∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）≡∀ｘ（Ｆｘ）

（01）
Ｄ＝｛ａ、ｂ、ｃ｝
であるならば、
① ∀ｘ（Ｆｘ）
②（Ｆａ）＆（Ｆｂ）＆（Ｆｃ）
に於いて、
①＝② である。
従って、
（01）により、
（02）
Ｄ＝｛ａ、ｂ、ｃ｝
であるならば、
① ∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）は、
　　　　　　　　 　　ｙに関して、
①（Ｆｘ＆Ｆａ）＆（Ｆｘ＆Ｆｂ）＆（Ｆｘ＆Ｆｃ）
という「３通り」が有る。
従って、
（02）により、
（03）
Ｄ＝｛ａ、ｂ、ｃ｝
であるならば、
① ∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）は、
　　　　　 　　ｘに関しても、
①（Ｆａ＆Ｆａ）＆（Ｆａ＆Ｆｂ）＆（Ｆａ＆Ｆｃ）
②（Ｆｂ＆Ｆａ）＆（Ｆｂ＆Ｆｂ）＆（Ｆｂ＆Ｆｃ）
③（Ｆｃ＆Ｆａ）＆（Ｆｃ＆Ｆｂ）＆（Ｆｃ＆Ｆｃ）
という「３通り」が有る。
然るに、
（04）
「冪等律」により、
①（Ｆａ＆Ｆａ）＝Ｆａ
②（Ｆｂ＆Ｆｂ）＝Ｆｂ
③（Ｆｃ＆Ｆｃ）＝Ｆｃ
従って、
（03）（04）により、
（05）
①（Ｆａ）＆（Ｆａ＆Ｆｂ）＆（Ｆａ＆Ｆｃ）
②（Ｆｂ＆Ｆａ）＆（Ｆｂ）＆（Ｆｂ＆Ｆｃ）
③（Ｆｃ＆Ｆａ）＆（Ｆｃ＆Ｆｂ）＆（Ｆｃ）
従って、
（04）により、
（06）
「交換法則」により、
①（Ｆａ）＆（Ｆａ＆Ｆｂ）＆（Ｆａ＆Ｆｃ）
②（Ｆｂ）＆（Ｆｂ＆Ｆａ）＆（Ｆｂ＆Ｆｃ）
③（Ｆｃ）＆（Ｆｃ＆Ｆａ）＆（Ｆｃ＆Ｆｂ）
従って、
（06）により、
（07）
「交換法則・結合法則」により、
①（Ｆａ＆Ｆａ＆Ｆａ）＆（Ｆｂ）＆（Ｆｃ）
②（Ｆｂ＆Ｆｂ＆Ｆｂ）＆（Ｆａ）＆（Ｆｃ）
③（Ｆｃ＆Ｆｃ＆Ｆｃ）＆（Ｆａ）＆（Ｆｂ）
従って、
（07）により、
（08）
「冪等律」により、
①（Ｆａ）＆（Ｆｂ）＆（Ｆｃ）
②（Ｆｂ）＆（Ｆａ）＆（Ｆｃ）
③（Ｆｃ）＆（Ｆａ）＆（Ｆｂ）
従って、
（08）により、
（09）
「交換法則」により、
①（Ｆａ）＆（Ｆｂ）＆（Ｆｃ）
②（Ｆａ）＆（Ｆｂ）＆（Ｆｃ）
③（Ｆａ）＆（Ｆｂ）＆（Ｆｃ）
従って、
（09）により、
（10）
「冪等律」により、
③（Ｆａ）＆（Ｆｂ）＆（Ｆｃ）
従って、
（01）～（10）により、
（11）
② ∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）
③（Ｆａ）＆（Ｆｂ）＆（Ｆｃ）
に於いて、
②＝③ である。
従って、
（01）（11）により、
（12）
Ｄ＝｛ａ、ｂ、ｃ｝
であるとして、
① 　　∀ｙ（Ｆｙ）
② ∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）
③（Ｆａ）＆（Ｆｂ）＆（Ｆｃ）
に於いて、
①＝②＝③ である。
然るに、
（13）
Ｄ＝｛ａ、ｂ、ｃ、ｄ｝
であるならば、
① ∀ｘ（Ｆｘ）
②（Ｆａ）＆（Ｆｂ）＆（Ｆｃ）＆（Ｆｄ）
に於いて、
①＝② である。
従って、
（01）～（12）（13）により、
（14）
「数学的帰納法」により、
Ｄ＝｛ａ、ｂ、ｃ、ｄ、・・・・・｝
に於いて、
① 　　∀ｙ（Ｆｙ）
② ∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）
に於いて、
①＝② である。
従って、
（14）により、
（15）
① 　　∀ｙ（Ｆｙ→ｙ＝ｙ）
② ∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）
に於いて、
①＝② である。
従って、
（15）により、
（16）
Ｅ.Ｊ.レモン、論理学初歩、練習問題３（Ｐ２１５）
つぎの相互に導出可能な結果を確立せよ。
（ａ）：正確に１のものがＦをもつ。
∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝├ ∃ｘＦｘ＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）
１　　（１）∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝　　　　Ａ
　２　（２）　　　Ｆａ＆∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ）　　　　　Ａ
　２　（３）　　　　　　∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ）　　　　　２＆Ｅ
　２　（４）　　　　　　　　　Ｆｂ→ａ＝ｂ　　　　　　３ＵＥ
　　５（５）　　　　　　Ｆａ＆Ｆｂ　　　　　　　　　　Ａ
　　５（６）　　　　　　　　　Ｆｂ　　　　　　　　　　５＆Ｅ
　２５（７）　　　　　　　　　　　　ａ＝ｂ　　　　　　４６ＭＰＰ
　２　（８）　　　　　　Ｆａ＆Ｆｂ→ａ＝ｂ　　　　　　５７ＣＰ
　２　（９）　　　∀ｙ（Ｆａ＆Ｆｙ→ａ＝ｙ）　　　　　８ＵＩ
　２　（ア）　∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）　　　　　９ＵＩ（２には、ａがあるが、ａ＝ｂである）。
　２　（イ）　　Ｆａ　　　　　　　　　　　　　　　　　２＆Ｅ
　２　（ウ）∃ｘＦｘ　　　　　　　　　　　　　　　　　イＥＩ
　２　（エ）∃ｘＦｘ＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）　アウ＆Ｉ
１　　（ウ）∃ｘＦｘ＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）　１２エＥＥ
という「計算」は、「妥当」であり、
（ｂ）：正確に１のものがＦをもつ。
∃ｘＦｘ＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）├ ∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝
１　　（１）∃ｘＦｘ＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）　Ａ
１　　（２）∃ｘＦｘ　　　　　　　　　　　　　　　　　１＆Ｅ
　３　（３）　　Ｆａ　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
１　　（４）　　　　　∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）　１＆Ｅ
１　　（５）　　　　　　　∀ｙ（Ｆａ＆Ｆｙ→ａ＝ｙ）　４ＵＥ
１　　（６）　　　　　　　　　　Ｆａ＆Ｆｂ→ａ＝ｂ　　５ＵＥ
　　７（７）　　　　　　　　　　　　　Ｆｂ　　　　　　Ａ
　３７（８）　　　　　　　　　　Ｆａ＆Ｆｂ　　　　　　３７＆Ｉ
１３７（９）　　　　　　　　　　　　　　　　ａ＝ｂ　　６８ＭＰＰ
１３　（ア）　　　　　　　　　　Ｆｂ→ａ＝ｂ　　　　　７９ＣＰ
１３　（イ）　　　　　　　∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ）　　　　アＵＩ
１３　（ウ）　　　　Ｆａ＆∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ）　　　　３イ＆Ｉ
１３　（エ）　∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝　　　ウＥＩ
１　　（オ）　∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝　　　２３エＥＥ
という「計算」は、「妥当」である。
従って、
（16）により、
（17）
① ∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝
② ∃ｘＦｘ＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）
に於いて、すなはち、
① あるｘは｛Ｆであって、すべてのｙについて、　（ｙがＦであるならば、ｘとｙは同一である）｝。
② あるｘは、Ｆであって、すべてのｘとｙについて（ｘがＦであって、ｙもＦであるあるならば、ｘとｙは同一である）。
に於いて、
①＝② である。
令和６年８月２８日、毛利太。