「恒真式（トートロジー）」の「定義」。

（01）
（ⅰ）
１　　（１）　　Ｐ→　Ｑ　　　Ａ
　２　（２）　　Ｐ＆～Ｑ　　　Ａ
　２　（３）　　Ｐ　　　　　　２＆Ｅ
１２　（４）　　　　　Ｑ　　　１３ＭＰＰ
　２　（５）　　　　～Ｑ　　　２＆Ｅ
１２　（６）　　Ｑ＆～Ｑ　　　４５＆Ｉ
１　　（７）～（Ｐ＆～Ｑ）　　２６ＲＡＡ
（ⅱ）
１　　（１）～（Ｐ＆～Ｑ）　　Ａ
　２　（２）　　Ｐ　　　　　　Ａ
　　３（３）　　　　～Ｑ　　　Ａ
　２３（４）　　Ｐ＆～Ｑ　　　２３＆Ｉ
１２３（５）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　（Ｐ＆～Ｑ）　　１４＆Ｉ
１２　（６）　　　～～Ｑ　　　３５ＲＡＡ
１２　（７）　　　　　Ｑ　　　６ＤＮ
１　　（８）　　Ｐ→　Ｑ　　　２７ＣＰ
（02）
（ⅱ）
１　　　（１）　～（Ｐ＆～Ｑ）　　Ａ
　２　　（２）　～（～Ｐ∨Ｑ）　　Ａ
　　３　（３）　　　～Ｐ　　　　　Ａ
　　３　（４）　　　～Ｐ∨Ｑ　　　３∨Ｉ
　２３　（５）　～（～Ｐ∨Ｑ）＆
　　　　　　　　　（～Ｐ∨Ｑ）　　２４＆Ｉ
　２　　（６）　　～～Ｐ　　　　　３５ＲＡＡ
　２　　（７）　　　　Ｐ　　　　　６ＤＮ
　　　８（８）　　　　　　Ｑ　　　Ａ
　　　８（９）　　　～Ｐ∨Ｑ　　　８∨Ｉ
　２　８（ア）　～（～Ｐ∨Ｑ）＆
　　　　　　　　　（～Ｐ∨Ｑ）　　２９＆Ｉ
　２　　（イ）　　　　　～Ｑ　　　８アＲＡＡ
　２　　（ウ）　　　Ｐ＆～Ｑ　　　７イ＆Ｉ
１２　　（エ）　～（Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　　　（Ｐ＆～Ｑ）　　１ウ＆Ｉ
１　　　（オ）～～（～Ｐ∨Ｑ）　　２エＲＡＡ
１　　　（カ）　　　～Ｐ∨Ｑ　　　オＤＮ
（ⅲ）
１　　　（１）　　～Ｐ∨Ｑ　　Ａ
　２　　（２）　　Ｐ＆～Ｑ　　Ａ
　　３　（３）　　～Ｐ　　　　Ａ
　２　　（４）　　　Ｐ　　　　２＆Ｅ
　２３　（５）　　～Ｐ＆Ｐ　　３４＆Ｉ
　　３　（６）～（Ｐ＆～Ｑ）　２５ＲＡＡ
　　　７（７）　　　　　Ｑ　　Ａ
　２　　（８）　　　　～Ｑ　　２＆Ｅ
　２　７（９）　　Ｑ＆～Ｑ　　７８＆Ｉ
　　　７（ア）～（Ｐ＆～Ｑ）　２９ＲＡＡ
１　　　（イ）～（Ｐ＆～Ｑ）　１３６７ア∨Ｅ
従って、
（01）（02）により、
（03）
① 　　Ｐ→　Ｑ
② ～（Ｐ＆～Ｑ）
③　 ～Ｐ∨　Ｑ
に於いて、
①＝② 　　であって、
　　②＝③ であって、それ故、
①＝②＝③ である。
従って、
（03）により、
（04）
Ｑ＝Ｐ であるとして、
① 　　Ｐ→　Ｐ
② ～（Ｐ＆～Ｐ）
③　 ～Ｐ∨　Ｐ
に於いて、
①＝② 　　であって、
　　②＝③ であって、それ故、
①＝②＝③ である。
従って、
（04）により、
（05）
① 　　Ｐ→　Ｐ
② ～（Ｐ＆～Ｐ）
③　 ～Ｐ∨　Ｐ
に於いて、すなわち、
①「同一律（トートロジー）」
②「矛盾律（トートロジー）」
③「排中律（トートロジー）」
に於いて、
①＝② 　　であって、
　　②＝③ であって、それ故、
①＝②＝③ である。
然るに、
（06）
（ⅰ）
１（１）Ｐ　　　Ａ
　（２）Ｐ→Ｐ　１１ＣＰ
（ⅱ）
１（１）　　Ｐ＆～Ｐ　　Ａ
　（２）～（Ｐ＆～Ｐ）　１１ＲＡＡ
（ⅲ）
１　（１）　～（～Ｐ∨Ｐ）　　Ａ
　２（２）　　　～Ｐ　　　　　Ａ
　２（３）　　　～Ｐ∨Ｐ　　　２∨Ｉ
１２（４）　～（～Ｐ∨Ｐ）＆
　　　　　　　（～Ｐ∨Ｐ）　　１３＆Ｉ
１　（５）　　～～Ｐ　　　　　２４ＲＡＡ
１　（６）　　　　Ｐ　　　　　５ＤＮ
１　（７）　　　～Ｐ∨Ｐ　　　６∨Ｉ
１　（８）　～（～Ｐ∨Ｐ）＆
　　　　　　　（～Ｐ∨Ｐ）　　６１＆Ｉ
　　（９）～～（～Ｐ∨Ｐ）　　１８ＲＡＡ
　　（ア）　　　～Ｐ∨Ｐ　　　９ＤＮ
従って、
（06）により、
（07）
①├ 　 Ｐ→　Ｐ
②├ ～（Ｐ＆～Ｐ）
③├ 　～Ｐ∨　Ｐ
という「連式」に対する、
① 　　　Ｐ→　Ｐ
②　 ～（Ｐ＆～Ｐ）
③　　 ～Ｐ∨　Ｐ
という「論理式」に於いて、
① は、「仮定の数がゼロである所の、連式の結論」であって、
② も、「仮定の数がゼロである所の、連式の結論」であって、
③ も、「仮定の数がゼロである所の、連式の結論」である。
然るに、
（05）により、
（08）
① 　　Ｐ→　Ｐ
② ～（Ｐ＆～Ｐ）
③　 ～Ｐ∨　Ｐ
に於いて、
①＝②＝③ であるため、それらの「否定」である所の、
① ～｛　　Ｐ→　Ｐ｝
② ～｛～（Ｐ＆～Ｐ）｝
③ ～｛　～Ｐ∨　Ｐ｝
に於いても、
①＝②＝③ である。
然るに、
（09）
（ⅱ）
１（１）　～｛～（Ｐ＆～Ｐ）｝　Ａ
１（２）　　　　　Ｐ＆～Ｐ　　　１ＤＮ
　（３）～～｛～（Ｐ＆～Ｐ）｝　１２ＲＡＡ（背理法）
　（４）　　　～（Ｐ＆～Ｐ）　　３ＤＮ
従って、
（07）（08）（09）により、
（10）
① 　　Ｐ→　Ｐ
② ～（Ｐ＆～Ｐ）
③　 ～Ｐ∨　Ｐ
に於いて、
①＝②＝③ である所の「恒真式（トートロジー）」は、
（ａ）「否定」をすると、
（ｂ）「矛盾」が生じるが故に、
（ｃ）「背理法（ＲＡＡ）」により、
（ｄ）「仮定の数がゼロである所の、連式の結論」である。
然るに、
（11）
（ⅰ）
１　（１）Ｐ→Ｑ　Ａ
　２（２）Ｐ　　　Ａ
１２（３）　　Ｑ　１２ＭＰＰ
（ⅱ）
１　（１）Ｐ→Ｑ　Ａ
　２（２）Ｐ　　　Ａ
１２（３）　　Ｑ　１２ＭＰＰ
１　（４）Ｐ→Ｑ　２３ＣＰ
（ⅲ）
１　（１）　Ｐ→Ｑ　　　　　　　　Ａ
　２（２）　Ｐ　　　　　　　　　　Ａ
１２（３）　　　Ｑ　　　　　　　　１２ＭＰＰ
１　（４）　Ｐ→Ｑ　　　　　　　　２３ＣＰ
　　（５）（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）　１４ＣＰ
（ⅳ）
１　（１）　Ｐ→Ｑ　　　　　　　　　Ａ
　２（２）　Ｐ　　　　　　　　　　　Ａ
１２（３）　　　Ｑ　　　　　　　　　１２ＭＰＰ
　２（４）（Ｐ→Ｑ）→Ｑ　　　　　　１３ＣＰ
　　（５）　Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）　１４ＣＰ
従って、
（11）により、
（12）
① Ｐ→Ｑ，Ｐ├ 　　Ｑ
②　　 Ｐ→Ｑ├ Ｐ→Ｑ
③　　　　　 ├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
④　　　　　 ├ Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）
という「連式（sequents）」は「妥当」である。
従って、
（12）により、
（13）
① Ｐ→Ｑ，Ｐ├ 　　Ｑ
②　　 Ｐ→Ｑ├ Ｐ→Ｑ
③　　　　　 ├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
④　　　　　 ├ Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）
という「連式」に対する、
① 　　 Ｑ
② Ｐ→Ｑ
③（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
④　Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）
という「論理式」に於いて、
① は、「仮定の数が１である所の、連式の結論」であって、
② は、「仮定の数が２である所の、連式の結論」であって、
③ は、「仮定の数が０である所の、連式の結論」であって、
④ は、「仮定の数が０である所の、連式の結論」である。
然るに、
（14）
（ⅲ）
１（１）　～｛　（Ｐ→Ｑ）→（　Ｐ→Ｑ）｝　Ａ
１（２）　～｛～（Ｐ→Ｑ）∨（　Ｐ→Ｑ）｝　１含意の定義
１（３）　～｛～（Ｐ→Ｑ）∨（～Ｐ∨Ｑ）｝　２含意の定義
１（４）　　　　　Ｐ→Ｑ＆～（～Ｐ∨Ｑ）　　３ド・モルガンの法則
１（５）　　　　　Ｐ→Ｑ　　　　　　　　　　４＆Ｅ
１（６）　　　　　　　　　～（～Ｐ∨Ｑ）　　４＆Ｅ
１（７）　　　　　　　　　　　Ｐ＆～Ｑ　　　６ド・モルガンの法則
　 １（８）　　　　　　　　　　　Ｐ　　　　　　７＆Ｅ
１（９）　　　　　　　Ｑ　　　　　　　　　　５８ＭＰＰ
１（ア）　　　　　　　　　　　　　～Ｑ　　　７＆Ｅ
１（イ）　　　　　　　Ｑ＆～Ｑ　　　　　　　９ア＆Ｉ
　（ウ）～～｛　（Ｐ→Ｑ）→（　Ｐ→Ｑ）｝　１イＲＡＡ
　（エ）　　　　（Ｐ→Ｑ）→（　Ｐ→Ｑ）　　ウＤＮ
（ⅳ）
１（１）　～｛　Ｐ→（　（Ｐ→Ｑ）→　Ｑ）｝　Ａ
１（２）　～｛～Ｐ∨（　（Ｐ→Ｑ）→　Ｑ）｝　１含意の定義
１（３）　～｛～Ｐ∨（～（Ｐ→Ｑ）∨　Ｑ）｝　２含意の定義
１（４）　　　Ｐ＆～（～（Ｐ→Ｑ）∨　Ｑ）　　３ド・モルガンの法則
１（５）　　　Ｐ　　　　　　　　　　　　　　　４＆Ｅ
１（６）　　　　　～（～（Ｐ→Ｑ）∨　Ｑ）　　５＆Ｅ
１（７）　　　　　　　　（Ｐ→Ｑ）＆～Ｑ　　　６ド・モルガンの法則
１（８）　　　　　　　　　Ｐ→Ｑ　　　　　　　７＆Ｅ
１（９）　　　　　　　　　　　Ｑ　　　　　　　５８ＭＰＰ
１（ア）　　　　　　　　　　　　　　～Ｑ　　　７＆Ｅ
１（イ）　　　　　　　　　　　Ｑ＆～Ｑ　　　　９ア＆Ｉ
　（ウ）～～｛　Ｐ→（　（Ｐ→Ｑ）→　Ｑ）｝　１イＲＡＡ
　（エ）　　　　Ｐ→（　（Ｐ→Ｑ）→　Ｑ）　　ウＤＮ
従って、
（13）（14）により、
（15）
③（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
④　Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）
に於いて、
③ は、「仮定の数が０である所の、連式の結論」であって、
④ は、「仮定の数が０である所の、連式の結論」である。
ということは、
③ は、「否定をすると、矛盾が生じるため、背理法（ＲＡＡ）により、仮定の数が０になる。」
④ は、「否定をすると、矛盾が生じるため、背理法（ＲＡＡ）により、仮定の数が０になる。」
ということを、「意味」している。
従って、
（10）（15）により、
（16）
「番号」を付け直すと、
① 　　Ｐ→　Ｐ
② ～（Ｐ＆～Ｐ）
③　 ～Ｐ∨　Ｐ
④　 （Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
⑤　　 Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）
という「恒真式（トートロジー）」は、すべて、
②「否定をすると、矛盾が生じるため、背理法（ＲＡＡ）により、仮定の数が０になる」所の「連式の結論」である。
然るに、
（17）
（ⅰ）
１（１）　Ｐ＆Ｑ　　　　Ａ
１（２）　Ｐ　　　　　　１＆Ｅ
　（３）（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ　１２ＣＰ
（ⅱ）
１（１）Ｐ　　　　　　　Ａ
１（２）Ｐ∨Ｑ　　　　　１∨Ｉ
　（３）Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）　１２ＣＰ
然るに、
（18）
（ⅰ）
１（１）　～｛　（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ｝　Ａ
１（２）　～｛～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｐ｝　含意の定義
１（３）　　　（Ｐ＆Ｑ）＆～Ｐ　　２ド・モルガンの法則
１（４）　　　　Ｐ＆Ｑ　　　　　　３＆Ｅ
１（５）　　　　Ｐ　　　　　　　　４＆Ｅ
１（６）　　　　　　　　　～Ｐ　　３＆Ｅ
１（７）　　　　Ｐ＆～Ｐ　　　　　５６＆Ｉ
　（８）～～｛　（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ｝　１７ＲＡＡ
　（９）　　　　（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ　　８ＤＮ
（ⅱ）
１（１）　～｛　Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）｝　Ａ
１（２）　～｛～Ｐ∨（Ｐ∨Ｑ）｝　１含意の定義
１（３）　　　Ｐ＆～（Ｐ∨Ｑ）　　２ド・モルガンの法則
１（４）　　　Ｐ　　　　　　　　　３＆Ｅ
１（５）　　　　　～（Ｐ∨Ｑ）　　３＆Ｅ
１（６）　　　　　～Ｐ＆～Ｑ　　　５ド・モルガンの法則
１（７）　　　　　～Ｐ　　　　　　６＆Ｅ
１（８）　　　Ｐ＆～Ｐ　　　　　　４７＆Ｉ
　（９）～～｛　Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）｝　１８ＲＡＡ
　（ア）　　　　Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）　　９ＤＮ
従って、
（16）（17）（18）により、
（19）
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ
②　Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）
である所の、
①「連言除去」
②「選言導入」
を含めて、「恒真式（トートロジー）」とは、
②「否定をすると、矛盾が生じるため、背理法（ＲＡＡ）により、仮定の数が０になる」所の「連式の結論」である。
令和６年１１月１３日、毛利太。