∨（～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｑ）
と いふ「論理式」に「等しい」。
従って、
（10）（12）により、
（13）
① Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）
② ～｛Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）｝
に於いて、すなはち、
① ～Ｐ∨（～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｑ）
② ～｛～Ｐ∨（～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｑ）｝
に於いて、
① が「真」である以上、その「否定」である、
② は、必然的に、「偽」である。
然るに、
（14）
（ⅱ）
１（１）～｛～Ｐ∨（～（～Ｐ∨Ｑ）∨ Ｑ）｝ Ａ
１（２） Ｐ＆～（～（～Ｐ∨Ｑ）∨ Ｑ） １ド・モルガンの法則
１（３） Ｐ ２＆Ｅ
１（４） ～（～（～Ｐ∨Ｑ）∨ Ｑ） ２＆Ｅ
１（５） （～Ｐ∨Ｑ）＆～Ｑ ４ド・モルガンの法則
１（６） （～Ｐ∨Ｑ） ５＆Ｅ
１（７） Ｐ→Ｑ ６含意の定義
１（８） Ｑ ３７ＭＰＰ
１（９） ～Ｑ ５＆Ｅ
１（ア） Ｑ＆～Ｑ ８９＆Ｉ
１（イ） Ｐ＆（Ｑ＆～Ｑ） ３ア＆Ｉ
（ⅲ）
１（１） Ｐ＆（Ｑ＆～Ｑ） Ａ
１（２） Ｐ １＆Ｅ
１（３） （Ｑ＆～Ｑ） １＆Ｅ
１（４） Ｑ ３＆Ｅ
１（５） ～Ｑ ３＆Ｅ
１（６） ～Ｐ∨Ｑ ４∨Ｉ
１（７） （～Ｐ∨Ｑ）＆～Ｑ ５６＆Ｉ
１（８） ～（～（～Ｐ∨Ｑ）∨ Ｑ） ７ド・モルガンの法則
１（９） Ｐ＆～（～（～Ｐ∨Ｑ）∨ Ｑ） ２８＆Ｉ
１（ア）～｛～Ｐ∨（～（～Ｐ∨Ｑ）∨ Ｑ）｝ ９ド・モルガンの法則
従って、
（14）により、
（15）
② ～｛～Ｐ∨（～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｑ）｝
③ Ｐ＆（Ｑ＆～Ｑ）
に於いて、すなはち、
② ～｛～Ｐ∨（～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｑ）｝
③ Ｐ＆（矛盾）
に於いて、すなはち、
② ～｛～Ｐ∨（～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｑ）｝
③ Ｐ＆（偽）
に於いて、すなはち、
② ～｛～Ｐ∨（～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｑ）｝
③ 偽
に於いて、すなはち、
②＝③ である。
従って、
（10）～（15）により、
（16）
① Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）
② ～｛Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）｝
に於いて、
① が「真」である以上、その「否定」である、
② は、必然的 に、「偽」である。
といふ「命題」は、「真」である。
然るに、
（17）
（ⅰ）
１（１） Ｐ＆ Ｑ Ａ
１（２） Ｑ Ａ
１（３） ～（Ｐ→Ｑ）∨Ｑ ２∨Ｉ
１（４） （Ｐ→Ｑ）→Ｑ ３含意の定義
１（５）～Ｐ∨（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ） ４∨Ｉ
１（６） Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ） ５含意の定義
（ⅱ）
１ （１） Ｐ＆～Ｑ Ａ
２（２） Ｐ→ Ｑ Ａ
１ （３） Ｐ １＆Ｅ
１２（４） Ｑ ２３ＭＰＰ
１ （５） ～Ｑ １＆Ｅ
１２（６） Ｑ＆～Ｑ ４５＆Ｉ
１ （７） ～（Ｐ→Ｑ） ２ＲＡＡ
１ （８） ～（Ｐ→Ｑ）∨Ｑ ７∨Ｉ
１ （９） （Ｐ→Ｑ）→Ｑ ８含意の定義
１ （ア）～Ｐ∨（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ） ９∨Ｉ
１ （イ） Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ） ア含意の定義
（ⅲ）
１（１） ～Ｐ＆ Ｑ Ａ
１（２） Ｑ Ａ
１（３） ～（Ｐ→Ｑ）∨Ｑ ２∨Ｉ
１（４） （Ｐ→Ｑ）→Ｑ ３含意の定義
１（５）～Ｐ∨（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ） ４∨Ｉ
１（６） Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ） ５含意の定義
（ⅳ）
１（１） ～Ｐ＆～Ｑ Ａ
１（２）～Ｐ １＆Ｅ
１（３）～Ｐ∨（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ） ２∨Ｉ
１（４） Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ） ３含意の定義
従って、
（17）により、
（18）
① Ｐ＆ Ｑ├ Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）
② Ｐ＆～Ｑ├ Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）
③ ～Ｐ＆ Ｑ├ Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）
④ ～Ｐ＆～Ｑ├ Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）
といふ「連式」は、４つとも「正しい」。
従って、
（18）により、
（19）
① Ｐが真で、Ｑが真である、としても、
② Ｐが真で、Ｑが偽である、としても、
③ Ｐが偽で、Ｑが真である、としても、
④ Ｐが偽で、Ｑが偽である、としても、
いづれにしても、
① Ｐならば（（ＰならばＱである）ならばＱである）。
といふ「命題」は、「恒に真」である。
従って、
（08）（16）（19）により、
（20）
① Ｐ，Ｐ→Ｑ├ Ｑ
② Ｐ├（Ｐ→Ｑ）→Ｑ
③ ├ Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）
であるため、
④ Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）
は「真」である。
といふことは、
④ の「否定」は「偽」であり、
④ は「命題変数（ＰとＱ）の真偽」に関はらず、「恒に真」である。
といふことに、「他ならない」。
令和６年２月１４日、毛利太。
2024年2月13日火曜日
「命題論理」の「完全性定理」。
（01）
１ （１）Ｐ→Ｑ Ａ
２（２）Ｐ Ａ
１２（３） Ｑ １ＭＰＰ
という「計算」に於ける、
① Ｐ→Ｑ
② Ｐ
③ Ｑ
という「論理式」に於いて、
① は「仮定」により「真」であり、
② も「仮定」により「真」であり、
③ は『規則』により「真」である。
然るに、
（01）により、
（02）
１ （１） Ｐ→Ｑ Ａ
２（２） Ｐ Ａ
１２（３） Ｑ １ＭＰＰ
１ （４） Ｐ→Ｑ ２３ＣＰ
（５）（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ） １４ＣＰ
という「計算」は「妥当」であり、それ故、
① Ｐ→Ｑ，Ｐ├ Ｑ
② Ｐ→Ｑ├ Ｐ→Ｑ
③ ├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
という「連式（Sequents）」は、「妥当」ある。
然るに、
（03）
③├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
に於ける、
③ （Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
という「論式」は、「同一律（の代入例）」であって、「同一律」は、「恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（01）（02）（03）により、
（04）
例えば、「同一律」がそうであるように、
③├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
という風に、
（ⅰ）「仮定の個数」が「０個」である所の「論理式」は「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（05）
１（１） ～｛（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）｝ Ａ
１（２）～｛～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ）｝ １含意の定義
１（３） （Ｐ→Ｑ）＆～（Ｐ→Ｑ） ２ド・モルガンの法則
１（４） （Ｐ→Ｑ） ３＆Ｅ
１（５） ～（Ｐ→Ｑ） ３＆Ｅ
１（６） ～（～Ｐ∨Ｑ） ５含意の定義
１（７） Ｐ＆～Ｑ ６ド・モルガンの法則
１（８） Ｐ ７＆Ｅ
１（９） Ｑ ４８ＭＰＰ
１（ア） ～Ｑ ７＆Ｅ
１（イ） Ｑ＆～Ｑ ８９＆Ｉ
（ウ）～～｛（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）｝ １ＲＡＡ
（エ） （Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ） ウＤＮ
従って、
（04）（05）により、
（06）
例えば、「同一律」がそうであるように、
（ⅱ）「恒真式（トートロジー）」の「否定」は、「恒偽式（矛盾）」である。
然るに、
（07）
（ⅰ）
１（１） Ｐ＆Ｑ Ａ
１（２） Ｑ １＆Ｅ
１（３） ～Ｐ∨Ｑ ２∨Ｉ
１（４） Ｐ→Ｑ ３含意の定義
１（５）～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ） ４∨Ｉ
１（６） （Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ） ５含意の定義
（ⅱ）
１ （１） Ｐ＆～Ｑ Ａ
２（２） Ｐ→ Ｑ Ａ
１ （３） Ｐ １＆Ｅ
１２（４） Ｑ ２３ＭＰＰ
１ （５） ～Ｑ １＆Ｅ
１２（６） Ｑ＆～Ｑ ４５＆Ｉ
１ （７）～（Ｐ→Ｑ） ２６ＲＡＡ
１ （８）～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ） ７∨Ｉ
１ （９） （Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ） ８含意の定義
（ⅲ）
１（１） ～Ｐ＆Ｑ Ａ
１（２） ～Ｐ １＆Ｅ
１（３） ～Ｐ∨Ｑ ２∨Ｉ
１（４） Ｐ→Ｑ ３含意の定義
１（５）～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ） ４∨Ｉ
１（６） （Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ） ５含意の定義
（ⅳ）
１（１） ～Ｐ＆～Ｑ Ａ
１（２） ～Ｐ １＆Ｅ
１（３） ～Ｐ∨Ｑ ２∨Ｉ
１（４） Ｐ→Ｑ ３含意の定義
１（５）～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ） ４∨Ｉ
１（６） （Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ） ５含意の定義
従って、
（07）により、
（08）
① Ｐ＆ Ｑ├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
② Ｐ＆～Ｑ├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
③ ～Ｐ＆ Ｑ├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
④ ～Ｐ＆～Ｑ├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
然るに、
（09）
（ⅰ）
１ （１） （Ｐ→Ｑ）→ （Ｐ→Ｑ） Ａ
１ （２） ～（Ｐ→Ｑ）∨ （Ｐ→Ｑ） １含意の定義
１ （３）～（～Ｐ∨Ｑ）∨ （Ｐ→Ｑ） ２含意の定義
４ （４）～（～Ｐ∨Ｑ） Ａ
４ （５） Ｐ＆～Ｑ ４含意の定義
４ （６） （Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｐ∨Ｑ） ５∨Ｉ
７（７） （Ｐ→Ｑ） Ａ
７（８） ～Ｐ∨Ｑ ７含意の定義
７（９） （Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｐ∨Ｑ） ８∨Ｉ
１ （ア） （Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｐ∨Ｑ） １４６７９∨Ｅ
（ⅱ）
１ （１） （Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｐ∨Ｑ） Ａ
２ （２） （Ｐ＆～Ｑ） Ａ
２ （３）～（～Ｐ∨Ｑ） ２ド・モルガンの法則
２ （４） ～（Ｐ→Ｑ） ３含意の定義
２ （５） ～（Ｐ→Ｑ）∨ （Ｐ→Ｑ） ５∨Ｉ
６（６） （～Ｐ∨Ｑ） Ａ
６（７） （Ｐ→Ｑ） ６含意の定義
６（８） ～（Ｐ→Ｑ）∨ （Ｐ→Ｑ） ∨Ｉ
１ （９） ～（Ｐ→Ｑ）∨ （Ｐ→Ｑ） １２５６８∨Ｅ
１ （ア） （Ｐ→Ｑ）→ （Ｐ→Ｑ） ９含意の定義
従って、
（09）により、
（10）
①（Ｐ→ Ｑ）→（ Ｐ→Ｑ）
②（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｐ∨Ｑ）
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（11）
『選言導入（∨Ｉ）』により、
① Ｐ＆ Ｑ├（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｐ∨Ｑ）
② Ｐ＆～Ｑ├（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｐ∨Ｑ）
③ ～Ｐ＆ Ｑ├（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｐ∨Ｑ）
④ ～Ｐ＆～Ｑ├（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｐ∨Ｑ）
という「連式（Sequents）」が「妥当」であることは、「計算」をしなくとも、「明白」である。
従って、
（08）～（11）により、
（12）
いずれにせよ、
① Ｐ＆ Ｑ├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
② Ｐ＆～Ｑ├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
③ ～Ｐ＆ Ｑ├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
④ ～Ｐ＆～Ｑ├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
という「連式（Sequents）」は、「妥当」ある。
従って、
（12）により、
（13）
例えば、「同一律」がそうであるように、
（ⅲ）「命題変数（Ｐ，Ｑ）」の「真理値（真偽）」に関わらず、「恒真式（トートロジー）」の「真理値（真偽）」は、「恒に真」である。
従って、
（04）（06）（13）により、
（14）
例えば、「同一律」がそうであるように、
（ⅰ）「仮定の個数」が「０個」である所の「論理式」は「恒真式（トートロジー）」である。
（ⅱ）「恒真式（トートロジー）」の「否定」は、「恒偽式（矛盾）」である。
（ⅲ）「命題変数（Ｐ，Ｑ）」の「真理値（真偽）」に関わらず、「恒真式（トートロジー）」の「真理値（真偽）」は、「恒に真」である。
―「命題変数」が「３個（Ｐ，Ｑ，Ｒ）」になっただけで、「同じこと」の「繰り返し」です。―
然るに、
（15）
１ （１） Ｐ→Ｑ Ａ
２ （２） Ｒ∨Ｐ Ａ
３ （３） Ｒ Ａ
３ （４） Ｒ∨Ｑ ３∨Ｉ
５（５） Ｐ Ａ
１ ５（６） Ｑ １５ＭＰＰ
１ ５（７） Ｒ∨Ｑ ６∨Ｉ
１２ （８） Ｒ∨Ｑ ２３４５７∨Ｅ
という「計算」に於ける、
① Ｐ→Ｑ
② Ｒ∨Ｐ
③ Ｒ∨Ｑ
という「論理式」に於いて、
① は「仮定」により「真」であり、
② も「仮定」により「真」であり、
③ は『規則』により「真」である。
従って、
（15）により、
（16）
１ （１） Ｐ→Ｑ Ａ
２ （２） Ｒ∨Ｐ Ａ
３ （３） Ｒ Ａ
３ （４） Ｒ∨Ｑ ３∨Ｉ
５（５） Ｐ Ａ
１ ５（６） Ｑ １５ＭＰＰ
１ ５（７） Ｒ∨Ｑ ６∨Ｉ
１２ （８） Ｒ∨Ｑ ２３４５７∨Ｅ
１ （９）（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ） ２８ＣＰ
（ア）（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） １９ＣＰ
という「計算」は「妥当」であり、それ故、
① Ｐ→Ｑ，Ｒ∨Ｐ├ Ｒ∨Ｑ
② Ｐ→Ｑ├（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）
③ ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
という「連式（Sequents）」は、「妥当」ある。
然るに、
（16）により、
（17）
③├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
に於ける、
③ （Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
という「論式」は、「ヒルベルト・アッカーマンの公理（４）」であって、「ヒルベルト・アッカーマンの公理（４）」は、「恒真式（トートロジー）である。
従って、
（15）（16）（17）により、
（18）
③├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
という風に、
例えば、「ヒルベルト・アッカーマンの公理（４）」がそうであるように、
（ⅰ）「仮定の個数」が「０個」である所の「論理式」は「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（19）
１（１） ～（（ Ｐ→Ｑ）→ （（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））） Ａ
１（２） ～（（～Ｐ∨Ｑ）→ （（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））） １含意の定義
１（３）～（～（～Ｐ∨Ｑ）∨ （（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））） ２含意の定義
１（４）～（～（～Ｐ∨Ｑ）∨ （～（Ｒ∨Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ））） ３含意の定義
１（５） （～Ｐ∨Ｑ）＆～（～（Ｒ∨Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）） ４ド・モルガンの法則
１（６） （～Ｐ∨Ｑ） ５＆Ｅ
１（７） ～（～（Ｒ∨Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）） ５＆Ｅ
１（８） （Ｒ∨Ｐ）＆～（Ｒ∨Ｑ） ７ド・モルガンの法則
１（９） Ｒ∨Ｐ ８＆Ｅ
１（ア） ～（Ｒ∨Ｑ） ８＆Ｅ
１（イ） ～Ｒ＆～Ｑ ア、ド・モルガンの法則
１（ウ） ～Ｒ イ＆Ｅ
１（エ） ～Ｑ イ＆Ｅ
１（オ） Ｐ→Ｑ ６含意の定義
１（カ） ～Ｐ エオＭＴＴ
１（キ） ～Ｒ＆～Ｐ ウカ＆Ｉ
１（ク） ～（Ｒ∨Ｐ） キ、ド・モルガンの法則
１（ケ） ～（Ｒ∨Ｐ）＆（Ｒ∨Ｐ） ９ク＆Ｉ
従って、
（18）（19）により、
（20）
例えば、「ヒルベルト・アッカーマンの公理（４）」がそうであるように、
（ⅱ）「恒真式（トートロジー）」の「否定」は、「恒偽式（矛盾）」である。
然るに、
（21）
１（１） Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ Ａ
１（２） Ｒ Ａ
１（３） Ｒ∨Ｑ ２∨Ｉ
１（４） ～（Ｒ∨Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ） ３∨Ｉ
１（５） （Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ） ４含意の定義
１（６）～（Ｐ→Ｑ）∨（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ５∨Ｉ
１（７） （Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ６含意の定義
（ⅱ）
１（１） Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ Ａ
１（２） Ｑ Ａ
１（３） Ｒ∨Ｑ ２∨Ｉ
１（４） ～（Ｒ∨Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ） ３∨Ｉ
１（５） （Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ） ４含意の定義
１（６）～（Ｐ→Ｑ）∨（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ５∨Ｉ
１（７） （Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ６含意の定義
（ⅲ）
（ⅰ）
１（１） Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ Ａ
１（２） Ｒ Ａ
１（３） Ｒ∨Ｑ ２∨Ｉ
１（４） ～（Ｒ∨Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ） ３∨Ｉ
１（５） （Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ） ４含意の定義
１（６）～（Ｐ→Ｑ）∨（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ５∨Ｉ
１（７） （Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ６含意の定義
（ⅳ）
１ （１） Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ Ａ
２（２） Ｐ→ Ｑ Ａ
１ （３） Ｐ １＆Ｅ
１２（４） Ｑ ２３ＭＰＰ
１ （５） ～Ｑ １＆Ｅ
１２（６） Ｑ＆～Ｑ ４５＆Ｉ
１ （７）～（Ｐ→Ｑ） ２６ＲＡＡ
１ （８）～（Ｐ→Ｑ）∨（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ７∨Ｉ
１ （９）（ Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） １含意の定義
（ⅴ）
１（１） ～Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ Ａ
１（２） Ｑ Ａ
１（３） Ｒ∨Ｑ ２∨Ｉ
１（４） ～（Ｒ∨Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ） ３∨Ｉ
１（５） （Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ） ４含意の定義
１（６）～（Ｐ→Ｑ）∨（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ５∨Ｉ
１（７） （Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ６含意の定義
（ⅵ）
１（１） ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ Ａ
１（２） Ｑ Ａ
１（３） Ｒ∨Ｑ ２∨Ｉ
１（４） ～（Ｒ∨Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ） ３∨Ｉ
１（５） （Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ） ４含意の定義
１（６）～（Ｐ→Ｑ）∨（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ５∨Ｉ
１（７） （Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ６含意の定義
１（３） Ｒ∨Ｑ ２∨Ｉ
１（４） ～（Ｒ∨Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ） ３∨Ｉ
１（５） （Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ） ４含意の定義
１（６）～（Ｐ→Ｑ）∨（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ５∨Ｉ
１（７） （Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ６含意の定義
（ⅶ）
１（１） ～Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ Ａ
１（２） Ｑ Ａ
１（３） Ｒ∨Ｑ ２∨Ｉ
１（４） ～（Ｒ∨Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ） ３∨Ｉ
１（５） （Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ） ４含意の定義
１（６）～（Ｐ→Ｑ）∨（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ５∨Ｉ
１（７） （Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ６含意の定義
（ⅷ）
１ （１） ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ Ａ
１ （２） ～Ｐ １＆Ｅ
３（３） ～（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） Ａ
３（４） ～（～（Ｒ∨Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）） ３含意の定義
３（５） （Ｒ∨Ｐ）＆～（Ｒ∨Ｑ） ４ド・モルガンの法則
３（６） Ｒ∨Ｐ ５＆Ｅ
３（７） ～（Ｒ∨Ｑ） ５＆Ｅ
３（８） ～Ｒ＆～Ｑ ７ド・モルガンの法則
３（９） ～Ｒ ８＆Ｅ
１３（ア） ～Ｒ＆～Ｐ ２９＆Ｉ
１３（イ） ～（Ｒ∨Ｐ） ア、ド・モルガンの法則
１３（ウ） （Ｒ∨Ｐ）＆～（Ｒ∨Ｐ） ６イ＆Ｉ
１ （エ） ～～（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ３ウＲＡＡ
１ （オ） （（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ＤＮ
１ （カ）～（Ｐ→Ｑ）∨（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） オ∨Ｉ
１ （キ） （Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） カ含意の定義
従って、
（21）により、
（22）
① Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
② Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
③ Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
④ Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
⑤ ～Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
⑥ ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
然るに、
（23）
（ⅰ）
１ （１） （Ｐ→Ｑ）→（ （Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） Ａ
１ （２） ～（Ｐ→Ｑ）∨（ （Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） １含意の定義
１ （３）～（～Ｐ∨Ｑ）∨（ （Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ２含意の定義
１ （４）～（～Ｐ∨Ｑ）∨（～（Ｒ∨Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）） ３含意の定義
５ （５）～（～Ｐ∨Ｑ） Ａ
５ （６） Ｐ＆～Ｑ ５ド・モルガンの法則
５ （７） （Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ） ６∨Ｉ
８ （８） ～（Ｒ∨Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ） Ａ
９ （９） ～（Ｒ∨Ｐ） Ａ
９ （ア） （～Ｒ＆～Ｐ） ９ド・モルガンの法則
９ （イ） （～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ） ア∨Ｉ
ウ（ウ） （Ｒ∨Ｑ） Ａ
ウ（エ） （～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ） ウ∨Ｉ
８ （オ） （～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ） ８９イウエ∨Ｅ
８ （カ） （Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ） オ∨Ｉ
１ （キ） （Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ） １５７８カ∨Ｅ
（ⅱ）
１ （１） （Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ） Ａ
２ （２） （Ｐ＆～Ｑ） Ａ
２ （３）～（～Ｐ∨Ｑ） ２ド・モルガンの法則
２ （４） ～（Ｐ→Ｑ） ３含意の定義
２ （５） ～（Ｐ→Ｑ）∨（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ４∨Ｉ
６ （６） （～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ） Ａ
７ （７） （～Ｒ＆～Ｐ） Ａ
７ （８） ～（Ｒ∨Ｐ） ７ド・モルガンの法則
７ （９） ～（Ｒ∨Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ） ８∨Ｉ
ア（ア） （Ｒ∨Ｑ） Ａ
ア（イ） ～（Ｒ∨Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ） ア∨Ｉ
６ （ウ） ～（Ｒ∨Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ） ６７９アイ∨Ｅ
６ （エ） （（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ウ含意の定義
６ （オ） ～（Ｐ→Ｑ）∨（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） エ∨Ｉ
１ （カ） ～（Ｐ→Ｑ）∨（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） １２５６オ∨Ｅ
１ （キ） （Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） カ含意の定義
従って、
（23）により、
（24）
①（Ｐ→ Ｑ）→（（Ｒ∨ Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
②（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（25）
（Ｒ）に対する「選言導入（ＤＩ）」により、
① Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）
③ Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）
⑤ ～Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）
⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）
という「連式（sequents）」は、４つとも、「妥当」である。
（26）
（Ｑ）に対する「選言導入（ＤＩ）」により、
② Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）
⑥ ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）
という「連式（sequents）」は、２つとも、「妥当」である。
（27）
（Ｐ＆～Ｑ）に対する「選言導入（ＤＩ）」により、
④ Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）
という「連式（sequent）」は、「妥当」である。
（28）
（～Ｒ＆～Ｐ）に対する「選言導入（ＤＩ）」により、
⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）
という「連式（sequent）」は、「妥当」である。
従って、
（24）～（29）により、
（29）
いずれにせよ、
① Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）
② Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）
③ Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）
④ Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）
⑤ ～Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）
⑥ ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）
⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）
⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）
という「連式（sequents）」は、「妥当」である。
従って、
（22）（24）（29）により、
（30）
例えば、「ヒルベルト・アッカーマンの公理（４）」がそうであるように、
（ⅲ）「命題変数（Ｐ，Ｑ，Ｒ）」の「真理値（真偽）」に関わらず、「恒真式（トートロジー）」の「真理値（真偽）」は、「恒に真」である。
従って、
（18）（20）（30）により、
（31）
例えば、「ヒルベルト・アッカーマンの公理（４）」がそうであるように、
（ⅰ）「仮定の個数」が「０個」である所の「論理式」は「恒真式（トートロジー）」である。
（ⅱ）「恒真式（トートロジー）」の「否定」は、「恒偽式（矛盾）」である。
（ⅲ）「命題変数（Ｐ，Ｑ，Ｒ）」の「真理値（真偽）」に関わらず、「恒真式（トートロジー）」の「真理値（真偽）」は、「恒に真」である。
従って、
（14）（31）により、
（32）
例えば、「同一律」と「ヒルベルト・アッカーマンの公理（４）」がそうであるように、
（ⅲ）「命題変数」の「真理値（真偽）」に関わらず、「恒真式（トートロジー）」の「真理値（真偽）」は、「恒に真」である。
従って、
（32）により、
（33）
① Ｐ＆ Ｑ├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
② Ｐ＆～Ｑ├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
③ ～Ｐ＆ Ｑ├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
④ ～Ｐ＆～Ｑ├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
という「連式（Sequents）」が「妥当」であり、
① Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
② Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
③ Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
④ Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
⑤ ～Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
⑥ ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
という「連式（Sequents）」が「妥当」であるからこそ、
「同一律」は、「恒に真」であって、
「ヒルベルト・アッカーマンの公理（４）」も、「恒に真」である。
然るに、
（34）
例えば、
～Ｐ＆Ｑ＆～Ｒ ┤├ ～（～Ｐ→～Ｑ∨Ｒ）
（ⅰ）
１ （１） ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ Ａ
２ （２） ～Ｐ→～Ｑ∨ Ｒ Ａ
１ （３） ～Ｐ １＆Ｅ
１２ （４） ～Ｑ∨ Ｒ ２３ＭＰＰ
５ （５） ～Ｑ Ａ
１ （６） Ｑ １＆Ｅ
１ ５ （７） ～Ｑ＆Ｑ ６７＆Ｉ
５ （８）～（～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ） １７ＲＡＡ
９（９） Ｒ Ａ
１ （ア） ～Ｒ １＆Ｅ
１ ９（イ） Ｒ＆～Ｒ ９ア＆Ｉ
９（ウ）～（～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ） １イＲＡＡ
１２ （エ）～（～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ） ４５８９ウ∨Ｉ
１２ （オ） （～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ）＆
～（～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ） １エ＆Ｉ
１ （カ）～（～Ｐ→～Ｑ∨ Ｒ） ２オＲＡＡ
（ⅱ）
１ （１）～（～Ｐ→～Ｑ∨ Ｒ） Ａ
１ （２）～（ Ｐ∨～Ｑ∨ Ｒ） １含意の定義
３ （３） Ｐ Ａ
３ （４） Ｐ∨～Ｑ ３∨Ｉ
３ （５） Ｐ∨～Ｑ∨ Ｒ ４∨Ｉ
１３ （６）～（ Ｐ∨～Ｑ∨ Ｒ）＆
（ Ｐ∨～Ｑ∨ Ｒ） ２５＆Ｉ
１ （７） ～Ｐ ５６ＲＡＡ
８ （８） ～Ｑ Ａ
８ （９） Ｐ∨～Ｑ ８∨Ｉ
８ （ア） Ｐ∨～Ｑ∨ Ｒ ９∨Ｉ
１ ８ （イ）～（ Ｐ∨～Ｑ∨ Ｒ）＆
（ Ｐ∨～Ｑ∨ Ｒ） ２ア＆Ｉ
１ （ウ） ～～Ｑ ８ＲＡＡ
１ （エ） Ｑ ウＤＮ
オ（オ） Ｒ Ａ
オ（カ） ～Ｑ∨ Ｒ オ∨Ｉ
オ（キ） Ｐ∨～Ｑ∨ Ｒ ∨Ｉ
１ オ（ク）～（ Ｐ∨～Ｑ∨ Ｒ）＆
（ Ｐ∨～Ｑ∨ Ｒ） ２キ＆Ｉ
１ （ケ） ～Ｒ オクＲＡＡ
１ （コ） ～Ｐ＆ Ｑ ７エ＆Ｉ
１ （サ） ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ ケコ＆Ｉ
従って、
（34）により、
（35）
① ～Ｐ＆Ｑ＆～Ｒ
② ～（～Ｐ→～Ｑ∨Ｒ）
に於いて、
①＝② である。
従って、
（35）により、
（36）
例えば、
⑥ ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├ ～（～Ｐ→～Ｑ∨Ｒ）
という「連式（Sequent）」が「妥当」であるため、
⑥ ～（～Ｐ→～Ｑ∨Ｒ）
という「論理式」の「否定」である所の、
⑥ ～Ｐ→～Ｑ∨Ｒ
という「論理式」に関しては、
⑥ ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├ ～Ｐ→～Ｑ∨Ｒ
という「連式」の場合は、
（ⅲ）「命題変数」の「真理値（真偽）」に関わらず、「恒に真」である。
ということには「ならない」。
従って、
（33）（36）により、
（37）
⑥ ～Ｐ→～Ｑ∨Ｒ
という「論理式」は、「恒真式（トートロジー）」ではない。
然るに、
（38）
〈練習問題２〉
仮定がすべて真になり、結論が偽になるような、変数への付値を見出すことによって、つぎの論証のパターンが不妥当（非トートロジー的）であることを示せ。
（E.J.レモン著、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年、１０５頁）
〔私による、解答〕
（ａ）
① Ｐ＆Ｑ→Ｒ├ Ｐ→Ｒ
② Ｐ＆Ｑ→Ｒ├ 真→偽
③ 真＆Ｑ→偽├ 真→偽
④ 真＆偽→偽├ 真→偽
⑤ 偽 →偽├ 偽
⑥ 真 ├ 偽
（ｂ）
① Ｐ→Ｑ∨Ｒ├ Ｐ→Ｑ
② Ｐ→Ｑ∨Ｒ├ 真→偽
③ 真→偽∨Ｒ├ 真→偽
④ 真→偽∨真├ 真→偽
⑤ 真→ 真 ├ 偽
⑥ 真 ├ 偽
（ｃ）
① Ｐ→Ｑ，Ｐ→Ｒ├ Ｑ→Ｒ
② Ｐ→Ｑ，Ｐ→Ｒ├ 真→偽
③ Ｐ→真，Ｐ→偽├ 真→偽
④ 偽→真，偽→偽├ 真→偽
⑤ 真 ， 真 ├ 偽
（ｄ）
① Ｐ→Ｒ，Ｑ→Ｒ├ Ｐ→Ｑ
② Ｐ→Ｒ，Ｑ→Ｒ├ 真→偽
③ 真→Ｒ，偽→Ｒ├ 真→偽
④ 真→真，偽→真├ 真→偽
⑤ 真 ， 真 ├ 偽
（ｅ）
① Ｐ→（Ｑ→Ｒ），Ｑ，～Ｒ├ Ｐ
② Ｐ→（Ｑ→Ｒ），Ｑ，～Ｒ├ 偽
③ 偽→（Ｑ→Ｒ），Ｑ，～Ｒ├ 偽
④ 偽→（真→偽），真，～偽├ 偽
⑤ 偽→偽 ，真，真 ├ 偽
⑥ 真 ，真，真 ├ 偽
（ｆ）
① Ｐ⇔～Ｑ，Ｑ⇔～Ｒ，Ｒ⇔～Ｓ├ Ｐ⇔Ｓ
② Ｐ⇔～Ｑ，Ｑ⇔～Ｒ，Ｒ⇔～Ｓ├ 真⇔偽
③ 真⇔～Ｑ，Ｑ⇔～Ｒ，Ｒ⇔～偽├ 真⇔偽
④ 真⇔～偽，偽⇔～真，真⇔～偽├ 真⇔偽
⑤ 真⇔真 ，偽⇔真 ，真⇔真 ├ 真⇔偽
従って、
従って、
（33）（37）（38）により、
（39）
（Ｐ、Ｑ、Ｒを、変数として持つ所の、任意の論理式Ａ）は、
① Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├（任意の論理式Ａ）
② Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├（任意の論理式Ａ）
③ Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├（任意の論理式Ａ）
④ Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（任意の論理式Ａ）
⑤ ～Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├（任意の論理式Ａ）
⑥ ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├（任意の論理式Ａ）
⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├（任意の論理式Ａ）
⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（任意の論理式Ａ）
であるか、または、「そうではない」。
然るに、
（40）
１ （１） Ｐ→（Ｑ→Ｒ） Ａ
２ （２） Ｐ→ Ｑ Ａ
３（３） Ｐ Ａ
１ ３（４） Ｑ→Ｒ １３ＭＰＰ
２３（５） Ｑ ２３ＭＰＰ
１２３（６） Ｒ ４５ＭＰＰ
１２ （７） Ｐ→Ｒ ３６ＣＰ
１ （８） （Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ） ２７ＣＰ
（９）（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）） １８ＣＰ
であるものの（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））は、「岩波書店、現代論理学入門（1962年）」によると、「ルカジェヴィッツの公理（２）」である。
従って、
（39）（40）により、
（41）
① Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
② Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
③ Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
④ Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
⑤ ～Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
⑥ ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
であるに、「違いない」。
然るに、
（42）
① Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
③ Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
⑤ ～Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
に関しては、「４つまとめて」、
１（１） Ｒ Ａ
１（２） ～Ｐ∨Ｒ １∨Ｉ
１（３） Ｐ→Ｒ ２含意の定義
１（４） ～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｒ） ３∨Ｉ
１（６） （Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ） ４含意の定義
１（７）～（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））∨（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）） ６∨Ｉ
という風に、「証明」出来る。
然るに、
（43）
⑥ ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
に関しては、「２つまとめて」、
１（１） ～Ｐ Ａ
１（２） ～Ｐ∨Ｒ １∨Ｉ
１（３） Ｐ→Ｒ ２含意の定義
１（４） ～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｒ） ３∨Ｉ
１（６） （Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ） ４含意の定義
１（７）～（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））∨（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）） ６∨Ｉ
という風に、「証明」出来る。
然るに、
（44）
② Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
に関しては、
１ （１） Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ Ａ
２（２） Ｐ→（Ｑ→ Ｒ） Ａ
１ （３） Ｐ １＆Ｅ
１２（４） Ｑ→ Ｒ ２３ＭＰＰ
１ （５） Ｑ １＆Ｅ
１２（６） Ｒ ４５ＭＰＰ
１ （７） ～Ｒ １＆Ｅ
１２（８） Ｒ＆～Ｒ ６７＆Ｉ
１ （９）～（Ｐ→（Ｑ→ Ｒ）） ２８ＲＡＡ
１ （ア）～（Ｐ→（Ｑ→ Ｒ））∨（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）） ９∨Ｉ
１ （イ） （Ｐ→（Ｑ→ Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）） ア含意の定義
という風に、「証明」出来る。
然るに、
（45）
④ Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
に関しては、
１ （１） Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ Ａ
２（２） Ｐ→ Ｑ Ａ
１ （３） Ｐ １＆Ｅ
１２（４） Ｑ ２３ＭＰＰ
１ （５） ～Ｑ １＆Ｅ
１２（６） Ｑ＆～Ｑ ４５＆Ｉ
１ （７） ～（Ｐ→Ｑ） ２６ＲＡＡ
１ （８） ～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｒ） ７∨Ｉ
１ （９） （Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ） ８含意の定義
１ （ア）～（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））∨（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）） ９∨Ｉ
１ （イ） （Ｐ→（Ｑ→Ｒ））∨（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）） ア含意の定義
従って、
（41）～（45）により、
（46）
果たして、
① Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
② Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
③ Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
④ Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
⑤ ～Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
⑥ ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
という「連式（Sequents）」は「妥当」である。
従って、
（32）（33）（46）により、
（47）
① Ｐ＆ Ｑ├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
② Ｐ＆～Ｑ├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
③ ～Ｐ＆ Ｑ├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
④ ～Ｐ＆～Ｑ├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
という「連式（Sequents）」が「（４つとも）妥当」であり、
① Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
② Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
③ Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
④ Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
⑤ ～Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
⑥ ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
という「連式（Sequents）」が「（８つとも）妥当」であり、
① Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
② Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
③ Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
④ Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
⑤ ～Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
⑥ ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
という「連式（Sequents）」が「（８つとも）妥当」であるからこそ、
「同一律（Law of identity）」は「恒真式（トートロジー）」であって、
「ヒルベルト・アッカーマンの公理（４）」は「恒真式（トートロジー）」であって、
「ルカジェヴィッツの公理（２）」は「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（48）
１ （１） ～（Ｐ∨～Ｐ） Ａ
２（２） Ｐ Ａ
２（３） Ｐ∨～Ｐ ２∨Ｉ
１２（４） ～（Ｐ∨～Ｐ）＆
（Ｐ∨～Ｐ） １３＆Ｉ
１ （５） ～Ｐ ２４ＲＡＡ
１ （６） Ｐ∨～Ｐ ５∨Ｉ
１ （７） ～（Ｐ∨～Ｐ）＆
（Ｐ∨～Ｐ） １６＆Ｉ
（８）～～（Ｐ∨～Ｐ） １７ＲＡＡ
（９） Ｐ∨～Ｐ ８ＤＮ
従って、
（47）（48）により、
（49）
（１） Ｐ∨～Ｐ ＴＩ（排中律）
（２） Ｑ∨～Ｑ ＴＩ（排中律）
３ （３） Ｐ Ａ
４ （４） Ｑ Ａ
３４ （５） Ｐ＆ Ｑ ３４＆Ｉ
３４ （６） Ｑ ５＆Ｅ
３４ （７） ～Ｐ∨Ｑ ６∨Ｉ
３４ （８） Ｐ→Ｑ ７含意の定義
３４ （９）～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ） ８∨Ｉ
ア （ア） ～Ｑ Ａ
３ ア （イ） Ｐ＆～Ｑ ３ア＆Ｉ
ウ （ウ） Ｐ→ Ｑ Ａ
３ ア （エ） Ｐ イ＆Ｅ
３ アウ （オ） Ｑ ウエＭＰＰ
３ ア （カ） ～Ｑ イ＆Ｅ
３ アウ （キ） Ｑ＆～Ｑ オカ＆Ｉ
３ ア （ク）～（Ｐ→Ｑ） ウキＲＡＡ
３ ア （ケ）～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ） ク∨Ｉ
３ （コ）～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ） ２４９アケ∨Ｅ
サ （サ） ～Ｐ Ａ
４ サ （シ） ～Ｐ＆ Ｑ ４サ＆Ｉ
４ サ （ス） ～Ｐ シ＆Ｅ
４ サ （セ） ～Ｐ∨Ｑ ス∨Ｉ
４ サ （ソ） Ｐ→Ｑ セ含意の定義
４ サ （タ）～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ） ソ∨Ｉ
ア サ （ツ） ～Ｐ＆～Ｑ アサ＆Ｉ
ア サ （テ） ～Ｐ ツ＆Ｅ
ア サ （ト） ～Ｐ∨Ｑ テ∨Ｉ
ア サ （ナ） Ｐ→Ｑ ト含意の定義
ア サ （ニ）～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ） ナ∨Ｉ
サ （ヌ）～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ） ２４タアニ∨Ｅ
（ネ）～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ） １３コサヌ∨Ｅ
（ノ） （Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ） ネ含意の定義
従って、
（49）により、
（50）
（１）Ｐ∨～Ｐ ＴＩ（排中律）
（２）Ｑ∨～Ｑ ＴＩ（排中律）
３ （３）Ｐ Ａ
４ （４） ～Ｐ Ａ
５ （５）Ｑ Ａ
６（６） ～Ｑ Ａ
３ ５ （７）（任意の恒真式） ３５ＳＩ（ⅰ）
３ ６（８）（任意の恒真式） ３６ＳＩ（ⅱ）
４５ （９）（任意の恒真式） ３７ＳＩ（ⅲ）
４ ６（ア）（任意の恒真式） ３８ＳＩ（ⅳ）
５ （イ）（任意の恒真式） １３７４９∨Ｅ
６（ウ）（任意の恒真式） １３８４ア∨Ｅ
（エ）（任意の恒真式） ２５イ６ウ∨Ｅ
という「計算」により、例えば、
① Ｐ＆ Ｑ├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
② Ｐ＆～Ｑ├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
③ ～Ｐ＆ Ｑ├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
④ ～Ｐ＆～Ｑ├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
という「連式」は、
①├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
という「連式」に「書き換える」ことが出来る。
従って、
（47）～（50）により、
（51）
（１）Ｐ∨～Ｐ ＴＩ（排中律）
（２）Ｑ∨～Ｑ ＴＩ（排中律）
（３）Ｒ∨～Ｒ ＴＩ（排中律）
によって、例えば、
① Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
② Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
③ Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
④ Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
⑤ ～Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
⑥ ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
という「連式」は、
①├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
という「連式」に「書き換える」ことが出来る。
従って、
（51）により、
（52）
（Ｐ、Ｑ、Ｒを、変数として持つ所の、任意の論理式Ａ）に対して、
① Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├（任意の論理式Ａ）
② Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├（任意の論理式Ａ）
③ Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├（任意の論理式Ａ）
④ Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（任意の論理式Ａ）
⑤ ～Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├（任意の論理式Ａ）
⑥ ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├（任意の論理式Ａ）
⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├（任意の論理式Ａ）
⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（任意の論理式Ａ）
という「連式（Sequents）」が「（８つとも）妥当」であるならば、
①├（任意の論理式Ａ）
という「連式」に「書き換える」ことが出来る。
従って、
（16）（40）（52）により、
（53）
①├（任意の論理式Ａ）
という「連式（Sequents）」が、
②├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
③├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
という「連式」であるならば、これらの「連式」は、
② Ｐ→Ｑ，Ｒ∨Ｐ├ Ｒ∨Ｑ
③ Ｐ→（Ｑ→Ｒ），Ｐ→Ｑ├ Ｐ→Ｒ
という「連式」に「書き換える」ことが出来るものの、「これらの連式」は、「妥当」である。
従って、
（51）（52）（53）により、
（54）
① Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├（任意の論理式Ａ）
② Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├（任意の論理式Ａ）
③ Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├（任意の論理式Ａ）
④ Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（任意の論理式Ａ）
⑤ ～Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├（任意の論理式Ａ）
⑥ ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├（任意の論理式Ａ）
⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├（任意の論理式Ａ）
⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（任意の論理式Ａ）
の中の、「一つの例（instance）」として、
① Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
② Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
③ Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
④ Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
⑤ ～Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
⑥ ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
といふ「連式（Sequents）」が「妥当」であるが故に、
② ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
② Ｐ→Ｑ，Ｒ∨Ｐ├ Ｒ∨Ｑ
という「連式（ヒルベルト・アッカーマンの公理４）」が「妥当」となる。
令和６年２月１３日、毛利太。
１ （１）Ｐ→Ｑ Ａ
２（２）Ｐ Ａ
１２（３） Ｑ １ＭＰＰ
という「計算」に於ける、
① Ｐ→Ｑ
② Ｐ
③ Ｑ
という「論理式」に於いて、
① は「仮定」により「真」であり、
② も「仮定」により「真」であり、
③ は『規則』により「真」である。
然るに、
（01）により、
（02）
１ （１） Ｐ→Ｑ Ａ
２（２） Ｐ Ａ
１２（３） Ｑ １ＭＰＰ
１ （４） Ｐ→Ｑ ２３ＣＰ
（５）（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ） １４ＣＰ
という「計算」は「妥当」であり、それ故、
① Ｐ→Ｑ，Ｐ├ Ｑ
② Ｐ→Ｑ├ Ｐ→Ｑ
③ ├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
という「連式（Sequents）」は、「妥当」ある。
然るに、
（03）
③├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
に於ける、
③ （Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
という「論式」は、「同一律（の代入例）」であって、「同一律」は、「恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（01）（02）（03）により、
（04）
例えば、「同一律」がそうであるように、
③├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
という風に、
（ⅰ）「仮定の個数」が「０個」である所の「論理式」は「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（05）
１（１） ～｛（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）｝ Ａ
１（２）～｛～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ）｝ １含意の定義
１（３） （Ｐ→Ｑ）＆～（Ｐ→Ｑ） ２ド・モルガンの法則
１（４） （Ｐ→Ｑ） ３＆Ｅ
１（５） ～（Ｐ→Ｑ） ３＆Ｅ
１（６） ～（～Ｐ∨Ｑ） ５含意の定義
１（７） Ｐ＆～Ｑ ６ド・モルガンの法則
１（８） Ｐ ７＆Ｅ
１（９） Ｑ ４８ＭＰＰ
１（ア） ～Ｑ ７＆Ｅ
１（イ） Ｑ＆～Ｑ ８９＆Ｉ
（ウ）～～｛（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）｝ １ＲＡＡ
（エ） （Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ） ウＤＮ
従って、
（04）（05）により、
（06）
例えば、「同一律」がそうであるように、
（ⅱ）「恒真式（トートロジー）」の「否定」は、「恒偽式（矛盾）」である。
然るに、
（07）
（ⅰ）
１（１） Ｐ＆Ｑ Ａ
１（２） Ｑ １＆Ｅ
１（３） ～Ｐ∨Ｑ ２∨Ｉ
１（４） Ｐ→Ｑ ３含意の定義
１（５）～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ） ４∨Ｉ
１（６） （Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ） ５含意の定義
（ⅱ）
１ （１） Ｐ＆～Ｑ Ａ
２（２） Ｐ→ Ｑ Ａ
１ （３） Ｐ １＆Ｅ
１２（４） Ｑ ２３ＭＰＰ
１ （５） ～Ｑ １＆Ｅ
１２（６） Ｑ＆～Ｑ ４５＆Ｉ
１ （７）～（Ｐ→Ｑ） ２６ＲＡＡ
１ （８）～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ） ７∨Ｉ
１ （９） （Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ） ８含意の定義
（ⅲ）
１（１） ～Ｐ＆Ｑ Ａ
１（２） ～Ｐ １＆Ｅ
１（３） ～Ｐ∨Ｑ ２∨Ｉ
１（４） Ｐ→Ｑ ３含意の定義
１（５）～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ） ４∨Ｉ
１（６） （Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ） ５含意の定義
（ⅳ）
１（１） ～Ｐ＆～Ｑ Ａ
１（２） ～Ｐ １＆Ｅ
１（３） ～Ｐ∨Ｑ ２∨Ｉ
１（４） Ｐ→Ｑ ３含意の定義
１（５）～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ） ４∨Ｉ
１（６） （Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ） ５含意の定義
従って、
（07）により、
（08）
① Ｐ＆ Ｑ├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
② Ｐ＆～Ｑ├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
③ ～Ｐ＆ Ｑ├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
④ ～Ｐ＆～Ｑ├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
然るに、
（09）
（ⅰ）
１ （１） （Ｐ→Ｑ）→ （Ｐ→Ｑ） Ａ
１ （２） ～（Ｐ→Ｑ）∨ （Ｐ→Ｑ） １含意の定義
１ （３）～（～Ｐ∨Ｑ）∨ （Ｐ→Ｑ） ２含意の定義
４ （４）～（～Ｐ∨Ｑ） Ａ
４ （５） Ｐ＆～Ｑ ４含意の定義
４ （６） （Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｐ∨Ｑ） ５∨Ｉ
７（７） （Ｐ→Ｑ） Ａ
７（８） ～Ｐ∨Ｑ ７含意の定義
７（９） （Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｐ∨Ｑ） ８∨Ｉ
１ （ア） （Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｐ∨Ｑ） １４６７９∨Ｅ
（ⅱ）
１ （１） （Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｐ∨Ｑ） Ａ
２ （２） （Ｐ＆～Ｑ） Ａ
２ （３）～（～Ｐ∨Ｑ） ２ド・モルガンの法則
２ （４） ～（Ｐ→Ｑ） ３含意の定義
２ （５） ～（Ｐ→Ｑ）∨ （Ｐ→Ｑ） ５∨Ｉ
６（６） （～Ｐ∨Ｑ） Ａ
６（７） （Ｐ→Ｑ） ６含意の定義
６（８） ～（Ｐ→Ｑ）∨ （Ｐ→Ｑ） ∨Ｉ
１ （９） ～（Ｐ→Ｑ）∨ （Ｐ→Ｑ） １２５６８∨Ｅ
１ （ア） （Ｐ→Ｑ）→ （Ｐ→Ｑ） ９含意の定義
従って、
（09）により、
（10）
①（Ｐ→ Ｑ）→（ Ｐ→Ｑ）
②（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｐ∨Ｑ）
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（11）
『選言導入（∨Ｉ）』により、
① Ｐ＆ Ｑ├（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｐ∨Ｑ）
② Ｐ＆～Ｑ├（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｐ∨Ｑ）
③ ～Ｐ＆ Ｑ├（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｐ∨Ｑ）
④ ～Ｐ＆～Ｑ├（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｐ∨Ｑ）
という「連式（Sequents）」が「妥当」であることは、「計算」をしなくとも、「明白」である。
従って、
（08）～（11）により、
（12）
いずれにせよ、
① Ｐ＆ Ｑ├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
② Ｐ＆～Ｑ├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
③ ～Ｐ＆ Ｑ├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
④ ～Ｐ＆～Ｑ├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
という「連式（Sequents）」は、「妥当」ある。
従って、
（12）により、
（13）
例えば、「同一律」がそうであるように、
（ⅲ）「命題変数（Ｐ，Ｑ）」の「真理値（真偽）」に関わらず、「恒真式（トートロジー）」の「真理値（真偽）」は、「恒に真」である。
従って、
（04）（06）（13）により、
（14）
例えば、「同一律」がそうであるように、
（ⅰ）「仮定の個数」が「０個」である所の「論理式」は「恒真式（トートロジー）」である。
（ⅱ）「恒真式（トートロジー）」の「否定」は、「恒偽式（矛盾）」である。
（ⅲ）「命題変数（Ｐ，Ｑ）」の「真理値（真偽）」に関わらず、「恒真式（トートロジー）」の「真理値（真偽）」は、「恒に真」である。
―「命題変数」が「３個（Ｐ，Ｑ，Ｒ）」になっただけで、「同じこと」の「繰り返し」です。―
然るに、
（15）
１ （１） Ｐ→Ｑ Ａ
２ （２） Ｒ∨Ｐ Ａ
３ （３） Ｒ Ａ
３ （４） Ｒ∨Ｑ ３∨Ｉ
５（５） Ｐ Ａ
１ ５（６） Ｑ １５ＭＰＰ
１ ５（７） Ｒ∨Ｑ ６∨Ｉ
１２ （８） Ｒ∨Ｑ ２３４５７∨Ｅ
という「計算」に於ける、
① Ｐ→Ｑ
② Ｒ∨Ｐ
③ Ｒ∨Ｑ
という「論理式」に於いて、
① は「仮定」により「真」であり、
② も「仮定」により「真」であり、
③ は『規則』により「真」である。
従って、
（15）により、
（16）
１ （１） Ｐ→Ｑ Ａ
２ （２） Ｒ∨Ｐ Ａ
３ （３） Ｒ Ａ
３ （４） Ｒ∨Ｑ ３∨Ｉ
５（５） Ｐ Ａ
１ ５（６） Ｑ １５ＭＰＰ
１ ５（７） Ｒ∨Ｑ ６∨Ｉ
１２ （８） Ｒ∨Ｑ ２３４５７∨Ｅ
１ （９）（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ） ２８ＣＰ
（ア）（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） １９ＣＰ
という「計算」は「妥当」であり、それ故、
① Ｐ→Ｑ，Ｒ∨Ｐ├ Ｒ∨Ｑ
② Ｐ→Ｑ├（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）
③ ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
という「連式（Sequents）」は、「妥当」ある。
然るに、
（16）により、
（17）
③├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
に於ける、
③ （Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
という「論式」は、「ヒルベルト・アッカーマンの公理（４）」であって、「ヒルベルト・アッカーマンの公理（４）」は、「恒真式（トートロジー）である。
従って、
（15）（16）（17）により、
（18）
③├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
という風に、
例えば、「ヒルベルト・アッカーマンの公理（４）」がそうであるように、
（ⅰ）「仮定の個数」が「０個」である所の「論理式」は「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（19）
１（１） ～（（ Ｐ→Ｑ）→ （（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））） Ａ
１（２） ～（（～Ｐ∨Ｑ）→ （（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））） １含意の定義
１（３）～（～（～Ｐ∨Ｑ）∨ （（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））） ２含意の定義
１（４）～（～（～Ｐ∨Ｑ）∨ （～（Ｒ∨Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ））） ３含意の定義
１（５） （～Ｐ∨Ｑ）＆～（～（Ｒ∨Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）） ４ド・モルガンの法則
１（６） （～Ｐ∨Ｑ） ５＆Ｅ
１（７） ～（～（Ｒ∨Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）） ５＆Ｅ
１（８） （Ｒ∨Ｐ）＆～（Ｒ∨Ｑ） ７ド・モルガンの法則
１（９） Ｒ∨Ｐ ８＆Ｅ
１（ア） ～（Ｒ∨Ｑ） ８＆Ｅ
１（イ） ～Ｒ＆～Ｑ ア、ド・モルガンの法則
１（ウ） ～Ｒ イ＆Ｅ
１（エ） ～Ｑ イ＆Ｅ
１（オ） Ｐ→Ｑ ６含意の定義
１（カ） ～Ｐ エオＭＴＴ
１（キ） ～Ｒ＆～Ｐ ウカ＆Ｉ
１（ク） ～（Ｒ∨Ｐ） キ、ド・モルガンの法則
１（ケ） ～（Ｒ∨Ｐ）＆（Ｒ∨Ｐ） ９ク＆Ｉ
従って、
（18）（19）により、
（20）
例えば、「ヒルベルト・アッカーマンの公理（４）」がそうであるように、
（ⅱ）「恒真式（トートロジー）」の「否定」は、「恒偽式（矛盾）」である。
然るに、
（21）
１（１） Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ Ａ
１（２） Ｒ Ａ
１（３） Ｒ∨Ｑ ２∨Ｉ
１（４） ～（Ｒ∨Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ） ３∨Ｉ
１（５） （Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ） ４含意の定義
１（６）～（Ｐ→Ｑ）∨（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ５∨Ｉ
１（７） （Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ６含意の定義
（ⅱ）
１（１） Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ Ａ
１（２） Ｑ Ａ
１（３） Ｒ∨Ｑ ２∨Ｉ
１（４） ～（Ｒ∨Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ） ３∨Ｉ
１（５） （Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ） ４含意の定義
１（６）～（Ｐ→Ｑ）∨（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ５∨Ｉ
１（７） （Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ６含意の定義
（ⅲ）
（ⅰ）
１（１） Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ Ａ
１（２） Ｒ Ａ
１（３） Ｒ∨Ｑ ２∨Ｉ
１（４） ～（Ｒ∨Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ） ３∨Ｉ
１（５） （Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ） ４含意の定義
１（６）～（Ｐ→Ｑ）∨（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ５∨Ｉ
１（７） （Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ６含意の定義
（ⅳ）
１ （１） Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ Ａ
２（２） Ｐ→ Ｑ Ａ
１ （３） Ｐ １＆Ｅ
１２（４） Ｑ ２３ＭＰＰ
１ （５） ～Ｑ １＆Ｅ
１２（６） Ｑ＆～Ｑ ４５＆Ｉ
１ （７）～（Ｐ→Ｑ） ２６ＲＡＡ
１ （８）～（Ｐ→Ｑ）∨（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ７∨Ｉ
１ （９）（ Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） １含意の定義
（ⅴ）
１（１） ～Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ Ａ
１（２） Ｑ Ａ
１（３） Ｒ∨Ｑ ２∨Ｉ
１（４） ～（Ｒ∨Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ） ３∨Ｉ
１（５） （Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ） ４含意の定義
１（６）～（Ｐ→Ｑ）∨（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ５∨Ｉ
１（７） （Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ６含意の定義
（ⅵ）
１（１） ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ Ａ
１（２） Ｑ Ａ
１（３） Ｒ∨Ｑ ２∨Ｉ
１（４） ～（Ｒ∨Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ） ３∨Ｉ
１（５） （Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ） ４含意の定義
１（６）～（Ｐ→Ｑ）∨（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ５∨Ｉ
１（７） （Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ６含意の定義
１（３） Ｒ∨Ｑ ２∨Ｉ
１（４） ～（Ｒ∨Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ） ３∨Ｉ
１（５） （Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ） ４含意の定義
１（６）～（Ｐ→Ｑ）∨（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ５∨Ｉ
１（７） （Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ６含意の定義
（ⅶ）
１（１） ～Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ Ａ
１（２） Ｑ Ａ
１（３） Ｒ∨Ｑ ２∨Ｉ
１（４） ～（Ｒ∨Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ） ３∨Ｉ
１（５） （Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ） ４含意の定義
１（６）～（Ｐ→Ｑ）∨（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ５∨Ｉ
１（７） （Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ６含意の定義
（ⅷ）
１ （１） ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ Ａ
１ （２） ～Ｐ １＆Ｅ
３（３） ～（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） Ａ
３（４） ～（～（Ｒ∨Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）） ３含意の定義
３（５） （Ｒ∨Ｐ）＆～（Ｒ∨Ｑ） ４ド・モルガンの法則
３（６） Ｒ∨Ｐ ５＆Ｅ
３（７） ～（Ｒ∨Ｑ） ５＆Ｅ
３（８） ～Ｒ＆～Ｑ ７ド・モルガンの法則
３（９） ～Ｒ ８＆Ｅ
１３（ア） ～Ｒ＆～Ｐ ２９＆Ｉ
１３（イ） ～（Ｒ∨Ｐ） ア、ド・モルガンの法則
１３（ウ） （Ｒ∨Ｐ）＆～（Ｒ∨Ｐ） ６イ＆Ｉ
１ （エ） ～～（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ３ウＲＡＡ
１ （オ） （（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ＤＮ
１ （カ）～（Ｐ→Ｑ）∨（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） オ∨Ｉ
１ （キ） （Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） カ含意の定義
従って、
（21）により、
（22）
① Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
② Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
③ Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
④ Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
⑤ ～Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
⑥ ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
然るに、
（23）
（ⅰ）
１ （１） （Ｐ→Ｑ）→（ （Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） Ａ
１ （２） ～（Ｐ→Ｑ）∨（ （Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） １含意の定義
１ （３）～（～Ｐ∨Ｑ）∨（ （Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ２含意の定義
１ （４）～（～Ｐ∨Ｑ）∨（～（Ｒ∨Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）） ３含意の定義
５ （５）～（～Ｐ∨Ｑ） Ａ
５ （６） Ｐ＆～Ｑ ５ド・モルガンの法則
５ （７） （Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ） ６∨Ｉ
８ （８） ～（Ｒ∨Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ） Ａ
９ （９） ～（Ｒ∨Ｐ） Ａ
９ （ア） （～Ｒ＆～Ｐ） ９ド・モルガンの法則
９ （イ） （～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ） ア∨Ｉ
ウ（ウ） （Ｒ∨Ｑ） Ａ
ウ（エ） （～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ） ウ∨Ｉ
８ （オ） （～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ） ８９イウエ∨Ｅ
８ （カ） （Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ） オ∨Ｉ
１ （キ） （Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ） １５７８カ∨Ｅ
（ⅱ）
１ （１） （Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ） Ａ
２ （２） （Ｐ＆～Ｑ） Ａ
２ （３）～（～Ｐ∨Ｑ） ２ド・モルガンの法則
２ （４） ～（Ｐ→Ｑ） ３含意の定義
２ （５） ～（Ｐ→Ｑ）∨（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ４∨Ｉ
６ （６） （～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ） Ａ
７ （７） （～Ｒ＆～Ｐ） Ａ
７ （８） ～（Ｒ∨Ｐ） ７ド・モルガンの法則
７ （９） ～（Ｒ∨Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ） ８∨Ｉ
ア（ア） （Ｒ∨Ｑ） Ａ
ア（イ） ～（Ｒ∨Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ） ア∨Ｉ
６ （ウ） ～（Ｒ∨Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ） ６７９アイ∨Ｅ
６ （エ） （（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ウ含意の定義
６ （オ） ～（Ｐ→Ｑ）∨（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） エ∨Ｉ
１ （カ） ～（Ｐ→Ｑ）∨（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） １２５６オ∨Ｅ
１ （キ） （Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） カ含意の定義
従って、
（23）により、
（24）
①（Ｐ→ Ｑ）→（（Ｒ∨ Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
②（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（25）
（Ｒ）に対する「選言導入（ＤＩ）」により、
① Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）
③ Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）
⑤ ～Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）
⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）
という「連式（sequents）」は、４つとも、「妥当」である。
（26）
（Ｑ）に対する「選言導入（ＤＩ）」により、
② Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）
⑥ ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）
という「連式（sequents）」は、２つとも、「妥当」である。
（27）
（Ｐ＆～Ｑ）に対する「選言導入（ＤＩ）」により、
④ Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）
という「連式（sequent）」は、「妥当」である。
（28）
（～Ｒ＆～Ｐ）に対する「選言導入（ＤＩ）」により、
⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）
という「連式（sequent）」は、「妥当」である。
従って、
（24）～（29）により、
（29）
いずれにせよ、
① Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）
② Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）
③ Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）
④ Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）
⑤ ～Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）
⑥ ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）
⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）
⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）
という「連式（sequents）」は、「妥当」である。
従って、
（22）（24）（29）により、
（30）
例えば、「ヒルベルト・アッカーマンの公理（４）」がそうであるように、
（ⅲ）「命題変数（Ｐ，Ｑ，Ｒ）」の「真理値（真偽）」に関わらず、「恒真式（トートロジー）」の「真理値（真偽）」は、「恒に真」である。
従って、
（18）（20）（30）により、
（31）
例えば、「ヒルベルト・アッカーマンの公理（４）」がそうであるように、
（ⅰ）「仮定の個数」が「０個」である所の「論理式」は「恒真式（トートロジー）」である。
（ⅱ）「恒真式（トートロジー）」の「否定」は、「恒偽式（矛盾）」である。
（ⅲ）「命題変数（Ｐ，Ｑ，Ｒ）」の「真理値（真偽）」に関わらず、「恒真式（トートロジー）」の「真理値（真偽）」は、「恒に真」である。
従って、
（14）（31）により、
（32）
例えば、「同一律」と「ヒルベルト・アッカーマンの公理（４）」がそうであるように、
（ⅲ）「命題変数」の「真理値（真偽）」に関わらず、「恒真式（トートロジー）」の「真理値（真偽）」は、「恒に真」である。
従って、
（32）により、
（33）
① Ｐ＆ Ｑ├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
② Ｐ＆～Ｑ├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
③ ～Ｐ＆ Ｑ├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
④ ～Ｐ＆～Ｑ├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
という「連式（Sequents）」が「妥当」であり、
① Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
② Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
③ Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
④ Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
⑤ ～Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
⑥ ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
という「連式（Sequents）」が「妥当」であるからこそ、
「同一律」は、「恒に真」であって、
「ヒルベルト・アッカーマンの公理（４）」も、「恒に真」である。
然るに、
（34）
例えば、
～Ｐ＆Ｑ＆～Ｒ ┤├ ～（～Ｐ→～Ｑ∨Ｒ）
（ⅰ）
１ （１） ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ Ａ
２ （２） ～Ｐ→～Ｑ∨ Ｒ Ａ
１ （３） ～Ｐ １＆Ｅ
１２ （４） ～Ｑ∨ Ｒ ２３ＭＰＰ
５ （５） ～Ｑ Ａ
１ （６） Ｑ １＆Ｅ
１ ５ （７） ～Ｑ＆Ｑ ６７＆Ｉ
５ （８）～（～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ） １７ＲＡＡ
９（９） Ｒ Ａ
１ （ア） ～Ｒ １＆Ｅ
１ ９（イ） Ｒ＆～Ｒ ９ア＆Ｉ
９（ウ）～（～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ） １イＲＡＡ
１２ （エ）～（～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ） ４５８９ウ∨Ｉ
１２ （オ） （～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ）＆
～（～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ） １エ＆Ｉ
１ （カ）～（～Ｐ→～Ｑ∨ Ｒ） ２オＲＡＡ
（ⅱ）
１ （１）～（～Ｐ→～Ｑ∨ Ｒ） Ａ
１ （２）～（ Ｐ∨～Ｑ∨ Ｒ） １含意の定義
３ （３） Ｐ Ａ
３ （４） Ｐ∨～Ｑ ３∨Ｉ
３ （５） Ｐ∨～Ｑ∨ Ｒ ４∨Ｉ
１３ （６）～（ Ｐ∨～Ｑ∨ Ｒ）＆
（ Ｐ∨～Ｑ∨ Ｒ） ２５＆Ｉ
１ （７） ～Ｐ ５６ＲＡＡ
８ （８） ～Ｑ Ａ
８ （９） Ｐ∨～Ｑ ８∨Ｉ
８ （ア） Ｐ∨～Ｑ∨ Ｒ ９∨Ｉ
１ ８ （イ）～（ Ｐ∨～Ｑ∨ Ｒ）＆
（ Ｐ∨～Ｑ∨ Ｒ） ２ア＆Ｉ
１ （ウ） ～～Ｑ ８ＲＡＡ
１ （エ） Ｑ ウＤＮ
オ（オ） Ｒ Ａ
オ（カ） ～Ｑ∨ Ｒ オ∨Ｉ
オ（キ） Ｐ∨～Ｑ∨ Ｒ ∨Ｉ
１ オ（ク）～（ Ｐ∨～Ｑ∨ Ｒ）＆
（ Ｐ∨～Ｑ∨ Ｒ） ２キ＆Ｉ
１ （ケ） ～Ｒ オクＲＡＡ
１ （コ） ～Ｐ＆ Ｑ ７エ＆Ｉ
１ （サ） ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ ケコ＆Ｉ
従って、
（34）により、
（35）
① ～Ｐ＆Ｑ＆～Ｒ
② ～（～Ｐ→～Ｑ∨Ｒ）
に於いて、
①＝② である。
従って、
（35）により、
（36）
例えば、
⑥ ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├ ～（～Ｐ→～Ｑ∨Ｒ）
という「連式（Sequent）」が「妥当」であるため、
⑥ ～（～Ｐ→～Ｑ∨Ｒ）
という「論理式」の「否定」である所の、
⑥ ～Ｐ→～Ｑ∨Ｒ
という「論理式」に関しては、
⑥ ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├ ～Ｐ→～Ｑ∨Ｒ
という「連式」の場合は、
（ⅲ）「命題変数」の「真理値（真偽）」に関わらず、「恒に真」である。
ということには「ならない」。
従って、
（33）（36）により、
（37）
⑥ ～Ｐ→～Ｑ∨Ｒ
という「論理式」は、「恒真式（トートロジー）」ではない。
然るに、
（38）
〈練習問題２〉
仮定がすべて真になり、結論が偽になるような、変数への付値を見出すことによって、つぎの論証のパターンが不妥当（非トートロジー的）であることを示せ。
（E.J.レモン著、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年、１０５頁）
〔私による、解答〕
（ａ）
① Ｐ＆Ｑ→Ｒ├ Ｐ→Ｒ
② Ｐ＆Ｑ→Ｒ├ 真→偽
③ 真＆Ｑ→偽├ 真→偽
④ 真＆偽→偽├ 真→偽
⑤ 偽 →偽├ 偽
⑥ 真 ├ 偽
（ｂ）
① Ｐ→Ｑ∨Ｒ├ Ｐ→Ｑ
② Ｐ→Ｑ∨Ｒ├ 真→偽
③ 真→偽∨Ｒ├ 真→偽
④ 真→偽∨真├ 真→偽
⑤ 真→ 真 ├ 偽
⑥ 真 ├ 偽
（ｃ）
① Ｐ→Ｑ，Ｐ→Ｒ├ Ｑ→Ｒ
② Ｐ→Ｑ，Ｐ→Ｒ├ 真→偽
③ Ｐ→真，Ｐ→偽├ 真→偽
④ 偽→真，偽→偽├ 真→偽
⑤ 真 ， 真 ├ 偽
（ｄ）
① Ｐ→Ｒ，Ｑ→Ｒ├ Ｐ→Ｑ
② Ｐ→Ｒ，Ｑ→Ｒ├ 真→偽
③ 真→Ｒ，偽→Ｒ├ 真→偽
④ 真→真，偽→真├ 真→偽
⑤ 真 ， 真 ├ 偽
（ｅ）
① Ｐ→（Ｑ→Ｒ），Ｑ，～Ｒ├ Ｐ
② Ｐ→（Ｑ→Ｒ），Ｑ，～Ｒ├ 偽
③ 偽→（Ｑ→Ｒ），Ｑ，～Ｒ├ 偽
④ 偽→（真→偽），真，～偽├ 偽
⑤ 偽→偽 ，真，真 ├ 偽
⑥ 真 ，真，真 ├ 偽
（ｆ）
① Ｐ⇔～Ｑ，Ｑ⇔～Ｒ，Ｒ⇔～Ｓ├ Ｐ⇔Ｓ
② Ｐ⇔～Ｑ，Ｑ⇔～Ｒ，Ｒ⇔～Ｓ├ 真⇔偽
③ 真⇔～Ｑ，Ｑ⇔～Ｒ，Ｒ⇔～偽├ 真⇔偽
④ 真⇔～偽，偽⇔～真，真⇔～偽├ 真⇔偽
⑤ 真⇔真 ，偽⇔真 ，真⇔真 ├ 真⇔偽
従って、
従って、
（33）（37）（38）により、
（39）
（Ｐ、Ｑ、Ｒを、変数として持つ所の、任意の論理式Ａ）は、
① Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├（任意の論理式Ａ）
② Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├（任意の論理式Ａ）
③ Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├（任意の論理式Ａ）
④ Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（任意の論理式Ａ）
⑤ ～Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├（任意の論理式Ａ）
⑥ ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├（任意の論理式Ａ）
⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├（任意の論理式Ａ）
⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（任意の論理式Ａ）
であるか、または、「そうではない」。
然るに、
（40）
１ （１） Ｐ→（Ｑ→Ｒ） Ａ
２ （２） Ｐ→ Ｑ Ａ
３（３） Ｐ Ａ
１ ３（４） Ｑ→Ｒ １３ＭＰＰ
２３（５） Ｑ ２３ＭＰＰ
１２３（６） Ｒ ４５ＭＰＰ
１２ （７） Ｐ→Ｒ ３６ＣＰ
１ （８） （Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ） ２７ＣＰ
（９）（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）） １８ＣＰ
であるものの（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））は、「岩波書店、現代論理学入門（1962年）」によると、「ルカジェヴィッツの公理（２）」である。
従って、
（39）（40）により、
（41）
① Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
② Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
③ Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
④ Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
⑤ ～Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
⑥ ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
であるに、「違いない」。
然るに、
（42）
① Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
③ Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
⑤ ～Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
に関しては、「４つまとめて」、
１（１） Ｒ Ａ
１（２） ～Ｐ∨Ｒ １∨Ｉ
１（３） Ｐ→Ｒ ２含意の定義
１（４） ～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｒ） ３∨Ｉ
１（６） （Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ） ４含意の定義
１（７）～（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））∨（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）） ６∨Ｉ
という風に、「証明」出来る。
然るに、
（43）
⑥ ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
に関しては、「２つまとめて」、
１（１） ～Ｐ Ａ
１（２） ～Ｐ∨Ｒ １∨Ｉ
１（３） Ｐ→Ｒ ２含意の定義
１（４） ～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｒ） ３∨Ｉ
１（６） （Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ） ４含意の定義
１（７）～（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））∨（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）） ６∨Ｉ
という風に、「証明」出来る。
然るに、
（44）
② Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
に関しては、
１ （１） Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ Ａ
２（２） Ｐ→（Ｑ→ Ｒ） Ａ
１ （３） Ｐ １＆Ｅ
１２（４） Ｑ→ Ｒ ２３ＭＰＰ
１ （５） Ｑ １＆Ｅ
１２（６） Ｒ ４５ＭＰＰ
１ （７） ～Ｒ １＆Ｅ
１２（８） Ｒ＆～Ｒ ６７＆Ｉ
１ （９）～（Ｐ→（Ｑ→ Ｒ）） ２８ＲＡＡ
１ （ア）～（Ｐ→（Ｑ→ Ｒ））∨（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）） ９∨Ｉ
１ （イ） （Ｐ→（Ｑ→ Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）） ア含意の定義
という風に、「証明」出来る。
然るに、
（45）
④ Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
に関しては、
１ （１） Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ Ａ
２（２） Ｐ→ Ｑ Ａ
１ （３） Ｐ １＆Ｅ
１２（４） Ｑ ２３ＭＰＰ
１ （５） ～Ｑ １＆Ｅ
１２（６） Ｑ＆～Ｑ ４５＆Ｉ
１ （７） ～（Ｐ→Ｑ） ２６ＲＡＡ
１ （８） ～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｒ） ７∨Ｉ
１ （９） （Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ） ８含意の定義
１ （ア）～（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））∨（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）） ９∨Ｉ
１ （イ） （Ｐ→（Ｑ→Ｒ））∨（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）） ア含意の定義
従って、
（41）～（45）により、
（46）
果たして、
① Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
② Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
③ Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
④ Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
⑤ ～Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
⑥ ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
という「連式（Sequents）」は「妥当」である。
従って、
（32）（33）（46）により、
（47）
① Ｐ＆ Ｑ├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
② Ｐ＆～Ｑ├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
③ ～Ｐ＆ Ｑ├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
④ ～Ｐ＆～Ｑ├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
という「連式（Sequents）」が「（４つとも）妥当」であり、
① Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
② Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
③ Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
④ Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
⑤ ～Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
⑥ ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
という「連式（Sequents）」が「（８つとも）妥当」であり、
① Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
② Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
③ Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
④ Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
⑤ ～Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
⑥ ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
という「連式（Sequents）」が「（８つとも）妥当」であるからこそ、
「同一律（Law of identity）」は「恒真式（トートロジー）」であって、
「ヒルベルト・アッカーマンの公理（４）」は「恒真式（トートロジー）」であって、
「ルカジェヴィッツの公理（２）」は「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（48）
１ （１） ～（Ｐ∨～Ｐ） Ａ
２（２） Ｐ Ａ
２（３） Ｐ∨～Ｐ ２∨Ｉ
１２（４） ～（Ｐ∨～Ｐ）＆
（Ｐ∨～Ｐ） １３＆Ｉ
１ （５） ～Ｐ ２４ＲＡＡ
１ （６） Ｐ∨～Ｐ ５∨Ｉ
１ （７） ～（Ｐ∨～Ｐ）＆
（Ｐ∨～Ｐ） １６＆Ｉ
（８）～～（Ｐ∨～Ｐ） １７ＲＡＡ
（９） Ｐ∨～Ｐ ８ＤＮ
従って、
（47）（48）により、
（49）
（１） Ｐ∨～Ｐ ＴＩ（排中律）
（２） Ｑ∨～Ｑ ＴＩ（排中律）
３ （３） Ｐ Ａ
４ （４） Ｑ Ａ
３４ （５） Ｐ＆ Ｑ ３４＆Ｉ
３４ （６） Ｑ ５＆Ｅ
３４ （７） ～Ｐ∨Ｑ ６∨Ｉ
３４ （８） Ｐ→Ｑ ７含意の定義
３４ （９）～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ） ８∨Ｉ
ア （ア） ～Ｑ Ａ
３ ア （イ） Ｐ＆～Ｑ ３ア＆Ｉ
ウ （ウ） Ｐ→ Ｑ Ａ
３ ア （エ） Ｐ イ＆Ｅ
３ アウ （オ） Ｑ ウエＭＰＰ
３ ア （カ） ～Ｑ イ＆Ｅ
３ アウ （キ） Ｑ＆～Ｑ オカ＆Ｉ
３ ア （ク）～（Ｐ→Ｑ） ウキＲＡＡ
３ ア （ケ）～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ） ク∨Ｉ
３ （コ）～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ） ２４９アケ∨Ｅ
サ （サ） ～Ｐ Ａ
４ サ （シ） ～Ｐ＆ Ｑ ４サ＆Ｉ
４ サ （ス） ～Ｐ シ＆Ｅ
４ サ （セ） ～Ｐ∨Ｑ ス∨Ｉ
４ サ （ソ） Ｐ→Ｑ セ含意の定義
４ サ （タ）～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ） ソ∨Ｉ
ア サ （ツ） ～Ｐ＆～Ｑ アサ＆Ｉ
ア サ （テ） ～Ｐ ツ＆Ｅ
ア サ （ト） ～Ｐ∨Ｑ テ∨Ｉ
ア サ （ナ） Ｐ→Ｑ ト含意の定義
ア サ （ニ）～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ） ナ∨Ｉ
サ （ヌ）～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ） ２４タアニ∨Ｅ
（ネ）～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ） １３コサヌ∨Ｅ
（ノ） （Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ） ネ含意の定義
従って、
（49）により、
（50）
（１）Ｐ∨～Ｐ ＴＩ（排中律）
（２）Ｑ∨～Ｑ ＴＩ（排中律）
３ （３）Ｐ Ａ
４ （４） ～Ｐ Ａ
５ （５）Ｑ Ａ
６（６） ～Ｑ Ａ
３ ５ （７）（任意の恒真式） ３５ＳＩ（ⅰ）
３ ６（８）（任意の恒真式） ３６ＳＩ（ⅱ）
４５ （９）（任意の恒真式） ３７ＳＩ（ⅲ）
４ ６（ア）（任意の恒真式） ３８ＳＩ（ⅳ）
５ （イ）（任意の恒真式） １３７４９∨Ｅ
６（ウ）（任意の恒真式） １３８４ア∨Ｅ
（エ）（任意の恒真式） ２５イ６ウ∨Ｅ
という「計算」により、例えば、
① Ｐ＆ Ｑ├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
② Ｐ＆～Ｑ├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
③ ～Ｐ＆ Ｑ├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
④ ～Ｐ＆～Ｑ├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
という「連式」は、
①├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
という「連式」に「書き換える」ことが出来る。
従って、
（47）～（50）により、
（51）
（１）Ｐ∨～Ｐ ＴＩ（排中律）
（２）Ｑ∨～Ｑ ＴＩ（排中律）
（３）Ｒ∨～Ｒ ＴＩ（排中律）
によって、例えば、
① Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
② Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
③ Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
④ Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
⑤ ～Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
⑥ ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
という「連式」は、
①├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
という「連式」に「書き換える」ことが出来る。
従って、
（51）により、
（52）
（Ｐ、Ｑ、Ｒを、変数として持つ所の、任意の論理式Ａ）に対して、
① Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├（任意の論理式Ａ）
② Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├（任意の論理式Ａ）
③ Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├（任意の論理式Ａ）
④ Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（任意の論理式Ａ）
⑤ ～Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├（任意の論理式Ａ）
⑥ ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├（任意の論理式Ａ）
⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├（任意の論理式Ａ）
⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（任意の論理式Ａ）
という「連式（Sequents）」が「（８つとも）妥当」であるならば、
①├（任意の論理式Ａ）
という「連式」に「書き換える」ことが出来る。
従って、
（16）（40）（52）により、
（53）
①├（任意の論理式Ａ）
という「連式（Sequents）」が、
②├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
③├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
という「連式」であるならば、これらの「連式」は、
② Ｐ→Ｑ，Ｒ∨Ｐ├ Ｒ∨Ｑ
③ Ｐ→（Ｑ→Ｒ），Ｐ→Ｑ├ Ｐ→Ｒ
という「連式」に「書き換える」ことが出来るものの、「これらの連式」は、「妥当」である。
従って、
（51）（52）（53）により、
（54）
① Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├（任意の論理式Ａ）
② Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├（任意の論理式Ａ）
③ Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├（任意の論理式Ａ）
④ Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（任意の論理式Ａ）
⑤ ～Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├（任意の論理式Ａ）
⑥ ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├（任意の論理式Ａ）
⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├（任意の論理式Ａ）
⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（任意の論理式Ａ）
の中の、「一つの例（instance）」として、
① Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
② Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
③ Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
④ Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
⑤ ～Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
⑥ ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
といふ「連式（Sequents）」が「妥当」であるが故に、
② ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
② Ｐ→Ｑ，Ｒ∨Ｐ├ Ｒ∨Ｑ
という「連式（ヒルベルト・アッカーマンの公理４）」が「妥当」となる。
令和６年２月１３日、毛利太。
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