「命題論理」の「メタ定理Ⅱ」。

（01）
①（日本人の女性である）ならば日本人である。
という「命題」は、「偽にはなり得ない」。
従って、
（01）により、
（02）
①（日本人の女性である）ならば日本人である。
という「命題」は、「恒に真」である。
従って、
（02）により、
（03）
例へば、
Ｐ＝日本人である。
Ｑ＝女性である。
として、
① Ｐ＆Ｑ→Ｐ
という「命題」は、
（ⅰ）Ｐ＝真。Ｑ＝真。
（ⅱ）Ｐ＝真。Ｑ＝偽。
（ⅲ）Ｐ＝偽。Ｑ＝真。
（ⅳ）Ｐ＝偽。Ｑ＝偽。
に於いて、すなわち、
（ⅰ）　Ｐ＆　Ｑ
（ⅱ）　Ｐ＆～Ｑ
（ⅲ）～Ｐ＆　Ｑ
（ⅳ）～Ｐ＆～Ｑ
に於いて、「恒に真」である。
然るに、
（04）
補題：任意の論理式に対する真理表テストの各行に対応して、導出可能な連式を書くことができる。
（E.J.レモン著、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、昭和４８年、１０７頁）
従って、
（03）（04）により、
（05）
（ⅰ）
　Ｐ＆　Ｑ（１）　Ｐ＆　Ｑ　　　　　Ａ
　Ｐ＆　Ｑ（２）　　　　　　　　Ｐ　１＆Ｅ
　Ｐ＆　Ｑ（３）　　　　　～Ｑ∨Ｐ　２∨Ｉ
　Ｐ＆　Ｑ（４）　　～Ｐ∨～Ｑ∨Ｐ　３∨Ｉ
　Ｐ＆　Ｑ（５）（～Ｐ∨～Ｑ）∨Ｐ　４結合法則
　Ｐ＆　Ｑ（６）　～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｐ　５ド・モルガンの法則
　Ｐ＆　Ｑ（７）　　　Ｐ＆Ｑ→Ｐ　　６含意の定義
（ⅱ）
　Ｐ＆～Ｑ（１）　Ｐ＆～Ｑ　　　　　　Ａ
　Ｐ＆～Ｑ（２）　　　　　～Ｑ　　　１＆Ｅ
　Ｐ＆～Ｑ（３）　　　　　～Ｑ∨Ｐ　２∨Ｉ
　Ｐ＆～Ｑ（４）　　～Ｐ∨～Ｑ∨Ｐ　３∨Ｉ
　Ｐ＆～Ｑ（５）（～Ｐ∨～Ｑ）∨Ｐ　４結合法則
　Ｐ＆～Ｑ（６）　～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｐ　５ド・モルガンの法則
　Ｐ＆～Ｑ（７）　　　Ｐ＆Ｑ→Ｐ　　６含意の定義
（ⅲ）
～Ｐ＆　Ｑ（１）～Ｐ＆Ｑ　　　　　　Ａ
～Ｐ＆　Ｑ（２）～Ｐ　　　　　　　　１＆Ｅ
～Ｐ＆　Ｑ（３）～Ｐ∨～Ｑ　　　　　２∨Ｉ
～Ｐ＆　Ｑ（４）～（Ｐ＆Ｑ）　　　　３ド・モルガンの法則
～Ｐ＆　Ｑ（５）　～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｐ　４∨Ｉ
～Ｐ＆　Ｑ（６）　　　Ｐ＆Ｑ→Ｐ　　５含意の定義
（ⅳ）
～Ｐ＆～Ｑ（１）～Ｐ＆～Ｑ　　　　　Ａ
～Ｐ＆～Ｑ（２）　　　～Ｑ　　　　　１＆Ｅ
～Ｐ＆～Ｑ（３）～Ｐ∨～Ｑ　　　　　２∨Ｉ
～Ｐ＆～Ｑ（４）～（Ｐ＆Ｑ）　　　　３ド・モルガンの法則
～Ｐ＆～Ｑ（５）　～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｐ　４∨Ｉ
～Ｐ＆～Ｑ（６）　　　Ｐ＆Ｑ→Ｐ　　５含意の定義
といふ「計算」は、４つとも、「正しい」。
然るに、
（06）
「プログラミング」の「二重ループ」に倣って、
　Ｐで、（Ｑ∨～Ｑ）を「計算」してから、
～Ｐで、（Ｑ∨～Ｑ）を「計算」するならば、
　　　　（１）　Ｐ∨～Ｐ　　　排中律（ＴＩ）
２　　　（２）　Ｐ　　　　　　Ａ
　　　　（３）　Ｑ∨～Ｑ　　　排中律（ＴＩ）
　４　　（４）　Ｑ　　　　　　Ａ
２４　　（５）　Ｐ＆　Ｑ　　　２４＆Ｉ
２４　　（６）　Ｐ＆　Ｑ→Ｐ　（ⅰ）による。
　　７　（７）　　　～Ｑ　　　Ａ
２　７　（８）　Ｐ＆～Ｑ　　　２７＆Ｉ
２　７　（９）　Ｐ＆　Ｑ→Ｐ　（ⅱ）による。
２　　　（ア）　Ｐ＆　Ｑ→Ｐ　３４６７９∨Ｅ
　　　イ（イ）　　　～Ｐ　　　Ａ
　４　イ（ウ）～Ｐ＆　Ｑ　　　イ４＆Ｉ
　４　イ（エ）　Ｐ＆　Ｑ→Ｐ　（ⅲ）による。
　　７イ（オ）～Ｐ＆～Ｑ　　　イ７＆Ｉ
　　７イ（カ）　Ｐ＆　Ｑ→Ｐ　（ⅳ）による。
　　　イ（キ）　Ｐ＆　Ｑ→Ｐ　３４エ７カ∨Ｅ
　　　　（ク）　Ｐ＆　Ｑ→Ｐ　１２アイキ∨Ｅ
然るに、
（06）により、
（07）
この例から、どうして一般に∨Ｅの適用によって、論理式Ａが依存する仮定の数が次第に減って行き、排中律の代入例が最後に用いられるときには、全く仮定が残らなくなる（仮定の数がゼロになる）かということが明らかになるはずである。
（E.J.レモン著、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、昭和４８年、１１３頁）
然るに、
（08）
定理とは、仮定の数がゼロの証明可能な連式の結論である。
（E.J.レモン著、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、昭和４８年、６４頁）
従って、
（03）～（08）により、
（09）
例へば、
Ｐ＝日本人である。
Ｑ＝女性である。
として、
① Ｐ＆Ｑ→Ｐ
①（日本人の女性である）ならば日本人である。
という「トートロジー（恒真命題）」に関して、
メタ定理Ⅱ：すべてのトートロジー的論理式は、定理として導出可能である。
（E.J.レモン著、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、昭和４８年、１０４頁）
といふ『定理』は、「正しい」。
然るに、
（10）
わざわざ、「このやうな証明」をしなくとも、
①（日本人の女性である）ならば日本人である。
といふ「命題」が「偽」になり得ないことは、「直観的に、明らかである」。
然るに、
（11）
といふよりも、
特に第２章の第５節は、本書の他の部分よりも遥かに難しい（good deal more difficult）。
普通の読者（the ordinary reader）はとばす（つまり早く読み通す）のが賢明であろう。
（E.J.レモン著、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、昭和４８年、６４頁）
従って、
（10）（11）により、
（12）
①（日本人の女性である）ならば日本人である。
といふ「命題」が「偽」になり得ないことを、
メタ定理Ⅱ：すべてのトートロジー的論理式は、定理として導出可能である。
といふ『メタ定理』として「理解」することは、「普通の人には、かなり難しい」。
令和５年１２月３０日、毛利太。