「ある式の否定が偽」ならば「ある式自体は真」である。

（01）
（ⅰ）
１　（１）　Ｐ→Ｑ　　　　　　　　Ａ
　２（２）　Ｐ　　　　　　　　　　Ａ
１２（３）　　　Ｑ　　　　　　　　１２ＭＰＰ
１　（４）　Ｐ→Ｑ　　　　　　　　２３ＣＰ
　　（５）（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）　１４ＣＰ
（ⅱ）
１　（１）　　　　Ｐ　　　　　　　Ａ
　２（２）　　　　Ｐ→Ｑ　　　　　１２ＭＰＰ
１２（３）　　　　　　　　　Ｑ　　１２ＣＰ
１　（４）　　（　Ｐ→Ｑ）→Ｑ　　２３ＣＰ
　　（５）Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）　１４ＣＰ
従って、
（01）により、
（02）
①├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
②├ Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）
という「連式」は「妥当」である。
然るに、
（03）
①（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
という「同一律（の代入例）」がそうであるように、
①「仮定の数がゼロである連式」の「結論」は、「恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（02）（03）により、
（04）
②「仮定の数がゼロである連式」の「結論」は、「恒真式（トートロジー）」である。
という「理由」により、
② Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）
という「論理式」も、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（05）
（ⅱ）
１（１）　Ｐ→（　　（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）　Ａ
１（２）～Ｐ∨（　　（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）　１含意の定義
１（３）～Ｐ∨（　（～Ｐ∨Ｑ）→Ｑ）　２含意の定義
１（４）～Ｐ∨（～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｑ）　３含意の定義
１（５）～Ｐ∨（　（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｑ）　４ド・モルガンの法則
（ⅲ）
１（１）～Ｐ∨（　（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｑ）　Ａ
１（２）～Ｐ∨（～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｑ）　１ド・モルガンの法則
１（３）～Ｐ∨（　（～Ｐ∨Ｑ）→Ｑ）　２含意の定義
１（４）～Ｐ∨（　　（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）　３含意の定義
１（５）　Ｐ→（　　（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）　４含意の定義
従って、
（05）により、
（06）
② 　Ｐ→（（Ｐ→　Ｑ）→Ｑ）
③ ～Ｐ∨（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｑ）
に於いて、
②＝③ である。
従って、
（06）により、
（07）
② 　　　Ｐ→（（Ｐ→　Ｑ）→Ｑ）
③ ～｛～Ｐ∨（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｑ）｝
に於いて、
③ は、② の「否定」である。
従って、
（04）（07）により、
（08）
② 　　　Ｐ→（（Ｐ→　Ｑ）→Ｑ）
③ ～｛～Ｐ∨（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｑ）｝
に於いて、
② が「真」であるため、その「否定」である、
③ は「偽」である。
然るに、
（09）
（ⅲ）
１（１）～｛～Ｐ∨（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｑ）｝　Ａ
１（２）　　Ｐ＆～（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｑ）　　１ド・モルガンの法則
１（３）　　　　～（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｑ）　　２＆Ｅ
１（４）　　　　～（Ｐ＆～Ｑ）＆～Ｑ　　　３ド・モルガンの法則
１（５）　　　　～（Ｐ＆～Ｑ）　　　　　　４＆Ｅ
１（６）　　　　　～Ｐ∨　Ｑ　　　　　　　５ド・モルガンの法則
１（７）　　　　　　Ｐ→　Ｑ　　　　　　　６含意の定義
１（８）　　Ｐ　　　　　　　　　　　　　　２＆Ｅ
１（９）　　　　　　　　　Ｑ　　　　　　　７８ＭＰＰ
１（ア）　　　　　　　　　　　　～Ｑ　　　４＆Ｅ
１（イ）　　　　　　　　　Ｑ＆～Ｑ　　　　９ア＆Ｉ
従って、
（08）（09）により、
（10）
② 　　　Ｐ→（（Ｐ→　Ｑ）→Ｑ）
③ ～｛～Ｐ∨（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｑ）｝
に於いて、
② の「否定」は、
③ であるが、果たして、
③ は、「矛盾（Ｑ＆～Ｑ）」を「含意」する。
従って、
（01）～（10）により、
（11）
（ⅰ）「仮定の数がゼロである連式」の「結論」は「恒真式」であるため、
（ⅱ）「仮定の数がゼロである連式」の「結論」の「否定」は、「偽」であり、
（ⅲ）「仮定の数がゼロである連式」の「結論」の「否定」は、「偽」であるため、
（ⅳ）「仮定の数がゼロである連式」の「結論」は「恒真式」である。
然るに、
（12）
１（１）　Ｐ＆Ｑ　　　　Ａ
１（２）　Ｐ　　　　　　１＆Ｅ
　（３）（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ　２＆Ｅ
然るに、
（13）
１（１）～｛　（Ｐ＆Ｑ）→　Ｐ｝　Ａ
１（２）～｛～（Ｐ＆Ｑ）∨　Ｐ｝　１含意の定義
１（３）　　　（Ｐ＆Ｑ）＆～Ｐ　　２ド・モルガンの法則
１（４）　　　　Ｐ＆Ｑ　　　　　　３＆Ｅ
１（５）　　　　Ｐ　　　　　　　　４＆Ｅ
１（６）　　　　　　　　　～Ｐ　　３＆Ｅ
１（７）　　　　Ｐ＆～Ｐ　　　　　５６＆Ｉ
従って、
（11）（12）（13）により、
（14）
（ⅰ）「仮定の数がゼロである連式」の「結論」は「恒真式（トートロジー）」であるため、
（ⅱ）「（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ」は、「連言除去」は「真」であって、
（ⅲ）「（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ」の「否定」は、「矛盾」である。
然るに、
（15）
１（１）　　　Ｐ　　　　Ａ
１（２）　　　Ｐ∨Ｑ　　１∨Ｉ
　（３）Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）　１２ＣＰ
然るに、
（16）
１（１）～｛　Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）｝　Ａ
１（２）～｛～Ｐ∨（Ｐ∨Ｑ）｝　１含意の定義
１（３）　　Ｐ＆～（Ｐ∨Ｑ）　　２ド・モルガンの法則
１（４）　　　　～（Ｐ∨Ｑ）　　３＆Ｅ
１（５）　　　　～Ｐ＆～Ｑ　　　４ド・モルガンの法則
１（６）　　Ｐ　　　　　　　　　３＆Ｅ
１（７）　　　　～Ｐ　　　　　　５＆Ｅ
１（８）　　Ｐ＆～Ｐ　　　　　　６７＆Ｉ
従って、
（11）（15）（16）により、
（17）
（ⅰ）「仮定の数がゼロである連式」の「結論」は「恒真式（トートロジー）」であるため、
（ⅱ）「Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）」は、すなわち、「宣言導入」は「真」であって、
（ⅲ）「Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）」の「否定」は、「矛盾」である。
令和６年１１月１２日、毛利太。