「対偶と逆」を「（式ではなく）言葉」で説明する。

（01）
①（Ｐであるならば、Ｑである）。
②（Ｐであって、　　Ｑでない）といふことはない。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（02）
②（Ｐであって、Ｑでない）といふことはない。
③（Ｑでなくて、Ｐである）といふことはない。
に於いて、
②＝③ である。
然るに、
（03）
③（Ｑでなくて、　　Ｐである）といふことはない。
④（Ｑでないならば、Ｐでない）。
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（01）（02）（03）により、
（04）
①（Ｐであるならば、Ｑである）。
②（Ｐであって、　　Ｑでない）といふことはない。
③（Ｑでなくて、　　Ｐである）といふことはない。
④（Ｑでないならば、Ｐでない）。
に於いて、
①＝②＝③＝④ である。
従って、
（04）により、
（05）
①（Ｐであるならば、Ｑである）。
④（Ｑでないならば、Ｐでない）。
に於いて、
①＝④ である。
然るに、
（06）
①（Ｐであるならば、Ｑである）。
④（Ｑでないならば、Ｐでない）。
に於いて、
① は「④の対偶」であって、
④ は「①の対偶」である。
従って、
（06）により、
（07）
「対偶は、互いに、等しい。」
然るに、
（08）
①（Ｐであるならば、Ｑである）。
②（Ｑであるならば、Ｐである）。
③（Ｐでないならば、Ｑでない）。
に於いて、
②＝③ は「対偶」である。
然るに、
（09）
①（Ｐであるならば、Ｑである）。
③（Ｐでないならば、Ｑでない）。
に於いて、
①＝③ である。
とは、「限らない」。
従って、
（08）（09）により、
（10）
①（Ｐであるならば、Ｑである）。
②（Ｑであるならば、Ｐである）。
に於いても、
①＝② である。
とは、「限らない」。
従って、
（10）により、
（11）
①（Ｐであるならば、Ｑである）。
②（Ｑであるならば、Ｐである）。
に於いて、
① が「真（本当）」である。
からと言って、
② も「真（本当）」である。
とは、「限らない」。
従って、
（11）により、
（12）
「ある仮言命題が、真である。」からと言って、
「逆の仮言命題も、真である。」とは限らない。
従って、
（13）
「逆は、必ずしも、真ではない。」
令和０４年１１月１９日、毛利太。

「パースの法則」の「言ひ換へ」（Ⅱ）。

（01）
（ⅰ）
１　　（１）　　（Ｐ→Ｑ）→Ｐ　Ａ
１　　（２）　～（Ｐ→Ｑ）∨Ｐ　１含意の定義
　３　（３）　～（Ｐ→Ｑ）　　　Ａ
　３　（４）～（～Ｐ∨Ｑ）　　　Ａ
　３　（５）　　Ｐ＆～Ｑ　　　　４ド・モルガンの法則
　３　（６）　（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ　５∨Ｉ
　　７（７）　　　　　　　　Ｐ　Ａ
　　７（８）　（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ　７∨Ｉ
１　　（９）　（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ　１３６７８∨Ｅ
（ⅱ）
１　　（１）　（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ　Ａ
　２　（２）　（Ｐ＆～Ｑ）　　　Ａ
　２　（３）～（～Ｐ∨Ｑ）　　　２ド・モルガンの法則
　２　（４）　～（Ｐ→Ｑ）　　　３含意の定義
　２　（５）　～（Ｐ→Ｑ）∨Ｐ　４∨Ｉ
　　６（６）　　　　　　　　Ｐ　Ａ
　　６（７）　～（Ｐ→Ｑ）∨Ｐ　６∨Ｉ
１　　（８）　～（Ｐ→Ｑ）∨Ｐ　１２５６７∨Ｅ
１　　（９）　　（Ｐ→Ｑ）→Ｐ　８含意の定義
従って、
（01）により、
（02）
①（Ｐ→　Ｑ）→Ｐ
②（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ
に於いて、
①＝② である。
（03）
（ⅱ）
１　　（１）（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ　Ａ
　２　（２）　Ｐ＆～Ｑ　　　　Ａ
　２　（３）　Ｐ　　　　　　　２＆Ｅ
　２　（４）　Ｐ∨Ｐ　　　　　３∨Ｉ
　２　（５）　　　～Ｑ　　　　２＆Ｅ
　２　（６）　～Ｑ∨Ｐ　　　　５∨Ｉ
　２　（７）（Ｐ∨Ｐ）＆
　　　　　　（～Ｑ∨Ｐ）　　　４６＆Ｉ
　　８（８）　　　　　　Ｐ　　Ａ
　　８（９）　　　　Ｐ∨Ｐ　　８∨Ｉ
　　８（ア）　　　　～Ｑ∨Ｐ　８∨Ｉ
　　８（イ）（Ｐ∨Ｐ）＆
　　　　　（～Ｑ∨Ｐ）　　　　９ア＆Ｉ
（ⅲ）
１　　（１）　（Ｐ∨Ｐ）＆
　　　　　　（～Ｑ∨Ｐ）　　　　Ａ
１　　（２）　　Ｐ∨Ｐ　　　　　１＆Ｅ
１　　（３）～～Ｐ∨Ｐ　　　　　２ＤＮ
１　　（４）　～Ｐ→Ｐ　　　　　３含意の定義
　５　（５）　　　～Ｐ　　　　　Ａ
１５　（６）　　　　Ｐ　　　　　４５ＭＰＰ
１　　（７）　～Ｑ∨Ｐ　　　　　１＆Ｅ
１　　（８）　　Ｑ→Ｐ　　　　　７含意の定義
１５　（９）　　　～Ｑ　　　　　５８ＭＴＴ
１５　（ア）　Ｐ＆～Ｑ　　　　　６９＆Ｉ
１　　（イ）～Ｐ→（Ｐ＆～Ｑ）　５アＣＰ
１　　（ウ）　Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ）　イ含意の定義
１　　（エ）（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ　　ウ交換法則
従って、
（03）により、
（04）
②（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ
③（Ｐ∨Ｐ）＆（～Ｑ∨Ｐ）
に於いて、
②＝③ である（分配の法則）。
然るに、
（05）
（ⅲ）
１　　（１）（Ｐ∨Ｐ）＆（～Ｑ∨Ｐ）　Ａ
１　　（２）　Ｐ∨Ｐ　　　　　　　　　Ａ
　３　（３）　Ｐ　　　　　　　　　　　Ａ
　　４（４）　　　Ｐ　　　　　　　　　Ａ
１　　（５）　Ｐ　　　　　　　　　　　１３３４４∨Ｅ
１　　（６）　　　　　　　～Ｑ∨Ｐ　　１＆Ｅ
１　　（７）　　　　　　　Ｐ∨～Ｑ　　６交換法則
１　　（８）（Ｐ∨～Ｑ）＆Ｐ　　　　　５７＆Ｉ
（ⅳ）
１　　（１）（Ｐ∨～Ｑ）＆Ｐ　　　　　Ａ
１　　（２）　Ｐ∨～Ｑ　　　　　　　　１＆Ｅ
１　　（３）　～Ｑ∨Ｐ　　　　　　　　２交換法則
１　　（４）　　　　　　　Ｐ　　　　　１＆Ｅ
１　　（５）　　　　　Ｐ∨Ｐ　　　　　４∨Ｉ
１　　（６）（Ｐ∨Ｐ）＆（～Ｑ∨Ｐ）　３５＆Ｉ
従って、
（05）により、
（06）
③（Ｐ∨Ｐ）＆（～Ｑ∨Ｐ）
④（Ｐ∨～Ｑ）＆Ｐ
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（02）（04）（06）により、
（07）
①（Ｐ→　Ｑ）→Ｐ
②（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ
③（Ｐ∨Ｐ）＆（～Ｑ∨Ｐ）
④（Ｐ∨～Ｑ）＆Ｐ
に於いて、
①＝② であって、
②＝③ であって、
③＝④ である。
従って、
（07）により、
（08）
①（Ｐ→　Ｑ）→Ｐ
②（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ
③（Ｐ∨～Ｑ）＆Ｐ
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（08）により、
（09）
①（（Ｐ→　Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
②（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ
③（（Ｐ∨～Ｑ）＆Ｐ）→Ｐ
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（09）により、
（10）
①（（ＰならばＱ）ならばＰ）ならばＰである。
②（（Ｐであって、Ｑでないか）、または、Ｐである）ならばＰである。
③（（Ｐであるか、または、Ｑではない）としても、Ｐである）ならばＰである。
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（11）
①（（日本人ならば男性）ならば日本人）ならば日本人である。
②（（日本人であって、女性であるか）、または、日本人である）ならば日本人である。
③（（日本人であるか、または、女性である）としても、日本人である）ならば日本人である。
に於いて、
①＝②＝③ である。
然るに、
（12）
命題計算では、パースの法則は （（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ のことを言う。この意味するところを書き出すと、命題Ｐについて、命題Ｑが存在して、「ＰならばＱ」からＰが真であることが従うときには、Ｐは真でなければならないとなる。とりわけ、Ｑとして偽を選んだ場合には、Ｐから偽が従うときは常にＰが真であるならば、Ｐは真であるとなる（ウィキペディア）。
従って、
（11）（12）により、
（13）
①「パースの法則」は、例へば、
②（（日本人であって、女性であるか）、または、日本人である）ならば日本人である。
③（（日本人であるか、または、女性である）にせよ、日本人である）ならば日本人である。
といふ「命題」に「等しい」。
令和０４年１１月１１日、毛利太。

「パースの法則」の「言ひ換へ」。

（01）
命題計算では、パースの法則は （（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ のことを言う。この意味するところを書き出すと、命題Ｐについて、命題Ｑが存在して、「ＰならばＱ」からＰが真であることが従うときには、Ｐは真でなければならないとなる。とりわけ、Ｑとして偽を選んだ場合には、Ｐから偽が従うときは常にＰが真であるならば、Ｐは真であるとなる（ウィキペディア）。
従って、
（01）により、
（02）
（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
といふ「恒真式（トートロジー）」を「パースの法則」と言ふ。
従って、
（01）（02）により、
（03）
（（ＰならばＱ）ならばＰ）ならばＰである。
といふ「それ」を、「パースの法則」といふ。
然るに、
（04）
１　　（１）　　　　（Ｐ→Ｑ）→Ｐ　Ａ
１　　（２）　　　～（Ｐ→Ｑ）∨Ｐ　１含意の定義
　３　（３）　　　～（Ｐ→Ｑ）　　　Ａ
　３　（４）　　～（～Ｐ∨Ｑ）　　　Ａ
　３　（５）　　　　Ｐ＆～Ｑ　　　　４ド・モルガンの法則
　３　（６）　　　　Ｐ　　　　　　　５＆Ｅ
　　７（７）　　　　　　　　　　Ｐ　Ａ
１　　（８）　　　　　　　　　　Ｐ　１３６７７∨Ｅ
　　　（９）（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ　１８ＣＰ
従って、
（04）により、
（05）
１　　（１）（Ｐ→Ｑ）→Ｐ　Ａ
　２　（２）　　　　　～Ｐ　Ａ
からは、「Ｐ」が『導出』されなければ、ならない。
然るに、
（06）
１　（１）　　（Ｐ→Ｑ）→Ｐ　　　Ａ
　２（２）　　　　　　　～Ｐ　　　Ａ
１２（３）　～（Ｐ→Ｑ）　　　　　１２ＭＰＰ
１２（４）～（～Ｐ∨Ｑ）　　　　　３含意の定義
１２（５）　　Ｐ＆～Ｑ　　　　　　４含意の定義
１２（６）　　Ｐ　　　　　　　　　５＆Ｅ
１２（７）　　Ｐ＆～Ｐ　　　　　　２６＆Ｉ
１　（８）　　　　　　～～Ｐ　　　２７ＲＡＡ
１　（９）　　　　　　　　Ｐ　　　８ＤＮ
　　（ア）（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ　１９ＣＰ
従って、
（05）（06）により、
（07）
果たして、
１　　（１）（Ｐ→Ｑ）→Ｐ　Ａ
　２　（２）　　　　　～Ｐ　Ａ
からは、「Ｐ」が『導出』される。
然るに、
（08）
（ⅰ）
１　　（１）　　（Ｐ→Ｑ）→Ｐ　Ａ
１　　（２）　～（Ｐ→Ｑ）∨Ｐ　１含意の定義
　３　（３）　～（Ｐ→Ｑ）　　　Ａ
　３　（４）～（～Ｐ∨Ｑ）　　　Ａ
　３　（５）　　Ｐ＆～Ｑ　　　　４ド・モルガンの法則
　３　（６）　（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ　５∨Ｉ
　　７（７）　　　　　　　　Ｐ　Ａ
　　７（８）　（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ　７∨Ｉ
１　　（９）　（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ　１３６７８∨Ｅ
（ⅱ）
１　　（１）　（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ　Ａ
　２　（２）　（Ｐ＆～Ｑ）　　　Ａ
　２　（３）～（～Ｐ∨Ｑ）　　　２ド・モルガンの法則
　２　（４）　～（Ｐ→Ｑ）　　　３含意の定義
　２　（５）　～（Ｐ→Ｑ）∨Ｐ　４∨Ｉ
　　６（６）　　　　　　　　Ｐ　Ａ
　　６（７）　～（Ｐ→Ｑ）∨Ｐ　６∨Ｉ
１　　（８）　～（Ｐ→Ｑ）∨Ｐ　１２５６７∨Ｅ
１　　（９）　　（Ｐ→Ｑ）→Ｐ　８含意の定義
従って、
（08）により、
（09）
①（Ｐ→　Ｑ）→Ｐ
②（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ
に於いて、
①＝② である。
従って、
（09）により、
（10）
①（（Ｐ→　Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
②（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ
に於いても、
①＝② である。
従って、
（10）により、
（11）
①（（ＰならばＱ）ならばＰ）ならばＰである。
②（（Ｐであって、Ｑである）か、または、Ｐ）ならばＰである。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（12）
①（（ＰならばＱ）ならばＰ）ならばＰである。
②（（Ｐであって、Ｑである）か、または、Ｐ）ならばＰである。
に於いて、
① は、「難解」であるが、
② は、「平易」である。
然るに、
（13）
命題Ｐについて、命題Ｑが存在して、「ＰならばＱ」からＰが真であることが従うときには、Ｐは真でなければならないとなる。とりわけ、Ｑとして偽を選んだ場合には、Ｐから偽が従うときは常にＰが真であるならば、Ｐは真であるとなる（ウィキペディア）。
といふ「言ひ方」は、私にとって、
①（（ＰならばＱ）ならばＰ）ならばＰである。
といふ「言ひ方」と、「同じくらひ」に、「難解」である。
（14）
②（（日本人であって、男性である）か、または、日本人）ならば日本人である。
③（（日本人であって、男性でない）か、または、日本人）ならば日本人である。
に於いて、
② は「真」であるし、
③ も「真」である。
従って、
（03）（11）（14）により、
（15）
①（（日本人ならば男性）ならば日本人）ならば日本人である。
②（（日本人ならば女性）ならば日本人）ならば日本人である。
に於いて、
① は「パースの法則」であって、
② も「パースの法則」である。
令和０４年１１月１０日、毛利太。

「含意の定義」と「実質含意のパラドクス」について。

（01）
（ⅰ）Ｐ→Ｑ├ ～Ｐ∨Ｑ
１　　（１）　　　　Ｐ→Ｑ　　　Ａ
　２　（２）　～（～Ｐ∨Ｑ）　　Ａ
　　３（３）　　　～Ｐ　　　　　Ａ
　　３（４）　　　～Ｐ∨Ｑ　　　３∨Ｉ
　２３（５）　～（～Ｐ∨Ｑ）＆
　　　　　　　　（～Ｐ∨Ｑ）　　２４＆Ｉ
　２　（６）　　～～Ｐ　　　　　３５ＲＡＡ
　２　（７）　　　　Ｐ　　　　　６ＤＮ
１２　（８）　　　　　　Ｑ　　　１７ＭＰＰ
１２　（９）　　　～Ｐ∨Ｑ　　　８∨Ｉ
１２　（ア）　～（～Ｐ∨Ｑ）＆
　　　　　　　　（～Ｐ∨Ｑ）　　２９＆Ｉ
１　　（イ）～～（～Ｐ∨Ｑ）　　２アＲＡＡ
１　　（ウ）　　　～Ｐ∨Ｑ　　　イＤＮ
（ⅱ）～Ｐ∨Ｑ├ Ｐ→Ｑ
１　　　　　（１）　～Ｐ∨　Ｑ　　　Ａ
　２　　　　（２）　　Ｐ＆～Ｑ　　　Ａ
　　３　　　（３）　～Ｐ　　　　　　Ａ
　２　　　　（４）　　Ｐ　　　　　　２＆Ｅ
　２３　　　（５）　～Ｐ＆　Ｐ　　　３４＆Ｉ
　　３　　　（６）～（Ｐ＆～Ｑ）　　２５ＲＡＡ
　　　７　　（７）　　　　　Ｑ　　　Ａ
　２　　　　（８）　　　　～Ｑ　　　Ａ
　２　７　　（９）　　Ｑ＆～Ｑ　　　７８＆Ｉ
　　　７　　（ア）～（Ｐ＆～Ｑ）　　２９ＲＡＡ
１　　　　　（イ）～（Ｐ＆～Ｑ）　　１３６７ア∨Ｅ
　　　　ウ　（ウ）　　Ｐ　　　　　　Ａ
　　　　　エ（エ）　　　　～Ｑ　　　Ａ
　　　　ウエ（オ）　　Ｐ＆～Ｑ　　　エオ＆Ｉ
１　　　ウエ（カ）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　　　　（Ｐ＆～Ｑ）　　イオ＆Ｉ
１　　　ウ　（キ）　　　～～Ｑ　　　７カＲＡＡ
１　　　ウ　（ク）　　　　　Ｑ　　　キＤＮ
１　　　　　（ケ）　　Ｐ→　Ｑ　　　ウクＣＰ
従って、
（01）により、
（02）
① 　Ｐ→Ｑ
② ～Ｐ∨Ｑ
に於いて、
①＝② は「含意の定義」である。
然るに、
（03）
① 　Ｐ→Ｑ
② ～Ｐ∨Ｑ
に於いて、
①＝② であるならば、
① 　偽→Ｑ
② ～偽∨Ｑ
に於いても、
①＝② である。
然るに、
（04）
～偽＝偽ではない＝真である＝真。
従って、
（03）（04）により、
（05）
② ～偽∨Ｑ
③ 　真∨Ｑ
に於いて、
②＝③ である。
従って、
（03）（05）により、
（06）
① 　偽→Ｑ
② ～偽∨Ｑ
③　 真∨Ｑ
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（06）により、
（07）
① 偽→Ｑ
③ 真∨Ｑ
に於いて、
①＝③ である。
然るに、
（08）
③ Ａ∨Ｑ＝（Ａが真）であるか、または、（Ｑが真である）。
の場合は、
③ Ａが「真」であれば、それだけで、「真」である。
従って、
（07）（08）により、
（09）
① 偽→Ｑ
③ 真∨Ｑ
に於いて、
①＝③ であって、尚且つ、
③ は、「真」である。
従って、
（09）により、
（10）
① 偽→Ｑ
③ 真∨Ｑ
に於いて、
③ だけでなく、
① も、「真」である。
従って、
（10）により、
（11）
① 偽→Ｑ
は、「真」である。
然るに、
（12）
（Ｐ＆～Ｐ）は「矛盾」であるが、
「矛盾」は、「偽（ウソ）」である。
従って、
（11）（12）により、
（13）
① 偽→Ｑ
は、「真」であるため、
①（Ｐ＆～Ｐ）→Ｑ
は、「恒に真（トートロジー）」である。
然るに、
（14）
１　　　　　　（１）　　　　Ｐ　　　　　　Ａ
１　　　　　　（２）　　　　Ｐ∨　Ｑ　　　１∨Ｉ
　２　　　　　（３）　　　～Ｐ＆～Ｑ　　　Ａ
　　４　　　　（４）　　　　Ｐ　　　　　　Ａ
　２　　　　　（５）　　　～Ｐ　　　　　　３＆Ｅ
　２４　　　　（６）　　　　Ｐ＆～Ｐ　　　４５＆Ｉ
　　４　　　　（７）　～（～Ｐ＆～Ｑ）　　２６ＲＡＡ
　　　８　　　（８）　　　　　　　Ｑ　　　Ａ
　２　　　　　（９）　　　　　　～Ｑ　　　３＆Ｅ
　２　８　　　（ア）　　　　Ｑ＆～Ｑ　　　８９＆Ｉ
　　　８　　　（イ）　～（～Ｐ＆～Ｑ）　　２アＲＡＡ
１　　　　　　（ウ）　～（～Ｐ＆～Ｑ）　　１４７８イ∨Ｅ
　　　　エ　　（エ）　　　～Ｐ　　　　　　Ａ
　　　　　オ　（オ）　　　　　　～Ｑ　　　Ａ
　　　　エオ　（カ）　　　～Ｐ＆～Ｑ　　　エオ＆Ｉ
１　　　エオ　（キ）　～（～Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　　　　　　（～Ｐ＆～Ｑ）　　ウカ＆Ｉ
１　　　エ　　（ク）　　　　　～～Ｑ　　　オキＲＡＡ
１　　　エ　　（ケ）　　　　　　　Ｑ　　　エＤＮ
１　　　　　　（コ）　　　～Ｐ→　Ｑ　　　エケＣＰ
　　　　　　　（サ）　Ｐ→（～Ｐ→Ｑ）　　１コＣＰ
　　　　　　シ（シ）　Ｐ＆　～Ｐ　　　　　Ａ
　　　　　　シ（ス）　Ｐ　　　　　　　　　シ＆Ｅ
　　　　　　シ（セ）　　　　～Ｐ→Ｑ　　　サスＭＰＰ
　　　　　　シ（ソ）　　　　～Ｐ　　　　　シ＆Ｅ
　　　　　　シ（タ）　　　　　　　Ｑ　　　セソＭＰＰ
　　　　　　　（チ）（Ｐ＆～Ｐ）→Ｑ　　　シタＣＰ
従って、
（13）（14）により、
（15）
果たして、
①（Ｐ＆～Ｐ）→Ｑ
は、「恒に真（トートロジー）」である。
従って、
（01）～（15）により、
（16）
① 　Ｐ→Ｑ
② ～Ｐ∨Ｑ
に於いて、
①＝② である（含意の定義）。
といふ「結果」として、
①（Ｐ＆～Ｐ）→Ｑ
は、「恒に真（トートロジー）」である。
然るに、
（17）
① 　Ｐ→Ｑ
② ～Ｐ∨Ｑ
に於いて、
Ｐ＝～Ｐ
といふ「代入」を行ふと、
① 　～Ｐ→Ｑ
② ～～Ｐ∨Ｑ
従って、
（17）により、
（18）
「二重否定律（ＤＮ）」により、
① ～Ｐ→Ｑ
② 　Ｐ∨Ｑ
に於いて、すなはち、
① Ｐでないならば、　　Ｑである。
② Ｐであるか、または、Ｑである。
に於いて、
①＝② であるが、このことは、「当然」である。
従って、
（17）（18）により、
（19）
① Ｐでないならば、　　Ｑである。
② Ｐであるか、または、Ｑである。
に於いて、
①＝② である。
といふ「この点」からすれば、
① 　Ｐ→Ｑ
② ～Ｐ∨Ｑ
に於いて、
①＝② である。
といふことは、「むしろ、当然」である。
然るに、
（20）
「ウィキペディア（適切さの論理）」によると、
例えば以下の三つの条件文は全て古典論理においては真であるが、我々は真であるとは考えない。
「１＋１＝２」ならば「雪は白い」
「１＋１＝５」ならば「雪は白い」
「１＋１＝５」ならば「雪は黒い」
この我々が普段使用する「ならば」と古典論理における実質含意の乖離が実質含意のパラドクスである。
この我々が普段使用する「ならば」と実質含意の乖離について、多くの研究が行われきた（Anderson and Belnap 1975, Cheng 1996）。
との、ことである。
然るに、
（19）（20）により、
（21）
①「１＋１＝２」ならば「雪は白い」
②「１＋１＝５」ならば「雪は白い」
③「１＋１＝５」ならば「雪は黒い」
といふ「命題」は、「実質含意」としては、
①「１＋１≠２」であるか、または、「雪は白い」
②「１＋１≠５」であるか、または、「雪は白い」
③「１＋１≠５」であるか、または、「雪は黒い」
といふ「意味」である。
然るに、
（22）
④「１＋１≠２」であるか、または、「雪は黒い」
ではないため、
①「１＋１≠２」であるか、または、「雪は白い」
②「１＋１≠５」であるか、または、「雪は白い」
③「１＋１≠５」であるか、または、「雪は黒い」
といふ「命題」は、「３つ」とも、「真（本当）」である。
因みに、
（23）
六・一　論理学の命題はトートロジーである。
六・一一　論理学の命題は何ごとも語らない。（分析命題である。）
（吉田徹也、ウィトゲンシュタイン 論理哲学論考、2019年、２７８頁）
でいふ「論理学」は、
① 　Ｐ→Ｑ
② ～Ｐ∨Ｑ
に於いて、
①＝② である（含意の定義）。
やうな「（古典）論理学」を言ふ。
令和０４年１１月０９日、毛利太。

「（矛盾）が「真」ならば、（何でも有り）。」は「恒真（トートロジー）」である。

（01）
（ａ）
原始的規則あるいは導出された規則を、既に証明されたどのような連式あるいは定理とでもともに用いて、証明すると、
１　（１）　　　　Ｐ　　　　Ａ
１　（２）　　　　Ｐ∨Ｑ　　１∨Ｉ
１　（３）　　～～Ｐ∨Ｑ　　２ＤＮ
１　（４）　　　～Ｐ→Ｑ　　３含意の定義
　　（５）Ｐ→（～Ｐ→Ｑ）　１４ＣＰ
　６（６）Ｐ＆　～Ｐ　　　　Ａ
　６（７）Ｐ　　　　　　　　６＆Ｅ
　６（８）　　　～Ｐ→Ｑ　　５７ＭＰＰ
　６（９）　　　～Ｐ　　　　６＆Ｅ
　６（ア）　　　　　　Ｑ　　８９ＭＰＰ
　　（イ）　Ｐ＆～Ｐ→Ｑ　　６アＣＰ
（ｂ）
原始的規則だけを用いて、証明すると、
１　　　　　　（１）　　　Ｐ　　　　　　Ａ
１　　　　　　（２）　　　Ｐ∨　Ｑ　　　１∨Ｉ
　２　　　　　（３）　　～Ｐ＆～Ｑ　　　Ａ
　　４　　　　（４）　　　Ｐ　　　　　　Ａ
　２　　　　　（５）　　～Ｐ　　　　　　３＆Ｅ
　２４　　　　（６）　　　Ｐ＆～Ｐ　　　４５＆Ｉ
　　４　　　　（７）～（～Ｐ＆～Ｑ）　　２６ＲＡＡ
　　　８　　　（８）　　　　　　Ｑ　　　Ａ
　２　　　　　（９）　　　　　～Ｑ　　　３＆Ｅ
　２　８　　　（ア）　　　Ｑ＆～Ｑ　　　８９＆Ｉ
　　　８　　　（イ）～（～Ｐ＆～Ｑ）　　２アＲＡＡ
１　　　　　　（ウ）～（～Ｐ＆～Ｑ）　　１４７８イ∨Ｅ
　　　　エ　　（エ）　　～Ｐ　　　　　　Ａ
　　　　　オ　（オ）　　　　　～Ｑ　　　Ａ
　　　　エオ　（カ）　　～Ｐ＆～Ｑ　　　エオ＆Ｉ
１　　　エオ　（キ）～（～Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　　　　　（～Ｐ＆～Ｑ）　　ウカ＆Ｉ
１　　　エ　　（ク）　　　　～～Ｑ　　　オキＲＡＡ
１　　　エ　　（ケ）　　　　　　Ｑ　　　エＤＮ
１　　　　　　（コ）　　～Ｐ→　Ｑ　　　エケＣＰ
　　　　　　　（サ）Ｐ→（～Ｐ→Ｑ）　　１コＣＰ
　　　　　　シ（シ）Ｐ＆　～Ｐ　　　　　Ａ
　　　　　　シ（ス）Ｐ　　　　　　　　　シ＆Ｅ
　　　　　　シ（セ）　　　～Ｐ→Ｑ　　　サスＭＰＰ
　　　　　　シ（ソ）　　　～Ｐ　　　　　シ＆Ｅ
　　　　　　シ（タ）　　　　　　Ｑ　　　セソＭＰＰ
　　　　　　　（チ）　Ｐ＆～Ｐ→Ｑ　　　シタＣＰ
従って、
（01）により、
（02）
① 矛盾（Ｐ＆～Ｐ）
② 任意の命題（Ｑ）
に於いて、
① が「真」であるならば、
② も「真」である。
然るに、
（03）
① 矛盾（Ｐ＆～Ｐ）
② 任意の命題（Ｑ）
に於いて、
① は、「恒に偽」であるため、
② の「真偽」は、「不明」である。
従って、
（03）により、
（04）
　Ｐ＝太陽は東から昇る。
～Ｐ＝太陽は西から昇る。
　Ｑ＝バカボンのパパは天才である。
であるとして、
① 太陽は東から昇って、太陽は西から昇る。
② バカボンのパパは天才である。
に於いて、
① ならば、② である。
といふ「仮言命題」は、「恒真（トートロジー）」であるが、
② が「真であるか、偽であるか」は、「不明」である。
令和０４年１１月０９日、毛利太。

「（Ｐ→Ｑ）∨（Ｑ→Ｒ）」は「トートロジー（恒真式）」である。

（01）
５　原始的規則あるいは導出された規則を、既に証明されたどのような連式あるいは定理とでもともに用いて、証明せよ。
５　Using primitive or derived rules, together with any sequents or theorems already proved, prove:
（ｂ）├（Ｐ→Ｑ）∨（Ｑ→Ｒ）
（〃）「（ＰならばＱである）か（ＱならばＲである）。」は「恒に真である」。
（E.J.レモン 著、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年、８０頁改）
然るに、
（02）
（ｂ）
　　（１）　Ｑ∨～Ｑ　　　　　　　Ａ（排中律）
２　（２）　Ｑ　　　　　　　　　　Ａ
２　（３）～Ｐ∨Ｑ　　　　　　　　２∨Ｉ
２　（４）　Ｐ→Ｑ　　　　　　　　３含意の定義
２　（５）（Ｐ→Ｑ）∨（Ｑ→Ｒ）　４∨Ｉ
　６（６）～Ｑ　　　　　　　　　　Ａ
　６（７）～Ｑ∨Ｒ　　　　　　　　６∨Ｉ
　６（８）　Ｑ→Ｒ　　　　　　　　７含意の定義
　６（９）（Ｐ→Ｑ）∨（Ｑ→Ｒ）　８∨Ｉ
　　（ア）（Ｐ→Ｑ）∨（Ｑ→Ｒ）　２５６９ＥＥ
（03）
５　原始的規則（10 primitive rules）だけを用いて、証明せよ。
（ｂ） ├（Ｐ→Ｑ）∨（Ｑ→Ｒ）
（E.J.レモン 著、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年、８０頁改）
（04）
１　　　　　　　　　　　　　　（１）　～（Ｑ∨～Ｑ）　　　　Ａ
　２　　　　　　　　　　　　　（２）　　　Ｑ　　　　　　　　Ａ
　２　　　　　　　　　　　　　（３）　　　Ｑ∨～Ｑ　　　　　２∨Ｉ
１２　　　　　　　　　　　　　（４）　～（Ｑ∨～Ｑ）＆
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（Ｑ∨～Ｑ）　　　　１３＆Ｉ
１　　　　　　　　　　　　　　（５）　　～Ｑ　　　　　　　　２４ＲＡＡ
１　　　　　　　　　　　　　　（６）　　　Ｑ∨～Ｑ　　　　　５∨Ｉ
１　　　　　　　　　　　　　　（７）　～（Ｑ∨～Ｑ）＆
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（Ｑ∨～Ｑ）　　　　１６＆Ｉ
　　　　　　　　　　　　　　　（８）～～（Ｑ∨～Ｑ）　　　　１７ＲＡＡ
　　　　　　　　　　　　　　　（９）　　　Ｑ∨～Ｑ　　　　　８ＤＮ
　　　ア　　　　　　　　　　　（ア）　　　Ｑ　　　　　　　　Ａ（排中律・左項）
　　　ア　　　　　　　　　　　（イ）　　～Ｐ∨　Ｑ　　　　　ア∨Ｉ
　　　　ウ　　　　　　　　　　（ウ）　　　Ｐ＆～Ｑ　　　　　Ａ
　　　　　エ　　　　　　　　　（エ）　　～Ｐ　　　　　　　　Ａ
　　　　ウ　　　　　　　　　　（オ）　　　Ｐ　　　　　　　　ウ＆Ｅ
　　　　ウエ　　　　　　　　　（カ）　　～Ｐ＆Ｐ　　　　　　エオ＆Ｉ
　　　　　エ　　　　　　　　　（キ）　～（Ｐ＆～Ｑ）　　　　ウカＲＡＡ
　　　　　　ク　　　　　　　　（ク）　　　　　　Ｑ　　　　　Ａ
　　　　ウ　　　　　　　　　　（ケ）　　　　　～Ｑ　　　　　ウ＆Ｅ
　　　　ウ　ク　　　　　　　　（コ）　　　Ｑ＆～Ｑ　　　　　クケ＆Ｉ
　　　　　　ク　　　　　　　　（サ）　～（Ｐ＆～Ｑ）　　　　ウコＲＡＡ
　　　ア　　　　　　　　　　　（シ）　～（Ｐ＆～Ｑ）　　　　イエキクサ∨Ｅ
　　　　　　　ス　　　　　　　（ス）　　　Ｐ　　　　　　　　Ａ
　　　　　　　　セ　　　　　　（セ）　　　　　～Ｑ　　　　　Ａ
　　　　　　　スセ　　　　　　（ソ）　　　Ｐ＆～Ｑ　　　　　チツ＆Ｉ
　　　ア　　　スセ　　　　　　（タ）　～（Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（Ｐ＆～Ｑ）　　　　キソ＆Ｉ
　　　ア　　　ス　　　　　　　（チ）　　　　～～Ｑ　　　　　セタＲＡＡ
　　　ア　　　ス　　　　　　　（ツ）　　　　　　Ｑ　　　　　チＤＮ
　　　ア　　　　　　　　　　　（テ）　　　Ｐ→　Ｑ　　　　　スツＣＰ
　　　ア　　　　　　　　　　　（ト）（Ｐ→Ｑ）∨（Ｑ→Ｒ）　テ∨Ｉ
　　　　　　　　　ナ　　　　　（ナ）　　　　　～Ｑ　　　　　Ａ（排中律・右項）
　　　　　　　　　ナ　　　　　（ニ）　　　　　～Ｑ∨Ｒ　　　ナ∨Ｉ
　　　　　　　　　　ヌ　　　　（ヌ）　　　　　Ｑ＆～Ｒ　　　Ａ
　　　　　　　　　　　ネ　　　（ネ）　　　　　～Ｑ　　　　　Ａ
　　　　　　　　　　ヌ　　　　（ノ）　　　　　Ｑ　　　　　　ヌ＆Ｅ
　　　　　　　　　　ヌネ　　　（ハ）　　　　　～Ｑ＆Ｑ　　　ネノ＆Ｉ
　　　　　　　　　　　ネ　　　（ヒ）　　　～（Ｑ＆～Ｒ）　　ヌハＲＡＡ
　　　　　　　　　　　　フ　　（フ）　　　　　　　　Ｒ　　　Ａ
　　　　　　　　　　ヌ　　　　（ヘ）　　　　　　　～Ｒ　　　ヌ＆Ｅ
　　　　　　　　　　ヌ　フ　　（ホ）　　　　　Ｒ＆～Ｒ　　　フヘ＆Ｉ
　　　　　　　　　　　　フ　　（マ）　　　～（Ｑ＆～Ｒ）　　ヌホＲＡＡ
　　　　　　　　　ナ　　　　　（ミ）　　　～（Ｑ＆～Ｒ）　　ニネヒフマ∨Ｅ
　　　　　　　　　　　　　ム　（ム）　　　　　Ｑ　　　　　　Ａ
　　　　　　　　　　　　　　メ（メ）　　　　　　　～Ｒ　　　Ａ
　　　　　　　　　　　　　ムメ（モ）　　　　　Ｑ＆～Ｒ　　　ムメ＆Ｉ
　　　　　　　　　ナ　　　ムメ（ヤ）　　　～（Ｑ＆～Ｒ）＆
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（Ｑ＆～Ｒ）　　ミモ＆Ｉ
　　　　　　　　　ナ　　　ム　（い）　　　　　　～～Ｒ　　　メＲＡＡ
　　　　　　　　　ナ　　　ム　（ユ）　　　　　　　　Ｒ　　　いＤＮ
　　　　　　　　　ナ　　　　　（え）　　　　　Ｑ→　Ｒ　　　ムユＣＰ
　　　　　　　　　ナ　　　　　（ヨ）（Ｐ→Ｑ）∨（Ｑ→Ｒ）　え∨Ｉ
　　　　　　　　　　　　　　　（ラ）（Ｐ→Ｑ）∨（Ｑ→Ｒ）　９アトナヨ∨Ｅ
従って、
（02）（04）により、
（05）
いづれにせよ、
（ａ）├ 　　 Ｑ　∨～Ｑ
（ｂ）├（Ｐ→Ｑ）∨（Ｑ→Ｒ）
に於いて、
（ａ）が「恒真（トートロジー）」であるが故に、
（ｂ）も「恒真（トートロジー）」である。
然るに、
（06）
①（１→０）∨（０→Ｒ）≡０∨１≡１
②（Ｐ→１）∨（１→０）≡１∨０≡１
従って、
（05）（06）により、
（07）
（ｂ）├（Ｐ→Ｑ）∨（Ｑ→Ｒ）
は、確かに、「恒真（トートロジー）」である。
従って、
（06）（07）により、
（08）
（α）（Ａが日本人であるならば、Ａは男性である）。
（β）（Ａが男性であるならば、　Ａは家にゐる）。
に於いて、
（α）が「偽（ウソ）」ならば、
（β）は「真（本当）」であり、
（β）が「偽（ウソ）」であるならば、
（α）は「真（本当）」である。
令和０４年１１月０８日、毛利太。

「パースの法則」について。

（01）

然るに、
（02）
５　原始的規則あるいは導出された規則を、既に証明されたどのような連式あるいは定理とでもともに用いて、証明せよ。
（ｃ）├（（Ｐ→　Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
（〃）├（（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
（〃）├（（Ｐ→～Ｐ）→Ｐ）→Ｐ
（E.J.レモン 著、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年、８０頁改）
然るに、
（03）
（ⅰ）
１　　（１）　　　　（Ｐ→Ｑ）→Ｐ　Ａ
１　　（２）　　　～（Ｐ→Ｑ）∨Ｐ　１含意の定義
　３　（３）　　　～（Ｐ→Ｑ）　　　Ａ
　３　（４）　　～（～Ｐ∨Ｑ）　　　Ａ
　３　（５）　　　　Ｐ＆～Ｑ　　　　４ド・モルガンの法則
　３　（６）　　　　Ｐ　　　　　　　５＆Ｅ
　　７（７）　　　　　　　　　　Ｐ　Ａ
１　　（８）　　　　　　　　　　Ｐ　１３６７７∨Ｅ
　　　（９）（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ　１８ＣＰ
（ⅱ）
１　　（１）　　　　（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ　Ａ
１　　（２）　　　～（Ｐ→～Ｑ）∨Ｐ　１含意の定義
　３　（３）　　　～（Ｐ→～Ｑ）　　　Ａ
　３　（４）　　～（～Ｐ∨～Ｑ）　　　Ａ
　３　（５）　　　　Ｐ＆　　Ｑ　　　　４ド・モルガンの法則
　３　（６）　　　　Ｐ　　　　　　　　５＆Ｅ
　　７（７）　　　　　　　　　　　Ｐ　Ａ
１　　（８）　　　　　　　　　　　Ｐ　１３６７７∨Ｅ
　　　（９）（（Ｐ→～Ｐ）→Ｐ）→Ｐ　１８ＣＰ
（ⅲ）
１　　（１）　　　　（Ｐ→～Ｐ）→Ｐ　Ａ
１　　（２）　　　～（Ｐ→～Ｐ）∨Ｐ　１含意の定義
　３　（３）　　　～（Ｐ→～Ｐ）　　　Ａ
　３　（４）　　～（～Ｐ∨～Ｐ）　　　Ａ
　３　（５）　　　　Ｐ＆　　Ｐ　　　　４ド・モルガンの法則
　３　（６）　　　　Ｐ　　　　　　　　５＆Ｅ
　　７（７）　　　　　　　　　　　Ｐ　Ａ
１　　（８）　　　　　　　　　　　Ｐ　１３６７７∨Ｅ
　　　（９）（（Ｐ→～Ｐ）→Ｐ）→Ｐ　１８ＣＰ
従って、
（02）（03）により、
（04）
①├ （（Ｐ→　Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
②├ （（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
③├ （（Ｐ→～Ｐ）→Ｐ）→Ｐ
といふ「論理式（パースの法則）」すなはち、
①├ （（ＰならばＱである）ならばＰ）ならばＰである
②├ （（ＰならばＱでない）ならばＰ）ならばＰである。
③├ （（ＰならばＰでない）ならばＰ）ならばＰである。
といふ「パースの法則」は、３つとも、「トートロジー（恒真式）」である。
従って、
（01）（04）により、
（05）
命題計算では、パースの法則は ((P→Q)→P)→P のことを言う。この意味するところを書き出すと、命題Pについて、命題Qが存在して、「PならばQ」からPが真であることが従うときには、Pは真でなければならないとなる。とりわけ、Qとして偽を選んだ場合には、Pから偽が従うときは常にPが真であるならば、Pは真であるとなる（ウィキペディア）。
といふ『わけ』ではない。
令和０４年１１月０７日、毛利太。

「兎は耳が長い」の「述語論理（Ⅰ・Ⅱ）」。

（01）
（Ⅰ）
１　　　　　（１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝　Ａ
　２　　　　（２）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（長ｙ＆耳ｙｘ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝　Ａ
　　３　　　（３）∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
１　　　　　（４）　　　象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　１ＵＥ
　２　　　　（５）　　　兎ａ→∃ｙ（長ｙ＆耳ｙａ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ）　　２ＵＥ
　　　６　　（６）　　　兎ａ＆象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　６　　（７）　　　兎ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　６＆Ｅ
　　　６　　（８）　　　　　　象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　６＆Ｅ
１　　６　　（９）　　　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　４８ＭＰＰ
　２　６　　（ア）　　　　　　∃ｙ（長ｙ＆耳ｙａ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ）　　５７ＭＰＰ
１　　６　　（イ）　　　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　９＆Ｅ
　　　　ウ　（ウ）　　　　　　　　　鼻ｂａ＆長ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　２　６　　（エ）　　　　　　∃ｙ（長ｙ＆耳ｙａ）　　　　　　　　　　　　　　　ア＆Ｅ
　　　　　オ（オ）　　　　　　　　　長ｂ＆耳ｂａ　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　　　オ（カ）　　　　　　　　　　　　耳ｂａ　　　　　　　　　　　　　　　　オ＆Ｅ
１　　６　　（キ）　　　　　　　　　　　　　　　　　∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　９＆Ｅ
　２　６　　（ク）　　　　　　　　　　　　　　　　　∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ）　　ア＆Ｅ
１　　６　　（ケ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～鼻ｂａ→～長ｂ　　　キＵＥ
　２　６　　（コ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　耳ｂａ→～鼻ｂａ　　　クＵＥ
　２　６　オ（サ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～鼻ｂａ　　　カコＭＰＰ
１２　６　オ（シ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～長ｂ　　　ケサＭＰＰ
　　　　　オ（ス）　　　　　　　　　長ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　オ＆Ｅ
１２　６　オ（セ）　　　　　　　　　長ｂ＆～長ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　シス＆Ｉ
１２　６　　（ソ）　　　　　　　　　長ｂ＆～長ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　エオセＥＥ
１２３　　　（タ）　　　　　　　　　長ｂ＆～長ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　３６ソＥＥ
１２　　　　（チ）～∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　３タＲＡＡ
１２　　　　（ツ）∀ｘ～（兎ｘ＆象ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　チ量化子の関係
１２　　　　（テ）　　～（兎ａ＆象ａ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ツＵＥ
１２　　　　（ト）　　～兎ａ∨～象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　テ、ド・モルガンの法則
１２　　　　（ナ）　　　兎ａ→～象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ト含意の定義
１２　　　　（ニ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ナＵＩ
然るに、
（02）
（Ⅱ）
１　　　（１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝　　Ａ
　２　　（２）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｚ（耳ｚｘ＆～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝　　　　　　　　　　Ａ
１　　　（３）　　　象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　　１ＵＥ
　２　　（４）　　　兎ａ→∃ｚ（耳ｚａ＆～鼻ｚａ＆長ｚ）　　　　　　　　　　　２ＵＥ
　　５　（５）　　　兎ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　２５　（６）　　　　　　∃ｚ（耳ｚａ＆～鼻ｚａ＆長ｚ）　　　　　　　　　　　４５ＭＰＰ
　　　７（７）　　　　　　　　　耳ｂａ＆～鼻ｂａ＆長ｂ　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　７（８）　　　　　　　　　　　　　～鼻ｂａ＆長ｂ　　　　　　　　　　　　７＆Ｅ
　　　７（９）　　　　　　　　　　　～（鼻ｂａ∨～長ｂ）　　　　　　　　　　　８ド・モルガンの法則
　　　７（ア）　　　　　　　　　　～（～鼻ｂａ→～長ｂ）　　　　　　　　　　　９含意の定義
　　　７（イ）　　　　　　　　∃ｚ～（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　　　　　　　　　　アＥＩ
　２５　（ウ）　　　　　　　　∃ｚ～（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　　　　　　　　　　６７イＥＥ
　２５　（エ）　　　　　　　　～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　　　　　　　　　　ウ量化子の関係
　２５　（オ）　　　　　～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　エ∨Ｉ
　２５　（カ）　　　　～｛∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆　∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）｝　オ、ド・モルガンの法則
１２５　（キ）　　～象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　３カＭＴＴ
１２　　（ク）　　　兎ａ→～象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　５キＣＰ
１２　　（ケ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　クＵＩ
従って、
（01）（02）により、
（03）
① ∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（長ｙ＆耳ｙｘ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝。
② ∀ｘ｛兎ｘ→∃ｚ（耳ｚｘ＆～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝。
であるならば、すなはち、
① すべてのｘについて｛ｘが兎であるならば、あるｙは（長くて、ｘの耳であり）、すべてのｚについて（ｚがｘの耳であるならば、ｚはｘの鼻ではない）｝。
② すべてのｘについて｛ｘが兎であるならば、あるｚは（ｘの耳であって、ｘの鼻ではなく、ｚは長い）｝。
であるならば、
① よりも、
② の方が、「簡単で、分かりやすい」。
（04）
「命題計算」の「練習問題」を解いてたためか、
（ⅰ）　　∃ｚ（耳ｚａ＆～鼻ｚａ＆長ｚ）
（ⅱ）～｛∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）｝
に於いて、
（ⅰ）からは、
（ⅱ）が得られる。
といふことに「気付くこと」が出来、それならば、
① ∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（長ｙ＆耳ｙｘ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝
② ∀ｘ｛兎ｘ→∃ｚ（耳ｚｘ＆～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝
に於いて、
① でなくとも、
② で「十分」であると思ひ立って、
（Ⅰ）を、（Ⅱ）に「書き直した」。
といふ「次第」である。
（05）
（ⅰ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。然るに、
（ⅱ）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｚ（耳ｚｘ＆～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝。従って、
（ⅲ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ）。
といふ「推論（三段論法）」、すなわち、
（ⅰ）すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙは（ｘの鼻であって、長く）、すべてのｚについて（ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない）｝。然るに、
（ⅱ）すべてのｘについて｛ｘが兎であるならば、あるｚは（ｘの耳であって、ｘの鼻ではなく、ｚは長い）｝。従って、
（ⅲ）すべてのｘについて（ｘが兎ならば、ｘは象ではない）。
といふ「推論」、すなはち、
（ⅰ）象は鼻が長い。然るに、
（ⅱ）兎の耳は長いが、耳は鼻ではない。従って、
（ⅲ）兎は象ではない。
といふ「推論（三段論法）」は、「妥当」である。
然るに、
（06）
（ⅰ）象は、鼻と耳が長い。然るに、
（ⅱ）ピーターの耳は長いが、耳は鼻ではない。従って、
（ⅲ）ピーターは象ではない。
といふ「推論（三段論法）」は、「妥当」ではない。
然るに、
（07）
（ⅰ）象は、鼻は長く、鼻以外は長くない。然るに、
（ⅱ）ピーターの耳は長いが、耳は鼻ではない。従って、
（ⅲ）ピーターは象ではない。
といふ「推論（三段論法）」は、「妥当」である。
従って、
（05）（06）（07）により、
（08）
① 象は、鼻が長い。
② 象は、鼻は長く、鼻以外は長くない。
③ 象は、鼻は長く、鼻以外も長い。
に於いて、
①＝② であって、
①＝③ ではない。
令和４年１１月０６日、毛利太。

「象は鼻が長い（三上文法）」は「（論理学としては）役に立たない」。

（01）
「（ブログ開設当初からの）これまでの三段論法」である、
（ⅰ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。然るに、
（ⅱ）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（長ｙ＆耳ｙｘ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝。従って、
（ⅲ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ）。
とは「異なる三段論法」を書くことにする。
（02）
１　　　（１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝　　Ａ
　２　　（２）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｚ（耳ｚｘ＆～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝　　　　　　　　　　Ａ
１　　　（３）　　　象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　　１ＵＥ
　２　　（４）　　　兎ａ→∃ｚ（耳ｚａ＆～鼻ｚａ＆長ｚ）　　　　　　　　　　　２ＵＥ
　　５　（５）　　　兎ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　２５　（６）　　　　　　∃ｚ（耳ｚａ＆～鼻ｚａ＆長ｚ）　　　　　　　　　　　４５ＭＰＰ
　　　７（７）　　　　　　　　　耳ｂａ＆～鼻ｂａ＆長ｂ　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　７（８）　　　　　　　　　　　　　～鼻ｂａ＆長ｂ　　　　　　　　　　　　７＆Ｅ
　　　７（９）　　　　　　　　　　　～（鼻ｂａ∨～長ｂ）　　　　　　　　　　　８ド・モルガンの法則
　　　７（ア）　　　　　　　　　　～（～鼻ｂａ→～長ｂ）　　　　　　　　　　　９含意の定義
　　　７（イ）　　　　　　　　∃ｚ～（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　　　　　　　　　　アＥＩ
　２５　（ウ）　　　　　　　　∃ｚ～（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　　　　　　　　　　６７イＥＥ
　２５　（エ）　　　　　　　　～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　　　　　　　　　　ウ量化子の関係
　２５　（オ）　　　　　～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　エ∨Ｉ
　２５　（カ）　　　　～｛∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆　∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）｝　オ、ド・モルガンの法則
１２５　（キ）　　～象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　３カＭＴＴ
１２　　（ク）　　　兎ａ→～象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　５キＣＰ
１２　　（ケ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　クＵＩ
従って、
（02）により、
（03）
（ⅰ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。然るに、
（ⅱ）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｚ（耳ｚｘ＆～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝。従って、
（ⅲ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ）。
といふ「推論」、すなわち、
（ⅰ）すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙは（ｘの鼻であって、長く）、すべてのｚについて（ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない）｝。然るに、
（ⅱ）すべてのｘについて｛ｘが兎であるならば、あるｚは（ｘの耳であって、ｘの鼻ではなく、ｚは長い）｝。従って、
（ⅲ）すべてのｘについて（ｘが兎ならば、ｘは象ではない）。
といふ「推論」は「妥当」である。
従って、
（03）により、
（04）
（ⅰ）象は鼻が長い。　　　　　　　然るに、
（ⅱ）兎の耳は鼻ではないが、長い。従って、
（ⅲ）兎は象ではない。
といふ「推論」は、「述語論理」としても「妥当」である。
従って、
（02）（03）（04）により、
（05）
「換言」すると、
① 象は鼻が長い。
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
に於いて、
①＝② でなければ、
（ⅰ）象は鼻が長い。　　　　　　　然るに、
（ⅱ）兎の耳は鼻ではないが、長い。従って、
（ⅲ）兎は象ではない。
といふ「推論」は、「妥当」ではない。
然るに、
（06）
「象は鼻が長い」はどれが主辞がわからないから、このままでは非論理的な構造の文である、と言う人がもしあった（沢田『入門』二九ペ）とすれば、その人は旧『論理学』を知らない人であろう、これはこのままで、
　象は　鼻が長い。
　主辞　賓辞
とはっきりしている。速水式に簡単明リョウである。意味も、主辞賓辞の関係も小学生にもわかるはずの文である。これに文句をつけたり、それを取り次いだりするのは、人々が西洋文法に巻かれていることを語る以外の何物でもない。このまま定理扱いしてもよろしい。そしてこの定理の逆は真でないとして、鼻の長いもの例に、鞍馬山の天狗だの、池の尾の禅珍内供だのを上げるのも一興だろう。それでおしまいである（三上章、日本語の論理、1963年、１３・１４頁）。
従って、

（06）により、
（07）
「三上文法」に於いては、
① 象は鼻が長い。
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
に於いて、
①＝② ではない。
従って、
（07）により、
（08）
「三上章、日本語の論理、1963年」は、
① 象は鼻が長い。⇔
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
といふ「日本語」を、「論理的に、分析をしてゐる」といふわけではない。
令和４年１１月０６日、毛利太。

「ド・モルガンの法則」としての「量化子の関係」。

（01）
（ⅰ）
１　　　（１）　～（　Ｐ∨　Ｑ）　　Ａ
　２　　（２）　～（～Ｐ＆～Ｑ）　　Ａ
　　３　（３）　　　　Ｐ　　　　　　Ａ
　　３　（４）　　　　Ｐ∨　Ｑ　　　３∨Ｉ
１　３　（５）　～（　Ｐ∨　Ｑ）＆
　　　　　　　　　（　Ｐ∨　Ｑ）　　１４＆Ｉ
１　　　（６）　　　～Ｐ　　　　　　３５ＲＡＡ
　　　７（７）　　　　　　　Ｑ　　　Ａ
　　　７（８）　　　　Ｐ∨　Ｑ　　　７∨Ｉ
１　　７（９）　～（　Ｐ∨　Ｑ）＆
　　　　　　　　　（　Ｐ∨　Ｑ）　　１８＆Ｉ
１　　　（ア）　　　　　　～Ｑ　　　７９ＲＡＡ
１　　　（イ）　　　～Ｐ＆～Ｑ　　　６ア＆Ｉ
１２　　（ウ）　～（～Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　　　（～Ｐ＆～Ｑ）　　２イ＆Ｉ
１　　　（エ）～～（～Ｐ＆～Ｑ）　　２ウＲＡＡ
１　　　（オ）　　　～Ｐ＆～Ｑ　　　エＤＮ
（ⅱ）
１　　　（１）　　　～Ｐ＆～Ｑ　　　Ａ
　２　　（２）　　　　Ｐ∨　Ｑ　　　Ａ
１　　　（３）　　　～Ｐ　　　　　　１＆Ｅ
　　４　（４）　　　　Ｐ　　　　　　Ａ
１　４　（５）　　　～Ｐ＆Ｐ　　　　３４＆Ｉ
　　４　（６）　～（～Ｐ＆～Ｑ）　　１５ＲＡＡ
１　　　（７）　　　　　　～Ｑ　　　１＆Ｅ
　　　８（８）　　　　　　　Ｑ　　　Ａ
１　　８（９）　　　　～Ｑ＆Ｑ　　　７８＆Ｉ
　　　８（ア）　～（～Ｐ＆～Ｑ）　　１９ＲＡＡ
　２　　（イ）　～（～Ｐ＆～Ｑ）　　２４６８ア∨Ｅ
１２　　（ウ）　　（～Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　　～（～Ｐ＆～Ｑ）　　１ウ＆Ｉ
１　　　（エ）　　～（Ｐ∨　Ｑ）　　２ウＲＡＡ
従って、
（01）により、
（02）
① ～（Ｐ∨　Ｑ）
②　 ～Ｐ＆～Ｑ
に於いて、
①＝② は「ド・モルガンの法則」である。
従って、
（02）により、
（03）
① ～（Ｐ∨　Ｑ）
②　 ～Ｐ＆～Ｑ
に於いて、
Ｐ＝（Ｐ∨Ｑ）
Ｑ＝（Ｒ∨Ｓ）
といふ「代入」を行ふと、
① ～（Ｐ∨Ｑ ∨ Ｒ∨Ｓ）
② ～（Ｐ∨Ｑ）＆～（Ｒ∨Ｓ）
に於いて、
①＝② は「ド・モルガンの法則」である。
然るに、
（04）
（ⅱ）
１（１）～（Ｐ∨Ｑ）＆～（Ｒ∨Ｓ）　Ａ
１（２）～（Ｐ∨Ｑ）　　　　　　　　１＆Ｅ
１（３）～Ｐ＆～Ｑ　　　　　　　　　２ド・モルガンの法則
１（４）　　　　　　　～（Ｒ∨Ｓ）　１＆Ｅ
１（５）　　　　　　　～Ｒ＆～Ｓ　　４ド・モルガンの法則
１（６）～Ｐ＆～Ｑ　＆～Ｒ＆～Ｓ　　３５＆Ｉ
（ⅲ）
１（１）～Ｐ＆～Ｑ　＆～Ｒ＆～Ｓ　　Ａ
１（２）～Ｐ＆～Ｑ　　　　　　　　　１＆Ｅ
１（３）～（Ｐ∨Ｑ）　　　　　　　　２ド・モルガンの法則
１（４）　　　　　　　～Ｒ＆～Ｓ　　１＆Ｅ
１（５）　　　　　　　～（Ｒ∨Ｓ）　４ド・モルガンの法則
４（６）～（Ｐ∨Ｑ）＆～（Ｒ∨Ｓ）　３５＆Ｉ
従って、
（05）
② ～（Ｐ∨Ｑ）＆～（Ｒ∨Ｓ）
③ ～Ｐ＆～Ｑ　＆～Ｒ＆～Ｓ
に於いて、
②＝③ は「ド・モルガンの法則」である。
従って、
（03）（05）により、
（06）
① ～（Ｐ∨Ｑ ∨     Ｒ∨Ｓ）
② ～（Ｐ∨Ｑ）＆～（Ｒ∨Ｓ）
③ ～Ｐ＆～Ｑ　＆～Ｒ＆～Ｓ
に於いて、
①＝②＝③ は「ド・モルガンの法則」である。
従って、
（06）により、
（07）
① ～（Ｐ∨　Ｑ∨　Ｒ∨　Ｓ）
② 　～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ＆～Ｓ
に於いて、
①＝② は「ド・モルガンの法則」である。
従って、
（08）
① ～（Ｆａ∨　Ｆｂ∨　Ｆｃ∨　Ｆｄ）
②　 ～Ｆａ＆～Ｆｂ＆～Ｆｃ＆～Ｆｄ
に於いて、
①＝② は「ド・モルガンの法則」である。
従って、
（08）により、
（09）
①（ａがＦであるか、ｂがＦであるか、ｃがＦであるか、ｄがＦである）といふことはない。
②  ａはＦではなく、ｂもＦではなく、ｃもＦではなく、ｄもＦではない。
に於いて、
①＝② は「ド・モルガンの法則」である。
然るに、
（10）
｛ｘの変域｝＝｛ａ、ｂ、ｃ、ｄ｝
であるとすると、
①（ａがＦであるか、ｂがＦであるか、ｃがＦであるか、ｄがＦである）といふことはない。
②  ａはＦではなく、ｂもＦではなく、ｃもＦではなく、ｄもＦではない。
といふことは、
①（あるｘがＦである）といふことはない。
②  すべてのｘが、Ｆではない。
といふことである。
従って、
（09）（10）により、
（11）
①（あるｘがＦである）といふことはない。
②  すべてのｘが、Ｆではない。
に於いて、
①＝② は「ド・モルガンの法則」である。
然るに、
（11）により、
（12）
①（あるｘがＦである）といふことはない。
②  すべてのｘが、Ｆではない。
といふ「日本語」は、
① ～∃ｘ（Ｆｘ）
② ∀ｘ（～Ｆｘ）
といふ「述語論理式」に「相当」する。
従って、
（11）（12）により、
（13）
① ～∃ｘ（Ｆｘ）
② ∀ｘ（～Ｆｘ）
に於いて、
①＝② は「ド・モルガンの法則」である。
然るに、
（14）
① ～∃ｘ（Ｆｘ）
② ∀ｘ（～Ｆｘ）
に於いて、
①＝② は「量化子の関係」である。
従って、
（14）により、
（15）
① ～∃ｘ（Ｆｘ）
② ∀ｘ（～Ｆｘ）
に於いて、
①＝② は「量化子の関係」であって、「ド・モルガンの法則」である。
令和０４年１１月０２日、毛利太。

「述語論理」は「命題論理」である。

（01）
（ⅰ）
１　（１）∀ｘ（Ｆｘ→～Ｇｘ）　Ａ
１　（２）　　　Ｆａ→～Ｇａ　　１ＵＥ
　３（３）　　　　　　　Ｇａ　　Ａ
　３（４）　　　　　～～Ｇａ　　３ＤＮ
１３（５）　　～Ｆａ　　　　　　２４ＭＴＴ
１　（６）　　　Ｇａ→～Ｆａ　　３５ＣＰ
１　（７）∀ｘ（Ｇｘ→～Ｆｘ）　６ＵＩ
（ⅱ）
１　（１）∀ｘ（Ｇｘ→～Ｆｘ）　Ａ
１　（２）　　　Ｇａ→～Ｆａ　　１ＵＥ
　３（３）　　　　　　　　Ｆａ　Ａ
　３（４）　　　　　　～～Ｆａ　３ＤＮ
１３（５）　　～Ｇａ　　　　　　２４ＭＴＴ
１　（６）　　　Ｆａ→～Ｇａ　　３５ＣＰ
１　（７）∀ｘ（Ｆｘ→～Ｇｘ）　６ＵＩ
従って、
（01）により、
（02）
① ∀ｘ（Ｆｘ→～Ｇｘ）
② ∀ｘ（Ｇｘ→～Ｆｘ）
に於いて、すなはち、
① すべてのｘについて、ｘがＦならば、ｘはＧではない。
② すべてのｘについて、ｘがＧならば、ｘはＦではない。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（02）により、
（03）
① ＦはＧではない。
② ＧはＦではない。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（03）により、
（04） 

① ＦはＧではない。
の場合、
②「逆」も必ず「真」である。
従って、 

（04）により、
（05）
例へば、
① 偶数は奇数ではない。
② 奇数は偶数ではない。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（06）
（ⅲ）
１　（１）～∀ｘ（Ｆｘ→～Ｇｘ）　Ａ
１　（２）∃ｘ～（Ｆｘ→～Ｇｘ）　１量化子の関係
　３（３）　　～（Ｆａ→～Ｇａ）　Ａ
　３（４）　～（～Ｆａ∨～Ｇａ）　３含意の定義
　３（５）　　　　Ｆａ＆　Ｇａ　　４ド・モルガンの法則
　３（６）　∃ｘ（Ｆｘ＆　Ｇｘ）　５ＥＩ
１　（７）　∃ｘ（Ｆｘ＆　Ｇｘ）　２３６ＥＥ
（ⅳ）
１　（１）　∃ｘ（Ｆｘ＆　Ｇｘ）　Ａ
　２（２）　　　　Ｆａ＆　Ｇａ　　Ａ
　２（３）　～（～Ｆａ∨～Ｇａ）　２ド・モルガンの法則
　２（４）　　～（Ｆａ→～Ｇａ）　３含意の定義
　２（５）∃ｘ～（Ｆｘ→～Ｇｘ）　４ＥＩ
１　（６）～∀ｘ（Ｆｘ→～Ｇｘ）　２量化子の関係
従って、
（06）により、
（07）
③（すべてのｘについて、ｘがＦならば、ｘはＧではない）といふわけではない。
④（Ｆであって、Ｇであるｘ）が存在する。
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（07）により、
（08）
③（ＦはＧでない）といふわけではない。
④ あるＦはＧである。
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（08）により、
（09）
例へば、
③（素数は偶数でない）といふわけではない。
④ ある素数は偶数である。
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（05）（09）により、
（10）
① 偶数は奇数ではない。
② 奇数は偶数ではない。
③（素数は偶数でない）といふわけではない。
④ ある素数は偶数である。
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ である。
ということに、なるものの、「だからどうした」といふ感じである。
（11）
いづれにしても、
① 偶数は奇数ではない。
② 奇数は偶数ではない。
といふことは、
①「任意の奇数」は「偶数の集合の元ではない」。
②「任意の偶数」は「奇数の集合の元ではない」。
といふことに、他ならない。

　―「量化子の関係」の「証明」―
（12）
（ⅰ）
１　　（１）　～∀ｘ（　Ｆｘ）　　Ａ
　２　（２）　～∃ｘ（～Ｆｘ）　　Ａ
　　３（３）　　　　　～Ｆａ　　　Ａ
　　３（４）　　∃ｘ（～Ｆｘ）　　３
　２３（５）　～∃ｘ（～Ｆｘ）＆
　　　　　　　　∃ｘ（～Ｆｘ）　　２４＆Ｉ
　２　（６）　　　　～～Ｆａ　　　３５ＲＡＡ
　２　（７）　　　　　　Ｆａ　　　６ＤＮ
　２　（８）　　∀ｘ（　Ｆｘ）　　７ＵＩ
１２　（９）　～∀ｘ（　Ｆｘ）＆
　　　　　　　　∀ｘ（　Ｆｘ）　　１８＆Ｉ
１　　（ア）～～∃ｘ（～Ｆｘ）　　２９ＲＡＡ
１　　（イ）　　∃ｘ（～Ｆｘ）　　アＤＮ
（ⅱ）
１　　（１）　　∃ｘ（～Ｆｘ）　　Ａ
　２　（２）　　∀ｘ（　Ｆｘ）　　Ａ
　　３（３）　　　　　～Ｆａ　　　Ａ
　２　（４）　　　　　　Ｆａ　　　２ＵＥ
　２３（５）　　～Ｆａ＆Ｆａ　　　３４＆Ｉ
　　３（６）　～∀ｘ（　Ｆｘ）　　２５ＲＡＡ
１　　（７）　～∀ｘ（　Ｆｘ）　　１３６ＥＥ
従って、
（12）により、
（13）
① ～∀ｘ（　Ｆｘ）
② 　∃ｘ（～Ｆｘ）
に於いて、すなはち、
①（全てのｘがＦである）といふわけではない。
②（Ｆでないｘ）が存在する。
に於いて、
①＝② である。

　―「量化子の関係」を「命題論理」で「証明」する。―
（14）
（ⅰ）
１　　　　（１）　～（　Ｆａ＆　Ｆｂ＆　Ｆｃ）　　Ａ
　２　　　（２）　～（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ）　　Ａ
　　３　　（３）　　　～Ｆａ　　　　　　　　　　　Ａ
　　３　　（４）　　　～Ｆａ∨～Ｆｂ　　　　　　　３∨Ｉ
　　３　　（５）　　　～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ　　　４∨Ｉ
　２３　　（６）　～（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ）＆
　　　　　　　　　　（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ）　　２５＆Ｉ
　２　　　（７）　　～～Ｆａ　　　　　　　　　　　３６ＲＡＡ
　２　　　（８）　　　　Ｆａ　　　　　　　　　　　７ＤＮ
　　　９　（９）　　　　　　　～Ｆｂ　　　　　　　Ａ
　　　９　（ア）　　　～Ｆａ∨～Ｆｂ　　　　　　　９∨Ｉ
　　　９　（イ）　　　～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ　　　ア∨Ｉ
　２　９　（ウ）　～（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ）＆
　　　　　　　　　　（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ）　　２イ＆Ｉ
　２　　　（エ）　　　　　　～～Ｆｂ　　　　　　　９ウＲＡＡ
　２　　　（オ）　　　　　　　　Ｆｂ　　　　　　　エＤＮ
　　　　カ（カ）　　　　　　　　　　　～Ｆｃ　　　Ａ
　　　　カ（キ）　　　　　　　～Ｆｂ∨～Ｆｃ　　　カ∨Ｉ
　　　　カ（ク）　　　～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ　　　キ∨Ｉ
　２　　カ（ケ）　～（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ）＆
　　　　　　　　　　（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ）　　２９＆Ｉ
　２　　　（コ）　　　　　　　　　　～～Ｆｃ　　　カケＲＡＡ
　２　　　（サ）　　　　　　　　　　　　Ｆｃ　　　コＤＮ
　２　　　（シ）　　　　Ｆａ＆Ｆｂ　　　　　　　　８オ＆Ｉ
　２　　　（ス）　　　　Ｆａ＆　Ｆｂ＆　Ｆｃ　　　サシ＆Ｉ
１２　　　（セ）　　～（Ｆａ＆　Ｆｂ＆　Ｆｃ）＆
　　　　　　　　　　　（Ｆａ＆　Ｆｂ＆　Ｆｃ）　　２ス＆Ｉ
１　　　　（ソ）～～（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ）　　２セＲＡＡ
１　　　　（タ）　　　～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ　　　ソＤＮ
（ⅱ）
１　　　　　（１）　　～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ　　　Ａ
　２　　　　（２）　　　Ｆａ＆　Ｆｂ＆　Ｆｃ　　　Ａ
１　　　　　（３）　（～Ｆａ∨～Ｆｂ）∨～Ｆｃ　　２結合法則
　　４　　　（４）　（～Ｆａ∨～Ｆｂ）　　　　　　Ａ
　　　５　　（５）　　～Ｆａ　　　　　　　　　　　Ａ
　２　　　　（６）　　　　Ｆａ　　　　　　　　　　２＆Ｅ
　２　５　　（７）　　～Ｆａ＆Ｆａ　　　　　　　　５６＆Ｉ
　　　５　　（８）　　～（Ｆａ＆　Ｆｂ＆　Ｆｃ）　２７ＲＡＡ
　　　　９　（９）　　　　　　～Ｆｂ　　　　　　　Ａ
　２　　　　（ア）　　　　　　　Ｆｂ　　　　　　　２＆Ｅ
　２　　９　（イ）　　　～Ｆｂ＆Ｆｂ　　　　　　　９ア＆Ｉ
　　　　９　（ウ）　　～（Ｆａ＆　Ｆｂ＆　Ｆｃ）　２イＲＡＡ
　　４　　　（エ）　　～（Ｆａ＆　Ｆｂ＆　Ｆｃ）　４５８９ウ∨Ｅ
　　　　　オ（オ）　　　　　　　　　　　～Ｆｃ　　Ａ
　２　　　　（カ）　　　　　　　　　　　Ｆｃ　　　２＆Ｅ
　２　　　オ（キ）　　　　　　　～Ｆｃ＆Ｆｃ　　　オカ＆Ｉ
　　　　　オ（ク）　　～（Ｆａ＆　Ｆｂ＆　Ｆｃ）　２キＲＡＡ
１　　　　　（コ）　　～（Ｆａ＆　Ｆｂ＆　Ｆｃ）　１４エオク∨Ｅ
従って、
（14）により、
（15）
① ～（　Ｆａ＆　Ｆｂ＆　Ｆｃ）
② 　　～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ
に於いて、すなはち、
①（ａがＦであって、ｂもＦであって、ｃもＦである）といふことはない。
②（ａがＦでないか、ｂがＦでないか、ｃがＦでないか）の何れかである。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（16）
｛ｘの変域｝＝｛ａ、ｂ、ｃ｝
であるならば、
①（ａがＦであって、ｂもＦであって、ｃもＦである）といふことはない。
②（ａがＦでないか、ｂがＦでないか、ｃがＦでないか）の何れかである。
に於いて、
①＝② であるといふことは、
①（全てのｘがＦである）といふわけではない。
②（Ｆでないｘ）が存在する。
に於いて、
①＝② である。
といふことに、他ならない。
然るに、
（17）
①（全てのｘがＦである）といふわけではない。
②（Ｆでないｘ）が存在する。
に於いて、
①＝② である。
といふことは、
① ～∀ｘ（　Ｆｘ）
② 　∃ｘ（～Ｆｘ）
に於いて、
①＝② である。
といふことに、他ならない。
従って、
（15）（16）（17）により、
（18）
｛ｘの変域｝＝｛ａ、ｂ、ｃ｝
であるならば、
① ～∀ｘ（　Ｆｘ）
② 　∃ｘ（～Ｆｘ）
③ （すべてのｘがＦである）といふわけではない。
④ （Ｆでないｘ）が存在する。
⑤ ～（　Ｆａ＆　Ｆｂ＆　Ｆｃ）
⑥   （～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ）
⑦ （ａがＦであって、ｂもＦであって、ｃもＦである）といふことはない。
⑧ （ａがＦでないか、ｂがＦでないか、ｃがＦでないか）の何れかである。
に於いて、
①＝②＝③＝④＝⑤＝⑥＝⑦＝⑧ である。
従って、
（18）により、
（19）
「述語論理」は、「命題論理」に他ならない。
令和０４年１１月０１日、毛利太。