「恒真式」が「恒真（トートロジー）」である所以。

（01）
１　　　（１）　Ｐ→Ｑ　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　２　　（２）　Ｒ∨Ｐ　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　３　（３）　Ｒ　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　３　（４）　Ｒ∨Ｑ　　　　　　　　　　　　　　　　３∨Ｉ
　　　５（５）　　　Ｐ　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
１　　５（６）　　　Ｑ　　　　　　　　　　　　　　　　１５ＭＰＰ
１　　５（７）　Ｒ∨Ｑ　　　　　　　　　　　　　　　　６∨Ｉ
１２　　（８）　Ｒ∨Ｑ　　　　　　　　　　　　　　　　２３４５７∨Ｅ
１　　　（９）（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）　　　　　　　　　２８ＣＰ
　　　　（ア）（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））　１９ＣＰ
従って、
（01）により、
（02）
① Ｐ→Ｑ，Ｒ∨Ｐ├ Ｒ∨Ｑ
② 　　　　Ｐ→Ｑ├（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）
③　　　　　　　 ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
といふ「３つの連式」は、「恒真（トートロジー）的」である。
然るに、
（03）
（ⅰ）
１（１）～（Ｒ∨Ｑ）　Ａ
１（２）～Ｒ＆～Ｑ　　１ド・モルガンの法則
（ⅱ）
１（１）～（　（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））　Ａ
１（２）～（～（Ｒ∨Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ））　１含意の定義
１（３）　　（Ｒ∨Ｐ）＆～（Ｒ∨Ｑ）　　２ド・モルガンの法則
１（４）　　（Ｒ∨Ｐ）　　　　　　　　　３＆Ｅ
１（５）　～～Ｒ∨Ｐ　　　　　　　　　　４ＤＮ
１（６）　　～Ｒ→Ｐ　　　　　　　　　　５含意の定義
１（７）　　　　　　　　　～Ｒ＆Ｑ　　　３＆Ｅ
１（８）　　　　　　　　　～Ｒ　　　　　７＆Ｅ
１（９）　　　　　　　　　　　　Ｑ　　　７＆Ｅ
１（ア）　　　　　Ｐ　　　　　　　　　　６８ＭＰＰ
１（イ）　　　　　Ｐ＆Ｑ　　　　　　　　９ア＆Ｉ
（ⅲ）
１（１）～（　（　Ｐ→Ｑ）→　（　（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）））　Ａ
１（２）～（　（～Ｐ∨Ｑ）→　（　（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）））　１含意の定義
１（３）～（～（～Ｐ∨Ｑ）∨　（　（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）））　２含意の定義
１（４）～（～（～Ｐ∨Ｑ）∨　（～（Ｒ∨Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）））　３含意の定義
１（５）　　　（～Ｐ∨Ｑ）＆～（～（Ｒ∨Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ））　　４ド・モルガンの法則
１（６）　　　（～Ｐ∨Ｑ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　５＆Ｅ
１（７）　　　　　　　　　　～（～（Ｒ∨Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ））　　５＆Ｅ
１（８）　　　　　　　　　　　　（Ｒ∨Ｐ）＆～（Ｒ∨Ｑ）　　　７ド・モルガンの法則
１（９）　　　　　　　　　　　　　Ｒ∨Ｐ　　　　　　　　　　　８＆Ｅ
１（ア）　　　　　　　　　　　　　　　　　　～（Ｒ∨Ｑ）　　　８＆Ｅ
１（イ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　～Ｒ＆～Ｑ　　　　ア、ド・モルガンの法則
１（ウ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　～Ｒ　　　　　　　イ＆Ｅ
１（エ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～Ｑ　　　　イ＆Ｅ
１（オ）　　　　　Ｐ→Ｑ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　６含意の定義
１（カ）　　　　～Ｐ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　エオＭＴＴ
１（キ）　　　～Ｒ＆～Ｐ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ウカ＆Ｉ
１（ク）　　～（Ｒ∨Ｐ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　キ、ド・モルガンの法則
１（ケ）　　～（Ｒ∨Ｐ）＆（Ｒ∨Ｐ）　　　　　　　　　　　　　９ク＆Ｉ
従って、
（02）（03）により、
（04）
① Ｐ→Ｑ，Ｒ∨Ｐ├ Ｒ∨Ｑ
②　　　　 Ｐ→Ｑ├（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）
③ 　　　　　　　├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
に於ける、
①  Ｒ∨Ｑ
②（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）
③（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
に対する、それぞれの「否定」である所の、
① 　～（Ｒ∨Ｑ）
② ～（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
③ ～（（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）））
に於いて、
① は「矛盾」ではなく、
② も「矛盾」ではなく、
③ は「矛盾」であるが、「矛盾」は「偽」である。
従って、
（04）により、
（05）
①  Ｒ∨Ｑ
②（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）
③（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
に於いて、
① は、その「否定」が「偽」でないが故に、それ自体は、「真」でも「偽」でもなく、
② も、その「否定」が「偽」でないが故に、それ自体は、「真」でも「偽」でもなく、
③ は、その「否定」が「偽」であるが故に、それ自体が、「真」である。
従って、
（05）により、
（06）
「ヒルベルト・アッカーマンの公理（４）」である所の、
③（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
といふ「論理式」は、それ自体が「真」である。
然るに、
（07）
（ⅰ）
１（１）　　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ　　　　　　　　　　　　Ａ
１（２）　　　　　　　　Ｒ　　　　　　　　　　　　Ａ
１（３）　　　　　　　　　　　　　　　Ｒ∨Ｑ　　　２∨Ｉ
１（４）　　　　　　　～（Ｒ∨Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）　　３∨Ｉ
１（５）　　　　　　　　（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）　　４含意の定義
１（６）～（Ｐ→Ｑ）∨（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））　５∨Ｉ
１（７）　（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））　６含意の定義
（ⅱ）
１（１）　　Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ　　　　　　　　　　　　　Ａ
１（２）　　　　　Ｑ　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
１（３）　　　　　　　　　　　　　　　Ｒ∨Ｑ　　　２∨Ｉ
１（４）　　　　　　　～（Ｒ∨Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）　　３∨Ｉ
１（５）　　　　　　　　（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）　　４含意の定義
１（６）～（Ｐ→Ｑ）∨（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））　５∨Ｉ
１（７）　（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））　６含意の定義
（ⅲ）
（ⅰ）
１（１）　　Ｐ＆～Ｑ＆　Ｒ　　　　　　　　　　　　Ａ
１（２）　　　　　　　　Ｒ　　　　　　　　　　　　Ａ
１（３）　　　　　　　　　　　　　　　Ｒ∨Ｑ　　　２∨Ｉ
１（４）　　　　　　　～（Ｒ∨Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）　　３∨Ｉ
１（５）　　　　　　　　（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）　　４含意の定義
１（６）～（Ｐ→Ｑ）∨（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））　５∨Ｉ
１（７）　（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））　６含意の定義
（ⅳ）
１　（１）　Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ　　　　　　　　　　　　　Ａ
　２（２）　Ｐ→　Ｑ　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
１　（３）　Ｐ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　１＆Ｅ
１２（４）　　　　Ｑ　　　　　　　　　　　　　　　　２３ＭＰＰ
１　（５）　　　～Ｑ　　　　　　　　　　　　　　　　１＆Ｅ
１２（６）　　　　Ｑ＆～Ｑ　　　　　　　　　　　　　４５＆Ｉ
１　（７）～（Ｐ→Ｑ）　　　　　　　　　　　　　　　２６ＲＡＡ
１　（８）～（Ｐ→Ｑ）∨（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））　７∨Ｉ
１　（９）（　Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））　１含意の定義
（ⅴ）
１（１）　～Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ　　　　　　　　　　　　Ａ
１（２）　　　　　Ｑ　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
１（３）　　　　　　　　　　　　　　　Ｒ∨Ｑ　　　２∨Ｉ
１（４）　　　　　　　～（Ｒ∨Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）　　３∨Ｉ
１（５）　　　　　　　　（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）　　４含意の定義
１（６）～（Ｐ→Ｑ）∨（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））　５∨Ｉ
１（７）　（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））　６含意の定義
（ⅵ）
１（１）　～Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ　　　　　　　　　　　　Ａ
１（２）　　　　　Ｑ　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
１（３）　　　　　　　　　　　　　　　Ｒ∨Ｑ　　　２∨Ｉ
１（４）　　　　　　　～（Ｒ∨Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）　　３∨Ｉ
１（５）　　　　　　　　（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）　　４含意の定義
１（６）～（Ｐ→Ｑ）∨（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））　５∨Ｉ
１（７）　（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））　６含意の定義
１（３）　　　　　　　　　　　　　　　Ｒ∨Ｑ　　　２∨Ｉ
１（４）　　　　　　　～（Ｒ∨Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）　　３∨Ｉ
１（５）　　　　　　　　（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）　　４含意の定義
１（６）～（Ｐ→Ｑ）∨（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））　５∨Ｉ
１（７）　（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））　６含意の定義
（ⅶ）
１（１）　～Ｐ＆～Ｑ＆　Ｒ　　　　　　　　　　　　Ａ
１（２）　　　　　Ｑ　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
１（３）　　　　　　　　　　　　　　　Ｒ∨Ｑ　　　２∨Ｉ
１（４）　　　　　　　～（Ｒ∨Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）　　３∨Ｉ
１（５）　　　　　　　　（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）　　４含意の定義
１（６）～（Ｐ→Ｑ）∨（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））　５∨Ｉ
１（７）　（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））　６含意の定義
（ⅷ）
１　（１）　～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ　　　　　　　　　　　　Ａ
１　（２）　～Ｐ　　　　　　　　　　　　　　　　　　１＆Ｅ
　３（３）　　　　　　～（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））　Ａ
　３（４）　　　　　～（～（Ｒ∨Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ））　３含意の定義
　３（５）　　　　　　　（Ｒ∨Ｐ）＆～（Ｒ∨Ｑ）　　４ド・モルガンの法則
　３（６）　　　　　　　　Ｒ∨Ｐ　　　　　　　　　　５＆Ｅ
　３（７）　　　　　　　　　　　　　～（Ｒ∨Ｑ）　　５＆Ｅ
　３（８）　　　　　　　　　　　　　　～Ｒ＆～Ｑ　　７ド・モルガンの法則
　３（９）　　　　　　　～Ｒ　　　　　　　　　　　　８＆Ｅ
１３（ア）　　　　　　　～Ｒ＆～Ｐ　　　　　　　　　２９＆Ｉ
１３（イ）　　　　　　～（Ｒ∨Ｐ）　　　　　　　　　ア、ド・モルガンの法則
１３（ウ）　　　　　　　（Ｒ∨Ｐ）＆～（Ｒ∨Ｐ）　　６イ＆Ｉ
１　（エ）　　　　　～～（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））　３ウＲＡＡ
１　（オ）　　　　　　　（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））　エ、ド・モルガンの法則
１　（カ）～（Ｐ→Ｑ）∨（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））　オ∨Ｉ
１　（キ）　（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））　カ含意の定義
従って、
（07）により、
（08）
① 　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
② 　Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
③ 　Ｐ＆～Ｑ＆　Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
④ 　Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
⑤ ～Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
⑥ ～Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆　Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
従って、
（08）により、
（09）
① Ｐ（真）＆Ｑ（真）＆Ｒ（真）├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
② Ｐ（真）＆Ｑ（真）＆Ｒ（偽）├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
③ Ｐ（真）＆Ｑ（偽）＆Ｒ（真）├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
④ Ｐ（真）＆Ｑ（偽）＆Ｒ（偽）├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
⑤ Ｐ（偽）＆Ｑ（真）＆Ｒ（真）├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
⑥ Ｐ（偽）＆Ｑ（真）＆Ｒ（偽）├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
⑦ Ｐ（偽）＆Ｑ（偽）＆Ｒ（真）├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
⑧ Ｐ（偽）＆Ｑ（偽）＆Ｒ（偽）├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
従って、
（06）（09）により、
（10）
「ヒルベルト・アッカーマンの公理（４）」である所の、
③（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
といふ「論理式」が、それ自体が「真」である。
といふことは、
③「命題変数（Ｐ・Ｑ・Ｒ）」の「真偽」とは「無関係」に「真」である。
といふことに、「他ならない」。
令和６年２月１２日、毛利太。