「この問題の正解率は６４.５％でした。」と「述語論理」。

（01）
問題　次の報告から確実に正しいと言えることには〇を、そうでないないものには✕を、左側の空欄に記入して下さい。
公園に子どもたちが集まっています。
　　　　男の子も女の子もいます。
（α）帽子をかぶっていない子どもは、みんな女の子です。そして、
（β）スニーカーを履いている男の子は一人もいません。
（１）男の子はみんな帽子をかぶっている。
（２）帽子をかぶっている女の子はいない。
（３）帽子をかぶっていて、しかもスニーカーを履いている子どもは一人もいない。
（ＡＩ vs. 教科書が読めない子供たち、新井紀子、2018年、１８２頁）。
正しいのは（１）のみです。
　― 中略 ―
この問題の正解率は６４.５％でした。入試で問われるスキルは何一つ問うていないのに、
国立Ｓクラスでは８５％が正当した一方、私大Ｂ、Ｃクラスでは正当率が５割を切りました。
では、多くの高校生が憧れる私大Ｓクラスではどうだったか。国立Ｓクラスに比べて２０ポイントも低い６６.８％に留まりました。
どこの大学に入学できるかは、学習量でも知識でも運でもない、論理的な読解と推論の力ではないのか、６０００枚の答案をみているうちに、私は確信するようになりました。
（ＡＩ vs. 教科書が読めない子供たち、新井紀子、2018年、１８２頁）。
然るに、
（02）
（α）帽子をかぶっていない子どもは、みんな女の子です。そして、
（β）スニーカーを履いている男の子は一人もいません。
（１）男の子はみんな帽子をかぶっている。
（２）帽子をかぶっている女の子はいない。
（３）帽子をかぶっていて、しかもスニーカーを履いている子どもは一人もいない。
という「日本語」は、それぞれ、
（α）すべてのｘについて（ｘが帽子をかぶっていないならば、ｘは女子である）。
（β）（スニーカーを履いているｘであって、そのうえ、男子であるｘ）は存在しない。
（１）すべてのｘについて（ｘが男子ならば、ｘは帽子をかぶっている）。
（２）（帽子をかぶっているｘであって、そのうえ、女子であるｘ）は存在しない。
（３）（帽子をかぶっていて、その上、スニーカーを履いているｘ）は存在しない。
という「意味」である。
然るに、
（03）
（α）すべてのｘについて（ｘが帽子をかぶっていないならば、ｘは女子である）。
（β）（スニーカーを履いているｘであって、そのうえ、男子であるｘ）は存在しない。
（１）すべてのｘについて（ｘが男子ならば、ｘは帽子をかぶっている）。
（２）（帽子をかぶっているｘであって、そのうえ、女子であるｘ）は存在しない。
（３）（帽子をかぶっていて、その上、スニーカーを履いているｘ）は存在しない。
という「日本語」は、
（α）　∀ｘ（～帽子ｘ→女子ｘ）。
（β）～∃ｘ（スニｘ＆　男子ｘ）。
（１）　∀ｘ（男子ｘ→　帽子ｘ）。
（２）～∃ｘ（帽子ｘ＆　女子ｘ）。
（３）～∃ｘ（帽子ｘ＆　スニｘ）。
という「述語論理式」に「相当」する。
従って、
（02）（03）により、
（04）
（α）帽子をかぶっていない子どもは、みんな女の子です。
（β）スニーカーを履いている男の子は一人もいません。
（１）男の子はみんな帽子をかぶっている。
（２）帽子をかぶっている女の子はいない。
（３）帽子をかぶっていて、しかもスニーカーを履いている子どもは一人もいない。
という「日本語」は、それぞれ、
（α）　∀ｘ（～帽子ｘ→女子ｘ）。
（β）～∃ｘ（スニｘ＆　男子ｘ）。
（１）　∀ｘ（男子ｘ→　帽子ｘ）。
（２）～∃ｘ（帽子ｘ＆　女子ｘ）。
（３）～∃ｘ（帽子ｘ＆　スニｘ）。
という「述語論理式」に「相当」する。
然るに、
（05）
（Γ）　∀ｘ（男子ｘ⇔～女子ｘ）
（〃）∀ｘ｛（男子ｘ→～女子ｘ）＆（～女子ｘ→男子ｘ）｝
（〃）男子ならば、そのときに限って、女子ではない。
という「命題」を、「公理」とする。
然るに、
（06）
「結論」を先に言うと、
（α）帽子をかぶっていない子どもは、みんな女の子です。
（１）男の子はみんな帽子をかぶっている。
（２）帽子をかぶっている女の子はいない。
（３）帽子をかぶっていて、しかもスニーカーを履いている子どもは一人もいない。
に於いて、
（α）と（１）は「対偶」であり、
（１）と（２）は「 逆 」であり、
（１）と（３）も「 逆 」であり、そのため、
（１）〇
（２）✕
（３）✕
然るに、
（07）
（α）
１　（１）∀ｘ（～帽子ｘ→女子ｘ）　Ａ
１　（２）　　　～帽子ａ→女子ａ　　１ＵＥ
　　（３）∀ｘ（男子ｘ⇔～女子ｘ）　公理
　　（４）　　　男子ａ⇔～女子ａ　　ＵＥ
　　（５）　　　男子ａ→～女子ａ　　４＆Ｅ（Ｄｆ.⇔）
　６（６）　　　男子ａ　　　　　　　Ａ
　６（７）　　　　　　　～女子ａ　　５６ＭＰＰ
１６（８）　　～～帽子ａ　　　　　　１７ＭＰＰ
１６（９）　　　　帽子ａ　　　　　　８ＤＮ
１　（ア）　　　　男子ａ→帽子ａ　　６９ＣＰ
１　（イ）　∀ｘ（男子ｘ→帽子ｘ）　アＵＩ
（１）
１　（１）∀ｘ（男子ｘ→　帽子ｘ）　Ａ
１　（２）　　　男子ａ→　帽子ａ　　１ＵＥ
　　（３）∀ｘ（男子ｘ⇔～女子ｘ）　公理
　　（４）　　　男子ａ⇔～女子ａ　　ＵＥ
　　（５）　　　～女子ａ→男子ａ　　４＆Ｅ（Ｄｆ.⇔）
６（６）　　　　　　　～帽子ａ　　Ａ
１６（７）　　　～男子ａ　　　　　　２６ＭＴＴ
１６（８）　　～～女子ａ　　　　　　５７ＭＴＴ
１６（９）　　　　女子ａ　　　　　　８ＤＮ
１　（ア）　　　～帽子ａ→女子ａ　　６９ＣＰ
１　（イ）∀ｘ（～帽子ｘ→女子ｘ）　アＵＩ
従って、
（04）（07）により、
（08）
（α）∀ｘ（～帽子ｘ→女子ｘ）
（１）∀ｘ（男子ｘ→　帽子ｘ）
に於いて、すなわち、
（α）帽子をかぶっていない子どもは、みんな女の子です（男の子ではない）。
（１）男の子（女の子でない子ども）はみんな帽子をかぶっている。
に於いて、
（α）と（１）は「対偶」であり、それ故、
（α）と（１）は「等しい」。
然るに、
（09）
（２）
１　（１）～∃ｘ（帽子ｘ＆女子ｘ）　Ａ
１　（２）∀ｘ～（帽子ｘ＆女子ｘ）　１量化子の関係
１　（３）　　～（帽子ａ＆女子ａ）　１ＵＥ
１　（４）　　～帽子ａ∨～女子ａ　　３ド・モルガンの法則
１　（５）　　　帽子ａ→～女子ａ　　４含意の定義
　　（６）∀ｘ（男子ｘ⇔～女子ｘ）　公理
　　（７）　　　男子ａ⇔～女子ａ　　６ＵＥ
　　（８）　　　～女子ａ→男子ａ　　７＆Ｅ（Ｄｆ.⇔）
　９（９）　　　帽子ａ　　　　　　　Ａ
１９（ア）　　　　　　　～女子ａ　　５９ＭＰＰ
１９（イ）　　　　　　　　男子ａ　　８アＭＰＰ
１　（ウ）　　　帽子ａ→　男子ａ　　９イＣＰ
１　（エ）∀ｘ（帽子ｘ→　男子ｘ）　ウＵＩ
（Ⅱ）
１　（１）∀ｘ（帽子ｘ→　男子ｘ）　Ａ
１　（２）　　　帽子ａ→　男子ａ　　１ＵＥ
　　（３）∀ｘ（男子ｘ⇔～女子ｘ）　公理
　　（４）　　　男子ａ⇔～女子ａ　　３ＵＥ
　　（５）　　　男子ａ→～女子ａ　　４＆Ｅ（Ｄｆ.⇔）
　６（６）　　　帽子ａ　　　　　　　Ａ
１６（７）　　　　　　　　男子ａ　　２６ＭＰＰ
１６（８）　　　　　　　～女子ａ　　５７ＭＰＰ
１　（９）　　　帽子ａ→～女子ａ　　６８ＣＰ
１　（ア）　　～帽子ａ∨～女子ａ　　９含意の定義
１　（イ）　　～（帽子ａ＆女子ａ）　ア、ド・モルガンの法則
１　（ウ）∀ｘ～（帽子ｘ＆女子ｘ）　イＵＩ
１　（エ）～∃ｘ（帽子ｘ＆女子ｘ）　ウ量化子の関係
従って、
（09）により、
（10）
（２）～∃ｘ（帽子ｘ＆女子ｘ）
（Ⅱ）　∀ｘ（帽子ｘ→男子ｘ）
に於いて、
（２）＝（Ⅱ） である。
従って、
（11）
（２）～∃ｘ（帽子ｘ＆女子ｘ）
（Ⅱ）　∀ｘ（帽子ｘ→男子ｘ）
（１）　∀ｘ（男子ｘ→帽子ｘ）
に於いて、
（２）＝（Ⅱ）であって、
（Ⅱ）は（１）の「逆」であるが、「逆は必ずしも、〇（真）ではない」。
従って、
（04）（11）により、
（12）
（１）男の子はみんな帽子をかぶっている。
（２）帽子をかぶっている女の子はいない。
に於いて、 （２）は（１）の「逆」であるが、「逆は必ずしも、〇（真）ではない」。
然るに、
（13）
（β）スニーカーを履いている男の子は一人もいません。
１　（１）～∃ｘ（スニｘ＆男子ｘ）　Ａ
１　（２）∀ｘ～（スニｘ＆男子ｘ）　１量化子の関係
１　（３）　　～（スニａ＆男子ａ）　１ＵＥ
１　（４）　　～スニａ∨～男子ａ　　３ド・モルガンの法則
１　（５）　　　スニａ→～男子ａ　　４含意の定義
　　（６）∀ｘ（男子ｘ⇔～女子ｘ）　公理
　　（７）　　　男子ａ⇔～女子ａ　　６ＵＥ
　　（８）　　～男子ａ→　女子ａ　　７＆Ｅ（Ｄｆ.⇔）
　９（９）　　　スニａ　　　　　　　Ａ
１９（ア）　　　　　　　～男子ａ　　５９ＭＰＰ
１９（イ）　　　　　　　　女子ａ　　８アＭＰＰ
１　（ウ）　　　スニａ→　女子ａ　　９イＣＰ
１　（エ）∀ｘ（スニｘ→　女子ｘ）　ウＵＩ
（Ｂ）スニーカーを履いている子は、みんな女子です。
１　　（１）∀ｘ（スニｘ→　女子ｘ）　Ａ
１　　（２）　　　スニａ→　女子ａ　　１ＵＩ
　 　　　（３）∀ｘ（男子ｘ⇔～女子ｘ）　公理
　　　（４）　　　男子ａ⇔～女子ａ　　３ＵＥ
　　　（５）　　　男子ａ→～女子ａ　　４＆Ｅ（Ｄｆ.⇔）
　６　（６）　　　　　　　　女子ａ　　Ａ
　６　（７）　　　　　　～～女子ａ　　６ＤＮ
　６　（８）　　～男子ａ　　　　　　　５７ＭＴＴ
　　　（９）　　　女子ａ→～男子ａ　　６８ＣＰ
　　ア（ア）　　　スニａ　　　　　　　Ａ
１　ア（イ）　　　　　　　　女子ａ　　２アＭＰＰ
１　ア（ウ）　　　　　　　～男子ａ　　９イＭＰＰ
１　　（エ）　　　スニａ→～男子ａ　　アウＣＰ
１　　（オ）　　～スニａ∨～男子ａ　　エ含意の定義
１　　（カ）　　～（スニａ＆男子ａ）　オ、ド・モルガンの法則
１　　（キ）∀ｘ～（スニｘ＆男子ｘ）　カＵＩ
１　　（ク）～∃ｘ（スニｘ＆男子ｘ）　キ、量化子の関係
従って、
（13）により、
（14）
（β）～∃ｘ（スニｘ＆男子ｘ）
（Ｂ）　∀ｘ（スニｘ→女子ｘ）
に於いて、すなわち、
（β）スニーカーを履いている男の子は一人もいません。
（Ｂ）スニーカーを履いている子は、みんな女子です。
に於いて、
（β）＝（Ｂ）である。
然るに、
（15）
（Ｂ）スニーカーを履いている子は、みんな女子です。
というのであれば、
（３）帽子をかぶっていて、しかも「スニーカーを履いている子ども」は一人もいない。
ということは、
（３）帽子をかぶっていて、しかも「女の子である子ども」は一人もいない。
ということに、「他ならない」。
然るに、
（16）
一々、「計算」はしないものの、
（３）帽子をかぶっていて、しかも「女の子である子ども」は一人もいない。
ということは、
（Ⅱ）帽子をかぶっている子はみんな男の子です。
（〃）∀ｘ（帽子ｘ→男子ｘ）
ということに、「他ならない」。
従って、
（12）～（16）により、
（17）
（１）男の子はみんな帽子をかぶっている。
（２）帽子をかぶっている女の子はいない。
に於いて、 （２）は（１）の「逆」であるが、「逆は必ずしも、〇（真）ではない」。
というだけでなく、
（１）男の子はみんな帽子をかぶっている。
（３）帽子をかぶっていて、しかも「スニーカーを履いている子ども」は一人もいない。
（３）は（１）の「逆」であるが、「逆は必ずしも、〇（真）ではない」。
従って、
（04）（05）（06）（17）により、
（18）
もう一度、確認すると、
（α）帽子をかぶっていない子どもは、みんな女の子です。
（β）スニーカーを履いている男の子は一人もいません。
（Γ）男子ならば、そのときに限って、女子ではない。
（１）男の子はみんな帽子をかぶっている。
（２）帽子をかぶっている女の子はいない。
（３）帽子をかぶっていて、しかもスニーカーを履いている子どもは一人もいない。
という「日本語」は、それぞれ、
（α）　∀ｘ（～帽子ｘ→女子ｘ）。
（β）～∃ｘ（スニｘ＆　男子ｘ）。
（Γ）　∀ｘ（男子ｘ⇔～女子ｘ）。
（１）　∀ｘ（男子ｘ→　帽子ｘ）。
（２）～∃ｘ（帽子ｘ＆　女子ｘ）。
（３）～∃ｘ（帽子ｘ＆　スニｘ）。
という「述語論理式」に「相当」し、それ故、
（α）帽子をかぶっていない子どもは、みんな女の子です。
（１）男の子はみんな帽子をかぶっている。
（２）帽子をかぶっている女の子はいない。
（３）帽子をかぶっていて、しかもスニーカーを履いている子どもは一人もいない。
に於いて、
（α）と（１）は「対偶」であり、
（１）と（２）は「 逆 」であり、
（１）と（３）も「 逆 」であり、そのため、
（１）〇
（２）✕
（３）✕
である。
（01）（18）により、
（19）
問題　次の報告から確実に正しいと言えることには〇を、そうでないないものには✕を、左側の空欄に記入して下さい。
公園に子どもたちが集まっています。
　　　　男の子も女の子もいます。
（α）帽子をかぶっていない子どもは、みんな女の子です。そして、
（β）スニーカーを履いている男の子は一人もいません。
（１）男の子はみんな帽子をかぶっている。
（２）帽子をかぶっている女の子はいない。
（３）帽子をかぶっていて、しかもスニーカーを履いている子どもは一人もいない。
（ＡＩ vs. 教科書が読めない子供たち、新井紀子、2018年、１８２頁）。
正しいのは（１）のみです。
といふ「問題」は、「述語論理」によって、「解答」可能である。
然るに、
（20）
（述語）論理式にはこれまで述べたように、厳密な（形式的な）意味論が与えられるから、自然言語文も、翻訳を介して意味論に法っとった解釈が与えられ、したがって、間接的であるが、自然言語に意味論が与えられることになる（長尾真・淵一博、論理と意味、1983年、１６７頁）。
（21）
さて、統計的な手法が登場する以前、自然言語処理の技術を使う自動翻訳や質疑応答の分野では、研究者たちはＡＩに文法などの言葉のルールを覚えさせ、論理的、演繹的な手法で精度を上げようとしました。けれど、その手法は何度試みても失敗を繰り返しました（ＡＩ vs. 教科書が読めない子供たち、新井紀子、2018年、１２４頁）。
従って、
（19）（20）（21）により、
（22）
問題　次の報告から確実に正しいと言えることには〇を、そうでないないものには✕を、左側の空欄に記入して下さい。
公園に子どもたちが集まっています。
というような「問題」を、「生成ＡＩ」は、「（述語）論理式」を用いて、「解答」することは、出来ない。
令和６年３月２７日、毛利太。