「ド・モルガンの法則」と「含意の定義」と「パースの法則」。

（01）
（ⅰ）
１　　（１）　（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ　　　　Ａ
　２　（２）　　Ｐ＆～Ｑ　　　　　　　Ａ
　２　（３）　　Ｐ　　　　　　　　　　２＆Ｅ
　　４（４）　　　　　　　　Ｐ　　　　Ａ
１　　（５）　　Ｐ　　　　　　　　　　１２３４４∨Ｅ
　　　（６）（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ　１５ＣＰ
従って、
（01）により、
（02）
①（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ
といふ「論理式」は「恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（02）により、
（03）
　Ｐ＝花子は日本人である。
～Ｑ＝花子は男性でない（女性である）。
であるとして、
①（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ
といふ「命題」、すなはち、
①（（花子は日本人である＆～花子は男性である）∨花子は日本人である）→花子は日本人である。
といふ「命題」、すなはち、
①（（花子が日本人の女性である）か、または、花子が日本人である）ならば、花子は日本人である。
といふ「命題」は、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（04）
（ⅰ）
１　　　（１）　～Ｐ∨　Ｑ　　Ａ
　２　　（２）　　Ｐ＆～Ｑ　　Ａ
　　３　（３）　～Ｐ　　　　　Ａ
　２　　（４）　　Ｐ　　　　　２＆Ｅ
　２３　（５）　～Ｐ＆Ｐ　　　３４＆Ｉ
　　３　（６）～（Ｐ＆～Ｑ）　２５ＲＡＡ
　　　７（７）　　　　　Ｑ　　Ａ
　２　　（８）　　　　～Ｑ　　２＆Ｅ
　２　７（９）　　Ｑ＆～Ｑ　　７８＆Ｉ
　　　７（ア）～（Ｐ＆～Ｑ）　２７ＲＡＡ
１　　　（イ）～（Ｐ＆～Ｑ）　１３６７ア∨Ｅ
（ⅱ）
１　　　（１）　　～（Ｐ＆～Ｑ）　　Ａ
　２　　（２）　～（～Ｐ∨　Ｑ）　　Ａ
　　３　（３）　　　～Ｐ　　　　　　Ａ
　　３　（４）　　　～Ｐ∨　Ｑ　　　３∨Ｉ
　２３　（５）　～（～Ｐ∨　Ｑ）＆
　　　　　　　　　（～Ｐ∨　Ｑ）　　２５＆Ｉ
　２　　（６）　　　　Ｐ　　　　　　３５ＲＡＡ
　　　７（７）　　　　　　　Ｑ　　　Ａ
　　　７（８）　　　～Ｐ∨　Ｑ　　　７∨Ｉ
　２　７（９）　～（～Ｐ∨　Ｑ）＆
　　　　　　　　　（～Ｐ∨　Ｑ）　　２８＆Ｉ
　２　　（ア）　　　　　　～Ｑ　　　７９ＲＡＡ
　２　　（イ）　　　　Ｐ＆～Ｑ　　　６ア＆Ｉ
１２　　（ウ）　　～（Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　　　（　Ｐ＆～Ｑ）　　１イ＆Ｉ
１　　　（エ）～～（～Ｐ∨　Ｑ）　　２ウＲＡＡ
１　　　（オ）　　　～Ｐ∨　Ｑ　　　エＤＮ
従って、
（04）により、
（05）
① 　～Ｐ∨　Ｑ
② ～（Ｐ＆～Ｑ）
に於いて、
①＝② である（ド・モルガンの法則）。
然るに、
（06）
（ⅱ）
１　　（１）～（Ｐ＆～Ｑ）　　Ａ
　２　（２）　　Ｐ　　　　　　Ａ
　　３（３）　　　　～Ｑ　　　Ａ
　２３（４）　　Ｐ＆～Ｑ　　　２３＆Ｉ
１２３（５）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　（Ｐ＆～Ｑ）　　１４＆Ｉ
１２　（６）　　　～～Ｑ　　　３５ＲＡＡ
１２　（７）　　　　　Ｑ　　　６ＤＮ
１　　（８）　　Ｐ→　Ｑ　　　２７ＣＰ
（ⅲ）
１　（１）　　Ｐ→　Ｑ　　Ａ
　２（２）　　Ｐ＆～Ｑ　　Ａ
　２（３）　　Ｐ　　　　　２＆Ｅ
１２（４）　　　　　Ｑ　　１３ＭＰＰ
　２（５）　　　　～Ｑ　　２＆Ｅ
１２（６）　　Ｑ＆～Ｑ　　４５＆Ｉ
１　（７）～（Ｐ＆～Ｑ）　２６ＲＰＰ
従って、
（06）により、
（07）
② ～（Ｐ＆～Ｑ）
③ 　　Ｐ→　Ｑ
に於いて、すなはち、
②（Ｐであって、Ｑでない）といふことはない。
③ Ｐであるならば、Ｑである。
に於いて、
②＝③ である。
従って、
（05）（07）により、
（08）
① 　～Ｐ∨　Ｑ
② ～（Ｐ＆～Ｑ）
③ 　　Ｐ→　Ｑ
に於いて、
に於いて、
①＝②＝③ であるものの、
①＝② は、「ド・モルガンの法則」であって、
①＝③ を、「含意の定義（α）」とし、
②＝③ を、「含意の定義（β）」とする。
然るに、
（09）
（ⅰ）
１　　（１）　　（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）→　Ｐ　　Ａ
１　　（２）～（（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）＆～Ｐ）　１「含意の定義（α）」
１　　（３）　～（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）∨　Ｐ　　２ド・モルガンの法則
　４　（４）　～（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）　　　　　Ａ
　４　（５）　　～（Ｐ＆～Ｑ）＆～Ｐ　　　　　４ド・モルガンの法則
　４　（６）　　　（Ｐ→　Ｑ）＆～Ｐ　　　　　５「含意の定義（α）」
　４　（７）～～（（Ｐ→　Ｑ）＆～Ｐ）　　　　６ＤＮ
　４　（８）　～（（Ｐ→　Ｑ）→　Ｐ）　　　　７「含意の定義（α）」
　４　（９）　～（（Ｐ→　Ｑ）→　Ｐ）∨Ｐ　　８∨Ｉ
　　ア（ア）　　　　　　　　　　　　　　Ｐ　　Ａ
　　ア（イ）　～（（Ｐ→　Ｑ）→　Ｐ）∨Ｐ　　ア∨Ｉ
１　　（ウ）　～（（Ｐ→　Ｑ）→　Ｐ）∨Ｐ　　３４９アイ∨Ｅ
１　　（エ）　　（（Ｐ→　Ｑ）→　Ｐ）→Ｐ　　ウ「含意の定義（β）」
（ⅱ）
１　　（１）　　（（Ｐ→　Ｑ）→　Ｐ）→Ｐ　　Ａ
１　　（２）　～（（Ｐ→　Ｑ）→　Ｐ）∨Ｐ　　１「含意の定義（β）」
　３　（３）　～（（Ｐ→　Ｑ）→　Ｐ）　　　　Ａ
　３　（４）～～（（Ｐ→　Ｑ）＆～Ｐ）　　　　３「含意の定義（α）」
　３　（５）　　　（Ｐ→　Ｑ）＆～Ｐ　　　　　４ＤＮ
　３　（６）　　～（Ｐ＆～Ｑ）＆～Ｐ　　　　　５「含意の定義（α）」
　３　（７）　～（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）　　　　　６ド・モルガンの法則
　３　（８）　～（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）∨　Ｐ　　７∨Ｉ
　　９（９）　　　　　　　　　　　　　　Ｐ　　Ａ
　　９（ア）　～（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）∨　Ｐ　　９∨Ｉ
１　　（イ）　～（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）∨　Ｐ　　１３８９ア∨Ｅ
１　　（ウ）～（（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）＆～Ｐ）　イ、ド・モルガンの法則
１　　（エ）　　（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）→　Ｐ　　１「含意の定義（α）」
従って、
（09）により、
（10）
①（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ
②（（Ｐ→　Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
に於いて、
①＝② である。
従って、
（03）（10）により、
（11）
　Ｐ＝花子は日本人である。
～Ｑ＝花子は男性でない（女性である）。
であるとして、
①（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ
②（（Ｐ→　Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
といふ「命題」、すなはち、
①（（花子は日本人である＆～花子は男性である）∨花子は日本人である）→花子は日本人である。
②（（花子は日本人である→　花子は男性である）→花子は日本人である）→花子は日本人である。
といふ「命題」、すなはち、
①（（花子が日本人の女性である）か、または、花子が日本人である）ならば、花子は日本人である。
②（（花子が日本人であるならば、花子が男性である）ならば、花子が日本人である）ならば、花子は日本人である。
といふ「命題」は、２つとも、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（12）
「直観主義の論理体系ＮＪ」では、次の諸性質は「同値」である。
├ ～～Ｐ→Ｐ 　　　　　　　二重否定除去律
├ 　  Ｐ∨～Ｐ　　　　　　　排中律
├ （（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ　　パースの法則。
（大阪教育図書、論理と思考、2021年、８５頁）
従って、
（11）（12）により、
（13）
①（（花子が日本人の女性である）か、または、花子が日本人である）ならば、花子は日本人である。
②（（花子が日本人であるならば、花子が男性である）ならば、花子が日本人である）ならば、花子は日本人である。
といふ「命題」は、２つとも、「恒真式（トートロジー）」であって、特に、
② は、「直観主義の論理体系ＮＪ」では、「排中律（Ｐ∨～Ｐ）」に「等しい」。
然るに、
（13）により、
（14）
①（（花子が日本人の女性である）か、または、花子が日本人である）ならば、花子は日本人である。
②（（花子が日本人であるならば、花子が男性である）ならば、花子が日本人である）ならば、花子は日本人である。
といふ「命題」は、２つとも、「恒真式（トートロジー）」である。
とするならば、「当然」、
①（（太郎が日本人の男性である）か、または、太郎が日本人である）ならば、太郎は日本人である。
②（（太郎が日本人であるならば、太郎が女性である）ならば、太郎が日本人である）ならば、太郎は日本人である。
といふ「命題」は、２つとも、「恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（14）により、
（15）
①（（花子が日本人の女性である）か、または、花子が日本人である）ならば、花子は日本人である。
②（（花子が日本人であるならば、花子が男性である）ならば、花子が日本人である）ならば、花子は日本人である。
といふ「命題」に於いて、
① 女性である。
② 男性である。
といふ「部分」は、実際には、「意味が無い（不要である）」。
然るに、
（01）（09）により、
（16）
（ⅰ）
１　　（１）　（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ　　　　Ａ
　２　（２）　　Ｐ＆～Ｑ　　　　　　　Ａ
　２　（３）　　Ｐ　　　　　　　　　　２＆Ｅ
　　４（４）　　　　　　　　Ｐ　　　　Ａ
１　　（５）　　Ｐ　　　　　　　　　　１２３４４∨Ｅ
　　　（６）（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ　１５ＣＰ
（ⅰ）
１　　（１）　　（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）→　Ｐ　　Ａ
１　　（２）～（（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）＆～Ｐ）　１「含意の定義（α）」
１　　（３）　～（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）∨　Ｐ　　２ド・モルガンの法則
　４　（４）　～（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）　　　　　Ａ
　４　（５）　　～（Ｐ＆～Ｑ）＆～Ｐ　　　　　４ド・モルガンの法則
　４　（６）　　　（Ｐ→　Ｑ）＆～Ｐ　　　　　５「含意の定義（α）」
　４　（７）～～（（Ｐ→　Ｑ）＆～Ｐ）　　　　６ＤＮ
　４　（８）　～（（Ｐ→　Ｑ）→　Ｐ）　　　　７「含意の定義（α）」
　４　（９）　～（（Ｐ→　Ｑ）→　Ｐ）∨Ｐ　　８∨Ｉ
　　ア（ア）　　　　　　　　　　　　　　Ｐ　　Ａ
　　ア（イ）　～（（Ｐ→　Ｑ）→　Ｐ）∨Ｐ　　ア∨Ｉ
１　　（ウ）　～（（Ｐ→　Ｑ）→　Ｐ）∨Ｐ　　３４９アイ∨Ｅ
１　　（エ）　　（（Ｐ→　Ｑ）→　Ｐ）→Ｐ　　ウ「含意の定義（β）」
（ⅱ）
１　　（１）　　（（Ｐ→　Ｑ）→　Ｐ）→Ｐ　　Ａ
１　　（２）　～（（Ｐ→　Ｑ）→　Ｐ）∨Ｐ　　１「含意の定義（β）」
　３　（３）　～（（Ｐ→　Ｑ）→　Ｐ）　　　　Ａ
　３　（４）～～（（Ｐ→　Ｑ）＆～Ｐ）　　　　３「含意の定義（α）」
　３　（５）　　　（Ｐ→　Ｑ）＆～Ｐ　　　　　４ＤＮ
　３　（６）　　～（Ｐ＆～Ｑ）＆～Ｐ　　　　　５「含意の定義（α）」
　３　（７）　～（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）　　　　　６ド・モルガンの法則
　３　（８）　～（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）∨　Ｐ　　７∨Ｉ
　　９（９）　　　　　　　　　　　　　　Ｐ　　Ａ
　　９（ア）　～（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）∨　Ｐ　　９∨Ｉ
１　　（イ）　～（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）∨　Ｐ　　１３８９ア∨Ｅ
１　　（ウ）～（（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）＆～Ｐ）　イ、ド・モルガンの法則
１　　（エ）　　（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）→　Ｐ　　１「含意の定義（α）」
といふ「計算」は、
自然演繹論理のあるバージョンには、公理が存在しない。ジョン・レモンが開発した体系Ｌ（ウィキペディア）。
で言ふ所の、『自然演繹の体系Ｌ』である。
従って、
（14）（15）（16）により、
（17）
『自然演繹の体系Ｌ』からすると、
①（（花子が日本人の女性である）か、または、花子が日本人である）ならば、花子は日本人である。
②（（花子が日本人であるならば、花子が男性である）ならば、花子が日本人である）ならば、花子は日本人である。
といふ「命題」は、「実質的」に、
①（（花子が日本である）か、または、花子が日本人である）ならば、花子は日本人である。
②（（花子が日本人である）ならば、花子が日本人である）　ならば、花子は日本人である。
といふ「命題」に、「等しい」。
然るに、
（18）
①（（花子が日本である）か、または、花子が日本人である）ならば、花子は日本人である。
②（（花子が日本人である）ならば、花子が日本人である）　ならば、花子は日本人である。
といふ「命題」は、② を含めて、「少なくとも、変ではない」。
然るに、
（19）
排中律や二重否定の除去と等価な命題のひとつで、変なものとして、パースの法則があります。
任意の命題Ｐ, Ｑについて、
（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
が成り立つ
『「ＰならばＱ」ならばＰ』ならばＰ
なんか、パズルのような命題ですね。
（背理法を絶対に認めない人たちの会）
然るに、
（19）により、
（20）
確かに、任意の命題Ｐ, Ｑについての、例へば、
②（（花子が日本人であるならば、花子が男性である）ならば、花子が日本人である）ならば、花子は日本人である。
といふ「パースの法則（合成命題）」は、「（パズルみたいで）変である」が、
②（（花子が日本人である）ならば、花子が日本人である）ならば、花子は日本人である。
といふ「命題」が「恒真命題（トートロジー）」であることには、「何らの違和感」も無い。
従って、
（17）～（20）により、
（21）
②（（花子が日本人であるならば、花子が男性である）ならば、花子が日本人である）ならば、花子は日本人である。
といふ「パースの法則」が、「ヘンテコ」である「理由」は、
②（（花子が日本人である）ならば、花子が日本人である）ならば、花子は日本人である。
といふ「命題」に対して、
②「（不要である所の）花子は男性である。」
といふ「命題」を加へたからである。
（22）
（ⅰ）
１　　（１）　Ｐ∨Ｐ　　　　Ａ
　２　（２）　Ｐ　　　　　　Ａ
　　３（３）　　　Ｐ　　　　Ａ
１　　（４）　Ｐ　　　　　　１２２３３∨Ｅ
　　　（５）（Ｐ∨Ｐ）→Ｐ　１４ＣＰ
であると「同時」に、
（ⅱ）
１　　（１）　（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ　　　　Ａ
　２　（２）　　Ｐ＆～Ｑ　　　　　　　Ａ
　２　（３）　　Ｐ　　　　　　　　　　２＆Ｅ
　　４（４）　　　　　　　　Ｐ　　　　Ａ
１　　（５）　　Ｐ　　　　　　　　　　１２３４４∨Ｅ
　　　（６）（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ　１５ＣＰ
である。
従って、
（01）（10）（22）により、
（23）
①　（Ｐ　　　　∨Ｐ）→Ｐ
②（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ
③（（Ｐ→　Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
といふ「３つの論理式」は、すなはち、
①　（Ｐであるか、Ｐである）ならばＰである。
②（（Ｐであって、Ｑでない）か、Ｐである）ならば、Ｐである。
③（（Ｐであるならば、Ｑである）ならば、Ｐである）ならば、Ｐである。
といふ「３つの命題」は、「３つ」とも、「恒真命題（トートロジー）」であって、尚且つ、
②＝③ であって、特に、
③ を、「パースの法則」と言ふ。
令和６年１月２１日、毛利太。

―「補足」をします。―
（24）
（ⅰ）
１（１）Ｐ　　　Ａ
　（２）Ｐ→Ｐ　１１ＣＰ
（ⅲ）
１　（１）　（Ｐ→Ｐ）→Ｐ　　　　Ａ
　２（２）　　Ｐ　　　　　　　　　Ａ
　　（３）　　Ｐ→Ｐ　　　　　　　２２ＣＰ
１　（４）　　　　　　　Ｐ　　　　１３ＭＰＰ
　　（５）（（Ｐ→Ｐ）→Ｐ）→Ｐ　１４ＣＰ
従って、
（24）により、
（25）
① 　 Ｐ→Ｐ
③（（Ｐ→Ｐ）→Ｐ）→Ｐ
は、「２つ」とも「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（26）
②（偽→偽）→偽
は「偽」であるため、
②（Ｐ→Ｐ）→Ｐ
は、「恒真式（トートロジー）」ではない。
15:37 2024/01/21