2024年11月9日土曜日

「恒真式(トートロジー)」について。

(01)
(ⅰ)
1  (1)  P→ Q   A
 2 (2)  P&~Q   A
 2 (3)  P      2&E
12 (4)     Q   13MPP
 2 (5)    ~Q   2&E
12 (6)  Q&~Q   45&I
1  (7)~(P&~Q)  26RAA
(ⅱ)
1  (1)~(P&~Q)  A
 2 (2)  P      A
  3(3)    ~Q   A
 23(4)  P&~Q   23&I
123(5)~(P&~Q)&
       (P&~Q)  14&I
12 (6)   ~~Q   35RAA
12 (7)     Q   6DN
1  (8)  P→ Q   27CP
従って、
(01)により、
(02)
①   P→ Q
② ~(P&~Q)
に於いて、
①=② である。
(03)
(ⅱ)
1   (1) ~(P&~Q)  A
 2  (2) ~(~P∨Q)  A
  3 (3)   ~P     A
  3 (4)   ~P∨Q   3∨I
 23 (5) ~(~P∨Q)&
         (~P∨Q)  24&I
 2  (6)  ~~P     35RAA
 2  (7)    P     6DN
   8(8)      Q   A
   8(9)   ~P∨Q   8∨I
 2 8(ア) ~(~P∨Q)&
         (~P∨Q)  29&I
 2  (イ)     ~Q   8アRAA
 2  (ウ)   P&~Q   7イ&I
12  (エ) ~(P&~Q)&
         (P&~Q)  1ウ&I
1   (オ)~~(~P∨Q)  2エRAA
1   (カ)   ~P∨Q   オDN
(ⅲ)
1   (1)  ~P∨Q  A
 2  (2)  P&~Q  A
  3 (3)  ~P    A
 2  (4)   P    2&E
 23 (5)  ~P&P  34&I
  3 (6)~(P&~Q) 25RAA
   7(7)     Q  A
 2  (8)    ~Q  2&E
 2 7(9)  Q&~Q  78&I
   7(ア)~(P&~Q) 29RAA
1   (イ)~(P&~Q) 1367ア∨E
従って、
(03)により、
(04)
② ~(P&~Q)
③  ~P∨ Q
に於いて、
②=③ である(ド・モルガンの法則)。
従って、
(03)(04)により、
(05)
①   P→ Q
② ~(P&~Q)
③  ~P∨ Q
に於いて、すなはち、
① Pであるならば、Qである。
②(Pであって、Qでない)ということはない。
③ Pでないか、または、Qである。
に於いて、
①=②=③ である。
従って、
(05)により、
(06)
①   P→ Q
② ~(P&~Q)
③  ~P∨ Q
に於いて、
P=Q であるとして、
①   P→ P
② ~(P&~P)
③  ~P∨ P
に於いて、すなはち、
①「同一律(恒真式)」
②「矛盾律(恒真式)」
③「排中律(恒真式)」
に於いて、
①=②=③ である。
然るに、
(07)
(ⅰ)
1(1)P   A
 (2)P→P 11CP
(ⅱ)
1(1)  P&~P  A
 (2)~(P&~P) 11RAA
(ⅲ)
1 (1) ~(~P∨P)  A
 2(2)   ~P     A
 2(3)   ~P∨P   2∨I
12(4) ~(~P∨P)&
       (~P∨P)  13&I
1 (5)  ~~P     24RAA
1 (6)    P     5DN
1 (7)   ~P∨P   6∨I
1 (8) ~(~P∨P)&
       (~P∨P)  61&I
  (9)~~(~P∨P)  18RAA
  (ア)   ~P∨P   9DN
従って、
(06)(07)により、
(08)
①├   P→ P
②├ ~(P&~P)
③├  ~P∨ P
という「連式」に於いて、
①=②=③ である。
然るに、
(09)
①├   P→ P
②├ ~(P&~P)
③├  ~P∨ P
という「連式」に対する、
①    P→ P
②  ~(P&~P)
③   ~P∨ P
という「論理式」に於いて、
① は、「仮定の数がゼロである所の、連式の結論」であって、
② も、「仮定の数がゼロである所の、連式の結論」であって、
③ も、「仮定の数がゼロである所の、連式の結論」である。
従って、
(06)(09)により、
(10)
①「同一律(恒真式)」
②「矛盾律(恒真式)」
③「排中律(恒真式)」
に於いて、
①=②=③ であって、尚且つ、
① は、「仮定の数がゼロである所の、連式の結論」であって、
② も、「仮定の数がゼロである所の、連式の結論」であって、
③ も、「仮定の数がゼロである所の、連式の結論」である。
従って、
(10)により、
(11)
(ⅰ)「恒真式(トートロジー)」とは、
(ⅱ)「仮定の数がゼロである所の、連式の結論」である。
然るに、
(12)
① P→P(恒真式)
に対して、
① P=(P&Q)
といふ「代入(置き換え)」を行うと、
①(P&Q)→(P&Q)
は、「恒真式(同一律)」である。
然るに、
(13)
(ⅰ)
1  (1)(P&Q)→(P&Q)  A
 2 (2) P           A
  3(3)   Q         A
 23(4)(P&Q)        23&I
123(5)      (P&Q)  14MPP
12 (6)   (Q→(P&Q)) 35CP
1  (7) P→(Q→(P&Q)) 26CP
(ⅱ)
1 (1) P→(Q→(P&Q)) A
 2(2)(P&Q)        A
 2(3) P           2&E
12(4)    Q→(P&Q)  13MPP
 2(5)   Q         2&E
12(6)      (P&Q)  45MPP
1 (7)(P&Q)→(P&Q)  26CP
従って、
(13)により、
(14)
①(P&Q)→(P&Q)
② P→(Q→(P&Q))
に於いて、
①=② である。
従って、
(12)(13)(14)により、
(15)
①(P&Q)→(P&Q)
② P→(Q→(P&Q))
に於いて、
①=② であって、尚且つ、
① が「恒真式(同一律)」であるため、
② も「恒真式(同一律)」である。
然るに、
(16)
(ⅰ)
1 (1)   P    A
 2(2)     Q  A
12(3)   P&Q  12&I
1 (4)Q→(P&Q) 23CP
(ⅱ)
1 (1)      P     A
 2(2)        Q   A
12(3)      P&Q   12&I
1 (4)   Q→(P&Q)  23CP
  (5)P→(Q→(P&Q)) 14CP
従って、
(16)により、
(17)
①   P├ Q→(P&Q)
② ├ P→(Q→(P&Q))
という「連式」は、両方とも、「妥当」である。
従って、
(17)により、
(18)
例へば、
P=10月
Q=17日
であるとすると、
①   P├ Q→(P&Q)
② ├ P→(Q→(P&Q))
といふ「連式」、すなはち、
① 10月なので、17日ならば、(10月17日である)。
② 10月ならば(17日ならば、(10月17日である))。
といふ「推論」は、「妥当」である。
然るに、
(19)
① 11月某日
に於いて、
①(今日は)10月なので、
と「断定」すれば、「ウソ」になるが、
② 11月某日
に於いて、
②(今日が)10月ならば、
と「仮定」しても、「ウソ」にはならない。
従って、
(09)(15)(18)(19)により、
(20)
①   P├ Q→(P&Q)
② ├ P→(Q→(P&Q))
といふ「連式」に於ける、
②   P→(Q→(P&Q))
という「論理式」は、
(ⅰ)「仮定の数がゼロである所の、連式の結論」であって、
(ⅱ)「恒真式(トートロジー)」であって、尚且つ、 
(ⅲ)「恒に真」である。
令和6年11月09日、毛利太。

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