2019年5月22日水曜日

∃x(Fx→Gx)は、よくある「マチガイ」である。

―「返り点と括弧」に関しては、
(α)「返り点」と「括弧」に付いて。 :(https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_11.html
(β)「返り点」と「括弧」の条件。  :(https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_15.html
(γ)「返り点」と「括弧」の条件(Ⅱ):(https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_16.html
(δ)「返り点」は、下には戻らない。 :(https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_20.html
(ε)「下中上点」等が必要な「理由」。:(https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_22.html
(ζ)「返り点・モドキ」について。  :(https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_24.html)⇒
 Web上には存在しますが、何故か、アクセス出来ません。
(η)「一二点・上下点」に付いて。  :(https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_26.html
(θ)「括弧」の「順番」。      :(https://kannbunn.blogspot.com/2018/01/blog-post.html
(ι)「返り点」と「括弧」の関係   :(https://kannbunn.blogspot.com/2019/01/blog-post_21.html
等々、「その他、諸々」を、お読み下さい。―
(01)
(α)P→Q├ ~P∨Q
    1 (1)  P→ Q A
     2(2)  P&~Q A
     2(3)  P    2&E
     2(4)    ~Q 2&E
    12(5)     Q 13MPP
    12(6)  ~Q&Q 45&I
    1 (7)   ~~Q 46RAA
    1 (8)     Q 7DN
    1 (9)  ~P∨Q 8∨I

(β)~P∨Q├ P→Q
1     (1) ~P∨ Q   A
 2    (2)  P&~Q   A
  3   (3) ~P      A
 2    (4)  P      2&E
 23   (5) ~P& P   34&I
  3   (6)~(P&~Q)  25RAA
   7  (7)     Q   A
 2    (8)    ~Q   A
 2 7  (9)  Q&~Q   78&I
   7  (ア)~(P&~Q)  29RAA
1     (イ)~(P&~Q)  1367ア∨E
    ウ (ウ)  P      A
     エ(エ)    ~Q   A
    ウエ(オ)  P&~Q   エオ&I
1   ウエ(カ)~(P&~Q)&
          (P&~Q)  イオ&I
1   ウ (キ)   ~~Q   7カRAA
1   ウ (ク)     Q   キDN
1     (ケ)  P→ Q   ウク
従って、
(01)により、
(02)
(α) P→Q
(β)~P∨Q
に於いて、
(α)=(β) である。
従って、
(02)により、
(03)
(α) Fx→Gx
(β)~Fx∨Gx
に於いて、
(α)=(β)である。
従って、
(03)により、
(04)
(α) Fx→Gx
(β)~Fx∨Gx
に於いて、
F=フランス人である。
G=寛大である。
とするならば、
(α)フランス人x→寛大x
(β)~フランスx∨寛大x
に於いて、
(α)=(β)である。
然るに、
(05)
(α)フランス人x→寛大x
(β)~フランスx∨寛大x
といふのは、
(α)「フランス人x→寛大x(xがフランス人であるならば、xは寛大である。)」
(β)「~フランスx∨寛大x(xはフランス人でないか、xは寛大である。)」
といふ、「意味」である。
従って、
(04)(05)により、
(06)
(α)「フランス人x→寛大x(xがフランス人でないか、xは寛大である。)」
(β)「~フランスx∨寛大x(xはフランス人でないか、xは寛大である。)」
といふ、「意味」である。
然るに、
(07)
(a)「xはイギリス人であって、フランス人ではない。」
とするならば、言ふまでもなく、
(α)「フランス人x→寛大x(xはフランス人でないか、xは寛大である。)」
といふ「命題関数」は、「真(本当)」である。
従って、
(06)(07)により、
(08)
(α)「フランス人x→寛大x(xはフランス人でないか、xは寛大である。)」
といふ「命題関数」が「真(本当)」であるためには、
(α)「xはイギリス人であって、フランス人ではない。」
といふ「命題関数」が「真(本当)」であれば、「十分」である。
従って、
(01)~(08)により、
(09)
(α)「xはフランス人である。」
といふ「命題関数」が「真(本当)」であることは、
(α)「∃x(フランス人x→寛大x)」=「あるxがフランス人であるならば、xは寛大である。)」
といふ「命題」が「真(本当)」であるため、「必要条件」ではない
然るに、
(10)
(γ)「∃x(フランス人x&寛大x)」=「あるxは、フランス人であって、尚且つ、xは寛大である。」
の場合は、
(γ)「寛大なフランス人が、少なくとも、一人は存在する。」
といふ「意味」である。
従って、
(10)により、
(11)
(α)「xはフランス人である。」
といふ「命題関数」が「真(本当)」であることは、
(γ)「∃x(フランス人x&寛大x)」=「あるxは、フランス人であって、尚且つ、xは寛大である。」
といふ「命題」が「真(本当)」であるための、「必要条件」である
従って、
(09)(10)(11)により、
(12)
「すべてのフランス人は寛大である」は一種の条件文として適切に記号化されるので、これに同化(assimilate)してしまって、「幾らかのフランス人は寛大である」を、正しく「∃x(Fx&Gx)」と記号化するかわりに、むしろ「∃x(Fx→Gx)」とするのは、よくある間違い(common mistake)である。しかし、「∃x(Fx→Gx)」は、それがフランス人であるならば、寛大であるようなあるものが存在することを主張するのであって、これは、かりにフランス人存在しないとしても真であろう。しかし「幾らかのフランス人は寛大である」は決してそうではない(E.J.レモン 著、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、1973年、123・4頁改)。
といふ、ことになる。
然るに、
(13)
「先ほどの記事」にも書いた通り、その一方で、
「∀x(フランス人x→寛大x)」=「すべてのフランス人は寛大である。」
であるの場合は、「フランス人の存在」を、「前提」には、してゐない。といふことも、忘れてはならない。
令和元年05月22日、毛利太。

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