「排他的選言（クワインの定義）」について。

（01）
①　　 Ｐ∨Ｑ
② ～（Ｐ⇔Ｑ）
といふ「論理式」は、それぞれ、
① Ｐであるか、Ｑであるか、または、両方である。
②（ＰとＱが、同時に真になることも、同時に偽になることも）無い。
といふ「意味」である。
然るに、
（02）
②（ＰとＱが、同時に真になることも、同時に偽になることも）無い。
といふことは、
② Ｐであるか、Ｑであるが、ただし、両方ではない。
といふ「意味」である。
従って、
（01）（02）により、
（03）
①　　 Ｐ∨Ｑ
② ～（Ｐ⇔Ｑ）
といふ「論理式」は、それぞれ、
① Ｐであるか、Ｑであるか、または、両方である。
② Ｐであるか、Ｑであるが、ただし、両方ではない。
といふ「意味」であって、この場合、
① を、「両立的選言」と言ひ、
② を、「排他的選言」と言ふ。
然るに、
（04）
（ⅱ）
１　　（１）　～（Ｐ⇔Ｑ）　　　　　　　　　Ａ
１　　（２）～｛（Ｐ→Ｑ）＆　（Ｑ→Ｐ）｝　１Ｄｆ.⇔
１　　（３）　～（Ｐ→Ｑ）∨～（Ｑ→Ｐ）　　２ド・モルガンの法則
　４　（４）　～（Ｐ→Ｑ）　　　　　　　　　Ａ
　４　（５）～（～Ｐ∨Ｑ）　　　　　　　　　４含意の定義
　４　（６）　（Ｐ＆～Ｑ）　　　　　　　　　５ド・モルガンの法則
　４　（７）　（Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｑ＆～Ｐ）　　６∨Ｉ
　　８（８）　　　　　　　　～（Ｑ→Ｐ）　　Ａ
　　８（９）　　　　　　　～（～Ｑ∨Ｐ）　　８含意の定義
　　８（ア）　　　　　　　　　Ｑ＆～Ｐ　　　９ド・モルガンの法則
　　８（イ）　（Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｑ＆～Ｐ）　　ア∨Ｉ
１　　（ウ）　（Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｑ＆～Ｐ）　　３４７８イ∨Ｅ
（ⅲ）
１　　（１）　（Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｑ＆～Ｐ）　　Ａ
　２　（２）　（Ｐ＆～Ｑ）　　　　　　　　　Ａ
　２　（３）～（～Ｐ∨Ｑ）　　　　　　　　　２ド・モルガンの法則
　２　（４）　～（Ｐ→Ｑ）　　　　　　　　　３含意の定義
　２　（５）　～（Ｐ→Ｑ）∨～（Ｑ→Ｐ）　　４∨Ｉ
　　６（６）　　　　　　　　　Ｑ＆～Ｐ　　　Ａ
　　６（７）　　　　　　　～（～Ｑ∨Ｐ）　　６ド・モルガンの法則
　　６（８）　　　　　　　　～（Ｑ→Ｐ）　　７含意の定義
　　６（９）　～（Ｐ→Ｑ）∨～（Ｑ→Ｐ）　　８∨Ｉ
１　　（ア）　～（Ｐ→Ｑ）∨～（Ｑ→Ｐ）　　１２５６９∨Ｅ
１　　（イ）～｛（Ｐ→Ｑ）＆　（Ｑ→Ｐ）｝　ア、ド・モルガンの法則
１　　（ウ）　～（Ｐ⇔Ｑ）　　　　　　　　　イＤｆ．⇔
従って、
（04）により、
（05）
② ～（Ｐ⇔Ｑ）
③　 （Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｑ＆～Ｐ）
に於いて、
②＝③ である。
然るに、
（06）
『岩波書店、クワイン 論理学の方法、１９６１年、１１頁』を見ると、
③（Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｑ＆～Ｐ）
④  Ｐ⇔～Ｑ
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（05）（06）により、
（07）
② ～（Ｐ⇔　Ｑ）
④ 　　Ｐ⇔～Ｑ
に於いて、
②＝④ である。
然るに、
（08）
（ⅱ）
１　　　　　　　　　　　　　（１）　～（Ｐ⇔　Ｑ）　　　　　　　　　　Ａ
１　　　　　　　　　　　　　（２）～｛（Ｐ→　Ｑ）＆　（　Ｑ→Ｐ）｝　１Ｄｆ.⇔
１　　　　　　　　　　　　　（３）　～（Ｐ→　Ｑ）∨～（　Ｑ→Ｐ）　　２ド・モルガンの法則
　４　　　　　　　　　　　　（４）　～（Ｐ→　Ｑ）　　　　　　　　　　Ａ
　４　　　　　　　　　　　　（５）　～（～Ｐ∨Ｑ）　　　　　　　　　　４含意の定義
　４　　　　　　　　　　　　（６）　　　Ｐ＆～Ｑ　　　　　　　　　　　５ド・モルガンの法則
　４　　　　　　　　　　　　（７）　　（Ｐ＆～Ｑ）∨　（Ｑ＆～Ｐ）　　６∨Ｉ
　　８　　　　　　　　　　　（８）　　　　　　　　　～（　Ｑ→Ｐ）　　Ａ
　　８　　　　　　　　　　　（９）　　　　　　　　　～（～Ｑ∨Ｐ）　　８含意の定義
　　８　　　　　　　　　　　（ア）　　　　　　　　　　（Ｑ＆～Ｐ）　　９ド・モルガンの法則
　　８　　　　　　　　　　　（イ）　　（Ｐ＆～Ｑ）∨　（Ｑ＆～Ｐ）　　ア∨Ｉ
１　　　　　　　　　　　　　（ウ）　　（Ｐ＆～Ｑ）∨　（Ｑ＆～Ｐ）　　１４７８イ∨Ｅ
　　エ　　　　　　　　　　（エ）　～（Ｐ⇔～Ｑ）　　　　　　　　　　Ａ
　　　エ　　　　　　　　　　（オ）～｛（Ｐ→～Ｑ）＆　（～Ｑ→Ｐ）｝　エＤｆ.⇔
　　　エ　　　　　　　　　　（カ）　～（Ｐ→～Ｑ）∨～（～Ｑ→Ｐ）　　オ、ド・モルガンの法則
　　　　キ　　　　　　　　　（キ）　～（Ｐ→～Ｑ）　　　　　　　　　　Ａ
　　　　キ　　　　　　　　　（ク）～（～Ｐ∨～Ｑ）　　　　　　　　　　キ含意の定義
　　　　キ　　　　　　　　　（ケ）　　（Ｐ＆　Ｑ）　　　　　　　　　　ク、ド・モルガンの法則
　　　　キ　　　　　　　　　（コ）　　（Ｐ＆　Ｑ）∨（～Ｑ＆～Ｐ）　　ケ∨Ｉ
　　　　　サ　　　　　　　　（サ）　　　　　　　　　～（～Ｑ→Ｐ）　　Ａ
　　　　　サ　　　　　　　　（シ）　　　　　　　　　～（Ｑ∨　Ｐ）　　サ含意の定義
　　　　　サ　　　　　　　　（ス）　　　　　　　　　（～Ｑ＆～Ｐ）　　シ、ド・モルガンの法則
　　　　　サ　　　　　　　　（セ）　　（Ｐ＆　Ｑ）∨（～Ｑ＆～Ｐ）　　ス∨Ｉ
　　　エ　　　　　　　　　　（ソ）　　（Ｐ＆　Ｑ）∨（～Ｑ＆～Ｐ）　　エキコサセ∨Ｅ
　　　　　　タ　　　　　　　（タ）　　（Ｐ＆～Ｑ）　　　　　　　　　　Ａ
　　　　　　　チ　　　　　　（チ）　　（Ｐ＆　Ｑ）　　　　　　　　　　Ａ
　　　　　　タ　　　　　　　（ツ）　　　　　～Ｑ　　　　　　　　　　　タ＆Ｅ
　　　　　　　チ　　　　　　（テ）　　　　　　Ｑ　　　　　　　　　　　チ＆Ｅ
　　　　　　タチ　　　　　　（ト）　　　～Ｑ＆Ｑ　　　　　　　　　　　ツテ＆Ｉ
　　　　　　　チ　　　　　　（ナ）　～（Ｐ＆～Ｑ）　　　　　　　　　　タトＲＡＡ
　　　　　　　　ニ　　　　　（ニ）　　　　　　　　　（～Ｑ＆～Ｐ）　　Ａ
　　　　　　タ　　　　　　　（ヌ）　　　Ｐ　　　　　　　　　　　　　　タ＆Ｅ
　　　　　　　　ニ　　　　　（ネ）　　　　　　　　　　　　　～Ｐ　　　ニ＆Ｅ
　　　　　　タ　ニ　　　　　（ノ）　　　Ｐ＆～Ｐ　　　　　　　　　　　ヌネ＆Ｉ
　　　　　　　　ニ　　　　　（ハ）　～（Ｐ＆～Ｑ）　　　　　　　　　　タノＲＡＡ
　　　エ　　　　　　　　　　（ヒ）　～（Ｐ＆～Ｑ）　　　　　　　　　　ソチナニハ∨Ｅ
　　　　　　　　　フ　　　　（フ）　　　　　　　　　　（Ｑ＆～Ｐ）　　Ａ
　　　　　　　　　　ヘ　　　（ヘ）　　（Ｐ＆　Ｑ）　　　　　　　　　　Ａ
　　　　　　　　　フ　　　　（ホ）　　　　　　　　　　　　　～Ｐ　　　フ＆Ｅ
　　　　　　　　　　ヘ　　　（マ）　　　Ｐ　　　　　　　　　　　　　　ヘ＆Ｅ
　　　　　　　　　フヘ　　　（ミ）　　　　　　　　　　　Ｐ＆～Ｑ　　　ホマ＆Ｉ
　　　　　　　　　　ヘ　　　（ム）　　　　　　　　　～（Ｑ＆～Ｐ）　　フミＲＡＡ
　　　　　　　　　　　メ　　（メ）　　　　　　　　　（～Ｑ＆～Ｐ）　　Ａ
　　　　　　　　　フ　　　　（モ）　　　　　　　　　　　Ｑ　　　　　　フ＆Ｅ
　　　　　　　　　　　メ　　（ヤ）　　　　　　　　　　～Ｑ　　　　　　メ＆Ｅ
　　　　　　　　　フ　メ　　（ユ）　　　　　　　　　　　Ｑ＆～Ｑ　　　モヤ＆Ｉ
　　　　　　　　　　　メ　　（ヨ）　　　　　　　　　～（Ｑ＆～Ｐ）　　フユＲＡＡ
　　　エ　　　　　　　　　　（ラ）　　　　　　　　　～（Ｑ＆～Ｐ）　　ソヘムメヨＲＡＡ
　　　　　　　　　　　　リ　（リ）　　（Ｐ＆～Ｑ）　　　　　　　　　　Ａ
　　　エ　　　　　　　　リ　（ル）　～（Ｐ＆～Ｑ）＆　（Ｐ＆～Ｑ）　　ヒリ＆Ｉ
　　　　　　　　　　　　リ　（レ）～～（Ｐ⇔～Ｑ）　　　　　　　　　　エルＲＡＡ
　　　　　　　　　　　　　ロ（ロ）　　　　　　　　　　（Ｑ＆～Ｐ）　　Ａ
　　　エ　　　　　　　　　ロ（ワ）　～（Ｑ＆～Ｐ）＆　（Ｑ＆～Ｐ）　　ラロ＆Ｉ
　　　　　　　　　　　　　ロ（ヲ）～～（Ｐ⇔～Ｑ）　　　　　　　　　　エワＲＡＡ
１　　　　　　　　　　　　　（ン）～～（Ｐ⇔～Ｑ）　　　　　　　　　　ウリレロヲ∨Ｅ
１　　　　　　　　　　　　　（あ）　　　Ｐ⇔～Ｑ　　　　　　　　　　　ンＤＮ
（ⅳ）
１　　　（１）　　Ｐ⇔～Ｑ　　　　　　　　　Ａ
　２　　（２）　　Ｐ⇔　Ｑ　　　　　　　　　Ａ
１　　　（３）　（Ｐ→～Ｑ）＆（～Ｑ→Ｐ）　１Ｄｆ.⇔
　２　　（４）　（Ｐ→　Ｑ）＆（　Ｑ→Ｐ）　２Ｄｆ.⇔
１　　　（５）　　Ｐ→～Ｑ　　　　　　　　　３＆Ｅ
　２　　（６）　　Ｐ→　Ｑ　　　　　　　　　４＆Ｅ
１　　　（７）　　　　　　　　　～Ｑ→Ｐ　　３＆Ｅ
　２　　（８）　　　　　　　　　　Ｑ→Ｐ　　４＆Ｅ
　　　　（９）　　Ｐ∨～Ｐ　　　　　　　　　排中律
　　ア　（ア）　　Ｐ　　　　　　　　　　　　Ａ
１　ア　（イ）　　　　～Ｑ　　　　　　　　　５アＭＰＰ
　２ア　（ウ）　　　　　Ｑ　　　　　　　　　６アＭＰＰ
１２ア　（エ）　　Ｑ＆～Ｑ　　　　　　　　　ウイ＆Ｉ
１　ア　（オ）～（Ｐ⇔　Ｑ）　　　　　　　　２エＲＡＡ
　　　カ（カ）　　　　～Ｐ　　　　　　　　　Ａ
１　　カ（キ）　　　～～Ｑ　　　　　　　　　７カＭＴＴ
　２　カ（ク）　　　　～Ｑ　　　　　　　　　８カＭＴＴ
１２　カ（ケ）　　　～～Ｑ＆～Ｑ　　　　　　キク＆Ｉ
１　　カ（コ）～（Ｐ⇔　Ｑ）　　　　　　　　２ケＲＡＡ
１　　　（サ）～（Ｐ⇔　Ｑ）　　　　　　　　９アオカコ∨Ｅ
従って、
（08）により、
（09）
果たして、
② ～（Ｐ⇔　Ｑ）
④ 　　Ｐ⇔～Ｑ
に於いて、
②＝④ である。
従って、
（05）（09）により、
（10）
② ～（Ｐ⇔　Ｑ）
③　 （Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｑ＆～Ｐ）
④ 　　Ｐ⇔～Ｑ
といふ「論理式」に於いて、
②＝③＝④ であって、これは３つとも、「排他的選言」である。
従って、
（10）により、
（11）
②（ＰとＱが、同時に真になることも、同時に偽になることも）無い。
③（Ｐであって、Ｑでない）か、または（Ｑであって、Ｐでない）。
④（Ｐである）といふことは（Ｑでない）といふことに「等しい」。
といふ「論理式」に於いて、
②＝③＝④ であって、これは３つとも、「排他的選言」である。
然るに、
（12）
②（ＰとＱが、同時に真になることも、同時に偽になることも）無い。
③（Ｐであって、Ｑでない）か、または（Ｑであって、Ｐでない）。
④（Ｐである）といふことは（Ｑでない）といふことに「等しい」。
に於いて、
②＝③ であることは、「分かり易い」が、
②＝④ であることは、「分かり難い」。
然るに、
（13）
④  Ｐ⇔～Ｑ
⑤（Ｐ→～Ｑ）＆（～Ｑ→Ｐ）
に於いて、
④＝⑤ である。
従って、
（01）～（13）により、
（14）
④「排他的命題」としての、
④（Ｐである）といふことは（Ｑでない）といふことに「等しい」。
といふ「日本語」は、「分かり難い」が、「命題計算」の際には、
④「排他的命題」としての、
④ Ｐ⇔～Ｑ
といふ「論理式」は、「極めて、便利である」。
令和５年１１月２７日、毛利太。