「述語論理」は「命題論理」である。

（01）
（ⅰ）
１　（１）∀ｘ（Ｆｘ→～Ｇｘ）　Ａ
１　（２）　　　Ｆａ→～Ｇａ　　１ＵＥ
　３（３）　　　　　　　Ｇａ　　Ａ
　３（４）　　　　　～～Ｇａ　　３ＤＮ
１３（５）　　～Ｆａ　　　　　　２４ＭＴＴ
１　（６）　　　Ｇａ→～Ｆａ　　３５ＣＰ
１　（７）∀ｘ（Ｇｘ→～Ｆｘ）　６ＵＩ
（ⅱ）
１　（１）∀ｘ（Ｇｘ→～Ｆｘ）　Ａ
１　（２）　　　Ｇａ→～Ｆａ　　１ＵＥ
　３（３）　　　　　　　　Ｆａ　Ａ
　３（４）　　　　　　～～Ｆａ　３ＤＮ
１３（５）　　～Ｇａ　　　　　　２４ＭＴＴ
１　（６）　　　Ｆａ→～Ｇａ　　３５ＣＰ
１　（７）∀ｘ（Ｆｘ→～Ｇｘ）　６ＵＩ
従って、
（01）により、
（02）
① ∀ｘ（Ｆｘ→～Ｇｘ）
② ∀ｘ（Ｇｘ→～Ｆｘ）
に於いて、すなはち、
① すべてのｘについて、ｘがＦならば、ｘはＧではない。
② すべてのｘについて、ｘがＧならば、ｘはＦではない。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（02）により、
（03）
① ＦはＧではない。
② ＧはＦではない。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（03）により、
（04） 

① ＦはＧではない。
の場合、
②「逆」も必ず「真」である。
従って、 

（04）により、
（05）
例へば、
① 偶数は奇数ではない。
② 奇数は偶数ではない。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（06）
（ⅲ）
１　（１）～∀ｘ（Ｆｘ→～Ｇｘ）　Ａ
１　（２）∃ｘ～（Ｆｘ→～Ｇｘ）　１量化子の関係
　３（３）　　～（Ｆａ→～Ｇａ）　Ａ
　３（４）　～（～Ｆａ∨～Ｇａ）　３含意の定義
　３（５）　　　　Ｆａ＆　Ｇａ　　４ド・モルガンの法則
　３（６）　∃ｘ（Ｆｘ＆　Ｇｘ）　５ＥＩ
１　（７）　∃ｘ（Ｆｘ＆　Ｇｘ）　２３６ＥＥ
（ⅳ）
１　（１）　∃ｘ（Ｆｘ＆　Ｇｘ）　Ａ
　２（２）　　　　Ｆａ＆　Ｇａ　　Ａ
　２（３）　～（～Ｆａ∨～Ｇａ）　２ド・モルガンの法則
　２（４）　　～（Ｆａ→～Ｇａ）　３含意の定義
　２（５）∃ｘ～（Ｆｘ→～Ｇｘ）　４ＥＩ
１　（６）～∀ｘ（Ｆｘ→～Ｇｘ）　２量化子の関係
従って、
（06）により、
（07）
③（すべてのｘについて、ｘがＦならば、ｘはＧではない）といふわけではない。
④（Ｆであって、Ｇであるｘ）が存在する。
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（07）により、
（08）
③（ＦはＧでない）といふわけではない。
④ あるＦはＧである。
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（08）により、
（09）
例へば、
③（素数は偶数でない）といふわけではない。
④ ある素数は偶数である。
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（05）（09）により、
（10）
① 偶数は奇数ではない。
② 奇数は偶数ではない。
③（素数は偶数でない）といふわけではない。
④ ある素数は偶数である。
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ である。
ということに、なるものの、「だからどうした」といふ感じである。
（11）
いづれにしても、
① 偶数は奇数ではない。
② 奇数は偶数ではない。
といふことは、
①「任意の奇数」は「偶数の集合の元ではない」。
②「任意の偶数」は「奇数の集合の元ではない」。
といふことに、他ならない。

　―「量化子の関係」の「証明」―
（12）
（ⅰ）
１　　（１）　～∀ｘ（　Ｆｘ）　　Ａ
　２　（２）　～∃ｘ（～Ｆｘ）　　Ａ
　　３（３）　　　　　～Ｆａ　　　Ａ
　　３（４）　　∃ｘ（～Ｆｘ）　　３
　２３（５）　～∃ｘ（～Ｆｘ）＆
　　　　　　　　∃ｘ（～Ｆｘ）　　２４＆Ｉ
　２　（６）　　　　～～Ｆａ　　　３５ＲＡＡ
　２　（７）　　　　　　Ｆａ　　　６ＤＮ
　２　（８）　　∀ｘ（　Ｆｘ）　　７ＵＩ
１２　（９）　～∀ｘ（　Ｆｘ）＆
　　　　　　　　∀ｘ（　Ｆｘ）　　１８＆Ｉ
１　　（ア）～～∃ｘ（～Ｆｘ）　　２９ＲＡＡ
１　　（イ）　　∃ｘ（～Ｆｘ）　　アＤＮ
（ⅱ）
１　　（１）　　∃ｘ（～Ｆｘ）　　Ａ
　２　（２）　　∀ｘ（　Ｆｘ）　　Ａ
　　３（３）　　　　　～Ｆａ　　　Ａ
　２　（４）　　　　　　Ｆａ　　　２ＵＥ
　２３（５）　　～Ｆａ＆Ｆａ　　　３４＆Ｉ
　　３（６）　～∀ｘ（　Ｆｘ）　　２５ＲＡＡ
１　　（７）　～∀ｘ（　Ｆｘ）　　１３６ＥＥ
従って、
（12）により、
（13）
① ～∀ｘ（　Ｆｘ）
② 　∃ｘ（～Ｆｘ）
に於いて、すなはち、
①（全てのｘがＦである）といふわけではない。
②（Ｆでないｘ）が存在する。
に於いて、
①＝② である。

　―「量化子の関係」を「命題論理」で「証明」する。―
（14）
（ⅰ）
１　　　　（１）　～（　Ｆａ＆　Ｆｂ＆　Ｆｃ）　　Ａ
　２　　　（２）　～（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ）　　Ａ
　　３　　（３）　　　～Ｆａ　　　　　　　　　　　Ａ
　　３　　（４）　　　～Ｆａ∨～Ｆｂ　　　　　　　３∨Ｉ
　　３　　（５）　　　～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ　　　４∨Ｉ
　２３　　（６）　～（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ）＆
　　　　　　　　　　（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ）　　２５＆Ｉ
　２　　　（７）　　～～Ｆａ　　　　　　　　　　　３６ＲＡＡ
　２　　　（８）　　　　Ｆａ　　　　　　　　　　　７ＤＮ
　　　９　（９）　　　　　　　～Ｆｂ　　　　　　　Ａ
　　　９　（ア）　　　～Ｆａ∨～Ｆｂ　　　　　　　９∨Ｉ
　　　９　（イ）　　　～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ　　　ア∨Ｉ
　２　９　（ウ）　～（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ）＆
　　　　　　　　　　（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ）　　２イ＆Ｉ
　２　　　（エ）　　　　　　～～Ｆｂ　　　　　　　９ウＲＡＡ
　２　　　（オ）　　　　　　　　Ｆｂ　　　　　　　エＤＮ
　　　　カ（カ）　　　　　　　　　　　～Ｆｃ　　　Ａ
　　　　カ（キ）　　　　　　　～Ｆｂ∨～Ｆｃ　　　カ∨Ｉ
　　　　カ（ク）　　　～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ　　　キ∨Ｉ
　２　　カ（ケ）　～（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ）＆
　　　　　　　　　　（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ）　　２９＆Ｉ
　２　　　（コ）　　　　　　　　　　～～Ｆｃ　　　カケＲＡＡ
　２　　　（サ）　　　　　　　　　　　　Ｆｃ　　　コＤＮ
　２　　　（シ）　　　　Ｆａ＆Ｆｂ　　　　　　　　８オ＆Ｉ
　２　　　（ス）　　　　Ｆａ＆　Ｆｂ＆　Ｆｃ　　　サシ＆Ｉ
１２　　　（セ）　　～（Ｆａ＆　Ｆｂ＆　Ｆｃ）＆
　　　　　　　　　　　（Ｆａ＆　Ｆｂ＆　Ｆｃ）　　２ス＆Ｉ
１　　　　（ソ）～～（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ）　　２セＲＡＡ
１　　　　（タ）　　　～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ　　　ソＤＮ
（ⅱ）
１　　　　　（１）　　～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ　　　Ａ
　２　　　　（２）　　　Ｆａ＆　Ｆｂ＆　Ｆｃ　　　Ａ
１　　　　　（３）　（～Ｆａ∨～Ｆｂ）∨～Ｆｃ　　２結合法則
　　４　　　（４）　（～Ｆａ∨～Ｆｂ）　　　　　　Ａ
　　　５　　（５）　　～Ｆａ　　　　　　　　　　　Ａ
　２　　　　（６）　　　　Ｆａ　　　　　　　　　　２＆Ｅ
　２　５　　（７）　　～Ｆａ＆Ｆａ　　　　　　　　５６＆Ｉ
　　　５　　（８）　　～（Ｆａ＆　Ｆｂ＆　Ｆｃ）　２７ＲＡＡ
　　　　９　（９）　　　　　　～Ｆｂ　　　　　　　Ａ
　２　　　　（ア）　　　　　　　Ｆｂ　　　　　　　２＆Ｅ
　２　　９　（イ）　　　～Ｆｂ＆Ｆｂ　　　　　　　９ア＆Ｉ
　　　　９　（ウ）　　～（Ｆａ＆　Ｆｂ＆　Ｆｃ）　２イＲＡＡ
　　４　　　（エ）　　～（Ｆａ＆　Ｆｂ＆　Ｆｃ）　４５８９ウ∨Ｅ
　　　　　オ（オ）　　　　　　　　　　　～Ｆｃ　　Ａ
　２　　　　（カ）　　　　　　　　　　　Ｆｃ　　　２＆Ｅ
　２　　　オ（キ）　　　　　　　～Ｆｃ＆Ｆｃ　　　オカ＆Ｉ
　　　　　オ（ク）　　～（Ｆａ＆　Ｆｂ＆　Ｆｃ）　２キＲＡＡ
１　　　　　（コ）　　～（Ｆａ＆　Ｆｂ＆　Ｆｃ）　１４エオク∨Ｅ
従って、
（14）により、
（15）
① ～（　Ｆａ＆　Ｆｂ＆　Ｆｃ）
② 　　～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ
に於いて、すなはち、
①（ａがＦであって、ｂもＦであって、ｃもＦである）といふことはない。
②（ａがＦでないか、ｂがＦでないか、ｃがＦでないか）の何れかである。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（16）
｛ｘの変域｝＝｛ａ、ｂ、ｃ｝
であるならば、
①（ａがＦであって、ｂもＦであって、ｃもＦである）といふことはない。
②（ａがＦでないか、ｂがＦでないか、ｃがＦでないか）の何れかである。
に於いて、
①＝② であるといふことは、
①（全てのｘがＦである）といふわけではない。
②（Ｆでないｘ）が存在する。
に於いて、
①＝② である。
といふことに、他ならない。
然るに、
（17）
①（全てのｘがＦである）といふわけではない。
②（Ｆでないｘ）が存在する。
に於いて、
①＝② である。
といふことは、
① ～∀ｘ（　Ｆｘ）
② 　∃ｘ（～Ｆｘ）
に於いて、
①＝② である。
といふことに、他ならない。
従って、
（15）（16）（17）により、
（18）
｛ｘの変域｝＝｛ａ、ｂ、ｃ｝
であるならば、
① ～∀ｘ（　Ｆｘ）
② 　∃ｘ（～Ｆｘ）
③ （すべてのｘがＦである）といふわけではない。
④ （Ｆでないｘ）が存在する。
⑤ ～（　Ｆａ＆　Ｆｂ＆　Ｆｃ）
⑥   （～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ）
⑦ （ａがＦであって、ｂもＦであって、ｃもＦである）といふことはない。
⑧ （ａがＦでないか、ｂがＦでないか、ｃがＦでないか）の何れかである。
に於いて、
①＝②＝③＝④＝⑤＝⑥＝⑦＝⑧ である。
従って、
（18）により、
（19）
「述語論理」は、「命題論理」に他ならない。
令和０４年１１月０１日、毛利太。