「ド・モルガンの法則と、命題論理と、述語論理と、量化子の関係」。

（01）
（ⅰ）
１　　　　（１）　～（　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ）　　Ａ
　２　　　（２）　～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）　　Ａ
　　３　　（３）　　　～Ｐ　　　　　　　　　Ａ
　　３　　（４）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　　　　３∨Ｉ
　　３　　（５）　　　～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ　　　４∨Ｉ
　２３　　（６）　～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）＆
　　　　　　　　　　（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）　　２５＆Ｉ
　２　　　（７）　　～～Ｐ　　　　　　　　　３６ＲＡＡ
　２　　　（８）　　　　Ｐ　　　　　　　　　７ＤＮ
　　　９　（９）　　　　　　～Ｑ　　　　　　Ａ
　　　９　（ア）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　　　　９∨Ｉ
　　　９　（イ）　　　～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ　　　ア∨Ｉ
　２　９　（ウ）　～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）＆
　　　　　　　　　　（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）　　２イ＆Ｉ
　２　　　（エ）　　　　　～～Ｑ　　　　　　９ウＲＡＡ
　２　　　（オ）　　　　　　　Ｑ　　　　　　エＤＮ
　　　　カ（カ）　　　　　　　　　～Ｒ　　　Ａ
　　　　カ（キ）　　　　　　～Ｑ∨～Ｒ　　　カ∨Ｉ
　　　　カ（ク）　　　～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ　　　キ∨Ｉ
　２　　カ（ケ）　～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）＆
　　　　　　　　　　（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）　　２ク＆Ｉ
　２　　　（コ）　　　　　　　　～～Ｒ　　　カケＲＡＡ
　２　　　（サ）　　　　　　　　　　Ｒ　　　コＤＮ
　２　　　（シ）　　　　Ｐ＆　Ｑ　　　　　　８オ＆Ｉ
　２　　　（ス）　　　　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ　　　サシ＆Ｉ
１２　　　（セ）　～（　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ）＆
　　　　　　　　　　（　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ）　　１ス＆Ｉ
１　　　　（ソ）～～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）　　２セＲＡＡ
１　　　　（タ）　　（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）　　１ＤＮ
（ⅱ）
１　　　　　（１）　（～Ｐ∨～Ｑ∨　～Ｒ）　　Ａ
１　　　　　（２）　（～Ｐ∨～Ｑ）∨～Ｒ　　　１結合法則
　３　　　　（３）　（　Ｐ＆　Ｑ＆　　Ｒ）　　Ａ
　　４　　　（４）　（～Ｐ∨～Ｑ）　　　　　　Ａ
　　　５　　（５）　　～Ｐ　　　　　　　　　　Ａ
　３　　　　（６）　　　Ｐ　　　　　　　　　　３＆Ｅ
　３　５　　（７）　　～Ｐ＆Ｐ　　　　　　　　５６＆Ｉ
　　　５　　（８）～（　Ｐ＆　Ｑ＆　　Ｒ）　　３７ＲＡＡ
　　　　９　（９）　　　　　～Ｑ　　　　　　　Ａ
　３　　　　（ア）　　　　　　Ｑ　　　　　　　３＆Ｅ
　３　　９　（イ）　　　　　～Ｑ＆Ｑ　　　　　９ア＆Ｉ
　　　　９　（ウ）～（　Ｐ＆　Ｑ＆　　Ｒ）　　３イＲＡＡ
　　４　　　（エ）～（　Ｐ＆　Ｑ＆　　Ｒ）　　４５８９ウ∨Ｅ
　　　　　オ（オ）　　　　　　　　　～Ｒ　　　Ａ
　３　　　　（カ）　　　　　　　　　　Ｒ　　　３＆Ｅ
　３　　　オ（キ）　　　　　　　～Ｒ＆Ｒ　　　オカ＆Ｉ
　　　　　オ（ク）～（　Ｐ＆　Ｑ＆　　Ｒ）　　３キＲＡＡ
１　　　　　（ケ）～（　Ｐ＆　Ｑ＆　　Ｒ）　　２４エオク∨Ｅ
１３　　　　（コ）　（　Ｐ＆　Ｑ＆　　Ｒ）＆
　　　　　　　　　～（　Ｐ＆　Ｑ＆　　Ｒ）　　３ケ＆Ｉ
１　　　　　（サ）～（　Ｐ＆　Ｑ＆　　Ｒ）　　３コＲＡＡ
従って、
（01）により、
（02）
① ～（　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ）
② 　（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）
といふ「命題論理式」に於いて、
①＝② は、「ド・モルガンの法則」である。
従って、
（02）により、
（03）
①（Ｐであって、その上、Ｑであって、その上、Ｒである）といふことはない。
②（Ｐでないか、または、Ｑでないか、または、Ｒでない）。
といふ「日本語」に於いて、
①＝② は、「ド・モルガンの法則」である。
然るに、
（04）
　Ｐ＝ａさんはフランス人である。
　Ｑ＝ｂさんはフランス人である。
　Ｒ＝ｃさんはフランス人である。
とする。
従って、
（04）により、
（05）
～Ｐ＝ａさんはフランス人ではない。
～Ｑ＝ｂさんはフランス人ではない。
～Ｒ＝ｃさんはフランス人ではない。
とする。
従って、
（03）（04）（05）により、
（06）
①（ａさんがフランス人であって、その上、ｂさんもフランス人であって、その上、ｃさんもフランス人である）といふことはない。
②（ａさんがフランス人でないか、または、ｂさんがフランス人でないか、または、ｃさんがフランス人でない）。
といふ「日本語」に於いて、
①＝② は、「ド・モルガンの法則」である。
然るに、
（06）により、
（07）
Ｆｘ＝ｘはフランス人である。
として、
①（ａさんがフランス人であって、その上、ｂさんもフランス人であって、その上、ｃさんもフランス人である）といふことはない。
②（ａさんがフランス人でないか、または、ｂさんがフランス人でないか、または、ｃさんがフランス人でない）。
といふ「日本語」は、
① ～（Ｆａ＆　Ｆｂ＆　Ｆｃ）
② （～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ）
といふ「述語論理式」に、「等しい」。
然るに、
（08）
｛ｘの変域｝＝｛ａさん、ｂさん、ｃさん｝
であるとして、
①（ａさんがフランス人であって、その上、ｂさんもフランス人であって、その上、ｃさんもフランス人である）といふことはない。
②（ａさんがフランス人でないか、または、ｂさんがフランス人でないか、または、ｃさんがフランス人でない）。
といふ「日本語」は、
① ～∀ｘ（Ｆｘ）
② ∃ｘ（～Ｆｘ）
といふ「述語論理式」に、「等しい」。
従って、
（06）（07）（08）により、
（09）
｛ｘの変域｝＝｛ａさん、ｂさん、ｃさん｝
であるとして、
① ～∀ｘ（Ｆｘ）
② ∃ｘ（～Ｆｘ）
に於いて、すなはち、
①（すべてのｘが、Ｆである）といふわけではない。
② 　　 あるｘは（Ｆではない）。
に於いて、
①＝② は、「ド・モルガンの法則」である。
然るに、
（10）
（ⅰ）
１　　（１）　～∀ｘ（　Ｆｘ）　　Ａ
　２　（２）　～∃ｘ（～Ｆｘ）　　Ａ
　　３（３）　　　　　～Ｆａ　　　Ａ
　　３（４）　　∃ｘ（～Ｆｘ）　　３ＥＩ
　２３（５）　～∃ｘ（～Ｆｘ）＆
　　　　　　　　∃ｘ（～Ｆｘ）　　２４＆Ｉ
　２　（６）　　　　～～Ｆａ　　　３ＲＡＡ
　２　（７）　　　　　　Ｆａ　　　６ＤＮ
　２　（８）　　∀ｘ（　Ｆｘ）　　２ＵＩ
１２　（９）　～∀ｘ（　Ｆｘ）＆
　　　　　　　　∀ｘ（　Ｆｘ）　　１８＆Ｉ
１　　（ア）～～∃ｘ（～Ｆｘ）　　２９ＲＡＡ
１　　（イ）　　∃ｘ（～Ｆｘ）　　アＤＮ
（ⅱ）
１　　（１）　　∃ｘ（～Ｆｘ）　Ａ
　２　（２）　　∀ｘ（　Ｆｘ）　Ａ
　　３（３）　　　　　～Ｆａ　　Ａ
　２　（４）　　　　　　Ｆａ　　１ＵＥ
　２３（５）　　～Ｆａ＆Ｆａ　　３４＆Ｉ
　　３（６）　～∀ｘ（　Ｆｘ）　２５ＲＡＡ
１　　（７）　～∀ｘ（　Ｆｘ）　１３６ＥＥ
従って、
（10）により、
（11）
① ～∀ｘ（Ｆｘ）
② ∃ｘ（～Ｆｘ）
に於いて、すなはち、
①（すべてのｘが、Ｆである）といふわけではない。
② 　　 あるｘは（Ｆではない）。
に於いて、
①＝② は、「述語計算」として、「妥当」である。
従って、
（01）（10）（11）により、
（12）
｛ｘの変域｝＝｛ａ、ｂ、ｃ｝
であるとして、
（ⅰ）
１　　（１）　～∀ｘ（　Ｆｘ）　　Ａ
　２　（２）　～∃ｘ（～Ｆｘ）　　Ａ
　　３（３）　　　　　～Ｆａ　　　Ａ
　　３（４）　　∃ｘ（～Ｆｘ）　　３ＥＩ
　２３（５）　～∃ｘ（～Ｆｘ）＆
　　　　　　　　∃ｘ（～Ｆｘ）　　２４＆Ｉ
　２　（６）　　　　～～Ｆａ　　　３ＲＡＡ
　２　（７）　　　　　　Ｆａ　　　６ＤＮ
　２　（８）　　∀ｘ（　Ｆｘ）　　２ＵＩ
１２　（９）　～∀ｘ（　Ｆｘ）＆
　　　　　　　　∀ｘ（　Ｆｘ）　　１８＆Ｉ
１　　（ア）～～∃ｘ（～Ｆｘ）　　２９ＲＡＡ
１　　（イ）　　∃ｘ（～Ｆｘ）　　アＤＮ
（ⅱ）
１　　（１）　　∃ｘ（～Ｆｘ）　Ａ
　２　（２）　　∀ｘ（　Ｆｘ）　Ａ
　　３（３）　　　　　～Ｆａ　　Ａ
　２　（４）　　　　　　Ｆａ　　１ＵＥ
　２３（５）　　～Ｆａ＆Ｆａ　　３４＆Ｉ
　　３（６）　～∀ｘ（　Ｆｘ）　２５ＲＡＡ
１　　（７）　～∀ｘ（　Ｆｘ）　１３６ＥＥ
といふ「述語計算」は、
（ⅰ）
１　　　　（１）　～（　Ｆａ＆　Ｆｂ＆　Ｆｃ）　　Ａ
　２　　　（２）　～（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ）　　Ａ
　　３　　（３）　　　～Ｆａ　　　　　　　　　　　Ａ
　　３　　（４）　　　～Ｆａ∨～Ｆｂ　　　　　　　３∨Ｉ
　　３　　（５）　　　～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ　　　４∨Ｉ
　２３　　（６）　～（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ）＆
　　　　　　　　　　（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ）　　２５＆Ｉ
　２　　　（７）　　～～Ｆａ　　　　　　　　　　　３６ＲＡＡ
　２　　　（８）　　　　Ｆａ　　　　　　　　　　　７ＤＮ
　　　９　（９）　　　　　　～Ｆｂ　　　　　　　　Ａ
　　　９　（ア）　　　～Ｆａ∨～Ｆｂ　　　　　　　９∨Ｉ
　　　９　（イ）　　　～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ　　　ア∨Ｉ
　２　９　（ウ）　～（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ）＆
　　　　　　　　　　（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ）　　２イ＆Ｉ
　２　　　（エ）　　　　　　～～Ｆｂ　　　　　　　９ウＲＡＡ
　２　　　（オ）　　　　　　　　Ｆｂ　　　　　　　エＤＮ
　　　　カ（カ）　　　　　　　　　　　～Ｆｃ　　　Ａ
　　　　カ（キ）　　　　　　　～Ｆｂ∨～Ｆｃ　　　カ∨Ｉ
　　　　カ（ク）　　　～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ　　　キ∨Ｉ
　２　　カ（ケ）　～（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ）＆
　　　　　　　　　　（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ）　　２ク＆Ｉ
　２　　　（コ）　　　　　　　　　　～～Ｆｃ　　　カケＲＡＡ
　２　　　（サ）　　　　　　　　　　　　Ｆｃ　　　コＤＮ
　２　　　（シ）　　　　Ｆａ＆　Ｆｂ　　　　　　　８オ＆Ｉ
　２　　　（ス）　　　　Ｆａ＆　Ｆｂ＆　Ｆｃ　　　サシ＆Ｉ
１２　　　（セ）　～（　Ｆａ＆　Ｆｂ＆　Ｆｃ）＆
　　　　　　　　　　（　Ｆａ＆　Ｆｂ＆　Ｆｃ）　　１ス＆Ｉ
１　　　　（ソ）～～（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ）　　２セＦｃＡＡ
１　　　　（タ）　　（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ）　　１ＤＮ
（ⅱ）
１　　　　　（１）　（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨　～Ｆｃ）　　Ａ
１　　　　　（２）　（～Ｆａ∨～Ｆｂ）∨～Ｆｃ　　　１結合法則
　３　　　　（３）　（　Ｆａ＆　Ｆｂ＆　　Ｆｃ）　　Ａ
　　４　　　（４）　（～Ｆａ∨～Ｆｂ）　　　　　　　Ａ
　　　５　　（５）　　～Ｆａ　　　　　　　　　　　　Ａ
　３　　　　（６）　　　Ｆａ　　　　　　　　　　　　３＆Ｅ
　３　５　　（７）　　～Ｆａ＆Ｆａ　　　　　　　　　５６＆Ｉ
　　　５　　（８）～（　Ｆａ＆　Ｆｂ＆　　Ｆｃ）　　３７ＲＡＡ
　　　　９　（９）　　　　　　～Ｆｂ　　　　　　　　Ａ
　３　　　　（ア）　　　　　　　Ｆｂ　　　　　　　　３＆Ｅ
　３　　９　（イ）　　　　　　～Ｆｂ＆Ｆｂ　　　　　９ア＆Ｉ
　　　　９　（ウ）～（　Ｆａ＆　Ｆｂ＆　　Ｆｃ）　　３イＦｃＡＡ
　　４　　　（エ）～（　Ｆａ＆　Ｆｂ＆　　Ｆｃ）　　４５８９ウ∨Ｅ
　　　　　オ（オ）　　　　　　　　　　　～Ｆｃ　　　Ａ
　３　　　　（カ）　　　　　　　　　　　　Ｆｃ　　　３＆Ｅ
　３　　　オ（キ）　　　　　　　　～Ｆｃ＆Ｆｃ　　　オカ＆Ｉ
　　　　　オ（ク）～（　Ｆａ＆　Ｆｂ＆　　Ｆｃ）　　３キＲＡＡ
１　　　　　（ケ）～（　Ｆａ＆　Ｆｂ＆　　Ｆｃ）　　２４エオク∨Ｅ
１３　　　　（コ）　（　Ｆａ＆　Ｆｂ＆　　Ｆｃ）＆
　　　　　　　　　～（　Ｆａ＆　Ｆｂ＆　　Ｆｃ）　　３ケ＆Ｉ
１　　　　　（サ）～（　Ｆａ＆　Ｆｂ＆　　Ｆｃ）　　３コＲＡＡ
といふ「命題計算」に、「等しい」。
従って、
（08）～（12）により、
（13）
①（すべての人がフランス人である）といふわけではない。
②（フランス人でない人）もゐる。
といふ「命題」に於いて、
①＝② である。
といふ「等式」は、「述語論理」だけでなく、「命題論理」にとしても、「妥当」である。
（14）
① ～∀ｘ（　Ｆｘ）≡すべてのｘがＦである、といふわけではない。
②　 ∃ｘ（～Ｆｘ）≡　　あるｘはＦでない。
③ ～∀ｘ（～Ｆｘ）≡すべてのｘがＦでない、といふわけではない。
④ 　∃ｘ（　Ｆｘ）≡　　あるｘはＦである。
⑤　 ∀ｘ（　Ｆｘ）≡すべてのｘはＦである。
⑥ ～∃ｘ（～Ｆｘ）≡　　あるｘがＦでない、といふことはない。
⑦ 　∀ｘ（～Ｆｘ）≡すべてのｘはＦでない。
⑧ ～∃ｘ（　Ｆｘ）≡　　あるｘがＦである、といふことはない。
に於いて、
①＝②
③＝④
⑤＝⑥
⑦＝⑧
は、「量化子の関係」である。
令和６年１２月１７日、毛利太。