（01）
５ 原始的規則あるいは導出された規則を、既に証明されたどのような連式あるいは定理とでもともに用いて、証明せよ。
５ Using primitive or deriverd rulues, together with any sequents or theorems already proved,prove.
（E.J.レモン著、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、1973年、８０頁）
（ａ）├ Ｐ∨（Ｐ→Ｑ）
（１） ～Ｐ∨Ｐ 排中律
２ （２） ～Ｐ Ａ
２ （３） ～Ｐ∨Ｑ ２∨Ｉ
２ （４） Ｐ→Ｑ ３含意の定義
２ （５）Ｐ∨（Ｐ→Ｑ） ４∨Ｉ
６（６） Ｐ Ａ
６（７）Ｐ∨（Ｐ→Ｑ） ６∨Ｉ
（８）Ｐ∨（Ｐ→Ｑ） １２５６６∨Ｅ
（∴）（Ｐであるか、または（ＰならばＱである））は「恒に真」である。
（ｂ）├（Ｐ→Ｑ）∨（Ｑ→Ｒ）
（１） Ｑ∨～Ｑ 排中律
２ （２） Ｑ Ａ
２ （３）～Ｐ∨Ｑ ２∨Ｉ
２ （４） Ｐ→Ｑ ３含意の定義
２ （５）（Ｐ→Ｑ）∨（Ｑ→Ｒ） ４∨Ｉ
６（６） ～Ｑ Ａ
６（７） ～Ｑ∨Ｒ ６∨Ｉ
６（８） Ｑ→Ｒ ７含意の定義
６（９）（Ｐ→Ｑ）∨（Ｑ→Ｒ） ８∨Ｉ
（ア）（Ｐ→Ｑ）∨（Ｑ→Ｒ） １２５６９∨Ｅ
（∴）（（ＰならばＱであるか）または（ＱならばＲである））は「恒に真」である。
（ｃ）├（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
１ （１） （Ｐ→ Ｑ）→Ｐ Ａ
２ （２）～（Ｐ＆～Ｑ） Ａ
２ （３） ～Ｐ∨ Ｑ ２ド・モルガンの法則
２ （４） Ｐ→ Ｑ ３含意の定義
１２ （５） Ｐ １４ＭＰＰ
１ （６）～（Ｐ＆～Ｑ）→Ｐ ２５ＣＰ
１ （７） （Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ ６含意の定義
８ （８） Ｐ＆～Ｑ Ａ
８ （９） Ｐ ８＆Ｅ
ア（ア） Ｐ Ａ
１ （イ） Ｐ ７８９アア∨Ｅ
（ウ）（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ １イＣＰ
（∴）「パースの法則」は「恒に真」である。
（ｄ）～Ｑ├ Ｐ→（Ｑ→Ｒ）
１（１） ～Ｑ Ａ
１（２） ～Ｑ∨Ｒ １∨Ｉ
１（３） Ｑ→Ｒ ２含意の定義
１（４）～Ｐ∨（Ｑ→Ｒ） ３∨Ｉ
１（５） Ｐ→（Ｑ→Ｒ） ４含意の定義
（∴）Ｑではない。従って、Ｐならば（ＱならばＲである）。
（ｅ）Ｐ，～Ｐ├ Ｑ
１ （１） Ｐ Ａ
２（２）～Ｐ Ａ
２（３）～Ｐ∨Ｑ ２∨Ｉ
２（４） Ｐ→Ｑ ３含意の定義
１２（５） Ｑ １４ＭＰＰ
（∴）Ｐである。Ｐでない。従って、Ｑである。
（ｆ）Ｐ∨Ｑ├ ～Ｐ→Ｑ
１ （１） Ｐ∨Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
２ （３）～～Ｐ ２ＤＮ
２ （４）～～Ｐ∨Ｑ ３∨Ｉ
５（５） Ｑ Ａ
５（６）～～Ｐ∨Ｑ ５∨Ｉ
１ （７）～～Ｐ∨Ｑ １２４５６∨Ｅ
１ （８） ～Ｐ→Ｑ ７含意の定義
（∴）Ｐであるか、または、Ｑである。従って、Ｐでないならば、Ｑである。
（ｇ）～（Ｐ→Ｑ）┤├ Ｐ＆～Ｑ
（α）
１ （１） ～（Ｐ→ Ｑ） Ａ
２（２） ～（Ｐ＆～Ｑ） Ａ
２（３） ～Ｐ∨ Ｑ ２ド・モルガンの法則
２（４） Ｐ→ Ｑ ３含意の定義
１２（５） ～（Ｐ→ Ｑ）＆
（Ｐ→ Ｑ） １４＆Ｉ
１ （６）～～（Ｐ＆～Ｑ） ２５ＲＡＡ
１ （７） Ｐ＆～Ｑ ６ＤＮ
（β）
１ （１） Ｐ＆～Ｑ Ａ
２（２） Ｐ→ Ｑ Ａ
１ （３） Ｐ １＆Ｅ
１２（４） Ｑ ２３ＭＰＰ
１ （５） ～Ｑ １＆Ｅ
１２（６） Ｑ＆～Ｑ ４５＆Ｉ
１ （７） ～（Ｐ→ Ｑ） ２６ＲＡＡ
（∴）（（ＰならばＱである）といふことはない）といふことは、（Ｐであって、Ｑでない）といふことに「等しい」。
（ｈ）
（α）（Ｐ→Ｑ）→Ｑ ┤├ Ｐ∨Ｑ
１ （１） （Ｐ→ Ｑ）→Ｑ Ａ
１ （２） ～（Ｐ→ Ｑ）∨Ｑ １含意の定義
３ （３） ～（Ｐ→ Ｑ） Ａ
３ （４）～（～Ｐ∨ Ｑ） ３含意の定義
３ （５） Ｐ＆～Ｑ ４ド・モルガンの法則
３ （６） Ｐ ５＆Ｅ
３ （７） Ｐ∨Ｑ ６∨Ｉ
８（８） Ｑ Ａ
８（９） Ｐ∨Ｑ ８∨Ｉ
１ （ア） Ｐ∨Ｑ １３７８９∨Ｅ
（β）
１ （１） Ｐ∨ Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ→ Ｑ Ａ
３ （３） Ｐ Ａ
２３ （４） Ｑ ２３ＭＰＰ
３ （５） （Ｐ→ Ｑ）→Ｑ ２４ＣＰ
６（６） Ｑ Ａ
６（７）～（Ｐ→ Ｑ）∨Ｑ ６∨Ｉ
６（８） （Ｐ→ Ｑ）→Ｑ ７含意の定義
１ （９） （Ｐ→ Ｑ）→Ｑ １３５６８∨Ｅ
（∴）（（ＰならばＱ）ならばＱである）といふことは、（Ｐであるか、または、Ｑである）といふことに「等しい」。
（ｉ）（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｒ） ┤├ Ｐ→（Ｑ∨Ｒ）
（α）
１ （１）（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｒ） Ａ
２ （２） Ｐ→Ｑ Ａ
３ （３） Ｐ Ａ
２３ （４） Ｑ ２３ＭＰＰ
２３ （５） Ｑ∨Ｒ ４∨Ｉ
２ （６）Ｐ→（Ｑ∨Ｒ） ３５ＣＰ
７（７） Ｐ→Ｒ Ａ
３７（８） Ｒ ３７ＭＰＰ
３７（９） Ｑ∨Ｒ ８∨Ｉ
７（ア）Ｐ→（Ｑ∨Ｒ） ３９ＣＰ
１ （イ）Ｐ→（Ｑ∨Ｒ） １２６７ア∨Ｅ
（β）
１ （１） Ｐ→（Ｑ∨Ｒ） Ａ
１ （２）～Ｐ∨（Ｑ∨Ｒ） １含意の定義
２ （３）～Ｐ Ａ
２ （４）～Ｐ∨Ｑ ３∨Ｉ
２ （５） Ｐ→Ｑ ４含意の定義
２ （６）（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｒ） ５∨Ｉ
７ （７） Ｑ∨Ｒ Ａ
８ （８） Ｑ Ａ
８ （９） ～Ｐ∨Ｑ ８∨Ｉ
８ （ア） Ｐ→Ｑ ９含意の定義
８ （イ）（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｒ） ア∨Ｉ
ウ（ウ） Ｒ Ａ
ウ（エ） ～Ｐ∨Ｒ ウ∨Ｉ
ウ（オ） Ｐ→Ｒ エ含意の定義
ウ（カ）（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｒ） オ∨Ｉ
７ （キ）（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｒ） ７８イウカ∨Ｅ
１ （ク）（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｒ） ２３６７キ∨Ｅ
（∴）（（Ｐならば、Ｑであるか）または（Ｐならば、Ｒである））といふことは、（Ｐならば（Ｑであるか、または、Ｒである））といふことに「等しい」。
（ｊ）（Ｐ⇔Ｑ）∨Ｑ┤├ Ｐ→Ｑ
（α）
１ （１）（Ｐ⇔Ｑ）∨Ｑ Ａ
２ （２）（Ｐ⇔Ｑ） Ａ
２ （３） Ｐ→Ｑ＆
Ｑ→Ｐ ２Ｄｆ．⇔
２ （４） Ｐ→Ｑ ３＆Ｅ
５（５） Ｑ Ａ
５（６） ～Ｐ∨Ｑ ５∨Ｉ
５（７） Ｐ→Ｑ ６含意の定義
１ （８） Ｐ→Ｑ １２４５７∨Ｅ
（β）
１ （１） Ｐ→Ｑ Ａ
２（２） ～｛（Ｐ⇔Ｑ）∨ Ｑ｝ Ａ
２（３） ～（Ｐ⇔Ｑ）＆ ～Ｑ ２ド・モルガンの法則
２（４） ～（Ｐ⇔Ｑ） ３＆Ｅ
２（５） ～｛（Ｐ→Ｑ）＆ （Ｑ→ Ｐ）｝ ４Ｄｆ．⇔
２（６） ～（Ｐ→Ｑ）∨～（Ｑ→ Ｐ） ５ド・モルガンの法則
２（７） （Ｐ→Ｑ）→～（Ｑ→ Ｐ） ６含意の定義
１２（８） ～（Ｑ→ Ｐ） １７ＭＰＰ
１２（９） ～（～Ｑ∨ Ｐ） ８含意の定義
１２（ア） Ｑ＆～Ｐ ９ド・モルガンの法則
１２（イ） Ｑ ア＆Ｉ
２（ウ） ～Ｑ ３＆Ｅ
１２（エ） Ｑ＆～Ｑ イウ＆Ｉ
１ （オ）～～｛（Ｐ⇔Ｑ）∨ Ｑ｝ ２エＲＡＡ
１ （カ） ｛（Ｐ⇔Ｑ）∨ Ｑ｝ オＤＮ
（∴）（（ＰとＱが「等しい」か、または、Ｑである）といふことは、（Ｐならば、Ｑである）といふことに「等しい」。
（ｋ）Ｑ├ Ｐ＆Ｑ⇔Ｐ
１ （１） Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆Ｑ Ａ
２ （３） Ｐ ２＆Ｅ
（４）（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ ２３ＣＰ
５（５） Ｐ Ａ
１ ５（６） Ｐ＆Ｑ １５＆Ｉ
１ （７） Ｐ→（Ｐ＆Ｑ） ５６ＣＰ
１ （８）（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ＆
Ｐ→（Ｐ＆Ｑ） ４７＆Ｉ
１ （９）（Ｐ＆Ｑ）⇔Ｐ ８Ｄｆ.⇔
（∴）Ｑである。従って、（ＰであってＱである）といふことは、（Ｐである）といふことに「等しい」。
（ｌ）～Ｑ├ Ｐ∨Ｑ⇔Ｐ
１ （１） ～Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ∨ Ｑ Ａ
２ （３）～（～Ｐ＆～Ｑ） ２ド・モルガンの法則
４ （４） ～Ｐ Ａ
１ ４ （５） ～Ｐ＆～Ｑ １４＆Ｉ
１２４ （６）～（～Ｐ＆～Ｑ）＆
（～Ｐ＆～Ｑ） ３５＆Ｉ
１２ （７） ～～Ｐ ４６ＲＡＡ
１２ （８） Ｐ ７ＤＮ
１ （９） （Ｐ∨Ｑ）→Ｐ ２８ＣＰ
ア（ア） Ｐ Ａ
ア（イ） Ｐ∨Ｑ ア∨Ｉ
（ウ） Ｐ→（Ｐ∨Ｑ） アイＣＰ
１ （エ） （Ｐ∨Ｑ）→Ｐ＆
Ｐ→（Ｐ∨Ｑ） ９ウ＆Ｉ
１ （オ） Ｐ∨Ｑ⇔Ｐ エＤｆ.⇔
（∴）Ｑではない。従って、（Ｐであるか、または、Ｑである）といふことは、（Ｐである）といふことに「等しい」。
従って、
（01）により、
（02）
（ａ） （Ｐであるか、または（ＰならばＱである））は「恒に真」である。
（ｂ）（（ＰならばＱであるか）または（ＱならばＲである））は「恒に真」である。
（ｃ）「パースの法則」は「恒に真」である。
（ｄ）Ｑではない。従って、Ｐならば（ＱならばＲである）。
（ｅ）Ｐである。Ｐでない。従って、Ｑである。
（ｆ）Ｐであるか、または、Ｑである。従って、Ｐでないならば、Ｑである。
（ｇ）（（ＰならばＱである）といふことはない）といふことは、（Ｐであって、Ｑでない）といふことに「等しい」。
（ｈ）（（ＰならばＱ）ならばＱである）といふことは、（Ｐであるか、または、Ｑである）といふことに「等しい」。
（ｉ）（（Ｐならば、Ｑであるか）または（Ｐならば、Ｒである））といふことは、（Ｐならば（Ｑであるか、または、Ｒである））といふことに「等しい」。
（ｊ）（（ＰとＱが「等しい」か、または、Ｑである）といふことは、（Ｐならば、Ｑである）といふことに「等しい」。
（ｋ）Ｑである。 従って、（ＰであってＱである）といふことは、（Ｐである）といふことに「等しい」。
（ｌ）Ｑではない。従って、（Ｐであるか、または、Ｑである）といふことは、（Ｐである）といふことに「等しい」。
といふ「命題」は、１２個とも、「すべて、真である」。
令和５年１０月１４日、毛利太。
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