「量化子（∀，∃）」と「ド・モルガンの法則」について。

（01）
（ⅰ）
１　　（１）　∀ｘ（　Ｆｘ）　Ａ
　２　（２）　∃ｘ（～Ｆｘ）　Ａ
１　　（３）　　　　　Ｆａ　　１ＵＥ
　　４（４）　　　　～Ｆａ　　Ａ
１　４（５）　Ｆａ＆～Ｆａ　　３４＆Ｉ
　　４（６）～∀ｘ（　Ｆｘ）　１５ＲＡＡ
　２　（７）～∀ｘ（　Ｆｘ）　２４６ＥＥ
１２　（８）　∀ｘ（　Ｆｘ）＆
　　　　　　～∀ｘ（　Ｆｘ）　１７＆Ｉ
１　　（９）～∃ｘ（～Ｆｘ）　２８ＲＡＡ
（ⅱ）
１　　（１）　～∃ｘ（～Ｆｘ）　　Ａ
　２　（２）　～∀ｘ（　Ｆｘ）　　Ａ
　　３（３）　　　　　～Ｆａ　　　Ａ
　　３（４）　　∃ｘ（～Ｆｘ）　　３ＥＩ
１　３（５）　～∃ｘ（～Ｆｘ）＆
　　　　　　　　∃ｘ（～Ｆｃ）　　１４＆Ｉ
１　　（６）　　　　～～Ｆａ　　　３５ＲＡＡ
１　　（７）　　　　　　Ｆａ　　　６ＤＮ
１　　（８）　　∀ｘ（　Ｆｘ）　　７ＵＩ
１２　（９）　　∀ｘ（　Ｆｘ）＆
　　　　　　　～∀ｘ（　Ｆｘ）　　２８＆Ｉ
１　　（ア）～～∀ｘ（　Ｆｘ）　　２９ＲＡＡ
１　　（イ）　　∀ｘ（　Ｆｘ）　　アＤＮ
従って、
（01）により、
（02）
① 　∀ｘ（　Ｆｘ）
② ～∃ｘ（～Ｆｘ）
に於いて、すなはち、
① すべての（ｘはＦである）。
②（（Ｆでないｘ）が存在する）といふことはない。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（03）
（ⅲ）
１　　　　　（１）　　Ｆａ＆　Ｆｂ＆　　Ｆｃ　　Ａ
　２　　　　（２）　～Ｆａ∨～Ｆｂ∨　～Ｆｃ　　Ａ
１　　　　　（３）（　Ｆａ＆　Ｆｂ）＆　Ｆｃ　　１結合法則
　２　　　　（４）（～Ｆａ∨～Ｆｂ）∨～Ｆｃ　　２結合法則
１　　　　　（５）（　Ｆａ＆　Ｆｂ）　　　　　　３＆Ｅ
　　６　　　（６）（～Ｆａ∨～Ｆｂ）　　　　　　Ａ
１　　　　　（７）　　Ｆａ　　　　　　　　　　　５＆Ｅ
　　　８　　（８）　～Ｆａ　　　　　　　　　　　Ａ
１　　８　　（９）　　Ｆａ＆～Ｆａ　　　　　　　７８＆Ｉ
　　　８　　（ア）～（Ｆａ＆　Ｆｂ＆　　Ｆｃ）　１９ＲＡＡ
１　　　　　（イ）　　　　　　Ｆｂ　　　　　　　５＆Ｅ
　　　　ウ　（ウ）　　　　　～Ｆｂ　　　　　　　Ａ
１　　　ウ　（エ）　　Ｆｂ＆～Ｆｂ　　　　　　　イウ＆Ｉ
　　　　ウ　（オ）　～（Ｆａ＆Ｆｂ＆　　Ｆｃ）　１エＲＡＡ
　　６　　　（カ）　～（Ｆａ＆Ｆｂ＆　　Ｆｃ）　６８アウオ∨Ｅ
１　　　　　（キ）　　　　　　　　　　　Ｆｃ　　３＆Ｅ
　　　　　ク（ク）　　　　　　　　　　～Ｆｃ　　Ａ
１　　　　ク（ケ）　　　　　　　Ｆｃ＆～Ｆｃ　　キク＆Ｉ
　　　　　ク（コ）　～（Ｆａ＆　Ｆｂ＆　Ｆｃ）　１ケＲＡＡ
　２　　　　（サ）　～（Ｆａ＆　Ｆｂ＆　Ｆｃ）　４６カクコ∨Ｅ
１２　　　　（シ）　　（Ｆａ＆　Ｆｂ＆　Ｆｃ）＆
　　　　　　　　　　～（Ｆａ＆　Ｆｂ＆　Ｆｃ）　１サ＆Ｉ
１　　　　　（ス）～（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ）　２シＲＡＡ
（ⅳ）
１　　　　　（１）　～（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ）　　Ａ
　２　　　　（２）　～（　Ｆａ＆　Ｆｂ＆　Ｆｃ）　　Ａ
　　３　　　（３）　　　～Ｆａ　　　　　　　　　　　Ａ
　　３　　　（４）　　　～Ｆａ∨～Ｆｂ　　　　　　　３∨Ｉ
　　３　　　（５）　　　～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ　　　４∨Ｉ
１　３　　　（６）　～（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ）＆
　　　　　　　　　　　（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ）　　１５＆Ｉ
１　　　　　（７）　　～～Ｆａ　　　　　　　　　　　３６ＲＡＡ
１　　　　　（８）　　　　Ｆａ　　　　　　　　　　　７ＤＮ
　　　９　　（９）　　　　　　　～Ｆｂ　　　　　　　Ａ
　　　９　　（ア）　　　～Ｆａ∨～Ｆｂ　　　　　　　９∨Ｉ
　　　９　　（イ）　　　～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ　　　ア∨Ｉ
１　　９　　（ウ）　～（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ）＆
　　　　　　　　　　　（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ）　　１イ＆Ｉ
１　　　　　（エ）　　　　　　～～Ｆｂ　　　　　　　９ウＲＡＡ
１　　　　　（オ）　　　　　　　　Ｆｂ　　　　　　　エＤＮ
　　　　　カ（カ）　　　　　　　　　　　～Ｆｃ　　　Ａ
　　　　　カ（キ）　　　　　　　～Ｆｂ∨～Ｆｃ　　　カ∨Ｉ
　　　　　カ（ク）　　　～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ　　　キ∨Ｉ
１　　　　カ（ケ）　～（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ）＆
　　　　　　　　　　　（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ）　　１ク＆Ｉ
１　　　　　（コ）　　　　　　　　　　～～Ｆｃ　　　カケＲＡＡ
１　　　　　（サ）　　　　　　　　　　　　Ｆｃ　　　コＤＮ
１　　　　　（シ）　　　　Ｆａ＆　Ｆｂ　　　　　　　８オ＆Ｉ
１　　　　　（ス）　　　　Ｆａ＆　Ｆｂ＆　Ｆｃ　　　サシ＆Ｉ
１２　　　　（セ）　～（　Ｆａ＆　Ｆｂ＆　Ｆｃ）＆
　　　　　　　　　　　（　Ｆａ＆　Ｆｂ＆　Ｆｃ）　　２ス＆Ｉ
１　　　　　（ソ）～～（　Ｆａ＆　Ｆｂ＆　Ｆｃ）　　２セＲＡＡ
１　　　　　（タ）　　（　Ｆａ＆　Ｆｂ＆　Ｆｃ）　　ソＤＮ
従って、
（03）により、
（04）
③ 　（　Ｆａ＆　Ｆｂ＆　Ｆｃ）
④ ～（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ）
に於いて、
③＝④ である（ド・モルガンの法則）。
然るに、
（05）
｛ｘの変域）＝｛ａ，ｂ，ｃ｝
であるとして、
① 　∀ｘ（　Ｆｘ）
② ～∃ｘ（～Ｆｘ）
③ 　（　Ｆａ＆　Ｆｂ＆　Ｆｃ）
④ ～（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ）
に於いて、
①＝③ であって、
②＝④ である（ド・モルガンの法則）。
然るに、
（06）
③ 　（　Ｆａ＆　Ｆｂ＆　Ｆｃ）
④ ～（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ）
といふ「論理式」は、
③（ａはＦであり、ｂもＦであり、ｃもＦである）。
④（ａがＦでないか、ｂがＦでないか、ｃがＦでないかの、いづれかである）といふことはない。
といふ「意味」である。
従って、
（06）により、
（07）
｛ｘの変域）＝｛ａ，ｂ，ｃ｝
であるならば、そのときに限って、
③ 　（　Ｆａ＆　Ｆｂ＆　Ｆｃ）
④ ～（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ）
といふ「論理式」は、
① すべての（ｘはＦである）。
②（（Ｆでないｘ）が存在する）といふことはない。
といふ「意味」である。
従って、
（02）（06）（07）により、
（08）
｛ｘの変域）＝｛ａ，ｂ，ｃ｝
であるならば、そのときに限って、
① 　∀ｘ（　Ｆｘ）
② ～∃ｘ（～Ｆｘ）
③ 　（　Ｆａ＆　Ｆｂ＆　Ｆｃ）
④ ～（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ）
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ であって、
①＝②＝③＝④ である。
従って、
（08）により、
（09）
｛ｘの変域）＝｛ａ，ｂ，ｃ，ｍ｝
であるならば、そのときに限って、
① ∀ｘ（Ｆｘ）
② すべてのｘは、Ｆである。
③（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ＆Ｆｍ）
に於いて、
①＝②＝③ である。
然るに、
（10）
第１に、固有名詞を　つぎの符号のひとつとして定義する。
　ｍ，ｎ，・・・・・
第２に、任意の名前をつぎの符号のひとつとして定義する。
　ａ，ｂ，ｃ，・・・・・
第３に、個体変数を　つぎの符号のひとつとして定義する。
　ｘ，ｙ，ｚ，・・・・・
第４に、述語文字を　つぎの符号のひとつとして定義する。
　Ｆ，Ｇ，Ｈ，・・・・・
（E.J.レモン著、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年、１７６頁）
然るに、
（11）
１００　Ｆｍ，∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）├ Ｇｍ
１　（１）Ｆｍ　　　　　　　　Ａ
　２（２）∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）　Ａ
　２（３）　　　Ｆｍ→Ｇｍ　　２ＵＥ
１２（４）　　　　　　Ｇｍ　　１３ＭＰＰ
１００は論理学では有名なつぎの論証に見られるような、明らかに健全な論証の形式を示している。
　（３）ソクラテスは人間である。すべての人間は死すべきものである。故にソクラテスは死すべきものである。
（固有名詞ｍはソクラテス、述語文字Ｆは人間であること、そして述語文字Ｇは死すべきものであること、を表すものとする。）
（E.J.レモン著、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年、１３５頁）
従って、
（09）（10）（11）により、
（12）
｛ｘの変域）＝｛ａ，ｂ，ｃ，ｍ｝
であるならば、そのときに限って、
１００　Ｆｍ，∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）├ Ｇｍ
１　（１）Ｆｍ　　　　　　　　Ａ
　２（２）∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）　Ａ
　２（３）　　　Ｆｍ→Ｇｍ　　２ＵＥ
１２（４）　　　　　　Ｇｍ　　１３ＭＰＰ
といふ「計算」は、
１　（１）Ｆｍ　　　　　　　　Ａ
　２（２）　　　Ｆａ→Ｇａ＆
　　　　　　　　Ｆｂ→Ｇｂ＆
　　　　　　　　Ｆｃ→Ｇｃ＆
　　　　　　　　Ｆｍ→Ｇｍ　　Ａ
　２（３）　　　Ｆｍ→Ｇｍ　　２＆Ｅ
１２（４）　　　　　　Ｇｍ　　１３ＭＰＰ
といふ「計算」に「他ならない」。
令和６年１月２２日、毛利太。