(01)
(ⅰ)
1 (1) P→ Q A
2 (2) P&~Q A
2 (3) P 2&E
12 (4) Q 13MPP
2 (5) ~Q 2&E
12 (6) Q&~Q 45&I
1 (7)~(P&~Q) 26RAA
(ⅱ)
1 (1)~(P&~Q) A
2 (2) P A
3(3) ~Q A
23(4) P&~Q 23&I
123(5)~(P&~Q)&
(P&~Q) 14&I
12 (6) ~~Q 35RAA
12 (7) Q 6DN
1 (8) P→ Q 27CP
従って、
(01)により、
(02)
① P→ Q
② ~(P&~Q)
に於いて、
①=② である。
(03)
(ⅱ)
1 (1) ~(P&~Q) A
2 (2) ~(~P∨Q) A
3 (3) ~P A
3 (4) ~P∨Q 3∨I
23 (5) ~(~P∨Q)&
(~P∨Q) 24&I
2 (6) ~~P 35RAA
2 (7) P 6DN
8(8) Q A
8(9) ~P∨Q 8∨I
2 8(ア) ~(~P∨Q)&
(~P∨Q) 29&I
2 (イ) ~Q 8アRAA
2 (ウ) P&~Q 7イ&I
12 (エ) ~(P&~Q)&
(P&~Q) 1ウ&I
1 (オ)~~(~P∨Q) 2エRAA
1 (カ) ~P∨Q オDN
(ⅲ)
1 (1) ~P∨Q A
2 (2) P&~Q A
3 (3) ~P A
2 (4) P 2&E
23 (5) ~P&P 34&I
3 (6)~(P&~Q) 25RAA
7(7) Q A
2 (8) ~Q 2&E
2 7(9) Q&~Q 78&I
7(ア)~(P&~Q) 29RAA
1 (イ)~(P&~Q) 1367ア∨E
従って、
(03)により、
(04)
② ~(P&~Q)
③ ~P∨ Q
に於いて、
②=③ である(ド・モルガンの法則)。
従って、
(03)(04)により、
(05)
① P→ Q
② ~(P&~Q)
③ ~P∨ Q
に於いて、すなはち、
① Pであるならば、Qである。
②(Pであって、Qでない)ということはない。
③ Pでないか、または、Qである。
に於いて、
①=②=③ である。
従って、
(05)により、
(06)
① P→ Q
② ~(P&~Q)
③ ~P∨ Q
に於いて、
P=Q であるとして、
① P→ P
② ~(P&~P)
③ ~P∨ P
に於いて、すなはち、
①「同一律(恒真式)」
②「矛盾律(恒真式)」
③「排中律(恒真式)」
に於いて、
①=②=③ である。
然るに、
(07)
(ⅰ)
1(1)P A
(2)P→P 11CP
(ⅱ)
1(1) P&~P A
(2)~(P&~P) 11RAA
(ⅲ)
1 (1) ~(~P∨P) A
2(2) ~P A
2(3) ~P∨P 2∨I
12(4) ~(~P∨P)&
(~P∨P) 13&I
1 (5) ~~P 24RAA
1 (6) P 5DN
1 (7) ~P∨P 6∨I
1 (8) ~(~P∨P)&
(~P∨P) 61&I
(9)~~(~P∨P) 18RAA
(ア) ~P∨P 9DN
従って、
(06)(07)により、
(08)
①├ P→ P
②├ ~(P&~P)
③├ ~P∨ P
という「連式」に於いて、
①=②=③ である。
然るに、
(09)
①├ P→ P
②├ ~(P&~P)
③├ ~P∨ P
という「連式」に対する、
① P→ P
② ~(P&~P)
③ ~P∨ P
という「論理式」に於いて、
① は、「仮定の数がゼロである所の、連式の結論」であって、
② も、「仮定の数がゼロである所の、連式の結論」であって、
③ も、「仮定の数がゼロである所の、連式の結論」である。
従って、
(06)(09)により、
(10)
①「同一律(恒真式)」
②「矛盾律(恒真式)」
③「排中律(恒真式)」
に於いて、
①=②=③ であって、尚且つ、
① は、「仮定の数がゼロである所の、連式の結論」であって、
② も、「仮定の数がゼロである所の、連式の結論」であって、
③ も、「仮定の数がゼロである所の、連式の結論」である。
従って、
(10)により、
(11)
(ⅰ)「恒真式(トートロジー)」とは、
(ⅱ)「仮定の数がゼロである所の、連式の結論」である。
然るに、
(12)
① P→P(恒真式)
に対して、
① P=(P&Q)
といふ「代入(置き換え)」を行うと、
①(P&Q)→(P&Q)
は、「恒真式(同一律)」である。
然るに、
(13)
(ⅰ)
1 (1)(P&Q)→(P&Q) A
2 (2) P A
3(3) Q A
23(4)(P&Q) 23&I
123(5) (P&Q) 14MPP
12 (6) (Q→(P&Q)) 35CP
1 (7) P→(Q→(P&Q)) 26CP
(ⅱ)
1 (1) P→(Q→(P&Q)) A
2(2)(P&Q) A
2(3) P 2&E
12(4) Q→(P&Q) 13MPP
2(5) Q 2&E
12(6) (P&Q) 45MPP
1 (7)(P&Q)→(P&Q) 26CP
従って、
(13)により、
(14)
①(P&Q)→(P&Q)
② P→(Q→(P&Q))
に於いて、
①=② である。
従って、
(12)(13)(14)により、
(15)
①(P&Q)→(P&Q)
② P→(Q→(P&Q))
に於いて、
①=② であって、尚且つ、
① が「恒真式(同一律)」であるため、
② も「恒真式(同一律)」である。
然るに、
(16)
(ⅰ)
1 (1) P A
2(2) Q A
12(3) P&Q 12&I
1 (4)Q→(P&Q) 23CP
(ⅱ)
1 (1) P A
2(2) Q A
12(3) P&Q 12&I
1 (4) Q→(P&Q) 23CP
(5)P→(Q→(P&Q)) 14CP
従って、
(16)により、
(17)
① P├ Q→(P&Q)
② ├ P→(Q→(P&Q))
という「連式」は、両方とも、「妥当」である。
従って、
(17)により、
(18)
例へば、
P=10月
Q=17日
であるとすると、
① P├ Q→(P&Q)
② ├ P→(Q→(P&Q))
といふ「連式」、すなはち、
① 10月なので、17日ならば、(10月17日である)。
② 10月ならば(17日ならば、(10月17日である))。
といふ「推論」は、「妥当」である。
然るに、
(19)
① 11月某日
に於いて、
①(今日は)10月なので、
と「断定」すれば、「ウソ」になるが、
② 11月某日
に於いて、
②(今日が)10月ならば、
と「仮定」しても、「ウソ」にはならない。
従って、
(09)(15)(18)(19)により、
(20)
① P├ Q→(P&Q)
② ├ P→(Q→(P&Q))
といふ「連式」に於ける、
② P→(Q→(P&Q))
という「論理式」は、
(ⅰ)「仮定の数がゼロである所の、連式の結論」であって、
(ⅱ)「恒真式(トートロジー)」であって、尚且つ、
(ⅲ)「恒に真」である。
令和6年11月09日、毛利太。
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