（01）
① Ｐ∨～Ｐ （Ｐであるか、または、Ｑである）。
② Ｐ＆Ｑ→Ｐ（ＰであってＱであるならば、Ｐである）。
に於いて、すなはち、
①「排中律」。
②「連言除去」。
に於いて、
① は「恒真式（トートロジー）」であって、
② も「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（02）
（ⅰ）
１ （１） ～（Ｐ∨～Ｐ） Ａ
２（２） Ｐ Ａ
２（３） Ｐ∨～Ｐ ２∨Ｉ
１２（４） ～（Ｐ∨～Ｐ）＆
（Ｐ∨～Ｐ） １３＆Ｉ
１ （５） ～Ｐ ２４ＲＡＡ
１ （６） Ｐ∨～Ｐ ５∨Ｉ
１ （７） ～（Ｐ∨～Ｐ）＆
（Ｐ∨～Ｐ） １６＆Ｉ
（８）～～（Ｐ∨～Ｐ） １７ＲＡＡ
（９） Ｐ∨～Ｐ ８ＤＮ
（ⅱ）
１（１） Ｐ＆Ｑ Ａ
１（２） Ｐ １＆Ｅ
（３）（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ １２ＣＰ
（〃）
１（１） ～｛（Ｐ＆Ｑ）→ Ｐ｝ Ａ
１（２）～｛～（Ｐ＆Ｑ）∨ Ｐ｝ １含意の定義
１（３） （Ｐ＆Ｑ）＆～Ｐ ２ド・モルガンの法則
１（４） Ｐ＆Ｑ ３＆Ｅ
１（５） Ｐ ４＆Ｅ
１（６） ～Ｐ ３＆Ｅ
１（７） Ｐ＆～Ｐ ５６＆Ｉ
（８）～～｛（Ｐ＆Ｑ）→ Ｐ｝ １７ＲＡＡ
（９） （Ｐ＆Ｑ）→ Ｐ ８ＤＮ
従って、
（02）により、
（03）
①├ Ｐ∨～Ｐ （Ｐであるか、または、Ｑである）。
②├（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ（ＰであってＱであるならば、Ｐである）。
といふ「連式（Sequents）」は、２つとも「妥当（Valid）」である。
然るに、
（04）
③ Ａ├ Ｂ
に於いて、
③ Ａ は、「連式の仮定」であって、
③ Ｂ は、「連式の結論」である。
従って、
（03）（04）により、
（05）
①├ Ｐ∨～Ｐ
②├（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ
といふ「連式」に於いては、
① Ｐ∨～Ｐ
② （Ｐ＆Ｑ）→Ｐ
といふ「連式の結論」だけが有って、「連式の仮定」は「無い」。
従って、
（01）（05）により、
（06）
（ａ）「恒真式（トートロジー）」とは、
（ｂ）「仮定の数が０個」であると所の、
（ｃ）「連式の結論」である。
然るに、
（07）
（ⅱ）
１（１） Ｐ＆Ｑ Ａ
１（２） Ｐ １＆Ｅ
１（３）～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｐ ２∨Ｉ
１（４） （Ｐ＆Ｑ）→Ｐ ３含意の定義
（ⅲ）
１（１） Ｐ＆～Ｑ Ａ
１（２） Ｐ １＆Ｅ
１（３）～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｐ ２∨Ｉ
１（４） （Ｐ＆Ｑ）→Ｐ ３含意の定義
（ⅳ）
１ （１） ～Ｐ＆Ｑ Ａ
２（２） Ｐ＆Ｑ Ａ
１ （３） ～Ｐ １＆Ｅ
２（４） Ｐ ２＆Ｅ
１２（５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆Ｉ
１ （６）～（Ｐ＆Ｑ） ２５ＲＡＡ
１ （７）～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｐ ６∨Ｉ
１ （８） （Ｐ＆Ｑ）→Ｐ ７含意の定義
（ⅴ）
１ （１） ～Ｐ＆～Ｑ Ａ
２（２） Ｐ＆ Ｑ Ａ
１ （３） Ｑ １＆Ｅ
２（４） ～Ｑ ２＆Ｅ
１２（５） ～Ｑ＆Ｑ ３４＆Ｉ
１ （６）～（Ｐ＆Ｑ） ２５ＲＡＡ
１ （７）～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｐ ６∨Ｉ
１ （８） （Ｐ＆Ｑ）→Ｐ ７含意の定義
従って、
（07）により、
（08）
③ Ｐ＆ Ｑ├（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ
④ Ｐ＆～Ｑ├（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ
⑤ ～Ｐ＆ Ｑ├（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ
⑥ ～Ｐ＆～Ｑ├（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ
といふ「４つの連式」は、すべて「妥当」であって、
尚且つ「４つの連式」の「仮定の個数」は、すべて「２個」である。
従って、
（05）（06）（08）により、
（09）
（ａ）「恒真式（トートロジー）」とは、
（ｂ）「仮定の数が０個」である所の、
（ｃ）「連式の結論」である。
とするならば、その場合は、
② ├（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ
③ Ｐ＆ Ｑ├（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ
④ Ｐ＆～Ｑ├（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ
⑤ ～Ｐ＆ Ｑ├（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ
⑥ ～Ｐ＆～Ｑ├（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ
に於ける、
②（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ
は、「恒真式（トートロジー）」であるが、
③（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ
④（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ
⑤（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ
⑥（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ
は、「恒真式（トートロジー）」ではない。
といふことになって、『矛盾』する。
然るに、
（10）
（１）Ｐ∨～Ｐ ＴＩ（排中律）
（２）Ｑ∨～Ｑ ＴＩ（排中律）
３ （３）Ｐ Ａ
４ （４）Ｑ Ａ
３４ （５）Ｐ＆Ｑ ３４＆Ｉ
３４ （６）Ｐ ５＆Ｅ
３４ （７）～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｐ ５∨Ｉ
３４ （８） （Ｐ＆Ｑ）→Ｐ ７含意の定義
９ （９） ～Ｑ Ａ
３ ９ （ア）Ｐ＆～Ｑ ３９＆Ｉ
３ ９ （イ）Ｐ ア＆Ｅ
３ ９ （ウ）～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｐ イ∨Ｉ
３ ９ （エ） （Ｐ＆Ｑ）→Ｐ ウ含意の定義
３ （オ） （Ｐ＆Ｑ）→Ｐ ２４８９エ∨Ｅ
カ （カ） ～Ｐ Ａ
キ （キ）Ｑ Ａ
カキ （ク） ～Ｐ＆Ｑ カキ＆Ｉ
ケ （ケ） Ｐ＆Ｑ Ａ
カキ （コ） ～Ｐ ク＆Ｅ
ケ （ケ） Ｐ ケ＆Ｅ
カキケ （サ） ～Ｐ＆Ｐ コサ＆Ｉ
カキ （シ）～（Ｐ＆Ｑ） ケサＲＡＡ
カキ （ス）～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｐ シ∨Ｉ
カキ （セ） （Ｐ＆Ｑ）→Ｐ ス含意の定義
ソ （ソ） ～Ｑ Ａ
カ ソ （タ）～Ｐ＆～Ｑ カソ＆Ｉ
チ（チ） Ｐ＆ Ｑ Ａ
カ ソ （ツ） ～Ｑ タ＆Ｅ
チ（テ） Ｑ チ＆Ｅ
カ ソチ（ト） ～Ｑ＆Ｑ ツテ＆Ｉ
カ ソ （ナ）～（Ｐ＆Ｑ） チトＲＡＡ
カ ソ （ニ）～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｐ ナ∨Ｉ
カ ソ （ヌ） （Ｐ＆Ｑ）→Ｐ ニ含意の定義
カ （ネ） （Ｐ＆Ｑ）→Ｐ ２キセソヌ∨Ｅ
（ノ） （Ｐ＆Ｑ）→Ｐ １３オカネ∨Ｅ
従って、
（09）（10）により、
（11）
①├ Ｐ∨～Ｐ（排中律）
②├ Ｑ∨～Ｑ（排中律）
といふ「恒真式（トートロジー）」によって、
③ Ｐ＆ Ｑ├（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ
④ Ｐ＆～Ｑ├（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ
⑤ ～Ｐ＆ Ｑ├（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ
⑥ ～Ｐ＆～Ｑ├（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ
といふ「４つの連式」は、「４つとも」、
③├（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ
④├（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ
⑤├（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ
⑥├（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ
といふ「恒真式（トートロジー）」に「置き換へ」ることが出来る。
然るに、
（12）
③ Ｐ＆ Ｑ├（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ
④ Ｐ＆～Ｑ├（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ
⑤ ～Ｐ＆ Ｑ├（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ
⑥ ～Ｐ＆～Ｑ├（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ
といふ「４つの連式」が、「４つとも妥当」であるといふことは、「（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ」といふ「論理式」は、「真理値表」で「真理値」を「確認」した際に、
（ⅰ）Ｐ（真）＆ Ｑ（真）
（ⅱ）Ｐ（真）＆ Ｑ（偽）
（ⅲ）Ｐ（偽）＆ Ｑ（真）
（ⅳ）Ｐ（偽）＆ Ｑ（偽）
といふ「４つのパターン」で「すべて真」になるといふことであり、
（ⅰ）Ｐ（真）＆ Ｑ（真）
（ⅱ）Ｐ（真）＆ Ｑ（偽）
（ⅲ）Ｐ（偽）＆ Ｑ（真）
（ⅳ）Ｐ（偽）＆ Ｑ（偽）
といふ「４つのパターン」で「すべて真」になるのであれば、「恒真（トートロジー）」である。
ｃｆ.
真理値表（しんりちひょう、Truth table）は、論理関数（真理関数）の、入力の全てのパターンとそれに対する結果の値を、表にしたものである（ウィキペディア）。
従って、
（10）（11）（12）により、
（13）
「番号」を付け替へるとして、
① Ｐ＆ Ｑ├（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ
② Ｐ＆～Ｑ├（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ
③ ～Ｐ＆ Ｑ├（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ
④ ～Ｐ＆～Ｑ├（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ
ではなくて、
① Ｐ＆ Ｑ├（任意の式Ａ）
② Ｐ＆～Ｑ├（任意の式Ａ）
③ ～Ｐ＆ Ｑ├（任意の式Ａ）
④ ～Ｐ＆～Ｑ├（任意の式Ａ）
であったとしても、
① Ｐ＆ Ｑ├（任意の式Ａ）
② Ｐ＆～Ｑ├（任意の式Ａ）
③ ～Ｐ＆ Ｑ├（任意の式Ａ）
④ ～Ｐ＆～Ｑ├（任意の式Ａ）
といふ「連式」が「妥当」であるならば、すなはち、「任意の式Ａ」が、「恒真（トートロジー）」であるならば、そのとき限って、
（１）Ｐ∨～Ｐ ＴＩ（排中律）
（２）Ｑ∨～Ｑ ＴＩ（排中律）
３ （３）Ｐ Ａ
４ （４） ～Ｐ Ａ
５ （５）Ｑ Ａ
６（６） ～Ｑ Ａ
３ ５ （７）（任意の式Ａ） ３５ＳＩ（ⅰ）
３ ６（８）（任意の式Ａ） ３６ＳＩ（ⅱ）
４５ （９）（任意の式Ａ） ３７ＳＩ（ⅲ）
４ ６（ア）（任意の式Ａ） ３８ＳＩ（ⅳ）
５ （イ）（任意の式Ａ） １３７４９∨Ｅ
６（ウ）（任意の式Ａ） １３８４ア∨Ｅ
（エ）（任意の式Ａ） ２５イ６ウ∨Ｅ
といふ「（排中律を用いた）計算」によって、
①├（任意の式Ａ）
②├（任意の式Ａ）
③├（任意の式Ａ）
④├（任意の式Ａ）
といふ「恒真式（トートロジー）」を、すなはち、
①├（任意の式Ａ）
は、「証明」出来る。
従って、
（01）～（13）により、
（14）
以上の「説明」は、「十分」ではないが、概ね、「以上のような考え方」で、
すべてのトートロジー的連式は導出可能（deribable）である。
といふことが「証明（納得）」出来る。
令和６年２月４日、毛利太。
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