「二項述語における量記号の交換の規則（Ⅲ）」

―「返り点と括弧」に関しては、
（α）「返り点」と「括弧」に付いて。　：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_11.html）
（β）「返り点」と「括弧」の条件。　　：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_15.html）
（γ）「返り点」と「括弧」の条件（Ⅱ）：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_16.html）
（δ）「返り点」は、下には戻らない。　：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_20.html）
（ε）「下中上点」等が必要な「理由」。：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_22.html）
（ζ）「返り点・モドキ」について。　　：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_24.html）⇒
　Ｗｅｂ上には存在しますが、何故か、アクセス出来ません。
（η）「一二点・上下点」に付いて。　　：（https://kannbunn.blogspot.com/2017/12/blog-post_26.html）
（θ）「括弧」の「順番」。　　　　　　：（https://kannbunn.blogspot.com/2018/01/blog-post.html）
（ι）「返り点」と「括弧」の関係　　　：（https://kannbunn.blogspot.com/2019/01/blog-post_21.html）
等々、「その他、諸々」を、お読み下さい。―
（01）
「二項述語における量記号の変換の規則」により、
① ∀ｙ∀ｘ（Ｆｘｙ）＝（Ｆａａ＆Ｆｂａ＆Ｆｃａ）＆（Ｆｂｂ＆Ｆａｂ＆Ｆｃｂ）＆（Ｆｃｃ＆Ｆａｃ＆Ｆｂｃ）
② ∃ｙ∀ｘ（Ｆｘｙ）＝（Ｆａａ＆Ｆｂａ＆Ｆｃａ）∨（Ｆｂｂ＆Ｆａｂ＆Ｆｃｂ）∨（Ｆｃｃ＆Ｆａｃ＆Ｆｂｃ）
③ ∀ｘ∃ｙ（Ｆｘｙ）＝（Ｆａａ∨Ｆａｂ∨Ｆａｃ）＆（Ｆｂｂ∨Ｆｂａ∨Ｆｂｃ）＆（Ｆｃｃ∨Ｆｃａ∨Ｆｃｂ）
④ ∃ｘ∃ｙ（Ｆｘｙ）＝（Ｆａａ∨Ｆａｂ∨Ｆａｃ）∨（Ｆｂｂ∨Ｆｂａ∨Ｆｂｃ）∨（Ｆｃｃ∨Ｆｃａ∨Ｆｃｂ）
に於いて、
① は、② を「含意」し、
② は、③ を「含意」し、
③ は、④ を「含意」する。
従って、
（01）により、
（02）
少なくとも、
（Ⅰ）① ならば、② であるが、② ならば、① ではない。
（Ⅱ）② ならば、③ であるが、③ ならば、② ではない。
（Ⅲ）③ ならば、④ であるが、④ ならば、③ ではない。
然るに、
（03）
分かる人には、分かる通り、
① （Ｆａａ＆Ｆｂａ＆Ｆｃａ）＆（Ｆｂｂ＆Ｆａｂ＆Ｆｃｂ）＆（Ｆｃｃ＆Ｆａｃ＆Ｆｂｃ）
② （Ｆａａ＆Ｆｂａ＆Ｆｃａ）∨（Ｆｂｂ＆Ｆａｂ＆Ｆｃｂ）∨（Ｆｃｃ＆Ｆａｃ＆Ｆｂｃ）
③ （Ｆａａ∨Ｆａｂ∨Ｆａｃ）＆（Ｆｂｂ∨Ｆｂａ∨Ｆｂｃ）＆（Ｆｃｃ∨Ｆｃａ∨Ｆｃｂ）
④ （Ｆａａ∨Ｆａｂ∨Ｆａｃ）∨（Ｆｂｂ∨Ｆｂａ∨Ｆｂｃ）∨（Ｆｃｃ∨Ｆｃａ∨Ｆｃｂ）
であるならば、たしかに、
（Ⅰ）① ならば、② であるが、② ならば、① ではない。
（Ⅱ）② ならば、③ であるが、③ ならば、② ではない。
（Ⅲ）③ ならば、④ であるが、④ ならば、③ ではない。
等が、「正しい」といふことは、「明々白々」である。
然るに、
（04）
① ∀ｙ∀ｘ（Ｆｘｙ）
② ∃ｙ∀ｘ（Ｆｘｙ）
③ ∀ｘ∃ｙ（Ｆｘｙ）
④ ∃ｘ∃ｙ（Ｆｘｙ）
に於いて、
（Ⅰ）① ならば、② であるが、② ならば、① ではない。
（Ⅱ）② ならば、③ であるが、③ ならば、② ではない。
（Ⅲ）③ ならば、④ であるが、④ ならば、③ ではない。
であることを、敢へて「計算」で示すと、次のやうになる。
（05）
（Ⅰ）
１（１）∀ｙ∀ｘ（Ｆｘｙ）　Ａ
１（２）　　∀ｘ（Ｆｘｂ）　１ＵＥ
１（３）∃ｙ∀ｘ（Ｆｘｙ）　２ＥＩ
（Ⅱ）
１　（１）∃ｙ∀ｘ（Ｆｘｙ）　Ａ
　２（２）　　∀ｘ（Ｆｘｂ）　Ａ
　２（３）∀ｙ∀ｘ（Ｆｘｙ）　２ＵＩ
１　（４）∀ｙ∀ｘ（Ｆｘｙ）　１２３ＥＥ
然るに、
（06）
（Ⅱ）
　２（２）　　∀ｘ（Ｆｘｂ）　Ａ
　２（３）∀ｙ∀ｘ（Ｆｘｙ）　２ＵＩ
は、「ＵＩ（普遍量記号導入の規則）」に対する「違反」であるため、「マチガイ」ある。
ｃｆ.
「すべてのｘがＦならば、あるｘはＦである。」が、
「あるｘがＦならば、すべてのｘはＦである。」といふことには、ならない。
従って、
（04）（05）（06）により、
（07）
① ∀ｙ∀ｘ（Ｆｘｙ）
② ∃ｙ∀ｘ（Ｆｘｙ）
に於いて、
（Ⅰ）① ならば、② であるが、② ならば、① ではない。
（08）
（Ⅱ）
１　（１）∃ｙ∀ｘ（Ｆｘｙ）　Ａ
　２（２）　　∀ｘ（Ｆｘｂ）　Ａ
　２（３）　　　　　Ｆａｂ　　２ＵＥ
　２（４）　　∃ｙ（Ｆａｙ）　２ＥＩ
　２（５）∀ｘ∃ｙ（Ｆｘｙ）　４ＵＩ
１　（６）∀ｘ∃ｙ（Ｆｘｙ）　１２５ＥＥ
（Ⅲ）
１　（１）∀ｘ∃ｙ（Ｆｘｙ）　Ａ
１　（２）　　∃ｙ（Ｆａｙ）　１ＵＥ
　３（３）　　　　　Ｆａｂ　　２
　３（４）　　∀ｘ（Ｆｘｂ）　３ＵＩ
　３（５）∃ｙ∀ｘ（Ｆｘｂ）　４ＥＩ
１　（６）∃ｙ∀ｘ（Ｆｘｂ）　２３５ＥＥ
然るに、
（09）
（Ⅲ）
　３（３）　　　　　Ｆａｂ　　２
　３（４）　　∀ｘ（Ｆｘｂ）　３ＵＩ
は、「ＵＩ（普遍量記号導入の規則）」に対する「違反」であるため、「マチガイ」ある。
ｃｆ.
ただひとつの誤った段階は（４）のそれである。―（３）は「ａ」を含み、その結果、ＵＩの制限が破られる点に誤りがある。この「ニア・ミス」は、制限順守の実行を大切と考えるべきこをよく教えてくれるものでなければならない（E.J.レモン 著、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、1973年、１６６頁）。
ｃｆ.
　３（３）　　　　　Ｆａｂ　　２
　３（４）　　∀ｘ（Ｆｘｂ）　３
ではなく、
　２（２）　　∀ｘ（Ｆｘｂ）　１
　２（３）　　　　　Ｆａｂ　　２
　２（４）　　∀ｘ（Ｆｘｂ）　３ＵＩ
ならば、（２）は「ａ」を含まないので、「誤り（ミス）」にはならず、それ故、（Ⅱ）の「ＵＩ」は、「正しい」。 
従って、
（04）（08）（09）により、
（10）
② ∃ｙ∀ｘ（Ｆｘｙ）
③ ∀ｘ∃ｙ（Ｆｘｙ）
に於いて、
（Ⅱ）② ならば、③ であるが、③ ならば、② ではない。
（11）
（Ⅲ）
１（１）∀ｘ∃ｙ（Ｆｘｙ）　Ａ
１（２）　　∃ｙ（Ｆａｙ）　１ＵＥ
１（３）∃ｘ∃ｙ（Ｆｘｙ）　２ＥＩ
（Ⅳ）
１　（１）∃ｘ∃ｙ（Ｆｘｙ）　Ａ
　２（２）　　∃ｙ（Ｆａｙ）　Ａ
　２（３）∀ｘ∃ｙ（Ｆｘｙ）　２ＵＩ
１　（４）∀ｘ∃ｙ（Ｆｘｙ）　１２３ＥＥ
然るに、
（12）
（Ⅳ）
　２（２）　　∃ｙ（Ｆａｙ）　Ａ
　２（３）∀ｘ∃ｙ（Ｆｘｙ）　２ＵＩ
は、「ＵＩ（普遍量記号導入の規則）」に対する「違反」であるため、「マチガイ」ある。
従って、
（04）（11）（12）により、
（13）
③ ∀ｘ∃ｙ（Ｆｘｙ）
④ ∃ｘ∃ｙ（Ｆｘｙ）
に於いて、
（Ⅲ）③ ならば、④ であるが、④ ならば、③ ではない。
従って、
（07）（10）（13）により、
（14）
「計算の結果」としても、
① ∀ｙ∀ｘ（Ｆｘｙ）
② ∃ｙ∀ｘ（Ｆｘｙ）
③ ∀ｘ∃ｙ（Ｆｘｙ）
④ ∃ｘ∃ｙ（Ｆｘｙ）
に於いて、
（Ⅰ）① ならば、② であるが、② ならば、① ではない。
（Ⅱ）② ならば、③ であるが、③ ならば、② ではない。
（Ⅲ）③ ならば、④ であるが、④ ならば、③ ではない。
従って、
（01）（03）（14）により、
（15）
① ∀ｙ∀ｘ（Ｆｘｙ）＝（Ｆａａ＆Ｆｂａ＆Ｆｃａ）＆（Ｆｂｂ＆Ｆａｂ＆Ｆｃｂ）＆（Ｆｃｃ＆Ｆａｃ＆Ｆｂｃ）
② ∃ｙ∀ｘ（Ｆｘｙ）＝（Ｆａａ＆Ｆｂａ＆Ｆｃａ）∨（Ｆｂｂ＆Ｆａｂ＆Ｆｃｂ）∨（Ｆｃｃ＆Ｆａｃ＆Ｆｂｃ）
③ ∀ｘ∃ｙ（Ｆｘｙ）＝（Ｆａａ∨Ｆａｂ∨Ｆａｃ）＆（Ｆｂｂ∨Ｆｂａ∨Ｆｂｃ）＆（Ｆｃｃ∨Ｆｃａ∨Ｆｃｂ）
④ ∃ｘ∃ｙ（Ｆｘｙ）＝（Ｆａａ∨Ｆａｂ∨Ｆａｃ）∨（Ｆｂｂ∨Ｆｂａ∨Ｆｂｃ）∨（Ｆｃｃ∨Ｆｃａ∨Ｆｃｂ）
に於いて、
（Ⅰ）① ならば、② であるが、② ならば、① ではない。
（Ⅱ）② ならば、③ であるが、③ ならば、② ではない。
（Ⅲ）③ ならば、④ であるが、④ ならば、③ ではない。
従って、
（16）
｛ｘの変域が、三人の人｝＝｛ａ、ｂ、ｃ｝
であるとして、
① ∀ｙ∀ｘ（愛ｘｙ）＝すべての人は、すべての人を愛してゐる。
② ∃ｙ∀ｘ（愛ｘｙ）＝ある人は、すべての人に愛されてゐる。
③ ∀ｘ∃ｙ（愛ｘｙ）＝すべての人はある人を愛してゐる。
④ ∃ｘ∃ｙ（愛ｘｙ）＝ある人はある人を愛してゐる。
に於いて、
（Ⅰ）① ならば、② であるが、② ならば、① ではない。
（Ⅱ）② ならば、③ であるが、③ ならば、② ではない。
（Ⅲ）③ ならば、④ であるが、④ ならば、③ ではない。
従って、
（16）により、
（17）
｛ｘの変域｝＝｛世界中のすべての人｝
であったとしても、
① ∀ｙ∀ｘ（愛ｘｙ）＝すべての人は、すべての人を愛してゐる。
② ∃ｙ∀ｘ（愛ｘｙ）＝ある人は、すべての人に愛されてゐる。
③ ∀ｘ∃ｙ（愛ｘｙ）＝すべての人はある人を愛してゐる。
④ ∃ｘ∃ｙ（愛ｘｙ）＝ある人はある人を愛してゐる。
に於いて、
（Ⅰ）① ならば、② であるが、② ならば、① ではない。
（Ⅱ）② ならば、③ であるが、③ ならば、② ではない。
（Ⅲ）③ ならば、④ であるが、④ ならば、③ ではない。
然るに、
（18）
① すべての人が、すべての人を愛してゐる。とすると、
② 任意の人は、すべての人に愛されてゐる。
然るに、
（19）
② 任意の人が、すべての人に愛されてゐる。とすると、
② ある人は、すべての人に愛されてゐる。
然るに、
（20）
② ある人が、すべての人に愛されてゐる。としても、
① すべての人が、すべての人を愛してゐる。といふことには、ならない。
然るに、
（21）
② ある人ｂが、すべての人に愛されてゐる。とすると、
③ すべての人は、その、ある人ｂを愛してゐる。
然るに、
（22）
③ すべての人はある人を愛してゐる。としても、
② 　　　　すべての人の半分は、ある人ｂだけを愛し、
② すべての人の、残りの半分は、ある人ｃだけを愛してゐる。
のかも知れない。
従って、
（21）（22）により、
（23）
③ すべての人がある人を愛してゐる。としても、
② ある人ｂが、すべての人に愛されてゐる。とは、限らない。
（24）
③ すべての人はある人を愛してゐる。とすると、
④ 任意の人は、ある人を愛してゐる。
然るに、
（25）
④ 任意の人が、ある人を愛してゐる。とすると、
④ 　ある人は、ある人を愛してゐる。
然るに、
（26）
④ ある人が、ある人を愛してゐる。としても、
③ すべての人がある人を愛してゐる。といふことには、ならない。
従って、
（17）～（26）により、
（27）
｛ｘの変域｝＝｛世界中のすべての人｝
であったとしても、
① ∀ｙ∀ｘ（愛ｘｙ）＝すべての人は、すべての人を愛してゐる。
② ∃ｙ∀ｘ（愛ｘｙ）＝ある人は、すべての人に愛されてゐる。
③ ∀ｘ∃ｙ（愛ｘｙ）＝すべての人はある人を愛してゐる。
④ ∃ｘ∃ｙ（愛ｘｙ）＝ある人はある人を愛してゐる。
に於いて、
（Ⅰ）① ならば、② であるが、② ならば、① ではない。
（Ⅱ）② ならば、③ であるが、③ ならば、② ではない。
（Ⅲ）③ ならば、④ であるが、④ ならば、③ ではない。
然るに、
（28）
｛ｘの変域｝＝｛世界中のすべての人｝
を「対象」として、
① ∀ｙ∀ｘ（Ｆｘｙ）＝（Ｆａａ＆Ｆｂａ＆Ｆｃａ）＆（Ｆｂｂ＆Ｆａｂ＆Ｆｃｂ）＆（Ｆｃｃ＆Ｆａｃ＆Ｆｂｃ）
② ∃ｙ∀ｘ（Ｆｘｙ）＝（Ｆａａ＆Ｆｂａ＆Ｆｃａ）∨（Ｆｂｂ＆Ｆａｂ＆Ｆｃｂ）∨（Ｆｃｃ＆Ｆａｃ＆Ｆｂｃ）
③ ∀ｘ∃ｙ（Ｆｘｙ）＝（Ｆａａ∨Ｆａｂ∨Ｆａｃ）＆（Ｆｂｂ∨Ｆｂａ∨Ｆｂｃ）＆（Ｆｃｃ∨Ｆｃａ∨Ｆｃｂ）
④ ∃ｘ∃ｙ（Ｆｘｙ）＝（Ｆａａ∨Ｆａｂ∨Ｆａｃ）∨（Ｆｂｂ∨Ｆｂａ∨Ｆｂｃ）∨（Ｆｃｃ∨Ｆｃａ∨Ｆｃｂ）
といふやうな「式」を、書くことは出来ない。
然るに、
（29）
「結合法則・交換法則」により、
① ∀ｙ∀ｘ（Ｆｘｙ）＝（Ｆａａ＆Ｆｂａ＆Ｆｃａ）＆（Ｆｂｂ＆Ｆａｂ＆Ｆｃｂ）＆（Ｆｃｃ＆Ｆａｃ＆Ｆｂｃ）
であれば、
① ∀ｙ∀ｘ（Ｆｘｙ）＝（Ｆａａ＆Ｆａｂ＆Ｆａｃ）＆（Ｆｂｂ＆Ｆｂａ＆Ｆｂｃ）＆（Ｆｃｃ＆Ｆｃａ＆Ｆｃｂ）
に「等しい」。
然るに、
（30）
① （Ｆａａ＆Ｆａｂ＆Ｆａｃ）＆（Ｆｂｂ＆Ｆｂａ＆Ｆｂｃ）＆（Ｆｃｃ＆Ｆｃａ＆Ｆｃｂ）＝∀ｙ∀ｘ（Ｆｘｙ）
であるならば、
① （ａは、ａとｂとｃを愛す）＆（ｂは、ｂとａとｃを愛す）＆（ｃは、ｃとａとｂを愛す）＝∀ｙ∀ｘ（Ｆｘｙ）
といふことに、他ならない。
然るに、
（31）
｛ｘの変域が、三人の人｝＝｛ａ、ｂ、ｃ｝
であるとして、
① （ａは、ａとｂとｃを愛す）＆（ｂは、ｂとａとｃを愛す）＆（ｃは、ｃとａとｂを愛す）＝∀ｙ∀ｘ（Ｆｘｙ）
といふことは、
① すべての人は、自分自身を含めて、すべての人を愛す＝∀ｙ∀ｘ（Ｆｘｙ）。
といふことに、他ならなない。
（32）
② ある人は、すべての人に愛されてゐる＝∃ｙ∀ｘ（愛ｘｙ）。
③ すべての人はある人を愛してゐる　　＝∀ｘ∃ｙ（愛ｘｙ）。
に関しては、「昨日の記事」で説明した通りである。
（32）
④ ∃ｘ∃ｙ（Ｆｘｙ）＝（Ｆａａ∨Ｆａｂ∨Ｆａｃ）∨（Ｆｂｂ∨Ｆｂａ∨Ｆｂｃ）∨（Ｆｃｃ∨Ｆｃａ∨Ｆｃｂ）
の場合は、例へば、
④ Ｆａｂ＝ａはｂを愛す。
が「真（本当）」であれば、それだけで、「真（本当）」である。
然るに、
（33）
④ Ｆａｂ＝ａはｂを愛す。
といふことは、｛ａ、ｂ、ｃ｝の中の、
④ ある人はある人を愛してゐる＝∃ｘ∃ｙ（愛ｘｙ）。
といふことに、他ならなない。
令和元年０５月２８日、毛利太。