「→（ならば）」の「真理表」と「空集合Φ」。

（01）
平成１７年４月１５日に購入した『竹内外史、集合とは何か、2004年』の２１頁に、
次のような、「書き込み（02）」をした。
（02）
Ａ→Ｂ の真理表。
Ａ が本当で、
Ａ→Ｂ が正しいのに、
　　Ｂ がウソであることは在りえない。
∴
Ａ が本当であって、
Ｂ がウソの場合は、
Ａ→Ｂ は正しくない。
∴
Ａ→ は、
Ａ が本当であるならば、その時は、・・・である。
という意味なので、
Ａ がウソの場合は、そもそも、
Ａ→Ｂ の真偽は、論じられるべきではないのに、
Ａ が ウソである場合、
Ａ→Ｂ の真理表では、
　　Ｂ が真であっても、
　　Ｂ が偽であっても、
Ａ→Ｂ は、真であるとされているが、
このことは、『変である』。
然るに、
（03）
（ⅰ）
１　　（１）　　　　　　　～Ｐ　　　　　　Ａ
１　　（２）　　　　　　　～Ｐ∨　Ｑ　　　１∨Ｉ
１　　（３）　　　　　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　１∨Ｉ
１　　（４）　　　　　　　　Ｐ→　Ｑ　　　２含意の定義
１　　（５）　　　　　　　　Ｐ→～Ｑ　　　３含意の定義
　６　（６）　　　　　　　　Ｐ　　　　　　Ａ
１６　（７）　　　　　　　　　　　Ｑ　　　４６ＭＰＰ
１６　（８）　　　　　　　　　　～Ｑ　　　５６ＭＰＰ
１６　（９）　　　　　　　　Ｑ＆～Ｑ　　　７８＆Ｉ
１　　（ア）　　　　　Ｐ→（Ｑ＆～Ｑ）　　６９ＣＰ
　　　（イ）　～Ｐ→｛Ｐ→（Ｑ＆～Ｑ）｝　１アＣＰ
　　ウ（ウ）　　Ｐ＆～Ｐ　　　　　　　　　Ａ
　　ウ（エ）　　　　～Ｐ　　　　　　　　　ウ＆Ｅ
　　ウ（オ）　　　　　Ｐ→（Ｑ＆～Ｑ）　　イエＭＰＰ
　　ウ（カ）　Ｐ　　　　　　　　　　　　　ウ＆Ｅ
　　ウ（キ）　　　　　　　　Ｑ＆～Ｑ　　　オカＭＰＰ
　　　（ケ）（Ｐ＆～Ｐ）→（Ｑ＆～Ｑ）　　ウキＣＰ
従って、
（03）により、
（04）
①（Ｐ＆～Ｐ）→（Ｑ＆～Ｑ）
②（Ｐであって、Ｐでない）ならば（Ｑであって、Ｑでない）。
といふ「命題」は、「恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（04）により、
（05）
①（Ｐ＆～Ｐ）→（Ｑ＆～Ｑ）
②（ある矛盾が、真である）ならば（他の矛盾も、真である）。
といふ「命題」は、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（06）
（ⅱ）
　　（１）　（Ｐ＆～Ｐ）→（Ｑ＆～Ｑ）　ＴＩ
　　（２）～（Ｐ＆～Ｐ）∨（Ｑ＆～Ｑ）　１含意の定義
３　（３）～（Ｐ＆～Ｐ）　　　　　　　　Ａ
３　（４）　（～Ｐ∨Ｐ）　　　　　　　　３ド・モルガンの法則
３　（５）　（～Ｐ∨Ｐ）∨（Ｑ＆～Ｑ）　４∨Ｉ
　６（６）　　　　　　　　（Ｑ＆～Ｑ）　Ａ
　６（７）　（～Ｐ∨Ｐ）∨（Ｑ＆～Ｑ）　６∨I
　　（８）　（～Ｐ∨Ｐ）∨（Ｑ＆～Ｑ）　２３５６７∨Ｅ
従って、
（06）により、
（07）
①（Ｐ＆～Ｐ）→（Ｑ＆～Ｑ）
②（～Ｐ∨Ｐ）∨（Ｑ＆～Ｑ）
に於いて、
①＝② である。
従って、
（07）により、
（08）
①（Ｐ＆～Ｐ）→（Ｑ＆～Ｑ）
②（～Ｐ∨Ｐ）∨（Ｑ＆～Ｑ）
に於いて、すなはち、
①（ 矛盾 ）→（矛盾）
②（排中律）∨（矛盾）
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（09）
「∨」の「マトリックス（真理表）」により、
②（～Ｐ∨Ｐ）∨（Ｑ＆～Ｑ）
に於いて、すなはち、
②（真）∨（偽）
に於いて、
② は、「真（本当）」である。
従って、
（05）（08）（09）により、
（10）
例へば、
①（Ｐ＆～Ｐ）→（Ｑ＆～Ｑ）
②（～Ｐ∨Ｐ）∨（Ｑ＆～Ｑ）
に於いて、すなはち、
①（ 矛盾 ）→（矛盾）
②（排中律）∨（矛盾）
に於いて、
①＝② であって、尚且つ、
①と② は、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（11）
平成１７年の私ではなく、
令和０３年の私は、「命題計算」に慣れてゐるため、
①（Ｐ＆～Ｐ）→（Ｑ＆～Ｑ）
②（～Ｐ∨Ｐ）∨（Ｑ＆～Ｑ）
を見れば、それだけで、
①＝② であることを、「理解」出来るし、
　　② が「恒真式（トートロジー）」であることも、直ちに、「理解」出来る。
（12）
令和０３年１０月１８日（特別な日）に、神保町で、
『E.J.レモン 著、石本新・高橋敬吾 訳、公理的集合論入門、1972年』を見付けたので、それを購入した。
然るに、
（13）
この書物は、等号を含んだ述語計算（限量化の理論）にすでにある程度まで通じている読者を対象とした、
公理的集合論 ― それは現代論理学の大部分の基礎となっている ― の入門を意図したものである。
（E.J.レモン 著、石本新・高橋敬吾 訳、公理的集合論入門、1972年、序論）
然るに、
（14）
私自身は、「等号を含んだ述語計算（限量化の理論）」にすでにある程度まで通じている。
然るに、
（15）
メンバーを含まないクラス ｘ と ｙ が存在すると仮定しよう。すると、
（１）　　∀ｚ（ｚ∈ｘ⇔ｚ∈ｙ）
が成り立たなければならない。なぜなら ｘ と ｙ はいかなるメンバーも含まないから、
任意の ｚ に対して、ｚ∈ｘ と ｚ∈ｙ は、偽だからである。
（E.J.レモン 著、石本新・高橋敬吾 訳、公理的集合論入門、1972年、２７頁）
然るに、
（16）
（ⅲ）
１　（１）－ｚ∈ｘ　　　　　　　Ａ（∵ｘは空集合Φである。）
１　（２）－ｚ∈ｘ∨ｚ∈ｙ　　　１∨Ｉ
１　（３）　ｚ∈ｘ→ｚ∈ｙ　　　２含意の定義
　４（４）－ｚ∈ｙ　　　　　　　Ａ（∵ｙは空集合Φである。）
　４（５）－ｚ∈ｙ∨ｚ∈ｘ　　　４∨Ｉ
　４（６）　ｚ∈ｙ→ｚ∈ｘ　　　５含意の定義
１４（７）（ｚ∈ｘ→ｚ∈ｙ）＆
　　　　　（ｚ∈ｙ→ｚ∈ｘ）　　３６＆Ｉ
１４（８）　ｚ∈ｘ⇔ｚ∈ｙ　　　７Ｄｆ.⇔
従って、
（15）（16）により、
（17）
ｘが「空集合Φ」であって、
ｙが「空集合Φ」であるならば、
（１）　　∀ｚ（ｚ∈ｘ⇔ｚ∈ｙ）
（〃）いかなるｚであっても、ｚがｘのメンバーであるならば、そのときに限って、ｚはｙのメンバーである。
従って、
（17）により、
（18）
（１）　　∀ｚ（ｚ∈ｘ⇔ｚ∈ｙ）
は述語算によって導かれる。また、ｘ と ｙ がいかなるメンバーも含んでいないとすれば、それは同一のメンバーを含んでいる。
このことは、メンバーを含まないクラスは、存在するにしてもたかだか１つであることを、示している。
この結論を、次の定理で述べておこう。
Ｔ３１：∀ｘ∀ｙ（∀ｚ－ｚ∈ｘ∧∀ｚ－ｚ∈ｙ→ｘ＝ｙ）
（E.J.レモン 著、石本新・高橋敬吾 訳、公理的集合論入門、1972年、２７頁）
然るに、
（19）
「いかなるメンバーも含んでいないとすれば、それは同一のメンバーを含んでいる。」
といふ「言ひ方」は、「常識的」には、『変である』。
然るに、
（20）
「同一のメンバーを含んでゐる」　といふ「表現」を、
「異なるメンバーを含んでゐない」といふ「意味」であるとするならば、
①｛１，２｝と、
②｛２，１｝は、「異なるメンバーを含んでゐない」ので、「同一のメンバーを含んでゐる」し、
③｛　　　｝と、
④｛　　　｝も、「異なるメンバーを含んでゐない」ので、「同一のメンバーを含んでゐる」。
従って、
（19）（20）により、
（21）
「いかなるメンバーも含んでいないとすれば、それは同一のメンバーを含んでいる。」
といふ「言ひ方」は、「常識的」には、『変である』が、
「同一のメンバーを含んでゐる」　といふ「表現」を、
「異なるメンバーを含んでゐない」といふ「意味」であるとするならば、必ずしも、『変である』とは言へない。
然るに、
（22）
「いかなるメンバーを含んでゐない」といふ「性質」は、「唯一無二の、性質」であるに、違ひない。
従って、
（15）～（22）により、
（23）
Ｔ３１：∀ｘ∀ｙ（∀ｚ－ｚ∈ｘ∧∀ｚ－ｚ∈ｙ→ｘ＝ｙ）
といふ「空集合Φ」に関する「定理」、
Ｔ３１：いかなるｘとｙであっても、（すべてのｚについて、ｚがｘのメンバーではなく、ｚがｙのメンバーでないならば、ｘとｙは、同一である）。
といふ「定理」は、少しも、『変な定理』ではない。
令和０３年１２月０３日、毛利太。