「Ｐ∨（Ｐ→Ｑ）」は「排中律（～Ｑ∨Ｑ）」である。

（01）
④ 太郎であるか、または、太郎であるならば、男性である。
といふ「日本語」が、「恒に真」である。
といふことを、『証明』します。
（02）
仮定の数がゼロである、「証明可能な連式の結論」は、「恒真式（トートロジー）」である。
（E.J.レモン著、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、1973年、６４頁）
然るに、
（03）
（ⅰ）
１（１）Ｐ　Ａ
　（２）Ｐ→Ｐ　１１ＣＰ
（ⅱ）
１　　　（１）　～（～Ｐ∨Ｐ）　Ａ
　２　　（２）　　　～Ｐ　　　　Ａ
　２　　（３）　　　～Ｐ∨Ｐ　　２∨Ｉ
１２　　（４）　～（～Ｐ∨Ｐ）＆
　　　　　　　　　（～Ｐ∨Ｐ）　１３＆Ｉ
１　　　（５）　　～～Ｐ　　　　２４ＲＡＡ
１　　　（６）　　　　Ｐ　　　　５ＤＮ
１　　　（７）　　　～Ｐ∨Ｐ　　６∨Ｉ
１　　　（８）　～（～Ｐ∨Ｐ）＆
　　　　　　　　　（～Ｐ∨Ｐ）　１７＆Ｉ
　　　　（９）～～（～Ｐ∨Ｐ）　１８ＲＡＡ
　　　　（ア）　　　～Ｐ∨Ｐ　　９ＤＮ
（ⅲ）
１　　　　　　　　（１）　～（～Ｐ∨Ｐ）　　Ａ
　２　　　　　　　（２）　　　～Ｐ　　　　　Ａ
　２　　　　　　　（３）　　　～Ｐ∨Ｐ　　　２∨Ｉ
１２　　　　　　　（４）　～（～Ｐ∨Ｐ）＆
　　　　　　　　　　　　　　（～Ｐ∨Ｐ）　　１３＆Ｉ
１　　　　　　　　（５）　　～～Ｐ　　　　　２４ＲＡＡ
１　　　　　　　　（６）　　　　Ｐ　　　　　５ＤＮ
１　　　　　　　　（７）　　　～Ｐ∨Ｐ　　　６∨Ｉ
１　　　　　　　　（８）　～（～Ｐ∨Ｐ）＆
　　　　　　　　　　　　　　（～Ｐ∨Ｐ）　　１７＆Ｉ
　　　　　　　　　（９）～～（～Ｐ∨Ｐ）　　１８ＲＡＡ
　　　　　　　　　（ア）　　　～Ｐ∨Ｐ　　　９ＤＮ
　　イ　　　　　　（イ）　　　～Ｐ　　　　　Ａ
　　イ　　　　　　（ウ）　　　～Ｐ∨Ｑ　　　イ∨Ｉ
　　　エ　　　　　（エ）　　　Ｐ＆～Ｑ　　　Ａ
　　　　オ　　　　（オ）　　　～Ｐ　　　　　Ａ
　　　エ　　　　　（カ）　　　Ｐ　　　　　　エ＆Ｅ
　　　エオ　　　　（キ）　　　～Ｐ＆Ｐ　　　オカ＆Ｉ
　　　　オ　　　　（ク）　～（Ｐ＆～Ｑ）　　エキＲＡＡ
　　　　　ケ　　　（ケ）　　　　　　Ｑ　　　Ａ
　　　エ　　　　　（コ）　　　　　～Ｑ　　　エ＆Ｅ
　　　エ　ケ　　　（サ）　　　Ｑ＆～Ｑ　　　ケコ＆Ｉ
　　　　　ケ　　　（シ）　～（Ｐ＆～Ｑ）　　エサＲＡＡ
　　イ　　　　　　（ス）　～（Ｐ＆～Ｑ）　　イオクケシ∨Ｅ
　　　　　　セ　　（セ）　　　Ｐ　　　　　　Ａ
　　　　　　　ソ　（ソ）　　　　　～Ｑ　　　Ａ
　　　　　　セソ　（タ）　　　Ｐ＆～Ｑ　　　セソ＆Ｉ
　　イ　　　セソ　（チ）　～（Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　　　　　　　　（Ｐ＆～Ｑ）　　スタ＆Ｉ
　　イ　　　セ　　（ツ）　　　　～～Ｑ　　　ソチＲＡＡ
　　イ　　　セ　　（テ）　　　　　　Ｑ　　　ツＤＮ
　　イ　　　　　　（ト）　　　Ｐ→　Ｑ　　　セテＣＰ
　　イ　　　　　　（ナ）Ｐ∨（Ｐ→　Ｑ）　　ト∨Ｉ
　　　　　　　　ニ（ニ）　　　　　　Ｐ　　　Ａ
　　　　　　　　ニ（ヌ）Ｐ∨（Ｐ→　Ｑ）　　ニ∨Ｉ
　　　　　　　　　（ネ）Ｐ∨（Ｐ→　Ｑ）　　アイナニヌ∨Ｅ
従って、
（02）（03）により、
（04）
① 　Ｐ→Ｐ（同一律）
② ～Ｐ∨Ｐ（排中律）
③ 　Ｐ∨（Ｐ→Ｑ）（練習問題５ａ）
といふ「論理式」は、３つとも「恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（04）により、
（05）
① Ｐであるならば、Ｐである。
② Ｐでないか、または、Ｐである。
③ Ｐであるか、または、Ｐであるならば、Ｑである。
といふ「日本語」は、３つとも、「恒に真」である。
然るに、
（05）により、
（06）
① Ｐであるならば、Ｐである（同一律）。
② Ｐでないか、または、Ｐである（排中律）。
といふ「日本語」は、ともかく、
③ Ｐであるか、または、Ｐならば、Ｑである（練習問題５ａ）。
といふ「日本語」が、「恒に真である」。
といふことは、「分かり難い（意外である）」。
然るに、
（07）
Ｐ，Ｑの二つを組みにする場合、「非排他的な選言」は、「ＰまたはＱ，またはその両方」と言います（易しくない論理学）。
然るに、
（08）
③ Ｐ∨（Ｐ→Ｑ）
③ Ｐであるか、または、Ｐであるならば、Ｑである。
の場合は、「非排他的な選言」である。
従って、
（07）（08）により、
（09）
③ Ｐ∨（Ｐ→Ｑ）
である場合は、
④　Ｐだけが　　　　「真」であることも、
⑤（Ｐ→Ｑ）だけが　「真」であることも、
⑥　Ｐと（Ｐ→Ｑ）が「真」であることも、「可能」である。
然るに、
（10）
１（１）Ｐ＆（Ｐ→Ｑ）　Ａ
１（２）Ｐ　　　　　　　１＆Ｅ
１（３）　　　Ｐ→Ｑ　　１＆Ｅ
１（４）　　　　　Ｑ　　２３ＭＰＰ
然るに、
（09）（10）により、
（11）
③ Ｐ∨（Ｐ→Ｑ）
である場合に、
④ であるとしても、Ｑであるとは、「限らない」。
⑤ であるとしても、Ｑであるとは、「限らない」が、
⑥ であるならば、　Ｑである。
従って、
（11）により、
（12）
③ Ｐ∨（Ｐ→Ｑ）
といふ「論理式」が「真」であるならば、
③ Ｑであるか、または、Ｑでない。
といふ「日本語」は「真」である。
従って、
（04）（05）（12）により、
（13）
「番号」を「付け替へ」るものの、
① Ｑ∨～Ｑ
② Ｐ∨（Ｐ→～Ｑ）
③ Ｑであるか、または、Ｑでない。
④ Ｐであるか、または、Ｐであるならば、Ｑである。
といふ「論理式・日本語」に於いて、
①＝②＝③＝④ である。
従って、
（13）により、
（14）
③ Ｑであるか、または、Ｑでない。
④ Ｐであるか、または、Ｐであるならば、Ｑである。
といふ「日本語」に於いて、
③＝④ である。
従って、
（14）により、
（15）
Ｑ＝男性である。
Ｐ＝太郎である。
として、
③ 男性であるか、または、男性ではない。
④ 太郎であるか、または、太郎であるならば、男性である。
といふ「日本語」に於いて、
③＝④ である。
然るに、
（16）
③ 男性であるか、または、男性ではない。
といふ「命題（排中律）」は、「恒に真」である。
従って、
（15）（16）により、
（17）
④ 太郎であるか、または、太郎であるならば、男性である。
といふ「命題（排中律）」も、「恒に真」である。
然るに、
（18）
④ 太郎であるか、または、太郎であるならば、男性である。
といふ「命題」が、「排中律」である。
といふことは、「（論理学に疎い）普通の人」は、「気付かない」。
従って、
（18）により、
（19）
④ 太郎であるか、または、太郎であるならば、男性である。
といふ「命題」が、「恒に真」である。
といふことに、「（論理学に疎い）普通の人」は、「気付かない」。
然るに、
（20）
５　原始的規則あるいは導出された規則を、既に証明されたどのような連式あるいは定理とでもともに用いて、証明せよ。
５　Using primitive or deriverd rulues, together with any sequents or theorems already proved,prove.
（E.J.レモン著、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、1973年、８０頁）
（ａ）├ Ｐ∨（Ｐ→Ｑ）
〔（私の）解答〕
　　（１）　　～Ｐ∨Ｐ　　排中律
２　（２）　　～Ｐ　　　　Ａ
２　（３）　　～Ｐ∨Ｑ　　２∨Ｉ
２　（４）　　　Ｐ→Ｑ　　３含意の定義
２　（５）Ｐ∨（Ｐ→Ｑ）　４∨Ｉ
　６（６）　　　　　Ｐ　　Ａ
　６（７）Ｐ∨（Ｐ→Ｑ）　６∨Ｉ
　　（８）Ｐ∨（Ｐ→Ｑ）　１２５６６∨Ｅ
従って、
（01）（02）（03）（13）（15）（20）により、
（21）
いづれにせよ、
④ 太郎であるか、または、太郎であるならば、男性である。
といふ「命題」は、「恒に真」である。
令和５年１０月１５日、毛利太。