「述語論理」と「のみが（only）」について。

（01）
さて次の論証を考えてみよう（これはQuine〔17〕の翻案である）。
　（１２）スミスとその門衛のみが合言葉を知っていた。合言葉を知っていたある者が銃を盗んだ。故に、スミスかあるいはその門衛が銃を盗んだ。
　　　　Only Smith and the guard at the gate knew the password; Someone who knew the password stole the gun. Therefore, either Smith or the guard at the gate stole the gun.
これは明らかに健全である。しかしその健全性を、等号を含まない述語計算の中で示すことはできないのである。
「のみ（only）」という語の通常の意味を念頭におくならば、（１２）の第１の前提は次のことを意味する。
　（１３）合言葉を知っていたすべての人は、スミスであったか、あるいはその門衛であった。
　　　　Everyone who knew the the password either was Smith or was the guard at the gate.
　（１３）において、２つの「であった（was）」は同一性の「であった（was）」である。従って、
「Ｋ」が「合言葉を知っていたこと」を、「ｍ」がスミス、「ｎ」がその門衛を表すとするならば、（１３）はつぎのように記号化される。
　（１４）∀ｘ（Ｋｘ→ｘ＝ｍ∨ｘ＝ｎ）
（E.J.レモン著、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、1973年、２０９頁）
然るに、
（02）
１　　　　　（１）∀ｘ（Ｋｘ→ｘ＝ｍ∨ｘ＝ｎ）　　　Ａ
１　　　　　（２）　　　Ｋａ→ａ＝ｍ∨ａ＝ｎ　　　　１ＵＥ
　３　　　　（３）∃ｘ（ｘ＝ｏ＆ｘ≠ｍ＆ｘ≠ｎ）　　Ａ
　　４　　　（４）　　　ａ＝ｏ＆ａ≠ｍ＆ａ≠ｎ　　　Ａ
　　４　　　（５）　　　ａ＝ｏ　　　　　　　　　　　４＆Ｅ
　　４　　　（６）　　　　　　　ａ≠ｍ＆ａ≠ｎ　　　４＆Ｅ
　　　７　　（７）　　　　　　　ａ＝ｍ∨ａ＝ｎ　　　Ａ
　　４　　　（８）　　　　　　　ａ≠ｍ　　　　　　　６＆Ｅ
　　　　９　（９）　　　　　　　ａ＝ｍ　　　　　　　Ａ
　　４　９　（ア）　　　　　　　ａ≠ｍ＆ａ＝ｍ　　　８９＆Ｉ
　　　　９　（イ）　　　　　～（ａ≠ｍ＆ａ≠ｎ）　　４アＲＡＡ
　　４　　　（ウ）　　　　　　　　　　　ａ≠ｎ　　　６＆Ｅ
　　　　　エ（エ）　　　　　　　　　　　ａ＝ｎ　　　Ａ
　　４　　エ（オ）　　　　　　　ａ≠ｎ＆ａ＝ｎ　　　ウエ＆Ｉ
　　　　　エ（カ）　　　　　～（ａ≠ｍ＆ａ≠ｎ）　　４オＲＡＡ
　　　７　　（キ）　　　　　～（ａ≠ｍ＆ａ≠ｎ）　　７９イエカ∨Ｅ
　　４７　　（ク）　　　　　　（ａ≠ｍ＆ａ≠ｎ）＆
　　　　　　　　　　　　　　～（ａ≠ｍ＆ａ≠ｎ）　　６キ＆Ｉ
　　４　　　（ケ）　　　　　～（ａ＝ｍ∨ａ＝ｎ）　　７クＲＡＡ
　３　　　　（コ）　　　　　～（ａ＝ｍ∨ａ＝ｎ）　　３４ケＥＥ
１３　　　　（サ）　　～Ｋａ　　　　　　　　　　　　２コＭＴＴ
１　４　　　（シ）　　　ａ＝ｏ＆～Ｋａ　　　　　　　４サ＆Ｉ
１　４　　　（ス）∃ｘ（ｘ＝ｏ＆～Ｋｘ）　　　　　　シＥＩ
１３　　　　（セ）∃ｘ（ｘ＝ｏ＆～Ｋｘ）　　　　　　３４スＥＥ
１　　　　　（ソ）∃ｘ（ｘ＝ｏ＆ｘ≠ｍ＆ｘ≠ｎ）→
　　　　　　　　　∃ｘ（ｘ＝ｏ＆～Ｋｘ）　　　　 　 ３セＣＰ
従って、
（02）により、
（03）
① ∀ｘ（Ｋｘ→ｘ＝ｍ∨ｘ＝ｎ）├ ∃ｘ（ｘ＝ｏ＆ｘ≠ｍ＆ｘ≠ｎ）→∃ｘ（ｘ＝ｏ＆～Ｋｘ）
といふ「推論」、すなはち、
① すべてのｘについて、（ｘが合言葉を知っていたならば、ｘはスミスであるか、あるいは、門衛であった）。従って、
　 あるｘがｏであって、そのｘが、スミスではなく、門衛でもないならば、ｏといふｘで、合言葉を知らなかったｘが存在する。
といふ「推論」は「妥当」である。
然るに、
（03）により、
（04）
① あるｘがｏであって、そのｘが、スミスではなく、門衛でもないならば、ｏといふｘで、合言葉を知らなかったｘが存在する。
といふことは、
　（１３）合言葉を知っていたすべての人は、スミスであったか、あるいは、その門衛の、いずれかであった。
　　　　　Everyone who knew the the password either was Smith or was the guard at the gate.
といふことに、「他ならない」。
従って、
（01）（04）により、
（05）
E.J.レモンによる、
「のみ（only）」という語の通常の意味を念頭におくならば、（１２）の第１の前提は次のことを意味する。
　（１３）合言葉を知っていたすべての人は、スミスであったか、あるいは、その門衛の、いずれかであった。
　　　　　Everyone who knew the the password either was Smith or was the guard at the gate.
といふ「説明」は、「正しい」。
従って、
（05）により、
（06）
「Ｓ」を、「銃を盗んだこと」を表すものとして用いるならば、われわれが証明しなくてはならないものはつぎの連式である。
１４１ ∀ｘ（Ｋｘ→ｘ＝ｍ∨ｘ＝ｎ），∃ｘ（Ｋｘ＆Ｓｘ）├ Ｓｍ∨Ｓｎ
１　　　　（１）∀ｘ（Ｋｘ→ｘ＝ｍ∨ｘ＝ｎ）　Ａ
　２　　　（２）∃ｘ（Ｋｘ＆Ｓｘ）　　　　　　Ａ
　　３　　（３）　　　Ｋａ＆Ｓａ　　　　　　　Ａ
　　３　　（４）　　　Ｋａ　　　　　　　　　　３＆Ｅ
　　３　　（５）　　　　　　Ｓａ　　　　　　　３＆Ｅ
１　　　　（６）　　　Ｋａ→ａ＝ｍ∨ａ＝ｎ　　１ＵＥ
１　３　　（７）　　　　　　ａ＝ｍ∨ａ＝ｎ　　４６ＭＰＰ
　　　８　（８）　　　　　　ａ＝ｍ　　　　　　Ａ
　　３８　（９）　　　　　　Ｓｍ　　　　　　　５８＝Ｅ
　　３８　（ア）　　　　　　Ｓｍ∨Ｓｎ　　　　９∨Ｉ
　　　　イ（イ）　　　　　　　　　　ａ＝ｎ　　Ａ
　　３　イ（ウ）　　　　　　　　　Ｓｎ　　　　５イ＝Ｅ
　　３　イ（エ）　　　　　　Ｓｍ∨Ｓｎ　　　　ウ∨I
１　３　　（オ）　　　　　　Ｓｍ∨Ｓｎ　　　　７８アイエ∨Ｅ
１２　　　（カ）　　　　　　Ｓｍ∨Ｓｎ　　　　２３オＥＥ
（E.J.レモン著、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、1973年、２０９頁）
といふ「計算」は、「正しい」。
然るに、
（07）
　「数学」が得意な学生は、世間では、「論理的な思考」が「得意」であるとされてゐるが、
「論理学」が得意な学生が、「論理的な思考」が「不得手」であるはずが無い。
然るに、
（08）
① ∀ｘ（Ｋｘ→ｘ＝ｍ∨ｘ＝ｎ）├ ∃ｘ（ｘ＝ｏ＆ｘ≠ｍ＆ｘ≠ｎ）→∃ｘ（ｘ＝ｏ＆～Ｋｘ）
② ∀ｘ（Ｋｘ→ｘ＝ｍ∨ｘ＝ｎ），∃ｘ（Ｋｘ＆Ｓｘ）├ Ｓｍ∨Ｓｎ
といふ「述語論理式」は、「数学（mathematics）」ではなく、『語学（language）』である。
従って、
（09）
「（文法を基礎とした）外国語としての英語の学習」が得意な「学生」は、あるいは、
「数学の学習」が得意な「学生」よりも、「論理的な思考」が得意なのかも、知れない（？！）。
令和６年１月６日、毛利太。