「二項述語における量記号の交換の規則」の説明。

―「返り点と括弧」に関しては、
（α）「返り点」と「括弧」に付いて。　：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_11.html）
（β）「返り点」と「括弧」の条件。　　：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_15.html）
（γ）「返り点」と「括弧」の条件（Ⅱ）：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_16.html）
（δ）「返り点」は、下には戻らない。　：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_20.html）
（ε）「下中上点」等が必要な「理由」。：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_22.html）
（ζ）「返り点・モドキ」について。　　：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_24.html）⇒
　Ｗｅｂ上には存在しますが、何故か、アクセス出来ません。
（η）「一二点・上下点」に付いて。　　：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_26.html）
（θ）「括弧」の「順番」。　　　　　　：（https://kannbunn.blogspot.com/2018/01/blog-post.html）
（ι）「返り点」と「括弧」の関係　　　：（https://kannbunn.blogspot.com/2019/01/blog-post_21.html）
等々、「その他、諸々」を、お読み下さい。―

（01）
① ∀ｙ∀ｘ（Ｆｘｙ）＝（Ｆａａ＆Ｆｂａ＆Ｆｃａ）＆（Ｆｂｂ＆Ｆａｂ＆Ｆｃｂ）＆（Ｆｃｃ＆Ｆａｃ＆Ｆｂｃ）
② ∃ｙ∀ｘ（Ｆｘｙ）＝（Ｆａａ＆Ｆｂａ＆Ｆｃａ）∨（Ｆｂｂ＆Ｆａｂ＆Ｆｃｂ）∨（Ｆｃｃ＆Ｆａｃ＆Ｆｂｃ）
③ ∀ｘ∃ｙ（Ｆｘｙ）＝（Ｆａａ∨Ｆａｂ∨Ｆａｃ）＆（Ｆｂｂ∨Ｆｂａ∨Ｆｂｃ）＆（Ｆｃｃ∨Ｆｃａ∨Ｆｃｂ）
④ ∃ｘ∃ｙ（Ｆｘｙ）＝（Ｆａａ∨Ｆａｂ∨Ｆａｃ）∨（Ｆｂｂ∨Ｆｂａ∨Ｆｂｃ）∨（Ｆｃｃ∨Ｆｃａ∨Ｆｃｂ）
に於いて、何故、
① は、② を「含意」し、
② は、③ を「含意」し、
③ は、④ を「含意」する。
のか、その「理由」を説明します。
（02）
１（01）（Ｆａａ＆Ｆｂａ＆Ｆｃａ）＆（Ｆｂｂ＆Ｆａｂ＆Ｆｃｂ）＆（Ｆｃｃ＆Ｆａｃ＆Ｆｂｃ）　Ａ
１（02）（Ｆａａ＆Ｆｂａ＆Ｆｃａ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　１＆Ｅ
１（03）（Ｆａａ＆Ｆｂａ＆Ｆｃａ）∨（Ｆｂｂ＆Ｆａｂ＆Ｆｃｂ）　　　　　　　　　　　　　　　２∨Ｉ
１（04）（Ｆａａ＆Ｆｂａ＆Ｆｃａ）∨（Ｆｂｂ＆Ｆａｂ＆Ｆｃｂ）∨（Ｆｃｃ＆Ｆａｃ＆Ｆｂｃ）　３∨Ｉ
従って、
（01）（02）により。
（03）
① ∀ｙ∀ｘ（Ｆｘｙ）
② ∃ｙ∀ｘ（Ｆｘｙ）
に於いて、
① ならば、② である。
然るに、
（04）
① Ｐ＆Ｑ＆Ｒ＝ＰでＱでＲである。
であれば、
② Ｐ∨Ｑ∨Ｒ＝ＰかＱかＲである。
であるが、
② Ｐ∨Ｑ∨Ｒ＝ＰかＱかＲである。
であるとしても、
① Ｐ＆Ｑ＆Ｒ＝ＰでＱでＲである。
ではない。
従って、
（03）（04）により、
（05）
① ∀ｙ∀ｘ（Ｆｘｙ）
② ∃ｙ∀ｘ（Ｆｘｙ）
に於いて、
① ならば、② であるが、
② ならば、① ではない。
（06）
１　　　（１）（Ｆａａ＆Ｆｂａ＆Ｆｃａ）∨（Ｆｂｂ＆Ｆａｂ＆Ｆｃｂ）∨（Ｆｃｃ＆Ｆａｃ＆Ｆｂｃ）　Ａ
　２　　（２）（Ｆａａ＆Ｆｂａ＆Ｆｃａ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　２　　（３）　Ｆａａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　２＆Ｅ
　２　　（４）　Ｆａａ∨Ｆａｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　３∨Ｉ
　２　　（５）（Ｆａａ∨Ｆａｂ∨Ｆａｃ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　４∨Ｉ
　２　　（６）　　　　　Ｆｂａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　２＆Ｅ
　２　　（７）　Ｆｂｂ∨Ｆｂａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　６∨Ｉ
　２　　（８）（Ｆｂｂ∨Ｆｂａ∨Ｆｂｃ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　７∨Ｉ
　２　　（９）　　　　　　　　　Ｆｃａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　２＆Ｅ
　２　　（ア）　　　　　Ｆｃｃ∨Ｆｃａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　９∨Ｉ
　２　　（イ）（Ｆｃｃ∨Ｆｃａ∨Ｆｃｂ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ア∨Ｉ
　２　　（ウ）（Ｆａａ∨Ｆａｂ∨Ｆａｃ）＆（Ｆｂｂ∨Ｆｂａ∨Ｆｂｃ）　　　　　　　　　　　　　　　５８＆Ｉ
　２　　（エ）（Ｆａａ∨Ｆａｂ∨Ｆａｃ）＆（Ｆｂｂ∨Ｆｂａ∨Ｆｂｃ）＆（Ｆｃｃ∨Ｆｃａ∨Ｆｃｂ）　イウ＆Ｉ
　　オ　（オ）（Ｆｂｂ＆Ｆａｂ＆Ｆｃｂ）を「仮定（Ａ）しても、「同様のやり方」で、
　　オ　（カ）（Ｆａａ∨Ｆｂａ∨Ｆｃａ）＆（Ｆｂｂ∨Ｆｂａ∨Ｆｂｃ）＆（Ｆｃｃ∨Ｆｃａ∨Ｆｃｂ）　＃＃＆Ｉ　
　　　キ（キ）（Ｆｃｃ＆Ｆａｃ＆Ｆｂｃ）を「仮定（Ａ）しても、「同様のやり方」で、　　　　　　　　　　　　　　　
　　　キ（ク）（Ｆａａ∨Ｆｂａ∨Ｆｃａ）＆（Ｆｂｂ∨Ｆｂａ∨Ｆｂｃ）＆（Ｆｃｃ∨Ｆｃａ∨Ｆｃｂ）　＃＃＆Ｉ　
　― 従って、「同じこと」なので、途中を省略すると、―
１ 　    (ケ）（Ｆａａ∨Ｆｂａ∨Ｆｃａ）＆（Ｆｂｂ∨Ｆｂａ∨Ｆｂｃ）＆（Ｆｃｃ∨Ｆｃａ∨Ｆｃｂ）　１２エオカキクＥＥ
従って、
（01）（06）により、
（07）
② ∃ｙ∀ｘ（Ｆｘｙ）
③ ∀ｘ∃ｙ（Ｆｘｙ）
に於いて、
② ならば、③ である。
従って、
（04）（07）により、
（08）
② ∃ｙ∀ｘ（Ｆｘｙ）
③ ∀ｘ∃ｙ（Ｆｘｙ）
に於いて、
② ならば、③ であるが、
③ ならば、② ではない。
（09）
１（１）（Ｆａａ∨Ｆａｂ∨Ｆａｃ）＆（Ｆｂｂ∨Ｆｂａ∨Ｆｂｃ）＆（Ｆｃｃ∨Ｆｃａ∨Ｆｃｂ）　Ａ
１（２）（Ｆａａ∨Ｆａｂ∨Ｆａｃ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　１＆Ｅ
１（３）（Ｆａａ∨Ｆａｂ∨Ｆａｃ）∨（Ｆｂｂ∨Ｆｂａ∨Ｆｂｃ）　　　　　　　　　　　　　　　２∨Ｉ
１（４）（Ｆａａ∨Ｆａｂ∨Ｆａｃ）∨（Ｆｂｂ∨Ｆｂａ∨Ｆｂｃ）∨（Ｆｃｃ∨Ｆｃａ∨Ｆｃｂ）　３∨Ｉ　　
従って、
（01）（09）により、
（10）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
③ ∀ｘ∃ｙ（Ｆｘｙ）
④ ∃ｘ∃ｙ（Ｆｘｙ）
に於いて、
③ ならば、④ である。
従って、
（04）（10）により、
（11）
③ ∀ｘ∃ｙ（Ｆｘｙ）
④ ∃ｘ∃ｙ（Ｆｘｙ）
に於いて、
③ ならば、④ であるが、
④ ならば、③ ではない。
従って、
（01）～（11）により、
（12）
① Ｐ＆Ｑ＆Ｒ＝ＰでＱでＲである。
であれば、
② Ｐ∨Ｑ∨Ｒ＝ＰかＱかＲである。
であるが、
② Ｐ∨Ｑ∨Ｒ＝ＰかＱかＲである。
であるとしても、
① Ｐ＆Ｑ＆Ｒ＝ＰでＱでＲである。
ではない。
といふことが、あるからこそ、
① ∀ｙ∀ｘ（Ｆｘｙ）＝（Ｆａａ＆Ｆｂａ＆Ｆｃａ）＆（Ｆｂｂ＆Ｆａｂ＆Ｆｃｂ）＆（Ｆｃｃ＆Ｆａｃ＆Ｆｂｃ）
② ∃ｙ∀ｘ（Ｆｘｙ）＝（Ｆａａ＆Ｆｂａ＆Ｆｃａ）∨（Ｆｂｂ＆Ｆａｂ＆Ｆｃｂ）∨（Ｆｃｃ＆Ｆａｃ＆Ｆｂｃ）
③ ∀ｘ∃ｙ（Ｆｘｙ）＝（Ｆａａ∨Ｆａｂ∨Ｆａｃ）＆（Ｆｂｂ∨Ｆｂａ∨Ｆｂｃ）＆（Ｆｃｃ∨Ｆｃａ∨Ｆｃｂ）
④ ∃ｘ∃ｙ（Ｆｘｙ）＝（Ｆａａ∨Ｆａｂ∨Ｆａｃ）∨（Ｆｂｂ∨Ｆｂａ∨Ｆｂｃ）∨（Ｆｃｃ∨Ｆｃａ∨Ｆｃｂ）
に於いて、
（Ⅰ）① ならば、② であるが、② ならば、① ではない。
（Ⅱ）② ならば、③ であるが、③ ならば、② ではない。
（Ⅲ）③ ならば、④ であるが、④ ならば、③ ではない。
といふ、ことになる。
かくして、
（01）～（12）により、
（13）
① ∀ｙ∀ｘ（Ｆｘｙ）＝（Ｆａａ＆Ｆｂａ＆Ｆｃａ）＆（Ｆｂｂ＆Ｆａｂ＆Ｆｃｂ）＆（Ｆｃｃ＆Ｆａｃ＆Ｆｂｃ）
↓
② ∃ｙ∀ｘ（Ｆｘｙ）＝（Ｆａａ＆Ｆｂａ＆Ｆｃａ）∨（Ｆｂｂ＆Ｆａｂ＆Ｆｃｂ）∨（Ｆｃｃ＆Ｆａｃ＆Ｆｂｃ）
↓
③ ∀ｘ∃ｙ（Ｆｘｙ）＝（Ｆａａ∨Ｆａｂ∨Ｆａｃ）＆（Ｆｂｂ∨Ｆｂａ∨Ｆｂｃ）＆（Ｆｃｃ∨Ｆｃａ∨Ｆｃｂ）
↓
④ ∃ｘ∃ｙ（Ｆｘｙ）＝（Ｆａａ∨Ｆａｂ∨Ｆａｃ）∨（Ｆｂｂ∨Ｆｂａ∨Ｆｂｃ）∨（Ｆｃｃ∨Ｆｃａ∨Ｆｃｂ）
といふ風に、自分で、書いてみて、初めて、『第11図、二項述語における量記号の交換の規則（沢田允茂、現代論理学入門、1962年、１４６頁）』が「正しい」といふことを、「文字通り、完全に、理解出来ました」。
といふ、ことになる。
従って、
（14）
① ∀ｙ∀ｘ（Ｆｘｙ）＝（Ｆａａ＆Ｆｂａ＆Ｆｃａ）＆（Ｆｂｂ＆Ｆａｂ＆Ｆｃｂ）＆（Ｆｃｃ＆Ｆａｃ＆Ｆｂｃ）
② ∃ｙ∀ｘ（Ｆｘｙ）＝（Ｆａａ＆Ｆｂａ＆Ｆｃａ）∨（Ｆｂｂ＆Ｆａｂ＆Ｆｃｂ）∨（Ｆｃｃ＆Ｆａｃ＆Ｆｂｃ）
③ ∀ｘ∃ｙ（Ｆｘｙ）＝（Ｆａａ∨Ｆａｂ∨Ｆａｃ）＆（Ｆｂｂ∨Ｆｂａ∨Ｆｂｃ）＆（Ｆｃｃ∨Ｆｃａ∨Ｆｃｂ）
④ ∃ｘ∃ｙ（Ｆｘｙ）＝（Ｆａａ∨Ｆａｂ∨Ｆａｃ）∨（Ｆｂｂ∨Ｆｂａ∨Ｆｂｃ）∨（Ｆｃｃ∨Ｆｃａ∨Ｆｃｂ）
といふ風に、自分で、書いてみるまでは、
『第11図、二項述語における量記号の交換の規則（沢田允茂、現代論理学入門、1962年、１４６頁）』を、
「完全には、理解してゐなかった。」といふ、ことになる。
令和元年０５月２８日、毛利太。