「ド・モルガンの法則と、命題論理と、述語論理と、量化子の関係」（Ⅱ）。

「昨日（令和６年１２月１７日）の記事」を書き直します。
（01）
（ⅰ）｛ｘの変域｝＝｛ａさん、ｂさん、ｃさん｝
（ⅱ）　述語文字Ｆ＝フランス人である。
であるとして、
① ∃ｘ（Ｆｘ）
②（Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ）
③ あるｘはＦである。
④（ａさんはフランス人であるか、または、ｂさんはフランス人であるか、または、ｃさんはフランス人である）。
に於いて、
①＝②＝③＝④ である。
然るに、
（02）
（ⅰ）｛ｘの変域｝＝｛ａさん、ｂさん、ｃさん｝
（ⅱ）　述語文字Ｆ＝フランス人である。
であるとして、
⑤ ～∀ｘ（～Ｆ）
⑥ ～（～Ｆａ＆～Ｆｂ＆～Ｆｃ）
⑦ すべてのｘがＦでない、というふわけではない。
⑧（ａさんがフランス人ではなく、その上、ｂさんもフランス人ではなく、その上、ｃさんもフランス人でない）といふことは無い。
に於いて、
⑤＝⑥＝⑦＝⑧ である。
然るに、
（03） （ⅰ）
１　　　　　（１）　　　Ｐ∨　Ｑ∨　Ｒ　　　Ａ
　２　　　　（２）　　～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ　　　Ａ
１　　　　　（３）　　（Ｐ∨　Ｑ）∨Ｒ　　　１結合法則
　　４　　　（４）　　（Ｐ∨　Ｑ）　　　　　Ａ
　　　５　　（５）　　　Ｐ　　　　　　　　　Ａ
　２　　　　（６）　　～Ｐ　　　　　　　　　２＆Ｅ
　２　５　　（７）　　　Ｐ＆～Ｐ　　　　　　５６＆Ｉ
　　　５　　（８）～（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ）　　２７ＲＡＡ
　　　　９　（９）　　　　　　Ｑ　　　　　　Ａ
　２　　　　（ア）　　　　　～Ｑ　　　　　　２＆Ｅ
　２　　９　（イ）　　　Ｑ＆～Ｑ　　　　　　９ア＆Ｉ
　　　　９　（ウ）～（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ）　　２９ＲＡＡ
　　４　　　（エ）～（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ）　　４５８９ウ∨Ｅ
　　　　　オ（オ）　　　　　　　　　Ｒ　　　Ａ
　２　　　　（カ）　　　　　　　　～Ｒ　　　２＆Ｅ
　２　　　オ（キ）　　　　　　Ｒ＆～Ｒ　　　オカ＆Ｉ
　　　　　オ（ク）～（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ）　　２キＲＡＡ
１　　　　　（ケ）～（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ）　　３４エオク∨Ｅ
１２　　　　（コ）～（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ）＆
　　　　　　　　　　（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ）　　２ケ＆Ｉ
１　　　　　（サ）～（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ）　　２コＲＡＡ
（ⅴ）
１　　　　（１）　～（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ）　　Ａ
　２　　　（２）　～（　Ｐ∨　Ｑ∨　Ｒ）　　Ａ
　　３　　（３）　　　　Ｐ　　　　　　　　　Ａ
　　３　　（４）　　　　Ｐ∨　Ｑ　　　　　　３∨Ｉ
　　３　　（５）　　　　Ｐ∨　Ｑ∨　Ｒ　　　３４∨Ｉ
　２３　　（６）　～（　Ｐ∨　Ｑ∨　Ｒ）＆
　　　　　　　　　　（　Ｐ∨　Ｑ∨　Ｒ）　　２５＆Ｉ
　２　　　（７）　　　～Ｐ　　　　　　　　　３６ＲＡＡ
　　　８　（８）　　　　　　　Ｑ　　　　　　Ａ
　　　８　（９）　　　　Ｐ∨　Ｑ　　　　　　８∨Ｉ
　　　８　（ア）　　　　Ｐ∨　Ｑ∨　Ｒ　　　９∨Ｉ
　２　８　（イ）　～（　Ｐ∨　Ｑ∨　Ｒ）＆
　　　　　　　　　　（　Ｐ∨　Ｑ∨　Ｒ）　　２ア＆Ｉ
　２　　　（ウ）　　　　　　～Ｑ　　　　　　８イ＆Ｉ
　２　　　（エ）　　　～Ｐ＆～Ｑ　　　　　　７ウ＆Ｉ
　　　　オ（オ）　　　　　　　　　　Ｒ　　　Ａ
　　　　オ（カ）　　　　　　　Ｑ∨　Ｒ　　　オ∨Ｉ
　　　　オ（キ）　　　　Ｐ∨　Ｑ∨　Ｒ　　　∨Ｉ
　２　　オ（ク）　～（　Ｐ∨　Ｑ∨　Ｒ）＆
　　　　　　　　　　（　Ｐ∨　Ｑ∨　Ｒ）　　２キ＆Ｉ
　２　　　（ケ）　　　　　　　　　～Ｒ　　　オクＲＡＡ
　２　　　（コ）　　　～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ　　　エケ＆Ｉ
１２　　　（サ）　～（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ）＆
　　　　　　　　　　（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ）　　１コ＆Ｉ
１　　　　（シ）～～（　Ｐ∨　Ｑ∨　Ｒ）　　２サＲＡＡ
１　　　　（ス）　　（　Ｐ∨　Ｑ∨　Ｒ）　　シＤＮ
従って、
（03）により、
（04）
① 　　　Ｐ∨　Ｑ∨　Ｒ
⑤ ～（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ）
といふ「命題論理式」に於いて、
①＝⑤ は「ド・モルガンの法則」である。
従って、
（04）により、
（05）
Ｐ＝Ｆａ
Ｑ＝Ｆｂ
Ｒ＝Ｆｃ
といふ「代入」により、
①　 （　Ｆａ∨　Ｆｂ∨　Ｆｃ）
⑤ ～（～Ｆａ＆～Ｆｂ＆～Ｆｃ）
といふ「命題論理式に於いて、
①＝⑤ は、「ド・モルガンの法則」である。
従って、
（01）～（05）により、
（06）
① ∃ｘ（Ｆｘ）
②（Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ）
③ あるｘはＦである。
④（ａさんはフランス人であるか、または、ｂさんはフランス人であるか、または、ｃさんはフランス人である）。
⑤ ～∀ｘ（～Ｆ）
⑥ ～（～Ｆａ＆～Ｆｂ＆～Ｆｃ）
⑦ すべてのｘがＦでない、というふわけではない。
⑧（ａさんがフランス人ではなく、その上、ｂさんもフランス人ではなく、その上、ｃさんもフランス人でない）といふことは無い。
に於いて、
①＝②＝③＝④＝⑤＝⑥＝⑦＝⑧ は、「ド・モルガンの法則」である。
従って、
（07）により、
（08）
（ⅰ）
１　　（１）　∃ｘ（　Ｆｘ）　Ａ
　２　（２）　∀ｘ（～Ｆｘ）　Ａ
　　３（３）　　　　　Ｆａ　　Ａ
　２　（４）　　　　～Ｆａ　　１ＵＥ
　２３（５）　Ｆａ＆～Ｆａ　　３４＆Ｉ
　　３（６）～∀ｘ（～Ｆｘ）　２５ＲＡＡ
１２　（７）～∀ｘ（～Ｆｘ）　１３ＥＥ
（ⅴ）
１　　（１）　～∀ｘ（～Ｆｘ）　　Ａ
　２　（２）　～∃ｘ（　Ｆｘ）　　Ａ
　　３（３）　　　　　　Ｆａ　　　Ａ
　　３（４）　　∃ｘ（　Ｆｘ）　　１ＥＩ
　２３（５）　～∃ｘ（　Ｆｘ）＆
　　　　　　　　∃ｘ（　Ｆｘ）　　２４＆Ｉ
　２　（６）　　　　　～Ｆａ　　　３５ＲＡＡ
　２　（７）　　∀ｘ（～Ｆｘ）　　６ＵＩ
１２　（８）　～∀ｘ（～Ｆｘ）＆
　　　　　　　　∀ｘ（～Ｆｘ）　　１７＆Ｉ
１　　（９）～～∀ｘ（～Ｆｘ）　　２８ＲＡＡ
１　　（ア）　　∀ｘ（～Ｆｘ）　　９ＤＮ
といふ「述語計算」は、「ド・モルガンの法則」である。
従って、
（08）により、
（09）
① 　∃ｘ（　Ｆｘ）＝あるｘはＦである。
⑤ ～∀ｘ（～Ｆｘ）＝すべてのｘがＦでない、といふわけではない。
に於いて、
①＝⑤ といふ「量化子の関係」は、「ド・モルガンの法則」である。
令和６年１２月１８日、毛利太。