―「返り点と括弧」に関しては、
(α)「返り点」と「括弧」に付いて。 :(https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_11.html)
(β)「返り点」と「括弧」の条件。 :(https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_15.html)
(γ)「返り点」と「括弧」の条件(Ⅱ):(https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_16.html)
(δ)「返り点」は、下には戻らない。 :(https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_20.html)
(ε)「下中上点」等が必要な「理由」。:(https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_22.html)
(ζ)「返り点・モドキ」について。 :(https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_24.html)⇒
Web上には存在しますが、何故か、アクセス出来ません。
(η)「一二点・上下点」に付いて。 :(https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_26.html)
(θ)「括弧」の「順番」。 :(https://kannbunn.blogspot.com/2018/01/blog-post.html)
(ι)「返り点」と「括弧」の関係 :(https://kannbunn.blogspot.com/2019/01/blog-post_21.html)
等々、「その他、諸々」を、お読み下さい。―
(01)
(ⅰ)
1 (1)∀x(Fx→ Gx) A
1 (2) Fa→ Ga 1UE
3(3) Fa&~Ga A
3(4) Fa 3&E
3(5) ~Ga 3&E
13(6) Ga 24MPP
13(7) ~Ga&Ga 56&I
1 (8) ~(Fa&~Ga) 37RAA
1 (9) ~Fa∨~~Ga 8ド・モルガンの法則
1 (ア) ~Fa∨Ga 9DN
1 (イ)∀x(~Fx∨Gx) アUI
(ⅱ)
1 (1)∀x(~Fx∨ Gx) A
1 (2) ~Fa∨ Ga 1UE
3 (3) Fa&~Ga A
4 (4) ~Fa A
3 (5) Fa 3&E
34 (6) ~Fa&Fa 45&I
4 (7) ~(Fa&~Ga) 36RAA
8 (8) Ga A
3 (9) ~Ga &E
3 8 (ア) Ga&~Ga 89&I
8 (イ) ~(Fa&~Ga) 3アRAA
1 (ウ) ~(Fa&~Ga) 2478イ∨E
エ (エ) Fa A
オ(オ) ~Ga A
エオ(カ) Fa&~Ga エオ&I
1 エオ(キ) ~(Fa&~Ga)&
(Fa&~Ga) イカ&I
1 エ (ク) ~~Ga オキRAA
1 エ (ケ) Ga クDN
1 (コ) Fa→ Ga エケCP
1 (サ) ∀x(Fx→ Gx) コUI
従って、
(01)により、
(02)
① ∀x( Fx→Gx)=すべてのxについて、xがFであるならば、xはGである。
② ∀x(~Fx∨Gx)=すべてのxについて、xはFでないか、Gであるか、FでなくてGである。
に於いて、
①=② である。
然るに、
(03)
{xの変域(ドメイン)}が、{a、b、c}であるならば、そのときに限って、
② ∀x(~Fx∨Gx)=(~Fa∨Ga)&(~Fb∨Gb)&(~Fc∨Gc)
である。
従って、
(02)(03)により、
(04)
① ∀x( Fx→Gx)=(~Fa∨Ga)&(~Fb∨Gb)&(~Fc∨Gc)
② ∀x(~Fx∨Gx)=(~Fa∨Ga)&(~Fb∨Gb)&(~Fc∨Gc)
に於いて、
①=② である。
然るに、
(05)
「真理表(Truth table)」により、
①(~Fa∨Ga)&(~Fb∨Gb)&(~Fc∨Gc)=∀x( Fx→Gx)
②(~Fa∨Ga)&(~Fb∨Gb)&(~Fc∨Gc)=∀x(~Fx∨Gx)
の場合は、
① ~Fa=真(本当)
② ~Fb=真(本当)
③ ~Fc=真(本当)
であるならば、「真(本当)」である。
従って、
(05)により、
(06)
例へば、
① ~Fa=aはフランス人ではない=真(本当)
① ~Fb=bはフランス人ではない=真(本当)
① ~Fc=cはフランス人ではない=真(本当)
であるならば、
① ∀x(Fx→Gx)=(~Fa∨Ga)&(~Fb∨Gb)&(~Fc∨Gc)
は、「真(本当)」である。
然るに、
(07)
① aはイギリス人である。
① bはアメリカ人である。
① cはイタリア人である。
であるならば、
① ~Fa=aはフランス人ではない=真(本当)
① ~Fb=bはフランス人ではない=真(本当)
① ~Fc=cはフランス人ではない=真(本当)
であるため、
① ∀x(Fx→Gx)=(~Fa∨Ga)&(~Fb∨Gb)&(~Fc∨Gc)
といふ「仮言命題」は、「真(本当)」である。
従って、
(03)~(07)により、
(08)
{xの変域(ドメイン)}が、{a、b、c}であるとして、
① aはイギリス人であって、フランス人ではない。
① bはアメリカ人であって、フランス人ではない。
① cはイタリア人であって、フランス人ではない。
といふことが、「真(本当)」であるならば、
① ∀x(Fx→ Gx)=すべてのフランス人(French)は寛大(Generous)である。
といふ「仮言命題」は、「真(本当)」である。
従って、
(08)により、
(09)
① フランス人が、一人もゐない。
としても、
① ∀x(Fx→ Gx)=すべてのフランス人(French)は寛大(Generous)である。
といふ「仮言命題」は、「真(本当)」である。
従って、
(09)により、
(10)
① 人間が、一人もゐない。
としても、
① ∀x(人間x→正直x)=すべての人間は、正直である。
といふ「仮言命題」は、「真(本当)」である。
従って、
(10)により、
(11)
要するに「すべて」という語も「人間」といふ語も、「存在する」ということとは無関係である。そこで「すべての人間は正直である」という文の論理的構造をしめす
「すべてのxについて、もしxが人間ならばxは正直である」
は命題論理の法則の一つである
(P→Q)=~(P&~Q)
をあてはめれば、
「すべてのxについて、xが人間であってそして正直でないということではない」ということと等値である(沢田允茂、現代論理学入門、1962年、122頁)。
といふ、ことになる。
然るに、
(12)
(ⅲ)
1 (1)∃x(Fx→ Gx) A
2 (2) Fa→ Ga A
3(3) Fa&~Ga A
3(4) Fa 3&E
3(5) ~Ga 3&E
23(6) Ga 24MPP
23(7) ~Ga&Ga 56&I
2 (8) ~(Fa&~Ga) 37RAA
2 (9) ~Fa∨~~Ga 8ド・モルガンの法則
2 (イ) ~Fa∨Ga 9DN
2 (ウ)∃x(~Fx∨Gx) イEI
1 (エ)∃x(~Fx∨Gx) 12ウEE
(ⅳ)
1 (1)∃x(~Fx∨ Gx) A
2 (2) ~Fa∨ Ga A
3 (3) Fa&~Ga A
3 (4) Fa 3&E
3 (5) ~Ga 3&E
6 (6) ~Fa A
36 (7) Fa&~Fa 46&I
6 (8) ~(Fa&~Ga) 37RAA
9 (9) Ga A
3 9 (ア) ~Ga&Ga 59&I
9 (イ) ~(Fa&~Ga) 3アRAA
2 (ウ) ~(Fa&~Ga) 2689イ∨I
エ (エ) Fa A
オ(オ) ~Ga A
2 エオ(カ) Fa&~Ga エオ&I
2 エオ(キ) ~(Fa&~Ga)&
(Fa&~Ga) ウカ&I
2 エ (ク) ~~Ga オキRAA
2 エ (ケ) Ga クDN
2 (コ) Fa→ Ga エケCP
2 (サ) ∃x(Fx→ Gx) コEI
1 (シ) ∃x(Fx→ Gx) 12サEE
従って、
(02)(12)により、
(13)
① ∀x( Fx→Gx)=すべてのxについて、xがFであるならば、xはGである。
② ∀x(~Fx∨Gx)=すべてのxについて、xはFでないか、Gであるか、FでなくてGである。
に於いて、
①=② であったやうに。
③ ∃x( Fx→Gx)=あるxについて、xがFであるならば、xはGである。
④ ∃x(~Fx∨Gx)=あるxについて、xはFでないか、Gであるか、FでなくてGである。
に於いても、
③=④ である。
然るに、
(14)
{xの変域(ドメイン)}が、{a、b、c}であるならば、そのときに限って、
④ ∃x(~Fx∨Gx)=(~Fa∨Ga)∨(~Fb∨Gb)∨(~Fc∨Gc)
である。
従って、
(13)(14)により、
(15)
③ ∃x( Fx→Gx)=(~Fa∨Ga)∨(~Fb∨Gb)∨(~Fc∨Gc)
④ ∃x(~Fx∨Gx)=(~Fa∨Ga)∨(~Fb∨Gb)∨(~Fc∨Gc)
に於いて、
③=④ である。
然るに、
(16)
「真理表(Truth table)」により、
③ (~Fa∨Ga)∨(~Fb∨Gb)∨(~Fc∨Gc)=∃x( Fx→Gx)
④ (~Fa∨Ga)∨(~Fb∨Gb)∨(~Fc∨Gc)=∃x(~Fx∨Gx)
の場合は、
③ ~Fa=真(本当)
であれば、それだけで、「真(本当)」であり、
③ ~Fb=真(本当)
であれば、それだけで、「真(本当)」であり、
③ ~Fc=真(本当)
であれば、それだけで、「真(本当)」である。
従って、
(07)(16)により、
(17)
③ ∃x(Fx→Gx)=(~Fa∨Ga)∨(~Fb∨Gb)∨(~Fc∨Gc)
といふ「命題」は、
③ aがイギリス人である。ならば、「真(本当)」であり、
③ aがイギリス人で、bがアメリカ人である。ならば、「真(本当)」であり、
③ aがイギリス人で、bがアメリカ人で、cがイタリア人である。ならば、「真(本当)」である。
従って、
(09)(17)により、
(18)
① ∀x(Fx→Gx)=すべてのxについて、xがFであるならば、xはGである。
① ∀x(Fx→Gx)=すべてのフランス人(French)は寛大(Generous)である。
といふ「命題」だけでなく、
③ ∃x(Fx→Gx)=あるxについて、xがFであるならば、xはGである。
③ ∃x(Fx→Gx)=フランス人(French)ならば寛大(Generous)である。
といふ「命題」であっても、
③ フランス人が、一人もゐなくとも、「真(本当)」である。
従って、
(18)により、
(19)
「すべてのフランス人は寛大である」は一種の条件文として適切に記号化されるので、これに同化(assimilate)してしまって、「幾らかのフランス人は寛大である」を、正しく「∃x(Fx&Gx)」と記号化するかわりに、むしろ「∃x(Fx→Gx)」とするのは、よくある間違い(common mistake)である。しかし、「∃x(Fx→Gx)」は、それがフランス人であるならば、寛大であるようなあるものが存在することを主張するのであって、これは、かりにフランス人が存在しないとしても真であろう。しかし「幾らかのフランス人は寛大である」は決してそうではない(E.J.レモン 著、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、1973年、123・4頁改)。
といふ、ことになる。
然るに、
(20)
① ∀x(Fx→Gx)=(~Fa∨Ga)&(~Fb∨Gb)&(~Fc∨Gc)
③ ∃x(Fx→Gx)=(~Fa∨Ga)∨(~Fb∨Gb)∨(~Fc∨Gc)
に於いて、
① の場合は、例へば、
① ~Fa=真(本当) であって、尚且つ、
① Gb=真(本当) であって、尚且つ、
① Gc=真(本当) である「場合」等に於いて、「真(本当)」であって、
③ の場合は、
③{~Fa、Ga、~Fb、Gb、~Fc、Gb}の中の、
③{少なくとも、一つ}が「真(本当)」であるならば、それだけで、「真(本当)」である。
従って、
(20)により、
(21)
① ∀x(Fx→Gx)=(~Fa∨Ga)&(~Fb∨Gb)&(~Fc∨Gc)
③ ∃x(Fx→Gx)=(~Fa∨Ga)∨(~Fb∨Gb)∨(~Fc∨Gc)
に於いて、
① が「真(本当)」であるならば、
③ は、必ず「真(本当)」であるが、
③ が「真(本当)」であったとしても、
① が「真(本当)」であるとは、限らない。
従って、
(21)により、
(22)
① ∀x(Fx→Gx)=(~Fa∨Ga)&(~Fb∨Gb)&(~Fc∨Gc)
③ ∃x(Fx→Gx)=(~Fa∨Ga)∨(~Fb∨Gb)∨(~Fc∨Gc)
に於いては、
① ならば、③ であるが、
③ ならば、① ではない。
然るに、
(23)
(ⅰ)
1(1)∀x(Fx→Gx) A
1(2) Fa→Ga 1UE
1(3)∃x(Fx→Gx) 1EI
(ⅲ)
1 (1)∃x(Fx→Gx) A
2(2) Fa→Ga A
2(3)∀x(Fx→Gx) 2UI
は、「UI(普遍量記号導入の規則)」に対する、「違反」である。
従って、
(22)(23)により、
(24)
言ふまでもなく、「述語計算(Predicate calculation)」を行った「結果」も、
① ∀x(Fx→Gx)=すべてのフランス人(French)は、寛大(Generous)である。
③ ∃x(Fx→Gx)=フランス人(French)であるならば寛大(Generous)である。
に於いては、
① ならば、③ であるが、
③ ならば、① ではない。
令和元年05月25日、毛利太。
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